S
Teste de HipóteseTeste de Hipótese
distribuição desconhecidae/ou
parâmetros desconhecidos
S
Teste de HipóteseTeste de Hipótese
amostra
inferir certas características da população
distribuição desconhecidae/ou
parâmetros desconhecidos
Xestimar
2estimars2
pestimarp̂
1 2X Xestimar
1 2
Intervalode
Confiança
Teste de HipóteseTeste de Hipótese
S
amostra
= 100
107,56X
Uma população com média = 100 conhecida poderia produzir uma amostra com média ?107,56X
Hipóteses H0 : = 100 H1: 100
Xz
n
Se H0 é verdadeira, então
100~ (0,1)
Xz N
n
(hipótese nula)(hipótese alternativa)
~ (0,1)N
z >>> 0Se H0 falsa
Teste de HipóteseTeste de HipóteseHipóteses H0 : = 100 H1: 100
~ (0,1)X
z N
n
Se H0 é verdadeira, então
100~ (0,1)
Xz N
n
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +0
(0,1)N
zcrít-zcrít
2
2
1
z = 0Se H0 verdadeira
z <<< 0Se H0 falsa
aceitaçãode H0
rejeiçãode H0
rejeiçãode H0
Região Crítica:
•aceito H0 se –zcrít < z < zcrít P(–zcrít < z < zcrít) = 1 - •rejeito H0 caso contrário P(|z| > zcrít) =
Conclusão (sempre associada a um nível de significância)
Teste de HipóteseTeste de HipóteseHipóteses H0 : = 100 H1: > 100 (teste unilateral)
~ (0,1)X
z N
n
Se H0 é verdadeira, então
100~ (0,1)
Xz N
n
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +0
(0,1)N
zcrít
1
aceitaçãode H0
rejeiçãode H0
Região Crítica:
•aceito H0 se z < zcrít P(z < zcrít) = 1 - •rejeito H0 caso contrário P(z > zcrít) =
Conclusão (sempre associada a um nível de significância)
Teste de Hipótese – Erros I e IITeste de Hipótese – Erros I e IIHipóteses H0 : = 0
H1: > 0
Existe a possibilidade de se selecionar uma amostra de uma população com média 0 e obter alto de forma que leve a conclusão errada de que H0 é falsa?
X
Sim. Este erro é chamado de erro do tipo I e equivale ao nível de significância .
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +0
2
0( , )Nn
1
crítX
P(rejeitar H0 / H0 é verdadeira) = P(aceitar H0 / H0 é verdadeira) = 1 -
0Xz
n
0crítcrít
Xz
n
0crít crítX zn
Teste de Hipótese – Erros I e IITeste de Hipótese – Erros I e IIHipóteses H0 : = 0
H1: > 0
Existe a possibilidade de se selecionar uma amostra de uma população com média 1 (> 0) e obter de forma que leve a conclusão errada de que H0 é verdadeira?
X
Sim. Este erro é chamado de erro do tipo II ou erro .
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- 0
2
0( , )Nn
1
crítX
P(aceitar H0 / H1 é verdadeira) = P(rejeitar H0 / H1 é verdadeira) = 1 - (poder do
teste)
+1
2
1( , )Nn
aceitaçãode H0
Teste de Hipótese – Erros I e IITeste de Hipótese – Erros I e IIHipóteses H0 : = 0
H1: > 0
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- 0
2
0( , )Nn
1
crítX +1
2
1( , )Nn
H0 é verd. H0 é falso
Aceita H0
Rejeita H0
1 -
1 -
Alternativas para diminuir :
• distanciar 1 de 0
• aumentar • aumentar n
Aceito H0, ou seja, a nova técnica não melhora significativamente (a 1%) a tensão de ruptura
Teste de HipóteseTeste de HipóteseExemplo: A tensão de ruptura de cabos produzidos por um fabricante
apresenta média () de 1800 kg e desvio padrão () de 100 kg. Mediante nova técnica de produção, proclamou-se que a tensão de ruptura pode ter aumentado. Para testar essa declaração, selecionou-se uma amostra de 50 cabos, chegando-se a uma média amostral de 1830 kg. Pode-se confirmar a declaração ao nível de significância de 1%?H0 : = 1800H1: > 1800
~ (0,1)X
z N
n
Se H0 é verdadeira, então
1800~ (0,1)
Xz N
n
1830 18002,12
100
50
z
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +0
(0,1)N
1%
99%
zcrít = ?2,33
aceito H0 se z < 2,33rejeito H0 se z > 2,33
Conclusão:Aceito H0
Teste de HipóteseTeste de HipóteseExemplo: Usando o mesmo exemplo anterior, calcule a probabilidade de
se aceitar H0 ( = 1800), para o caso da verdadeira média ser 1850 kg.
H0 : = 1800H1: = 1850
( 2,33/ 1850)P Z
= P(aceitar H0 / H1 é verdadeiro)
1800( 2,33/ 1850)
100
50
XP
( 1832,95/ 1850)P X 0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- 1800
1%
99%
H0
1832,95
H1
+1850
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +0
(0,1)N
1%
99%
zcrít = ?2,33
1850 1832,95 1850( )
100 100
50 50
XP
( 1,21)P Z ( 1,21)P Z 0,5 0,3869 0,1131
Teste de Hipótese – valor-P (Teste de Hipótese – valor-P (p-valuep-value))Toda conclusão de um teste de hipótese está associada a um nível de
significância.Por exemplo: “Com base num teste z unilateral, pôde-se concluir que as
médias 1 e 2 são diferentes significativamente a 5%, uma vez que a estatística z obtida foi de 2,5 (zcrítico = 1,645)”.
As médias 1 e 2 continuariam ser significativamente diferentes caso fosse adotado um nível de significância de 1%?
2,5
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +0
(0,1)N
5%
95%
1,645
Aceita H0 Rejeita H0
H0 : 1 - 2 = 0H1: 1 - 2 > 0
1 2
2 21 2
1 2
~ (0,1)
2,5
X Xz N
n n
z
Se H0 é verdadeira, então
1 2 1 2
2 21 2
1 2
~ (0,1)X X
z N
n n
Teste de Hipótese – valor-P (Teste de Hipótese – valor-P (p-valuep-value))Toda conclusão de um teste de hipótese está associada a um nível de
significância.Por exemplo: “Com base num teste z unilateral, pôde-se concluir que as
médias 1 e 2 são diferentes significativamente a 5%, uma vez que a estatística z obtida foi de 2,5”.
As médias 1 e 2 continuariam ser significativamente diferentes caso fosse adotado um nível de significância de 1%?
2,5
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +0
(0,1)N
1%
99%
2,33
Aceita H0 Rejeita H0
H0 : 1 - 2 = 0H1: 1 - 2 > 0
Se H0 é verdadeira, então
SimPara que valores de nível de significância, as médias 1 e 2 poderiam ser
consideradas iguais?
1 2
2 21 2
1 2
~ (0,1)
2,5
X Xz N
n n
z
Teste de Hipótese – valor-P (Teste de Hipótese – valor-P (p-valuep-value))Toda conclusão de um teste de hipótese está associada a um nível de
significância.Por exemplo: “Com base num teste z unilateral, pôde-se concluir que as
médias 1 e 2 são diferentes significativamente a 5%, uma vez que a estatística z obtida foi de 2,5”.
2,5
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +0
(0,1)N
Aceita H0 Rejeita H0
H0 : 1 - 2 = 0H1: 1 - 2 > 0
Se H0 é verdadeira, então
Para que valores de nível de significância, as médias 1 e 2 poderiam ser consideradas iguais?
?0,0062
Pode-se aceitar H0 para qualquer nível de significância () menor que 0,0062.
valor-P1 2
2 21 2
1 2
~ (0,1)
2,5
X Xz N
n n
z
Teste de Hipótese – valor-P (Teste de Hipótese – valor-P (p-valuep-value))Exemplo: Foram coletadas amostras (50 pontos) em mapas a fim de
avaliar sua exatidão. Procedeu-se o teste z para verificar quais deles possuíam exatidão (p) de 0,90. A tabela abaixo apresenta a exatidão estimada, o resultado do teste (estatística z) e o valor-P de cada mapa.
z valor-P
Mapa 1 0,87 -0,707 0,2397
Mapa 2 0,62 -6,600 2,07e-11
Mapa 3 0,82 -1,886 0,0297
Mapa 4 0,84 -1,414 0,0786
p̂
Quais mapas possuem exatidão menor que 0,90, com 5% de significância?
Quais mapas possuem exatidão menor que 0,90, com 1% de significância?
Mapas 2 e 3
Somente Mapa 2
p̂ pz
pqn
Teste de Hipótese (resumo)Teste de Hipótese (resumo)X
z
n
Xt
s
n
22
2
( 1)n s
2 21 22 22 1
sF
s
p̂ pz
pqn
para (0,1)N
1nt
se 2 é conhecida
se 2 é desconhecida
para 2 2
1n
para 1 21, 1n nF
2122
para p (0,1)N
para p1 – p2 (0,1)N
para 1 - 2
se e são conhecidas
se e são desconhecidas, mas
21 2
2
21 2
2 2 21 2
(0,1)N
1 2 2n nt
gt se e são desconhecidas, mas21 2
2 2 21 2
1 2 1 2
2 21 2
1 2
( ) ( )X Xz
n n
1 2 1 2homo 2 2
1 1 2 2
1 2 1 2
( ) ( )
( 1) ( 1) 1 1
2
X Xt
n s n s
n n n n
1 2 1 2hetero 2 2
1 2
1 2
( ) ( )X Xt
s s
n n
21
2211 ˆˆˆ
nn
pnpnp
1 2 1 2
1 2
ˆ ˆ( ) ( )
1 1ˆ ˆ
p p p pz
pqn n
Teste t pareadoTeste t pareado10 pontos são escolhidos em cada imagem
Imagem A Imagem B
Esq
uem
a 1
Esq
uem
a 2
amostra A B1 12 15
2 34 17
3 16 21
4 28 27
5 15 25
6 17 32
7 23 15
8 13 19
9 29 29
10 31 30
amostra A B1 12 11
2 34 37
3 16 18
4 28 28
5 15 18
6 17 19
7 23 24
8 13 15
9 29 32
10 31 33
Teste t pareadoTeste t pareadoEsq
uem
a 1
Esq
uem
a 2
amostra A B1 12 15
2 34 17
3 16 21
4 28 27
5 15 25
6 17 32
7 23 15
8 13 19
9 29 29
10 31 30
amostra A B1 12 11
2 34 37
3 16 18
4 28 28
5 15 18
6 17 19
7 23 24
8 13 15
9 29 32
10 31 33
2
2
21,8 66,84
23,0 41,11A A
B B
X s
X s
1,63calcF
0,35calct
2 2A B (Ac. H0 a 5%)
A B (Ac. H0 a 5%)
Teste t
2
2
21,8 66,84
23,5 74,94A A
B B
X s
X s
0,89calcF (valor-P = 0,57)
0,43calct (valor-P = 0,34)
2 2A B (Ac. H0 a 5%)
A B (Ac. H0 a 5%)
Teste t
2
1, 12
22 2
~
~( 1) ( 1)1 1
2
A B
A B
Acalc n n
B
A Bcalc n n
A A B B
A B A B
sF F
s
X Xt t
n s n sn n n n
Se H0 verdadeiro
H0 : A = B
H1: A > B
H0 : A = B
H1: A < B
(valor-P = 0,24)
(valor-P = 0,37)
Teste t pareadoTeste t pareadoEsq
uem
a 1
Esq
uem
a 2
amostra A B1 12 15
2 34 17
3 16 21
4 28 27
5 15 25
6 17 32
7 23 15
8 13 19
9 29 29
10 31 30
amostra A B A-B1 12 11 1
2 34 37 -3
3 16 18 -2
4 28 28 0
5 15 18 -3
6 17 19 -2
7 23 24 -1
8 13 15 -2
9 29 32 -3
10 31 33 -2
2
2
21,8 66,84
23,0 41,11A A
B B
X s
X s
1,63calcF (valor-P = 0,24)
0,35calct (valor-P = 0,37)
2 2A B (Ac. H0 a 5%)
A B (Ac. H0 a 5%)
Teste t
Teste t pareado21,7 1,79A B A BX s
H0 : A-B = 0H1: A-B < 0
1~A Bcalc n
A B
Xt t
s
n
Se H0 verdadeiro4,02calct
(valor-P = 0,0015)
0A B (Rej. H0 a 5%)
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