8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
1/265
Universidade Federal de AlagoasInstituto de Matemática
Banco de Questões
Calculo 1
(Resolução)
Organizador: Carlos Alberto Santos Barbosa
Maceio, Brasil
Janeiro de 2015
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
2/265
Apresentação
O objetivo principal desta resolução do Banco de Questões (extraídodas avaliações escritas de turmas de Cálculo Unificado da Universidade
Federal de Alagoas - UFAL) é auxiliar no desempenho dos estudantesda disciplina Cálculo 1, que durante o processo de conhecimentocomeçam a inserir-se no aprendizado de modo a melhorar seudesempenho acadêmico, mostrando-lhes uma noção de como resolverquestões das provas realizadas, visando sempre a clareza eobjetividade na obtenção dos resultados e suas implicações referentesao quesito.
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
3/265
3
Sumário
1. 2005 ............................................................................................................. 5
1.1 1ª Avaliação-21 de Fevereiro de 2005 ................................................... 5
2. 2007 ............................................................................................................. 9
2.1 1ª Prova-15 de Setembro de 2007 ........................................................ 9
2.2 2ª Prova-05 de Outubro de 2007 ........................................................ 12
2.3 1ª Prova-06 de Outubro de 2007 ........................................................ 15
2.4 4ª Prova-01 de Dezembro de 2007 ..................................................... 19
2.5 4ª Prova-06 de Dezembro de 2007 ..................................................... 23
2.6 Reavaliação da 2ª média-07 de Dezembro de 2007 ........................... 29
3. 2008 ........................................................................................................... 35
3.1 1ª Prova-14 de Março de 2008 ........................................................... 35
3.2 2ª VPA-12 de Abril de 2008 ................................................................ 38
3.3 3ª Avaliação-17 de Maio de 2008 ....................................................... 41
3.4 4ª Prova-14 de Junho de 2008............................................................ 46
3.5 Reavaliação da 2ª média-21 de Junho de 2008.................................. 52
3.6 VPA 1-12 de Setembro de 2008 ......................................................... 54
3.7 VPA 1-13 de Setembro de 2008 ......................................................... 59
3.8 2ª Prova-03 de Outubro de 2008 ........................................................ 63
3.9 2ª Avaliação-04 de Outubro de 2008 .................................................. 66
3.10 3ª Prova-01 de Novembro de 2008 ................................................... 70
3.11 Reposição da 1ª Média-13 de Dezembro de 2008 ............................ 74
3.12 Reavaliação da 2ª média-13 de Dezembro de 2008 ......................... 78
3.13 Prova Final-18 de Dezembro de 2008 .............................................. 83
4. 2009 ........................................................................................................... 93
4.1 1ª Avaliação-21 de Março de 2009 ..................................................... 93
4.2 2ª Avaliação-17 de Abril de 2009 ........................................................ 96
4.3 2ª Avaliação-18 de Abril de 2009 ........................................................ 99
4.4 3ª Avaliação-16 de Maio de 2009 ..................................................... 102
5. 2010 ......................................................................................................... 106
5.1 1ª Prova-03 de Setembro de 2010 .................................................... 106
5.2 1ª Prova-04 de Setembro de 2010 .................................................... 110
5.3 2ª Avaliação-07 de Outubro de 2010 ................................................ 114
5.4 2ª Avaliação-08 de Outubro de 2010 ................................................ 117
5.5 3ª Avaliação-12 de Novembro de 2010 ............................................. 120
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
4/265
4
5.6 3ª Avaliação-13 de Novembro de 2010 ............................................. 123
5.7 4ª Avaliação-10 de Dezembro de 2010 ............................................. 128
5.8 4ª Avaliação-11 de Dezembro de 2010 ............................................. 133
5.9 Reavaliação AB1-17 de Dezembro de 2010 ..................................... 139
5.10 Reavaliação AB2-17 de Dezembro de 2010 ................................... 142
5.11 Reavaliação AB2-17 de Dezembro de 2010 ................................... 144
5.12 Avaliação Final-21 de Dezembro de 2010 ...................................... 147
6. 2011.1 ...................................................................................................... 153
6.1 1ª Avaliação-25 de Março de 2011 ................................................... 153
6.2 1ª Avaliação-26 de Março de 2011 ................................................... 157
6.3 2ª Avalição-15 de Abril de 2011 ........................................................ 161
6.4 2ª Avaliação-16 de Abril de 2011 ...................................................... 163
6.5 3ª Avaliação-20 de Maio de 2011 ..................................................... 166
6.6 3ª Avaliação-21 de Maio de 2011 ..................................................... 169
6.7 4ª Avaliação-17 de Junho de 2011 ................................................... 172
6.8 4ª Avaliação-18 de Junho de 2011 ................................................... 176
6.9 Reavaliação AB1-22 de Junho de 2011 ............................................ 181
6.10 Reavaliação AB1-25 de Junho de 2011 .......................................... 186
6.11 Reavaliação AB2-22 de Junho de 2011 .......................................... 191
6.12 Reavaliação AB2-25 de Junho de 2011 .......................................... 196
6.13 Avaliação Final-01 de Julho de 2011 .............................................. 202
7. 2011.2 ...................................................................................................... 210
7.1 1ª Avaliação-02 de Setembro de 2011 .............................................. 210
7.2 1ª Avaliação-03 de Setembro de 2011 .............................................. 213
7.3 2ª Avaliação-30 de Setembro de 2011 .............................................. 216
7.4 2ª Avaliação-01 de Outubro de 2011 ................................................ 219
7.5 3ª Avaliação-04 de Novembro de 2011 ............................................. 222
7.6 3ª Avaliação-05 de Novembro de 2011 ............................................. 225
7.7 4ª Avaliação-02 de Dezembro de 2011 ............................................. 229
7.8 4ª Avaliação-03 de Dezembro de 2011 ............................................. 235
7.9 Reavaliação AB1-09 de Dezembro de 2011 ..................................... 241
7.10 Reavaliação AB1-10 de Dezembro de 2011 ................................... 245
7.11 Reavaliação AB2-09 de Dezembro de 2011 ................................... 248
7.12 Reavaliação AB2-10 de Dezembro de 2011 ................................... 252
7.13 Avaliação Final-16 de Dezembro de 2011 ...................................... 256
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
5/265
5
Capítulo 1
2005
1.1 1ª Avaliação-21 de Fevereiro de 2005
1. 15 20 15
1 1
5 1 3
, ℝ 0,1,3. ∗í : é í :
lim→ ±∞ lim→ ±∞
0; 1 3 ã í .
∗ : → 0+, ã > 0. , 5 > 0.
lim→ lim→ 1−↑ 1 ↑5↓ 1 ↓− 3 ↓−
l i m→ 1 1−↑
5 1 3 ↓ ∞
, 0 é í á . ∗ : → 1, ã ≠ 1. , 1 ≠ 0 , , 1
1 1 , ∀ ≠ 1 .
lim→ lim→ 1 15 1 3 l i m→ 1 ↑5 3 ↓− 310
lim→ lim→ 1 15 1 3 l i m→ 1↑
5 3 ↓− 310
, 1 ã é í á .
∗ : → 3+, ã > 3., 3 > 0.
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
6/265
6
lim→ lim→ 1↑ 1
↑5
↓
1↓
3↓
l i m→ 1 1↑
5 1 3↓
∞ , 3 é í á . ∗í : é í ℎ : lim→+ lim→− lim→+ l i m→+ 15 20 15 l i m→+ 1
1
5 20
15
l i m→+ 1
1
5 20
15
lim→+ 1 l i m→+ 1lim→+ 5 l i m→+ 20 l i m→+ 15 1 05 0 0 15. , 1 5 é í ℎ á . lim→− l i m→− 15 20 15 l i m→− 1
1 5 20 15 l i m→−1 15 20 15
lim→− 1 l i m→− 1
lim→− 5 l i m→− 20 l i m→− 15 1 05 0 0 15.
á. , 0 , 3 1 5 í á . 2. lim→ √ 2 2 8 lim→ (√ 2 2 ) 8 . (√ 2 2 )(√ 2 2 ) lim→ 2 8(√ 2 2 ) lim→ 2 2
2 4 (√ 2 2 ) lim→ 1
2 4 ↓ (√ 2 2 ) ↓ 1
48
∗ : → 2, ã ≠ 2. , 2 > 0 , , 2 2 1 , ∀ ≠ 2 . l i m→ 1 1||. : || , ≥ 0, 0. , || . lim→ 1 1|| l i m→ 1 1 l i m→ 0 l i m→ 0 0 .
lim→ 50√
∗ é :
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
7/265
7
1 ≤ 50√ ≤ 1 :
≤
50√ ≤
, 50√ ℎ ., ≤ ≤ ℎ , lim→ 0 lim→ ℎ 0, , lim→ lim→ ℎ , ≤ ≤ ℎ lim→ lim→ ℎ ,ã lim→ lim→ lim→ ℎ 0., lim→ 50√ 03. 4 2 1 0 , < 22 , ≥ 2
2 2 2 1 0 , < 22 , ≥ 2 ∗ : < 2 ã ≠ 2. , 2 ≠ 0 , , 2 2 1 , ≠ 2 . , :
2 10, < 22 , ≥ 2 1 2 , < 22 , ≥ 2 é çã , ç ã çõ ã , ã ã í í ê., é í ∈ ∞,2 ∪ 2,∞. é í 2, ℎá ç ç çã. ∗ : → 2
+
, ã > 2. , 2
lim→ l i m→2 l i m→ 2 l i m→ 1 6 2 1 4 .∗ : → 2−, ã < 2. , 1 2 . lim→ l i m→ 1 2 l i m→ l i m→ 1 2 2 1 2 1 4 . ,lim→ 14. ∗ 2 2.2 2 1 6 2 1 4 .
lim→ 2, ã é í 2.
,í é í ∈ ℝ.
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
8/265
8
2 14, 3.ã,: 3 2.3 3 5 4 3 5 1 . ∈ ℝ 15. é çã í ℎ 2, 3 2 < < 3, á ∈ 2, 3 15.
4. ℎ | 1| | 1| 1, ≥ 1 1, < 1 ℎ , ≥ 1 , < 1 ℎ é í 1. ∗ ℎ1 1
1 1 1 0 .
lim→ ℎ l i m→ l i m→ l i m→ 1 1 0 .
lim→ ℎ l i m→ l i m→ l i m→ 1 1 0 . lim→ ℎ l i m→ ℎ , ã lim→ ℎ 0. ,, lim→ ℎ 1.,ℎ é í 1. ℎ+′ 1 l i m→ ℎ ℎ1 1 l i m→ 1 l i m→ 1 1 l i m→ 1 . ℎ−1 l i m→ ℎ ℎ1 1 l i m→ 1 l i m→ 1 1 l i m→ 1 .
∗ 1 ã , , ℎ+
1 ≠ ℎ−
1,ã ℎ ã é á 1. 2, 2 à ℎ. ℎ2 2 2 4 2 2 . á 1 é çã . , : , ℎ2. , 2 ℎ2 2 ℎ2 lim→ ℎ ℎ2 2 lim→ 2 2 lim→ 1 2 2 lim→ 1 3. , çã 2, 2 é: 2 3 2 2 3 6 3 4
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
9/265
9
Capítulo 2
2007
2.1 1ª Prova-15 de Setembro de 2007
1. | 3| 3, ≥ 3 3, < 3
çã é í , ,
1 ;
2 lim→ ; 3 lim→ . çã 3 : 1 3 |3 3| |0| 0. 2 lim→ . ,: lim→ l i m→ 3 l i m→ l i m→ 3 3 3 0 . lim
→ l i m
→ 3 l i m
→ l i m
→ 3 3 3 0 .
, lim→ l i m→ ã lim→ 0.
33 lim→ 0. ∗ , é í 3. ∗ 3 : +3 l i m→ 3 3 lim→ 3 0 3 l i m→ 3 3 1. −3 l i m→ 3 3 lim→ 3 0 3 l i m→ 3 3 1. +3 ≠ −3 ã é á 3. ² ³ 2 → ³ 2 0 2. 2 0. 2 2 2 2 8 4 2 1 0 . 0 0 0 2 0 0 2 2 . 0. é çã ,,í ℎ 2,0, 2 < < 0, á ∈ 2,0 0. é ú é 2.2.
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
10/265
10
2 7 çã çã , õ:
l i m∆→
∆
∆ , ∆ : l i m→ ,1 õ . ,: 1 lim→ 1 1 lim→ 1
1 lim→ √ 2 7 3
1 lim→ (√ 2 7 3 )
1. (√ 2 7 3 )
(√ 2
7 3 )
lim→ 2 7 9 1(√ 2 7 3 ) lim→ 12 9 1(√ 2 7 3 ) lim→ 2 9(√ 2 7 3 ) 2 9√ 9 3 116 . ,1 116 . çã á 1 é: 1 1 1 3 116 1 6 1 8 1 1 1 1 6 1 1 7
116 76 3. lim→ 3 4 32 , é 3 4 çã é 6, lim→ 32 ɛ > 0 ℎá ú > 0 32 < ɛ 0 < | 6| < . 32 < ɛ → 3 4 32 < ɛ → 32 4 < ɛ → 14 | 6| < ɛ ∴ | 6| < 4ɛ
∗ | 6| < , í ℎ 4ɛ. ∗! ℎ . ɛ > 0 , 0 < | 6| < , ã 32 4 < → 14 | 6| < 14 14 4ɛ → 14 | 6|
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
11/265
11
, ≤ 12 ≥ 12. 2 3 4 ≠ 0 → ≠ 43. , ∈ ℝ | ≤ 12 ≥ 12 , ≠ 43}.
∗í : é í : lim→ ±∞ lim→ ±∞ 43 é í : lim→ lim→ √4 13 4↓
∞. , 43 é í á . ∗í : é í ℎ : lim→+ lim→−
lim→+ l i m→+ √4 13 4 l i m→+ √4
1||3 4|| l i m→+√4 1
√3 4 l i m→+ 4
13 4 lim→+ 4
13 4 lim→+ 4 1lim→+ 3 4
lim→+ 4 1lim→+ 3 4 lim→+ 4 l i m→+ 1lim→+3 l i m→+ 4
√ 4 03 0 23. , 23 é í ℎ á .
lim→− l i m→− √4
13 4 l i m→−√4 1
||3 4|| l i m→+√4 1
√
3 4 l i m→+ 4 1
3 4
lim→+ 4 13 4
lim→+ 4 1lim→+ 3 4 lim→+ 4 1lim→+ 3 4
lim→+ 4 l i m→+ 1lim→+3 l i m→+ 4 √ 4 0 3 0 23.
, 23 é í ℎ á . ∗ : á í çã ||. , → ∞ ã || → ∞, || . ,
çã || .
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
12/265
12
4. lim→ 7 √ 3 8 lim→ 7 √
3 8 . 7 √ 3 7 √ 3 lim→ √
2 8 7 √ 3
lim→ (√ 2)(√ 2)(√ 2√ 4 ) 7 √ 3 lim→ 1(√ 2√ 4 ) 7 √ 3 14 4 43 3 1129 172. 3 ⟦⟧2 . 3. lim→ lim→ 3 ⟦⟧2 l i m→ 3 l i m→ ⟦⟧2 3 32 92 ∗ : → 3+, ã > 3. , ⟦⟧ 3 lim→ lim→ 3 ⟦⟧2 l i m→ 3 l i m→ ⟦⟧2 3 22 4∗ : → 3−, ã < 3. , ⟦⟧ 2. 5. 25616 2 5 6 3 2 → 25632 ∴ 6 256 32 × 6 256 192 64 /
0 → 2 5 6 3 2 0 32256
8 8 2 5 6 × 8 3 2 × 8 8 2.048256 8 1.7922.2 2ª Prova-05 de Outubro de 2007
1. 4 çã í : 2 2 . 0 ∗çã é : . é é , â , ,75°.
75°.
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
13/265
13
75°30°45° 30°45°130°.45° 1√ 3 11 1
√ 3
1 √ 3√ 3√ 3 1√ 3
√ 3 1√ 3 1
∗ çã à ê 4 é
ã: . . . . . . 4 4 ∗ é à ,ã é é
é . 1√ 3 1√ 3 1 1 √ 31 √ 3
1 √ 31 √ 3 165°. , é â çã .165°120°45° 120°45°1120°.45°
√ 3 11 √ 3
1 √ 31 √ 3
∗, â 15° çã
. 2. 3. 1 0 7 ² çã í : (3. ) 107 3 3. 1 1 0 2 3 3 3 1 2 3 1 3 3 21 1 ′1 3 3 1 3 2 1 3 1 3 2 1 1 3 log 5+ . . 1 5
log
:
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
14/265
14
. . 2. 5 ln5 . 1.ln3 2.5
+ ln55+ ln3 2 . ln5ln3 3. 2 2cos 2..cos 0,2 á é ℎ. 0,2 0 0 → 2 c o s 2..cos 0
2cos 1 0
2cos 01 0 ∗ ç : cos 0 → 2 32 ∗ ç : 12 0 1 → 32
, 0,2 á é
ℎ,ã:2 , 3 , 32 ,1. ∗ 2 2 2 2 2 1 2 1 3 . 2 , 3 ; ∗ 32 32 32 1 1 1 1 0 . 32 , 0 ;
4.
1 cos . 0. 10 cos0 10 1 11 1. (cos ) cos cos cos 0 0 cos00 cos0 0 10 1 11 1.
∗ çã 0,1 é:
1 1 0
1 1
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
15/265
15
²3(). . ; ; 3; .
,:
. . . 4. 11 . 3 ln3 .2.cos 4. 3(). ln3.21 4. 3(). ln3.(2.3())1 5. 9 . çõ 2, 1
2,1 ã à 9 . à à ! çã ã: , é à , . 1 2 1 2 2
9
1 2
4
4 8 0
∆ 1 6 3 2 1 6 . í ã ∈ ℝ ç çã . , ã à 9 2,1. , ã ℎá çã!∗ : 9 , é 2,1. í çã : 1 2. 2
1 3.2
2
1 1 2 2 1 1 2 2 4 1 2 2 5 → , çã é 12.2.3 1ª Prova-06 de Outubro de 2007
1.
. 1 1 . í ℎ.
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
16/265
16
é í ℎ : lim→+ lim→− . lim→+ l i m→+ .1
1
. çã 1
,: ∗ → ∞, ã → 0. lim→ l i m→ lim→ cos 1 1 0 . , 0 é í ℎ á . lim→− l i m→− .1 1 . çã 1 ,: ∗ → ∞, ã → 0. lim→ l i m→ lim→ cos 1 1 0 . , 0 é í ℎ á . , .arccos . çã í :
arccos 1
1 0 2 .
arccos 1 2 . 1 2 1 arccos 1 arccos [1 ] 21 2. 2
1 . çã á
4,13. 4 ∗ çã à : 1 3 4 4 2 1 1 3 4 16 2 1 6 1 4 0 8 7 0 ∆ 6 4 2 8 3 6 8 ± 62 → 7 1 ∗ 1, 4
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
17/265
17
, çã : 1 3 4 4 1 3 4 1 6 4 3 ∗ 7, 28
, çã : 1 3 2 8 4 1 3 2 8 1 1 2 2 8 9 93. 3 || 34 ||4 ; 0 0 ã , ∘ 0 .
+0 l i m→ 0 0 lim→ 4 0 l i m→ 4 4.
−0 l i m→ 0 0 lim→ 2 0 l i m→ 2 2. ∗ +0 ≠ −0 , ã ã é á 0. +0 l i m→ 0 0 lim→
2 0 l i m→2 12. −0 l i m→ 0 0 lim→ 0 l i m→ 1.∗ +0 ≠ −0 , ã ã é á 0.
∘ :
() 3 . || 94 3||4 34 ||4 () 94 34 34 4 , ≥ 094 34 34 4 , < 0 () 2, ≥ 02, < 0 ,() 2 .
∘ +0 l i m→ ∘ ∘ 0 0 lim→64
24 0 l i m→ 2 2.
∘ −0 l i m→ ∘ ∘ 0 0 lim→ 3 0 l i m→ 2 2. ∗ ∘ +0 ∘ −0 , ã ∘ é á 0. ∘ 0 2. 4. 1
sec . 0.
∗ 0 0 1sec0 0 11 1. 0,1
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
18/265
18
.sec 1 sec . ² sec . sec .
²
; 1 → 1 1 → 0 1 00 1 01 1. ∗ , çã 0 é: 1 1 0 1 1
cos .
.
cos ; √ ; ; cos : . . . (). 12√ .().() (). 12 cos .² cos. cos
cos² cos2 cos
√ . . √ ; √ ; : .
1 1
2√ 1
2√
1 12√ 12 √ 5. 5(). . ; ;; 5 . : . . . 2. cos. 11 . 5 . ln5
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
19/265
19
2cos 11 . 5(). ln5 2.cos . 5(). ln5
1
. çã 5 6 0 . ; ² . çã : ² 5 6 0 → ≠ 0 ∀ ∈ ℝ, 5 6 0 ∆ 2 5 2 4 4 9 5 ± 72 → 1 6. ∗ , çã ã 1 6. 2.4 4ª Prova-01 de Dezembro de 20071. 4 1000 0 , á, í . 41000. é çã ,,í á í. ℎ 1 í , ℎ ℎ í . í á , ,ã, é ∈ , :
0 0 0 4 4 0 → 4 4 0 → 1 → 1 í, çã: < 1 < , ℎ í, ã é ≠1 0. ! ó í., , á, í . é í 2, 5 1 ≤ ≤ 4 2, 5, 3 ≤ 5 2 ≤12.
í 2, 5 á 2, 5, é ∈ 2,5 : 5 25 2 çã : 1 ≤ 5 25 2 ≤ 4 1 ≤ 5 2
3≤ 4
3 ≤ 5 2 ≤ 12
2.
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
20/265
20
1 0 1 7 ; çõ á çã, : 2 2 2 1 2 0
1 7 2 4 2 2 2 0 74 2 2 →
2 0 7 2 → 2; 9 ; 18 ∗, 9 1 8 2 3.
çã
² :
2
2 > 0 → 2 > 0 ∴ > 0 . , > 0 . , .. > 0. < 0 → 2 < 0 ∴ < 0. , < 0 . , .. < 0. lim→ 1 − . . lim→ 1 l i m→ + l i m→ .+ lim→ + → + . lim→ ln11 lim→
ln1 l i m→ 1² 1
→
+ − → + − 1 → → 1 → 1 4.ç á ²−² I çõ : 0 → . − 0 ; − ≠ 0 ∀x ∈ ℝ 0 → 0 → 0 . 0, 0 çã . II :
′ 2 . −
2. −
′ −2 2
′ . −2 2
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
21/265
21
Obs: − > 0 , ∀ ∈ ℝ ,: 0
1
1
2
2
−
1 0 1 . −2 2 ∗, é ∞,1 ∪ 0, 1 1,0 ∪ 1,∞. í: 0 ã . , í 1; 0 1. 1 1 ; 0 0 ; 1 1. , í ã 1, 1 , 0, 0 1, 1.
2. −2 2 −6 2 −4 4 6 2 −4 10 2 : ã 4 1 0 2 0 → ∆ 1 0 0 3 2 6 8
10 ± √ 688 → ± 10 ± √ 688 ;
çã 4 10 2 é çã çã é é çã . ,
á : 1 ∞, 10 √ 688 ∪ 10 √ 688 , 10 √ 688 ∪ 10 √ 688 ,∞ 2
10 √ 688 , 10 √ 688 ∪ 10 √ 688 , 10 √ 688
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
22/265
22
ã:
0, , ± 10 ± √ 68
8 .
í: : ã ! , − ℝ.,ã ℎá çã çã , í . : é í ℎ : lim→+ lim→− lim→+ l i m→+
− lim→+ 2
2
− l i m→+ 1
− 0.
lim→− l i m→− − lim→− 22− l i m→− 1− 0. , 0 é í ℎ á .
5. ²
1 . ℎé ó 0,1.
, à ℎé, : 1 2 1 2 2 2 4 222 2 2 2 12 2 2 0 → 2 1 0 → 12 , 12 :
14 1 →
54 → ±
√ 52 . ℎé ó 0,1 ã √ 52 , 12 √ 52 , 12.
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
23/265
23
0 á çã çã é 3 0 0. çã . ∗ 3. í , é .
0 0,í 0., . 1, 1. , é 1,1. ∗ 14 , é . 1 1, ã : 14 1 1 → 1 14 → 34.
,í 14
34.2.5 4ª Prova-06 de Dezembro de 2007
1. çã √ 7 − ⁄ 3 7 çã , . :
. √ → . − ⁄ → .− ⁄ 1 → . − ⁄ 1.ã,: 32 0 1 → 32 1 23. ∗ é: 23 ⁄ . . − ⁄ → . − − ⁄ → .−− ⁄ 1 → . + ⁄ 1.ã,
14 0 1 →
14 4.
∗ é: 7.[4− ⁄ ] 2 8 − ⁄ . . 3 → 3 → 3 . ∗ é:3 . ∗ é ∶ 7. . ∗ é: . , 23 ⁄ 28− ⁄ 3 7. . é , , .
3 4, 0 0 0.
∗ . 3 4cos , é .
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
24/265
24
∗ ú çã : 3 4 , é . 0 0 → 3 40 . 0 0 3 0 0 0 3 .
0 → 3 4 . 3 0 3 0 . 3 0 . 3 3 3 3 . , 3 4 3 3 3 . 2.
ℎç â :
ℎ → ℎ → ℎ
.
ℎ → . → . é á. 23; 0 → 2 3 0 ; , 23 ; : 0 ã çã ! 2
3, ℎ 23
→ ℎ 3
→ ℎ
3
∗ 1 1 : 23 ℎ 13. á . . ℎ . 23 . 13 49 . 3. lim→
cos lim→
lim→
. lim→
→ . :
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
25/265
25
lim→ lncossec lim→ cossec . l i m→ sec . lim→ 1sec lim→cos 0. ,
lim→cos →
1.
lim→ 1 3 5 l i m→ ++ l i m→ .++ l i m→ ++
→ ++ . :
lim→ ln1 3 51 l i m→ 3 10 1 3 5 1 l i m→
− −1 3 5 l i m→ 3 101 3 5 3 01 0 0 31 3. ,
lim→ 1 3
5
→ +
+
.
4. á ã á , 0 1.
é : Á lim→ ∑ ∆= ∆ 1 0 1 ; . ã,: Á lim→ ∑ 1
=
l i m→ 1 ∑
=
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
26/265
26
l i m→ 1 1 ∑
= 1 ∑
=
∗ : ∑
= 2 3 1
6
∗ : ∑ = ² ² 2 14 Á lim→ 1 1 ² 2 1 4 1 2 3 16 l i m→ 1 2 14 2 3 16
l i m→ 1 6
2 1 42
3 124
l i m→ 14 2 4 1 024 l i m→
14 24 1024 l i m→ 14
24 1024
1 4 0 024
Á 1424 712 .5. á 1 ; í çã; ∗ é çã , é çã í ú , í çã
, .∗, ≠ 0 ⇒ ≠ 0 . ℝ 0. çõ ; ∗ã ℎá çã , 0 ã í ; 0 → 1 0 2 1:
2 8 2 1
4 54 1
1 1 11 1.
∗ é çã , , í 2,1, 2 < 0 < 1, á
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
27/265
27
∈ 2,1 0. , í 2 1. ;
3 1 12 3 2 2 2 2 ; ≠ 0 : 2
0 → 2
0 ⇔
2 0
í á 2, 1, 1 2 : 2 8 2 28 108 ; 1 1 1 21 4 ; 1 1 1 21 0 ; 2 8 2 28 1. ∗ , 1 0. : 2 1 2 é í, ,ã . , ó 1. 1 1
1 11 1. 1, 1. ;
∗ : 1 1 2 0 0 1 +− ∗ á í : é ∞,0 ∪1,∞ é 0, 1 ;
3 1 23 3 3 3 6
2 6 ; ≠ 0
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
28/265
28
2 6 ∗ ′: 3 2 6 0
0 3 −+ ∗ á í : ∞,0 ∪0,3 3, ∞ ã; ∗ ℎá ç çã , , 3. 3 3 3 13 259
ã ∶ 3,259
í: ∗ : é í : lim→ ±∞ lim→ ±∞ → 0 é í :
lim→ l i m→ 1 l i m→ 1↑
↓ ∞ , 0 é í á .∗ : é í ℎ : lim→+ lim→−
lim→+ l i m→+
1 lim→+ 3 ² 12 l i m→+ 62 l i m→+ 3 ∞
lim→− l i m→− 1 lim→− 3 ² 12 l i m→− 62 l i m→− 3 ∞ , ã í ℎ á . ∗ í: é í í lim→± 0
∗
1 1
1
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
29/265
29
lim→± l i m→± 1 l i m→± 1 l i m→±
1 11
lim→± 1 1 l i m→± 1 l i m→± 1 0 0 0
, é í í á .
2.6 Reavaliação da 2ª média-07 de Dezembro de 2007
1.
á , á á . ã: , é á , é 8³/ .,
8
ã , , .,
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
30/265
30
8 : ℎ . ℎ : ℎ 1/0,1/ ℎ3 . ℎç â : ℎ 205 > ℎ4 .ã: ℎ48 , ℎ 3ℎ48 ℎ16 . , 0 , 1 × ℎ²16 > 0,1ℎ²16 . 8 0,1ℎ16 . ℎ 16 : 8 0,11616 81,6/
2.
çã à 1. 1 : 1 → 1 . ã é 1, 1. ∗ í ,: ln l n . ln . ln → çã í í, : . l n . 1 l n . . l n . l n
. l n l n l n l n 1, 1 :
l n 1 11l n 1 11
0 1
0 1 1
1 1.
, ã 1, 1 1: 1 1 1 1 1 cosh 1. ℎ 1 → ℎ 1 ℎ −
2 ; çã :
−2 1 − 2
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
31/265
31
1 2 0 2 1 0 çã ã : 2 1 0
∗ : , ã > 0 ∀ ∈ ℝ. çã ,: ∆ 4 4 8 2 ± 2√ 22 → 1 √ 2 1 √ 2 < 0 ã çã ! à ã: 1 √ 2 l n ( 1 √ 2)
∗ , ln(1 √ 2): cosh((1 √ 2)) (+√ ) − (+√ )2 1 √ 2 11 √ 22 1 2√ 2 2 12 2√ 2 4 2√ 22 2√ 2 2 √ 21 √ 2 √ 2. ∗ , é (ln(1 √ 2) , √ 2 ).
3.
. á 2, 1. . ,, 2 1 2 0., 2 2 . 1 . 2. 2 . 8. 0 ; ≠ 0 ∀ ∈ ℝ . 2. 1 8 0 → ã,: 1 8 0 0 1 8 0 → 18 ; 0, ã 0 . ! ,
2 1., 18 . ã: 2.− ⁄ 1 2√ 1 → 2 √ → 12 √ ; 12 √ . .− ⁄
lim→1 ⁄ .
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
32/265
32
∗ ç 1 , ã , → 0 ã → ∞. lim→1 ⁄ l i m→ 1 1
lim→ 1 1
∗: lim→ 1 1 4. í20 . 2 2 0 → 1 0 → 1 0 . . → . . 1 0 10 203 0 : 203 0 → 0 203 . 0 ã çã!
1 0 → 1 0 203 103 . , õ ã 203 103 . 5. ç á 29 . 29 í: ∈ ℝ; 9
≠ 0
ℝ 3,3.
çõ : : 0 2.09 0 09 0. 0, 0 : 0 → 2 0 → 0 . 0, 0 í: : é í
: lim→ ±∞ lim→ ±∞ ∗ 3 3 ã í : ∗ l i m→− lim→− 29 ; çã : 3 3 9 : → 3+, ã > 3 . , 9 > 0 ã 9 → 0+. 0+ , > 0. ,
lim→− lim→− 29 ∞
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
33/265
33
∗ l i m→− lim→− 29 ; : → 3−, ã < 3 . ,9 < 0 ã 9 → 0−.
0− , > 0. ,
lim→− lim→− 29 ∞. → , 3 é í á . ∗ l i m→ lim→ 29 ; : → 3+, ã > 3 . ,9 < 0 ã 9 → 0−. 0− , > 0. ,
lim→ lim→ 2
9 ∞
∗ l i m→ lim→ 29 ; : → 3−, ã < 3 . ,9 > 0 ã 9 → 0+. 0+ , > 0. , lim→− lim→− 29 ∞. → , 3 é í á .
: é í ℎ
: lim→+ lim→− lim→+ l i m→+ 29 lim→+
29 l i m→+29 1
21 2. lim→− l i m→− 29 lim→−
29
l i m→−
29
1 21 2.
→ , 2 é í ℎ á .
: 4. 9 2. 29 364 49 369 ; ∗ ,: 0 3 6 3 3 9
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
34/265
34
3 0 3 − á í :
é 0, 3 ∪ 3,∞
é ∞,3 ∪ 3,0 : ó ℎá , 0, , 0 0 0. 0, 0. ã:
369
36229
9
369 1449 108 3249 108 39 ∗ ,: 1 0 8 3
3 3 9 3 3 (+)− á í :
3,3 ∞,3 ∪ 3,∞
∗ã ℎá ã
, ∄ ∈ ℝ;
0.
, ç á 2²9 ² é:
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
35/265
35
Capítulo 3
2008
3.1 1ª Prova-14 de Março de 2008
1. 1 ; 2 , 1 4⁄ ∗ çã á 2. l i m∆→ ∆ ∆ l i m∆→ 1 ∆ 1∆ l i m∆→
∆
∆ ∆ lim∆→ 2 . ∆ ∆ ∆ ∆ lim∆→ 2.∆∆∆ ∆ l i m∆→ ∆2∆∆ ∆ lim∆→ 2∆ ∆ 2 . 2 2 2 22 28 14. çã é :
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
36/265
36
14 14 2 14 34 2.
lim→ lim→ cos lim→ cos lim→ .cos.coscos lim→ cos lim→ 1cos 1cos 11 1. lim→ 2
2 1
1 lim→ 4 4
8
12
6 1
1
lim→ 4 48 12 6 9 12 6 1 lim→ 4 48 12 6 9 12 6 1
lim→ 1 4 48 12 6 9 12 6 1
1 0 08 0 0 0 0 0 0 18.
lim→ s ec cos cos l i m→ cos 1cos coscos lim→ 1cos cos lim→ 1 1 1 lim→
1 l i m→ 111 lim→ 1 11 1 12. 3. ã çõ í ℎ , ã
çõ:
∗ ã í , ,1 ; 2 lim→ lim→ ; 3 lim→ lim→ ,: 1 ; 2 lim→ lim→ ;
3 lim→ lim→ ;
∗ çõ ã,:
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
37/265
37
2 7 ; 2 2 ; 5 4 5 5. lim→ 25
5 l i m→ 5 5
5 l i m→ 5
lim→ l i m→ 5 5 5 1 0 .
2 2 2 2 7 5. 5 5 5 5 4 1. á 1 çõ í é çã í , , é í 2,5, , 2 < 0 <
5., á ∈ 2,5 0. , 0 → 0 → . 4.
32 5 , ≤ 2 , 1 , > 2
í 2.
∗ 2 l i m→ , à á 2., 2 32 2 5 3 5 2 lim→ l i m→ 1 4 2 1 2 5 ,: 2 5 2 → 2 7 → 72.
∗ é çã , é í í ç,
, çã ℎá ç çã, 2. ç ã çõ , ã í í ê.,á é í ∞,2 ∪ 2,∞. , 7 2⁄ , é í 2 , , é í ∞,∞., é í ℝ. 5. í çã √ 1√ 1. ∗, í çã!
∈ ℝ| ≥ 0 , ≠ 1 í : é í
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
38/265
38
: lim→ ±∞ lim→ ±∞
∗ 1 é í :
lim→ l i m→ √ 1√ 1 ∞ ; : √ 1 → 0+ : → 1+ã > 1 , , √ > 1 ⇒ √ 1 > 0 ; ∗ , 1 é í á . í : é í ℎ :
lim→+ lim→− ∗ ó , çã 1, ã lim→− . , → ∞. lim→+ l i m→+ √ 1√ 1 lim→+ √ 1
1√ √ 1 1√ l i m→+1 1√ 1 1√
1 01 0 11 1.
, 1 é í ℎ á
.
3.2 2ª VPA-12 de Abril de 2008
1. 1 2 3 ⋯ 10 0 cos .cos ² .cos ⋯ .cos
cos 1
⋯
′6 c o s 6 1 6 6 6 ⋯ 6 ∗ ê ã é . ã 6, 12. . é ã: 1 1
1 1 1
21 12
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
39/265
39
2 1212
2102411024 1023512
′ 6 √ 32 × 1023512 1023√ 31024 cos 1 ⋯ 1 ⋯ 1 1 c o s ⇔ 1 1 1
ã,:1 1
1 0 0 1 0 → 0 2 ;∗ 0, 2 , ã ∈ ℝ cos. 2. 3, ≤ 1
, > 1 .
í 1 ã: 1 l i m→ , á 1. 1 3.1 3 . 1 3 lim→ l i m→ , çã: 3 á 1. ∗ á çã 1.
1, :
−1 l i m→ 1 1 l i m→ 3 ² 3 1 l i m→ 311 1 l i m→3 3 6 +1 l i m→ 1 1 l i m→ 3 1 l i m→ 3 3 1 lim→ 1 1 l i m→ . á 1 . ,−1 +1 ⇒ 6. , çã 3. 3. ℎ ² 32 152
çã í, :
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
40/265
40
2 3 0 ′3 2 2 3 é é . , 1 3 2 ; 2,1 : 2 31 4 55 1. , çã 2,1 é: 1 1 2 1 2
1
1 ã . 1 32 1 152 32 2 1 152 4 2 3 6 3 1 5 7 8 1 2 0 ∆ 6 4 3 3 6 4 0 0
8 ± 2 0
14 → 1214 2 . 2 á 2,1
,, 1214 67. 1 67 1 137 . , , , 67 , 137 . 4. 10++ .çã 0,10.
10++
. 2 1. ln10
0 10.ln10
çã 0,10: 1 0 1 0 . l n 1 0 0 10.ln10 1 0 ; 1 1 1. çã á 1 . 1 . 1, .
2.
.
1 21. 1.
1 2 .1 .1 . 2
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
41/265
41
çã 1, ∶ 2 1 2 2 2 5.
; çã 4. 4 4 4 √ 21. : 4 , √ 2 1 . ′ 4 √ 2 2 çã 4 , √ 21: (√ 2 1 ) (√ 2 2 )
4
( √ 2 2 ) (√ 2 2 )4 √ 2 1 ( √ 2 2 ) √ 2 4 2 2 4 ²cos 1 . . 1 ; cos ; ,: . .
2.().2.cos
2. 1.2 2. 1.2cos 1 3.3 3ª Avaliação-17 de Maio de 2008
1. ; çã í, . ln l n
ln ln
2 . l n . 1 2 . l n . − 2−. ln cosh 1. ∗ çã: é â ,, 4 1. é à çã , , 1.
ℎ
1 → ℎ 1
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
42/265
42
ℎ −2 ; çã : −2 1 − 2
1 2 0 2 1 0 çã ã : 2 1 0 ∗ : , ã > 0 ∀ ∈ ℝ. çã ,: ∆ 4 4 8 2 ± 2√ 22
→ 1 √ 2 1 √ 2 < 0 ã çã ! à ã: 1 √ 2 l n ( 1 √ 2) ∗ , ln(1 √ 2): cosh((1 √ 2)) (+√ ) − (+√ )2 1 √ 2 11 √ 22 1 2√ 2 2 12 2√ 2 4 2√ 22 2√ 2 2 √ 21 √ 2 √ 2. ∗ , é (ln(1 √ 2) , √ 2 ). 2.
ℎç â, : ℎ1,8 151 5 → ℎ 271 5
ã 1,5/
,:
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
43/265
43
ℎ ℎ . ℎ 271 5 .1,5 9 …
ℎ 271 5 9 .1,5 ℎ 2736 .1,5 ℎ 34 . 1 , 5 4,54 /3. 8,01 . 8,01 . çã á é: √ 13 ² .
ó 8,01, ℎ √ 8 , 80,01. : . ∆ ≅∆,ã: ≅ . 8 0,01 8 0,01, :
80,01 8 ≅1
3 8²
. 0,01
8,01 √ 8 ≅ 0,0112 8,01 ≅ 0,0112 2 8,01 ≅ 24,0112 é 0,∞ > 0 ∞,0 < 0 .
. é .
ó é á ℝ.
2 . ∗ > 0 ∀ ∈ ℝ., , 2. > 0 > 0 . , é 0,∞ < 0 < 0. , é ∞,0. 4. −+ , á, í 1,1, .
1 2 . −+ ∗ çã í, ∈ ℝ;
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
44/265
44
0 ã . ∗ ã ℎá çã , , ∃∀∈ℝ., 0.
: −+
> 0 , ∈ ℝ.
1 1 1 . −− 1 1 1 . −+ ∗ ℎ > 11, , 1 > 0 1 > 0. çã, ã í 1,1; ∗ ℎ < 11, , 1 < 0 1 < 0. çã, ã í 1,1; ∗ℎ 11
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
45/265
45
5. 2 ; 1 í ; ∗ ℝ 2
2çõ ; 0 0 0 ⇔ 0 . ∗çã 0, 0. 3 í; : é í : lim→ ±∞ lim→ ±∞ ∗ 2 é í :
lim→ l i m→ 2 l i m→ −↑
2 ↓ ∞ ∗ : → 2+, ã > 2 , , 2 > 0 ⇒ 2 → 0+. < 0, 0+ . ∗ , 2 é í á . : é í ℎ : lim→+ lim→−
lim→+ l i m→+ 2 lim→+ 4 4 l i m→+ 4 4 lim→+
4 4 l i m→+ 1⏞↑
1 4⏟↓ 4↓
01 0 0 01 0.
∗, 0 é í ℎ á .
4 ; 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 ∗ :
2
2
2 2
2 2 2 2 ³⁄
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
46/265
46
∗ á , í : é ∞,2 ∪ 2,∞ é 2,2
5 ã;
2 3 2 2 2 2 3 6 2 2 8 2 ∗ : 4 2 8 2 2 4 2
2 8 2
⁄
∗ á , í : ∞,2 2,∞. ã ℎá ç çã , ú í ç. ∗ í ã ã!
ç á!
3.4 4ª Prova-14 de Junho de 2008
1.
lim→+
1
: ç á 1 , : ∗ → ∞ , ã → ∞.
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
47/265
47
lim→+ 1 l i m→+ 1 − l i m→+ 1 1− l i m→+ 1 1 1 1− ; → ∞, ã → ∞ lim→− 1 1
−
1 1−
l i m→− 1 1
−
× l i m→− 1 1−
− × 1 1 ∗ lim→± 1 1 . lim→ 1 1ln l i m→ . l n 1 1. ln l i m→ l n 1 1 1. ln ; ∗ ô: lim→ l n 1 1
l n 1 1 lim→ ln
l n 1 1 l i m→
11 1
l i m→ 1
1 l i m→
1
11 1 12. 2. 3 3 é á . . ∗ 3 é , é . 3 é à , ã á . , 3 ; 3 3 → ± 1 1, 3. , ã é 1, 3
1 1 1 3 → 2 .
2 1, 3. , ã é 1,3 1 1 1 3 → 2 2. 3. 25 ; 2,0 2, 0 ∗ â : á: , , : , ± 2 5 â , : 2 2 5 √ 4 2 9 2 2 5 √ 429 √ 4 2 9 √ 429 12√ 4 2 9 . 4 12√ 429 . 4
2√ 4 2 9 2√ 429
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
48/265
48
0,: 2√ 4 2 9 2√ 429 0 ⇔ √ 4 2 9 √ 4 2 9
√ 4 2 9 √ 4 2 9 → 4 2 9429 1 → 4 2 9 4 2 9 → 0 .
0, ±5. , 0,5 0, 5 ∗ â á. √ 4 . 0 2 9 √ 4 .0 2 9 √ 29 √ 2 9 2√ 29 ∗ ã ! â çã çã 5 ≤ ≤ 5. ., é çã ! ∗: çã ã çõ í 5,5 çã. é çã
ó 5 5. 5 √ 4 .5 2 9 √ 4 .5 2 9 √ 49 √ 9 7 3 1 0 < 2√ 29∗,2√ 29 é á â! í: ∗ â í á , , í, â 3 , ã ℎ. , â 5. ∗ 5, 0 , é, 5 → 0.
5 10 5 10.
4. 2 ; ; 1 5.
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
49/265
49
∫ 2 12 2 12 5 2. 5 12 1 2. 1 252 1 0 12 2 24
2 8 1 2 8 4 .
∗: , á!
∫ 2 ; ∆ 2 0 2 ; 2 ; 2 ∫ 2 l i m→ ∑ ∆
=
lim→ ∆ ∑
= lim→ 2 ∑ 2 2= lim→ 2 ∑ 2
= ∑ 2
= lim→ 2 2 ∑
= 2
lim→ 2 2 . 12 2
lim→ 2 1 4 lim→ 2 2 4 lim→ 2 2 2.
5.
1 ; 3 1 ; 2 31 í : ℝ 1,1; çõ :
0 0 ; 0 ⇒ 0 ⇒ 0 .
çã 0, 0.
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
50/265
50
í: : é í : lim→ ±∞ lim→ ±∞ ∗ 1 1 ã í:
lim→− l i m→− 1 l i m→− −↑
1 ↓ 1 ↓ ∞
∗ , 1 é í á .
lim→
l i m→
1 l i m→−
↑
1 ↓ 1 ↓ ∞
∗ , 1 é í á . : é í ℎ : lim→+ lim→− lim→+ l i m→+ 1 lim→+ 32 l i m→+ 32 ∞.
lim→− l i m→−
1 lim→− 3
2 l i m→+ 32 ∞.
∗,ã ℎá í ℎ á . í: é í lim→± 0 1 1
1
lim→± l i m→± 1 l i m→± 12 0. ∗ , é í í á . : 3 1 ∗ ,: 0 ( √ 3 ) (√ 3 ) 3
1 1 1
( √ 3 ) 1 0 1 (√ 3 ) (−)−
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
51/265
51
∗ á , í : é (√ 3,1)∪ 1,1 ∪(1, √ 3) é (∞, √ 3 ) ∪ (√ 3,∞). ∗ í 0 ã
ã 1 1.é, 1 1 ã í çã ,,ã ã í! 0 ±√ 3 0. (√ 3) (√ 3)1 (√ 3) 3√ 32 3√ 32 . á √ 3, 3√ 32 (√ 3) (√ 3)1 ( √ 3) 3√ 32 3√ 32 . í √ 3, 3√ 32
ã:
2 31 ∗ ,: 0 2 3 1 1 1 1 0 1 (+)−
∗ á , í :
∞,1 ∪ 0, 1 1,0 ∪ 1,∞ ∗ ã ℎá ç çã . , 0 ã. . 0,0
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
52/265
52
3.5 Reavaliação da 2ª média-21 de Junho de 2008
1.
lim→ l i m→
l i m→
∞ lim→. 1.
lim→ . l i m→ . l i m→ . lim→ . l i m→ 2 . lim→ 2 l i m→ . 2 1 3 . lim→
4 . .
∗ ç ç á :
: → ∞, ã → ∞. lim→ l i m→ 2 + l i m→ 1 2 + ; ú ç á 2 : lim→ 1 2 + l i m→ 1 1+ l i m→ 1 1 1 1 lim→ 1 1 × l i m→ 1 1 : lim→ 1 1 lim→ 1 1 . lim→ 1 1 1. lim→ 4 ⇒ 2 ln 4 ⇒ 12 l n 4 l n 4 ⁄ ∴ ln 2 ∗: ã ô ê çã çã . 2. − ; á í 0, 1. 2 1− : − > 0, ∀ ∈ ℝ. , é 2 1. > 0 > 12 ; 0 12 < 0 < 12. 12
∗ , í 12.
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
53/265
53
12 − − 1√ ; ∗ ,: 0 1; 1 1;
∗ , á 0, 1 é 1 í é 1√ . 3. 1 0 1 7 ; çõ á çã, : 2 2 2 1 2 0 1 7
2 4 2 2 2 0 74 2 2 → 2 0 7 2 → 2; 9 ; 18 ∗, 9 1 8 2 4.
A
100 km
1 0 0 2 0 15 B
∗ â á ℎ â , çã à ó . 2. 2. 2. . . . 1002020 1515 10020 15
À 16ℎ ã 3ℎ çã 100 .
3 10020.320 15.315
10020.3 15.3
3 800675√ 40 225.9
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
54/265
54
3 125√ 16002025 3 125
√ 3625 /ℎ
∗ , ã ! â , 3 < 0. 5. , á : , ± 32 4 , á â á 2. 2, , |2.2| . ã: 6 4 . 6 4 ; | | 6 4 6√ 4 . 0 6 4 6√ 4 > ² 4 >2 4 > 2 ∴ ±√ 2 ±√ 2 í á í . ,
çã Á é ó ,, ±√ 2 á .:
6. √ 2 4 √ 2 6√ 2√ 4 2 6√ 2√ 2 |6.2| |12| 12 . 6. √ 2 4 ( √ 2) 6√ 2√ 4 2 6√ 2√ 2 |6.2| |12| 12. 3.6 VPA 1-12 de Setembro de 2008
1. , ≤ 1 , 1 < < 4 2 , ≥ 4 í . ∗: ç ã çõ ,,í . çã á é í ∞,1 ∪ 1, 4 ∪ 4,∞.
í 1 4. ∗ 1, :
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
55/265
55
1 l i m→ 1 1 1 ² 1 . 2 lim→ l i m→ . 3 , : 1
∗ 4, : 4 l i m→ 14 2. 4 8. 2 l i m→ l i m→ 4 . 3 , : 4 8 ∗ : 14 8 → 13 9 → 3 ; 4 .
2. 1 ; çã. çã çã , ã: l i m∆→ ∆ ∆
∗ ã:
l i m∆→ ∆ ∆ l i m∆→ ∆ ∆ 1 1∆
l i m∆→ 1 ∆ ∆ 1 ∆ 1 1∆ l i m∆→ 2∆∆ 2 ∆ ∆ ∆
∆ ∆ 1 1
l i m∆→ ∆∆ 2 ∆ ∆ ∆ ∆ 1 1
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
56/265
56
l i m∆→ ∆ ∆ 2 ∆ ∆ ∆ 1 1 l i m∆→ ∆ 2 ∆
∆ 1 1 2
1 1 2
1
4 ⇒ 1 4 4 4 → 4 4 0 → 2 0 ∴ 2 ∗ çã : 2 2 2.22 1 4 41 01 0. çã 2, 4: 4 0 2 43. 9√ 16 3 2 ; í, . ∗ , í . 16 3 2 ≠ 0. 16 3 2 > 0 ∗ çã é á , á çã.
çõ: 16
≥ 0 ∀ ∈ ℝ 3 > 0 ≥ 0.
ã, > 0 ∶ 16 3 2 > 0 ∗ 16 3 < 0 < 0 ? 116 3 0 → 0 316 16 3 316 16 16 316 9256 ∗ é ô 2º í, ,ã í ., é .
, é ! ∗ é , ó 2, í 16 3 2 > 0 ∀ ∈ ℝ. 64 3 0 ⇒ 6 4 3 0 ⇒ √ 34 √ 34 1 6 . √ 34 3 √ 34 9 √ 316 ; é 2.
∗, ℝ.
: ℎó í á .
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
57/265
57
: é í ℎ : lim→+ lim→− lim→+ l i m→+ 9√ 16 3 2 l i m→+ 9||√ 16 3 2 || ; : || . → ∞, ã || .
lim→+ 9||√ 16 3 2 || l i m→+
9√ 16 3 2 √ l i m→+ 1
9 16 3 2 1 0√ 1 6 0 0
1√ 16
12.
, 12 é í ℎ á . lim→− l i m→− 9√ 16 3 2 l i m→−
9||√ 16 3 2 || ; : || . → ∞, ã || .
lim→− 9
||√ 16 3 2 || l i m→− 9
√ 16 3 2 √ l i m→− 1 9 16 3 2
1 0√ 1 6 0 0 1√ 16 12. , 12 é í ℎ á . á: ã í , í
0.
1 3 2 ; 1 1 2 í : ∗ é í : lim→ ±∞ lim→ ±∞ ∗ 1 2 ã í á , ã çã.
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
58/265
58
lim→ l i m→ 1 1 2 l i m→ 1 1 ↓ 2 ↓− ∞
: → 1+
, ã > 1., 1 > 0.
lim→ l i m→ 1 1 2 l i m→ 1 1 ↓ 2 ↓− ∞
: → 1− , ã < 1., 1 < 0. ∗ , 1 é í . lim→ l i m→ 1 1 2 l i m→ 1 1
↓
2↓
∞
: → 2+ , ã > 2., 2 > 0. lim→ l i m→ 1 1 2 l i m→ 1 1 ↓ 2 ↓ ∞
: → 2− , ã < 2., 2 < 0. ∗ , 2 é í .
, á í ,
1 2 ã .
4. lim→ | 2| 8 ; : | 2| 2, ≥ 2 2, < 2.lim→ | 2| 8 l i m→ 2 8 l i m→ 2 2 2 4 l i m→ 1 2 4 112 ∗ : → 2+, ã > 2. , | 2| 2
lim→ | 2|
8 l i m→ 2
8 l i m→ 2
2 2 4 l i m→ 1
2 4 1
12
∗ : → 2−, ã < 2. , | 2| 2. lim→ | 2| 8 ≠ l i m→ | 2| 8 , lim→ | 2| 8 ∄. lim→ √ ∙ 2 0 1 ≤ 2 ≤ 1 2− ≤ 2 ≤ 2 1
2 ≤ 2
≤ 2
√ 2 ≤ √ ∙ 2 ≤ 2√
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
59/265
59
√ 2 , √ ∙ 2 ℎ 2√ . ã, : ≤ ≤ ℎ , lim→
0 lim→
ℎ 0, , lim→
lim→
ℎ , ≤ ≤ ℎ lim→ lim→ ℎ ,ã
lim→ lim→ lim→ ℎ 0., lim→ √ ∙ 2 0 5. 1 . çã . > 0. ∗ : , 1
.
1 . 1. 1 1 1 2 ∗ çõ : 0, 2 2,0
∗, á â
é:
Á 12 ∙ 12 2 2 2 . 3.7 VPA 1-13 de Setembro de 2008
1.
1 , ≤ 1
2 4 , 1 < ≤ 4 2 , > 4
∗ é çã , ç ã çõ ,,í í. , é í ∞,1 ∪ 1,4 ∪ 4,∞. é í ℎá ç çã, , 1 4. ∗ é í , , 1 ; 2lim→ ; 3lim→ 1: 1 1 1 ² 1 1 1 2 .
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
60/265
60
2 lim→ l i m→ 2 4 l i m→ 2 l i m→ 4 12 4 72. lim→ l i m→ 1 l i m→ l i m→ 1 1 1 2 . ∗ lim→ ≠ l i m→ ã lim→ ∄.
∗ , ã é í 1. 4: 1 4 42 4 8 4 4 . 2 lim→ l i m→ 2 2 . lim→ l i m→ 2 4 l i m→ 2 l i m→ 4 8 4 4 . ∗ lim→
≠ l i m→
ã lim→
∄. ∗ , ã é í 4.
∗ í 1 4 , , ã é í . ç á :
2. 5 3 2 ;, çã,. l i m∆→ ∆ ∆ l i m∆→
5 3 ∆ ∆ 2 5 3 2∆ lim∆→
25 3 ∆ ∆ 25 3 2 ∆ 2∆
lim∆→5 3 3 ∆ 1 0 6 6 ∆ 5 5 ∆ 1 0 3 3 ∆ 6
∆ 2 ∆ 2
lim∆→ 5 3 3 ∆ 1 0 6 6∆ 5 5∆ 1 0 3 3 ∆ 6 ∆ 2 ∆ 2
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
61/265
61
lim∆→ ∆∆ 2 ∆ 2 l i m∆→ 1 2 ∆ 2 1 2
∴
1
2.
çã 3,4 ∗ 3 13 2 11 1. ∗ ,: 4 1 3 4 3 7 3. ℎ √ 1 ; í. ∗ í çã ℎ. 1 > 0 ⇒ 1 > 0 ; > 1 ; : > 0 ∀ ∈ ℝ. ² 1 > 0 ∀ ∈ ℝ.,ℎ ℝ.∗ ℎ é í , , ã ℎá , ℎ ã í ‼!
í :
é í ℎ : lim→+ ℎ lim→− ℎ lim→+ ℎ l i m→+ √ 1 l i m→+
||√ 1|| l i m→+√ 1√
l i m→+ 1 1 1 1√ 1 0
1√ 1 1. : → ∞, ã || . ||
.
∗ , 1 é í ℎ á ℎ. lim→− ℎ l i m→− √ 1 l i m→− ||√ 1|| l i m→−√ 1√
l i m→+ 1 1 1 1√ 1 0 1√ 1 1. : →∞,ã || . || . ∗, 1 é í ℎ á ℎ.
lim→ l i m→ ∙ (√
√
)(√ √ )
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
62/265
62
lim→ √ √ l i m→ 2√ √ ;
lim→+2
√ √ l i m→+2||
√ || √ || l i m→+2√ √ √ √
lim→+ 2 1 1 1 1 2√ 1 0 √ 1 0 21 1 22 1. lim→− 2√ √ l i m→−
2||√ || √ || l i m→−2√ √ √ √
lim→−2
1 1 1 1 2
√ 1 0 √ 1 0 2
1 1 22 1.
∗,lim→ ∄. 4. lim→ | | lim→ | | ;: | | , ≥ , < . lim→ | | l i m→ l i m→ 2.
lim→ | | l i m→ l i m→ 2.
∗ , ã ,ã lim→ | | ∄. lim→ √ 6 2√ 3 1 lim→ √ 6 2√ 3 1 ∙ (√ 6 2 )(√ 6 2 ) ∙ (√ 3 1 )(√ 3 1 ) lim→ 2(√ 3 1 ) 2(√ 6 2 ) lim→ (√ 3 1 )(√ 6 2 ) √ 3 2 1√ 6 2 2 √ 1 1√ 4 2 24 12.
5. | 4| < 2 3 ; lim→ . ∗ : 2 3 < 4 < 2 3 2 3 4 < < 2 3 4 2 3 4 ℎ 2 3 4,ã : < < ℎ , lim→ 0 lim→ ℎ 0, , lim→ lim→ ℎ , < < ℎ lim→ lim→ ℎ ,ã
lim→ lim→ lim→ ℎ 4. , lim→ 4
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
63/265
63
ℎ 1 5 6 ; ℎ 1 2 3 . ∗ ℎ ℝ 2,3. , , ℎ é í, í . é í : lim→ ℎ ±∞ lim→ ℎ ±∞
lim→− ℎ l i m→− 1 2 3 l i m→− 1 2 ↓ 3 ↓ ∞
: → 2+, ã > 2 ∴ 2 > 0.lim→− ℎ l i m→− 1 2 3 l i m→− 1 2 ↓ 3 ↓ ∞
: → 2−, ã < 2 ∴ 2 < 0. ∗ , 2 é í á ℎ.
lim→− ℎ l i m→− 1 2 3 l i m→− 1 2 ↓− 3 ↓ ∞
: → 3+, ã > 3 ∴ 3 > 0.
lim→− ℎ l i m→− 1 2 3 l i m→− 1 2 ↓− 3 ↓ ∞
: → 3−, ã < 3 ∴ 3 < 0. ∗ , 3 é í á ℎ. 3.8 2ª Prova-03 de Outubro de 2008
1. ln|cossec3 .cotg3| . . cossec3 .cotg3cossec3 .cotg3 3cossec3 .cotg3 3cossec3cossec3 .cotg3
3cossec3cotg3 cossec²3
cossec3 .cotg3 ; 1 cot g
cossec²
32cossec3 1cotg3 .
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
64/265
64
sen cos 2 sen ; çã 0 , 4⁄ . ∗ çã í, : s en . cos 2 . sen2 cos
. .cos2cos2 c o s s e n
cossen.cos2sen2 ã ã , : cos0sen 42.sen 2
1 √ 222 √ 2 24 . çã :
4
√ 2 24 0
√ 2 24 4 (√ 2 2 ) 4 2. √ 12 3 ; 0 çã í. ln ln √ 12 3 ln ln √ 1 l n2 ln 3 ln
12 ln 1 5 l n2 4 l n 3
12 ∙ 1 1 5 ∙ 12 4 ∙ 1 3 ∙ 12 1 52 4 3 √ 12 3 12 1 52 4 3 0 √ 0 12 00 3 120 1 52 0 40 3 √ 123 12 52 43
3281 2 43 3281 ∙ 103 320243.
3. loglog . 2. ∗ log , ã log . , ∙ 1.ln2 ∙ 1. ln3 1.log ln2. ln3 ; log ln ln 2 ç !
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
65/265
65
1 . l n . l n 3 ∴ 1ln . ln 3 . 2 1ln 4 . ln 3. || . . l n . ln|| 2. . ln|| . 1 . 2.ln|| 1 || . 2.ln|| 1.
4.
senh ; 1. cosh −2 . 1 ⇒ −2 1 − 2 − 2 0 1 2 0 2 1 0 ; . : > 0, > 0 ∀ ∈ ℝ. 2 1 0 → 1 0 ∴ 1 .
→ 1 ; ln 1 ∴ 0. ∗, ã é 0,senh0 0, 0. 2 . 1. ∗ arctg . ã, 2 . ,: ∙ ∙
2 ∙ 11 ∙ 2 ∙ ln2
2. 2 . . ln21 1 2. 2.1 . ln21 1 2. 2.1 . ln21 1 2.2
. ln22 2 . ln2 5. sen cos tg ; 0 2 , 0 6 4 .
0 .sen0 .cos0 . t g0
0 ; 0 2 ∴ 2 .
.cos 2 .s en .s ec
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
66/265
66
.cos 2 .s en .s ec ; 0 ∴ 0 . s e n 2 . c o s 2.sec . t g 6 .s en 6 2.cos 6 2.sec 6 . tg 6
6 2 √ 3 2 . 43 . √ 33 6 2 √ 3 8√ 39 ; 6 4 ∴ 2 √ 3 8√ 39 4 ∗ çã . ,: 2 √ 3 8√ 39 4 → 12 8√ 39 4 √ 3 → 9 1 6√ 318 4 √ 3 → 18(4 √ 3)16√ 3 9 ; , 18(4 √ 3)16√ 3 9 2. lim→ sen 1 2 lim→ sen 1 1 2 ;∗ ç çã 1 ã , : ∗ : → 1, ã → 0. lim→ sen 1 1 2 lim→ sen 3 lim→ sen . 1 3 lim→ sen ×lim→ 1 3
1 × 13 13. ∗,lim→ sen 1 2 13. 3.9 2ª Avaliação-04 de Outubro de 2008
1.
cos ∙ t g 1 ; çã í. l n l n cos ∙ t g 1 l n l ncos lntg ln 1 l n 2 . l ncos 4 . lntg 3.ln 1 2. sencos 4. sec tg 3 2. 1
2 . t g 4cotgtg 6.
1
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
67/265
67
∙ 2 . t g 4cotgtg 6. 1 ∙ 2. tg 4. cotg 6.
1
2 ∙ t g 2 . c o t g 3. 1 2 ∙cos ∙ t g 1 ∙ t g 2 .cot g 3. 1. 2. 2 ; 0 ? ∗ , : 2 2 0 2 2
2 2
2 12 1 ∴
;
0 ⇔ 0 .
∗ 0 ã : . 0 . 0 2 0 2 !, 0 ≠ 2 .∗ , ã 0 , , ã ℎ 5. 3. 3 ; çã 1 0 ≤ ≤
2.
1 ⇒ 3 1 → 3 3 ∴cos2 0.
∗ 2 2 ±2 2 32 ±2 ∗ 4 ± 34 ±. 0 ≤ ≤ 2 , , é 1º , ã 4. ∗ 2 cos , ã 3 . ,:
∙
∙
2. sen. 3 . ln3
2 .3.sen2 . ln3 4 2 . 3.sen2 . l n3 4 2 . 3.1 . ln3 4 2 . l n3 ∗çã 4 ,1: 1 2 . l n3 4
2.ln3 2 ln3 1
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
68/265
68
ln ; . ln sen2 . lnln 2.cos2. lnln sen2 .
1 .
1ln
2.cos2. lnln sen2 l n ln 2.cos2. lnln sen2 l n . 4. arcsen 1 ; , 0 < < 1. ∗ 1 √ . ã arcsen. ,: ∙ ∙ 2 ∙ 12√ ∙ 1√ 1 √ 1 ∙ √ 1 1 √ 1 ∙ √ ; : || ||√ 1
log ; 1. log . .log 1 l n ∙ 2.log 1 2 l o g . ln ∴ 1 1 2 l o g 11. l n 1 2 . 0ln 1ln . 5. tgh(√ ) ; çã 0,0. ∗ çã é é . , 1 .tgh(√ ) . [tgh(√ )] tgh(√ ) . 1
2√ .sech(√ )
∗ 0, 0,:
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
69/265
69
0 tgh(√ 0 ) . 12√ 0.sech(√ ) ; ∗ ℎá çã 0.
∗ ,
tgh(√ ) . 1
2√ .sech
(√ ) ó
> 0. , ó +0 á . lim→ l i m→ tgh(√ ) . 12√ .sech(√ ) lim→ tgh(√ ) l i m→ .sech(√ )2√ ∗ ã é ! ∗ çã à . lim→ .sech(√ )2√ ; → 0+ ã > 0., √ √ .
lim→ .sech(√ )
2√ l i m→ √ .sech(√ )
2 0.12 0.
∗,+0 0. , −0 ∄. 0 ∄. ,ã ℎá ℎ 0, 0 ,, ã ℎá ! ∗ : á +0,í í,, çã ã é í 0, , ã é á . arccos
3 ; 1
2.
1 ∙ 1 1 3
1 1 3 1 1 23 9
31 √ 9 9 6 .
12 1 1 4⁄ 1 1 2 1 5 7 6⁄ 24. 3 4⁄ √ 455 18√ 455.
ln l n 31 √ 9 9 6 ln ln 3 3 ln 9 9 6 ln ln 3 3 12 ln9 9 6 6 3 3 12 ∙ 6 24 189 9 6
∙ 2
1 6 24 1829 9 6
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
70/265
70
12 12 . 2 121 14
6. 132 24. 18 18. 122 9 9 . 14 6. 116 164
12 18√ 455 43 316 3 9 2 9 94 38 164 12 18√ 455 43 991645532 12 18√ 455 43 198455 12 24
√ 455 3564
455√ 455.
3.10 3ª Prova-01 de Novembro de 2008
1. çã 1√ 1 7.
∗ 7 1√ 7 1 1√ 8 12. ∗ 13 ∙ 1 1(√ 1 ) 13 1√ 1 ; 7 137 1√ 7 1 13. 8. √ 8 148. ã çã:
12
148 7
148 3148 ln1,08 . çã á é: l n 1 ∗ ó 1,08, ℎ ln 1 0., 10,08.∗ : . ∆
∗ ≅ ∆, ã: ≅ .
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
71/265
71
∗ 1 0,08 1 0,08, : 10,08 1 ≅ 11 . 0,08 1,08 0 ≅ 0 , 0 8 1,08 ≅0,08
2. 2 s e n c o s2 . ú í ≤ ≤ . ∗ ú í çã é ú í 0 ã . 2 c o s 2 s e n2 2 c o s 4 s e n . c o s 2 c o s 1 2 s e n
0 ⇒ 2 c o s 01 2 s e n 0 2 cos 0 ; 2 2 . é ,. 1 2 s e n 0 → s e n 12 ; 6 56 . ∗ , ú í ã: 2 , 6 , 2 56 . é ℎ, á í çã í ℎ , . 1 ú í , ; 2 ; 3 1 2 é á , é í . ∗ 1 2 2 s e n 2cos 2 1 3 . 6 2 s e n 6 cos 3 1 12 32.
2 2 s e n
2 c o s 2 1 1 .
56 2 s e n 56 cos 53 1 12 32. ∗ 2 2sen cos 2 0 1 1. 2sencos2011.∗ 3 á ,, á é 6 56 32 í é 2 3 .
3.
3 2 ; ã ∈ 0,5 5 05 0 .
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
72/265
72
83 325 2530 56.
2 3
2
5
2
∗ : 5 2 56 → 2 6 → 2 √ 6 . ∗ , ã ℎá ∈ ℝ ç çã . ∗ ã é? çã ç ℎó: 1 é í ℎ , ; 2 é á , ; ã ∈ ,
.
1 çã 3 2 ã é í 0, 5, , 2 ã í . , é í 2. 2 çã 3 2 ã é á 0,5,, 5 2 ó ≠ 2, 2 ∈ 0,5. ∗ , ã ∈ 0,5 5 05 0 ã
é!
³ 9² 33 8 í . 0 8 1 35. ∈ ℝ 0. ∗ é çã , , í 0, 1 , 0 < 0 < 1, á ú , ∈ 0, 1 0. , ê í 0,1. ∗ ℎ ℎ 2 í , , 0, ≠ . é çã í á , , ú ∈ , 0. 3 1 8 3 3
0 → 3 1 8 3 3 0 6 1 1 0 ∆36448. ∆
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
73/265
73
∙
1
32 1
1 ∙ 4
83 1 8.33 3 1 8 8² 84 2/∗ á, é çã ã çã , : 1 → 12 (3. ). 1 1 4 12 (3. 2. ). 1√ 1 2 4 12 (12). 13 2 4 1 2 . → 2/5. ∗ õ:
4 43 ∗ 4/ 0,1/ ∗ . ∙ 4 8 . 0,1
5
∙ 4. 0,1 4. 25 . 0,1 10 ³/
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
74/265
74
3.11 Reposição da 1ª Média-13 de Dezembro de 2008
1. ; çã . → → cosh 1 ∴ 0. : 0, .
s e n h . . ∗ : é à . , , 1 1senh. ∗ 0, ∄ , é, lim→|| ∞. ∗ ℎ ã. ∗ , é . é
10 0
0 0 . √ 3 24 3 ; í ℎ. ∗ í . ℝ 34}. ∗í: : é í
: lim→ ±∞ lim→ ±∞ ∗ ê í çã., 34⁄ é í : lim→ l i m→
√ 3 24 3 l i m→√ 3 2
√ ⁄↑4 3 ↓
∞
∗ : → 3 4⁄ + , ã > 3 4⁄ 3 4⁄ > 0. lim→ l i m→ √ 3
24 3 l i m→ √ 3 2 √ ⁄↑4 3 ↓
∞ ∗ : → 3 4⁄ − , ã < 3 4⁄ 3 4⁄ < 0. ∗ , 3
4 é í .
: é í ℎ :
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
75/265
75
lim→+ lim→−
lim→+ l i m→+ √ 3
24 3 l i m→+√ 3 2
||4 3|| l i m→+√ 3 2
√
4 3 l i m→+ 3 2
4 3
√ 3 04 0 √ 34 . ∗ : → ∞ ã || ; || . , √ 34 é í ℎ á .
lim→− l i m→−√ 3 2
4 3 l i m→−√ 3 2||
4 3|| l i m→−
√ 3 2√4 3 l i m→−
3 24 3
√ 3 0 4 0 √ 34 . ∗ : → ∞ ã || ; || . , √ 34 é í ℎ á . 2. . || ; , ≥ 0
, < 0.
∗ çã ,: ∗ ∆ > 0, ã: l i m∆→ ∆ ∆ l i m∆→ ∆ ∆ l i m∆→ 2 ∆ ∆ ∆ l i m∆→ 2∆∆∆ l i m∆→ ∆2 ∆ ∆ l i m∆→2 ∆ 2 . ∗ ∆ < 0, ã: l i m∆→ ∆
∆ l i m∆→ ∆
∆ l i m∆→ 2 ∆ ∆
∆
l i m∆→ 2∆∆∆ l i m∆→ ∆2∆∆ l i m∆→2∆ 2. , ã : 2, ≥02,
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
76/265
76
lim→+ 2 5 l i m→+ (√ 2 5 ) (√ 2 5 )(√ 2 5 )
lim→+
2 5
(√ 2 5 ) l i m→+ 25√ 2 5 l i m→+25||√ 2 5 ||
lim→+ 25√ 25√ l i m→+ 25 1 25 1
25√ 1 0 1 251 1 252 . ∗ : → ∞ ã || ; || .
3. , < 22 1 , ≥ 2.
∗ çã é í , , : 1 ; 2 lim→ ; 3 lim→ . ∗ çã 2,: 1 2 2. 2 1 8 1 7 . 2 lim→ l i m→ 2 . : ã ℎá à 2,
lim→ 2. 3 lim→ 2 → 2 7 ∗ é çã í 2. á 2: +2 l i m→ 2 2 l i m→ 2 1 7 2 l i m→ 2 8 2 l i m→ 2 4 2 lim→ 2 2 2 2 l i m→ 2 2 22 2 8.
−2 l i m→ 2 2 l i m→ 7 2 l i m→ 7 2 7 2 lim→ 2 2 l i m→ . ∗ á 2 +2 −2., 8. çã : 2 . 7 → 1 6 7 → 9 . ∗ çã: 8 9. 4. ³ ³ 6 ; çã 3,3.
∗ çã í, : 3 3 6 6
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
77/265
77
2 2 . 2 2 2 ²
² 2 ; 3,3 2.33²
3²2.3 6 9
9 6 3
31.
∗ çã :
3 1 3 3 3 6 é ℎ 0 0 ⇔ 2 0 2 ≠ 0 2 → 2 . ã , :
2 6 2 8 3 → 2 8 → 16 0 → 16 0 , 0 1 6 0 → 0 √ 16 . ∗ 0 : 0
6 . 0 . →
0 → 0 . 0, 0.
: 0, 0 ã çã ≠ 2. , ã
ℎ .∗ √ 16 : (√ 16 ) 6. √ 16 . → 6√ 16 1 6 0 çã ≠2. 2 . , 2 √ 16 . çã ,:
± 2 √ 16
6√ 16
± 2√ 16
1 6 0
2√ 16 ± 2√ 16 6√ 16 ± 2√ 16 1 6 0 2√ 16 (2√ 16 6 √ 16 ) 1 6 0 4√ 16 2 √ 16 1 6 ≠ 0 . , ≠ 2. , ℎ √ 16 . ã ℎ çã
2 → √16
2 .
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
78/265
78
∗, ℎ √ 16 , √16 2 .
5.
sen(tg √ sen) ; .
∗ sen , √ tg , ã sen ,: ∙ ∙ ∙ cos. 12√ . sec . cos cos.sec(√ sen).cos(tg √ sen)2√ sen
2 ∗ 1. , 3 . ã 2 . ,: ∙ ∙ 2 ∙ 3 ∙ ln3 ∙ 2 ∙ ln2 2 ∙ 3 ∙ ln3 ∙ 2 ∙ ln2
1 2 ∙ 3
∙ ln3 ∙ 2
∙ ln2
1 4 8 ∙ l n3 ∙ ln2 3.12 Reavaliação da 2ª média-13 de Dezembro de 2008
1.
∗ çã , õ: 2
, é é â
. ;
∗ ã 2/
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
79/265
79
çõ,: 100 100 2. 2. 0 .′ : 2/ . . . 2 2 2 1 0 0 2 1 0 0
∗ 6 :
2√ 1 0 0 3 6 2 36√ 10036 2√ 64 72√ 64 1697²/ 2.
, ℎ ,
. çã â â,: ℎ → ℎ → ℎ 13 . ℎ 13 . → 3 ∗ : ã ! 3 23 ; 0 : 23 0 2 3 0 ∴ 23 .
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
80/265
80
23 , ℎ:
ℎ
ℎ 23
3
3 .
, 23 ℎ 13 . á 13 . . ℎ 13 49 . 3 481 . 3. ∫ 5
12
5
12
² 5 12
5
2 5 .
1 ú í .
0 2: 0 0 0 0 1 1 . 2 2 2 2 1 5 . ∗,0 < 0 < 2, é, 0 é ú 0 2. é í 0, 2, á ú 0 2 0. , çã ³ 1 í 0, 2. ∗ℎ ℎ 2 í . é í á , , é ô, ú ∈ , 0.
3 2 1 ; ∆ 4 12 8. , ã í . ,ã ú 0 , , ú í . ∗: í ã é í á ô 3º . 1 é í . , 1 1. é í, , ã í . 1, 0. 4.
1 ; ç á!
1 í : ℝ 1. 2 çõ : 0, 0. 3 : 3 1 . 2. 1 1 3 1 2 1 3 1 3 1 ; 3 1 ∗ ,: 0
3 3
1 1 0 1 3 ²3/1³
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
81/265
81
∗ á , í: é ∞,1 ∪ 3,∞ é 1, 3
4 í:
0 ã . 0 0 3. 0 0 ; 3 33 1 274 . í∶ 0, 0 3, 274 . ã 1. , 1 ã í , ,ã é ú í. 5 :
3 6 1 3. 3. 1
1
3 6 1 3 9 1 6 1 : 0 6 1 1 0 1 6 / 1 ∗ á , í:
0, 1 ∪ 1,∞ ∞,0 6 ã: 0 0. 0 0 . ã 0, 0. 7 í: ∗ : é í :
lim→ ±∞ lim→ ±∞ ∗ é í 1. 1 é í : lim→ l i m→ 1 l i m→
↑ 1 ↓
∞ ∗ : → 1+ , > 1 ã 1 > 0 ⇒ 1 > 0
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
82/265
82
lim→ l i m→ 1 l i m→ ↑
1↓
∞ ∗ : → 1− , < 1 ã 1 < 0 ⇒ 1 > 0. , 1 é í á . ∗ : é í ℎ : lim→+ lim→− lim→+ l i m→+ 1 l i m→+ 2 1 l i m→+ 32 2 l i m→+ 62 l i m→+ 3
∞.
, ã í ℎ.
∗ í: é í í , lim→± 0 2 1 2 3 2 2 1 lim→± 2 l i m→± 3 2 2 1 l i m→±
3 2 2 1 l i m→±3 21 2 1
lim→± 3 l i m→± 2lim→±1 l i m→± 2 l i m→± 1 0 01 0 0 01 0. ∗ , 2 é í í á
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
83/265
83
5. lim→2 1 (+)⁄ lim→ +()⁄ lim→ ++ → ++; ∗ : lim→ ln2 1sen lim→ 22 12 1 cos² lim→ 22 1²cos² 20 1.cos0 0 2cos0 21 2. ∗ lim→2 1 (+)⁄ → ++ . ⁄ 2 c o s ; 0 1 0 . ∗
é:
35 ⁄ 2 s e n 0 1 ; 0 1 ∴ 1 1 → 2. 35 ⁄ 2 s e n 2 ∗ é: 2 940 ⁄ 2 c o s 2 0 2 1 3 ; 0 ∴ 3 → 3. , 2 940 ⁄ 2 c o s 2 3.3.13 Prova Final-18 de Dezembro de 2008
1. 2ℎ 1/
6
/
2ℎ2 ↔ 2ℎ2 12 (. ℎ 2ℎ)
12 (
. ℎ . ℎ
2ℎ
)
12 . ℎ . ℎ 2 ℎ
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
84/265
84
6 12 . ℎ .1 2 .1 12 . ℎ 2 1 0 ℎ .
ℎ ã ,, çã çã . é 10 á é 50,: 50 2. 102 ⇒ 2 1 0 → 8 ∴
1 0 8
10 2
100,2/.
2. ln 1 , ≥ 0ln1 , 1 < < 011 , ≤ 1∗ é çã ,, é í í ç. ç, : ∗ ç é çã í, 1 > 0 1. í , á çõ . , çã
ln 1 > 1. ç é á ≥ 0, ã é í 0,∞. ∗ ç é é çã í,é, ô ., ê çã ln1 , 1 >0., 1 1 1
∗ á, çã ln1 1 < < 1.
ç 1 < < 0, , é í 1,0. ∗ ç é çã , í, , ,á é çã . ç,: 11 ; 1 ≠ 0 ç 1 0 , ã 1 → ±√ 1 ; , ã çã ã. , 1
≠ 0 , ∀ ∈ ℝ .
, ç é á . ç ≤1., é í ∞,1.
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
85/265
85
∗ á, é í ∞,1 ∪ 1,0 ∪ 0,∞. é í ℎá ç çã, , 1 0.
∗ çã é í , ,
1 ; 2 lim→ ; 3 lim→ ∗ 1: 1 1 11 1 11 1 12. 2 lim→− ; lim→− l i m→− ln1 ; → 1+ ã > 1., 1 > 0. ∗ 1
→0 , lim→− ln1
∞;
∗,lim→− ∄, ã ℎá à 1. , ã é í 1. ∗ 0: 10 ln0 1 ln1 0. 2lim→ ; lim→ l i m→ ln1 l n l i m→1 l n1 0. lim→
l i m→
ln 1 l n l i m→
1 l n1 0. ∗,lim→ 0.
3 lim→ 0 0. , é í 0. ∗ á é í ∞,1 ∪ 1,∞. tg cotg ; ú í 0, 2. ∗
6
3:
6 t g 6 cotg 6 6 1√ 3 √ 3 6 6 1 8 √ 36√ 3 ( 1 2 √ 3)6√ 3 ; 3 tg 3 cotg 3 3 √ 3 1√ 3 3 9 3 √ 33√ 3 6 √ 33√ 3 ;∗ é çõ, tg cotg ã çõ é í 6 , 3 , çã é é í ., é í 6 , 3.,6 < 0 < 3, ã, á ∈ 6
, 3
, 0. , í 0, 2.
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
86/265
86
∗ í á 0, 2 , ℎ 2 í , , ú ∈ , 0.
sec
cossec
1
0 → s e c cossec 1 0 → sec cossec 1 1cos 1sen 1 → sen c o s sen .cos 1 → 1sen .cos 1 ; sen .cos 1 → s e n . 1 s en 1 → s e n 1 0 s e n 1 0 ∗ sen ã: 1 0 → ∆ 1 4 3. ,ã ℎá çã çã! , ã ∈ , 0. , ú í 0,
2.
3. sec √ ; 16 .∗ √ , sec . ã √ . ,: ∙ ∙ 12√ ∙ s e c ∙ t g ∙ 12√ 14 ∙ 1√ sec √ ∙ t g √ ∙ 1 sec √
16 14 ∙ 1 16 sec 16 ∙ tg 16 ∙ 1 sec 16
16 14 ∙ 4 ∙sec 4 ∙ tg 4 ∙ 1 sec 4
16 14 ∙ 4 ∙ √ 2 ∙ 1 ∙ 1 √ 2
16 √ 2 √ 2 2 ⁄. 2 ⁄ 2 ⁄ .
2 ; 0. ∗ senh arctg , ã 2 . ,:
∙
∙
c o s h ∙ 11 ∙ 2 ∙ ln2
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
87/265
87
c o s h ∙ 11senh ∙ 2 ∙ ln2 0 cosh0 ∙ 11senh0 ∙ 2 ∙ ln2 0 1 ∙ 11 0 ∙ 2 ∙ ln2
0 2 ∙ ln2 0 ln2 4. cos ; ; ln ∙ l n cos ln ∙ l n l ncos
ln lncos 1 sencos l n cos 1 . t g cos ∙ ln cos 1 . t g lim→ lim→ cos lim→ lim→ . → . . ∗ , : lim→ . ln cos l i m→ . l n l ncos l im→ l n l ncos1
lim→ 1 t g 1 lim→ . t g 0. , lim→ → . 1. 5. 9 1 ; 3,1. çã í,:
2 9 2 2 1 2 4 1 8 4 2 4 184 2 ; 3,1: 4. 27 1834 2 542 27 ∗çã 3,1 27: 1 2 7 3 2 7 8 1 1 2 7 8 0 ln ; ∈ ℝ 0?
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
88/265
88
3 ∙ ln ∙ 1 3 ∙ 2 ∙ l n ∙ 1 ∙ 1 ln 1 3 ∙ 2 l n ln
→ 3 l n 2 l n
0 ⇔ 3 l n 2 l n 0 , ≠ 0 → ≠ 0 . 3 l n 02 l n 0 → l n 0 ∴ 1 . 2 l n 0 → l n 2 ∴ . ∗ , 0 ã: 1,: ln 1 0 0. 1, 0, ,: ln
2
8.
, 8.
6. 3 |2 4| ; ã é á. ∗ |2 4| 2 4 , ≥ 22 4, < 2 ; 5 4 , ≥ 2 4, < 2 . ∗ é çã , çõ ,,í á í. , é í á ∞,2 ∪ 2,∞. é í á 2, ℎá ç çã. 1 é í 2. ∗ 2 2 5. 2 4 4 1 0 4 2 . ∗ l i m→ l i m→ 5 4 4 10 4 2 ; ∗ l i m→ l i m→ 4 4 2 4 6 ; , lim→ ≠ l i m→ ,ã lim→ ∄. ∗ , ã é í 2. ∗ ã é á á 2.
7.
Á . ; . 1 8 0 0 → 1800 ; 2 4 2 4 3600 4
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
89/265
89
3600 4 → 4 3600 → 4 900 30 30 900 0
30 0 30 ′ ∗ ã < 0 . , 30 é ! 30, / . í . 30 360030 4. 30 1 2 0 1 2 0 2 4 0 ∗ ã çã, 10, 20 40: 10 360010
410 3 6 0 4 0 4 0 0 20 360020 420 1 8 0 8 0 2 6 0 40 360040 440 9 0 1 6 0 2 5 0 , 30 . 8. 2 ≤ ∫ 1 − ≤ 2√ 2 ;∗ çã 1 ; ∗ 1 > 0 ,∀ ∈ ℝ ., ℝ.1ª: é çã ! , ; 1 ² ; ℝ. 2ª : é í á ; çõ, 1 1, , ∈ 1,1 0. 0 → √ 1 0 ∴ 0. . 0, 0 1. é ℎ, :
1 ú í 1,1: 0 12 : 1 1 √ 2 ,í ∀∈ 1,1 : 1 ≤ ≤ √ 2 ã , : ∫ 1− ≤ ∫ − ≤ ∫ √ 2−
1(1 1) ≤ ∫ 1
− ≤ √ 2(1 1)
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
90/265
90
1 ∙ 2 ≤ ∫ 1 − ≤ √ 2 ∙ 2 2 ≤ ∫ 1 −
≤ 2√ 2 1√ 1 1 2 s en 1 0. . ∗ é:
arcsen ln 2 cos , é . 1 arcsen1 ln1 2cos1 1 2 0 2 c o s1
1
2 2cos
1
;
1
0 . ,
2 2cos1 0 → 2 2cos1. ∗, a r c s e n l n 2 c o s 2 2cos1 9. ℎ 10 ∗ 6,02 . , 60,02. : . ∆ ≅∆,ã: ≅ . 6 0,02 27 1, : 60,02 6 ≅′6. 0,02 6,02 10.6 ≅20.6.0,02 6,02 ≅2,4360 6,02 ≅ 362,4 ³
10.
1 1 ;1 í : ∗ 1 ≠ 0 ; 1 0 → 1 → √ 1 ∉ ℝ. 1 ≠ 0 , ∀ ∈ ℝ . ∗ ℝ. 2 çõ : 0 0 10 1 11 1. 0, 1.
0 → 1
1 0 → 1 0 → 1 . 1,0.
3 í:
8/17/2019 Resolução Do Banco de Questão de Cálculo 1
91/265
91
∗ : ã ℎá í á , é í .,ã ℎá . ∗ : é í ℎ :
lim→+ lim→− lim→+ l i m→+ 1 1 l i m→+ 2 1 1 l i m→+ 2 1 1
lim→+ 1 2 11 1
lim→+ 1 l i m→+ 2 l i m→+ 1lim→+ 1 l i m→+ 1 1 0 01 0 11 1. ∗, 1 é í ℎ á .
4 : 2 1 1 ; 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 4 2 1 2 2 1 → 21 1 ∗ ,: 1 1 21
Top Related