Simplificação de Expressões Simplificação de Expressões Booleanas e Circuitos LógicosBooleanas e Circuitos Lógicos
Prof. CorradiProf. Corradi
TópicosTópicos
• Revisão Álgebra BooleanaRevisão Álgebra Booleana
• Revisão portas lógicasRevisão portas lógicas
• Circuitos lógicosCircuitos lógicos– soma de produtossoma de produtos– produto de somasproduto de somas
• Simplificação por postulado da ÁlgebraSimplificação por postulado da Álgebra
• Simplificação por mapa de Karnaugh Simplificação por mapa de Karnaugh
Álgebra BooleanaÁlgebra Booleana
• Variáveis só podem assumir 1 entre Variáveis só podem assumir 1 entre 2 valores2 valores
• Uso de tabelas (tabela verdade) para Uso de tabelas (tabela verdade) para listar combinações de valores de listar combinações de valores de entrada e os correspondentes entrada e os correspondentes valores de saídavalores de saída
Álgebra BooleanaÁlgebra Booleana
• Proposição – todo enunciado que pode Proposição – todo enunciado que pode se afirmar ser verdadeiro ou falso.se afirmar ser verdadeiro ou falso.
• ExemploExemplo– Amanhã vai chover – não constitui uma Amanhã vai chover – não constitui uma
proposição, pois existe mais de duas proposição, pois existe mais de duas respostas possíveis: Sim, Talvez e Não respostas possíveis: Sim, Talvez e Não
– Lisboa é a capital de Portugal é uma Lisboa é a capital de Portugal é uma proposição proposição
Princípios da Álgebra Princípios da Álgebra BooleanaBooleana
• Não contradição: uma proposição Não contradição: uma proposição não pode ser simultaneamente não pode ser simultaneamente verdadeira e falsaverdadeira e falsa
• Terceiro excluído: uma proposição só Terceiro excluído: uma proposição só pode tomar um dos dois valores pode tomar um dos dois valores possíveis, ou é verdadeira ou falsa, possíveis, ou é verdadeira ou falsa, não sendo possível terceira hipótese.não sendo possível terceira hipótese.
Álgebra BooleanaÁlgebra Booleana
• Operações BásicasOperações Básicas– OU (OR) - Adição Lógica F = X + Y OU (OR) - Adição Lógica F = X + Y
X Y
0 00 11 01 1
F
0111
Álgebra BooleanaÁlgebra Booleana
• Operações BásicasOperações Básicas– E (AND) - Multiplicação Lógica F = X . YE (AND) - Multiplicação Lógica F = X . Y
X Y
0 00 11 01 1
F
0001
Álgebra BooleanaÁlgebra Booleana
• Operações BásicasOperações Básicas– Não (NOT) - Complemento (Negação) F = Não (NOT) - Complemento (Negação) F =
X´ ou F = X X´ ou F = X
X
01
F
10
Tabela VerdadeTabela Verdade
• Cada entrada = 1 colunaCada entrada = 1 coluna
• Cada saída = 1 colunaCada saída = 1 coluna
• As possíveis Combinações entradas As possíveis Combinações entradas podem assumir: N = 2podem assumir: N = 2nn, onde n = , onde n = quantidade de variáveis de entrada e quantidade de variáveis de entrada e N as combinações entre zeros (0) e N as combinações entre zeros (0) e uns (1).uns (1).
Tabela VerdadeTabela Verdade
S = A + B . C
A B C0 0 0 0 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1
S00101111
Portas LógicasPortas Lógicas
Porta AND (Função Multiplicação Lógica (E))
F
A
B
F = A . B
Portas LógicasPortas Lógicas
• Portas lógicas são dispositivos ou Portas lógicas são dispositivos ou circuitos lógicos que operam um ou circuitos lógicos que operam um ou mais sinais lógicos de entrada para mais sinais lógicos de entrada para produzir uma e somente uma saída, produzir uma e somente uma saída, a qual é dependente da função a qual é dependente da função implementada no circuito.implementada no circuito.
Portas LógicasPortas Lógicas
• Um computador é constituído por uma Um computador é constituído por uma infinidade de circuitos lógicos, que infinidade de circuitos lógicos, que executam as seguintes funções executam as seguintes funções básicas: básicas:
a.realizam operações matemáticas a.realizam operações matemáticas
b.controlam o fluxo dos sinais b.controlam o fluxo dos sinais
c.armazenam dados c.armazenam dados
Portas Portas LógicasLógicas
• Naturalmente, a cada operação Naturalmente, a cada operação lógica estudada na Álgebra de Boole lógica estudada na Álgebra de Boole está associada a respectiva porta está associada a respectiva porta lógica. lógica.
Portas LógicasPortas Lógicas
Porta OR (Função Adição Lógica (OU))
F
A
B
F = A + B
Portas LógicasPortas Lógicas
Porta NOT (Função Negação Lógica (Complemento))
F = A
AA
Circuitos LógicosCircuitos Lógicos
• RepresentaçãoRepresentação– Produto de SomasProduto de Somas
• lista todas as combinações das variáveis lista todas as combinações das variáveis de entrada para as quais a função de de entrada para as quais a função de saída vale 0saída vale 0
– Soma de ProdutosSoma de Produtos• lista todas as combinações das variáveis lista todas as combinações das variáveis
de entrada para as quais a função de de entrada para as quais a função de saída vale 1saída vale 1
Definição de uma função booleana através de uma tabela-verdade
Expressão algébrica da função
Soma de ProdutosSoma de Produtos Mintermo = termo-produto no qual cada variável aparece exatamente 1 vez, complementada (se bit da tabela = 0) ou não (se bit da tabela = 1)
X Y Z0 0 0 0 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1
Termo-produto X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z
mintermo m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
Produto de SomasProduto de Somas Maxtermo = termo-soma no qual cada variável aparece exatamente 1 vez, complementada (se bit da tabela = 1) ou não (se bit da tabela = 0)
X Y Z0 0 0 0 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1
Termo-soma X + Y + Z X + Y + Z X + Y + Z X + Y + Z X + Y + Z X + Y + Z X + Y + Z X + Y + Z
maxtermo M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7
NotaçõesNotações
X Y Z0 0 0 0 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1
F10100101
F = XYZ + XYZ + XYZ + XYZ = m0 + m2 + m5 + m7 = m (0,2,5,7)
Soma de Produtos
Produto de Somas F = (X + Y + Z) (X + Y + Z) (X + Y + Z) (X + Y + Z) = M1 . M3 . M4 . M6 = M(1,3,4,6)
Simplificação de Expressões Simplificação de Expressões BooleanasBooleanas
• Usada para economizar Usada para economizar componentes, tornar o circuito componentes, tornar o circuito mais rápido, mais simples de mais rápido, mais simples de fabricar e de manutenção, além de fabricar e de manutenção, além de diminuir seu tamanho.diminuir seu tamanho.
• Tipos:Tipos:– Postulados da Álgebra BooleanaPostulados da Álgebra Booleana– Mapas de KarnaughMapas de Karnaugh
Postulados da Álgebra Postulados da Álgebra BooleanaBooleana
• Identidades BooleanasIdentidades Booleanas A + 0 = A A + 0 = A 11 A . 0 = 0 A . 0 = 0 55 A = A A = A 99
A + 1 = 1 A + 1 = 1 22 A . 1 = A A . 1 = A 66
A + A = 1 A + A = 1 33 A . A = 0 A . A = 0 77
A + A = AA + A = A 44 A . A = A A . A = A 88
• Propriedade ComutativaPropriedade Comutativa
A + B = B + A A + B = B + A 1010 A . B = B . AA . B = B . A 11 11
Postulados da Álgebra Postulados da Álgebra BooleanaBooleana• Propriedade AssociativaPropriedade Associativa
(A + B) + C = A + (B + C) (A + B) + C = A + (B + C) 1212 (A. B) . C = (B. C) . A (A. B) . C = (B. C) . A 1313
• Propriedade DistributivaPropriedade DistributivaA . (B + C) = A . B + A . C A . (B + C) = A . B + A . C 1414
• ConsensoConsenso A . B + A’ . C + B . C = A . B + A’ . C A . B + A’ . C + B . C = A . B + A’ . C 1515
(A+B) . (A’+C) . (B+C) = (A+B) . (A’+C) (A+B) . (A’+C) . (B+C) = (A+B) . (A’+C) 1616
• Teorema de De MorganTeorema de De MorganA . B... = A + B + ...A . B... = A + B + ... A + B + ... = A . A + B + ... = A .
B ... B ... 1717
Expressões AuxiliaresExpressões Auxiliares
18 A + ( A . B ) = A
19 A + ( A’ . B ) = A + B
20 ( A + B’ ) . B = A . B
21 ( A . B ) + ( A . B’ ) = A
22 ( A + B ) . ( A + B’ ) = A
Simplificação pelos Simplificação pelos Postulados da Álgebra Postulados da Álgebra BooleanaBooleana
CABCBABCACBAF
CABCBAC)CB(AF
CABCBABAF
F A B1 AB C ABC
Pela prop. (6), A B1=A B
C C =1Pela prop. (4),
Pela prop. (14), A(BC) A B AC
Soma de Produtossimplificada
Simplificação pelos Simplificação pelos Postulados da Álgebra Postulados da Álgebra BooleanaBooleana
O termo poderia ter sido simplificado com o termo
CABCBABCACBAF
CAB ABC
Utilizando a propriedade (3), que permite a seguinte manipulação:
ABC ABCABC
Simplificação pelos Simplificação pelos Postulados da Álgebra Postulados da Álgebra BooleanaBooleana
Soma de Produtos simplificada (mínima, no caso)
F ABCABCABC ABC ABC Pela prop. (3), ABC ABCABC
F AB(CC)ABC (A A)BC
Pela prop. (14)
Pela prop. (4)
F A B1 AB C1BC Pela prop. (6)
F ABABCBC
Circuito LógicoCircuito Lógico
CABCBABCACBAF
A
C
F
B
1o nível 2o nível
Complexidade:4x3 + 1x4 = 16
Soma de mintermos Circuito com (lógica de ) 2 níveis
Circuito Lógico Expressão Circuito Lógico Expressão SimplificadaSimplificada
CBCBABAF
Complexidade:2x2 + 2X3 = 10
A
C
F
B
1o nível 2o nível
Soma de produtos(simplificada) Circuito com (lógica de ) 2 níveis
Simplificação por Mapa de Simplificação por Mapa de KarnaughKarnaugh• Cada célula corresponde a um mintermoCada célula corresponde a um mintermo
• Representa a função como soma de Representa a função como soma de produtosprodutos
• Para 2 variáveisPara 2 variáveis YXYm0
XYm2
XYm3
XYm1
X 0 1
0 1
• Exemplo:
F = m(1,2,3) = XY + XY + XY
0
YX 0 1
0 1
1
11
Y
Simplificação por Mapa de Simplificação por Mapa de KarnaughKarnaugh
• Simplificação algébrica é de difícil Simplificação algébrica é de difícil automatizaçãoautomatização
• Simplificação por mapa fornece uma Simplificação por mapa fornece uma maneira “visual” para a simplificaçãomaneira “visual” para a simplificação
• Baseia-se na identificação de Baseia-se na identificação de produtos vizinhosprodutos vizinhos
Simplificação por Mapa de Simplificação por Mapa de KarnaughKarnaugh
m0
m2 m3
m1
YX 0 1
0 1 região onde X = 1
região onde Y = 1
Junta-se 2n posições20 = 1 23 = 821 = 222 = 4
Simplificação por Mapa de Simplificação por Mapa de KarnaughKarnaugh
• Mapa com 3 variáveisMapa com 3 variáveis
Concatenar bit da linha com bits dacoluna para identificar mintermo
m0 m1 m3m6
m2
m4 m5 m7
00 01 11 10
01
YZX
• Mintermos não seguem a ordem crescente => útil para simplificação• 2 células vizinhas (adjacentes): mintermos diferem por uma variável
m5 e m7
XYZ XYZ
única diferença é Y
Simplificação por Mapa de Simplificação por Mapa de KarnaughKarnaugh
• Atenção para a vizinhança entre Atenção para a vizinhança entre bordasbordas
• Região com 2 células adjacentes Região com 2 células adjacentes termo com 2 literais...termo com 2 literais...
m0
m4 m6
m2m0 m1 m3
m6
m2
m4 m5 m7
00 01 11 10
01
YZ
X
Simplificação por Mapa de Simplificação por Mapa de KarnaughKarnaugh
F = m(2,3,4,5)
• Exemplo de simplificação
0 0 1
0
1
1 1 0
00 01 11 100
1
YZX
F = XY + XY
0 0 1
1
0
1 0 1
00 01 11 100
1
YZX F = m(3,4,6,7)
F = YZ + XZ
Simplificação por Mapa de Simplificação por Mapa de KarnaughKarnaugh• Mapa com 4 variáveisMapa com 4 variáveis
m0 m1 m3 m2
m6
m11
m15
m7
m9
m13
m5
m8
m12
m4
m14
m10
00 01 11 10
00
01
11
10
YZWX
• Notar adjacências através das bordas
m0
m1 m9
m8
m4 m6
m2m0
Simplificação por Mapa de Simplificação por Mapa de KarnaughKarnaugh
• Exemplo de simplificação
1 1 1
1
11
1
11
1
00 01 11 10
00
01
11
10
YZWX
1
WZ
XZF = Y + WZ + XZ
célula isolada
região com 2 células
região com 4 células
região com 8 células
termo com 4 literais
termo com 3 literais
termo com 2 literais
termo com 1 literal
Y
Simplificação por Mapa de Simplificação por Mapa de KarnaughKarnaugh
• Mapas com mais de 4 variáveis Mapas com mais de 4 variáveis tornam-se difíceis de manipulartornam-se difíceis de manipular
Don´t CaresDon´t Cares
• Saída :não importa o valor da saída Saída :não importa o valor da saída gerado por determinada combinação gerado por determinada combinação de entradasde entradas
• Entrada: é indiferente o valor da Entrada: é indiferente o valor da entrada para determinar um valor na entrada para determinar um valor na saídasaída
Funções com Saídas não Funções com Saídas não EspecificadasEspecificadas
A B C D F0 0 0 0 1 0 0 0 1 00 0 1 0 00 0 1 1 10 1 0 0 10 1 0 1 00 1 1 0 00 1 1 1 11 0 0 0 11 0 0 1 01 0 1 0 X1 0 1 1 X 1 1 0 0 X1 1 0 1 X1 1 1 0 X1 1 1 1 X
•Valor da saída não precisa ser especificado
don’t care = X
Simplificação com Don´t Simplificação com Don´t CaresCares
11X X X X
X X
11
1
00 01 11 10
00
01
11
10
CDAB
• X pode ser 0 ou 1 => o que for mais conveniente para simplificar a função
F = CD + CD
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