Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas
Representação de Sinais Periódicos emSéries de Fourier
Luís Caldas de Oliveira
Instituto Superior Técnico
Sinais e Sistemas – p.1/39
Luís Caldas de Oliveira
Resumo
Resposta de SLITs a exponenciais complexas
Sinais e Sistemas – p.2/39
Luís Caldas de Oliveira
Resumo
Resposta de SLITs a exponenciais complexas
Série de Fourier de sinais contínuos (CFS)
Sinais e Sistemas – p.2/39
Luís Caldas de Oliveira
Resumo
Resposta de SLITs a exponenciais complexas
Série de Fourier de sinais contínuos (CFS)
Convergência da série de Fourier
Sinais e Sistemas – p.2/39
Luís Caldas de Oliveira
Resumo
Resposta de SLITs a exponenciais complexas
Série de Fourier de sinais contínuos (CFS)
Convergência da série de Fourier
Propriedades da CFS
Sinais e Sistemas – p.2/39
Luís Caldas de Oliveira
Resumo
Resposta de SLITs a exponenciais complexas
Série de Fourier de sinais contínuos (CFS)
Convergência da série de Fourier
Propriedades da CFS
Série de Fourier de sinais discretos (DFS)
Sinais e Sistemas – p.2/39
Luís Caldas de Oliveira
Resumo
Resposta de SLITs a exponenciais complexas
Série de Fourier de sinais contínuos (CFS)
Convergência da série de Fourier
Propriedades da CFS
Série de Fourier de sinais discretos (DFS)
Propriedades da DFS
Sinais e Sistemas – p.2/39
Luís Caldas de Oliveira
Resumo
Resposta de SLITs a exponenciais complexas
Série de Fourier de sinais contínuos (CFS)
Convergência da série de Fourier
Propriedades da CFS
Série de Fourier de sinais discretos (DFS)
Propriedades da DFS
A série de Fourier e os SLITs
Sinais e Sistemas – p.2/39
Luís Caldas de Oliveira
Resumo
Resposta de SLITs a exponenciais complexas
Série de Fourier de sinais contínuos (CFS)
Convergência da série de Fourier
Propriedades da CFS
Série de Fourier de sinais discretos (DFS)
Propriedades da DFS
A série de Fourier e os SLITs
Filtragem
Sinais e Sistemas – p.2/39
Luís Caldas de Oliveira
Objectivo
Problema: precisamos uma forma eficaz de determinar asaída de um SLIT quando na sua entrada tem um sinalperiódico.
Sinais e Sistemas – p.3/39
Luís Caldas de Oliveira
Objectivo
Problema: precisamos uma forma eficaz de determinar asaída de um SLIT quando na sua entrada tem um sinalperiódico.Solução: vamos começar por estudar a resposta do SLITa exponenciais complexas.
Sinais e Sistemas – p.3/39
Luís Caldas de Oliveira
Analisador de Fourier
Sinais e Sistemas – p.4/39
Luís Caldas de Oliveira
Jean-Baptiste Fourier (1768-1830)
Tendo um conjunto completo de funções de base,qualquer função arbitrária pode ser descrito como umacombinação linear dessas funções.
Sinais e Sistemas – p.5/39
Luís Caldas de Oliveira
Função Própria de um Sistema
p(t) será uma função própria de um sistema caracterizadopela transformação T (·) se:
T (p(t)) = P p(t)
neste caso P é o valor próprio associado à função própriap(t).
Sinais e Sistemas – p.6/39
Luís Caldas de Oliveira
Funções Próprias dos SLITs
Os sinais exponenciais complexos são funçõespróprias dos SLITs
x(t) = est −→ y(t) =
∫ +∞
−∞
h(τ)es(t−τ)dτ = est
∫ +∞
−∞
h(τ)e−sτdτ
︸ ︷︷ ︸
H(s)
ou seja:y(t) = H(s)est
em que H(s) é o valor próprio associado à função própria
est.
Sinais e Sistemas – p.7/39
Luís Caldas de Oliveira
Função de Transferência
H(s) =
∫ +∞
−∞
h(t)e−stdt
No caso geral, H(s) pode ser um valor complexo:
H(s) = HR(s) + jHI(s)
= |H(s)|e j∠H(s)
Sinais e Sistemas – p.8/39
Luís Caldas de Oliveira
Soma de Exponenciais Complexas
Para analisar SLITs é útil decompor o sinal de entrada emtermos de uma soma de funções próprias:
x(t) =∑
k
akeskt
Neste caso, a saída poderá ser obtida através de:
y(t) =∑
k
akH(sk)eskt
Sinais e Sistemas – p.9/39
Luís Caldas de Oliveira
Combinação Linear de Exponenciais
Conjunto das funções de base exponenciaiscomplexas harmonicamente relacionadas:
φk(t) = e jkω0t = e jk(2π/T )t, k ∈ �
Sinais e Sistemas – p.10/39
Luís Caldas de Oliveira
Combinação Linear de Exponenciais
Conjunto das funções de base exponenciaiscomplexas harmonicamente relacionadas:
φk(t) = e jkω0t = e jk(2π/T )t, k ∈ �
Todas estas exponenciais têm período T (embora nãosendo o período fundamental).
Sinais e Sistemas – p.10/39
Luís Caldas de Oliveira
Combinação Linear de Exponenciais
Conjunto das funções de base exponenciaiscomplexas harmonicamente relacionadas:
φk(t) = e jkω0t = e jk(2π/T )t, k ∈ �
Todas estas exponenciais têm período T (embora nãosendo o período fundamental).
A combinação linear destas exponenciais temtambém período T :
x(t) =
+∞∑
k=−∞
akejkω0t =
+∞∑
k=−∞
akejk(2π/T )t
Sinais e Sistemas – p.10/39
Luís Caldas de Oliveira
Série de Fourier Contínua (CFS)
À representação de um sinal periódico pela combinaçãolinear de exponenciais complexas harmonicamenterelacionadas dá-se o nome de série de Fourier:
x(t) =
+∞∑
k=−∞
akejkω0t
Sinais e Sistemas – p.11/39
Luís Caldas de Oliveira
Série de Fourier Contínua (CFS)
À representação de um sinal periódico pela combinaçãolinear de exponenciais complexas harmonicamenterelacionadas dá-se o nome de série de Fourier:
x(t) =
+∞∑
k=−∞
akejkω0t
em que x(t) tem como período fundamental:
T0 =2π
ω0
Sinais e Sistemas – p.11/39
Luís Caldas de Oliveira
Série de Fourier Contínua (CFS)
À representação de um sinal periódico pela combinaçãolinear de exponenciais complexas harmonicamenterelacionadas dá-se o nome de série de Fourier:
x(t) =
+∞∑
k=−∞
akejkω0t
em que x(t) tem como período fundamental:
T0 =2π
ω0
aos pesos ak da combinação linear dá-se o nomecoeficientes de Fourier
Sinais e Sistemas – p.11/39
Luís Caldas de Oliveira
Determinação dos Coeficientes
x(t)e− jnω0t =
+∞∑
k=−∞
akejkω0te− jnω0t
∫ T
0
x(t)e− jnω0tdt =
∫ T
0
+∞∑
k=−∞
akejkω0te− jnω0tdt
∫ T
0
x(t)e− jnω0tdt =
+∞∑
k=−∞
ak
[∫ T
0
e j(k−n)ω0tdt
]
∫ T
0
x(t)e− jnω0tdt = anT
Sinais e Sistemas – p.12/39
Luís Caldas de Oliveira
Série de Fourier Contínua
x(t) =
+∞∑
k=−∞
akejkω0t
ak =1
T
∫
T
x(t)e− jkω0tdt
Sinais e Sistemas – p.13/39
Luís Caldas de Oliveira
Condições de Dirichlet
O somatório da série de Fourier converge se severificarem as seguintes condições:
Condição 1: x(t) tem de ser absolutamente integrávelnum período:
∫
T
|x(t)|dt < ∞
Sinais e Sistemas – p.14/39
Luís Caldas de Oliveira
Condições de Dirichlet
O somatório da série de Fourier converge se severificarem as seguintes condições:
Condição 1: x(t) tem de ser absolutamente integrávelnum período:
∫
T
|x(t)|dt < ∞
Condição 2: x(t) tem um número finito de máximos emínimos em cada período.
Sinais e Sistemas – p.14/39
Luís Caldas de Oliveira
Condições de Dirichlet
O somatório da série de Fourier converge se severificarem as seguintes condições:
Condição 1: x(t) tem de ser absolutamente integrávelnum período:
∫
T
|x(t)|dt < ∞
Condição 2: x(t) tem um número finito de máximos emínimos em cada período.
Condição 3: x(t) tem um número finito dediscontinuidades num intervalo de tempo finito eessas discontinuidades são finitas.
Sinais e Sistemas – p.14/39
Luís Caldas de Oliveira
James Beauchamp (1964)
Harmonic Tone Generator
Gerador de seisharmónicas comfrequência fundamental de0 a 2000 Hz.
Controlo das amplitudesdas seis harmónicas, dafrequência fundamental eda fase da segundaharmónica.
A frequência fundamentalera controlada por umteclado externo ou porgeradores que produziamvibrato e outros efeitos.
Sinais e Sistemas – p.15/39
Luís Caldas de Oliveira
Propriedade da Linearidade
Sex(t) −−−→
CFSak
ey(t) −−−→
CFSbk
então:Ax(t) + By(t) −−−→
CFSAak + Bbk
Sinais e Sistemas – p.16/39
Luís Caldas de Oliveira
Propriedade do Deslocamento
x(t − t0) −−−→CFS
ake− jkω0t0
x(t)e jlω0t −−−→CFS
ak−l
Sinais e Sistemas – p.17/39
Luís Caldas de Oliveira
Propriedade do Deslocamento
x(t − t0) −−−→CFS
ake− jkω0t0
x(t)e jlω0t −−−→CFS
ak−l
O deslocamento temporal só afecta a fase dos coeficientesda CFS. O seu módulo mantém-se inalterável.
Sinais e Sistemas – p.17/39
Luís Caldas de Oliveira
Inversão Temporal
x(t) −−−→CFS
ak
x(−t) −−−→CFS
a−k
Sinais e Sistemas – p.18/39
Luís Caldas de Oliveira
Inversão Temporal
x(t) −−−→CFS
ak
x(−t) −−−→CFS
a−k
A inversão temporal resulta na inversão da sequência doscoeficientes de Fourier.
Sinais e Sistemas – p.18/39
Luís Caldas de Oliveira
Propriedade da Multiplicação
x(t) −−−→CFS
ak
y(t) −−−→CFS
bk
x(t)y(t) −−−→CFS
∑+∞l=−∞ albk−l
Sinais e Sistemas – p.19/39
Luís Caldas de Oliveira
Propriedades do Conjugado
x∗(t) −−−→CFS
a∗−k
x∗(−t) −−−→CFS
a∗k
Sinais e Sistemas – p.20/39
Luís Caldas de Oliveira
Propriedades de Simetria
ℜ[x(t)] −−−→CFS
ake =1
2[ak + a∗−k]
jℑ[x(t)] −−−→CFS
ako =1
2[ak − a∗−k]
xe(t) =1
2[x(t) + x∗(−t)] −−−→
CFSℜ[ak]
xo(t) =1
2[x(t) − x∗(−t)] −−−→
CFSjℑ[ak]
Sinais e Sistemas – p.21/39
Luís Caldas de Oliveira
Relação de Parseval
A relação de Parseval para sinais periódicos contínuosvale:
1
T
∫
T
|x(t)|2dt =
+∞∑
k=−∞
|ak|2
Sinais e Sistemas – p.22/39
Luís Caldas de Oliveira
Sequências Periódicas
x(n) é uma sequência periódica de período N:
x(n + N) = x(n)
Sinais e Sistemas – p.23/39
Luís Caldas de Oliveira
Sequências Periódicas
x(n) é uma sequência periódica de período N:
x(n + N) = x(n)
A série de Fourier é uma soma pesada de exponenciaiscomplexas harmónicas:
x(n) =∑
k=<N>
akej 2π
Nkn
Sinais e Sistemas – p.23/39
Luís Caldas de Oliveira
Exponenciais Complexas Discretas
e j 2πN
(k)n = e j 2πN
(k+lN)n
N=8
N
2 π
Sinais e Sistemas – p.24/39
Luís Caldas de Oliveira
Exponenciais Complexas Discretas
e j 2πN
(k)n = e j 2πN
(k+lN)n
N=8
N
2 π
1
N
N−1∑
n=0
e j 2πN
kn =
{
1 se k = mN,
0 no caso contrário.
Sinais e Sistemas – p.24/39
Luís Caldas de Oliveira
Série de Fourier Discreta (DFS)
Análise: ak =1
N
N−1∑
n=0
x(n)e− j 2πN
kn
Síntese: x(n) =
N−1∑
k=0
akej 2π
Nkn
x(n) −−−−→DFS
ak
Sinais e Sistemas – p.25/39
Luís Caldas de Oliveira
Propriedade da Linearidade
Sex(n) −−−−→
DFSak
ey(n) −−−−→
DFSbk
então:Ax(n) + By(n) −−−−→
DFSAak + Bbk
Sinais e Sistemas – p.26/39
Luís Caldas de Oliveira
Propriedade do Deslocamento
x(n − m) −−−−→DFS
ake− j 2π
Nkm
x(n)e j 2πN
nl −−−−→DFS
ak−l
Sinais e Sistemas – p.27/39
Luís Caldas de Oliveira
Propriedade do Deslocamento
x(n − m) −−−−→DFS
ake− j 2π
Nkm
x(n)e j 2πN
nl −−−−→DFS
ak−l
O deslocamento temporal só afecta a fase dos coeficientesda DFS. O seu módulo mantém-se inalterável.
Sinais e Sistemas – p.27/39
Luís Caldas de Oliveira
Propriedades do Conjugado
x∗(n) −−−−→DFS
a∗−k
x∗(−n) −−−−→DFS
a∗k
Sinais e Sistemas – p.28/39
Luís Caldas de Oliveira
Propriedades de Simetria
ℜ[x(n)] −−−−→DFS
ake =1
2[ak + a−k]
jℑ[x(n)] −−−−→DFS
ako =1
2[ak − a−k]
xe(n) =1
2[x(n) + x∗(−n)] −−−−→
DFSℜ[ak]
xo(n) =1
2[x(n) − x∗(−n)] −−−−→
DFSjℑ[ak]
Sinais e Sistemas – p.29/39
Luís Caldas de Oliveira
Propriedade da Multiplicação
x(n) −−−−→DFS
ak
y(n) −−−−→DFS
bk
x(n)y(n) −−−−→DFS
∑
l=<N> albk−l
Sinais e Sistemas – p.30/39
Luís Caldas de Oliveira
Relação de Parseval
A relação de Parseval para sinais periódicos discretos:
1
N
∑
n=<N>
|x(n)|2dt =∑
k=<N>
|ak|2
Sinais e Sistemas – p.31/39
Luís Caldas de Oliveira
SLITs Contínuos
Se o sinal de entrada contínuo estiver representado naforma de uma série de Fourier, a saída de um SLIT podeser calculada por:
x(t) =
+∞∑
k=−∞
akejkω0t =⇒ y(t) =
+∞∑
k=−∞
akH( jkω0)e jkω0t
em que H( jω) é a resposta em frequência do sistemacom resposta impulsiva h(t):
H( jω) =
∫ +∞
−∞
h(t)e− jωtdt
Sinais e Sistemas – p.32/39
Luís Caldas de Oliveira
SLITs Discretos
No caso dos SLITs discretos, se o sinal de entrada estiverrepresentado na forma de uma série de Fourier, podemosdeterminar a sua saída com:
x(n) =∑
k=<N>
akejkω0n =⇒ y(n) =
∑
k=<N>
akH(e jkω0)e jkω0n
em que H(e jω) é a resposta em frequência do sistemacom resposta impulsiva h(n):
H(e jω) =
+∞∑
n=−∞
h(n)e− jωn
Sinais e Sistemas – p.33/39
Luís Caldas de Oliveira
Filtragem
Tipos de filtros
Filtros de balanceamento em frequência: servempara moldar o espectro de um sinal (por exemplo, ocontrole de graves e agudos de um amplificador)
Sinais e Sistemas – p.34/39
Luís Caldas de Oliveira
Filtragem
Tipos de filtros
Filtros de balanceamento em frequência: servempara moldar o espectro de um sinal (por exemplo, ocontrole de graves e agudos de um amplificador)
Filtros selectivos em frequência: seleccionam ouremovem componentes em frequência do sinal (porexemplo, o ruído de 50 Hz).
Sinais e Sistemas – p.34/39
Luís Caldas de Oliveira
Filtros selectivos
6
� -- �
H( jω)
1
Passagem RejeiçãoRejeição
ωc−ωc 0
H( jω) =
{
1, |ω| ≤ ωc
0, |ω| > ωc
Os filtros selectivos apresentam bandas de passagem ebandas de rejeição.
Sinais e Sistemas – p.35/39
Luís Caldas de Oliveira
Tipos de Filtros Selectivos
Passa-baixo: deixam passar as componentes comfrequência abaixo de um dado valor.
Sinais e Sistemas – p.36/39
Luís Caldas de Oliveira
Tipos de Filtros Selectivos
Passa-baixo: deixam passar as componentes comfrequência abaixo de um dado valor.
Passa-alto: deixam passar as componentes comfrequência acima de um dado valor.
Sinais e Sistemas – p.36/39
Luís Caldas de Oliveira
Tipos de Filtros Selectivos
Passa-baixo: deixam passar as componentes comfrequência abaixo de um dado valor.
Passa-alto: deixam passar as componentes comfrequência acima de um dado valor.
Passa-banda: deixam passar as componentes comfrequência dentro de uma dada gama.
Sinais e Sistemas – p.36/39
Luís Caldas de Oliveira
Tipos de Filtros Selectivos
Passa-baixo: deixam passar as componentes comfrequência abaixo de um dado valor.
Passa-alto: deixam passar as componentes comfrequência acima de um dado valor.
Passa-banda: deixam passar as componentes comfrequência dentro de uma dada gama.
Rejeita-banda: rejeitam as componentes comfrequência dentro de uma dada gama.
Sinais e Sistemas – p.36/39
Luís Caldas de Oliveira
Conclusões
A série de Fourier decompõe uma sequênciaperiódica numa combinação linear de exponenciaiscomplexas com frequências harmónicas.
Sinais e Sistemas – p.37/39
Luís Caldas de Oliveira
Conclusões
A série de Fourier decompõe uma sequênciaperiódica numa combinação linear de exponenciaiscomplexas com frequências harmónicas.
As exponenciais complexas são funções próprias dosSLITs
Sinais e Sistemas – p.37/39
Luís Caldas de Oliveira
Conclusões
A série de Fourier decompõe uma sequênciaperiódica numa combinação linear de exponenciaiscomplexas com frequências harmónicas.
As exponenciais complexas são funções próprias dosSLITs
Os coeficientes da série de Fourier do sinal à saídade um SLIT podem ser obtidos multiplicando oscoeficientes do sinal de entrada pela resposta emfrequência do SLIT.
Sinais e Sistemas – p.37/39
Luís Caldas de Oliveira
Conclusões
A série de Fourier decompõe uma sequênciaperiódica numa combinação linear de exponenciaiscomplexas com frequências harmónicas.
As exponenciais complexas são funções próprias dosSLITs
Os coeficientes da série de Fourier do sinal à saídade um SLIT podem ser obtidos multiplicando oscoeficientes do sinal de entrada pela resposta emfrequência do SLIT.
Os filtros são SLITs com uma resposta em frequênciaapropriada para remoção ou alteração decomponentes em frequência do sinal de entrada.
Sinais e Sistemas – p.37/39
Luís Caldas de Oliveira
FIM
Sinais e Sistemas – p.38/39
Luís Caldas de Oliveira Sinais e Sistemas – p.39/39
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