Resolução Prova Matemática
ITA 2020
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Prova de Matemática ITA 2020
1. (ITA/2020)
Seja 𝜆 a circunferência que passa pelos pontos 𝑃 = (1, 1), 𝑄 = (13, 1) e 𝑅 = (7, 9). Determine:
a) A equação de 𝜆.
b) Os vértices do quadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷 circunscrito a 𝜆, sabendo que 𝑅 é o ponto médio de 𝐴𝐵.
2. (ITA/2020)
Lançando três dados de 6 faces, numeradas de 1 a 6, sem ver o resultado, você é informado de que a soma dos números observados na face superior de cada dado é igual a 9. Determine a probabilidade de o número observado em cada uma dessas faces ser um número ímpar.
3. (ITA/2020)
Dizemos que um número natural 𝑛 é um cubo perfeito se existe um número natural 𝑎 tal que 𝑛 = 𝑎3. Determine o subconjunto dos números primos que podem ser escritos como soma de dois cubos perfeitos.
4. (ITA/2020)
Sejam 𝑎 e 𝑏 dois números reais. Sabendo que o conjunto dos números reais 𝑘 para os quais a reta 𝑦 = 𝑘𝑥 intersecta a parábola 𝑦 = 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 é igual a (−∞, 2] ∪ [6, +∞), determine os números 𝑎 e 𝑏.
5. (ITA/2020)
Considere a função 𝑓:ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥6 − 10𝑥4 − 4𝑥3 + 25𝑥2 + 20𝑥 + 28.
a) Determine dois números reais 𝛼 e 𝛽 de modo que 𝑓 possa ser reescrita como 𝑓(𝑥) =(𝑥3 − 5𝑥 + 𝛼)2 + 𝛽.
b) Determine o valor mínimo de 𝑓.
c) Determine o(s) ponto(s) 𝑥 ∈ ℝ onde 𝑓 assume seu valor mínimo.
6. (ITA/2020)
Seja 𝑧 ∈ ℂ uma raiz da equação 4𝑧2 − 4𝑧 sen 𝛼 + 1 = 0, para 𝛼 ∈ [𝜋
2,𝜋
2]. Determine, em
função de 𝛼, todos os possíveis valores para:
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a) 2𝑧 +1
2𝑧.
b) (2𝑧)15 +1
(2𝑧)15.
7. (ITA/2020)
Seja 𝐻 o hexágono no plano de Argand-Gauss cujos vértices são as raízes do polinômio 𝑝(𝑥) =
(𝑥 − √3)6+ 64. Determine 𝑧 ∈ ℂ sabendo que o conjunto 𝑀 = {𝑧𝑥 ∈ ℂ ∶ 𝑥 ∈ 𝐻} é o
hexágono que possui 𝑣1 = −1 + √3𝑖, 𝑣2 = 1 − √3𝑖 e 𝑣3 = 5 − √3𝑖 como três vértices consecutivos.
8. (ITA/2020)
Considera a circunferência 𝜆 de centro 𝑂 passando por um ponto 𝐴. Sejam 𝐵 um ponto tal que
𝐴 é o ponto médio de 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ e 𝑀 um ponto de 𝜆 tal que 𝐴Ô𝑀 = 100°. Seja 𝑟 a reta tangente à 𝜆
passando por 𝑀. Seja 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ a projeção ortogonal do segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ sobre a reta 𝑟. Determine, em
graus, a medida do ângulo 𝐴�̂�𝐵.
9. (ITA/2020)
Determine todos os números inteiros 𝑘 entre 0 e 200 para os quais o polinômio 𝑝𝑘(𝑥) = 𝑥3 −
𝑥2 − 𝑘 possui uma única raiz inteira. Para cada um desses valores de 𝑘, determine a raiz inteira correspondente.
10. (ITA/2020)
Considere uma pirâmide reta 𝑃 cuja base é um hexágono regular de lado 𝑙. As faces laterais dessa pirâmide formam um ângulo diedro de 75° com a base da própria pirâmide. Sabendo que 𝑃 está inscrita em uma esfera, determine o raio dessa esfera.
Gabarito
1. 𝐚) (𝒙 − 𝟕)𝟐 + (𝒚 −𝟏𝟏
𝟒)𝟐
=𝟔𝟐𝟓
𝟏𝟔 𝐛) 𝑨 (
𝟑
𝟒, 𝟗) 𝑩 (
𝟓𝟑
𝟒, 𝟗) 𝑪 (
𝟓𝟑
𝟒,−𝟕
𝟐) 𝑫 (
𝟑
𝟒,−𝟕
𝟐)
2. 𝟕/𝟐𝟓 3. 𝑺 = {𝟐} 4. 𝒂 = 𝟒 e 𝒃 = 𝟏
5. 𝐚) 𝜶 = −𝟐 𝐞 𝜷 = 𝟐𝟒 𝐛) 𝒇𝒎í𝒏(𝒙) = 𝟐𝟒 𝐜) − 𝟐; 𝟏 + √𝟐; 𝟏 − √𝟐 6. 𝐚) 𝟐𝒔𝒆𝒏𝜶 𝐛) − 𝟐𝐬𝐞𝐧(𝟏𝟓𝜶)
7. 𝒛 = √𝟑 + 𝒊
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8. 𝟒𝟎° 9. 𝑺 = {𝟐; 𝟑; 𝟒; 𝟓; 𝟔}
10. 𝑹 = 𝒍 ⋅ (𝟏𝟒√𝟑−𝟑
𝟏𝟐)
Prova Resolvida e Comentada
1. (ITA/2020)
Seja 𝜆 a circunferência que passa pelos pontos 𝑃 = (1, 1), 𝑄 = (13, 1) e 𝑅 = (7, 9). Determine:
a) A equação de 𝜆.
b) Os vértices do quadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷 circunscrito a 𝜆, sabendo que 𝑅 é o ponto médio de 𝐴𝐵.
Comentários
a) Equação da circunferência de raio 𝑟 centrada no ponto 𝑂(𝑎, 𝑏):
(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2
Substituindo os pontos dados:
𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 1 → 𝑃(1,1): (1 − 𝑎)2 + (1 − 𝑏)2 = 𝑟2
𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 2 → 𝑄(13,1): (13 − 𝑎)2 + (1 − 𝑏)2 = 𝑟2
𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 → 𝑅(7,9): (7 − 𝑎)2 + (9 − 𝑏)2 = 𝑟2
De eq. 1 e eq. 2:
(1 − 𝑎)2 = (13 − 𝑎)2
1 − 2𝑎 + 𝑎2 = 169 − 26𝑎 + 𝑎2
24𝑎 = 168
𝑎 = 7
Substituindo o valor de 𝑎 na eq. 1:
(1 − 7)2 + (1 − 𝑏)2 = 𝑟2
𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 4 → 36 + (1 − 𝑏)2 = 𝑟2
Substituindo o valor de 𝑎 na eq. 3:
(7 − 7)2 + (9 − 𝑏)2 = 𝑟2
𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 5 → 𝑟2 = (9 − 𝑏)2
Das eq. 4 e 5:
36 + (1 − 𝑏)2 = (9 − 𝑏)2 ∴ 36 + 1– 2𝑏 + 𝑏2 = 81– 18𝑏 + 𝑏2 ∴ 16𝑏 = 44 ∴ 𝑏 =11
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Substituindo o valor de 𝑏 na eq. 5:
𝑟2 = (9 −11
4)2
∴ 𝑟 =25
4
Portanto, a equação da circunferência será:
(𝑥 − 7)2 + (𝑦 −11
4)2
=625
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b) Percebendo que o centro da circunferência está na mesma abscissa que o ponto R, o lado AB do quadrado é tangente à circunferência em R e paralelo ao eixo x. Assim:
Logo:
𝐴 = (7 −25
4,11
4+25
4) = (
3
4, 9)
𝐵 = (7 +25
4,11
4+25
4) = (
53
4, 9)
𝐶 = (7 +25
4,11
4−25
4) = (
53
4,−7
2)
𝐷 = (7 −25
4,11
4−25
4) = (
3
4,−7
2)
Gabarito: a) (𝒙 − 𝟕)𝟐 + (𝒚 −𝟏𝟏
𝟒)𝟐
=𝟔𝟐𝟓
𝟏𝟔 b) 𝑨(
𝟑
𝟒, 𝟗) 𝑩 (
𝟓𝟑
𝟒, 𝟗) 𝑪 (
𝟓𝟑
𝟒,−𝟕
𝟐) 𝑫 (
𝟑
𝟒,−𝟕
𝟐)
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2. (ITA/2020)
Lançando três dados de 6 faces, numeradas de 1 a 6, sem ver o resultado, você é informado de que a soma dos números observados na face superior de cada dado é igual a 9. Determine a probabilidade de o número observado em cada uma dessas faces ser um número ímpar.
Comentários
Sejam 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} os números rolados nos três dados. Queremos a probabilidade condicional de 𝑎, 𝑏, 𝑐 serem ímpares, sabendo que 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 9.
Em geral,
Pr(𝐴|𝐵) =𝑃𝑟(𝐴 ∩ 𝐵)
Pr(𝐵)
Logo,
Pr (𝑎, 𝑏, 𝑐 í𝑚𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 | 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 9) =Pr(𝑎, 𝑏, 𝑐 ímpares ∧ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 9)
Pr(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 9)
Como o conjunto universo é o mesmo, podemos trocar Pr(𝑋) por 𝑛(𝑋).
I) 𝑛(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 9) = ?
Vamos listar as possibilidades para a soma dar 9, que são poucas:
{
1 + 2 + 61 + 3 + 5
⋮1 + 6 + 2
5 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠
{
2 + 1 + 62 + 2 + 5
⋮2 + 6 + 1
6 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠
{
3 + 1 + 53 + 2 + 4
⋮3 + 5 + 1
5 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠
{
4 + 1 + 44 + 2 + 3
⋮4 + 4 + 1
4 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠
{
5 + 1 + 35 + 2 + 25 + 3 + 1
3 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠
{6 + 1 + 26 + 2 + 1
2 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠
Total = 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 = 25 maneiras de somar 9
II) 𝑛(𝑎, 𝑏, 𝑐 ímpares e 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 9) = ?
Quantas das somas acima contém apenas números ímpares?
1 + 3 + 5
1 + 5 + 3
3 + 1 + 5
3 + 3 + 3
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3 + 5 + 1
5 + 1 + 3
5 + 3 + 1
Há 7 triplas ordenadas de soma 9 com números contidos em {1,3,5}.
Logo,
Pr(𝑎, 𝑏, 𝑐 ímpares e 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 9)
Pr(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 9)= n(𝑎, 𝑏, 𝑐 ímpares e 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 9)
n(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 9)=7
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Gabarito: 𝟕/𝟐𝟓
3. (ITA/2020)
Dizemos que um número natural 𝑛 é um cubo perfeito se existe um número natural 𝑎 tal que 𝑛 = 𝑎3. Determine o subconjunto dos números primos que podem ser escritos como soma de dois cubos perfeitos.
Comentários
Sejam 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ tais que 𝑎3 + 𝑏3 = 𝑝, com 𝑝 primo. Assim, temos:
𝑝 = 𝑎3 + 𝑏3⏟ ∈ ℕ
= (𝑎 + 𝑏)⏟ ∈ ℕ
(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2)⏟ ∈ ℕ
Como 𝑝 é primo, temos duas possibilidades para os fatores:
I) 𝑎 + 𝑏 = 1 e 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑝
Como 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ, temos de 𝑎 + 𝑏 = 1 que as soluções são:
𝑎 = 1 e 𝑏 = 0 ou 𝑎 = 0 e 𝑏 = 1
Substituindo 𝑎 = 1 e 𝑏 = 0 na equação 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑝:
12 = 𝑝 ⇒ 𝑝 = 1
Como 1 não é primo, temos que esses valores de 𝑎 e 𝑏 não convém, analogamente para 𝑎 =0 e 𝑏 = 1. Assim, devemos analisar o segundo caso.
II) 𝑎 + 𝑏 = 𝑝 e 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2 = 1
Fazendo 𝑎 = 𝑝 − 𝑏, temos:
(𝑝 − 𝑏)2 − (𝑝 − 𝑏)𝑏 + 𝑏2 = 1
𝑝2 − 2𝑝𝑏 + 𝑏2 − 𝑝𝑏 + 𝑏2 + 𝑏2 = 1
𝑝2 − 3𝑏𝑝 + 3𝑏2 − 1 = 0
Analisando o discriminante:
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Δ = (3𝑏)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (3𝑏2 − 1) = 4 − 3𝑏2
Como 𝑝 é a soma de dois naturais, temos que 𝑝 também é natural, logo devemos ter Δ ≥ 0:
4 − 3𝑏2 ≥ 0 ⇒ 𝑏2 ≤4
3
Como 𝑏 ∈ ℕ, a única possibilidade é 𝑏 = 1.
Encontrando as raízes para 𝑝:
𝑝 =3𝑏 ± √4 − 3𝑏2
2=3 ± 1
2= 2 𝑜𝑢 1
Como 1 não é primo, temos 𝑝 = 2.
Para esse valor de 𝑝:
𝑎 + 𝑏 = 𝑝 ⇒ 𝑎 + 1 = 2 ∴ 𝑎 = 1
Portanto, o subconjunto dos números primos que satisfazem ao problema é 𝑆 = {2}.
Gabarito: 𝑺 = {𝟐}.
4. (ITA/2020)
Sejam 𝑎 e 𝑏 dois números reais. Sabendo que o conjunto dos números reais 𝑘 para os quais a reta 𝑦 = 𝑘𝑥 intersecta a parábola 𝑦 = 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 é igual a (−∞, 2] ∪ [6, +∞), determine os números 𝑎 e 𝑏.
Comentários
Devemos ter que:
𝑘𝑥 = 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑥2 + (𝑎 − 𝑘)𝑥 + 𝑏 = 0
Δ = (𝑎 − 𝑘)2 − 4𝑏 ≥ 0 (pois existe intersecção)
𝑎2 − 2𝑎𝑘 + 𝑘2 − 4𝑏 ≥ 0
𝑘2 − 2𝑎𝑘 + 𝑎2 − 4𝑏 ≥ 0 (𝐼)
Δ′ = (−2𝑎)2 − 4 ∙ 1 ∙ (𝑎2 − 4𝑏) = 4𝑎2 − 4𝑎2 + 16𝑏
⇒ Δ′ = 16𝑏
Encontrando as raízes em 𝑘:
{
𝑘1 =
2𝑎 + √16𝑏
2= 𝑎 + 2√𝑏
𝑘2 =2𝑎 − √16𝑏
2= 𝑎 − 2√𝑏
O intervalo que satisfaz a inequação (𝐼) é:
𝑘 ∈ (−∞, 𝑎 − 2√𝑏] ∪ [𝑎 + 2√𝑏, +∞)
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Comparando com o intervalo dado no enunciado:
𝑘 ∈ (−∞, 2] ∪ [6, +∞)
Temos que:
{𝑎 + 2√𝑏 = 6
𝑎 − 2√𝑏 = 2⇒ (𝑎, 𝑏) = (4,1)
Gabarito: 𝒂 = 𝟒 e 𝒃 = 𝟏
5. (ITA/2020)
Considere a função 𝑓:ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥6 − 10𝑥4 − 4𝑥3 + 25𝑥2 + 20𝑥 + 28.
a) Determine dois números reais 𝛼 e 𝛽 de modo que 𝑓 possa ser reescrita como 𝑓(𝑥) =(𝑥3 − 5𝑥 + 𝛼)2 + 𝛽.
b) Determine o valor mínimo de 𝑓.
c) Determine o(s) ponto(s) 𝑥 ∈ ℝ onde 𝑓 assume seu valor mínimo.
Comentários
a) 𝑓(𝑥) = (𝑥3 − 5𝑥 + 𝛼)2 + 𝛽
𝑓(𝑥) = 𝑥6 + 25𝑥2 + 𝛼2 + 2𝛼𝑥3 − 10𝛼𝑥 − 10𝑥4 + 𝛽
𝑓(𝑥) = 𝑥6 − 10𝑥4 + 2𝛼𝑥3 + 25𝑥2 − 10𝛼𝑥 + 𝛼2 + 𝛽
Comparando a equação encontrada com a equação da função dada:
2𝛼𝑥3 = − 4𝑥3 ∴ 𝛼 = −2 ou −10𝛼𝑥 = 20𝑥 ∴ 𝛼 = −2
&
𝛼2 + 𝛽 = 28 ∴ 4 + 𝛽 = 28 ∴ 𝛽 = 24
b) Substituindo os valores encontrados:
𝑓(𝑥) = (𝑥3 − 5𝑥 − 2 )2 + 24
𝑓(𝑥) = 𝑞(𝑥) + 24
Como 𝑞(𝑥) ≥ 0 , 𝑓(𝑥)𝑚í𝑛 = 24
c) 𝑞(𝑥) = (𝑥3 − 5𝑥 − 2 )2 = 0
Por verificação, percebe-se que −2 é raiz.
Então: 𝑞(𝑥) = (𝑥 + 2)(𝑥2 − 2𝑥 − 1)
Resolvendo a equação de segundo grau: as raízes obtidas são: 1 + √2 e 1 − √2
Logo, as raízes de 𝑞(𝑥) são −2, (1 + √2 ) e (1 − √2 ).
Gabarito: a) 𝜶 = −𝟐 e 𝜷 = 𝟐𝟒 b) 𝒇𝒎í𝒏(𝒙) = 𝟐𝟒 c) −𝟐; 𝟏 + √𝟐; 𝟏 − √𝟐
6. (ITA/2020)
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Seja 𝑧 ∈ ℂ uma raiz da equação 4𝑧2 − 4𝑧 sen 𝛼 + 1 = 0, para 𝛼 ∈ [𝜋
2,𝜋
2]. Determine, em
função de 𝛼, todos os possíveis valores para:
a) 2𝑧 +1
2𝑧.
b) (2𝑧)15 +1
(2𝑧)15.
Comentários
Como 𝑧 é raiz da equação, por teste, temos que 𝑧 ≠ 0.
Assim, vamos dividir a equação 4𝑧2 − 4𝑧𝑠𝑒𝑛𝛼 + 1 = 0 por 2𝑧.
2𝑧 − 2𝑠𝑒𝑛𝛼 +1
2𝑧= 0
⇒ 2𝑧 +1
2𝑧= 2𝑠𝑒𝑛𝛼
a) 2𝑧 +1
2𝑧= 2𝑠𝑒𝑛𝛼
b) Seja 𝑤 = 2𝑧 = |𝑤|𝑐𝑖𝑠𝜃, vamos encontrar |𝑤| a partir do |𝑧|. Para isso, vamos resolver a equação dada no enunciado:
4𝑧2 − 4𝑧𝑠𝑒𝑛𝛼 + 1 = 0
∆ = (−4𝑠𝑒𝑛𝛼)2 − 4 ∙ 4 ∙ 1 = −16𝑐𝑜𝑠2𝛼
Como 𝛼 ∈ [−𝜋
2,𝜋
2], podemos escrever que:
𝑧 =4𝑠𝑒𝑛𝛼 ± 4𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑖
2 ∙ 4
𝑧 =1
2(𝑠𝑒𝑛𝛼 ± 𝑖 𝑐𝑜𝑠𝛼)
|𝑧| =1
2
Dessa forma, podemos concluir que |𝑤| = 1.
𝑤 +1
𝑤= 2𝑠𝑒𝑛𝛼
𝑐𝑖𝑠𝜃 +1
𝑐𝑖𝑠𝜃= 2𝑠𝑒𝑛𝛼
(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃) + (𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃) = 2𝑠𝑒𝑛𝛼
2 cos 𝜃 = 2𝑠𝑒𝑛𝛼
𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑠𝑒𝑛𝛼 ⇒ 𝜃 =𝜋
2− 𝛼
Dessa forma,
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(2𝑧)15 +1
(2𝑧)15= 𝑤15 +
1
𝑤15= 𝑐𝑖𝑠15𝜃 +
1
𝑐𝑖𝑠15𝜃= 2 cos(15𝜃) = 2 cos (
15𝜋
2− 15𝛼) =
2 cos (15𝜋
2) cos (15𝛼) + 2𝑠𝑒𝑛 (
15𝜋
2) sen(15𝛼) = −2sen(15𝛼)
∴ (2𝑧)15 +1
(2𝑧)15= −2sen(15𝛼)
Gabarito: a) 𝟐𝒔𝒆𝒏𝜶 b) −𝟐𝐬𝐞𝐧(𝟏𝟓𝜶)
7. (ITA/2020)
Seja 𝐻 o hexágono no plano de Argand-Gauss cujos vértices são as raízes do polinômio 𝑝(𝑥) =
(𝑥 − √3)6+ 64. Determine 𝑧 ∈ ℂ sabendo que o conjunto 𝑀 = {𝑧𝑥 ∈ ℂ ∶ 𝑥 ∈ 𝐻} é o
hexágono que possui 𝑣1 = −1 + √3𝑖, 𝑣2 = 1 − √3𝑖 e 𝑣3 = 5 − √3𝑖 como três vértices consecutivos.
Comentários
Vamos encontrar os vértices do hexágono 𝐻:
𝑝(𝑥) = (𝑥 − √3)6+ 64 = 0
(𝑥 − √3)6= −64 = −26 = 26 ⋅ 𝑐𝑖𝑠(𝜋 + 2𝑘𝜋)
𝑥𝑘 − √3 = 2 ⋅ 𝑐𝑖𝑠 (𝜋
6+𝑘𝜋
3)
⇒ 𝑥𝑘 = √3 + 2 ⋅ 𝑐𝑖𝑠 (𝜋
6+𝑘𝜋
3)
Os vértices são dados por:
𝑥1 = √3 + 2 ⋅ 𝑐𝑖𝑠 (𝜋
6+ 0 ⋅
𝜋
3) = √3 + 2 ⋅ 𝑐𝑖𝑠 (
𝜋
6) = √3 + 2(
√3
2+𝑖
2) = 2√3 + 𝑖
𝑥2 = √3 + 2 ⋅ 𝑐𝑖𝑠 (𝜋
6+ 1 ⋅
𝜋
3) = √3 + 2 ⋅ 𝑐𝑖𝑠 (
𝜋
2) = √3 + 2𝑖
𝑥3 = √3 + 2 ⋅ 𝑐𝑖𝑠 (𝜋
6+ 2 ⋅
𝜋
3) = √3 + 2 ⋅ 𝑐𝑖𝑠 (
5𝜋
6) = √3 + 2(−
√3
2+𝑖
2) = 𝑖
𝑥4 = √3 + 2 ⋅ 𝑐𝑖𝑠 (𝜋
6+ 3 ⋅
𝜋
3) = √3 + 2 ⋅ 𝑐𝑖𝑠 (
7𝜋
6) = √3 + 2(−
√3
2−𝑖
2) = −𝑖
𝑥5 = √3 + 2 ⋅ 𝑐𝑖𝑠 (𝜋
6+ 4 ⋅
𝜋
3) = √3 + 2 ⋅ 𝑐𝑖𝑠 (
3𝜋
2) = √3 − 2𝑖
𝑥6 = √3 + 2 ⋅ 𝑐𝑖𝑠 (𝜋
6+ 5 ⋅
𝜋
3) = √3 + 2 ⋅ 𝑐𝑖𝑠 (
11𝜋
6) = √3 + 2(
√3
2−𝑖
2) = 2√3 − 𝑖
Esboçando os pontos no plano de Argand-Gauss:
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Note que o centro do hexágono 𝐻 é o ponto 𝑥0 = √3 e ele possui lado de medida 2 (basta ver a distância do vértice 𝑖 ao vértice −𝑖).
Sabendo que o hexágono 𝑀 é formado pelos vértices consecutivos 𝑣1 = −1 + √3𝑖, 𝑣2 = 1 −
√3𝑖 e 𝑣3 = 5 − √3𝑖, temos o seguinte esboço:
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Estamos interessados em saber qual o número complexo 𝑧 que transforma o hexágono 𝐻 no hexágono 𝑀. O bizu aqui é analisar os centros dos hexágonos e usar a forma polar do complexo 𝑧:
𝑧 = |𝑧| ⋅ 𝑐𝑖𝑠 𝜃
O centro do hexágono 𝐻 é o ponto:
𝑥0 = √3
Observando-se a figura, podemos ver que o lado do hexágono 𝑀 mede 4 (distância de 𝑣2 até 𝑣3). Além disso, o centro do hexágono 𝑀 é:
𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙 → 𝑅𝑒(𝑣2) +4
2= 1 + 2 = 3
𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛á𝑟𝑖𝑎 → √3𝑖
Assim, o centro de 𝑀 é 𝑣0 = 3 + √3𝑖.
Como 𝑀 é formado pelo hexágono 𝐻 pela multiplicação de 𝑧, e os lados dos hexágonos 𝐻 e 𝑀 medem, respectivamente, 2 e 4, temos que o módulo de 𝑧 é:
|𝑧| =4
2= 2
Como o argumento do centro do hexágono 𝐻 é 0°, temos que o argumento de 𝑧 será igual ao argumento do centro de 𝑀, logo:
arg(𝑧) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝐼𝑚(𝑣0)
𝑅𝑒(𝑣0)) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
√3
3) = 30°
Portanto, o complexo 𝑧 é:
𝑧 = |𝑧|𝑐𝑖𝑠𝜃 = 2𝑐𝑖𝑠(30°) = 2(√3
2+𝑖
2) = √3 + 𝑖
∴ 𝑧 = √3 + 𝑖
Gabarito: 𝒛 = √𝟑 + 𝒊
8. (ITA/2020)
Considera a circunferência 𝜆 de centro 𝑂 passando por um ponto 𝐴. Sejam 𝐵 um ponto tal que
𝐴 é o ponto médio de 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ e 𝑀 um ponto de 𝜆 tal que 𝐴Ô𝑀 = 100°. Seja 𝑟 a reta tangente à 𝜆
passando por 𝑀. Seja 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ a projeção ortogonal do segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ sobre a reta 𝑟. Determine, em
graus, a medida do ângulo 𝐴�̂�𝐵.
Comentários
Solução 1)
De acordo com o enunciado, temos a seguinte figura:
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Como 𝑂𝑀 = 𝑂𝐴 = 𝐴𝐵 (raio da circunferência), temos que Δ𝑀𝑂𝐴 é isósceles. Além disso, 𝑂𝑀//𝐴𝐷//𝐵𝐸, logo 𝑂𝐴 = 𝐴𝐵 implica 𝑀𝐷 = 𝐷𝐸, ou seja, 𝐴𝐷 é mediatriz do Δ𝐴𝑀𝐸. Portanto, Δ𝐴𝑀𝐸 é isósceles com 𝐴𝑀 = 𝐴𝐸.
Sendo 𝐴�̂�𝐵 = 𝛼 e 𝐴𝐷//𝐵𝐸, temos 𝐷�̂�𝐸 = 𝛼, logo:
Pela figura, podemos ver do Δ𝑀𝑂𝐴:
100° + 2𝛽 = 180° ⇒ 𝛽 = 40°
Como 𝑂𝑀//𝐴𝐷, concluímos que 𝛼 = 𝛽 = 40°.
Solução 2)
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Percebe-se que AD é base média do trapézio MOBE. Sendo 𝐵𝐸 = 𝑎, e 𝑀𝑂 = 𝐴𝑂 = 𝐴𝐵 = 𝑏,
tem-se 𝐴𝐷 = 𝑎+𝑏
2.
Traçando-se uma paralela a ME por O, tem-se o ponto A’ na interseção entre a reta traçada e AD e o ponto B’ na interseção da linha traçada e BE.
𝐴𝐴’ = 𝑎 + 𝑏
2− 𝑏 =
𝑎 − 𝑏
2
𝐵𝐵’ = 𝑎 − 𝑏
Seja 𝐴Ê𝐵 = 𝛼.
Lei dos senos ∆𝐴𝐴′𝑂:
𝑎 + 𝑏2
𝑠𝑒𝑛 𝐵′𝑂𝐵=
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝑂𝐴′𝐴 ∴ 𝑎 = 𝑏(2 𝑠𝑒𝑛 𝐵’𝑂𝐵 + 1)
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Como MÔA = 100°, B’OB = 10°: 𝑎 = 𝑏(2 𝑠𝑒𝑛 10° + 1)
Lei dos senos ∆𝐴𝐵𝐸:
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝑎
𝑠𝑒𝑛 (𝐵Â𝐸 − 𝛼)
∴ 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑏 𝑠𝑒𝑛 (𝐵Â𝐸 − 𝛼)
Substituindo o valor de 𝑎:
𝑏(2 𝑠𝑒𝑛 10° + 1)𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑏 𝑠𝑒𝑛 (𝐵Â𝐸 − 𝛼)
(2 𝑠𝑒𝑛 10° + 1)𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛 𝐵Â𝐸 . cos 𝛼 − cos 𝐵Â𝐸 . 𝑠𝑒𝑛 𝛼
Sendo BÂE = 100° e 𝑠𝑒𝑛 10° = −𝑐𝑜𝑠 100°:
(−2 𝑐𝑜𝑠 100° + 1)𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛 100° . cos 𝛼 − cos 100° . 𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛 100° . cos 𝛼 + cos 100° . 𝑠𝑒𝑛 𝛼
]𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛 (100° + 𝛼)
1ª 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒: 100° + 𝛼 = 𝛼 (𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣é𝑚)
2ª 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒: 𝛼 + 100° + 𝛼 = 180° ∴ 𝑥 = 40°
Gabarito: 𝟒𝟎°
9. (ITA/2020)
Determine todos os números inteiros 𝑘 entre 0 e 200 para os quais o polinômio 𝑝𝑘(𝑥) = 𝑥3 −
𝑥2 − 𝑘 possui uma única raiz inteira. Para cada um desses valores de 𝑘, determine a raiz inteira correspondente.
Comentários
Suponha que 𝛼 ∈ ℤ seja a raiz inteira do polinômio. Aplicando-se o dispositivo prático de Briot-Ruffini, temos:
𝛼 1 −1 0 − 𝑘 1 𝛼 − 1 𝛼2 − 𝛼 𝛼3 − 𝛼2 − 𝑘
Assim, podemos escrever:
𝑝𝑘(𝑥) = (𝑥 − 𝛼)[𝑥2 + (𝛼 − 1)𝑥 + 𝛼2 − 𝛼]
𝑅𝑒𝑠𝑡𝑜 = 𝛼3 − 𝛼2 − 𝑘 = 0
Do resto, temos:
𝛼3 − 𝛼2 − 𝑘 = 0 ⇒ 𝛼2(𝛼 − 1) = 𝑘
Como 𝑘 ∈ [0, 200] e 𝛼 ∈ ℤ, temos que 𝛼2 ≥ 0, logo 𝛼 − 1 ≥ 0, ou seja, 𝛼 ≥ 1. Sendo 𝑘 um número natural, temos que 𝛼2(𝛼 − 1) também deve ser um número natural. Para isso, devemos ter 𝛼 ∈ ℕ. Testando as possibilidades:
𝛼 = 1 ⇒ 12(1 − 1) = 0 = 𝑘
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𝛼 = 2 ⇒ 22(2 − 1) = 4 = 𝑘
𝛼 = 3 ⇒ 32(3 − 1) = 18 = 𝑘
𝛼 = 4 ⇒ 42(4 − 1) = 48 = 𝑘
𝛼 = 5 ⇒ 52(5 − 1) = 100 = 𝑘
𝛼 = 6 ⇒ 62(6 − 1) = 180 = 𝑘
𝛼 = 7 ⇒ 72(7 − 1) = 294 > 200
Portanto, as possíveis raízes inteiras são: 𝛼 ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Devemos provar que essas raízes são as únicas inteiras.
Vamos analisar o polinômio quadrático e verificar se há outra raiz inteira.
𝑝𝑘(𝑥) = (𝑥 − 𝛼)[𝑥2 + (𝛼 − 1)𝑥 + 𝛼2 − 𝛼]
𝑞(𝑥) = 𝑥2 + (𝛼 − 1)𝑥 + 𝛼2 − 𝛼
Analisando o discriminante:
Δ = (𝛼 − 1)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (𝛼2 − 𝛼) = 𝛼2 − 2𝛼 + 1 − 4𝛼2 + 4𝛼
Δ = −3𝛼2 + 2𝛼 + 1
Encontrando as raízes, temos:
𝛼 =−2 ± √4 − 4 ⋅ (−3) ⋅ 1
−6=−2 ± √16
−6= 1 𝑜𝑢 −
1
3
Fazendo o estudo do sinal para Δ:
Note que para 𝛼 > 1, o discriminante sempre será negativo e isso implica que as outras raízes são complexas. Vamos analisar a raiz 𝛼 = 1:
𝑝𝑘(𝑥) = (𝑥 − 𝛼)[𝑥2 + (𝛼 − 1)𝑥 + 𝛼2 − 𝛼] ⇒ 𝑝0(𝑥) = (𝑥 − 1)𝑥
2
Nesse caso, temos uma raiz 0 com multiplicidade 2 e uma raiz 1 e isso não satisfaz a condição do enunciado. Portanto, as únicas raízes são:
𝑆 = {2; 3; 4; 5; 6}
Gabarito: 𝑺 = {𝟐; 𝟑; 𝟒; 𝟓; 𝟔}
10. (ITA/2020)
Considere uma pirâmide reta 𝑃 cuja base é um hexágono regular de lado 𝑙. As faces laterais dessa pirâmide formam um ângulo diedro de 75° com a base da própria pirâmide. Sabendo que 𝑃 está inscrita em uma esfera, determine o raio dessa esfera.
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Comentários
Espacialmente, temos os seguinte problema:
De acordo com a figura, pela tangente de 75° no triângulo 𝐴𝑂1𝑃, vem:
𝑡𝑔(75°) =𝑂1𝑃
𝐴𝑂1
Em que:
𝐴𝑂1 = 𝑂1𝐵1 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(60°)
𝐴𝑂1 = 𝑙 ⋅√3
2
Logo:
𝑡𝑔(75°) =𝐻
𝑙 ⋅√32
𝑡𝑔(45° + 30) =𝐻
𝑙 ⋅√32
𝑡𝑔45° + 𝑡𝑔30°
1 − 𝑡𝑔30° ⋅ 𝑡𝑔45°=
𝐻
𝑙 ⋅√32
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1 +√33
1 − 1 ⋅√33
=𝐻
𝑙 ⋅√32
3 + √3
3 − √3=
𝐻
𝑙 ⋅√32
𝐻 = 𝑙 ⋅√3
2⋅ (3 + √3
3 − √3)
𝐻 = 𝑙 ⋅√3
2⋅(3 + √3)
2
6
𝐻 = 𝑙 ⋅√3(12 + 2 ⋅ 3 ⋅ √3)
12
𝐻 = 𝑙 ⋅ (√3 +3
2)
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo 𝐵1𝑂1𝑂2, vem:
𝑅2 = (𝑙)2 + (𝐻 − 𝑅)2
𝑅2 = 𝑙2 + 𝐻2 − 2 ⋅ 𝐻 ⋅ 𝑅 + 𝑅2
0 = 𝑙2 + 𝑙2 ⋅ (√3 +3
2)2
− 2 ⋅ 𝑙 ⋅ (√3 +3
2) ⋅ 𝑅
𝑅 = 𝑙 ⋅ (1 + (√3 +
32)2
2√3 + 3)
𝑅 = 𝑙 ⋅ (1 + 3 + 3 ⋅ √3 +
94
2√3 + 3)
𝑅 =𝑙
4⋅ (25 + 12√3
2√3 + 3)
𝑅 =𝑙
4⋅ (25 + 12√3
2√3 + 3) ⋅(2√3 − 3)
(2√3 − 3)
𝑅 = 𝑙 ⋅ (14√3− 312
)
Gabarito: 𝑹 = 𝒍 ⋅ (𝟏𝟒√𝟑−𝟑
𝟏𝟐)
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