47
8. CISALHAMENTO
Um corpo submetido ao esforo de cisalhamento quando sofre a ao de um carregamento (fora cortante) que atua na direo transversal ao seu eixo.
A tenso de cisalhamento ( ) obtida pela razo entre fora cortante e rea de corte (seo transversal).
Fcortante
= A
As tabelas de propriedades dos materiais geralmente no fornecem os valores das tenses (ruptura ou escoamento) de cisalhamento. Adota-se portanto critrios prticos a partir dos dados fornecidos para trao.
Ruptura Escoamento Ao at 0,3% C
e Alumnio
r = 0,6 r e = 0,6 e
Ao 0,3 - 0,7%C
r = 0,75 r e = 0,75 e Ao > 0,7% r = r e = e
FoFo Cinzento r = (1 - 1,6) rFoFo Malevel r = (0,75 - 1,75) r
A tenso de cisalhamento ocorre comumente em parafusos, rebites e pinos que ligam diversas partes de mquinas e estruturas. Haver casos em que o esforo cortante ser simples (uma seo apenas) ou duplo (duas sees), como o caso de um rebite que conecta trs chapas.
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Tenso de esmagamento
A condio ideal de cisalhamento ocorre quando as foras cortantes atuam exatamente no mesmo plano. Mas na prtica no isso que ocorre: no atuando no mesmo plano, as foras produzem alm do esforo de corte, esforos de esmagamento e flexo. O momento fletor possui baixa intensidade, e por isso, pode ser desprezado. Mas no caso do dimensionamento de juntas rebitadas, parafusadas, pinos, chavetas, etc, devemos verificar se a presso de contato (tenso de esmagamento) est abaixo do limite admissvel (tenso de escoamento dividido pelo coeficiente de segurana).
F esm = e .
Onde, esm = tenso de esmagamento [MPa];
F = fora de esmagamento (mesma de cisalhamento) [N]; e = espessura da chapa [mm]; = dimetro do parafuso [mm].
49
Distncia entre rebite e fim da chapa
Nas juntas rebitadas, alm do dimetro do rebite, temos que determinar uma distncia mnima entre os centros dos rebites e a extremidade da chapa, para que os esforos cisalhantes sejam suportados. Desta forma deve ser satisfeita a condio de que a resistncia oferecida pelas duas reas cisalhadas deve ser no mnimo igual a rea de seo transversal do rebite. Como o esforo cortante sobre a chapa o mesmo sobre o rebite, temos:
FRebite = FChapa
Rebite . ARebite = Chapa . AChapa
Rebite . ( . / 4) = Chapa . 2 . b . e
Rebite b = Chapa
x 8e
Onde, b = distncia do centro do rebite extremidade da chapa [mm]; = dimetro do rebite [mm]; e = espessura da chapa [mm];
Rebite = tenso no rebite (admissvel) [MPa]; Chapa = tenso na chapa (admissvel) [MPa].
EXEMPLO 8.1
8.1 Calcular o dimetro do rebite para o caso de cisalhamento simples com uma carga F = 2 kN. O material do rebite e da chapa ao ABNT 1020 LQ. Considere Sg = 4. A seguir, calcule a tenso de esmagamento e a distncia
50
mnima do centro do rebite at a extremidade da chapa para ambos os casos. Espessura da chapa = 7 mm.
a) Tenso de escoamento por cisalhamento;
e = 0,6 e e = 0,6 . 210 = 126 MPa
b) Tenso admissvel;
adm = e / 4 = 31,5 MPa
c) rea da seo do rebite; 4A = 2000 / 31,5 A = 15,9 mm
d) Dimetro do rebite;
15,9 = . / 4 = 4,5 mm
e) Tenso de esmagamento;
esm = 2000 / 7 . 4,5 esm = 63,5 MPa
esm > adm
Como esm deu maior que a adm (210 / 4 = 52,5 MPa), deve-se redimensionar o dimetro do rebite.
52,5 = 2000 / 7 . = 5,4 mm
f) Distncia mnima centro do rebite at extremidade da chapa.
b = 1 . ( . / 8 .e) b = 1,6 mm
51
Chavetas
Ser calculada da mesma forma que rebites e pinos, com a diferena que sua rea no ser circular. O primeiro passo encontrar a fora cisalhante, que ser torque (momento toror) dividido pelo raio do eixo. Depois s aplicar a frmula de tenso cisalhante utilizando como rea o comprimento vezes a largura. Para verificar a tenso de esmagamento, a espessura vezes dimetro ser substituda por comprimento vezes altura menos a profundidade do rasgo (chamada de t1, que geralmente 60% da altura). Em geral, a chaveta dimensionada em funo do eixo por meio de tabela. Mas sempre correto verificar se tais dimenses suportam a fora cisalhante e a tenso de esmagamento.
EXEMPLO 8.2
Calcular a dimenso da chaveta para uma polia (20 mm largura) num eixo com dimetro 20 mm, que transmite um torque de 50 N.m. Considerar Ao ABNT 1020 LQ, Sg = 2, b = h e t1 = 0,6h. Verificar tenso de esmagamento.
a) Tenso de escoamento por cisalhamento:
e = 0,6 e e = 0,6 . 210 = 126 MPa
b) Tenso admissvel:
adm = e / 2 = 63 MPa
c) Fora cisalhante que atua na chaveta: F = T / distncia
52
F = 50000 / 10 = 5 kN
d) rea cisalhante:
A = F / adm b . 20 = 5000 / 63 b = 3,97 ~ 4 mm
e) Tenso de esmagamento:
esm = F / (h - 0,6h) . L esm = 5000 / 0,4 . 4 . 20 = 312,5 MPa
como adm (210 / 2)= 105 MPa, esm > adm. Ento, a chaveta deve ser redimensionada.
f) Redimensionamento pela tenso de esmagamento: 105 = 5000 / (h - 0,6.h) . 20 h = b = 6 mm
53
EXERCCIOS
8.1 Determinar o dimetro do pino submetido a fora cortante de 1,2 kN, sendo Ao ABNT 1010 LQ e Sg = 2.
8.2 Calcular o dimetro do pino submetido a corte duplo, por uma carga de 1,2 kN, sendo Ao ABNT 1010 LQ e Sg = 2.
54
8.3 Determine o dimetro dos pinos A e B (submetidos a corte simples) e determine as dimenses das barras 1 e 2 (perfil retangular b = 2.h), sendo Ao ABNT 1020 LQ e Sg = 4.
8.4 Calcular o dimetro dos parafusos e a largura da chaveta (comprimento = 3 cm) para um torque de transmisso de 120 N.m. Considerar ao ABNT 1020 e Sg = 2 para parafuso e Sg = 4 para chaveta. Obs.: A fora cortante ser F = Torque / Raio, onde raio parafuso = 10 cm e raio chaveta = 3 cm.
55
8.5 Uma engrenagem transmite um torque de 400 N.m. No mesmo eixo da engrenagem h uma luva de acoplamento para um motor eltrico com 4 parafusos cujos centros esto distantes 6 cm do eixo. O eixo possui dimetro = 50 mm. Calcular a largura da chaveta (comprimento = 6 cm) e o dimetro dos parafusos, considerando ao ABNT 1020 LQ e Sg = 3. Posteriormente, calcular tenso de esmagamento para os parafusos (espessura da luva = 12 mm) e chaveta (sendo altura = 1,4 vezes a largura e t1 = 60% da altura). Caso a tenso de esmagamento seja superior, redimensione os elementos.
8.6 Projetar a junta rebitada para que suporte uma carga de 125 kN. A junta dever ter 5 rebites de ao ABNT 1040, Sg = 2 e espessura da chapa = 8 mm. Deve ser calculada tambm a tenso de esmagamento e a distncia do centro do rebite extremidade da chapa. Caso necessrio, redimensione os rebites.
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9. TORO O comportamento das peas quando submetidas a um momento de
toro (ou torque) em relao ao seu eixo longitudinal, tende a produzir rotao ou toro. Esta ao de torcer resistida pelo material, atravs de foras internas de cisalhamento, desta forma, o corpo est submetido a uma solicitao de toro. A condio de equilbrio exige que a pea produza um momento interno igual e oposto ao aplicado externamente. A regio da pea que fica localizada entre estes dois planos est submetida a toro. Exemplos de peas submetidas a toro so: eixo de caminhes, eixo de motores eltricos, brocas, etc.
A hiptese de toro considera que a deformao longitudinal, num eixo engastado numa extremidade e submetido a torque em outra, apresenta um campo de deformao que ser mximo: longitudinalmente no ponto de aplicao do torque; transversalmente no ponto mais distante do centro.
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A tenso de toro dada pela mesma expresso da flexo:
T = Wt
Onde,
= tenso de toro [MPa];; T = torque, tambm conhecido por momento toror [N.mm]; Wt = mdulo de toro (mm).
O mdulo de toro depende da forma geomtrica da pea, mas diferente do mdulo de flexo. A forma geomtrica mais comum em toro peas com seo circular.
Para eixos com seo transversal cheia, temos Wt =
. / 16, ento a tenso de toro se dar por:
16 T
= .
Para eixos com seo transversal vazada, temos Wt =
. (e - i) / de, ento a tenso de toro se dar por:
16 T de
= . (e - i)
Onde,
= tenso de toro [MPa]; T = torque (momento toror) [N.mm]; = dimetro cheio [mm]; e = dimetro externo [mm]; i = dimetro interno [mm].
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EXEMPLO 9.1
Um chaveiro quer construir um esmeril com acionamento manual conforme o desenho abaixo. Calcule o dimetro do eixo para suportar uma fora aplicada na manivela de 5 kgf, sendo = 30 cm. Considerar ao ABNT 1010 LQ e Sg = 2. [1 kgf = 9,8 N]
a) Calcular e:
e = e . 0,6 = 108 MPa.
b) Calcular adm:
adm = 108 / 2 = 54 MPa
c) Calcular torque (momento toror): T = (5 . 9,8) . 300 = 14,7 x 10 N.mm d) Calcular dimetro do eixo:
54 = 16 . 14,7 x 10 / .
= 11,15 mm
Potncia
Potncia a realizao de um trabalho na unidade de tempo. Existem muitos dimensionamentos de eixos que dependem da potncia e da rotao de motores. A maioria das mquinas utilizam unidades de potncia, como Cavalo Vapor (cv) e Horse Power (hp), que possuem valor quase semelhantes. Como o torque depende da rotao e da potncia, ento temos a seguinte relao:
1 cv [kgf . m / min] = 2 . . N [rpm] . T
Ento, podemos formular que:
716,2 . cv
T = N
Onde, T = torque [kgf . m] cv = cavalo-vapor N = rotao por minuto [rpm]
A unidade de potncia pode vir tambm em Watts (1 cv = 735,5 W, 1 hp = 745,6 W), e a unidade de rotao pode vir tambm em Hertz, que a
59
unidade de ciclo por segundo (60 rpm = 1 Hz). Caso no deseje converter as unidades, possvel usar a seguinte frmula:
p T = 2 . . f
Onde, T = torque [kgf . m] p = potncia [Watts] f = freqncia [Hertz]
Obs.: A diferena entre um eixo
e um eixo-rvore
que o primeiro funciona parado, apenas suportando cargas, enquanto o segundo gira, sendo um elemento de transmisso.
EXEMPLO 9.2
Um eixo rvore (dimetro = 100 mm) de uma mquina transmite a fora de um motor com 70 cv e freqncia de 2 Hz. Calcule a fora mxima cortante que o eixo sofrer.
a) Converso de potncia: p = 735,5 . 70 = 51485 W
b) Clculo do torque:
T = 51485 / 2 . . 2 = 4097 N.m
c) Clculo a fora mxima cortante (que ocorrer no local mais distante do centro, ou seja, F = T / distncia): F = 4097 / 0,05 = 81940 N
60
EXERCCIOS
9.1 Dimensionar um eixo rvore (Ao ABNT 1030 LQ, Sg = 2) submetido a um torque de 150 N.m, para os casos de seo cheia e vazada (i = 0,7. e).
9.2 O motor de um kart tem potncia de 4 cv e rotao mxima de 1000 rpm. Determine o material do eixo ( = 15 mm) que transmite fora s rodas, considerando um Sg = 3. [1 kgf = 9,8 N].
9.3 Um caminho reboque, para levar um veculo, desse a prancha e puxa o veculo com um cabo que tracionado por um eixo em movimento. Sabendo que o veculo possui 1,2 t, e o eixo possui 60 mm de dimetro, determine o material do eixo mais adequado. Considerar Sg = 2. [1 kgf = 9,8 N].
61
9.4 Uma chave tipo soquete possui uma haste de 250 mm. Sabendo que a fora mxima a ser aplicada na haste de 20 kgf, dimensionar a haste d para que suporte a carga aplicada. A reduo de seo dever ser considerada. Os valores so: Ao ABNT 1030 LQ; Sg = 3; r = 0,1.d; D = 1,2.d. [1 kgf = 9,8 N]
Obs.: A tenso ter que ser multiplicada pelo fator de forma.
62
10. CONCENTRAO DE TENSES NA TRAO Todo componente estrutural que apresente descontinuidades, como
furos ou variao brusca de seo, quando solicitados, desenvolvem tenses maiores na regio de descontinuidade do que a tenso mdia ao longo da pea. Veja o que ocorre com a distribuio de tenso numa pea que foi furada:
No dimensionamento de componentes com estas caractersticas, a tenso mxima ( max) deve ser considerada para o clculo da tenso admissvel ao invs da tenso mdia (F/A). A tenso mxima determinada multiplicando-se a tenso mdia pelo coeficiente de concentrao de tenso
(Kt, tambm conhecido como fator de forma).
max = Kt . med
Para cada caso particular de descontinuidade geomtrica h um valor de Kt. Alguns valores de Kt podem ser encontrados na tabela 10.3 do fim da apostila.
63
EXEMPLO 10.1
Calcular a tenso mxima produzida no entalhe representado pelo furo de dimetro = 14 mm, sendo a carga de trao P = 20 kN. (Perfil 40x15 mm). a) rea crtica (seo do perfil com menor rea); A = (40 14) . 15 = 390 mm
b) Tenso mdia:
med = 20000 / 390 med = 51,3 MPa
c) Fator de forma (Kt):
d / w = 14 / 40 = 0,35 de acordo com a tabela, Kt = 2,3
d) Determinar tenso mxima:
mx = Kt . med = 2,3 . 51,3 = 118 MPa
A presena do furo na chapa provocou uma tenso 2,3 vezes maior que a tenso mdia.
64
EXEMPLO 10.2
Selecionar o material indicado para a pea apresentada abaixo, submetida a carga de trao de 120 kN. As dimenses indicadas so:
r = 5 mm e = 15 mm d = 50 mm D = 60 mm
a) rea crtica: A = 50 . 15 = 750 mm
b) Tenso mdia:
med = 120000 / 750 med = 160 MPa
c) Fator de forma (Kt): r / d = 5 / 50 = 0,1
D / d = 60 / 50 = 1,2
De acordo com a tabela, Kt = 1,8
d) Tenso mxima:
mx = 1,8 . 160 = 288 MPa
e) Coeficiente de segurana: Considerando carga esttica aplicada constantemente, segundo a tabela 10.2 no final da apostila,
A= 1,2 B = 1 C = 1 D = 1,5
Sg = 1,2 . 1. 1 . 1,5 = 1,8
f) Tenso limite:
65
A tenso limite ser a tenso mxima vezes o Sg.
lim = 288 . 1,8 = 518,4 MPa
g) Material (ver pgina 67): O material deve possuir uma tenso de escoamento igual ou maior que 518,4 MPa. Conforme a tabela no fim da aposila: Ao ABNT 1050 TR
EXERCCIO
10.1 Calcular as tenses mximas nos entalhes indicados nos cortes AA, BB, CC, DD e EE, conforme figura abaixo, e indicar qual o material com melhor segurana x menor e para sua fabricao.
Dimenses: B = 50 mm; a = 12 mm; e = 20 mm; h = 40 mm; h = 52 mm; B = 68 mm
66
67
11. TABELAS
11.1 PROPRIEDADES MECNICAS*
AO-CARBONO ABNT Processo e [MPa] r [MPa] E [GPa] 1010 LQ TR
180 310
330 370 210
1020 LQ TR 210 360
390 430 210
1030 LQ TR 250 390
480 530 210
1040 LQ TR 290 500
530 600 210
1050 LQ TR 350 590
630 700 210
1095 LQ RE 583 386
984 669 210
Obs.: LQ - Laminado a Quente; TR - Trefilado; RE - Recozido.
FERRO FUNDIDO CINZENTO ASTM r [MPa] (Trao)
r [MPa] (Compresso) E [GPa]
20 155 583 82 35 256 871 111 60 440 1314 153
FERRO FUNDIDO MALEVEL
e [MPa] r [MPa] E [GPa] Ferrtico 190 300 350 -
Perltico 260 500 450 700 -
FERRO FUNDIDO NODULAR
e [MPa] r [MPa] E [GPa]
281 632
422 843 170
FERRO FUNDIDO BRANCO
e [MPa] r [MPa] E [GPa]
- 351 147
OUTROS MATERIAIS MATERIAL e [MPa] r [MPa] E [GPa]
Liga de Alumnio (Extrudada)
246 309
267 422
70 74
Duralumnio 420 490 74,2 Liga de Magnsio
155 281 45,7 Cobre Fosforado 220 340 120
68
280 500 Lato (fio) 140 410
340 470 105
Lato (forjado) 220 480 400 560 98
Bronze (fosforoso)
140 380
340 450 -
Bronze SAE-65 210 210 390 105
Bronze Alumnio 200 350 480 600 -
Poliestireno - 48 (trao) 90 (compresso) 3 Vidro plano - 2-6 (trao) 60-120 (compr.) - Concreto - 22 (trao) 40 (compresso)
25 30
* Os valores citados so orientativos. Para maior preciso, consultar fornecedores ou institutos de pesquisa tcnica.
VALORES DE
Ruptura Escoamento Ao at 0,3% C
e Alumnio
r = 0,6 r e= 0,6 e
Ao 0,3 - 0,7%C
r = 0,75 r e = 0,75 e Ao > 0,7% r = r e = e
FoFo Cinzento r = (1 - 1,6) rFoFo Malevel r = (0,75 - 1,75) r
69
11.2 COEFICIENTE DE SEGURANA
70
11.3 FATORES DE CONCENTRAO DE TENSO
Barra com furo transversal submetida a trao/compresso
Barra com furo transversal submetida a flexo
Barra com entalhe submetida a trao/compresso
71
Barra com entalhe submetida a flexo
Barra com reduo de seo submetida a trao/compresso
Barra com reduo de seo submetida a flexo
72
Eixo com furo transversal submetido a toro
Eixo com furo transversal submetido a flexo
Placa submetida a trao por pino passante (havendo folga, aumentar Kt de 35 a 50%)
73
Eixo com reduo de seo submetido a trao
Eixo com reduo de seo submetido a toro
Eixo com reduo de seo submetido a flexo
74
Eixo com entalhe submetido a trao
Eixo com entalhe submetido a flexo
Eixo com entalhe submetido a toro
75
Eixo chavetado submetido a toro
Eixo chavetado submetido a flexo
76
11.4 PROPRIEDADES DOS PERFIS
Seo Nome/aspecto
rea da seo
Coordenadas do CG
Mdulo de flexo (Wfl)
Mdulo de Toro (Wt)
Circular cheia
p / 4 x = y = / 2
p / 32 p / 16
Tubo p (e - i) / 4 x = y = D /2 p (e4 - i4)
/ (32 ) p (e4 - i4)
/ (16 )
Elipse cheia
p a . b x = b y = a x = p a2 b / 4
y = p a b2 / 4
1,57 a b
Tubo elptico
p (a b - a' b)
x = b y = a
x = 0,78 (ba - ba) / a
y = 0,78 (ab - ab) / b
1,57 (ab - ab) / b
Semicrculo
p (D/2) / 8 x = D / 2
y = 4 (D/2) / 3p
x = 0,19(D/2)
y = 0,39(D/2) -
Quadrado b x = y = b / 2 B / 6 0,21 b
77
Tubo quadrado B - b x = y = B / 2 (B
4 - b4) / 6B
-
Seo Nome/aspecto
rea da seo
Coordenadas do CG
Mdulo de flexo (Wfl)
Mdulo de Toro (Wt)
Retngulo b a x = b / 2 y = a / 2 x = a b / 6 y = b a / 6
b a / 3+1,8 (b/a)
Tubo retangular BH - bh
x = B / 2 y = H /2
(BH3 - bh3) / (6 H) -
Tringulo a h / 2 x = a / 2 y = h / 3 a h / 24 0,05 a
Hexgono regular 2,6 a - 0,625 a 0,917 a
Trapzio [2 . b + (a-b)] . (h/2)
x = a / 2 y = h (2a + b)
/ 3 (a + b)
h2 / 12 [6b2+ 6a(a-b) + (a-
b)2] / 3b + 2(a-b)
-
Perfil I H B - h b - x = (BH - bh) / 6H -
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