ESTUDO DA FENDILHAO EM LAJES RESTRINGIDAS, DEVIDA AO EFEITO
CONJUNTO DA RETRAO E DAS AES
DISTRIBUDAS NO PISO
JORGE FREIRE DE CARVALHO
Dissertao submetida para satisfao parcial dos requisitos do grau de
MESTRE EM ENGENHARIA CIVIL ESPECIALIZAO EM ESTRUTURAS
Orientador: Professor Doutor Rui Manuel Carvalho Marques de Faria
Coorientador: Professor Doutor Carlos Filipe Ferreira de Sousa
JUNHO DE 2013
MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA CIVIL 2012/2013
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Tel. +351-22-508 1901
Fax +351-22-508 1446
Editado por
FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO
Rua Dr. Roberto Frias
4200-465 PORTO
Portugal
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mencionado o Autor e feita referncia a Mestrado Integrado em Engenharia Civil -
2012/2013 - Departamento de Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia da Universidade
do Porto, Porto, Portugal, 2013.
As opinies e informaes includas neste documento representam unicamente o ponto de
vista do respetivo Autor, no podendo o Editor aceitar qualquer responsabilidade legal ou
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minha famlia
Nothing is our own except the few cubic centimetres inside your skull
George Orwell
Estudo da Fendilhao em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retrao e Das Aes Distribudas No Piso
i
AGRADECIMENTOS
Em primeiro lugar expresso o meu apreo ao Professor Rui Faria, orientador cientfico da presente
dissertao, pelo apoio, motivao e disponibilidade prestada ao longo da realizao deste trabalho. A
sua orientao e ensinamentos foram importantes no s para uma correta realizao deste trabalho
mas tambm para a minha vida futura profissional.
Estou tambm grato ao Professor Carlos Sousa, co-orientador cientfico desta dissertao, pela ajuda
prestada na anlise dos modelos numricos realizados e por todos os conhecimentos transmitidos
bastante teis ao longo da realizao desta dissertao.
Gostaria tambm de agradecer ao Professor Mrio Pimentel e aos colegas do LABEST, em especial ao
Lus Leito, pela disponibilizao do software e concelhos uteis de utilizao do mesmo.
A todos os meus amigos que me apoiaram e motivaram atravs da sua amizade para que a realizao
deste trabalho fosse bem sucedida. De diferentes formas a ajuda deles foi importante.
Ao concluir este trabalho no poderia deixar de agradecer aos meus pais e minha irm por terem sido
um exemplo durante toda a minha vida. Pelo apoio e dedicao que sempre me deram e por todas as
possibilidades que me proporcionaram. Tornam-se poucas as palavras que traduzem o meu
agradecimento.
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RESUMO
No presente trabalho elaborado o estudo da fendilhao em lajes macias armadas numa direo,
fortemente restringidas axialmente, pela existncia de paredes ou ncleos de caixas de elevadores,
tendo tambm em considerao o efeito das aes distribudas no piso. Como essas lajes se encontram
fortemente restringidas, as deformaes impostas devidas retrao esto impedidas, originado um
esforo axial de trao na laje, provocando assim o aparecimento de fendas. Deste modo, a laje
encontra-se submetida a flexo composta com trao em situaes de servio.
Com vista a perceber este fenmeno, inicialmente caracterizou-se o comportamento diferido do beto
no fendilhado atravs dos fenmenos de retrao e fluncia, e a modelao do comportamento do
beto fendilhado, atravs dos efeitos de tension softenning e tension stiffening, tendo em conta um
modelo de mltiplas fendas fixas com decomposio de extenses, permitindo a combinao dos
efeitos de fendilhao, retrao, fluncia e variaes de temperatura.
Numa fase seguinte, procedeu-se anlise de tirantes de beto armado com diferentes percentagens de
armadura, sujeitos a: (i) uma deformao imposta externa, provocada por um assentamento de apoio
horizontal; (ii) uma deformao imposta interna (retrao). Com a anlise destes tirantes, pretendia-se
perceber qual a diferena, em termos de variao do esforo axial e abertura de fendas, devida ao tipo
de deformao imposta (externa ou interna), e a importncia que essa variao pode ter no
dimensionamento de estruturas de beto armado. Com estas anlises, pretendia-se tambm
compreender e validar o procedimento empregue na anlise no-linear.
Posteriormente, foram estudadas lajes, com diferentes tipos de vos, apoios estruturais e espessuras. O
tipo de lajes em estudo, encontram-se fendilhadas em fase de servio, no sendo possvel estimar de
modo simples o esforo axial instalado. Assim, comeou-se por estimar a armadura necessria, usando
procedimentos correntes de projeto, considerando dois valores limite para o esforo axial instalado: (i)
esforo axial N=0; (ii) esforo axial N=Ncr. Numa ltima etapa, recorrendo a uma anlise no linear,
empregando o programa de clculo DIANA, obteve-se o esforo axial verdadeiramente instalado na
laje, valor esse que pode ento ser usado na determinao da quantidade de armadura que garante o
cumprimento do limite mximo para a abertura de fendas (sendo considerado, neste trabalho, uma
limite de 0,3 mm). Concluiu-se que o esforo axial verdadeiramente instalado bastante inferior ao
esforo de fendilhao Ncr=Acfctm, tendo sido possvel obter valores indicativos, a usar em projeto,
para o valor do esforo axial verdadeiramente instalado, em percentagem do esforo de fendilhao.
Foi tambm avaliada a importncia da dispensa de armaduras, em termos de comportamento em
servio, assim como a resistncia ao esforo transverso destas lajes.
PALAVRAS CHAVE: retrao, deformao imposta, laje axialmente restringida, fendilhao, esforo
axial.
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ABSTRACT
The presente work focuses on the analysis of cracking in uni-directional solid slabs, axially restrained
by the presence of earth retaining walls or bracing walls, considering the influence of vertical loads. In
these structures, shrinkage deformations are heavily restrained, giving rise to important axial forces,
and consequently cracking generally occurs. Thus, the slab is subjected to bending and axial forces, in
service.
In order to understand this phenomenon, initial studies were carried out, focusing on the numerical
simulation of: (i) the long-term behaviour of non-cracked concrete structures, considering the effects
of of shrinkage and creep; (ii) the mechanical response of concrete structures after cracking,
considering the effects of tension softening and tension stiffening (by employing a model of multiple
fixed cracks with strain decomposition, which makes possible the consideration of creep, shrinkage
and temperature effects).
Then, reinforced concrete ties with different reinforcement ratios were analysed, considering the
following actions: i) external imposed deformation caused by a support displacement; ii) internal
imposed deformation (shrinkage). The main purpose of these analyses consisted in understanding the
influence of the nature of imposed deformations (internal or external), in terms of axial force in the tie,
crack openings, and consequences for structural design works. These analyses also aimed at
understanding and validating the adopted procedure for nonlinear analysis.
Finally, different reinforced concrete slabs (with different spans, support conditions and thicknesses)
were analysed. In these structures, the applied axial force (in service) can hardly been quantified by
means of current analysis procedures. That effort can be quantified by using the adopted nonlinear-
analysis procedure. Thus, lower- and upper-bound values for the required areas of steel reinforcement
were initially quantified (by applying current design procedures): (i) a lower-bound value was
estimated considering an axial force N = 0; (ii) an upper-bound limit was calculated considering N =
Ncr in the verification of the maximum crack widths (which, in the present work, were limited to 0.3
mm). Then, nonlinear analyses (using the finite element package DIANA) were carried out, in order to
obtain realistic estimates for the applied axial force in service. It was found that the actual applied
axial force, in service, is significantly lower than cracking effort Ncr=fctm*Ac. Indicative values for the
applied axial force could be established, in percentage of the cracking effort. Some considerations
regarding the curtailment of tensile reinforcements and shear strength were also made
KEYWORDS: shrinkage, imposed deformations axially restrained slab, cracking, axial force,
nonlinear analysis.
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NDICE GERAL
AGRADECIMENTOS ............................................................................................................................ i
RESUMO ........................................................................................................................................... iii
ABSTRACT.......................................................................................................................................... v
1 Introduo ....................................................................................................................................... 1
1.1. Enquadramento do tema e objetivos da dissertao ................................................................ 1
1.2. Organizao em captulos ...................................................................................................... 2
2 Modelao do Beto fendilhado, incluindo os efeitos da retrao e da fluncia ................................ 5
2.1. Introduo ............................................................................................................................. 5
2.2. Comportamento diferido do beto no fendilhado .................................................................. 6
2.2.1. Retrao ...................................................................................................................... 6
2.2.2. Evoluo da retrao e da tenso no beto .................................................................... 8
2.2.3. Fluncia ......................................................................................................................10
2.2.4. Curage e Aging ...........................................................................................................13
2.3. Comportamento do beto fendilhado .....................................................................................15
2.3.1. Modelos de fendilhao ..............................................................................................15
2.3.2. Definio do Diagrama de Reteno de Tenses de Trao no Beto Simples,tension
softening. ...................................................................................................................16
2.3.3. Reteno de Tenses de Trao no Beto Armado,Tension Stiffenning .....................18
2.3.4. Abertura de Fendas segundo o MC90 (CEB-FIP, 1991) ..............................................23
2.4. Consideraes finais .............................................................................................................24
3 Simulao da fendilhao em tirantes de beto armado devido a deformaes impostas internas e
externas .........................................................................................................................................25
3.1. Introduo ............................................................................................................................25
3.2. Caracterizao das estruturas em anlise e do modelo adotado ..............................................26
3.2.1 Materiais, geometria e condies de apoio ..................................................................26
3.2.2 Esquema de integrao e definio das zonas de stiffening e softening .........................27
3.2.3 Malha de elementos finitos e variao da resistncia de trao do beto ao longo dos
elementos finitos. ........................................................................................................28
3.3. Tirante sujeito a uma deformao imposta externa ................................................................28
3.3.1 Modelao da deformao imposta e anlise numrica incremental. ............................29
3.3.2 Anlise da variao do esforo axial ...........................................................................30
3.3.3 Anlise da Abertura de Fendas ....................................................................................32
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3.4. Tirante sujeito a uma deformao imposta interna ................................................................. 33
3.4.1 Anlise do Esforo Axial ............................................................................................ 34
3.4.2 Tenso no ao e no beto na seo da fenda ................................................................ 37
3.4.3 Anlise da abertura de fendas...................................................................................... 39
3.5. Concluses ........................................................................................................................... 40
4 Simulao de lajes sob a ao de cargas verticais com impedimento das deformaes devido
retrao. ......................................................................................................................................... 41
4.1. Introduo ............................................................................................................................ 41
4.2. Descrio do caso de estudo e do modelo adotado ................................................................ 43
4.2.1. Propriedades dos Materiais e modelao das aes...................................................... 43
4.2.2. Tamanho dos elementos finitos e sua importncia. ...................................................... 44
4.2.3. Clculo da abertura de fendas e tenso do ao na seo da fenda ................................. 46
4.3. Estimativa da espessura e armadura necessria com base em metodologias correntes de
dimensionamento. ................................................................................................................ 46
4.3.1. Deformao ................................................................................................................ 46
4.3.2. Estado limite ltimo (ELU) e estado limite de servio (ELS)....................................... 48
4.4. Analise no linear ................................................................................................................. 54
4.4.1. Dispensa de armaduras ............................................................................................... 59
4.4.2. Esforo transverso ...................................................................................................... 61
4.5. Concluses ........................................................................................................................... 62
5 Concluses e desenvolvimentos futuros ......................................................................................... 63
5.1. Concluses ........................................................................................................................... 63
5.2. Desenvolvimentos futuros .................................................................................................... 65
Bibliografia ...................................................................................................................................... 66
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NDICE DE FIGURAS
Fig. 2.1 Componentes ci(t0), cc(t) e cs(t) da deformao total de um elemento de beto sujeito a
tenso constante. (Sousa, 2004) ......................................................................................................... 6
Fig. 2.2 Modelo utilizado na caracterizao do fenmeno de retrao. ............................................. 8
Fig. 2.3 Evoluo da tenso no beto devido retrao com o tempo.............................................. 9
Fig. 2.4 Evoluo da extenso de retrao do beto com o tempo ................................................. 10
Fig. 2.5 Modelo usado na caracterizao da fluncia. .................................................................... 11
Fig. 2.6 Tenso constante instalada no beto. ................................................................................ 11
Fig. 2.7 Evoluo da Fluncia do beto com o tempo. .................................................................... 12
Fig. 2.8 Evoluo da retrao para Aging 3 dia Curage 5 dias ........................................................ 14
Fig. 2.9 Evoluo da retrao para Aging 14 dias Curage 0 dias. ................................................... 14 Fig. 2.10 Modelos de tension cut-off implementados no programa. (DIANA, 2012) ......................... 16
Fig. 2.11 Diagrama de reteno de tenses de trao no beto simples (Sousa, 2004). ................. 17 Fig. 2.12 Diagrama de reteno de trao no beto simples considerado pelo software. ................ 18
Fig. 2.13 Determinao da rea de beto efetivo: a) vigas; b) lajes; c) elementos em trao. (CEB-
FIP, 1991) ......................................................................................................................................... 19
Fig. 2.14 Diagrama de reteno de tenses de trao em elementos de beto armado. (Sousa,
2004) ................................................................................................................................................ 19
Fig. 2.15 Diagrama tenso-extenso para um tirante tracionado (Sousa, 2004). ............................. 21
Fig. 2.16 Diagrama tenso-extenso considerado para a armadura no presente estudo. ................ 22
Fig. 2.17 Diagrama, ilustrativo, de reteno de tenses de trao em elementos de beto armado
fornecido ao software. ....................................................................................................................... 22
Fig. 3.1 Modelo tipo utilizado para os tirantes de beto armado...................................................... 26
Fig. 3.2 Esquema ilustrativo da integrao usado no modelo.......................................................... 27
Fig. 3.3 Variao da resistncia a trao ao longo dos elementos finitos. ....................................... 28
Fig. 3.4 Modelo utilizado na anlise de um tirante com deformao imposta externa. ..................... 29
Fig. 3.5 Evoluo do incremento da deformao imposta externa ao longo do tempo..................... 29
Fig. 3.6 Variao do esforo axial para tirantes com deformao imposta externa com diferentes
percentagens de armadura. .............................................................................................................. 30
Fig. 3.7 Abertura de fendas para um tirante com deformao imposta externa com percentagem de
armadura de 0.85 %. ........................................................................................................................ 32
Fig. 3.8 Abertura de fendas para um tirante com deformao imposta externa com percentagem de
armadura de 1.68 %. ........................................................................................................................ 33
Fig. 3.9 Esquema representativo da combinao de efeitos num tirante sujeito a deformao
imposta interna. ................................................................................................................................ 34
Fig. 3.10 Variao do esforo axial para tirantes com uma deformao imposta interna com
diferentes percentagens de armadura. .............................................................................................. 35
Fig. 3.11 Representao, simplificada, das tenses mdias na armadura em estado fendilhado
(esquerda) e no fendilhado (direita). ................................................................................................ 35
Fig. 3.12 Representao, simplificada, das tenses mdias no beto em estado fendilhado
(esquerda) e no fendilhado (direita). ................................................................................................ 36
Fig. 3.13 Variao, ilustrativa, da tenso no beto devido ao fenmeno de retrao....................... 36
Fig. 3.14 Variao da tenso no beto ao longo do 1 elemento fissurado (t=363 dias, cs=-0,277
) .................................................................................................................................................... 38
Fig. 3.15 Variao da tenso na armadura ao longo do 1 elemento fissurado (t=363 dias, cs=-
0,277 ) .......................................................................................................................................... 38
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Fig. 3.16 Abertura de fendas para um tirante sujeito a uma deformao imposta interna com
percentagem de armadura de 0.85 %................................................................................................39
Fig. 3.17 Abertura de fendas para um tirante sujeito a uma deformao imposta interna com
percentagem de armadura de 1.68 %................................................................................................39
Fig. 4.1 Variao do esforo axial considerando diferentes tamanhos de elementos finitos. ...........45
Fig. 4.2 Variao da abertura de fendas a meio vo considerando diferentes tamanhos de
elementos finitos. ..............................................................................................................................45 Fig. 4.3 Laje com armadura estritamente necessria pra cumprir ELU e ELS com N=0. .................48
Fig. 4.4 Equilbrio usado para estimar armadura em flexo composta com trao numa seo
generalizada. ....................................................................................................................................50
Fig. 4.5 Armadura superior e inferior necessria para garantir wk< 0.3 mm em 3 sees
transversais, com N=Ncr. ...................................................................................................................51
Fig. 4.6 Esforo axial realmente instalado para uma estimativa de armadura com N=Ncr e N=NDIANA
.........................................................................................................................................................57
Fig. 4.7 Momento flector no apoio realmente instalado na laje para uma estimativa de armadura
com N=Ncr e N=NDIANA
......................................................................................................................58
Fig. 4.8 Padro de fendilhao para um instante de tempo igual a meio ano. .................................58
Fig. 4.9 Padro de fendilhao para um instante de tempo igual a 1 ano. .......................................58
Fig. 4.10 Padro de fendilhao para um instante de tempo igual a 3 anos. ...................................58
Fig. 4.11 Padro de fendilhao para um instante de tempo igual a 5 anos. ...................................59 Fig. 4.12 Dispensa de armadura na laje com um esquema estrutural de vo interior com N=N
DIANA.
.........................................................................................................................................................60 Fig. 4.13 Dispensa de armadura na laje com esquema estrutural de vo exterior com N=N
DIANA. ....60
Fig. 4.14 Padro de fendilhao para um vo interior num instante de tempo igual a 50 anos: a)
antes da dispensa; b) aps a dispensa. .............................................................................................61
Fig. 4.15 Padro de fendilhao para um vo exterior num instante de tempo igual a 50 anos: a)
antes da dispensa; b) aps a dispensa. .............................................................................................61
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NDICE DE TABELAS
Tabela 2.1 Caractersticas dos materiais do modelo......................................................................... 9 Tabela 2.2 Valores de e bk de acordo com MC90. (CEB-FIP, 1991) Erro! Marcador no definido.
Tabela 3.1 Propriedades dos materiais considerados. .................................................................... 26
Tabela 3.2 Percentagens de armadura utilizadas. .......................................................................... 27
Tabela 3.3 Comparao entre o esforo axial de fendilhao sem recorrer a uma anlise no linear
com o obtido pelo software para um tirante com deformao imposta interna. ................................... 37
Tabela 4.1 Propriedades dos materiais utilizados na modelao da laje. ........................................ 43
Tabela 4.2 Espessuras consideradas para um sistema estrutural de vo interior. ........................... 47
Tabela 4.3 Iteraes para obteno de um critrio de deformao para um sistema estrutural de vo
exterior. ............................................................................................................................................ 47
Tabela 4.4 Espessuras consideradas para um esquema estrutural de vo exterior. ....................... 47
Tabela 4.5 Armadura estritamente necessria para cumprir ELU e ELS com N=0 .......................... 48
Tabela 4.6 Abertura de fendas e tenso na armadura na seo da fenda para flexo simples. ....... 49
Tabela 4.7 Armadura necessria para cumprir abertura de fendas em flexo composta com trao,
com N=Ncr ........................................................................................................................................ 51
Tabela 4.8 Abertura de fendas, tenses na armadura e deformaes (N=Ncr) ................................ 51
Tabela 4.9 Comparao do esforo axial usado no clculo e o realmente instalado na laje. ........... 52
Tabela 4.10 Estimativa de armaduras para esquema estrutura de vo interior com N=Ncr .............. 52
Tabela 4.11 Estimativa de armaduras para esquema estrutura de vo exterior com N=Ncr ............. 52
Tabela 4.12 Abertura de fendas, tenso na armadura e deformao para o esquema estrutura de
vo interior (N=Ncr)............................................................................................................................ 53
Tabela 4.13 Abertura de fendas, tenso na armadura e deformao para o esquema estrutura de
vo exterior. (N=Ncr).......................................................................................................................... 53
Tabela 4.14 Comparao do esforo axial usado no clculo e o realmente instalado na laje para um
vo interior. ....................................................................................................................................... 53
Tabela 4.15 Comparao do esforo axial usado no clculo e o realmente instalado na laje para um
vo exterior. ...................................................................................................................................... 54
Tabela 4.16 Armadura resultante do clculo segundo uma anlise no linear para o sistema
estrutural de vo interior. (N=NDIANA
) ................................................................................................. 55
Tabela 4.17 Armadura resultante do clculo segundo uma anlise no linear para o sistema
estrutural de vo exterior. (N=NDIANA
) ................................................................................................ 55
Tabela 4.18 Abertura de fendas, tenses no ao e deformaes para um esquema estrutura de vo
interno com N=Nreal
. .......................................................................................................................... 55
Tabela 4.19 Abertura de fendas, tenses no ao e deformaes para um esquema estrutura de vo
extremo com N=Nreal
. ........................................................................................................................ 56
Tabela 4.20 Esforo axial para um sistema estrutural de vo interior .............................................. 56
Tabela 4.21 Esforo axial para um sistema estrutural de vo interior .............................................. 57
Tabela 4.22 Comparao entre esforo transverso resistente e actuante. ...................................... 62
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SMBOLOS E ABREVIATURAS
Para clareza de exposio no texto proceder-se- descrio de cada smbolo e abreviatura,
simultaneamente com a sua primeira utilizao. A seguinte lista apresentada por ordem alfabtica.
SMBOLOS
L (t) Deslocamento horizontal num determinado tempo
L Deformao externa aplicada
Valor reduzido do momento fletor
A Varivel auxiliar de clculo da fora de trao axial superior e inferior
Ac rea da seo transversal de beto
Ac,ef rea da seo efetiva de beto tracionado que envolve as armaduras tracionadas
As rea transversal da armadura
B Varivel auxiliar de clculo da fora de trao axial superior e inferior
d Altura til dada pela distncia entre o centro de gravidade das armaduras e o bordo da
seco
e Excentricidade do esforo axial dado por N/M
*2 Extenso de clculo associada ao diagrama tenso-extenso da metodologia tension
stiffening
*3 Extenso de clculo associado ao diagrama tenso-extenso da metodologia tension
stiffening
Ec Mdulo de elasticidade do beto
c(t) Deformao total de um elemento de beto no instante t
Ec,adj Mdulo de elasticidade efetivo ajustado do beto
cc (t) Deformao de fluncia num instante t
Eci (t0) Mdulo de elasticidade tangente na origem do diagrama tenso-deformao do beto
Eci Mdulo de elasticidade tangente na origem, para uma idade de carregamento igual a
28 dias
ci(t0) Deformao instantnea do beto
Ecm Mdulo de elasticidade mdio do beto
cs (t,t0) Deformao total de retrao do beto no instante t
cs0 Coeficiente de retrao nominal do beto
cT(t) Deformao trmica, dada pelo produto da variao de temperatura pelo coeficiente de
dilatao trmica
ct(t) Deformao total de um elemento de beto
m Extenso mdia no tirante de beto armado tracionado igual a L(t)/L
emax Excentricidade mxima do esforo axial dado por d-(h/2)
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Es Mdulo de cedncia do ao
s(fcm) Extenso dependente do tipo de beto
sy Extenso de cedncia do ao
ts Extenso de clculo associada ao diagrama tenso-extenso associada ao diagrama de
efeito softening
fck Valor caracterstico da resistncia do beto compresso em provetes cilndricos
fcm Valor mdio da resistncia compresso no beto aos 28 dias
fct Resistncia trao do beto
fctm Resistncia mdia trao do beto
Finf. Fora axial de trao na armadura inferior
Fsup. Fora axial de trao na armadura superior
fsy tenso de cedncia na armadura
fsy
tenso de cedncia fictcia na armadura
fyk Valor caracterstico da tenso de cedncia trao do ao das armaduras de beto
armado
Gf Energia de fratura do material
gf rea do grfico que define o efeito de tension softening
Gk Valor caracterstico da ao permanente
h Altura total da seco de beto
hb Banda de fendilhao, dependente do tamanho do elemento finito
hc,eff Altura de beto envolvente da armadura que efetivamente contribui para determinar o
valor de Ac,eff
heq Espessura equivalente do elemento de beto, dada pela razo entre o dobro da rea do
elemento de beto e o permetro do mesmo em contacto com atmosfera
L Comprimento do tirante
l vo da laje em estudo
L,elm Comprimento do elemento finito
lk
s,max Comprimento mximo ao longo do qual ocorre deslizamento entre o ao e o beto,
calculado com base no valor relativo ao quantil inferior da tenso de aderncia
M Momento fletor
N Esforo axial
Ncr Esforo axial que provoca a fendilhao num tirante de beto armado
NDIANA
Esforo axial realmente instalado obtido atravs de uma anlise no linear recorrendo
ao programa de clculo usado (DIANA)
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Nreal
Esforo axial realmente instalado obtido atravs de uma anlise no linear recorrendo
ao programa de clculo usado (DIANA)
P Efeito das aes
Qk Valor caracterstico de uma ao varivel isolada
RH Humidade relativa
s Coeficiente que depende do tipo de cimento
t Idade do beto
t0 Idade do beto data da aplicao da tenso
tdiana Idade do beto desde o final da cura
treal Idade do beto desde a betonagem
ts Idade do beto no incio da retrao
u Permetro do beto exposto atmosfera
wk Abertura de fendas
wmax Valor limite para a abertura de fendas
e Razo entre o mdulo de elasticidade do ao e o mdulo de elasticidade do beto
RH Coeficiente que depende da humidade relativa
s Coeficiente que exprime o desenvolvimento da retrao com o tempo
sc Coeficiente que depende do tipo de cimento
t Parmetro que depende da durao da carga
Peso volmico do beto
cr Extenso de fendilhao
Coeficiente de Poisson
s Percentagem de armadura
sef Percentagem efetiva de armadura dada por As/Ac,ef
c Tenso no beto
s,cedncia Tenso de cedncia da armadura
s,fenda Tenso na armadura na seo da fenda
s,mdia Tenso mdia na armadura
s2 Tenso na armadura calculada em seo totalmente fendilhada
sE Tenso da armadura no ponto de deslizamento nulo
bk Tenso de aderncia mdia ao longo do comprimento de deslizamento entre ao e
beto relativo ao quantil inferior
(t,t0) Coeficiente de fluncia
s Dimetro do varo
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xvi
Coeficiente de envelhecimento do beto
0 Coeficiente para a determinao do valor de combinao de uma ao varivel
1 Coeficiente para a determinao do valor frequente de uma ao varivel
2 Coeficiente para a determinao do valor quase permanente de uma ao varivel
ABREVIATURAS
B.A Beto Armado
C.A. Clculos Analticos
c.q.p. combinao quase permanente
EC2 Eurocdigo 2
ELS Estado Limite de Servio
ELU Estado Limite Ultimo
inf. inferior
MC90 CEB-FIP Model Code 1990
MEF Mtodo de Elementos Finitos
NR Normal and Rapid hardening cements
REBAP Regulamento de Estruturas de Beto Armado e Pr-esforado
RS Rapid hardening high Strengh cements
RSA Regulamento de Segurana e Aes para estruturas de edifcios e pontes
SL Slowly hardening cements
sup. superior
Estudo da Fendilhao em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retrao e Das Aes Distribudas No Piso
1
1
INTRODUO
1.1. ENQUADRAMENTO DO TEMA E OBJETIVOS DA DISSERTAO
A fendilhao um fenmeno quase inevitvel em estruturas de beto armado, devido essencialmente
baixa resistncia trao do beto. Como tal, deve ser encarado como um fenmeno natural numa
estrutura de beto sendo o seu controlo um dos requisitos que o projetista deve respeitar. O controlo de
fendilhao baseia-se no controlo da abertura de fendas que, dependendo do tipo de estrutura e seu
ambiente envolvente, contribui de maneira decisiva para a funcionalidade, durabilidade e aspeto
esttico, isto , para a qualidade estrutural. O controlo de abertura de fendas implica uma correta
quantificao e distribuio de armadura por parte do projetista para evitar/prevenir anomalias como
por exemplo a corroso de armaduras. Este fenmeno no independente e deve ser analisado
conjuntamente com o controlo de tenses e deformaes na estrutura. Neste trabalho ser estudado o
comportamento em fase fendilhada tendo sempre em considerao as deformaes da estrutura em
anlise.
A origem da fissurao est normalmente associada ao efeito das deformaes impostas, como por
exemplo a prpria retrao do beto, a variao de temperatura e os assentamentos diferenciais. Estas
aes podem no provocar o colapso da estrutura mas so responsveis pelo seu incorreto
comportamento em servio da estrutura. Ao serem restringidas, isto , ao haver um impedimento do
movimento livre, pelas condies de apoio ou de ligao a outros elementos estruturais, estas
deformaes impostas geram esforos de trao significativos que, ao atingirem valores da resistncia
trao do beto, resultam no aparecimento de fendas.
A presente dissertao aborda o efeito das deformaes impostas no comportamento de estruturas
laminares de beto armado (lajes) fortemente restringidas, em conjunto com aes verticais
distribudas no piso, incidindo no estudo da retrao e da fendilhao atravs do controlo da abertura
de fendas. Este efeito conjunto claramente visvel em pisos estruturais de obras enterradas, como por
exemplo, caves de edifcios e parques de estacionamento, que esto submetidos restrio que as
paredes de conteno laterais e ncleos de rigidez oferecem livre contrao da laje por efeito da
retrao e das variaes de temperatura, e a cargas verticais provocadas pela movimentao de
veculos. Nestas condies, a laje em situaes de servio encontra-se submetida a flexo composta
Estudo da Fendilhao em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retrao e Das Aes Distribudas No Piso
2
com trao. Como nessas situaes de servio as lajes esto fendilhadas, o seu comportamento dever
ser estudado recorrendo a uma anlise no-linear. No presente estudo essa anlise no-linear em fase
de servio realizada tendo em conta os efeitos de fluncia e retrao, e simulando a fendilhao
atravs de modelos de fendilhao distribuda.
Para a anlise do comportamento destas estruturas laminares recorreu-se a simulaes numricas
atravs de um programa de clculo baseado no Mtodo de Elementos Finitos (MEF) vocacionado para
anlises no-lineares e diferidas em estruturas de beto armado. O software utilizado o DIANA que
foi desenvolvido na Holanda pela empresa T.N.O. com a colaborao da Universidade de Delft.
A utilizao deste software permitiu simular o processo de fissurao do beto em trao, a interao
do beto entre fendas com as armaduras (efeito tension stiffening) e incluir os efeitos de retrao e
fluncia do beto (essenciais para este tipo de analises a longo prazo). A obteno de resultados fiveis
e realistas s possvel com uma correta caracterizao dos modelos constitutivos dos materiais, das
aes e das condies de apoio.
Contudo, os regulamentos de projeto para beto armado garantem o controlo de fendilhao impondo
quantidades de armadura, que de um modo geral, so superiores s efetivamente necessrias. Este
facto resulta da falta de informao sobre a influncia do efeito do grau de restrio na estrutura e sob
o real efeito das deformaes impostas. Exemplo disto a quantificao da armadura mnima por parte
do Eurocdigo 2 Parte 1-1 (EN 1992-1-1) no subcaptulo 7.3.2. (CEN, 2010).
O objetivo final deste estudo a apresentao de indicaes prticas que auxiliem os projetistas a
determinar a armadura efetivamente necessria para controlar a abertura de fendas nas lajes
restringidas axialmente. Esta armadura dever estar compreendida entre a armadura estritamente
necessria para fazer face, em estado limite ultimo de resistncia, atuao do momento flector devido
s cargas aplicadas (caso de lajes no restringidas axialmente, N=0kN) e a armadura que corresponde
armadura mnima para controlo de fendilhao de um tirante totalmente restringido considerando o
esforo axial igual ao esforo de fendilhao N=Ncr (condio de armadura mnima do subcaptulo
7.3.2. do Eurocdigo 2 Parte 1-1 (EN 1992-1-1) (CEN, 2010).
Para que esse objetivo seja cumprido ter de ser dado ao projectista a quantificao do esforo axial
que fica efetivamente instalado na laje, e resultado do impedimento s deformaes, esforo esse que
deve ser usado para quantificao da abertura de fendas de um modo mais realista.
O presente estudo incide em lajes macias, fortemente restringidas no contorno, com funcionamento
unidireccional para uma gama de vos correntes (5,5 metros a 8,5 metros).Para alm do vo tambm
feita a variao da espessura e do esquema estrutural.
1.2. ORGANIZAO EM CAPTULOS
O presente trabalho est dividido em 5 captulos, sendo o primeiro uma Introduo onde se pretende
reportar ao leitor uma viso geral do tema apresentado no trabalho e seus objetivos.
No captulo 2 apresentado o comportamento do beto no fendilhado atravs dos fenmenos de
fluncia e retrao recorrendo a pequenos exemplos elaborados atravs do programa de clculo
DIANA. Tambm so apresentados os modelos constitutivos do beto fendilhado de acordo com o
efeito de tension softening e tension stiffening e ainda a modelao da fendilhao atravs do modelo
de mltiplas fendas com decomposio de extenses permitindo a combinao com efeitos no
lineares como a retrao e a fluncia. No final deste captulo apresentam-se consideraes finais
acerca dos temas desenvolvidos no mesmo.
Estudo da Fendilhao em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retrao e Das Aes Distribudas No Piso
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No captulo 3 apresenta-se a anlise de tirantes com diferentes percentagens de armaduras sujeitos a
deformaes impostas externa e interna. Para cada um dos tipos de deformaes analisado a variao
do esforo axial e a abertura de fendas, com recurso ao programa de clculo automtico baseado no
MEF usado neste trabalho. So apresentadas as caractersticas das estruturas e do modelo adoptado na
simulao numrica, assim como as propriedades dos materiais, geometrias e condies de apoios
adoptadas. Tambm se refere a importncia da malha de elementos finitos neste tipo de tirantes
sujeitos exclusivamente a deformaes impostas e o seu esquema de integrao. No final do captulo
so retiradas concluses importantes a reter para o leitor.
No captulo 4 apresentado o estudo de lajes sob a ao de cargas verticais com impedimento das
deformaes por retrao. Nesse captulo apresenta-se os critrios adotados para a variao de vo,
espessura e apoios estruturais considerados para este tipo de laje. Seguidamente apresenta-se a
estimativa de armadura tendo em conta metodologia correntes dimensionamento considerando N=0,
depois recorrendo a flexo composta com trao estima-se a armadura com N=Ncr e por fim tomando
em considerao uma anlise no-linear, com recurso ao programa de calculo, obteve-se o esforo
axial verdadeiramente instalado na laje. Neste captulo so retiradas concluses importantes para a
correta quantificao da armadura neste tipo de laje.
Por fim no captulo 5 apresentada uma sntese do trabalho realizado, salientando as concluses mais
importantes, sendo sugeridos alguns desenvolvimentos futuros no seguimento do presente trabalho.
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Estudo da Fendilhao em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retrao e Das Aes Distribudas No Piso
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2
MODELAO DO BETO
FENDILHADO,
INCLUINDO OS EFEITOS DA
RETRAO E DA FLUNCIA
2.1. INTRODUO
Neste captulo pretende-se apresentar os fenmenos de retrao e de fluncia atravs de exemplos
simples, elaborados no programa de clculo DIANA. Atravs destes exemplos, pretende-se perceber
como se desenvolvem os fenmenos de retrao e de fluncia num elemento de beto ao longo do
tempo. Posteriormente sero apresentados os modelos constitutivos, que se ter em conta nas anlises,
para o comportamento do beto fendilhado.
As componentes de deformao por fluncia e por retrao so tambm designadas por deformaes
diferidas, por se processarem lentamente ao longo do tempo. importante referir que a distino entre
fluncia e retrao convencional porque, na realidade, estes fenmenos no so independentes. No
entanto, essa distino facilita a anlise e, para a maioria das aplicaes prticas, conduz a uma
aproximao suficiente (Sousa, 2004).
A extenso total num instante de tempo t, c (t), de um elemento de beto carregado uniaxialmente
num instante de tempo t0 com uma tenso constante c (t0) pode ser expressa pela equao (2.1) (ver
Fig. 2.1)
(2.1)
em que:
ct(t) deformao total de um elemento de beto;
ci(t) deformao instantnea;
)()()()()( 0 ttttt cTcscccict
Estudo da Fendilhao em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retrao e Das Aes Distribudas No Piso
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cc(t) deformao de fluncia;
cs(t) deformao de retrao;
cT(t) deformao trmica, dada pelo produto da variao de temperatura pelo coeficiente de
dilatao trmica;
t0 inicio da ao.
As componentes de deformao ci(t0) e cc(t) dependem do estado de tenso, sendo por isso tambm
designadas por componentes de deformao mecnica. Por outro lado, cs(t) e cT(t) no dependem do
estado de tenso, sendo tambm conhecidas por componentes de deformao no mecnica.
Fig. 2.1 Componentes ci(t0), cc(t) e cs(t) da deformao total de um elemento de beto sujeito a tenso
constante. (Sousa, 2004)
2.2. COMPORTAMENTO DIFERIDO DO BETO NO FENDILHADO
2.2.1. RETRAO
A retrao uma propriedade reolgica do beto que consiste numa variao gradual de volume desde
o final da compactao e ao longo do tempo, no sujeita a tenses exteriores, a uma temperatura
constante. Distinguem-se quatro tipos de deformaes de retrao:
Retrao plstica: devida evaporao de gua superfcie, quando o beto est ainda no seu
estado plstico (antes da presa);
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Retrao autgena: resulta da diminuio de volume durante a hidratao do cimento, sendo
independente das condies de humidade;
Retrao de secagem: originada pela difuso da gua para as faces expostas secagem, na
presena de um gradiente hdrico entre o beto e o meio ambiente;
Retrao por carbonatao: causada pela reao da pasta de cimento hidratado com o dixido
de carbono do ar na presena de humidade, que comea superfcie do beto e evolui para o
interior medida que avana a carbonatao do beto;
Retrao trmica: designada simplesmente como a contrao do beto, aps a sua presa, que
ocorre com a dissipao das elevadas temperaturas geradas pela libertao do calor de
hidratao. A evoluo deste tipo de retrao no igual em todos os pontos de uma estrutura,
pois a hidratao do cimento tambm no se desenvolve de modo uniforme. (Sousa, 2004)
Normalmente o conceito de retrao esta associado diminuio das dimenses de um elemento de
beto, devido retrao por secagem. Este tipo de retrao processa-se essencialmente da superfcie
para o interior das peas, dando origem ao aparecimento de tenses internas autoequilibradas (traes
superfcie e compresses no interior do elemento).Esta propriedade revela-se importante nas
construes em beto, pois devido restrio que normalmente imposta s variaes de volume,
resultam tenses de trao que quando superiores resistncia trao do material originam o
aparecimento de fissuras (Leito L. , 2011).
A retrao depende de diversos fatores: da dimenso da pea, do teor de gua da amassadura, da
dosagem de cimento, da a natureza e a da granulometria dos inertes, da durao do perodo inicial da
cura, da luminosidade ambiente e da composio qumica do beto (Leito L. , 2011).
No presente trabalho a deformao por retrao estimada a partir do Model Code 1990 (CEB-FIP,
1991),de acordo com a equao (2.2),(2.3),(2.4) e (2.5).
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
)(.),(00 sscscs
tttt
610
10910160)( cmsccms
ff
3
100155.1
RHRH
s
eq
sss
tth
tttt
2
100350
)(
Estudo da Fendilhao em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retrao e Das Aes Distribudas No Piso
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em que :
cs (t,t0) deformao total de retrao no beto no instante t;
cs0 coeficiente de retrao nominal;
s(fcm) extenso que depende do tipo de beto;
fcm valor mdio da resistncia compresso no beto aos 28 dias (MPA);
s coeficiente que depende do tipo de cimento : sc=4 para cimentos do tipo SL, sc=5 para
cimentos do tipo NR e sc=8 para cimentos do tipo RS (sendo os diferentes tipos de cimento
identificados no MC90 (CEB-FIP, 1991));
RH coeficiente que depende da humidade relativa;
RH humidade relativa (%);
s (t-ts) coeficiente que exprime o desenvolvimento da retrao com o tempo;
t idade do beto (dias);
ts idade do beto no inicio da retrao (dias);
heq espessura equivalente do elemento, dada por 2Ac/u;
Ac rea de beto transversal;
u permetro do beto exposto atmosfera (mm).
2.2.2. EVOLUO DA RETRAO E DA TENSO NO BETO
Para melhor se perceber a evoluo da retrao ao longo do tempo e a tenso que esta provoca no
beto foi realizado um pequeno exemplo recorrendo ao programa de clculo DIANA. Este exemplo
consiste na modelao de 1 elemento finito, de trs ns, impedido totalmente de rotao e translao
num dos ns de extremidade. A nica ao relevante aplicada consiste na retrao do beto. Para alm
dessa, aplicada uma fora de valor negligencivel para garantir um estado de equilbrio no incio da
anlise. Este modelo tem um comprimento de 1 metro, uma espessura 0.24 metros e uma taxa de
armadura de 0,42 % por metro linear, tal como se pode observar na Fig. 2.2.
Fig. 2.2 Modelo utilizado na caracterizao do fenmeno de retrao.
A barra do meio representada com os nmeros 1 2 3 (numerao dos ns) corresponde ao eixo da
seco do modelo e as restantes barras verdes correspondem ao eixo da armadura de baixo e o eixo da
armadura de cima.
Nestes modelos foi considerado os efeitos de retrao, fluncia e a ausncia de fendilhao. Foram
tambm consideradas as caractersticas dos materiais de acordo com a Tabela 2.1.
Estudo da Fendilhao em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retrao e Das Aes Distribudas No Piso
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Tabela 2.1 Caractersticas dos materiais do modelo
Propriedades Unidades
Beto
Ec 30.5 GPa
fck 30 MPa
Gf 0.058 kN.m/m2
Humidade relativa 60 %
Coeficiente de Poisson ()
0.2
Temperatura 20 C
heq=2.Ac/u 240 mm
Ao fsk 500 MPa
Es 200 GPa
De acordo com as caractersticas mencionadas dos materiais e com o modelo apresentado observamos
que a tenso no beto devido retrao e o prprio fenmeno de retrao variam de acordo com Fig.
2.3 e Fig. 2.4,respetivamente.
Fig. 2.3 Evoluo da tenso no beto devido retrao com o tempo
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
Tenso (
MP
A)
Tempo(dias)
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Fig. 2.4 Evoluo da extenso de retrao do beto com o tempo
Foi considerado uma escala de tempo at aos dez mil dias por ser suficiente para a caracterizao da
curva de retrao, visto que a partir de determinado tempo (aproximadamente 5 anos) esta se mantm
praticamente constante.Com o desenvolvimento da retrao observa-se que este fenmeno no linear
provoca tenses de trao no beto.
2.2.3. FLUNCIA
A fluncia define-se como sendo uma deformao adicional deformao elstica instantnea que
ocorre num elemento de beto quando este se encontra sujeito a um estado de tenso constante (Leito
L. , 2011).
geralmente aceite que a fluncia do beto devida, exclusivamente, fluncia da pasta de cimento
hidratado, uma vez que os agregados de densidade normal apresentam fluncia desprezvel. A
fluncia da pasta de cimento hidratado condicionada, principalmente, pela gua contida na pasta.
Para alm dos movimentos de gua (dependentes do estado de tenso) no sistema poroso da pasta,
ocorrem processos de deslizamento e compactao. A alterao do contedo de humidade na pasta
provocado, por exemplo, pela secagem, acelera este processo (Sousa, 2004).
Como a presente dissertao envolve o estudo dos efeitos da retrao nas estruturas de beto armado,
principalmente em lajes, ao diferida que envolve longos perodos de tempo para se desenvolver na
sua globalidade, revela-se essencial modelar corretamente o fenmeno da fluncia. Neste trabalho usa-
se a lei de fluncia preconizada pelo MC90 (que se revela praticamente idntica forma de estimar a
fluncia sugerida pelo EC2). Convm referir que as normas existentes que permitem definir a fluncia
so baseadas na idealizao que o beto se encontra sobre a influncia de tenses de compresso, pois
muitas vezes, conhecida s a classe de resistncia na altura em que esto a ser realizados os clculos.
Assim, a sua aplicabilidade a anlises que lidem com tenses de trao, tal como o caso do presente
estudo, deve ser feita com alguma reserva. No entanto considera-se, que de uma forma global, o
comportamento do beto em termos de fluncia consegue ser bem simulado pela aplicao do
predisposto no MC90.No caso de solicitaes de longa durao, a fluncia altera significativamente a
resposta da estrutura, devendo ser devidamente contabilizada pelos projetistas. Por este motivo,
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
cs (
)
Tempo (dias)
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convm realar alguns dos fatores de que depende a fluncia: a idade do carregamento, o perodo do
carregamento, a humidade relativa do ambiente, a temperatura relativa do ambiente, a composio do
beto, a consistncia do beto e a forma da seco (Leito L. , 2011).
Como o exposto para a retrao, procedeu-se anlise de um pequeno modelo para a compreenso do
fenmeno de fluncia e como varia ao longo do tempo. Neste modelo as caractersticas das materiais
mantm-se de acordo com a Tabela 2.1. Porm o esquema estrutural altera-se para apenas um
elemento de beto com 3 ns onde um dos ns de extremidade se encontra impedido de rotaes e
translaes em qualquer direo, como apresentado na Fig. 2.5. No foram considerados elementos de
armadura, o fenmeno de retrao e fendilhao nem cargas verticais. Somente foi considerado uma
pequena fora horizontal no n de extremidade para implementao de um estado de tenso constante
no elemento. Esta fora foi estimada para que as tenses no beto fossem de 1 MPa, tal como mostra o
grfico da Fig. 2.6.A evoluo do fenmeno de fluncia ilustrado pelo grfico da Fig. 2.7.
Fig. 2.5 Modelo usado na caracterizao da fluncia.
Fig. 2.6 Tenso constante instalada no beto.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
Tenso (
MP
A)
Tempo (dias)
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Fig. 2.7 Evoluo da Fluncia do beto com o tempo.
Como apresentado na Fig. 2.7 verifica-se que a extenso para o elemento de beto dada pelas
equaes (2.6) e (2.7).
(2.6)
isto ,
(2.7)
em que ,
c(t) deformao de um elemento de beto;
ci(t0) deformao instantnea (inicial);
cc (t) deformao por fluncia;
c (t0) tenso constante aplicada ao beto;
Eci (t0) mdulo de elasticidade tangente na origem do diagrama tenso-deformao do beto;
Eci mdulo de elasticidade tangente na origem, para uma idade de carregamento igual a 28 dias;
(t,t0) coeficiente de fluncia (podendo ser estimado de acordo com o MC90)
t0 idade do beto data da aplicao da tenso.
)()()( 0 ttt cccic
),()(
)(
)()( 0
0
0
0 ttE
t
tE
tt
ci
c
ci
c
c
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Segundo o Model Code 1990 o mdulo de elasticidade tangente na origem do diagrama tenso-
deformao do beto dado pela equao (2.8).
(2.8)
Onde o mdulo de elasticidade tangente na origem para idade de carregamento igual a 28 dias dado
pela equao (2.9).
(2.9)
O coeficiente cc(t) depende da idade do beto e estimado segundo o MC90 pela equao (2.10).
(2.10)
Onde,
s coeficiente que depende do tipo de cimento: s = 0.20 para cimento RS, 0.25 para cimento NR
e 0.38 para cimento SL.
Pela observao da Fig. 2.6 a tenso no beto aparece junta ao eixo das ordenadas, ou seja, para um t-
t0 igual a zero dias. Este facto acontece porque neste exemplo, temos uma ao muito pequena a
provocar tenses e logo no primeiro incremento de tempo sem a considerao da retrao.
De acordo com a Fig. 2.7, depois de uma deformao inicial a deformao por fluncia tem uma
variao no linear e a partir de uma determinado tempo torna-se praticamente constante. Neste
exemplo a extenso de fluncia apresenta valores muito baixos pois o estado de tenso instalado
muito pequeno.
2.2.4. CURAGE E AGING
Curage e Aging so dois conceitos associados ao software utilizado (DIANA) relativos ao modelo de
retrao e fluncia. A compreenso destes dois conceitos fundamental para a modelao posterior de
tirantes e lajes. Entende-se por Curage como sendo a idade (dias) do elemento no final da cura e Aging
a idade do beto (dias) no incio da anlise. Para melhor se perceber a sua definio e diferena foram
realizados 2 modelos com diferentes valores para as variveis. Estes exemplos tm por base as
caractersticas dos materiais e o modelo apresentado em 2.2.2 do presente captulo.
ciccci EttE )()(
8
1
4
101015.2 cmci
fE
tstcc
281exp)(
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Os resultados obtidos so representados na Fig. 2.8 e na Fig. 2.9.
Fig. 2.8 Evoluo da retrao para Aging 3 dia Curage 5 dias
Fig. 2.9 Evoluo da retrao para Aging 14 dias Curage 0 dias.
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2.3. COMPORTAMENTO DO BETO FENDILHADO
2.3.1. MODELOS DE FENDILHAO
De acordo com a modelao de elementos finitos tm sido adotados dois tipos de modelos de
fendilhao: o modelo de fenda discreta e o modelo de fenda distribuda.
Nos modelos de fenda discreta, esta modelada atravs da separao dos ns pertencentes aos
elementos adjacentes, introduzindo-se uma descontinuidade na respetiva interface. Este tipo de
modelo torna-se mais apropriado para problemas com poucas fendas e onde a sua localizao pode ser
prevista antes da anlise (Sousa, 2004) (Leito L. , 2011).
Por outro lado, no modelo de fenda distribuda, o material fendilhado considerado como um meio
contnuo, mantendo-se a continuidade da geometria e do campo de deslocamentos da malha. O efeito
de fendilhao considerado atravs de uma modificao da lei tenso-extenso, inicialmente
isotrpica substituda por uma relao tenso-extenso ortotrpica. Estes modelos so mais adequados
para a anlise de problemas caracterizados pela ocorrncia de padres de fendilhao difusa, podendo
tambm ser utilizados na anlise de problemas com fratura de tipo localizado (Sousa, 2004).
Dentro do conceito de fenda distribuda, distinguem-se ainda dois tipos de modelos: modelos de fenda
fixa e os modelos de fendas rodadas. Nos modelos de fendas fixas a direo normal fenda permanece
inalterada aps a sua formao. Nos modelos de fendas rodadas a normal fenda pode rodar durante o
processo de fratura do material (mantendo-se a co-axialidade com os eixos principais de deformao
ou com os eixos principais de tenso) (Sousa, 2004).
No sentido de representar com um maior grau de aproximao as leis constitutivas que definem a
evoluo da fenda e tendo em conta o conceito de fenda distribuda revela-se fundamental uma correta
interpretao das extenses na zona de fratura. Por este motivo, os modelos de fendilhao distribuda
apresentam uma decomposio da extenso mdia em duas extenses distintas, tal como demostram as
equaes (2.11) e (2.12): uma devido aos efeitos elsticos correspondentes ao beto existente entre as
microfissuras (e) e outra correspondente prpria fissura (cr),denominado na nomenclatura inglesa
de tensile crack strain.
(2.11)
Ento,
(2.12)
Em que c a tenso de trao no beto.
No presente trabalho optou-se por um modelo de fendilhao distribuda que tem a possibilidade de
formao de mltiplas fendas fixas com decomposio de extenses denominado na nomenclatura
inglesa como multi-directional fixed crack devido essencialmente sua grande vantagem de
combinao do efeito da fendilhao com efeitos no-lineares do beto, como a retrao e a fluncia.
De referir ainda a possibilidade da existncia de mais do que uma fenda aberta simultaneamente num
dado ponto de integrao. Este facto resulta de: aps a formao de uma fenda, quando usado um
crem
cm
cmcr
E
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16
modelo de reteno de tenses de trao entre fendas, o valor da tenso normal retida e o valor da
tenso de corte instalada na fenda podem originar uma rotao dos eixos principais de tenso e o
surgimento de uma tenso principal de trao tal que justifique a formao de uma nova fenda com
orientao diferente da primeira. Forma-se uma nova fenda assim que atingido o critrio limite da
relao entre os valores das tenses principais, designado na nomenclatura inglesa por tension cut-off
criteria (Sousa, 2004).Na Fig. 2.10 encontra-se ilustrado as duas formulaes para tension cut-off
disponveis no software. Em todos os modelos analisados no presente estudo utilizou-se o critrio de
tension cut-off constante.
Fig. 2.10 Modelos de tension cut-off implementados no programa. (DIANA, 2012)
2.3.2. DEFINIO DO DIAGRAMA DE RETENO DE TENSES DE TRAO NO BETO SIMPLES,TENSION
SOFTENING.
O beto, mesmo aps fissurar, apresenta alguma capacidade de reteno de tenses de trao. O efeito
de amaciamento ou tension softening ocorre numa rea que se encontra afastada dos vares,
caracterizada somente por beto simples. O efeito de tension softening representado por um
diagrama tenso-extenso descendente aps fendilhao, sendo a rea delimitada pelo diagrama e o
eixo das extenses correspondente relao Gf/hb (energia de fratura do beto) (Leito, Faria, Azenha,
& Sousa, 2012).
Gf uma propriedade do material correspondente quantidade de energia necessria para formar uma
fenda, numa superfcie com rea unitria. O valor da energia de fratura no depende da banda de
largura hb. A banda de largura hb est relacionada com a configurao da malha de elementos finitos,
para que os resultados da anlise no dependam da discretizao usada. Note-se que Gf pode ser
estimado de acordo com o MC90 e depende essencialmente do tipo de inertes utilizados no fabrico do
beto. No presente trabalho considera-se uma forma linear para o diagrama de reteno de tenses de
trao no beto simples, tendo como principal vantagem a sua simplicidade e porque no presente
trabalho analisam-se estruturas de beto armado pouco sensveis ao efeito de tension softening.
O diagrama que representa o efeito softening dever ter uma rea gf=Gf/hb tal como definido na Fig.
2.11.O parmetro ts, que define o ramo descente da curva ilustrada na Fig. 2.11 obtido pela equao
(2.13).
Estudo da Fendilhao em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retrao e Das Aes Distribudas No Piso
17
Fig. 2.11 Diagrama de reteno de tenses de trao no beto simples (Sousa, 2004).
(2.13)
em que :
ts extenso de clculo associada ao diagrama tenso-extenso do efeito softening;
Gf energia de fratura do material;
hb banda de fendilhao, dependente do tamanho do elemento finito;
fct resistncia trao;
gf rea que define o grfico que traduz o efeito de tension softening.
A definio deste ramo descendente do diagrama permite que a soluo no dependa da malha de
elementos finitos. A definio de hb, de acordo com a malha de elementos finitos, serve somente para
que exista uma correta dissipao da energia de fratura. Se tal no acontecesse os resultados ficavam
dependentes do refinamento da malha e no do material utilizado. Podemos dizer ento que
introduzimos dados em funo da malha para que os resultados obtidos no dependam desta (Leito L.
, 2011).
Os diagramas fornecidos ao DIANA so a relao tenso-extenso de fendilhao. Deste modo, em
termos de tension softening o seu diagrama o representado na Fig. 2.11 e o considerado pelo
software o representado na Fig. 2.12.
ctb
f
tsfh
G
2
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18
Fig. 2.12 Diagrama de reteno de trao no beto simples considerado pelo software.
Neste caso basta fornecer ao programa Gf (energia de fratura) e hb (banda de fendilhao) e o
comportamento do beto simples modelado como se verifica na Fig. 2.12 sem qualquer pr-
processamento.
2.3.3. RETENO DE TENSES DE TRAO NO BETO ARMADO,TENSION STIFFENNING
O tension stiffenning permite traduzir o efeito que o beto entre fendas provoca na rigidez dos
elementos de beto armado atravs da reteno de tenses de trao aps fendilhar. Nesses elementos
de beto armado a reteno de tenses de trao superior, ao que acorre no beto simples, devido
transferncia de tenses entre os materiais associada sua aderncia. Deste modo confere ao elemento
um aumento de rigidez adicional. O efeito de tension stiffening s deve ser considerado na zona
efetiva de beto que envolve a armadura tracionada, tal como definido na Fig. 2.13 em que :
h altura total da seco;
d altura til dada pela distncia entre o centro de gravidade das armaduras e o bordo da seco;
x profundidade do eixo neutro;
dimetro do varo;
t espessura;
c recobrimento.
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19
Fig. 2.13 Determinao da rea de beto efetivo: a) vigas; b) lajes; c) elementos em trao. (CEB-FIP, 1991)
Esta abordagem adequada quando a armadura modelada atravs de elementos embebidos no beto.
Quando recorremos modelao baseada no efeito de tension sitffening, assente em parmetros
mdios, possvel obter resultados bastante prximos da realidade, quer durante a fase de formao de
fendas, quer na definio da rigidez do elemento aps a fendilhao estabilizar.
Na presente dissertao, o efeito de tension stiffening modelado de acordo com o diagrama da Fig.
2.14.
Fig. 2.14 Diagrama de reteno de tenses de trao em elementos de beto armado. (Sousa, 2004)
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20
Como observamos pela Fig. 2.14, o tension stiffening representado por um ramo multilinear, no
qual existe um patamar de tenso de trao assumido durante a fase de fendilhao estabilizada. Neste
diagrama o esgotamento da energia de fratura Gf durante a fase de formao de cada fenda simulado
igualmente atravs de um ramo descendente, correspondente ao adotado para o tension softening
(que garante uma correta dissipao da energia de fratura) (Leito, Faria, Azenha, & Sousa, 2012).
Este ramo descendente termina quando a tenso atinge t.fctm e uma extenso dada pela equao (2.14)
(2.14)
Onde a extenso associada tenso de rotura do beto traco simples obtida pela equao (2.15).
(2.15)
em que :
*3 extenso de clculo associado ao diagrama tenso-extenso da metodologia tension
stiffening;
t parmetro que depende da durao da carga;
fctm resistncia mdia trao do beto;
ts definido pela equao (2.13);
Ecm modulo de elasticidade mdio do beto.
Na presente dissertao, por questes de ordem prtica e coerncia com o diagrama considerado para
efeito de tension stiffening, na zona referente a esse efeito, aps a cedncia da armadura na seco da
fenda, considerada uma reduo da tenso de cedncia da armadura, de modo a garantir na zona da
seo da fenda que a tenso de cedncia nas armaduras no ultrapassada tal como ilustra a Fig.
2.15.A tenso de cedncia fictcia da amadura, fsy, dada pela equao (2.16).
ctm
cttsctmtts
f
f
3*
cm
ctmct
E
f
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21
Fig. 2.15 Diagrama tenso-extenso para um tirante tracionado (Sousa, 2004).
(2.16)
onde:
fsy tenso de cedncia das armaduras;
Ac,ef rea da seo efetiva de beto tracionado que envolve as armaduras tracionadas, calculada de
acordo com a Fig. 2.13;
As rea transversal da armadura.
Os valores referentes s extenses, *2 e sy, representadas na Fig. 2.15 so dados pelas equaes (2.17)
e (2.18).
(2.17)
(2.18)
em que:
*2 extenso de clculo associada ao diagrama tenso-extenso para modelao do ao em
cedncia na seo da fenda;
sy extenso de cedncia do ao;
s,cedncia tenso de cedncia do ao;
Es mdulo de cedncia do ao;
s
efc
ctmsysyA
Afff
,' 4,0
efss
ctmtsy
E
f
,
2*
s
cedncias
syE
,
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22
s,ef parmetro que traduz a percentagem de armadura existente na zona de beto que afetada pela
interface ao/beto. O clculo deste parmetro est de acordo EC2, indica-se a leitura do seu
subcaptulo 4.3.1 de forma a proceder a uma estimativa correta deste valor (ver Fig. 2.13).
No presente estudo a armadura modelada em elementos embebidos de acordo com o grfico da Fig.
2.16.
Fig. 2.16 Diagrama tenso-extenso considerado para a armadura no presente estudo.
A correta modelao do efeito de tension stiffening torna-se importante em estruturas em estado
limite de servio para que sejam traduzidas corretamente as caractersticas de rigidez dos elementos de
beto armado tracionado e a correta quantificao da abertura de fendas (Sousa, 2004) .
Como j referido para a modelao do efeito de tension softening, os diagramas fornecidos ao
software tm em conta as extenses de fendilhao. De acordo com as equaes (2.11) e (2.12),o
diagrama fornecido ao programa para modelar o comportamento do beto armado entre fendas o
ilustrado pela Fig. 2.17.
Fig. 2.17 Diagrama, ilustrativo, de reteno de tenses de trao em elementos de beto armado fornecido ao
software.
De referir, que no presente trabalho no usado nenhum modelo de aderncia ao/beto concreto pois
entendeu-se que esse fenmeno bem caracterizado pelo efeito tension stiffening.
Estudo da Fendilhao em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retrao e Das Aes Distribudas No Piso
23
Nas anlises numricas efetuadas no presente estudo considera-se, durante a fase de fendilhao
estabilizada, uma tenso mdia retida pelo beto igual a 40 por cento da sua resistncia a trao, tal
como mostra a Fig. 2.14 e Fig. 2.17.Assim, o valor da abertura de fendas pode ser calculado (de forma
coerente com o que estabelecido no MC90, para situaes em que as aes so de longa durao),
multiplicando o valor da extenso de fendilhao dado pelo DIANA, , pela distncia mxima
entre fendas, lks,max. (calculado de acordo com o MC90),tal como demonstram as equaes (2.19) e
(2.20).
(2.19)
onde,
(2.20)
em que,
lk
s,max distncia mxima entre fendas em fase de fendilhao estabilizada;
s dimetro do varo;
sef percentagem efetiva de armadura dada por As/Ac,ef;
2.3.4. ABERTURA DE FENDAS SEGUNDO O MC90 (CEB-FIP, 1991)
Ao longo do presente trabalho o clculo analtico de abertura de fendas ser realizado de acordo com o
estipulado pelo MC90.Este critrio usado para que o clculo analtico seja coerente com os
resultados das anlises no lineares.
Segundo o MC90 a abertura de fendas calculado pela equao (2.21).
(2.21)
A determinao da deformao relativa entre beto e ao calculada pela equao (2.22).
(2.22)
onde,
s2 tenso na armadura calculada em seo totalmente fendilhada;
sE tenso da armadura no ponto de deslizamento nulo;
k
s
DIANA
crk lw max,
efs
sk
sl,
max,6.3
cscmsmk
sk lw max,
s
efse
efs
ctms
cmsmE
f,
,
2 1
Estudo da Fendilhao em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retrao e Das Aes Distribudas No Piso
24
bk tenso de aderncia mdia ao longo do comprimento de deslizamento entre ao e beto
relativo ao quantil inferior;
e razo entre o modulo de elasticidade do ao e o modulo de elasticidade do beto.
Os respetivos valores de e bk encontram-se na Erro! A origem da referncia no foi encontrada..
Tabela 2.2 Valores de e bk de acordo com MC90. (CEB-FIP, 1991)
Fase de Formao de
fendas
Fase de Fendilhao
estabilizada
bk bk
Ao de Curta
Durao 0.6 1.8 fctm (t) 0.6 1.8 fctm (t)
Ao de Longa
Durao 0.6 1.35 fctm (t) 0.38 1.8 fctm (t)
De referir que a abertura de fendas segundo o MC90 resulta do deslizamento relativo entre os
materiais ao longo do comprimento para um valor de aderncia relativo ao quantil inferior
(bk).A contribuio da extenso de retrao (cs) tambm considerada sendo coerente com o tipo de
anlise que se pretende com este trabalho, ao contrrio por exemplo do EC2 no subcaptulo 7.3.4, que
no considera a extenso de retrao no clculo de abertura de fendas.
2.4. CONSIDERAES FINAIS
No presente captulo pretendeu-se clarificar as consideraes gerais efetuadas no presente trabalho
para o comportamento do beto no fendilhado e fendilhado. Tendo em conta um comportamento do
beto no fendilhado procurou-se analisar os fenmenos de retrao e fluncia com pequenos
exemplos recorrendo ao programa de clculo DIANA. Por outro lado, atravs da caracterizao dos
efeitos de tension softening e tension stiffening pretendeu-se explicar o comportamento do beto
em fase fendilhada, assim como o clculo de abertura de fendas na presente dissertao. A fendilhao
tratada usando modelos de fendilhao distribuda de mltiplas fendas fixas com decomposio de
extenses permitindo considerar em simultneo os efeitos de fendilhao, retrao e fluncia. S uma
correta modelao constitutiva dos materiais permite obter resultados realistas
Estudo da Fendilhao em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retrao e Das Aes Distribudas No Piso
25
3
SIMULAO DA FENDILHAO
EM TIRANTES DE BETO
ARMADO DEVIDO A
DEFORMAES IMPOSTAS
INTERNAS E EXTERNAS
3.1. INTRODUO
No presente captulo pretende-se analisar a variao do esforo axial e a abertura de fendas em tirantes
sujeitos a deformaes impostas interna e externa. Entende-se como deformao imposta interna como
a resultante de deformaes intrnsecas ao elemento em estudo, em resultado da retrao do beto ou
de variaes de temperatura. De referir, que a prpria armadura apesar de no estar sujeita a
deformaes impostas como o beto (por exemplo retrao), esta provoca uma restrio ao elemento
de beto devido compatibilizao de extenses dos materiais. Por outro lado uma deformao
imposta externa resulta de aes exteriores ao elemento em estudo, aplicadas nas suas fronteiras (um
assentamento de apoio, por exemplo, ou deformaes de elementos vizinhos).
A anlise numrica baseada no MEF surge ento como uma ferramenta essencial ao estudo destes
fenmenos no-lineares. Porm no deixam de existir limitaes inerentes a esta anlise
nomeadamente na discretizao da malha de elementos finitos e nos processos de convergncia. Neste
captulo so usadas malhas no muito refinadas que consigam modelar o comportamento do beto, de
acordo com o explicado no captulo 2, de modo a que se obtenham resultados realistas. Estas malhas
sero aplicadas em modelos simples (tirantes) para que sejam posteriormente aplicveis a outras
estruturas, como lajes.
Os objetivos principais deste captulo so: perceber que influncia o fenmeno de retrao, quando
restringido, tem na variao do esforo axial e na abertura de fendas e validar o procedimento de
simulao numrica para posterior aplicao em lajes. Para que estes objetivos fossem concretizados,
no presente captulo foram elaborados tirantes de beto armado, com 3 diferentes percentagens de
armadura. Os mesmos tirantes so analisados com deformaes impostas externas e internas. Neste
Estudo da Fendilhao em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retrao e Das Aes Distribudas No Piso
26
capitulo considerou-se as propriedades geomtricas e materiais iguais quelas que foram consideradas
por (Lus, 2005).Este autor analisou tambm, na sua dissertao de mestrado, o comportamento de
tirantes de beto armado sujeitos a deformaes impostas impedidas, usando diferentes procedimentos
de anlise. Deste modo podem ser comparados os resultados obtidos atravs das duas estratgias.
De referir que em todas as simulaes efetuadas no presente captulo utilizou-se o programa de clculo
DIANA.
3.2. CARACTERIZAO DAS ESTRUTURAS EM ANLISE E DO MODELO ADOTADO
Neste captulo, o modelo adotado comum aos dois tirantes de beto armado mudando apenas o tipo
de deformao imposta. No foi considerado qualquer peso prprio para no introduzir nenhum tipo
de flexo.
3.2.1 MATERIAIS, GEOMETRIA E CONDIES DE APOIO
O modelo caraterizado por um tirante constitudo por beto armado, bi-encastrado para que as
deformaes estejam completamente restringidas, uma espessura de 0.24 m, um vo de 7 m e um ao
S500, tal como mostra a Fig. 3.1 e a Tabela 3.1.
Fig. 3.1 Modelo tipo utilizado para os tirantes de beto armado.
Tabela 3.1 Propriedades dos materiais considerados.
Propriedades Unidades
Beto
Ec 30.5 GPa
fck 30 MPa
fct 2.56 MPa
Gf 0.058 kN.m/m2
Humidade relativa 60 %
Coeficiente de Poisson ()
0.2
Temperatura 20 C
heq=2.Ac/u 240 mm
Ao fsk 500 MPa
Es 200 GPa
Foi considerado nos dois modelos um recobrimento de 25 mm, medido at face da armadura, por se
tratar do recobrimento para uma exposio ambiental normal (XC1) e para um tempo de vida til de
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27
projeto de 50 anos segundo EC2.Tambm foi considerado um dimetro de 12 mm que entendemos
adequado para esta anlise e para que o eixo da armadura fosse constante e igual para todos os tirantes.
No presente trabalho foi considerado um cimento de classe NR.
As quantidades de armadura utilizadas so as representadas na Tabela 3.2.
Tabela 3.2 Percentagens de armadura utilizadas.
Casos de
Anlise
As, superior
(cm2/m)
As, inferior
(cm2/m)
total (%)
1 6.28 6.28 0.260+0.260
2 10.18 10.18 0.425+0.425
3 20.11 20.11 0.840+0.840
Nestes tirantes a armadura simtrica por metro linear, sem qualquer tipo de dispensa e modelada no
software por elementos embebidos com o diagrama de tenso-extenso que se apresenta na Fig. 2.16 e
de acordo com o explicado em 2.3.3 relativo tenso fictcia de cedncia do ao.
3.2.2 ESQUEMA DE INTEGRAO E DEFINIO DAS ZONAS DE STIFFENING E SOFTENING
O modelo desenvolvido assume uma representao dos elementos de BA atravs de elementos finitos
do tipo viga de trs ns e dois pontos de integrao na direo do eixo da barra. Cada ponto de
integrao na direo do eixo da barra tem nove pontos de integrao na seco transversal de acordo
com o mtodo de Simpson, tal como se pode observar na Fig. 3.2.Na transio de zonas h
sobreposio de dois pontos de integrao na seco transversal, pois cada zona caracterizada por 3
pontos de integrao nessa direo.
Fig. 3.2 Esquema ilustrativo da integrao usado no modelo
Na zona 1 e 3 o beto modelado de acordo com o diagrama de tension stiffening (ver Fig. 2.14) e a
zona 2 de acordo com o tension softening (ver Fig. 2.11).Nestes modelos como a percentagem de
armadura simtrica o diagrama de tension stiffening ser igual na zona 1 e na zona 3.A rea efetiva
Estudo da Fendilhao em Lajes Restringidas, Devida ao Efeito Conjunto da Retrao e Das Aes Distribudas No Piso
28
associada ao efeito de tension stiffening, calculada segundo o EC2 para elementos de beto
armados quando sujeitos a trao pura, semelhante ao considerado pelo MC90 e como representado na
Fig. 2.13.
3.2.3 MALHA DE ELEMENTOS FINITOS E VARIAO DA RESISTNCIA DE TRAO DO BETO AO LONGO DOS
ELEMENTOS FINITOS.
Neste modelo foi considerado um tamanho do elemento finito igual distancia mxima entre fendas,
na fase de fendilhao estabilizada segundo MC90 (ver equao (2.20)).A reduo de rigidez que
ocorre quando se forma uma fenda sente-se ao longo desse comprimento, estando em coerncia com o
diagrama de tension stiffening adotado, que traduz o comportamento mdio ao longo desse
comprimento. Ao longo desse elemento finito (hb=lks,max) a energia de fratura ser corretamente
dissipada.
Para que o tirante no fendilhe integralmente e simultaneamente, foi considerado uma variao da
resistncia trao de 0,5% ao longo dos elementos sendo a resistncia trao do primeiro elemento
considerada fct,1= 2,56 MPA, tal como ilustra a Fig. 3.3.
Fig. 3.3 Variao da resistncia a trao ao longo dos elementos finitos.
A utilizao deste critrio tambm visa aproximar o comportamento do tirante o mais prximo da
realidade pois o valor constante da resistncia a trao ao longo de um tirante real no acontece.
Se no fossem aplicados estes critrios quando aplicado uma deformao imposta axial todos os
elementos fissuravam de uma s vez originam problemas de convergncia no modelo.
3.3. TIRANTE SUJEITO A UMA DEFORMAO IMPOSTA EXTERNA
O tirante seguidamente apresentado modelado de acordo com o descrito nos subcaptulos anteriores
tendo em conta o fenmeno de fluncia, fissurao e no considerando a retrao. Este tirante sujeito
a uma deformao imposta externa atravs de um assentamento de apoio horizontal (ver Fig. 3.4).
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Fig. 3.4 Modelo utilizado na anlise de um tirante com deformao imposta externa.
3.3.1 MODELAO DA DEFORMAO IMPOSTA E ANLISE NUMRICA INCREMENTAL.
A utilizao de uma deformao imposta externa atravs do controlo de um assentamento de apoio
horizontal deve-se ao facto de que atravs desta simulao verifica-se a queda
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