Resposta de circuitos RC e RL
Prof. Luis S. B. Marques
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JOINVILLE
DEPARTAMENTO DO DESENVOLVIMENTO DO ENSINO COORDENAÇÃO ACADÊMICA EletroEletronica
Introdução• Inicialmente estudaremos circuitos RL e RC livres
de fontes. Veremos que as respostas resultam das energias armazenadas nos elementos dinâmicos. Esta resposta é conhecida como resposta natural.
• Prosseguindo, iremos considerar os circuitos RL e RC nos quais as funções de alimentação são fontes independentes constante que são aplicadas repentinamente. A resposta consiste de duas partes: uma resposta natural e uma resposta forçada.
Circuito RC sem fontes
0=+Rv
dtdvC
• Aplicando LKC ao nó superior:
0=+CRv
dtdv
vCRdt
dv⋅−=
1dt
CRvdv
⋅−=1
oVv =)0(
•Integrando.......
• Equação diferencial autônoma
Circuito RC sem fontes
KRCtv +−=ln
∫∫ −= dtCRv
dv 1
KVv o == ln)0(ln
• A constante K deve ser escolhida de tal forma que a condição inicial v(0)=Vo seja satisfeita. Portanto, em t=0 tem-se que:
Circuito RC sem fontes
oVRCt
v lnln +−=
RCt
Vv o −=− lnln
RCt
Vv
o
−=ln
• Substituindo o valor para a constante K:
RCt
o eVtv−
⋅=)(
Circuito RC sem fontes
A tensão varia Exponencialmente
Constantes de tempo
• Em redes que contêm elementos armazenadores de energia é útil caracterizar a velocidade com a qual a resposta natural decresce.
• Percebe-se, em circuitos RC, que quanto menor o produto RC mais rapidamente a resposta natural decresce.
Constantes de tempo
Constante de tempo• O tempo para que
a resposta natural decresça de um fator 1/e é definido como constante de tempo do circuito, denominada
• A resposta, ao final de uma constante de tempo, fica reduzida a 0,368 do seu valor inicial.
• Ao final de cinco constantes de tempo a resposta é multiplicada pelo fator , ou seja, pode-se considerar a resposta igual a zero.
Constante de tempo• Ao final de duas
constantes de tempo a resposta é multiplicada pelo fator: 2−e
5−e
Circuito RL sem fontes
0=+ RidtdiL
• Aplicando LKT:
0=+ iLR
dtdi
iLR
dtdi
⋅−= dtLR
idi
⋅−=
Circuito RL sem fontes
KLRti +−=ln
∫∫ −= dtLR
idi
KIi o == ln)0(ln
Circuito RL sem fontes
oILRt
i lnln +−=
LRt
Ii o −=− lnln
LRt
Ii
o
−=ln
• Substituindo o valor para a constante K:
tLR
o eIti−
⋅=)(
Circuito RL sem fontes
RL
=τ
• Visto que a resposta natural também é uma função exponencial, como no circuito RC, essa resposta também possui uma constante de tempo. De forma análoga, a constate de tempo para o circuito RL é:
Resposta a uma função de excitação constante
•Até então temos estudado a resposta somente devida à energia armazenada em capacitores e indutores. Iremos agora estudar circuitos que, além da energia armazenada, são excitados por fontes de tensão ou corrente constantes, ou ainda, funções de excitação.
• Para estes circuitos as respostas serão compostas de duas partes, sendo uma delas constante.
Rede RC excitada
oVv =− )0(
0=++−dtdv
CRv
Io
•Considere que a tensão inicial sobre o capacitor é:
•Escrevendo a equação nodal
CI
dtdv
RCv o=+
RCRIv
dtdv o )( −
−=
RCdt
RIvdv
o
−=− )(
•Integrando.......
Rede RC excitada
∫∫ −=−
dtRCRIv
dv
o
1)(
oRIvu −=
∫∫ −= dtRCu
du 1
dvdu =Kt
RCu +−=
1ln
KtRC
RIv o +−=−1)ln(
o
KRCt
RIev +=+−
KeA =
oRCt
RIAev +=−
Rede RC excitada
oRCt
RIAev +=−
Resposta naturalResposta forçada
•Iremos agora avaliar a constate A
oVvv == +− )0()0(
oRIAev += 0)0(
• Substituindo em t=0+
oo RIAV +=
oo RIVA −=
oRCt
oo RIeRIVv +⋅−=−
)(
Rede RC excitada
Resporta natural
Resporta forçadaResporta completa
A função Degrau unitário•A função degrau unitário é uma função que é igual a zero para todos os valores negativos de seu argumento, e um para todos os valores positivos de seu argumento.
• A função degrau unitário pode ser usada para representar tensões ou correntes com descontinuidades finitas. Por exemplo, um degrau de V volts pode ser representado pelo produto Vu(t).
⎩⎨⎧
>
<=
0,10,0
)(tt
tu
Circuito RC com degrau de tensão
0)(=+
−
dtdvC
Rtuv
RCtu
RCv
dtdv )(
=+
0=+RCv
dtdv
RCt
Aev−
= •Para t<0 a equação torna-se:
•Cuja solução é:
•Inicialmente a energia armazenada no capacitor é zero.
0,0)( <⎯→⎯= ttv se
00)0( =⇒=− Av
Circuito RC com degrau de tensão
RCdtdv
RCv 1
=+
forçadanatural vvv +=
•Para t>0 a equação torna-se:
•Sabe-se que:
1=fv
RCt
n Aev−
=
0)(=+
−
dtdvC
Rtuv
RCtu
RCv
dtdv )(
=+
(por inspeção)
Circuito RC com degrau de tensão
1+=−RCt
Aev
•Portanto:
0,1)( >−=−
tetv RCt
10)0( −=⇒=+ Av•Escrevendo a solução encontrada de forma mais elegante:
)(1)( tuetv RCt
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
−
Circuito RL com degrau de tensão•Inicialmente a energia armazenada no indutor não é nula.
Circuito RL com degrau de tensão
Chaveamento sequencial•Sempre que o chaveamento ocorre mais de uma vez em um circuito temos o chaveamento sequencial.
•O processo de solução desse tipo de problema envolve a determinação de expressões para v(t) e i(t) para uma dada posição da chave e então utiliza-se essas expressões para determinação das condições iniciais para a próxima posição da chave.
Amplificador-integrador
Amplificador-integrador
•A tensão de saída de um amplificador integrador é igual à tensão inicial no capacitor mais a integral da tensão de entrada multiplicada por um fator igual a -1/RsCf.