7/25/2019 RESOLUO QUESTES PROBLEMAS HALLIDAY 3.docx
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Instituto Federal do ParCurso de Engenharia de Controle e Automao 2 semestre
Disciplina: Fsica IIProessor: !eonardo "ascimento
#esoluo de Pro$lemas do !i%ro Fundamentos da Fsica &'
Ed( )ol( *2014
A Fig.21-30 mostra um sistema de quatro partculas carregadas com
=300 e d=2,00 cm . A carga da partcula 2 q2=+8,00 1019 ; a
carga das partculas 3 e 4 q3=q4=1,60 1019 . (a) Qual dee ser a
dist!"cia # e"tre a origem e a partcula 2 para que a $or%a que age so&re apartcula 1 se'a "ula?(&) e as partculas 3e 4 so apro*imadas
do ei*o x ma"te"do-se
simtricas em rela%o aeste ei*o+ o alor dadist!"cia # maior+me"or ou igual ao doitem (a)?
#E+,!-./,
#ados,
CAP01-!,2
P#,3!E4A 25
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2/92
d=2 cm
cos30 =3/2
|q3|=|q4|=1,6 1019
|q2|=+8 1019
lculo de r a partir dos tri!"gulos
cos30 = dr=r . cos30=d
r= d
32
=2 d
3 + logo r=2 d
3
alcula"do a $or%a eletrosttica temos,
F13=|q1|=|q3|cos30
r2
F14=|q1|=|q4|cos30
r2
F13=|q1|=|q3|cos30
r2
A"alisa"do as compo"e"tes e $a/e"do a soma etorial temos,
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Fr=2|q1||q3|cos30
4 r2
=2|q1||q3|
4
3 1
24 d
2
2
=33|q1 q3|
16 d2
Fr=3 3|q1 q3|16 d
2
FrF12=0
33|q1 q3|16 d
2 =
|q1||q2|4 (D+d)2
33|q1 q3|
16 d2 =
|q1|5|q3|4 (D+d )2
33|q1 q3|16 d
2 =
|q1|5|q3|4 (D+d)2
(D+d)2=5 4 d
2
33
D=d 2 5331=1,92 cm
a Fig. 21-31+ as partculas 1 e 2+ de carga q1=q2=+3,20 1019 + esto
so&re o ei*o y + a uma dist!"cia d=17,00 cm da origem. A partcula 3
de carga q3=+6,40 1019 + deslocada ao lo"go do ei*o x + de x=0
at x=+5,0 m . ara que alor de x o mdulo da $or%a eletroesttica
e*ercida pelas partculas 1 e 2 so&re a partcula 3 (a) m"imo e (&)
m*imo? Quais so os alores (c) m"imo e (d) m*imo do mdulo.
CAP01-!,2
P#,3!E4A 2
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#E+,!-./,
FRes=2Fe cos=2 (2 e ) (4 e )
4 0 (x2+d2 )
x
(x2+d2 )1
2
= 4 e
2x
0 (x2+d2 )
3
2
#eria"do ape"as o que est de"tro do crculo temos,
ddx
FRes
ddx
=(x2+d2 )
3
2x 2x3
2(x2+d2 )
1
2
[((x2+d2 )32)]2
ddx
=(x2+d2 )
3
2
(x2+d2 )3
3x (x2+d2 )1
2
(x2+d2 )3
ddx
=(x2+d2 )32
3x2
(x2+d2 )
5
2
ddx
=x
2+d23x2
(x2+d2 )
5
2
=d
22x2
(x2+d2 )
5
2
#ados
e=1,6 1019 C
cos=x /x2+d2
q1=q2=3,2 1019
C q1=q2=2 e
q3=6,4 1019
C q3=4 e
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d
dxFRes=
4 e2
0
d22x2
(x2+d2 )5
2
d
dxFRes=0
4 e2
0
d22x2
(x2+d2 )5
2
=0 d22x2=0
2x2=d2 x=
d
2
A"alisa"do o estudo si"al temos,
a) omo o po"to m"imo
e"co"tra-se "o limite i"$erior do i"teralo+ e"to xmin=0 ;
&) xmax= d2
=12 cm;
c) alor m"imo da FRes=0 ;
d) alor m*imo ,
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4 e2
0
d22x2
(x2+d2 )5
2
Parax=d
2 xmax=12 cm=0,12m
FRes=4,9 1026N
A Fig. 21-32 a mostra um sistema de trs partculas carregadas separadas
por uma dist!"cia d . As partculas A e esto 5*as "o lugar so&re o ei*o
x ( Fig. 21-32 b ). As curas da Fig. 21-32 c mostram+ para duas
situa%6es+ o mdulo Fl! da $or%a eletrosttica total que as outras
partculas e*ercem so&re a partcula A. 7sta $or%a total est plotada em
$u"%o do !"gulo e como m8ltiplo da uma $or%a de re$er"cia F0 .
Assim+ por e*emplo+ "a cura 1+ para =180 + emos que Fl!=2F0 . (a)
para a situa%o correspo"de"te 9 cura 1+ qual a ra/o e"tre a carga dapartcula e a carga da partcula : (i"clui"do o si"al)? (b) Qual a mesma razopara a situao correspondente curva 2?
#E+,!-./,
a)
F= 1
4 0
q1 q2
d2
Qua"do =0
F!=0
FC"+F#"=0
FC"=F#"
Qua"do=180
CAP01-!,2
P#,3!E4A 22
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F!=2F0
"de+
F#"= 1
4 0
q" q#
d2
FC"= 1
4 0
q" qC
(2 d )2
ogo+
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=esulta"te "a partcula A , 1+2> . ? para =180 + a For%a =esulta"te
ser de 0+@>.
rimeirame"te iremos calcular a situa%o 1 ( =0 ),
F#"+FC"=1,25
$ q" q#
d2 +
$ q" qC
(2 d )2 =1,25
4$ q" q#+$ q" qC4 d
=1,25
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C
4 q#+qC
4 q#+q
$$3 d
Aps a ma"ipula%o alg&rica+ o resultado ser,
qcq#
=16
ma casca es$rica "o-co"dutora+ com um raio i"ter"o de 4+0 cm e um raioe*ter"o de B+0 cm+ possui uma distri&ui%o de cargas "o-Comog"eas. Ade"sidade olumtrica de carga D a carga por u"idade de olume+ medida
em coulom&s por metro c8&ico. o caso dessa casca+%=
b
r + o"de r
dista"cia em metros a partir do ce"tro da casca e b 3,0 & C/m2
.Qual a
carga total da casca.
#E+,!-./,
CAP01-!,2
P#,3!E4A 2*
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r1=4 cm
r2=6 cm
#ados
%=br ;se"do b=3,0 &c /m
2
r1=4 cm
r2=6 cm
"otao:
d'=r2 sendd(dr
"de+ sen dd (=4
7"to+ d'=4 r2
dr
%=dqd'
dq=%d'
dq=%d' q= br 4 r2 dr
q=4 br1
r2
rdrq=4 br
2
2 |r2r1
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q=2 b r2|r2r1 q=2 b (r22r 12 )
q=2 3 (0,0620,042 )
q0,038& C=3,8 108C
A Fig. 21-3> mostra dois eltro"s+ 1 e 2+ so&re o ei*o x + e dois o"s+ 3 e 4+
de carga q + so&re o ei*o y . !"gulo o mesmo para os dois
o"s. eltro"s 2 est lire para se moer; as outras trs partculas soma"tidas 5*as a uma dist!"cia Cori/o"tal Rdo eltro" 2+ e seu o&'etio
impedir que o eltro" 2 se moa. ara alores 5sicame"te posseis de
q ) 5 e
+ determi"e (a) o me"or alor possel de
; (&) o segu"do me"or
alor possel de ; (c) 0 terceiro me"or alor possel de .
#E+,!-./,
cos=Rr
r= Rcos
Fe2,1=Fe2,3x+Fe2,4x
CAP01-!,2 P#,3!E4A *6
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Fe2,3x=Fe2,3 cos
Fe2,4x=Fe2,4 cos
$(e ) (e )
R2
=$(e ) (q ) cos
r2
+$(e ) (q )cos
r2
*($e)
e
R2=
q cos
r2 +
q cos
r2
R
cos
2
e
R2=
2 q cos
=esole"do a equa%o acima+ co"sidera"do a e*ig"cia de que q ) 5 e "os
lea a,
e2cos
3)5 e1
(10)1
3
) cos
pro&lema pede para Ealores 5sicame"te posseisE+ e ra/oel supor
que ape"as alores positios-i"teiros m8ltiplos de e so permitidos para
q . e dei*armos q=ne + para n=1,+, 5 + em seguida+ ser
e"co"trado toma"do o cos13
1
2 n .
ne= e
2cos3
=cos1
3 12 n
a) ara n=1;
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=cos13 12 1=cos1312=cos10,794 37,5 (R-P/0" )
&) ara n=2;
=cos13 12 2=cos13 14=cos10,629 50,95 (R-P/0")
c) ara n=3;
=cos13 12 3=cos13 16=cos1 0,55 56,6 (R-P/0")
os cristais de cloreto de csio+ os o"s de csio++Cs
+ esto "os oito
rtices de um cu&o+ com um o" de cloro+Cl
+ "o ce"tro (Fig. 21-3B). A
aresta do cu&o tem 0,40 nm . s o"s+Cs
possuem um eltro" a me"os
(e+ porta"to+ uma carga +e )+ e os o"s
Cl
possuem um eltro" a mais
(e+ porta"to+ uma carga 1 e ). (a) Qual o mdulo da $or%a eletrosttica
total e*ercida so&re o o"Cl
pelos o"s+Cs
situados "os rtices do
cu&o. (&) e um dos o"sCs
est $alta"do+ di/emos que o cristal possui
CAP01-!,
2
P#,3!E4
A *7
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um de$eito; qual o mdulo da $or%a eletrosttica total e*ercida so&re o o"
Cl
pelos o"s+Cs
resta"tes?
#E+,!-./,
a) ada o" de csio "o ca"to do cu&o e*erce a mesma $or%a sem se"tidosopostos so&re o o" de cloro "o ce"tro do cu&ro+ deste modo a $or%a totale*ercida so&re o o" de cloro igual a /ero.
&)
=e+=+e ; C l
C s ;
c)+ ;
q1 q2=e
d) d=a32
;
e)Fe=2
e 2
d2=2
e2
( 34 )a2=
(8,99 109 ) ( 1,6 1019 )2
( 34 ) (0,4 109 )2
=1,9 109N
CAP01-!,22
P#,3!E4A 8
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A Fig. 22-3 um a"el de plstico de raio R=50,0 cm . #uas peque"as
co"tas coloridas esto so&re o a"el, a co"ta 1+ de carga +2,00& + que
ma"tida 5*a "a e*tremidade esquerda+ e a co"ta 2+ de carga +6,00& +que pode ser deslocada ao lo"go do a"el. As duas co"tas produ/em+ 'u"tas+
um campo eltrico de mdulo - "o ce"tro do a"el. #etermi"e (a) um
alor positio e (&) um alor "egatio do !"gulo para que
-=2,00 105N/ .
#E+,!-./,
#ados
q1=+2,00 106 C
q2=+6,00 106
C
-=+2 105N/C
R=50,0 cm
alcula"do o campo eltrico das compo"e"tes temos,
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-x= q1
4 0R2
q 2cos
4 0R2
-y=q1 cos
4 0R2
Assim;
-2=-x
2+-y2
-2=
q12
(4 0R
2
)2
2 q2q1cos
(4 0R
2
)2+
(
q2 cos
4 0R
2
)
2
+
(
q2 sen
4 0R
2
)
2
-2=
q12
(4 0R2 )
2
2 q2q1cos
(4 0R2 )
2+
q22
c s2
(4 0R2 )
2+
q22
se n2
(4 0R2)
2
-2=
q12
(4 0R2
)2
2 q2q1cos
(4 0R2
)2+
q22 (c s2 s e n2 )
(4 0R2
)2
-2= q1
2
(4 0R2 )
2
2 q2q1cos
(4 0R2 )
2+
q22 (1 )
(4 0R2 )
2
-2=
q12+q2
22 q2 q1 cos
(4 0R2 )
2
=cos1(q12+q2
2(4 0R2)2
-2
2 q1 q2 )
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u&stitui"do os alores temos,
a) alor positio do !"gulo =67,8
&) alor "egatio do !"gulo =67,8
#uas co"tas carregadas esto so&re o a"el da Fig. 22-40a+ que possui umraio R G B0+0 cm. A co"ta 2+ que "o aparece "a 5gura+ ma"tida 5*a. A
co"ta 1 est i"cialme"te so&re o ei*o x + "a posi%o =0
+ mas
deslocada para a e*tremidade oposta do a"el+ ou se'a+ para a posi%o
=180 + passa"do pelo primeiro e segu"do quadra"tes do sistema de
coorde"adas xy . A Fig.22-40b mostra a compo"e"te x do campo
eltrico produ/ido "a origem pelas duas co"tas em $u"%o de , e a Fig.
22-40cmostra a compo"e"te y do campo. As escalas dos ei*os erticais
so de5"idas por -xs=5,0 104N/C e -ys=9,0 10
4N/C . Qual !"gulo
da co"ta 2? #etermi"e as cargas (&) da co"ta 1 e (c) da co"ta 2.
CAP01-!,22
P#,3!E4A 9
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#E+,!-./,
a) Qua"do a co"ta 1 est "o ei*o H positio+ "o e*iste compo"e"te I docampo eltrico resulta"te+ o que implica que a co"ta 2 est "o ei*o J"egatio+ e"to o ngulo ; (
&) q 1=4
0
-=4 (8,854.1012 )(0,6)(5.104 )=2.106 C
c) q 2=4 0-=4 (8,854.1012 )(0,6)(4.104 )=1,6.106 C
Quadrupolo eltrico. A Fig. 22-42 mostra um quadrupolo eltrico+ $ormadopor dois dipolos de mesmo mdulo e se"tidos opostos. Kostre que o alor
de - em um po"to P so&re o ei*o do quadrupolo situado a uma
dist!"cia 3 do ce"tro (supo"do 3d ) dado por,
-= 3 4
4 034
CAP01-!,
22
P#,3!E4
A 2
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"de+2 q d2
4 ) cCamado de mome"to quadrupolar da distri&ui%o de
cargas.
#E+,!-./,
alcula"do o campo eltrico "o po"to temos,
+
-=-
1
4
q
(32d2 )2=14
q
(32d2 )2
"ota: (32d
2 )2
=[32 (1d
2 )]2
G (32)2
(1 d232)
2
q
4 (32)2 (1 d232 )
2=
q
4 (32)2 (1+ d232)
2
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q
4 (32)2
[ 1
(1 d232 )2
1
(1+ d232)2 ]
"ota:x=
d
232 ? logo o&temos a segui"te e*presso,
q
4 (32)2
1
(1x )2
1
(1+x )2 + resole"do ape"as a parte em ermelCo
temos,
[ 1(1x )2 1(1+x )2 ]=[(1+x )2
(1+x )2
1
(1x )2
1
(1+x )2
(1x )2
(1x )2 ]
(1+x )2
(1+x )2 (1x )2 (1x)2
(1+x )2 (1x )2
(1+x )2(1x )2
(1+x )2 (1x )2=
4x
(1x2 )2
Assim:q
4 (32)2
4x
(1x2)2=
q
4 (32)2
[4 d
232
1
[1( d232)2
]2 ]
-2=
qd
2 (32 )3 e
-1=
qd
2 (31 )3
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ogo+ o campo eltrico produ/ido pelo dipolo eltrico ser,
-1+-2=-q
qd2
[ 1
(3d2 )3
1
(3+ d2 )3 ]
qd2
[3( d2 )3
(3+ d2 )3
]
"ota: E@panso 3inominal
(3d /2 )3 5 33334 (d /2 )
(3+d /2 )3 5 33334 (d /2 )
omo 4=2 q d2
-= qd
2 0[133+3 d234133+3 d234 ]= 6 q d2
4 034
-= 3 4
4 (3 )4
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a Fig. 22->1+ uma carga positiaq=7,816
est distri&uda
u"i$ormeme"te em &arra 5"a+ "o-co"dutora+ de comprime"to 7=14,5cm
. #etermi"e (a) o mdulo e (&) a orie"ta%o (em rela%o ao semi-ei*o x
positio) do campo eltrico produ/ido "o po"to P + situado so&re a
mediatri/ da &arra+ a uma dist!"cia R=6,00 cm da &arra.
#E+,!-./,
CAP01-!,22
P#,3!E4A *2
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"otaes:
r=x2+R2 + cos=Rr +
sen=xR
8=dqdx
d-= 1
4
dq
r2
d- cos= 1
4 dq
r2 cos
-= d- cos= 14
dq
r2 cos -=d- cos= 1
4 dq
r2
Rr
-= d- cos= 14
R dqr
2
1
r -=
1
4 R 8dx
(x2+R2)
1
(x2+R 2 )1
2
-= 1
4 R8
0
l
2dx
(x2+R2 )3
2
x=R tan
dxd
=R9 tan+R tan 9=R se c2
-= 1
4 R 8 2 R s e c
2 d
((R tan )2+R2 )3
2
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24/92
"otao:
= se c2
c s
2
c s2
+ se n2
cos = 1c s21+! :2
-= 1
4 R 8 2 R s e c
2 d
((R tan )2+R2 )3
2
=esole"do ape"as a equa%o em ermelCo temos
((R tan )2+R2 )3
2=[((R tan )2+R2 )]3
2
[R2
( ! :2
+1) ]
3
2
R3
sec3
Assim;
((R tan )2+R2 )3
2=R3 se c3
ogo;
-= 1
4 R 8 2R s e c
2 d
R3 se c
3
-= 1
4
8 2
R 1 d
sec -=
1
4
8 2
R cosd
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25/92
-= 1
4
8 2R
( senseni )
sen= x
x2+R2
-= 1
4
8 2
R
x
x2+R2|l /20
-= 14
8 2R
7
72+4R2
=12,4N/C
a Fig. 22->2+ uma &arra "o-co"dutora Lsemi-i"5"itaM (ou se'a+ i"5"itaape"as em um se"tido) possui uma de"sidade li"ear de cargas u"i$orme
8
. Kostre o campo eltrico
-6"o po"to
P
$a/ um !"gulo de45
CAP01-!,22
P#,3!E4A **
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26/92
com a &arra e que esse resultado "o depe"de da dist!"cia R . (ugesto,
calcule separadame"te as compo"e"tes de -6 "as dire%6es paralela e
perpe"dicular 9 &arra).
#E+,!-./,
r2=x2+R
8=dqdx
cs=R
r
sen=xR
d-= 1
4
dq
r
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-y=d-cs= 1
4 dqr
cs
-y= d-cs= 14
8dx
(x2+R2)
R
(x2+R2)1 /2
-y= 8R4
0
+1ne
=5,44x 109m / s (R-P/0")
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60/92
CAP01-!,28
P#,3!E4A 76
A Fi: . 2636a mostra uma &arra de material resistio. A resist"cia por
u"idade de comprime"to da &arra aume"ta "o se"tido positio do ei*o x .
7m qualquer posi%o x ao logo da &arra a resist"cia dR de um
eleme"to de largura dx dada por dR=5,00x dx + o"de dR est em
oCms e x em metros. A Fi: . 2636 b mostra um desses eleme"tos de
resist"cia. trecCo da &arra e"tre x=0 e x=7 cortado e ligado aos
termi"ais de uma &ateria com uma di$ere"%a de pote"cial '=5,0 ' (
Fi: . 2636 c ). Qual dee ser o alor de 7 para que a pot"cia
dissipada pelo trecCo cortado se'a 200
#E+,!-./,:
R= dRR=0
7
dR
R=0
7
5x dx R=50
7
x dx
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R=5x 2
27
0 R=5
72
25
(0)2
2 R=5
72
2
P=
'2
R R=
'2
P
R=(5)2
200 R=
25
200 R=0,125 H
0,125=57
2
2 7
2=2. 0,125
5 7=0,05 7=0,224m(R-P/0" )
a 5gura 2@-3@ a $o"te 1 tem uma $or%a eletromotri/ -1=12,0 ' e uma
resist"cia i"ter"a r1=0,016 H + e a $o"te 2 tem uma $or%a eletromotri/
-2=12,0 ' e uma resist"cia i"ter"a r2=0,012 H . As $o"tes so ligadas
em srie com uma resist"cia e*ter"a R .(a) Qual o alor de R para
o qual a di$ere"%a de pote"cial e"tre os termi"ais de uma das $o"tes /ero(&) om qual das duas $o"tes isso aco"tece
#E+,!-./,
a) Aplica"do a lei das malCas de ZircCo[ ao circuito temos,
1ir1iR1i r2=0
'a+1i r1='b
CAP01-!,29
P#,3!E4A 2
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1ir1='b'a
1ir1=0
1=i r1
i=1
r1
Assim su&stitui"do "a e*presso i"icial temos,
1ir1iR1i r2=0
11r 1
r11r1
R11r1
r2=0
R= 2r11r 2
1
R=0,004 K
&) a&emos que a pot"cia 8til $or"ecida pela $o"te , ot"cia total \ ot"ciadissipada. s alores das $or%as eletromotri/es so co"sta"tes. ara apot"cia ser igual a /ero+ mais proel que se'a para a $o"te com maiorresist"cia i"ter"a.
ma celular solar produ/ uma di$ere"%a depote"cial de 0+10 S qua"do um resistor de >00 ] ligado a seus termi"ais+e uma di$ere"%a de pote"cial de 0+1> S qua"do o alor do resistor de 1000]. #etermi"e (a) a resist"cia i"ter"a e (&) a $or%a eletromotri/ da celularsolar. (c) A rea da clula >+0 cm2 e a pot"cia lumi"osa rece&ida 2+0m^Wcm2. Qual a e5ccia da clula ao co"erter e"ergia lumi"osa em
e"ergia trmica $or"ecida ao resistor de 1000 ]
CAP01-!,29
P#,3!E4A 22
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#E+,!-./,
o"sidera"do o segui"te esquema temos,
a) Aplica"do a lei das malCas deZircCo[ ao circuito da esquerdatemos,
i1R1i1 r1=0
=i1(R1+r ) (1)
Fa/e"do o mesmo para o circuito da direita temos,
=i2 (R2+r ) (2)
Assim+ iguala"do as equa%6es (1) e (2) temos,
r=i1R1i2R2
i2i1 (3)
alcula"do as corre"tes i1 e i2 temos,
i1='ab
R1=
(0,10 ')(500 K)
=2,0 104 "
i2='ab
R2=
(0,15 ')(1000 K)
=1,5 104 "
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u&stitui"do os alores "a equa%o (3) temos,
r=i1R1i2R2
i2 i1=
(2,0 104 ) (500 K )(1,5 104 ) (1000 K)
(1,5 104
)(2,0 104
)
r=1000 K=1,0 103 K
&) 7"to+ su&stitui"do os alores para equa%o (1) temos,
=i1(R1+r )
=(2,0 104 ) [(500 K)+(1000K )]
=0,30 '
c) A e5ci"cia da clula a ra/o e"tre a pote"cia dissipada pelo resistor
R1 ou R1, ( PR que a pote"cia rece&ida do sol pela clula (
Ps . 7ste o produto da i"te"sidade da lu/ solar que ati"ge a clula 1
da rea (A) da clula.
e=PR
Ps=
=23R2
="
e= (1,5 104 )2 (1000 K)
(2,0 103 O /cm2 ) (5,0 cm2 )=2,3 103
e=0,23
m 5o de raio aG 0+2>0 mm tem uma capa de alum"io de raio e*ter"o bG0+3V0 mm. A corre"te "o 5o composto iG 2+00 A. sa"do a Ta&ela 2B-1+
calcule a corre"te (a) "o co&re e (&) "o alum"io. (c) e uma di$ere"%a de
CAP01-!,29
P#,3!E4A 69
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pote"cial $ % 12+0 S e"tre as e*tremidades ma"tm a corre"te+ qual ocomprime"to do 5o composto
#E+,!-./,
"otao:
Rc=%7"
RC=%7
a2
R"l= %7
"2"1 R"l=
%7
b2 a2
%7
(b2a2 )
o"sidera"do os segui"tes 5os em paralelo+ logo teremos um circuito emparalelo e assim o&seramos que a di$ere"%a de pote"cial aplicada "asresist"cias do circuito estaro su&metidas a mesma di$ere"%a de pote"cial.Assim+ pelo circuito a&ai*o temos,
a) 'c='a
iCRC=i"lR"l
iC%C7
a2 =
ia%a7
( b2a2 )
iC%C
a2 =
i"%"
( b2a2 )
iC%C
r C2=
i"l%"
(r"l2rC
2 )
Assim+ isola"do iC e i"l , temos,
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iC= rC
2i"l%"
%C(r"l2rC2 )
i"l=iC%C(r"l
2rC2 )
rC2%"
Aplica"do a regra dos "s pela lei de _ircCo[ temos,
i=iC+ i"l
orre"te para co&re,
i=iC+ i"l
iC=iiC%C(r"l
2r C2 )
rC2%"
iC=i rC
2%"iC%C(r"l
2rC2 )
r C2%"
iCrC2%"+iC%C(r"l
2rC2 )=irC
2%"
iCrC2%"+iC%C(r"l
2rC2 )=irC
2%"
iC[ rC2%"+%C(r"l2rC2)]=i rC2%"
iC= i r
C
2%
"
[rC2%"+%C(r"l2rC2 )]
=esole"do a parte em ermelCo temos,
[r C2%"+%C(r"l2rC2)]=(2,75 108 K m) (0,250 103 m )2+ (1,69 108K m )[ (0,380 103 m )2(0,250 10
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[r C2%"+%C(r"l2rC2)]=(3,10 1015
K m )
ogo+ a corre"te "o co&re ,
iC=(0,250103 m)2 (2,75 108 K m ) (2,00" )
(3,10 1015 K m )
iC=1,11"
orre"te para alum"io,
i=iC+ i"l
i"l=iiC
i"l=i rC
2i"l%"
%C(r"l2rC2 )
i"l=i %C(r"l2rC2 )rC2i"l%"
%C(r"l2rC
2 )
i"l%C(r"l2r C
2)+rC2i"l%"=i %C(r"l
2rC2 )
i"l [%C(r"l2rC2 )+rC2%" ]=i %C(r"l2rC2 )
i"l= i %C(r"l
2
rC2
)[%C(r"l2rC2 )+rC2%"]
"de+
[r C2%"+%C(r"l2rC2)]=(3,10 1015
K m )
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ogo+ a corre"te "o alum"io ,
i"l= i %C(r"l
2rC2 )
[%C(r"l
2
rC2
)+rC2
%"]
i"l=(2,00" ) (1,69 108K m ) [ (0,380 103 m)2(0,250 103 m )2 ]
(3,10 1015 Km )
i"l=0,893"
&) Aplica"do a lei de Cm temos,
'=iCRC '=iC%C7
rC2
7= rC
2 '
iC%C
7=(3,14159 )( 0,250 103 m)2 (12,0 ')
(1.11" )(1,69 108K m ) 7=126m
a 5gura 2@->1+ R1G @+00 ]+ R2G 12+0 ]+ R3G 4+00 ] e a $or%a eletromotri/da $o"te ideal ` G 24+0 S. #etermi"e para que alor R4 a pot"cia$or"ecida pela $o"te aos resistores igual (a) a B0+0 ^; (&) ao maior alorpossel '( ) (c) ao me"or alor possel *n .#etermi"e (d)'( ; (e) *n .
CAP01-!,29
P#,3!E4A 6&
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#E+,!-./,
a) P=i -
i=
-
R1234
P=- -
R1234 P=
-2
R1234
1
R234=
1
R2+
1
R3+
1
R4
1R234
=R3R4+R2R4+R2R3R2R3R4
R234= R2R3R4
R2R3+R2R4+R3R4
R1234=R1+R234 R1234=R1+ R2R3R4
R2R3+R2R4+R3R4
P= -
2
R1+
R2R3R4
R2R
3+R2R 4+R3R4
P= -
2
R 1R2R3+R 1R2R4+R1R3R4+R2R3R4R
2R
3+R2R 4+R3R4
P=-2 R2R3+R2R4+R3R4
R1R2R3+R1R2R4+R1R3R4+R2R3R4
R
(2R3+R2R4+R3R4)P(R1R2R3+R1R2R4+R1R3R4+R2R3R4)=-
2
P R1R2R3+P R1R2R4+P R1R3R4+P R2R3R4=-2R2R3+-
2R2R4+-2R3R4
P R1R2R4+P R1R3R4+P R2R3R4-2R2R4-
2R3R4=-2R2R3P R1R2R3
R4(P R1R2+P R1R3+P R2R3-2R2-
2R3)=-
2R2R3P R1R2R3
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-
R12P R
2R
3
R4= -2R2R3P R1R2R3
P R1R2+P R1R3+P R2R3-2R2-
2R3
=
R4=19,5 H(R-P/0")
&) omo P e R1234 so i"ersame"te proporcio"ais+ para o&termos Pmx
deemos mi"imi/ar R1234 $a/e"do R4=0.(R-P/0" )
c) R4=< para Pmin . (R-P/0")
d) R1234=R1+ R
2
R3
R4
R2R3+R2R4+R3R4 ; araR4=0 Pmx=
-2
R1234 (min)
R1234(min)=R1+ R2R3R4
R2R3+R2R4+R3R4 R1234 (min)=R1=7 H
Pmx=-
2
R1=
242
7 82,3 (R-P/0" )
e) R1234=R1+ R2R3R4
R2R3+R2R4+R3R4;ParaR4=
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71/92
Pmx= -
2
R1234 (mx )
=24
2
10=
576
10=57,6 (R-P/0")
A 5gura 2@-B@ mostra dois circuitos com um capacitor carregado que podeser descarregado atras de um resistor qua"do uma cCae $ecCada. aFig. 2@-B@a , R1G 20+0 ] e +1G >+00F. a 5g. 2@-B@b, R2G 10+0 ] e +2GV+00 F. A ra/o e"tre as cargas i"iciais dos dois capacitores q02Wq01 G1+>0. o i"sta"te t G 0+ as duas cCaes so $ecCadas. 7m que i"sta"tes tosdois capacitores possuem a mesma carga
#E+,!-./,
q=q02e!/RC
q02q01
=3
2
e"do,
Q1=R1C1=20 5 106=1 104 s
Q2=R2C2=10 8 106=0,8 105 s
Assim+ iguala"do as cargas temos,
CAP01-!,29
P#,3!E4A 8&
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72/92
q1=q2
q01e
!/R1C1=q02e!/R 2C2
q02q01
=e!/R
1C
1
e!/R2 C2
q02q01
=e!
R1 C1+ !
R2 C2
ln ( 32 )= !R2C2 !
R1 C1 !( 1R2 C2
1
R1C1)=ln (3
2 )
!(R1C1R2 C2R1 C1 R2 C2 )=ln (3
2 ) !=R1 C1 R2 C2 ln (
32 )R1 C1R2C2
!=1,62 104 s
m resistor de 3+00 K] e um capacitor de 1+00 F so ligados em srie comuma $o"te ideal de $or%a eletromotri/ ` G 4+00 S. #epois de tra"scorrido1+00 s+ determi"e (a) a ta*a de aume"to da carga do capacitor; (&) a ta*ade arma/e"ame"to de e"ergia "o capacitor; (c) a ta*a de dissipa%o dee"ergia "o capacitor; (d) a ta*a de $or"ecime"to de e"ergia pela $o"te.
#E+,!-./,
CAP01-!,29 P#,3!E4A 8=
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73/92
RC=3 106 1 106=3 s
a) q=C -(1e!
RC)
dq
d!=C -C - e
!RC
dq
d!=
1
RCC - e
!RC=
1
R- e
!RC
dqd!=
13000
4 e
1
3 =9,55 107C/s
&)
Jc=q
2
2C
d Jcd!
=qC
dqd!Cm q=C -(1e
!RC)edq
d!=
1
R- e
!RC;Ebs!i!Eind !ems :
d Jc
d! =
C - (1e!RC)
C
1
R- e
!RC=
-2(1e
!RC)e
!RC
R =
42(1e
13 )e
13
3000
d Jc
d! =1,08 106
c) P=i2R
i=dqd!
P=(9,55 107)2 3 106
P=2,74 106
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74/92
d) P=i -
P=9,55 107 4
P=3,82 106
o i"sta"te !1 + um eltro" que est se moe"do "o se"tido positio do
ei*ox
pe"etra em uma regio o"de e*istem um campo eltrico-
em
um campo mag"tico # + com - paralelo ao ei*o y . A 5gura 2V-3B
mostra a compo"e"te y da $or%a total F0!al, y e*ercida pelo dois
campos so&re o eltro" "o i"sta"te !1 . A escala do ei*o Cori/o"tal
de5"ida por 's=100,0m / s . As compo"e"tes x e 3 da $or%a total so
/ero "o i"sta"te !1 . upo"do que #x=0 + determi"e (a) o modulo -
do campo eltrico; (&) o campo mag"tico # em termos dos etores
u"itrios.
CAP01-!,2&
P#,3!E4A 2
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75/92
#E+,!-./,
egu"do a 5gura qua"do a elocidade '=50 m /s a $or%a total F!=0 +
isso "os permite co"cluir+ ' que co"$orme o e"u"ciado as compo"e"tes
x e 3 da $or%a total so /ero+ a $or%a mag"tica e"co"tra-se em y eest oposta a $or%a eltrica+ por esse motio "esse po"to a $or%a eltrica
ca"cela-se com a $or%a mag"tica comproa"do assim que F!=0 .
Assim,
F!=FbFe ota, sen 90 aparece "a
$rmula deido ao $ato do
0=FbFe 7ltro" est se moe"do
com elocidade @ "o
FbFe=0 ei*o positio de x .
q@#sen=q-
@#sen 90 =-
@#=- -=50 #
o po"to 's da 5gura a elocidade equiale a '=100 m /s e a $or%a
total F!=2 1019
N .
ogo+
FbFe=21019
N
q@#sen 90 q-=2 1019
q ( @#- )=2 1019 Ebs!i!Eind #=-50
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76/92
q(100 -50-)=21019
1,6 1019
-=2,19 1019
a) -=1,25N/C
&) #=- /50=1,25/50 #=25 m0?
A 5gura 2V-3V mostra um paraleleppedo metlico com as $aces paralelasaos ei*os coorde"ados. o&'eto est imerso em um campo mag"ticou"i$orme de modulo 0+020 T. ma das arestas do o&'eto que no est'dese"Cado em escala+ mede 2> cm. o&'eto deslocado a uma elocidadede 3+0 mWs+ paralelame"te aos ei*os *+ J e /+ e a di$ere"%a de pote"cial Sque aparece e"tre as $aces do o&'eto medida. Qua"do o o&'eto se deslocaparalelame"te ao ei*o J+ $ G 12mS; qua"do o o&'eto se deslocaparalelame"te ao ei*o /+ $ G 1VmS; qua"do o o&'eto se desloca
paralelame"te ao ei*o *+ $G 0. #etermi"e as dime"s6es (a) d*; (&) dJe (c)d/do o&'eto.
#E+,!-./,
#ados,#=0,020 m0
'y=12 m'
'3=18 m'
CAP01-!,2&
P#,3!E4A 8
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77/92
'0=0
'=3 m /s
omo o paraleleppedo metlico e est imerso em campo mag"tico
u"i$orme+ surgem te"s6es i"du/idas em suas $aces. As dime"s6es do o&'etosero dadas pela 7q. 2V-,
'=-d
esta equa%o+ d a dist!"cia e"tre as $aces do o&'eto (dime"s6es)+ 7 ocampo eltrico gerado pelo moime"to dos eltro"s de"tro doparaleleppedo e S a te"so i"du/ida. omo os eltro"s tem carga q eesto se moe"do com elocidade em um campo mag"tico+ a $or%amag"tica dada pela 7q. 2V-3,
F#=|q|@# sn A
otamos que # dee estar ao lo"go do ei*o(+ pois qua"do a elocidade
est ao lo"go deste ei*o "o C te"so i"du/ida. Ao e"trar "o campomag"tico+ os eltro"s se separam e o mdulo do campo eltrico i"ter"oaume"ta. o mome"to em que a $or%a eltrica e a mag"tica se igualam+temos,
F-=F#
F-=|q|-
!"gulo e"tre os etores # e @ 0 "as $aces direita+ superior e
$ro"tal. a $ace esquerda+ o !"gulo igual a 1V0. ogo,
|q|-=|q|@# sn 90
-=@#
Kas '=-d . ogo,
d='-=
'@#
"de dee-se i"terpretar os sm&olos cuidadosame"te para assegurar qued + @ e
# so mutuame"te perpe"diculares. 7"to+ qua"do a
elocidade paralela ao ei*o J+ o alor a&soluto da te"so (que
co"siderada "a mesma dire%o de d ) 0+012 S+ e,
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78/92
d=d3= 0,012 '
(3,0 m /s ) (0,020 0)=0,20 m
or outro lado+ qua"do a elocidade paralela ao ei*o /+ o alor a&soluto da
te"so apropriada 0+01V S+ e,
d=dy= 0,018 '
(3,0 m / s) (0,020 0)=0,30 m
ogo+ "ossas respostas so,
a) dx=25cm (or elimi"a%o)
&) dy=30 cm
c) d3=20 cm
ma &arra de co&re de 1+0 Zg repousa em dois trilCos Cori/o"tais situados a1+0m de dist!"cia um do outro e percorrida por uma corre"te de >0 A. coe5cie"te de atrito esttico e"tre a &arra e os trilCos 0+B0. #etermi"e (a)
o mdulo e (&) o !"gulo (em rela%o 9 ertical) do me"or campo mag"ticoque $a/ a &arra se moer.
#E+,!-./,
a)
F#xF# cos
F#y=F# sen
CAP01-!,2&
P#,3!E4A 67
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79/92
ara ei*o y temos,
N+F#i=m:
N=m:F#i
ara ei*o x temos,
F#xFFa!=0
"de+
FFa!=& N=& (m:F#sen )
F#=i 7 #
ogo+ para o ei*o x temos,
F# cos=& (m:F# sen )
Assim+ iguala"do as segui"tes $or%as temos,
Fb cos=FFa!
i 7 # cos =& (m:i 7 # s e n )
i 7 # cos=& m :i 7 & # se n
i 7 # cos+i 7 & # s e n =& m :
i 7 # (cos +& sen )=& m :
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80/92
#= & m :
i 7 (cos+& sen )
#=& m :i 7 (
1
(cos+&sen )) d#d
d#
d=
& m :
i 7 [(sen+& cos )(cos+& sen )2 ] d#d=0
0=
& m :
i 7
( sen& cos )
(cos+& sen )2
0=sen& cos
& cos =sen
&= sencos
!:=&
= !:1 & =!:1 0,6=31
u&stitui"do os alores "a equa%o;
#=
& m :
i 7 (cos+& sen )
7"co"tramos o alor do mdulo do campo mag"tico,
#= 0,6 1 9,8
50 1 (cos31+0,6 sen 31 )=0,10 0
&) omo mostrado acima+ o !"gulo de= !:1 & =!:1 0,6=31 .
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m co"dutor lo"go+ rgido+ retil"eo+ situado so&re o ei*o(+ percorrido poruma corre"te de >+0 A "o se"tido "egatio do ei*o(. m campo mag"tico
- esta prese"te+ dado por # G 3+0 b V+0*2+ com(em metros e #
em militesla. #etermi"e+ em termos dos etores u"itrios+ a $or%a e*ercidapelo campo so&re o segme"to de 2+0 m do co"dutor e"tre os po"tos * G1+0 m e * G 3+0 m.
#E+,!-./,
ara um campo mag"tico "o perpe"dicular ao 5o+ a $or%a mag"tica dada por,
F#=i 7# ;
o"sidera"do segme"tos i"5"itesimais+ temos,
d F#=id 7 # ;
Aplica"do i"tegra%o+ podemos calcular a $or%a total que age so&re todo o5o,
d
F#= id7
#
F#= id7
# ;
omo d7=dx i + e#=#x i+#y ? + e queremos calcular a $or%a para certo
i"teralo+ temos,
#
# y
( idx )( #x sen0 ) 2+1
3
( idx )(sen 90 )=i1
3
# y dx2=(5,0" )(
1
3
( 8x2 dx )) 2=(5,0" ) 8 (x 3)|13
=(0,35
(xi+#y ?)=1
3
idxi
F#=1
3
id7 #=1
3
CAP01-!,2&
P#,3!E4A 68
CAP01-!,2=
P#,3!E4A *5
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A espira percorrida por corre"te da 5gura 2->Va co"stituda por umasemicircu"$er"cia com 10+0 cm de raio+ uma semicircu"$er"cia me"orcom o mesmo ce"tro e dois segme"tos radiais+ todos "o mesmo pla"o. A
semicircu"$er"cia me"or so$re uma rota%o de um !"gulo para $ora do
pla"o (5gura 2->Vb). A 5gura 2->Vc mostra o modulo do campo
mag"tico "o ce"tro de uma curatura em $u"%o do !"gulo . A escala
ertical de5"ida por -a G 12+0T. Qual o raio do semicrculo me"or
#E+,!-./,
#ados
R=10 cm
#a=10 &0
#b=12 &0
r=I
lculo do campo i"icial,
# i=&0iA
4 R+
&0iA
4 r( &0iA4 )(1R+ 1r)
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lculo do campo 5"al,
( #)
2
=(&0 iA
4 R )
2
+(&0 iA
4 r)
2
(&0iA
4 )
2
(1
R2+
1
r2 )
elo gr5co ampo i"icial #b e ampo 5"al # a .
7"to+ $a/e"do #a2
e diidi"do#b
2
#a2 + "s o&temos,
( #b#a )2
=( &0iA /4 )
2(1R +1r )
2
( &0iA /4 )2( 1R2+
1
r2 )
(# b
# a )2
= (1
R+1
r )2
(1R2+1
r2 )
u&stitui"do os alores temos,
(1,2)2=( 110+ 1r )
2
( 1
102+
1
r2 )
1,44=[((100+r2+20 r )) / (100 r2 ) ]
(100+r2 ) /(100r2 )
1,44+1,44 r 2100r 220 r=0 0,44 r220 r44=0
r=20 322,56
0,88
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r9=43,13
r9 9=2,33
Assim+ como R=10 cm e r mostra uma se%o reta de uma 5ta lo"ga e 5"a de largura G 4+1 cm que esta co"du/i"do uma corre"te u"i$ormeme"te distri&uda iG4+B1A para de"tro do papel. 7m termos dos etores u"itrios+ qual 7 ocampo mag"tico -em um po"to &"o pla"o da 5ta situado a uma dista"ciad G 2+1B cm de uma das &ordas (Sugesto:
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A 5gura 2-B0 mostra+ em se%o reta+ dois 5os retil"eos lo"gos apoiados "asuper$cie de cili"dro de plstico de 20+0 cm de raio+ paralelame"te ao ei*odo cili"dro. 5o 1 co"du/ uma corre"te i1G B0+0 mA para $ora do papel e ma"tido 5*o "o lugar+ do lado esquerdo do cili"dro. 5o 2 co"du/ umacorre"te i2G 40+0 mA para $ora do papel e pode ser deslocado em tor"o do
cili"dro. Qual dee ser o !"gulo (positio) 2 do 5o 2 para que+ "a
origem+ o mdulo do campo mag"tico total se'a V0+0 "T
#E+,!-./,
#A#,
i1=60 m"
i2=40 m"
#=80 n0
CAP01-!,2=
P#,3!E4A *2
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2=I
rimeirame"te acCaremos
#1e
#2,
#1=&0i
2 R=60 n0
#2=&0i
2 R=40 n0
#2=(#2 sen2)
2+(#1#2 cos2)2
#2=#22 sen2 2+#1
22 #1 #2cos2+#22cos
2 2
#2=#2
2 (sen22+cos22)+#1
22 #1 #2cos2
#2=#22+#1
22 #1 #2cos 2
2 #1 #2cos2=#22+#1
2#2
cos2=#2
2+#12#2
2 #1 #2
2=cos1[ #2
2+#12#2
2 #1 #2 ]2=cos
1[14]=104
a 5gura 2-B1 a G 4+@ cm e iG 13 A. #etermi"e (a) o mdulo e (&) o
se"tido (para de"tro ou para $ora do papel) do campo mag"tico "o po"to&. (&sere que "o se trata de 5os lo"gos.)
CAP01-!,2=
P#,3!E4A **
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#E+,!-./,
sn = R
(x2+R2 )1/2
x=R tan
dx=R sec
a)
d#=&0i
4
sen
r2
dx
d#=&0i
4
R
(x2+R2 )1/2
1
(x2+R2 )dx
#=&0iR
4
0
7dx
(x2+R2 )3/2
#=&0iR
4
0
7R sec
((Rtan )2+R2)3/2d
#= &0 i
4 R0
7
cos d
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#=&0i
4 Rsn
#= &0 i
4 R
7
72+R2
ampo mag"tico produ/ido pelo 5o de comprime"to a,
#a= &0 i
4 aa
a2+a2
# a= &
0i
4 a
a
a 2
#a= &0 i
4 a1
2=
&0i28 a
/ cam6 ma:nS!ices!en!randn 6n! P
ampo mag"tico produ/ido pelo 5o de comprime"to 2a,
#2 a= &0i
4 2 a
2 a
4 a2+4 a2
#2 a= &0i
4 2 a2 a
2 a2=
&0i 28 2 a
/ cam6 ma:nS!ic es! saind n 6n! P
ampo Kag"tico total produ/ido "o po"to ,
#6=2 #a2 #2 a=2 &0i8 a
=1.96x 1 05 0 5 2x 1 050
&) A dire%o do campo para de"tro do papel.
#ois 5os retil"eos percorridos por corre"tesesto apoiados "a super$cie de um cili"dro lo"go de plstico de raio R G20+0 cm+ paralelame"te ao ei*o do cili"dro. A 5gura 2-B2 / mostra+ em
se%o reta+ o cili"dro e o 5o 1+ mas "o o 5o 2. om o 5o 2 ma"tido 5*o "o
CAP01-!,2=
P#,3!E4A *6
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lugar o 5o 1 deslocado so&re o cili"dro+ do !"gulo 1G 0 ate o !"gulo
1G 1V0+ passa"do pelo primeiro e segu"do quadra"tes do sistema de
coorde"adas (0. campo mag"tico # "o ce"tro do cili"dro medido
em $u"%o de 1. A 5gura 2-B2bmostra a compo"e"te -( de # em
$u"%o de 1( a escala ertical de5"ida por -*sG B+0 & T)+ e a 5gura
2-B2cmostra a compo"e"te -J( a escala ertical de5"ida -JsG 4+0 &
T). (a) Qual o !"gulo 2que de5"e a posi%o do 5o 2 #etermi"e (&) o
alor e (c) o se"tido (para de"tro ou para $ora do papel) da compo"e"te "o5o 1. #etermi"e tam&m (d) o alor e (e) o se"tido do corre"te "o 5o 2.
#E+,!-./,
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1) ara o campo a"ular-se "a dire%o J o 5o 2 por simetria dee estar em
1=2
. u 1=
2 .
2) s campos tem se"tidos opostos e se a"ulam "a dire%o J+ logo e*istecorre"tes co"trarias.
a) #eido ao racioc"io a"terior o 5o 2 dee estar "o po"to 2=2 . ma
e/ que+ se qua"do desli/aremos o 5o 1 para a posi%o2 os dois 5os
ocupariam o mesmo espa%o.
&) &sera"do o gr5co (&) o"de a compo"e"te total do campo :G 6&0
(o&sere a escala) temos,
#1x+2,0 &0=6 &0
#1x=4 &0
ela equa%o 2-4
i1=2 b1xR
&0=
2 (4, x 1060)( , 200m)
4 x 107 0 .
T"
=4"
c) omo "a 5gura (&) o gr5co cresce com 1 de 0 at 0+ a corre"te dee
estar sai"do do papel.
d) a 5gura (&) a compo"e"te do campo do 5o 1 qua"do 1=0 tal que
#2x
=2&0 ,de $orma que
i2=
2 b2xR
&0=
2 (2, x 106 0)( ,200m)
4 x 107 0 .T"
=2"
e) omo imos "o racioc"io i"icial 2) acima as corre"tes "os dois 5os so
co"trrias+ se"do assim a corre"te "o i2 est e"tra"do "o papel.
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a 5gura 2-BB um 5o retil"eo lo"go co"du/ uma corre"te i1=30" e
uma espira reta"gular co"du/ uma corre"te i2=20" . upo"Ca que
a=1,00 cm + a=8,00 cm e 7=30,0 cm . 7m termos dos etores u"itrios+
qual a $or%a a que est su&metida a espira
F1=& i1 i 2
2 a
F2= & i1 i2
2 ( a+b )
Fr=F1F2
Fr=& i1 i2
2 a
& i1 i 22 (a+b)
Fr=4 107 30 20 8 3
18
Fr=3,2 103N
CAP01-!,2=
P#,3!E4A 6
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