Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Sistemas Lineares – 1a Parte
Paulo Goldfeld Marco Cabral
Departamento de Matemática AplicadaUniversidade Federal do Rio de Janeiro
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 40
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SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Motivação - 1o Exemplo
Problema: há dois tipos de moeda, indistinguíveis excetopelo peso. As de material X pesam 10 g cada e as dematerial Y, 20 g cada. Se um conjunto de 100 moedaspesa 1.25 Kg, quantas são do material X?{
x + y = 10010x + 20y = 1250
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Motivação - 1o Exemplo
Problema: há dois tipos de moeda, indistinguíveis excetopelo peso. As de material X pesam 10 g cada e as dematerial Y, 20 g cada. Se um conjunto de 100 moedaspesa 1.25 Kg, quantas são do material X?{
x + y = 10010x + 20y = 1250
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Motivação - 2o Exemplo
Problema: a combustão do propano produz dióxido decarbono e água. Encontre a, b, c e d de forma a balanceara equação da reação: a C3H8 + b O2 −→ c CO2 + d H2O.
balanço de C: 3a = cbalanço de H: 8a = 2dbalanço de O: 2b = 2c + d
3a +0b −1c +0d = 08a +0b +0c −2d = 00a +2b −2c −1d = 0
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Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Motivação - 2o Exemplo
Problema: a combustão do propano produz dióxido decarbono e água. Encontre a, b, c e d de forma a balanceara equação da reação: a C3H8 + b O2 −→ c CO2 + d H2O.
balanço de C: 3a = cbalanço de H: 8a = 2dbalanço de O: 2b = 2c + d
3a +0b −1c +0d = 08a +0b +0c −2d = 00a +2b −2c −1d = 0
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Motivação - 2o Exemplo
Problema: a combustão do propano produz dióxido decarbono e água. Encontre a, b, c e d de forma a balanceara equação da reação: a C3H8 + b O2 −→ c CO2 + d H2O.
balanço de C: 3a = cbalanço de H: 8a = 2dbalanço de O: 2b = 2c + d
3a +0b −1c +0d = 08a +0b +0c −2d = 00a +2b −2c −1d = 0
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Motivação - 2o Exemplo
Problema: a combustão do propano produz dióxido decarbono e água. Encontre a, b, c e d de forma a balanceara equação da reação: a C3H8 + b O2 −→ c CO2 + d H2O.
balanço de C: 3a = cbalanço de H: 8a = 2dbalanço de O: 2b = 2c + d
3a +0b −1c +0d = 08a +0b +0c −2d = 00a +2b −2c −1d = 0
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Motivação - 2o Exemplo
Problema: a combustão do propano produz dióxido decarbono e água. Encontre a, b, c e d de forma a balanceara equação da reação: a C3H8 + b O2 −→ c CO2 + d H2O.
balanço de C: 3a = cbalanço de H: 8a = 2dbalanço de O: 2b = 2c + d
3a +0b −1c +0d = 08a +0b +0c −2d = 00a +2b −2c −1d = 0
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Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Motivação - 3o Exemplo
Problema: existe uma parábola γ da forma y = ax2 + bx + cpassando pelos pontos (0, 1), (1, 3), (2, 4) e (3, 9)?
(0, 1) ∈ γ ⇒ 1 = a(02) + b(0) + c(1, 3) ∈ γ ⇒ 3 = a(12) + b(1) + c(2, 4) ∈ γ ⇒ 4 = a(22) + b(2) + c(3, 9) ∈ γ ⇒ 9 = a(32) + b(3) + c
0a +0b +1c = 11a +1b +1c = 34a +2b +1c = 49a +3b +1c = 9
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Motivação - 3o Exemplo
Problema: existe uma parábola γ da forma y = ax2 + bx + cpassando pelos pontos (0, 1), (1, 3), (2, 4) e (3, 9)?
(0, 1) ∈ γ ⇒ 1 = a(02) + b(0) + c(1, 3) ∈ γ ⇒ 3 = a(12) + b(1) + c(2, 4) ∈ γ ⇒ 4 = a(22) + b(2) + c(3, 9) ∈ γ ⇒ 9 = a(32) + b(3) + c
0a +0b +1c = 11a +1b +1c = 34a +2b +1c = 49a +3b +1c = 9
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 40
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Motivação - 3o Exemplo
Problema: existe uma parábola γ da forma y = ax2 + bx + cpassando pelos pontos (0, 1), (1, 3), (2, 4) e (3, 9)?
(0, 1) ∈ γ ⇒ 1 = a(02) + b(0) + c(1, 3) ∈ γ ⇒ 3 = a(12) + b(1) + c(2, 4) ∈ γ ⇒ 4 = a(22) + b(2) + c(3, 9) ∈ γ ⇒ 9 = a(32) + b(3) + c
0a +0b +1c = 11a +1b +1c = 34a +2b +1c = 49a +3b +1c = 9
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Motivação - 3o Exemplo
Problema: existe uma parábola γ da forma y = ax2 + bx + cpassando pelos pontos (0, 1), (1, 3), (2, 4) e (3, 9)?
(0, 1) ∈ γ ⇒ 1 = a(02) + b(0) + c(1, 3) ∈ γ ⇒ 3 = a(12) + b(1) + c(2, 4) ∈ γ ⇒ 4 = a(22) + b(2) + c(3, 9) ∈ γ ⇒ 9 = a(32) + b(3) + c
0a +0b +1c = 11a +1b +1c = 34a +2b +1c = 49a +3b +1c = 9
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Motivação - 3o Exemplo
Problema: existe uma parábola γ da forma y = ax2 + bx + cpassando pelos pontos (0, 1), (1, 3), (2, 4) e (3, 9)?
(0, 1) ∈ γ ⇒ 1 = a(02) + b(0) + c(1, 3) ∈ γ ⇒ 3 = a(12) + b(1) + c(2, 4) ∈ γ ⇒ 4 = a(22) + b(2) + c(3, 9) ∈ γ ⇒ 9 = a(32) + b(3) + c
0a +0b +1c = 11a +1b +1c = 34a +2b +1c = 49a +3b +1c = 9
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 40
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Motivação - 3o Exemplo
Problema: existe uma parábola γ da forma y = ax2 + bx + cpassando pelos pontos (0, 1), (1, 3), (2, 4) e (3, 9)?
(0, 1) ∈ γ ⇒ 1 = a(02) + b(0) + c(1, 3) ∈ γ ⇒ 3 = a(12) + b(1) + c(2, 4) ∈ γ ⇒ 4 = a(22) + b(2) + c(3, 9) ∈ γ ⇒ 9 = a(32) + b(3) + c
0a +0b +1c = 11a +1b +1c = 34a +2b +1c = 49a +3b +1c = 9
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 40
Sist. Lin. I
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Motivação - 4o Exemplo
Problema: o vetor (0, 6, 10) é combinação linear de (1, 2, 3),(2, 1, 1) e (4,−1,−3)?
α(1, 2, 3) + β(2, 1, 1) + γ(4,−1,−3)
= (α, 2α, 3α) + (2β, β, β) + (4γ,−γ,−3γ)
= (α + 2β + 4γ, 2α + β − γ, 3α + β − 3γ)
= (0, 6, 10)1α +2β +4γ = 02α +1β −1γ = 63α +1β −3γ = 10 1 2 42 1 −13 1 −3
αβγ
=
06
10
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 40
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Motivação - 4o Exemplo
Problema: o vetor (0, 6, 10) é combinação linear de (1, 2, 3),(2, 1, 1) e (4,−1,−3)?
α(1, 2, 3) + β(2, 1, 1) + γ(4,−1,−3)
= (α, 2α, 3α) + (2β, β, β) + (4γ,−γ,−3γ)
= (α + 2β + 4γ, 2α + β − γ, 3α + β − 3γ)
= (0, 6, 10)1α +2β +4γ = 02α +1β −1γ = 63α +1β −3γ = 10 1 2 42 1 −13 1 −3
αβγ
=
06
10
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 40
Sist. Lin. I
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Motivação - 4o Exemplo
Problema: o vetor (0, 6, 10) é combinação linear de (1, 2, 3),(2, 1, 1) e (4,−1,−3)?
α(1, 2, 3) + β(2, 1, 1) + γ(4,−1,−3)
= (α, 2α, 3α) + (2β, β, β) + (4γ,−γ,−3γ)
= (α + 2β + 4γ, 2α + β − γ, 3α + β − 3γ)
= (0, 6, 10)1α +2β +4γ = 02α +1β −1γ = 63α +1β −3γ = 10 1 2 42 1 −13 1 −3
αβγ
=
06
10
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Motivação - 4o Exemplo
Problema: o vetor (0, 6, 10) é combinação linear de (1, 2, 3),(2, 1, 1) e (4,−1,−3)?
α(1, 2, 3) + β(2, 1, 1) + γ(4,−1,−3)
= (α, 2α, 3α) + (2β, β, β) + (4γ,−γ,−3γ)
= (α + 2β + 4γ, 2α + β − γ, 3α + β − 3γ)
= (0, 6, 10)1α +2β +4γ = 02α +1β −1γ = 63α +1β −3γ = 10 1 2 42 1 −13 1 −3
αβγ
=
06
10
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Motivação - 4o Exemplo
Problema: o vetor (0, 6, 10) é combinação linear de (1, 2, 3),(2, 1, 1) e (4,−1,−3)?
α(1, 2, 3) + β(2, 1, 1) + γ(4,−1,−3)
= (α, 2α, 3α) + (2β, β, β) + (4γ,−γ,−3γ)
= (α + 2β + 4γ, 2α + β − γ, 3α + β − 3γ)
= (0, 6, 10)1α +2β +4γ = 02α +1β −1γ = 63α +1β −3γ = 10 1 2 42 1 −13 1 −3
αβγ
=
06
10
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Motivação
Quase todos os problemas da Álgebra Linear recaemna resolução de sistemas lineares. As técnicas pararesolvê-los nos acompanharão por todo o curso.
A resolução de sistemas lineares está no coração dequase todos os softwares de computação científica.Neste caso, os sistemas podem ter centenas demilhões de incógnitas.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Motivação
Quase todos os problemas da Álgebra Linear recaemna resolução de sistemas lineares. As técnicas pararesolvê-los nos acompanharão por todo o curso.
A resolução de sistemas lineares está no coração dequase todos os softwares de computação científica.Neste caso, os sistemas podem ter centenas demilhões de incógnitas.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Sistema m × n (m equações em n incógnitas)
a11x1 +a12x2 · · · +a1nxn = b1
a21x1 +a22x2 · · · +a2nxn = b2...
.... . .
......
am1x1 +am2x2 · · · +amnxn = bm
matriz aumentada︷ ︸︸ ︷a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
.... . .
...am1 am2 · · · amn︸ ︷︷ ︸
matriz de coeficientes
b1
b2...
bm
︸ ︷︷ ︸lado direito
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Sistema m × n (m equações em n incógnitas)
a11x1 +a12x2 · · · +a1nxn = b1
a21x1 +a22x2 · · · +a2nxn = b2...
.... . .
......
am1x1 +am2x2 · · · +amnxn = bm
matriz aumentada︷ ︸︸ ︷a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
.... . .
...am1 am2 · · · amn︸ ︷︷ ︸
matriz de coeficientes
b1
b2...
bm
︸ ︷︷ ︸lado direito
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 40
Sist. Lin. I
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Matriz m × n (m linhas, n colunas)
Am×n =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
.... . .
...am1 am2 · · · amn
m linhas
=
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
.... . .
...am1 am2 · · · amn
n colunas
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Geometria
Exemplo 1:{
1x +1y = 21x −1y = 0
[1 1 21 −1 0
]
(1, 1)
(2, 0)
(0, 2)
Solução única. Conjunto-solução: {(1, 1)}
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 40
Sist. Lin. I
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Geometria
Exemplo 1:{
1x +1y = 21x −1y = 0
[1 1 21 −1 0
]
Solução única. Conjunto-solução: {(1, 1)}
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Geometria
Exemplo 2:{
1x +1y = 22x +2y = 2
[1 1 22 2 2
]
(2, 0)
(0, 2)
(1, 0)
(0, 1)
Sem solução. Conjunto-solução: { } = ∅
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Geometria
Exemplo 2:{
1x +1y = 22x +2y = 2
[1 1 22 2 2
]
Sem solução. Conjunto-solução: { } = ∅
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 40
Sist. Lin. I
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Geometria
Exemplo 3:{
1x +1y = 22x +2y = 4
[1 1 22 2 4
]
(2, 0)
(0, 2)
Infinitas soluções.Conjunto-solução: {(x , y) | x + y = 2} = {(t , 2− t) | t ∈ R}
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 40
Sist. Lin. I
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Geometria
Exemplo 3:{
1x +1y = 22x +2y = 4
[1 1 22 2 4
]
Infinitas soluções.Conjunto-solução: {(x , y) | x + y = 2} = {(t , 2− t) | t ∈ R}
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Conjunto-Solução
Um sistema linear de equações tem sempre:ou uma única solução;ou nenhuma solução;ou infinitas soluções.
Compare com o caso não-linear:
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 40
Sist. Lin. I
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Conjunto-Solução
Um sistema linear de equações tem sempre:ou uma única solução;ou nenhuma solução;ou infinitas soluções.
Compare com o caso não-linear:
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 40
Sist. Lin. I
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Sistemas “Fáceis”
Matriz de coeficientes diagonal 3 0 0 50 −2 0 40 0 1 −2
3x1 = 5−2x2 = 4
x3 = −2
Conjunto-solução:{(
53,−2,−2
)}
Definição (matriz diagonal)
A é diagonal se aij = 0 ∀ i 6= j .
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 40
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Sistemas “Fáceis”
Matriz de coeficientes diagonal 3 0 0 50 −2 0 40 0 1 −2
3x1 = 5−2x2 = 4
x3 = −2
Conjunto-solução:{(
53,−2,−2
)}
Definição (matriz diagonal)
A é diagonal se aij = 0 ∀ i 6= j .
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 40
Sist. Lin. I
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Sistemas “Fáceis”
Matriz de coeficientes triangular 3 1 3 20 −2 1 −50 0 2 −2
3x1 +x2 +3x3 = 2
−2x2 +x3 = −52x3 = −2
Substituição para trás:
2x3 = −2 ⇒ x3 = −1−2x2 +(−1) = −5 ⇒ x2 = 2
3x1 +(2) +3(−1) = 2 ⇒ x1 = 1
Definição (matriz triangular superior)
A é triangular superior se aij = 0 ∀ i > j .
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 40
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Sistemas “Fáceis”
Matriz de coeficientes triangular 3 1 3 20 −2 1 −50 0 2 −2
3x1 +x2 +3x3 = 2
−2x2 +x3 = −52x3 = −2
Substituição para trás:
2x3 = −2 ⇒ x3 = −1−2x2 +(−1) = −5 ⇒ x2 = 2
3x1 +(2) +3(−1) = 2 ⇒ x1 = 1
Definição (matriz triangular superior)
A é triangular superior se aij = 0 ∀ i > j .
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 40
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Sistemas “Fáceis”
Matriz de coeficientes triangular 3 1 3 20 −2 1 −50 0 2 −2
3x1 +x2 +3x3 = 2
−2x2 +x3 = −52x3 = −2
Substituição para trás:
2x3 = −2 ⇒ x3 = −1−2x2 +(−1) = −5 ⇒ x2 = 2
3x1 +(2) +3(−1) = 2 ⇒ x1 = 1
Definição (matriz triangular superior)
A é triangular superior se aij = 0 ∀ i > j .
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Sistemas “Fáceis”
Matriz de coeficientes triangular 3 1 3 20 −2 1 −50 0 2 −2
3x1 +x2 +3x3 = 2
−2x2 +x3 = −52x3 = −2
Substituição para trás:
2x3 = −2 ⇒ x3 = −1−2x2 +(−1) = −5 ⇒ x2 = 2
3x1 +(2) +3(−1) = 2 ⇒ x1 = 1
Definição (matriz triangular superior)
A é triangular superior se aij = 0 ∀ i > j .
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Sistemas “Fáceis”
Matriz de coeficientes triangular 3 1 3 20 −2 1 −50 0 2 −2
3x1 +x2 +3x3 = 2
−2x2 +x3 = −52x3 = −2
Substituição para trás:
2x3 = −2 ⇒ x3 = −1−2x2 +(−1) = −5 ⇒ x2 = 2
3x1 +(2) +3(−1) = 2 ⇒ x1 = 1
Definição (matriz triangular superior)
A é triangular superior se aij = 0 ∀ i > j .
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SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Sistemas Equivalentes
Definição (sistemas equivalentes)
Dois sistemas (nas mesmas variáveis) são equivalentes setêm o mesmo conjunto-solução.[
1 1 21 −1 0
] 1 2 31 −1 03 1 4
(2, 0)
(0, 2)
(1, 1)
(3, 0)
(0,
32
)(1, 1)
(43, 0
)Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Estratégia para Solução de Sistemas Lineares
Buscar sistema equivalente “fácil”:na forma escalonada (“tipo” triangular) ouna forma totalmente escalonada (“tipo” diagonal).
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Operações Fundamentais
1 Trocar a ordem das linhas[l1 b1l2 b2
]∼
[l2 b2l1 b1
]2 Multiplicar uma linha por um escalar não-nulo[
l1 b1l2 b2
]∼
[l1 b1αl2 αb2
]3 Substituir linha por sua soma com múltiplo de outra[
l1 b1l2 b2
]∼
[l1 b1
l2 + αl1 b2 + αb1
]4 Descartar linhas só de zeros[
l1 b10 0 · · · 0 0
]∼
[l1 b1
]Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 40
Sist. Lin. I
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Operações Fundamentais
1 Trocar a ordem das linhas[l1 b1l2 b2
]∼
[l2 b2l1 b1
]2 Multiplicar uma linha por um escalar não-nulo[
l1 b1l2 b2
]∼
[l1 b1αl2 αb2
]3 Substituir linha por sua soma com múltiplo de outra[
l1 b1l2 b2
]∼
[l1 b1
l2 + αl1 b2 + αb1
]4 Descartar linhas só de zeros[
l1 b10 0 · · · 0 0
]∼
[l1 b1
]Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 40
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Operações Fundamentais
1 Trocar a ordem das linhas[l1 b1l2 b2
]∼
[l2 b2l1 b1
]2 Multiplicar uma linha por um escalar não-nulo[
l1 b1l2 b2
]∼
[l1 b1αl2 αb2
]3 Substituir linha por sua soma com múltiplo de outra[
l1 b1l2 b2
]∼
[l1 b1
l2 + αl1 b2 + αb1
]4 Descartar linhas só de zeros[
l1 b10 0 · · · 0 0
]∼
[l1 b1
]Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 40
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Operações Fundamentais
1 Trocar a ordem das linhas[l1 b1l2 b2
]∼
[l2 b2l1 b1
]2 Multiplicar uma linha por um escalar não-nulo[
l1 b1l2 b2
]∼
[l1 b1αl2 αb2
]3 Substituir linha por sua soma com múltiplo de outra[
l1 b1l2 b2
]∼
[l1 b1
l2 + αl1 b2 + αb1
]4 Descartar linhas só de zeros[
l1 b10 0 · · · 0 0
]∼
[l1 b1
]Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Primeiro Exemplo
−1 −2 −4 20 −7 11 −253 13 4 16
∼
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 7 −8 22
l3 ← l3 + 3l1
3 13 4 16+ 3× ( −1 −2 −4 2 )
3 13 4 16+ −3 −6 −12 6
0 7 −8 22
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 40
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Primeiro Exemplo
−1 −2 −4 20 −7 11 −253 13 4 16
∼
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 7 −8 22
l3 ← l3 + 3l1
3 13 4 16+ 3× ( −1 −2 −4 2 )
3 13 4 16+ −3 −6 −12 6
0 7 −8 22
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 40
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Primeiro Exemplo
−1 −2 −4 20 −7 11 −253 13 4 16
∼
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 7 −8 22
l3 ← l3 + 3l1
3 13 4 16+ 3× ( −1 −2 −4 2 )
3 13 4 16+ −3 −6 −12 6
0 7 −8 22
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Primeiro Exemplo
−1 −2 −4 20 −7 11 −253 13 4 16
∼
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 7 −8 22
l3 ← l3 + 3l1
3 13 4 16+ 3× ( −1 −2 −4 2 )
3 13 4 16+ −3 −6 −12 6
0 7 −8 22
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Primeiro Exemplo
−1 −2 −4 20 −7 11 −253 13 4 16
∼
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 7 −8 22
l3 ← l3 + 3l1
3 13 4 16+ 3× ( −1 −2 −4 2 )
3 13 4 16+ −3 −6 −12 6
0 7 −8 22
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Primeiro Exemplo
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 7 −8 22
∼
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 3 −3
l3 ← l3 + l2
0 −7 11 −25+ 0 7 −8 22
0 0 3 −3
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 40
Sist. Lin. I
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Primeiro Exemplo
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 7 −8 22
∼
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 3 −3
l3 ← l3 + l2
0 −7 11 −25+ 0 7 −8 22
0 0 3 −3
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Primeiro Exemplo
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 7 −8 22
∼
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 3 −3
l3 ← l3 + l2
0 −7 11 −25+ 0 7 −8 22
0 0 3 −3
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Sist. Lin. I
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Primeiro Exemplo
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 7 −8 22
∼
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 3 −3
l3 ← l3 + l2
0 −7 11 −25+ 0 7 −8 22
0 0 3 −3
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Primeiro Exemplo
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 3 −3
∼
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 1 −1
l3 ←
13
l3
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Primeiro Exemplo
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 3 −3
∼
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 1 −1
l3 ←
13
l3
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Sist. Lin. I
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Primeiro Exemplo
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 3 −3
∼
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 1 −1
l3 ←
13
l3
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Primeiro Exemplo
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 1 −1
∼
−1 −2 0 −20 −7 0 −140 0 1 −1
l1 ← l1 + 4l3 l2 ← l2 − 11l3
−1 −2 −4 2+ 0 0 4 −4
−1 −2 0 −2
0 −7 11 −25+ 0 0 −11 11
0 −7 0 −14
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Primeiro Exemplo
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 1 −1
∼
−1 −2 0 −20 −7 0 −140 0 1 −1
l1 ← l1 + 4l3 l2 ← l2 − 11l3
−1 −2 −4 2+ 0 0 4 −4
−1 −2 0 −2
0 −7 11 −25+ 0 0 −11 11
0 −7 0 −14
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Primeiro Exemplo
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 1 −1
∼
−1 −2 0 −20 −7 0 −140 0 1 −1
l1 ← l1 + 4l3 l2 ← l2 − 11l3
−1 −2 −4 2+ 0 0 4 −4
−1 −2 0 −2
0 −7 11 −25+ 0 0 −11 11
0 −7 0 −14
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 40
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Primeiro Exemplo
−1 −2 −4 20 −7 11 −250 0 1 −1
∼
−1 −2 0 −20 −7 0 −140 0 1 −1
l1 ← l1 + 4l3 l2 ← l2 − 11l3
−1 −2 −4 2+ 0 0 4 −4
−1 −2 0 −2
0 −7 11 −25+ 0 0 −11 11
0 −7 0 −14
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 40
Sist. Lin. I
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Primeiro Exemplo
−1 −2 0 −20 −7 0 −140 0 1 −1
∼
−1 −2 0 −20 1 0 20 0 1 −1
l2 ← −
17
l2
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Primeiro Exemplo
−1 −2 0 −20 −7 0 −140 0 1 −1
∼
−1 −2 0 −20 1 0 20 0 1 −1
l2 ← −
17
l2
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Primeiro Exemplo
−1 −2 0 −20 −7 0 −140 0 1 −1
∼
−1 −2 0 −20 1 0 20 0 1 −1
l2 ← −
17
l2
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Primeiro Exemplo
−1 −2 0 −20 1 0 20 0 1 −1
∼
−1 0 0 20 1 0 20 0 1 −1
l1 ← l1 + 2l2
−1 −2 0 −2+ 0 2 0 4
−1 0 0 2
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 23 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Primeiro Exemplo
−1 −2 0 −20 1 0 20 0 1 −1
∼
−1 0 0 20 1 0 20 0 1 −1
l1 ← l1 + 2l2
−1 −2 0 −2+ 0 2 0 4
−1 0 0 2
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 23 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Primeiro Exemplo
−1 −2 0 −20 1 0 20 0 1 −1
∼
−1 0 0 20 1 0 20 0 1 −1
l1 ← l1 + 2l2
−1 −2 0 −2+ 0 2 0 4
−1 0 0 2
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 23 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Primeiro Exemplo
−1 −2 0 −20 1 0 20 0 1 −1
∼
−1 0 0 20 1 0 20 0 1 −1
l1 ← l1 + 2l2
−1 −2 0 −2+ 0 2 0 4
−1 0 0 2
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 23 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Primeiro Exemplo
−1 0 0 20 1 0 20 0 1 −1
∼
1 0 0 −20 1 0 20 0 1 −1
l1 ← −l1
x1 = −2x2 = 2x3 = −1
Conjunto-solução: {(−2, 2,−1)}
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Primeiro Exemplo
−1 0 0 20 1 0 20 0 1 −1
∼
1 0 0 −20 1 0 20 0 1 −1
l1 ← −l1
x1 = −2x2 = 2x3 = −1
Conjunto-solução: {(−2, 2,−1)}
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Primeiro Exemplo
−1 0 0 20 1 0 20 0 1 −1
∼
1 0 0 −20 1 0 20 0 1 −1
l1 ← −l1
x1 = −2x2 = 2x3 = −1
Conjunto-solução: {(−2, 2,−1)}
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Primeiro Exemplo
−1 0 0 20 1 0 20 0 1 −1
∼
1 0 0 −20 1 0 20 0 1 −1
l1 ← −l1
x1 = −2x2 = 2x3 = −1
Conjunto-solução: {(−2, 2,−1)}
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Primeiro Exemplo
−1 0 0 20 1 0 20 0 1 −1
∼
1 0 0 −20 1 0 20 0 1 −1
l1 ← −l1
x1 = −2x2 = 2x3 = −1
Conjunto-solução: {(−2, 2,−1)}
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 40
Sist. Lin. I
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Segundo Exemplo
1x1 + 1x2 + 1x3 = 3 (eq. 1)0x1 + 1x2 + 1x3 = 2 (eq. 2)1x1 + 1x2 + 0x3 = 2 (eq. 3) 1 1 1 30 1 1 21 1 0 2
l1 ← l1 − l2l2 ← l2 − l3l3 ← l3 − l1
1 0 0 1−1 0 1 0
0 0 −1 −1
x1 = 1x1 = x3x3 = 1
⇒ Conj.-solução: {(1, t , 1) | t ∈ R}
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 40
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Segundo Exemplo
1x1 + 1x2 + 1x3 = 3 (eq. 1)0x1 + 1x2 + 1x3 = 2 (eq. 2)1x1 + 1x2 + 0x3 = 2 (eq. 3) 1 1 1 30 1 1 21 1 0 2
l1 ← l1 − l2l2 ← l2 − l3l3 ← l3 − l1
1 0 0 1−1 0 1 0
0 0 −1 −1
x1 = 1x1 = x3x3 = 1
⇒ Conj.-solução: {(1, t , 1) | t ∈ R}
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Segundo Exemplo
1x1 + 1x2 + 1x3 = 3 (eq. 1)0x1 + 1x2 + 1x3 = 2 (eq. 2)1x1 + 1x2 + 0x3 = 2 (eq. 3) 1 1 1 30 1 1 21 1 0 2
l1 ← l1 − l2l2 ← l2 − l3l3 ← l3 − l1
1 0 0 1−1 0 1 0
0 0 −1 −1
x1 = 1x1 = x3x3 = 1
⇒ Conj.-solução: {(1, t , 1) | t ∈ R}
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 40
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Segundo Exemplo
1x1 + 1x2 + 1x3 = 3 (eq. 1)0x1 + 1x2 + 1x3 = 2 (eq. 2)1x1 + 1x2 + 0x3 = 2 (eq. 3) 1 1 1 30 1 1 21 1 0 2
l1 ← l1 − l2l2 ← l2 − l3l3 ← l3 − l1
1 0 0 1−1 0 1 0
0 0 −1 −1
x1 = 1x1 = x3x3 = 1
⇒ Conj.-solução: {(1, t , 1) | t ∈ R}
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Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Segundo Exemplo
1x1 + 1x2 + 1x3 = 3 (eq. 1)0x1 + 1x2 + 1x3 = 2 (eq. 2)1x1 + 1x2 + 0x3 = 2 (eq. 3) 1 1 1 30 1 1 21 1 0 2
l1 ← l1 − l2l2 ← l2 − l3l3 ← l3 − l1
1 0 0 1−1 0 1 0
0 0 −1 −1
x1 = 1x1 = x3x3 = 1
⇒ Conj.-solução: {(1, t , 1) | t ∈ R}
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Segundo Exemplo
1x1 + 1x2 + 1x3 = 3 (eq. 1)0x1 + 1x2 + 1x3 = 2 (eq. 2)1x1 + 1x2 + 0x3 = 2 (eq. 3) 1 1 1 30 1 1 21 1 0 2
l1 ← l1 − l2l2 ← l2 − l3l3 ← l3 − l1
1 0 0 1−1 0 1 0
0 0 −1 −1
x1 = 1x1 = x3x3 = 1
⇒ Conj.-solução: {(1, t , 1) | t ∈ R}
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Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Segundo Exemplo
1x1 + 1x2 + 1x3 = 3 (eq. 1)0x1 + 1x2 + 1x3 = 2 (eq. 2)1x1 + 1x2 + 0x3 = 2 (eq. 3) 1 1 1 30 1 1 21 1 0 2
l1 ← l1 − l2l2 ← l2 − l3l3 ← l3 − l1
1 0 0 1−1 0 1 0
0 0 −1 −1
x1 = 1x1 = x3x3 = 1
⇒ Conj.-solução: {(1, t , 1) | t ∈ R}
(eq. 1) ⇒ 1 + t + 1 = 3 ∀t ∈ R
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Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Segundo Exemplo
1x1 + 1x2 + 1x3 = 3 (eq. 1)0x1 + 1x2 + 1x3 = 2 (eq. 2)1x1 + 1x2 + 0x3 = 2 (eq. 3) 1 1 1 30 1 1 21 1 0 2
l1 ← l1 − l2l2 ← l2 − l3l3 ← l3 − l1
1 0 0 1−1 0 1 0
0 0 −1 −1
x1 = 1x1 = x3x3 = 1
⇒ Conj.-solução: {(1, t , 1) | t ∈ R}
(eq. 1) ⇒ 1 + t + 1 = 3 ∀t ∈ R FALSO!!!
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Segundo Exemplo
Mas o que deu errado?
operações fundamentais =⇒ sistemas equivalentes
outras operações 6=⇒ sistemas equivalentes
Isto pode ser sutil. Examine este exemplo até entendê-lo.É fundamental ser sistemático!
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Segundo Exemplo
Mas o que deu errado?
operações fundamentais =⇒ sistemas equivalentes
outras operações 6=⇒ sistemas equivalentes
Isto pode ser sutil. Examine este exemplo até entendê-lo.É fundamental ser sistemático!
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Segundo Exemplo
Mas o que deu errado?
operações fundamentais =⇒ sistemas equivalentes
outras operações 6=⇒ sistemas equivalentes
Isto pode ser sutil. Examine este exemplo até entendê-lo.É fundamental ser sistemático!
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Segundo Exemplo
Mas o que deu errado?
operações fundamentais =⇒ sistemas equivalentes
outras operações 6=⇒ sistemas equivalentes
Isto pode ser sutil. Examine este exemplo até entendê-lo.É fundamental ser sistemático!
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 40
Sist. Lin. I
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Segundo Exemplo
Mas o que deu errado?
operações fundamentais =⇒ sistemas equivalentes
outras operações 6=⇒ sistemas equivalentes
Isto pode ser sutil. Examine este exemplo até entendê-lo.É fundamental ser sistemático!
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 40
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Plano de Ação paraa Solução de Sistemas Lineares
Para onde vamos?Forma escalonada e forma totalmente escalonadaComo vamos?Algoritmo de eliminação de GaussO que fazer quando chegarmos lá?Solução de sistemas na forma totalmente escalonada
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Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Plano de Ação paraa Solução de Sistemas Lineares
Para onde vamos?Forma escalonada e forma totalmente escalonadaComo vamos?Algoritmo de eliminação de GaussO que fazer quando chegarmos lá?Solução de sistemas na forma totalmente escalonada
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Após Escalonamento
Plano de Ação paraa Solução de Sistemas Lineares
Para onde vamos?Forma escalonada e forma totalmente escalonadaComo vamos?Algoritmo de eliminação de GaussO que fazer quando chegarmos lá?Solução de sistemas na forma totalmente escalonada
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Geometria
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Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Plano de Ação paraa Solução de Sistemas Lineares
Para onde vamos?Forma escalonada e forma totalmente escalonadaComo vamos?Algoritmo de eliminação de GaussO que fazer quando chegarmos lá?Solução de sistemas na forma totalmente escalonada
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Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Forma Escalonada
Definição (forma escalonada)
Diz-se que uma matriz está (na forma) escalonada seo número de zeros no início de cada linha aumentaestritamente de uma linha para outra enão há linhas só de zeros.
4 −7 0 −14 40 0 4 0 −10 0 0 −13 6
X
4 −7 0 −14 43 0 4 0 −10 0 0 −13 6
×Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 40
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Forma Escalonada
Definição (forma escalonada)
Diz-se que uma matriz está (na forma) escalonada seo número de zeros no início de cada linha aumentaestritamente de uma linha para outra enão há linhas só de zeros.
4 −7 0 −14 40 0 4 0 −10 0 0 −13 6
X
4 −7 0 −14 43 0 4 0 −10 0 0 −13 6
×Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 40
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Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Forma Escalonada
Definição (forma escalonada)
Diz-se que uma matriz está (na forma) escalonada seo número de zeros no início de cada linha aumentaestritamente de uma linha para outra enão há linhas só de zeros.
4 −7 0 −14 40 0 4 0 −10 0 0 −13 6
X
4 −7 0 −14 43 0 4 0 −10 0 0 −13 6
×Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 40
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Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Forma Escalonada
Definição (forma escalonada)
Diz-se que uma matriz está (na forma) escalonada seo número de zeros no início de cada linha aumentaestritamente de uma linha para outra enão há linhas só de zeros.
4 −7 0 −14 40 0 4 0 −10 0 0 −13 6
X
4 −7 0 −14 43 0 4 0 −10 0 0 −13 6
×Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 40
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Forma Escalonada
Definição (forma escalonada)
Diz-se que uma matriz está (na forma) escalonada seo número de zeros no início de cada linha aumentaestritamente de uma linha para outra enão há linhas só de zeros.
4 −7 0 −14 40 0 4 0 −10 0 0 −13 6
X
4 −7 0 −14 43 0 4 0 −10 0 0 −13 6
×Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 40
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Pivot
Definição (pivot)
São denominados pivots os primeiros elementos não nulosde cada linha de uma matriz escalonada.
4 −7 0 −14 40 0 5 0 −10 0 0 −13 6
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Pivot
Definição (pivot)
São denominados pivots os primeiros elementos não nulosde cada linha de uma matriz escalonada.
4 −7 0 −14 40 0 5 0 −10 0 0 −13 6
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Forma Totalmente Escalonada
Definição (forma totalmente escalonada)
Uma matriz escalonada está totalmente escalonada seos seus pivots
são todos 1’s esão os únicos elementos não-nulos de suas colunas.
1 −7 0 0 40 0 1 0 −10 0 0 1 6
X
1 −7 2 0 40 0 1 0 −10 0 0 −1 6
×Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 30 / 40
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Forma Totalmente Escalonada
Definição (forma totalmente escalonada)
Uma matriz escalonada está totalmente escalonada seos seus pivots
são todos 1’s esão os únicos elementos não-nulos de suas colunas.
1 −7 0 0 40 0 1 0 −10 0 0 1 6
X
1 −7 2 0 40 0 1 0 −10 0 0 −1 6
×Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 30 / 40
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Forma Totalmente Escalonada
Definição (forma totalmente escalonada)
Uma matriz escalonada está totalmente escalonada seos seus pivots
são todos 1’s esão os únicos elementos não-nulos de suas colunas.
1 −7 0 0 40 0 1 0 −10 0 0 1 6
X
1 −7 2 0 40 0 1 0 −10 0 0 −1 6
×Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 30 / 40
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Forma Totalmente Escalonada
Definição (forma totalmente escalonada)
Uma matriz escalonada está totalmente escalonada seos seus pivots
são todos 1’s esão os únicos elementos não-nulos de suas colunas.
1 −7 0 0 40 0 1 0 −10 0 0 1 6
X
1 −7 2 0 40 0 1 0 −10 0 0 −1 6
×Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 30 / 40
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Forma Totalmente Escalonada
Definição (forma totalmente escalonada)
Uma matriz escalonada está totalmente escalonada seos seus pivots
são todos 1’s esão os únicos elementos não-nulos de suas colunas.
1 −7 0 0 40 0 1 0 −10 0 0 1 6
X
1 −7 2 0 40 0 1 0 −10 0 0 −1 6
×Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 30 / 40
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Eliminação de GaussParte I – Forma Escalonada
Descarte linhas só de zeros.p ← (no de linhas).k ← 1.Enquanto k < p, repita:
Considere apenas as linhas lk , lk+1, . . . , lp.Identifique a coluna não nula mais à esquerda.Troque linhas para obter pivot não nulo.Anule as entradas abaixo do pivot,subtraindo de lk+1, lk+2, . . . , lp múltiplos de lk .Descarte linhas só de zeros.p ← (no de linhas).k ← k + 1.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 31 / 40
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Eliminação de GaussParte II – Forma Totalmente Escalonada
Execute a Parte I do algoritmo.Repita, para k = p, p − 1, . . . , 1:
Divida lk pelo seu pivot, tornando-o 1.Anule as entradas acima do pivot,subtraindo de l1, l2, . . . , lk−1 múltiplos de lk .
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Exemplo de Eliminação de Gauss
2 6 3 1 42 6 3 −2 10−4 −12 −7 0 −10
6 18 11 0 14
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 40
Sist. Lin. I
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Exemplo de Eliminação de Gauss
2 6 3 1 42 6 3 −2 10−4 −12 −7 0 −10
6 18 11 0 14
Início da Parte I: escalonamento da matrizDescarte linhas só de zeros.p ← 4.k ← 1.
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Exemplo de Eliminação de Gauss
2 6 3 1 42 6 3 −2 10−4 −12 −7 0 −10
6 18 11 0 14
Início do primeiro laço.Considere apenas as linhas l1, l2, l3 e l4
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Exemplo de Eliminação de Gauss
2 6 3 1 42 6 3 −2 10−4 −12 −7 0 −10
6 18 11 0 14
Identifique a coluna não nula mais à esquerda.Troque linhas para obter pivot não nulo.
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Exemplo de Eliminação de Gauss
2 6 3 1 42 6 3 −2 10−4 −12 −7 0 −10
6 18 11 0 14
Anule as entradas abaixo do pivot ,subtraindo de l2, l3, l4 múltiplos de l1.
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Exemplo de Eliminação de Gauss
2 6 3 1 40 0 0 −3 60 0 −1 2 −20 0 2 −3 2
Anule as entradas abaixo do pivot ,subtraindo de l2, l3, l4 múltiplos de l1.
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Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Exemplo de Eliminação de Gauss
2 6 3 1 40 0 0 −3 60 0 −1 2 −20 0 2 −3 2
Descarte linhas só de zeros.p ← 4k ← 2
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Exemplo de Eliminação de Gauss
2 6 3 1 40 0 0 −3 60 0 −1 2 −20 0 2 −3 2
Considere apenas as linhas 2, 3 e 4
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Exemplo de Eliminação de Gauss
2 6 3 1 40 0 0 −3 60 0 −1 2 −20 0 2 −3 2
Identifique a coluna não nula mais à esquerda.Troque linhas para obter pivot não nulo.
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Sist. Lin. I
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Exemplo de Eliminação de Gauss
2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 60 0 2 −3 2
Identifique a coluna não nula mais à esquerda.Troque linhas para obter pivot não nulo.
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Exemplo de Eliminação de Gauss
2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 60 0 2 −3 2
Anule as entradas abaixo do pivot ,subtraindo de l3 e de l4 múltiplos de l2.
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Exemplo de Eliminação de Gauss
2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 60 0 0 1 −2
Anule as entradas abaixo do pivot ,subtraindo de l3 e de l4 múltiplos de l2.
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Definições
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Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Exemplo de Eliminação de Gauss
2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 60 0 0 1 −2
Descarte linhas só de zeros.p ← 4k ← 3
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Exemplo de Eliminação de Gauss
2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 60 0 0 1 −2
Considere apenas as linhas 3 e 4
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Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Exemplo de Eliminação de Gauss
2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 60 0 0 1 −2
Identifique a coluna não nula mais à esquerda.Troque linhas para obter pivot não nulo.
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Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Exemplo de Eliminação de Gauss
2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 60 0 0 1 −2
Anule as entradas abaixo do pivot ,subtraindo de l4 um múltiplo de l3.
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Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Exemplo de Eliminação de Gauss
2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 60 0 0 0 0
Anule as entradas abaixo do pivot ,subtraindo de l4 um múltiplo de l3.
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Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Exemplo de Eliminação de Gauss
2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 60 0 0 0 0
Descarte linhas só de zeros.p ← (no de linhas)
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Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Exemplo de Eliminação de Gauss
2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 6
Descarte linhas só de zeros.p ← 3
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Exemplo de Eliminação de Gauss
2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 6
Descarte linhas só de zeros.p ← 3k ← 4
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Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Exemplo de Eliminação de Gauss
2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 −3 6
Fim da Parte I: matriz já está escalonada.Início da Parte II: escalonamento totalk ← 3Divida l3 pelo seu pivot .
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Exemplo de Eliminação de Gauss
2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 1 −2
Fim da Parte I: matriz já está escalonada.Início da Parte II: escalonamento totalk ← 3Divida l3 pelo seu pivot .
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Exemplo de Eliminação de Gauss
2 6 3 1 40 0 −1 2 −20 0 0 1 −2
Anule as entradas acima do pivot ,subtraindo de l1, l2 múltiplos de l3.
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Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Exemplo de Eliminação de Gauss
2 6 3 0 60 0 −1 0 20 0 0 1 −2
Anule as entradas acima do pivot ,subtraindo de l1, l2 múltiplos de l3.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Exemplo de Eliminação de Gauss
2 6 3 0 60 0 −1 0 20 0 0 1 −2
k ← 2Divida l2 pelo seu pivot .
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Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Exemplo de Eliminação de Gauss
2 6 3 0 60 0 1 0 −20 0 0 1 −2
k ← 2Divida l2 pelo seu pivot .
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Exemplo de Eliminação de Gauss
2 6 3 0 60 0 1 0 −20 0 0 1 −2
Anule as entradas acima do pivot ,subtraindo de l1 múltiplos de l2.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Exemplo de Eliminação de Gauss
2 6 0 0 120 0 1 0 −20 0 0 1 −2
Anule as entradas acima do pivot ,subtraindo de l1 múltiplos de l2.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Exemplo de Eliminação de Gauss
2 6 0 0 120 0 1 0 −20 0 0 1 −2
k ← 1Divida l1 pelo seu pivot .
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Exemplo de Eliminação de Gauss
1 3 0 0 60 0 1 0 −20 0 0 1 −2
k ← 1Divida l1 pelo seu pivot .
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Exemplo de Eliminação de Gauss
1 3 0 0 60 0 1 0 −20 0 0 1 −2
Anule as entradas acima do pivot .Fim da Parte II: a matriz está totalmente escalonada.
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Existência de Solução
Notação:{
0 − zero − não-zero1 − um ? − qualquer quantidade
1o caso: sistema totalmente escalonado da forma? ? · · · ? ?...
.... . .
......
? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1
0x1 + 0x2 + · · ·+ 0xn = 1 ⇒ conjunto-solução = { }
sistema inconsistente
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 34 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Existência de Solução
Notação:{
0 − zero − não-zero1 − um ? − qualquer quantidade
1o caso: sistema totalmente escalonado da forma? ? · · · ? ?...
.... . .
......
? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1
0x1 + 0x2 + · · ·+ 0xn = 1 ⇒ conjunto-solução = { }
sistema inconsistente
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 34 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Existência de Solução
Notação:{
0 − zero − não-zero1 − um ? − qualquer quantidade
1o caso: sistema totalmente escalonado da forma? ? · · · ? ?...
.... . .
......
? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1
0x1 + 0x2 + · · ·+ 0xn = 1 ⇒ conjunto-solução = { }
sistema inconsistente
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 34 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Existência de Solução
Notação:{
0 − zero − não-zero1 − um ? − qualquer quantidade
1o caso: sistema totalmente escalonado da forma? ? · · · ? ?...
.... . .
......
? ? · · · ? ?0 0 · · · 0 1
0x1 + 0x2 + · · ·+ 0xn = 1 ⇒ conjunto-solução = { }
sistema inconsistente
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 34 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Exemplos
Exemplo (sistema inconsistente)
1 0 00 1 00 0 1
Exemplo (sistema inconsistente)
1 −3 0 5 00 0 1 2 00 0 0 0 1
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 35 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Exemplos
Exemplo (sistema inconsistente)
1 0 00 1 00 0 1
Exemplo (sistema inconsistente)
1 −3 0 5 00 0 1 2 00 0 0 0 1
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 35 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Solução Única
2o caso: sistema totalmente escalonado da forma1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...
.... . .
......
0 0 · · · 1 ?
x1 = ?x2 = ?...
...xn = ?
⇒ conjunto-solução = {(?, ?, . . . , ?)}
solução única
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 36 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Solução Única
2o caso: sistema totalmente escalonado da forma1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...
.... . .
......
0 0 · · · 1 ?
x1 = ?x2 = ?...
...xn = ?
⇒ conjunto-solução = {(?, ?, . . . , ?)}
solução única
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 36 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Solução Única
2o caso: sistema totalmente escalonado da forma1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...
.... . .
......
0 0 · · · 1 ?
x1 = ?x2 = ?...
...xn = ?
⇒ conjunto-solução = {(?, ?, . . . , ?)}
solução única
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 36 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Solução Única
2o caso: sistema totalmente escalonado da forma1 0 · · · 0 ?0 1 · · · 0 ?...
.... . .
......
0 0 · · · 1 ?
x1 = ?x2 = ?...
...xn = ?
⇒ conjunto-solução = {(?, ?, . . . , ?)}
solução única
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 36 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Exemplos
Exemplo (sistema com solução única)
1 0 0 −20 1 0 00 0 1 11
Exemplo (sistema com solução única)
1 0 0 0 70 1 0 0 −40 0 1 0 −30 0 0 1 13
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 37 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Exemplos
Exemplo (sistema com solução única)
1 0 0 −20 1 0 00 0 1 11
Exemplo (sistema com solução única)
1 0 0 0 70 1 0 0 −40 0 1 0 −30 0 0 1 13
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 37 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Infinitas Soluções
3o caso: sistema totalmente escalonadonão se enquadra nos casos anteriores 1 −3 0 5 0 4
0 0 1 2 0 00 0 0 0 1 −2
Suponha conhecidos os valores de x2 e x4:
{x2 = rx4 = s
O sistema pode ser reescrito:1x1 = 4 +3r −5s
1x3 = −2s1x5 = −2
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 38 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Infinitas Soluções
3o caso: sistema totalmente escalonadonão se enquadra nos casos anteriores 1 −3 0 5 0 4
0 0 1 2 0 00 0 0 0 1 −2
Suponha conhecidos os valores de x2 e x4:
{x2 = rx4 = s
O sistema pode ser reescrito:1x1 = 4 +3r −5s
1x3 = −2s1x5 = −2
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 38 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Infinitas Soluções
3o caso: sistema totalmente escalonadonão se enquadra nos casos anteriores 1 −3 0 5 0 4
0 0 1 2 0 00 0 0 0 1 −2
Suponha conhecidos os valores de x2 e x4:
{x2 = rx4 = s
O sistema pode ser reescrito:1x1 = 4 +3r −5s
1x3 = −2s1x5 = −2
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 38 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Infinitas Soluções – cont.
1x1 = 4 + 3r − 5s
1x3 = −2s1x5 = −2
r e s conhecidos; sistema em 3 incógnitas: x1, x3 e x5: 1 0 0 4 + 3r − 5s0 1 0 −2s0 0 1 −2
Solução única: (4 + 3r − 5s, −2s, −2)
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 39 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Infinitas Soluções – cont.
1x1 = 4 + 3r − 5s
1x3 = −2s1x5 = −2
r e s conhecidos; sistema em 3 incógnitas: x1, x3 e x5: 1 0 0 4 + 3r − 5s0 1 0 −2s0 0 1 −2
Solução única: (4 + 3r − 5s, −2s, −2)
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 39 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Infinitas Soluções – cont.
1x1 = 4 + 3r − 5s
1x3 = −2s1x5 = −2
r e s conhecidos; sistema em 3 incógnitas: x1, x3 e x5: 1 0 0 4 + 3r − 5s0 1 0 −2s0 0 1 −2
Solução única: (4 + 3r − 5s, −2s, −2)
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 39 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Infinitas Soluções – cont.
Sistema em x1, x3 e x5:x1 = 4 +3 r −5 s
x2 = rx3 = −2 s
x4 = sx5 = −2
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 40 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Infinitas Soluções – cont.
Reintroduzindo x2 e x4:x1 = 4 +3 r −5 s
x2 = rx3 = −2 s
x4 = sx5 = −2
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 40 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Infinitas Soluções – cont.
Reintroduzindo x2 e x4:x1 = 4 +3 r −5 s
x2 = rx3 = −2 s
x4 = sx5 = −2
Conjunto-solução:
{(4 + 3r − 5s, r , −2s, s, −2) | r , s ∈ R}
ou ainda:
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 40 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Infinitas Soluções – cont.
Reintroduzindo x2 e x4:x1 = 4 +3 r −5 s
x2 = 0 +1 r +0 sx3 = 0 +0 r −2 s
x4 = 0 +0 r +1 sx5 = −2 +0 r +0 s
Conjunto-solução:
{(4 + 3r − 5s, r , −2s, s, −2) | r , s ∈ R}
ou ainda:
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 40 / 40
Sist. Lin. I
SistemasLinearesIntrodução
Definições
Geometria
Resolução
Equivalência
Eliminação de Gauss
Após Escalonamento
Infinitas Soluções – cont.
Reintroduzindo x2 e x4:x1 = 4 +3 r −5 s
x2 = 0 +1 r +0 sx3 = 0 +0 r −2 s
x4 = 0 +0 r +1 sx5 = −2 +0 r +0 s
Conjunto-solução:
{(4 + 3r − 5s, r , −2s, s, −2) | r , s ∈ R}
ou ainda:
{(4, 0, 0, 0,−2)+ r(3, 1, 0, 0, 0)+s(−5, 0,−2, 1, 0) | r , s ∈ R}
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 40 / 40