01) Considere dois números inteiros e distintos. Sabemos que, se multiplicarmos o segundo número por 6 e do resultado subtrairmos o primeiro, obteremos 14 como resposta. Ainda com estes mesmos dois números, se multiplicarmos o primeiro deles por 5 e somarmos com o triplo do segundo, obteremos 29 como resposta. Quais são o primeiro e o segundo número, respectivamente?
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03) Duas vacas e um touro foram trocados por oito porcos.Em outra ocasião, uma vaca foi trocada por um touro e um porco. De acordo com a regra desses dois "negócios", uma vaca deve ser trocada por quantos porcos? E um touro deve ser trocado por quantos porcos?
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04) Pelo controle de entrada e saída de pessoas em uma unidade do TRF, verificou-se em certa semana que o número de visitantes na segunda-feira correspondeu a 3/4 do da terça-feira e este corresponder a 2/3 do da quarta-feita. Na quinta-feira e na sexta-feira houve igual número de visitantes, cada um deles igual ao dobro do da segunda-feira. Se nessa semana, de segunda à sexta-feira o total de visitantes foi de 750, o número de visitantes na:
a) segunda-feira foi de 120b) terça-feira foi de 150c) quarta-feira foi igual ao da quinta-feirae) sexta-feira foi menor do que o da quarta-feira
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05) A: um número multiplicado por 7 resultou em 119. Que número é esse?B: pensei em um número, dividi por 3 e subtrai 5, obtendo 6. Qual é esse número?C: qual é o número que, multiplicado por 5 somado com 12, resulta em 72?
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06) Em uma liquidação, o preço de um par de tênis é R$222,00. Se o preço da liquidação foi obtido dando um desconto de 26% no preço original, qual era o preço original?
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07) Ao organizar uma festa Paulinho decidiu organizar os convidados em mesas com 3 e 4 cadeiras. Sabendo que existiam na festa 50 pessoas e que foram ocupadas 15 mesas, determine o número de pessoas que ocuparam mesas com 3 cadeiras.
x = quantidade de mesas com 3 cadeirasy = quantidade de mesas com 4 cadeiras
3x + 4y = 50
x + y = 15, isolando y = 15 - x
Substituindo y por 15 - x na primeira equação, fica:
3x + 4(15 - x) = 503x + 60 - 4x = 503x - 4x = 50 - 60-x = -10 → multiplicando tudo por (-1), fica:x = 10 mesas com 3 cadeiras
Logo, ocuparam mesas com 3 cadeiras: 10.3 pessoas = 30 pessoas
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08) A diferença entre dois números naturais é igual a 62. Dividindo o maior deles pelo menor o quociente é 3 e o resto é 8.Quais são esses números?
x – y = 62 ou ainda x = 62 + y
Dividir um número natural a pelo número natural b significa encontrar outros dois números naturais q e r que obedeçam a estas condições: a = bq + r , e , r < b (r é menor do que b). O número a chama-se dividendo, b é o divisor, q é o quociente e r é o resto. x = 3y + 862 + y = 3y+83y - y = 62 - 82 y = 54y = 27x = 62+27x = 89
O maior é 89 e o outro é 27.
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09) Júnior e Luís jogam no mesmo time de futebol de areia. No último campeonato, os dois juntos marcaram 52 gols. Júnior marcou 10 gols a mais que Luís. Quantos gols Júnior marcou nesse campeonato?
Gols de Luis = LGols de Junior = J + 10A soma dá 52, então: L + L + 10 = 522L = 52 - 10L = 42/2L= 21 gols de Luis
Assim Júnior marcou 31 gols.
Questão 1
(Unifor – CE)
Um pacote tem 48 balas: algumas de hortelã e as demais de laranja. Se a terça parte
correspondente ao dobro do número de balas de hortelã excede a metade do de laranjas em 4
unidades, determine o número de balas de hortelã e laranja.
ver resposta
Questão 2
(Unirio – RJ)
Em um escritório de advocacia trabalham apenas dois advogados e uma secretária. Como o Dr.
André e o Dr. Carlos sempre advogam em causas diferentes, a secretaria Cláudia coloca 1
grampo em cada processo do Dr. André e 2 grampos em cada processo do Dr. Carlos, para
diferenciá-los facilmente no arquivo. Sabendo-se que , ao todo, são 78 processos nos quais
foram usados 110 grampos. Calcule o número de processos do Dr. Carlos.
ver resposta
Questão 3
Na compra de duas canetas e um caderno, Joana gastou R$ 13,00. Carlos comprou quatro
canetas e três cadernos e gastou R$ 32,00. Determine o valor de uma caneta e um caderno.
ver resposta
Questão 4
(UFMG)
Uma prova de múltipla escolha com 60 questões foi corrigida da seguinte forma: o aluno ganhava
5 pontos por questão que acertava e perdia 1 ponto por questão que errava ou deixava em
branco. Se um aluno totalizou 210 pontos, qual o número de questões que ele acertou?
Resposta Questão 1
Hortelã: x
Laranja: y
Temos 24 balas de hortelã e 24 de laranja.
voltar a questão
Resposta Questão 2
Dr. André : x
Dr. Carlos: y
O número de processos do Dr. Carlos é igual a 32.
voltar a questão
Resposta Questão 3
Caneta: x
Caderno: y
O valor de uma caneta é de R$ 3,5 e o de um caderno R$ 6,00.
voltar a questão
Resposta Questão 4
Acertos: x
Erros: y
Para totalizar 210 pontos, o aluno acertou 45 questões.
voltar a questão
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1° GRAU
Existem vários métodos de resolução entre os quais:
1) MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO
Este método consiste em achar o valor de uma das incógnitas em uma das equações e substituí-la na outra
EXEMPLO 1
Seja o sistema
X + Y = 5X - Y = 1
Da primeira equação podemos tirar que:
x + y = 5 sendo assim passando o y para o outro lada do igual e invertendo os sinais fica: x= 5-y
já que x vale ou é igual (5 -y) substituindo o valor de x na outra equação do sitema temos :
X – y = 1(5 –y) – y = 1-y –y = 1 -5-2y= -4y = -4 / -2y= 2
Substituindo y por 2 em x = 5 – y____________________x = 5 -2____________________x = 3
portando o resultando do sistema é ( 3,2)
EXEMPLO 2
Seja o sistema
X – 2y = 32x – 3y = 5
Sendo assim da primeira equação tiramos
X – 2y = 3 __________ x = 3 + 2y
Substituindo o valor de x na segunda equação :
2x – 3y = 52(3 + 2Y) – 3y = 56 + 4y – 3y = 54y – 3y = 5 – 6y = -1
Substituindo y por -1 em :x = 3 + 2yx = 3 + 2 (-1)x = 3 – 2
x = 1
logo a solução é ( 1 , -1)
2) MÉTODO DA ADIÇÃO
Este método consiste na eliminação de uma das incógnitas, adicionando-se membro a membro as duas equações. É necessário que os coeficientes da incógnita que se deseja eliminar sejam simétricos .
EXEMPLO 1
Seja o sistema
X + y = 5x – y = 1
Somando-se membro a membro as duas equações:
x + y = 5x – y = 1-----------2x = 6
x= 6/2x= 3
Substituindo esse valor de x em uma das equações dadas ( por exemplo na primeira)
x + y = 53 + y = 5y= 5 – 3
y = 2
logo a solução é : (3,2)
EXEMPLO 2
Seja o sistema
4x - y = 23x + 2y = 7
Neste caso, não temos coeficientes simétricos. Vamos então multiplicar todos os termos da primeira equação por 2:
8x - 2y = 43x + 2y = 7-----------11x = 11
x = 11/11
x = 1
Vamos substituir este valor de x em uma das equações dadas (por exemplo, na segunda):
3x + 2y =73.1 + 2y + 73 + 2y = 72y = 7-32y = 4y = 4/2
y = 2
Solução (1,2)
EXEMPLO 3
Seja o sistema
4x + 2y = 165x - 3y = 9
4X + 2Y = 16 ( vamos multiplicar essa equação por 3)5x – 3y = 9 ( vamos multiplicar essa equação por 2)
ObserveSomando membro a membro as equaçãos
12x + 6y = 4810x - 6y = 18----------------22x = 66
x= 66/22x = 3
Substituindo-se esse valor de x em uma das equações dadas ( por exemplo, na primeira)
4x + 2y = 164.3 + 2.y= 1612 + 2y = 162y = 16 – 122y = 4y = 4/2y = 2
solução (3,2)
EXERCICIOS
A) Calcule os sistemas
1) x - 3y = 1_2x +5y = 13________ (R:4,1)
2) 2x + y = 10__x + 3y = 15________ (R:3,4)
3) 3x + y = 13__2x - y = 12________ (R:5,-2)
4) 2x + 7y = 17__5x - y = -13________ (R:-2,3)
5) 2x + y = 4__4x - 3y = 3________ (R:3/2,5)
6) x + y = 2_3x + 2y = 6________ (R:2,0)
7) x/2 + y/3 = 3____x - y = 1________ (R:4,3)
8) x - y =5__x +y = 7________ (R:6,1)
9) x - y =2_2x +y = 4________ (R:2,0)
10) x + y =3__2x +3y = 8________ (R:1,2)
11) x - 3 = 0__2x - y = 1________ (R:3,5)
12) 3x + y =5___2x +y = 4________ (R:1,2)
13) x = y - 2__2x +y = -1________ (R:-1,1)
14) x - y -2 = 0__2x +y – 7= 0________ (R:3,1)
15) x + y = 7___x -y = 1________ (R:4,3)
16) x + y = 6___2x +y = 4________ (R:-2,8)
17) 2x + y = 5___x + 2y = 4________ (R:2,1)
18 ) x + y = 11___x - y = 3________ (R:7,4)
19) x - y = 16___x +y = 74________ (R:45,29)
20) x - y = 1___x +y = 9________ (R:5,4)
21) 2x - y = 20___2x +y = 48________ (R:17,14)
22) x + y = 1___x - y = 7__________ (R:4, -3)
23) x + y = 3___x - y = -5_________ (R:-1,4)
24) x + y = 5___x- y = -5_________ (R: 0,5)
25) Se x e y é a solução do sistema
x + y = 4x+ 2y = 6
então x - y é:a) 8b) 6c) 4d) 2e) 0 (X)
26) Se x e y é a solução do sistemaa + b = 32a+ b = 5
então a - b é:a) 0b) 2c) 4d) 3e) 1 (X)
27) Qual a solução do sistema de equações abaixo?
x – y = 32x + y = 9
a)(1,0)b)(2,3)c)(3,2)d)(4,1) (X)e)(5,3)
28) A solução do sistema
2x + y = 10x + 3y = 15 é
a) x=3 e y=4 (X)b) x=3 e y=5c) x=2 e y=4d) x=1 e y=5e) x=5 e y=3
29) Se x e y é a solução do sistema
x + 3y = 93x+ 2y = 6
então x - y é:
a) 0 (X)b) 3c) 6d) 9
B) RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COM SISTEMAS
1) Determine dois números, sabendo que sua soma é 43 e que sua diferença é 7 (R:25,18)
2) Um marceneiro recebeu 74 tabuas de compensado. Algumas com 6 mm de espessura e outras com 8 mm de espessura. Quando foram empilhadas atingiram uma altura de 50 cm. Quanta tabua de 8mm ele recebeu? (R: 28)
3) Em um estacionamento havia carros e motocicletas num total de 43 veículos e 150 rodas. Calcule o numero de carros e de motocicletas estacionadas. (R:32,11)
4) Uma empresa deseja contratar técnicos e para isso aplicou um prova com 50 perguntas a todos os candidatos. Cada candidato ganhou 4 pontos para cada resposta certa e perdeu um ponto para cada resposta errada. Se Marcelo fez 130 pontos quantas perguntas ele acertou? (R: 36)
5) Pedro e Paulo tem juntos R$ 81,00. Se Pedro der 10% do seu dinheiro a Paulo eles ficarão com quantias iguais. Quanto cada um deles tem? (R: 45,36)
6) Descubra dois números inteiros que somados dão 88, sabendo que um é igual ao triplo do outro (R:66,22)
7) Num quintal há 100 animais entre galinhas e coelhos. Sabedo que o total de pés é 320, quantas galinhas e quantos coelhos há nesse quintal? (R 40,60)
8) Num estacionamento há 80 veiculos, entre motos e carros. Se o total de rodas é 190, quantos carros e quantas motos há nesse estacionamento? ( R:65,15)
9) Um teste é composto de 40 questões. Para cada questão respondida certa são atribuidos três pontos (+3) Para cada questão respondida errada são descontados dois pontos (-2) Ilda respondeu a todas as questões desse teste e fez um total de 75 pontos . quantas questões foram respondidas certas? ( R: 31)
10) Um caminhão carrega 5000 pacotes de açucar de 2 kg e de 5 kg num total de 15 400 kg. Quantos pacotes de 2 kg e 5 kg esse caminhão está transportando ? (R: 3200,1800)
11) Ache dois números que a soma deles é 354 e a diferença entre eles é 128. ( R: 241,113)
A população de uma cidade A é três vezes maior que a população da cidade B. Somando a população
das duas cidades temos o total de 200.000 habitantes. Qual a população da cidade A?
Indicaremos a população das cidades por uma incógnita (letra que representará um valor desconhecido).
Cidade A = x
Cidade B = y
x = 3y
x + y = 200 000
Substituindo x = 3y
x + y = 200 000
3y + y = 200 000
4y = 200 000
y = 200 000/4
y = 50 000
x = 3y , substituindo y = 50 000
Temos
x = 3 * 50 000
x = 150 000
População da cidade A = 150 000 habitantes
População da cidade B = 50 000 habitantes
Exemplo 2
Cláudio usou apenas notas de R$ 20,00 e de R$ 5,00 para fazer um pagamento de R$ 140,00. Quantas
notas de cada tipo ele usou, sabendo que no total foram 10 notas?
x notas de 20 reais y notas de 5 reais
Equação do número de notas: x + y = 10
Equação da quantidade e valor das notas: 20x + 5y = 140
x + y = 10
20x + 5y = 140
Aplicar método da substituição
Isolando x na 1ª equação
x + y = 10
x = 10 - y
Substituindo o valor de x na 2ª equação
20x + 5y = 140
20(10 – y) + 5y = 140
200 – 20y + 5y = 140
- 15y = 140 – 200
- 15y = - 60 (multiplicar por -1)
15y = 60
y = 60/15
y = 4
Substituindo y = 4
x = 10 – 4
x = 6
Exemplo 3
Num aquário há 8 peixes, entre pequenos e grandes. Se os pequenos fossem mais um, seria o dobro dos
grandes. Quantos são os pequenos? E os grandes?
Pequenos: x
Grandes: y
x + y = 8
x + 1 = 2y
Isolando x na 1ª equação
x + y = 8
x = 8 - y
Substituindo o valor de x na 2ª equação
x + 1 = 2y
(8 – y) + 1 = 2y
8 – y + 1 = 2y
9 = 2y + y
9 = 3y
3y = 9
y = 9/3
y = 3
Substituindo y = 3
x = 8 – 3
x = 5
Peixes pequenos: 5
Peixes grandes: 3
Exemplo 4
Descubra quais são os dois números em que o dobro do maior somado com o triplo do menor dá 16, e o
maior deles somado com quíntuplo do menor dá 1.
Maior: x
Menor: y
2x + 3y = 16
x + 5y = 1
Isolando x na 2ª equação
x + 5y = 1
x = 1 – 5y
Substituindo o valor de x na 1ª equação
2(1 – 5y) + 3y = 16
2 – 10y + 3y = 16
- 7y = 16 – 2
- 7y = 14 (multiplica por -1)
7y = - 14
y = -14/7
y = - 2
Substituindo y = - 2
x = 1 – 5 (-2)
x = 1 + 10
x = 11
Os números são 11 e -2.
Resolva e classifique cada um dos sistemas.
1.
2.
3.
Resolução do Exercício de Matemática:
1.
Sistema impossível
2.
Sistema possível e determinado
3.
Sistema possível e indeterminado
Exercicios de Matematica 9 Ano - Sistema de Equações
Resolva e classifique os seguintes sistemas:
1.
2.
3.
Resolução dos Exercícios de Matemática de Sistema de Equações:
1.
Sistema possível e determinado
2.
Sistema possível e indeterminado
3.
Sistema impossível
Resolva e classifique os seguintes sistemas:
1.
2.
3.
Resolução dos Exercícios de Matemática de Sistema de Equações:
1.
Sistema possível e determinado Solução:
2.
Sistema possível e indeterminado. As soluções do sistema são os pontos de
coordenadas
3.
Sistema impossível
Problemas - Exercício 4
Na Figura está representado o retângulo de jogo de um campo de futebol. Determine e .
Resolução do exercício de matemática
Portanto, .
A Adriana é a irmã mais velha do Claudio. A diferença entre as idades dos dois irmãos é de 5 anos e a sua soma é 35 anos.
Qual a idade do Claudio? Qual a idade da Adriana?
Resolução do exercício de matemática:
Sejam:
a idade da Adriana.
a idade do Claudio.
O Cláudio tem 15 anos e a Adriana tem 20 anos.
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