Professor Antonio Carlos Carneiro Barroso Colégio Estadual Dinah Gonçalves
Graduado em Ciências Naturais pela UFBAPós graduado em Metodologia e Didática de
ensino SuperiorLecionando Matemática e Biologia
http://ensinodematemtica.blogspot.comwww.profantoniocarneiro.com
Salvador-Ba
Geometria Analítica: Circunferência
Equações da circunferência - Equação reduzida Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência:
Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência. Então:
Portanto, (x - a)² + (y - b)² =r² é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as
coordenadas do centro e o raio.Observação: Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem
( C(0,0)), a equação da circunferência será x² + y² = r² .Equação geral
Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência:
Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de
centro C(2, -3) e raio r = 4. A equação reduzida da circunferência é:
( x - 2 )² +( y + 3 )² = 16 Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:
Determinação do centro e do raio da circunferência, dada a equação geral
Dada a equação geral de uma circunferência, utilizamos o processo de fatoração de trinômio quadrado perfeito para transformá-la na equação reduzida e , assim, determinamos o centro e o raio da circunferência. Para tanto, a equação geral deve obedecer a duas condições:os coeficientes dos termos x² e y² devem ser iguais a 1; não deve existir o termo xy. Então, vamos determinar o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é x² + y² - 6x + 2y - 6 = 0. Observando a equação, vemos que ela obedece às duas condições. Assim:1º passo: agrupamos os termos em x e os termos em y e isolamos o termo independente x² - 6x + _ + y² + 2y + _ = 62º passo: determinamos os termos que completam os quadrados perfeitos nas variáveis x e y, somando a ambos os membros as parcelas correspondentes
3º passo: fatoramos os trinômios quadrados perfeitos ( x - 3 ) ² + ( y + 1 ) ² = 16
4º passo: obtida a equação reduzida, determinamos o centro e o raio
Posição de um ponto em relação a uma circunferência Em relação à circunferência de equação ( x - a )2 + ( y - b )2 = r2, o ponto P(m, n) pode ocupar as seguintes posições:a) P é exterior à circunferência
b) P pertence à circunferência
Assim, para determinar a posição de um ponto P(m, n) em relação a uma circunferência, basta substituir as coordenadas de P na expressão ( x - a )2 +
( y - b )2 - r2:se ( m - a)2 + ( n - b)2 - r2 > 0, então P é exterior à circunferência;
se ( m - a)2 + ( n - b)2 - r2 = 0, então P pertence à circunferência; se ( m - a)2 + ( n - b)2 - r2 < 0, então P é interior à circunferência.
c) P é interior à circunferência
Posição de uma reta em relação a uma circunferência
Dadas uma reta s: Ax + Bx + C = 0 e uma circunferência de equação ( x - a)2 + ( y - b)2 = r2, vamos examinar as posições relativas entre s e:
Também podemos determinar a posição de uma reta em relação a uma circunferência calculando a distância da reta ao centro da circunferência.
Assim, dadas a reta s: Ax + By + C = 0 e a circunferência :(x - a)2 + ( y - b )2 = r2, temos:
Assim:
Condições de tangência entre reta e circunferência
Dados uma circunferência e um ponto P(x, y) do plano, temos:a) se P pertence à circunferência, então existe uma única reta tangente à circunferência por P
b) se P é exterior à circunferência, então existem duas retas tangentes a ela por P
c) se P é interior à circunferência, então não existe reta tangente à circunferência passando pelo ponto P
A figura obtida é uma elipse.
Elipse
Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e
sendo 2a um número real maior que a distância entre F1 e F2, chamamos de elipse o conjunto dos pontos do plano tais que a soma das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a
2a. Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo
plano e F1F2 < 2a, temos:
Observações:1ª) A Terra descreve uma trajetória elíptica em torno do sol, que é um dos
focos dessa trajetória. A lua em torno da terra e os demais satélites em relação a seus respectivos
planetas também apresentam esse comportamento.2ª) O cometa de Halley segue uma órbita elíptica, tendo o Sol como um dos
focos.3ª) As elipses são chamadas cônicas porque ficam configuradas pelo corte feito em um cone circular reto por um plano oblíquo em relação à sua base.
Elementos
Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos:
focos : os pontos F1 e F2 centro: o ponto O, que é o ponto médio de
semi-eixo maior: a semi-eixo menor: b
semidistância focal: c vértices: os pontos A1, A2, B1, B2
eixo maior:
eixo menor:
distância focal:
Relação fundamental Na figura acima, aplicando o Teorema de Pitágoras ao tri6angulo OF2B2 , retângulo em O, podemos escrever a seguinte relação fundamental:
a2 =b2 + c2
Excentricidade
Chamamos de excentricidade o número real e tal que:
Pela definição de elipse, 2c < 2a, então c < a e, conseqüentemente, 0 < e < 1.Observação:Quando os focos são muito próximos, ou seja, c é muito pequeno, a elipse se aproxima de uma circunferência.
Equações
Vamos considerar os seguintes casos:
a) elipse com centro na origem e eixo maior horizontal Sendo c a semidistância focal, os focos da elipse são F1(-c, 0) e F2(c,
0):
Aplicando a definição de elipse , obtemos a equação da elipse:
b) elipse com centro na origem e eixo maior vertical Nessas condições, a equação da elipse é:
Hipérbole Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a
um número real menor que a distância entre F1 e F2 , chamamos de
hipérbole o conjunto dos pontos do plano tais que o módulo da diferença das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.
Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2 = 2c, temos:
A figura obtida é uma hipérbole. Observação:Os dois ramos da hipérbole são determinados por um plano paralelo ao eixo de simetria de dois cones circulares retos e opostos pelo vértice:
A figura obtida é uma hipérbole. Observação:Os dois ramos da hipérbole são determinados por um plano
A figura obtida é uma hipérbole. Observação:Os dois ramos da hipérbole são determinados por um plano paralelo ao eixo de simetria de dois cones circulares retos e opostos pelo vértice:paralelo ao eixo de simetria de dois cones circulares retos e opostos pelo vértice:
A figura obtida é uma hipérbole. Observação:Os dois ramos da hipérbole são determinados por um plano paralelo ao eixo de simetria de dois cones circulares retos e opostos pelo vértice:
Elementos
Observe a hipérbole representada a seguir. Nela, temos os seguintes
elementos:
focos: os pontos F1 e F2 vértices: os pontos A1 e A2
centro da hipérbole: o ponto O, que é o ponto médio de semi-eixo real: a
semi-eixo imaginário: b
semidistância focal: c
semi-eixo real: a semi-eixo imaginário: b semidistância focal: c
distância focal: eixo real: eixo imaginário:
Excentricidade Chamamos de excentricidade o número real e tal que: Como c > a, temos e > 1.
Equações Vamos considerar os seguintes casos:
a) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Ox
Aplicando a definição de hipérbole:
Obtemos a equação da hipérbole:
F1 (-c, 0)F2 ( c, 0)
b) hipérbole com centro na origem e focos no eixo Oy
Nessas condições, a equação da hipérbole é:
Hipérbole eqüilátera Uma hipérbole é chamada eqüilátera
quando as medidas dos semi-eixos real e
imaginário são iguais:
a = b
Equação
Vamos considerar os seguintes casos:
a) eixo real horizontal e C(0, 0)
As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, suas equações são da forma: b) eixo vertical e C(0, 0) As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, suas equações são da forma:
Parábola Dados uma reta d e um ponto F , de um plano , chamamos de parábola o conjunto de pontos do plano eqüidistantes de F e d. Assim, sendo, por exemplo, F, P, Q e R pontos de um plano e d uma reta desse mesmo plano, de modo que nenhum ponto pertença a d, temos:
Observações:1ª) A parábola é obtida seccionando-se obliquamente um cone circular reto:
2ª) Os telescópios refletores mais simples têm espelhos com secções planas parabólicas.
3ª) As trajetórias de alguns cometas são parábolas, sendo que o Sol ocupa o foco.
4ª) A superfície de um líquido contido em um cilindro que gira em torno de seu eixo com velocidade constante é parabólica.
Elementos
Observe a parábola representada a seguir. Nela, temos os
seguintes elementos:
foco: o ponto F diretriz: a reta d
vértice: o ponto V parâmetro: p
Então, temos que:o vértice V e o foco F ficam numa mesma reta, o eixo de simetria e.
Assim, sempre temos . •DF =p •V é o ponto médio de
Equações Vamos considerar os seguintes casos:a) parábola com vértice na origem, concavidade para a direita e eixo de simetria horizontal
• Como a reta d tem equação e na parábola temos:
• ;
• P(x, y);
• dPF = dPd ( definição);
• obtemos, então, a equação da parábola: y2 = 2px
• b) parábola com vértice na origem, concavidade para a esquerda e eixo de simetria horizontal
• Nessas condições, a equação da parábola é: y² = -2px
c) parábola com vértice na origem, concavidade para cima e eixo de simetria vertical, a equação é: x²=2py
• d) parábola com vértice na origem, concavidade para baixo e eixo de simetria vertical
x²= - 2py
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