Sinais e SistemasUnidade 5 –
Representação em domínio da
frequência para sinais contínuos:Transformada de Transformada de LaplaceLaplace
Prof. Cassiano Rech, Dr. [email protected]
Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. [email protected]
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2Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
•
Introdução•
Definição da Transformada de Laplace
•
Solução de equações diferenciais linearese invariante no tempo
•
Função de Transferência•
Conceito de pólos e zeros
•
Estabilidade de sistemas
•
Sistemas com atraso de transporte•
Análise da resposta transitória
•
Análise da resposta em regime permanente
•
Resposta em frequência e Diagrama de Bode
Conteúdo da unidade
Aulas
01 e 02
Aula 03
Aula 04
Aulas
05 e
06
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3Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Aula 01
•
Introdução•
Definição da Transformada de Laplace–
Condição de existência da Transformada de Laplace
–
Transformada de Laplace
de funções do tempo–
Propriedades
–
Teoremas
–
Quadro de Transformadas de Laplace–
Quadro de Propriedades e Teoremas
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4Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Introdução
•
Marquis
Pierre‐Simon de Laplace–
Francês (1749‐1827)
–
Contemporâneo de Lagrande
e Fourrier–
Astrônomo e matemático
–
Estudou a aplicação das Leis de Newtonda gravitação ao sistema solar
–
Pesquisou a Teoria da Probabilidade•
Origem da Transformada de Laplace
–
Oliver Heaviside
(Inglês, 1850‐1925) empregou aTransformada de Laplace
na solução de equações
diferenciais“O que nós sabemos não é
muito.
O que nós não sabemos é
imenso.”(Laplace)
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5Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Introdução
•
Transformada de Laplace–
Método empregado na solução de equações diferenciais lineares•
Resposta transitória
•
Resposta em regime permanente
–
Funções no domínio “t”
Polinômios
no domínio “s”–
Derivação e integração em “t”
Operações algébricas
no domínio “s”
–
Métodos gráficos•
Prever o desempenho do sistema sem resolver as equações
diferenciais
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Definição
•
Sejamf(t)
= uma função da variável t
tal que f(t) = 0
para t
< 0
s
= uma variável complexa
•
Definição
0
stL f t F s f t e dt
s σ jω
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7Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Condição de existência
•
Exigência: A integral de Laplace
deve convergir
•
Condições de convergência–
f(t)
deve ser seccionalmente
contínua
em todo o intervalo de tempo
finito na faixa t
> 0–
f(t)
deve ser de ordem exponencial
quando t
tende ao infinito
•
f(t) é de ordem exponencial
se existir um número real positivo σ
tal que
0σt
tlim e f t
0
stf t e dt
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Condição de existência
•
Ou seja–
A função f(t) deve apresentar uma taxa de crescimento inferior
à
parcela exponencial da integral de Laplace
•
Abscissa de convergência–
Valor limite σ
= σc
para o qual
0lim ,
lim ,
σtc
t
σtc
t
e f t σ σ
e f t σ σ
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9Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Condição de existência
•
Exemplo: f(t) = A
e‐αt
lim lim lim σ α tσt σt αt
t t te f t e Ae A e
0σ α σ α cσ α
0 2 4 6 8 100
2
4
6
8
10
Tempo (s)
f(t)
A
= 10α
= ‐
σc
= 0,5 σ
= σc
/2
0 2 4 6 8 100
500
1000
1500
Tempo (s)
f(t)
A
= 10α
= ‐
σc
= 0,5 σ
= 2σc
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10Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Condição de existência
•
Funções do tipo t, sen
ωt, t
sen
ωt
σc
= 0•
Funções do tipo e‐ct, t e‐ct, e‐ct
sen
ωt
σc
= ‐c•
Funções do tipo et², t et²
Não possuem Tranf. de Laplace
•
OBS
–
Todos sinais que podem ser gerados fisicamente
possuem Transformada de Laplace
2
00 0
, para , para ,
te t Tf tt t T
Possui Transformada de Laplace
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Aplicação a funções do tempo
•
Sejam A
e α
constantes
•
Transformada de Laplace
Função exponencial
0 0
0
, para
, para αt
tf t
Ae t
0 0
α s tαt αt stL Ae Ae e dt A e dt
αt AL Ae
s α
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Aplicação a funções do tempo
•
Seja A
constante
•
Transformada de Laplace
–
Observar que é um caso particular da função exponencial, com α
= 0–
A função degrau não é
definida para t
= 0
–
A função degrau unitário
f(t) = 1(t)
é um caso particular, onde A
= 1
Função degrau
0 0
0, para , para
tf t
A t
0 0
st stL A Ae dt A e dt
AL A
s
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13Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Aplicação a funções do tempo
•
Seja A
constante
•
Transformada de Laplace
Função rampa
0 0
0, para , para
tf t
At t
0 0 00
st stst ste Ae A
L At Ate dt At dt e dts s s
2A
L Ats
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Aplicação a funções do tempo
•
Sejam A
e ω
constantes
•
Transformada de Laplace
Função senoidal
0 0
0, para
sen , para
tf t
A ωt t
senjωt jωt
ste e AL A ωt A e dt
j j s jω s jω
0
1 12 2
2 2senAω
L A ωts ω
Aj
2
s j ω s j
ω
s jω s jω
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Aplicação a funções do tempo
•
Sejam A
e ω
constantes
•
Transformada de Laplace
Função cossenoidal
0 0
0, para
cos , para
tf t
A ωt t
2 2cosAs
L A ωts ω
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16Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Aplicação a funções do tempo
•
Seja α
constante
Função transladada
1 1f t f t α t α
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17Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Aplicação a funções do tempo
•
Transformada de Laplace
•
Como f(t) = 0
para t
< 0, então f(τ) = 0
para τ
< 0–
Mudança do limite de integração
0
1 1 stL f t α t α A f t α t α e dt
0t τ α
τ t αt τ
0 0
1 1s τ α s τ α s τ α
α
A f τ τ e dτ A f τ τ e dτ A f τ e dτ
0
sα sτAe f τ e dτ
1 0,αsL f t α t α e F s α
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18Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Aplicação a funções do tempo
•
Sejam A
e t0
constantes
•
Transformada de Laplace
Função pulso retangular
00
0
0
0 0
, para
, para ,
At t
tf tt t t
0 00 0 0 00
1 1 1 1stA A A AL f t A t t t e dt L t L t t
t t t t
001 stA
L f t et s
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Aplicação a funções do tempo
•
Caso‐limite
da função pulso retangular
•
Observar que a área A
sob o impulso permanece a mesma•
Transformada de Laplace
(regra de L’Hopital)
Função impulso
000 0
0
0
0 0
lim , para
, para ,t
At t
tg tt t t
00 0 0
1lim st
t
AL g t e
t s
L g t A
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Aplicação a funções do tempo
•
A função Delta de Dirac
ou impulso unitário
é um caso particular da função impulso, quando
A
= 1
–
Muito útil na descrição de funções descontínuas
–
Pode ser obtida a partir da derivação da função degrau unitário
00
0
0 , para , para
t tδ t t
t t
0 1δ t t dt
0 01dδ t t t t
dt
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21Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Propriedades
Multiplicação por constante
Propriedade distributiva
L A f t A L f t
1 2 1 2L f t f t L f t L f t
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•
Descolamento na frequência
•
Exemplo
Propriedades
Multiplicação de f(t) por e‐at
s α tαt αt stL e f t e f t e dt f t e dt
0 0
αtL e f t F s α
αt ωL e senωt F s α
s α ω 2 2
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23Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Propriedades
•
t
é
substituído por t/α, onde α
é uma constante positiva
Mudança de escala de tempo
stt tL f f e dt
α α
0
tL f αF αs
α
tt
ααs s
1
1
s t s ttL f f t e d αt α f t e dt αF s
α
1 1 1 1
1 1 1 1 10 0
Expansão no tempo equivale a compreensãona frequência, e vice-versa
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24Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Propriedades
•
Exemplo–
Seja a função
–
A mudança na escala de tempo
por um fator 5
resulta
tt
L f L e F ss
5 55 5
5 5 1
tL f t L e F ss
11
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25Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Propriedades
•
Em alguns casos,
f(t) possui uma
função impulso em
t
= 0–
Logo, o limite inferior da integral de Laplace
deve ser claramente
especificado se diz respeito a 0‐
ou a 0+
–
Obviamente, se f(t) não possuir impulso em t
= 0
Limite inferior da Transformada
st
st st
L f t f t e dt
L f t f t e dt f t e dt L f t
00
0 0
L f t L f t
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26Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
•
A Transformada de Laplace
da derivada
de uma função é
•
Prova–
Resolvendo a integral de Laplace
por partes, tem‐se
Teoremas
Teorema da derivação real
dL f t sF s f
dt
0
st st
st e d eF s f t e dt f t f t dt
s dt s
0 00
f d dF s L f t L f t sF s f
s s dt dt
0 1 0
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27Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
•
Derivada de segunda ordem
–
Pode ser estendido à
derivada de ordem n
•
OBS–
Em controle, diz‐se que o sistema encontra‐se relaxado
–
Logo, todas as condições iniciais são nulas
Teoremas
dL f t s F s s f f
dt
22
2 0 0
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Teoremas
•
Se f(t) e df(t)/dt
forem transformáveis por Laplace
e seexistir (convergir para algum valor), então
–
O teorema do valor final relaciona o comportamento de regime estacionário
(permanente) de f(t) ao comportamento de sF(s) nas
vizinhanças de s
= 0
Teorema do valor‐final
limt
f t
lim limt s
f t sF s
0
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29Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Teoremas
•
Prova–
Tomando o limite quando s
tende a zero na equação da Transformada
de Laplace
da derivada de f(t)
lim lim limst
s s s
df t e dt sF s f sF s f
dt
0 0 00
0 0
Mas lim , logo
lim lim
st
s
st
s s
e
d df t e dt f t dt f t f f
dt dt
0
00 00 0
1
0
A partir daí resulta lim limt s
f f t sF s
0
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30Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Teoremas
•
Se f(t) e df(t)/dt
forem transformáveis por Laplace
e seexistir, então
–
Através deste teorema é
possível obter o valor de f(t) em 0+ diretamente a partir da Transformada de Laplace
de f(t)
Teorema do valor‐inicial
lims
sF s
lims
f sF s
0
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31Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Teoremas
•
Se f(t) é de ordem exponencial, então a transformada deexiste e é dada por
–
Onde
–
A integração
no domínio do tempo é convertida em divisãono domínio s
Teorema da integração real
F s fL f t dt
s s
1 0
f t dt
e para F s L f t f f t dt t 1 0 0
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32Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Quadro de Transformadas
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33Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Quadro de Transformadas (Continuação)
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(Continuação)
Quadro de Transformadas
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Quadro de Transformadas (Continuação)
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36Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Quadro de Transformadas (Continuação)
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37Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Quadro de Transformadas (Continuação)
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Quadro de Propriedades e Teoremas
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Quadro de Propriedades e Teoremas (Continuação)
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40Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Quadro de Propriedades e Teoremas (Continuação)
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