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Sistemas de Equac ˜ oes Lineares

A resolucao de sistemas de equacoes lineares e um problema central em algebra

Linear. Antes de desenvolver a teoria geral, convem possuir um algoritmo simples

e eficiente para a resolucao deste tipo de sistemas. O metodo de Eliminacao de

Gauss satisfaz os requisitos e, alem disso, e facilmente codificavel para a resolucao

de sistemas de equacoes lineares por computador.

Definic ˜ ao 0.1   Uma equac˜ ao linear nas vari´ aveis  x1, x2, . . . , xn   ´ e uma equac ˜ ao

que pode ser escrita na forma

a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = b

onde  a1, a2, . . . , an   s˜ ao os coeficientes da equac˜ ao, que em geral s˜ ao n´ umerosreais ou complexos.

Um sistema de equacoes lineares (ou um sistema linear) e uma coleccao de

uma ou mais equacoes lineares envolvendo as mesmas variaveis x1, x2, . . . , xn.

Uma solucao do sistema e uma lista de numeros que satisfaz as condicoes

dadas.

O conjunto solucao do sistema e o conjunto de todas as solucoes possıveis do

sistema.

Podemos entao classificar os sistemas, quanto   a existencia e unicidade de

solucao, do modo seguinte:

•  Um sistema e possıvel e

–  determinado, quando tem uma so solucao

–   indeterminado, quando tem mais de uma solucao

•  Um sistema e impossıvel quando nao tem solucao.

Sistemas equivalentes tem o mesmo conjunto solucao.

Dado um sistema de equacoes lineares obtem-se um sistema equivalente quando:

1. Se trocam as linhas entre si;

2. Se multiplicam ambos os membros de uma equacao por uma constante di-

ferente de zero;

3. Se substitui uma equacao pelo resultado da sua soma, membro a membro,

com outra multiplicada por uma constante.

1

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Consideremos o sistema de equacoes lineares

2x + y + 4z  = 26x + y = −10−x + 2y − 10z  = −4

O que na verdade determina a solucao sao os coeficientes das varias variaveis

e os termos independentes do sistema.

Podemos entao retirar os seguintes quadros:

A =

2 1 46 1 0−1 2   −10

b =

2−10−4

u =

xyz 

a que chamamos MATRIZES.

A matriz  A   e a matriz   simples, formada pelos coeficientes do sistema. A

matriz u  e a matriz coluna com as incognitas. A matriz b  e a matriz coluna com

os termos independentes do sistema.

A matriz

A|b =

2 1 4 26 1 0   −10−1 2   −10   −4

e a matriz dos coeficientes e dos termos independentes do sistema -  matriz am-

pliada do sistema.

2

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MATRIZES

Exemplo 1 - Um estudo de uma populacao de insectos permitiu a obtencao de

dados sobre o numero total de indivıduos em cada estado larval durante 4 perıodos

de um ano, que se indicam na tabela A  seguinte:

1a Contagem   2a Contagem   3a Contagem   4a Contagem

Ovos 2221 5172 1006 1556

1o estado 1103 2561 511 1234

2o estado 617 1338 326 818

3o estado 528 1124 278 646

4o estado 430 986 187 550

5o estado 312 727 114 414

Adulto 202 542 106 309

Do quadro anterior podemos tirar a seguinte matriz:

A =

2221 5172 1006 15561103 2561 511 1234617 1338 326 818528 1124 278 646430 986 187 550312 727 114 414202 542 106 309

3

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No ano seguinte os dados obtidos em uma analise semelhante estao indicados

na tabela B  que se segue:

1a Contagem   2a Contagem   3a Contagem   4a Contagem

Ovos 3674 6352 1206 1781

1o estado 1812 3106 564 1319

2o estado 819 1518 352 864

3o estado 545 1220 299 682

4o estado 462 1006 201 591

5

o

estado 329 798 166 454Adulto 236 604 122 339

Do quadro anterior podemos retirar a seguinte matriz:

B =

3674 6352 1206 17811812 3106 564 1319

819 1518 352 864545 1220 299 682462 1006 201 591329 798 166 454236 604 122 339

4

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O numero total de indivıduos em cada estado larval, num perıodo de dois anos,

pode ser encontrado na soma da matriz A  com a matriz B:

A =

2221 5172 1006 15561103 2561 511 1234617 1338 326 818528 1124 278 646430 986 187 550312 727 114 414202 542 106 309

,

  B  =

3674 6352 1206 17811812 3106 564 1319819 1518 352 864545 1220 299 682462 1006 201 591329 798 166 454236 604 122 339

A + B =

5895 11524 2212 3337

2915 5667 1075 25531436 2856 678 16821073 2344 577 1328892 1992 388 1141641 1525 280 868438 1146 228 648

5

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O aumento de tamanho da populacao em cada estado larval, e em cada perıodo,

e dado por:

B + (−1)A =  B − A

A =

2221 5172 1006 1556

1103 2561 511 1234617 1338 326 818528 1124 278 646430 986 187 550312 727 114 414202 542 106 309

,   B  =

3674 6352 1206 1781

1812 3106 564 1319819 1518 352 864545 1220 299 682462 1006 201 591329 798 166 454236 604 122 339

B − A =

1453 1180 200 225709 545 153 85202 180 26 4617 96 21 3632 20 14 4117 71 52 4034 62 16 30

6

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Exemplo  2   - Uma certa empresa fabrica tres produtos  A,  B   e  C  em quatro

f abricas X , Y , W   e Z . Os varios custos envolvidos na producao de uma unidadede cada um dos produtos A, B  e  C  sao dados por

A B C

Materia Prima 1,5 2 0,5

Mao de obra 3 2,5 1,5

Distribuicao 2 1 1,5

O numero de unidades produzidas num mes em cada uma das f abricas e:

X Y Z W

A 2500 3000 1000 3800

B 900 600 700 1100

C 2000 1950 2700 2400

Dos quadros anteriores podemos retirar as seguintes matrizes:

C  = 1, 5 2 0, 53 2, 5 1, 5

2 1 1, 5

N  = 2500 3000 1000 3800900 600 700 1100

2000 1950 2700 2400

O custo total em materia prima, mao de obra e distribuicao na f abrica X   e

dado por:

C   ×1a coluna de N

1, 5 2 0, 53 2, 5 1, 52 1 1, 5

2500900

2000

 =

1, 5 × 2500 + 2 × 900 + 0, 5 × 2000

3 × 2500 + 2, 5 × 900 + 1, 5 × 20002 × 2500 + 1 × 900 + 01, 5 × 2000

 =

6550

127508900

Assim, o produto das matrizes C × N  e dado por:

7

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1, 5 2 0, 53 2, 5 1, 5

2 1 1, 5

2500 3000 1000 3800900 600 700 1100

2000 1950 2700 2400

 =

=

6550 6675 4250 910012750 13425 8800 177508900 9525 6750 12300

Podemos, por exemplo, constatar que a  2a linha da matriz produto indica o

custo da mao de obra nas quatro f abricas.

A 3a coluna da matriz produto apresenta o custo total em materia prima, mao

de obra e distribuicao na f abrica Z:

1, 5 × 1000 + 2 × 700 + 0, 5 × 2700 = 4250

3 × 1000 + 2, 5 × 700 + 1, 5 × 2700 = 8800

2 × 1000 + 1 × 700 + 1, 5 × 2700 = 6750

A   3a linha da matriz produto apresenta o custo da distribuicao nas quatro

fabricas:

2 × 2500 + 1 × 900 + 1, 5 × 2000 = 8900

2 × 3000 + 1 × 600 + 1, 5 × 1950 = 9525

2 × 10000 + 1 × 700 + 1, 5 × 2700 = 6750

2 × 3800 + 1 × 1100 + 1, 5 × 2400 = 12300

Em resumo, se A = [aij]m,ni,j=1 e  B  = [b jk ]n,p j,k=1, entao

AB = [cik]m,pi,k=1

com cik  = n

 j=1 aijb jk .

8

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Sejam A =

2 1 4

6 1 0−1 2   −10

e b =

2

−10−4

, entao

2 1 46 1 0−1 2   −10

2−10−4

 =

2x + y + 4z    2u + v + 4w6x + y + 0z    6u + v + 0w

−x + 2y − 10z    −u + 2v − 10w

Tem-se

2x + y + 4z 

6x + y + 0z −x + 2y − 10z 

 =  x

2

6−1

+ y

1

12

+ z 

4

0−10

e

 −x + 2y − 10z    −u + 2v − 10w

 =

−1

  x u

+ 2

  y v− 10

  z w

Cada coluna da matriz produto AB  e uma combinacao linear das colunas de

A; cada linha de AB  e uma combinacao linear das linhas de B.

9

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Cada componente da matriz produto  AB  e o produto de uma linha de A  por

uma coluna de B:

(AB)i,j  = (linha i  de A)(coluna  j   de B)

Cada coluna da matriz produto AB  e o produto da matriz A  por uma coluna

de B:

(coluna  j   de AB) = (matriz A)(coluna  j   de B)

Cada linha da matriz produto AB  e o produto de uma linha de A  pela matriz

B:

(linha i  de AB) = (linha i  de A)(matriz B)

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Propriedades

Desde que as dimensoes das matrizes sejam tais que as operacoes indicadas

facam sentido, tem-se:

1. O produto de matrizes e associativo:

(AB)C  = A(BC ),   ∀A,B,C 

2. O prroduto de matrizes e distributivo em relacao a soma:

A(B + C ) = AB  + AC,   ∀A,B,C 

3. O produto de matrizes nao e comutativo.

4. Produtos de uma matriz arbitraria com a matriz identidade dao como resul-

tado a matriz original:

AI  = A, IB = B

5. Existe uma unica matriz, a matriz nula 0, que somada a qualquer matriz Ada como resultado essa matriz:

A + 0 = A

A matriz nula m × n  e a matriz cujos elementos sao todos nulos.

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Consideremos novamente o sistema:

2x + y + 4z  = 26x + y = −10−x + 2y − 10z  = −4

Lembrando a definicao de produto de matrizes, o sistema pode ser represen-

tado por

Au =  b,

onde

A =

2 1 4

6 1 0−1 2   −10

  b =

2−10−4

  u =

x

yz 

Na verdade,

Au =  b ⇔

2 1 46 1 0−1 2   −10

xyz 

 =

2−10−4

⇔

2x + y + 4z 6x + y + 0z 

−x + 2y − 10z 

 =

2−10−4

⇔

2x + y + 4z  = 26x + y = −10−x + 2y − 10z  = −4

que e o sistema de equacoes lineares dado.

Podemos assim traduzir, em linguagem matricial, os princıpios de equivalencia

de sistemas atras referidos:

1. troca de linhas da matriz ampliada;

2. multiplicacao de uma linha da matriz ampliada por uma constante diferente

de zero;

3. substituicao de uma linha da matriz ampliada pela sua soma, com outra

linha da matriz multiplicada por uma constante;

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4. troca de colunas da matriz simples.

Estas operacoes sao chamadas operac ˜ oes elementares de Gauss.

Diz-se que uma matriz esta em forma de escada se:

•  em cada linha nao nula, a primeira entrada nao nula esta mais a direita do

que na linha anterior, e

•  as linhas nulas, se as houver, estiverem abaixo das linhas nao nulas.

E sempre possıvel chegar a uma matriz em forma de escada, usando as operacoes

elementares de Gauss.

O m´ etodo de Eliminac˜  ao de Gauss ou condensac˜  ao de uma matriz  e o pro-

cesso pelo qual chegamos de uma matriz qualquer a uma matriz em forma deescada.

Metodo de Eliminac ˜ ao de Gauss

1. Localizar a coluna nao nula mais a esquerda;

2. Se necessario, trocar linhas de forma a colocar um elemento nao nulo na

primeira posicao dessa coluna - chama-se a esse elemento  piv ˆ ot ;

3. Multiplicar esta linha por multiplos adequados e somar  as linhas abaixo,

para por a zero todos os elementos abaixo do pivot;

4. Repetir o processo, considerando agora apenas as linhas abaixo da linha que

contem o pivot.

Vamos resolver o sistema anterior utilizando o metodo de eliminacao de Gauss:

A|b =

2 1 4 26 1 0   −10−1 2   −10   −4

→

2 1 4 20   −2   −12   −16−1 2   −10   −4

→

2 1 4 2

0   −2   −12   −160 5/2   −8   −3

→ 2 1 4 2

0   −2   −12   −160 0   −23   −23

 =  U |c

Solucao

x = −2, y = 2, z  = 1

13

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Exemplos

1.  

2x − 5y + 4z  = −3x − 2y + z  = 5x − 4y + 6z  = 10

A|b =

2   −5 4   −31   −2 1 51   −4 6 10

...−→

1   −2 1 50   −1 2   −130 0 1 31

 =  U |c

x − 2y + z  = 5y − 2z  = 13z  = 31

Solucao

x = 124, y = 75, z  = 31

Sistema Possıvel e Determinado

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2. 

2x − 5y + 4z  + u − v = −3x − 2y + z − u + v = 5x − 4y + 6z  + 2u − v = 10

A|b =

2   −5 4 1   −1   −31   −2 1   −1 1 51   −4 6 2   −1 10

...−→

1   −2 1   −1 1 50 1   −2   −3 3 130 0 1   −3 4 31

 =  U |c

x = 16u − 19v + 124y  = 9u − 11v + 75z  = 3u − 4v + 31

Solucao

(x,y,z,u,v) =

u(16, 9, 3, 1, 0) + v(−19,−11,−4, 0, 1) + (124, 75, 31, 0, 0)

Sistema Possıvel e Indeterminado

Variaveis livres u, v

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3. 

2x − 5y + 4z  = −3x − 2y + z  = 5x − 4y + 6z  = 102x − 3y + z  = 54

A|b =

2   −5 4   −31   −2 1 51   −4 6 102   −3 1 54

...−→

1   −2 1 50   −1 2   −130 0 1 310 0 0 0

= U |c

x − 2y + z  = 5y − 2z  = 13z  = 31

Solucao

x = 124, y = 75, z  = 31

Sistema Possıvel e Determinado

4.  

2x − 5y + 4z  = −3x − 2y + z  = 5x − 4y + 6z  = 10x + y + z  = 1

A|b =

2   −5 4   −3

1   −2 1 51   −4 6 101 1 1 1

...−→

1   −2 1 5

0   −1 2   −130 0 1 310 0 0 221

= U |c

Sistema Impossıvel

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O metodo de eliminacao de Gauss permite transformar o sistema dado num

sistema equivalente, correspondente a uma matriz em escada da qual e f acil deter-minar se o sistema e impossıvel ou indeterminado.

Quando o sistema  e indeterminado, obtem-se uma forma para a solucao ge-

ral do sistema que exprime todas as incognitas em termos de valores arbitrarios

assumidos por algumas delas.

As incognitas que podem tomar valores arbitrarios, conhecidas por

incognitas livres, sao as correspondentes a colunas que nao contem pivots.

As incognitas que correspondem a colunas que contem pivots podem ser ex-pressas em termos das incognitas livres.

O numero de incognitas nao livres  e igual ao numero de pivots que, por seu

lado,   e igual ao numero de linhas que nao sao inteiramente nulas no final do

processo de eliminacao de Gauss.

A este numero chama-se

CARACTERISTICA DA MATRIZ.

Dado um sistema de  m   equacoes lineares e  n   incognitas representado por

Au   =   b; sejam  r(A|b)  a caracterıstica da matriz ampliada do sistema e  r(A)  a

caraterıstica da matriz simples do sistema. Temos:

1. O sistema Au =  b  e impossıvel se e so se  r(A|b) > r(A)

2. O sistema Au =  b  e possıvel se e so se  r(A|b) = r(A) e

(a) determinado se o numero de incognitas e igual a r(A);(b) indeterminado se o numero de incognitas e maior que  r(A), sendo o

grau de indeterminacao (numero de variaveis livres) igual ao numero

de incognitas menos a caracterıstica de A, r(A).

17