Regressão linear simplesRegressão linear simplesVariável independente,
XVariável dependente,
YTemperatura do forno (0C) Resistência mecânica da cerâmica (MPa)
Quantidade de aditivo (%) Octanagem da gasolina
Renda (R$) Consumo (R$)
Memória RAM do computador (Gb) Tempo de resposta do sistema (s)
Área construída do imóvel (m2) Preço do imóvel (R$)
Exemplo 11.2:Exemplo 11.2:• X = % de aditivo
• Y = Índice de octanagem da gasolina
X Y
1 80,5
2 81,6
3 82,1
4 83,7
5 83,9
6 85,0
Resultados de n = 6 ensaios experimentais:
Exemplo 11.2:Exemplo 11.2:
80,0
81,0
82,0
83,0
84,0
85,0
86,0
0 1 2 3 4 5 6 7
quantidade de aditivo (%)
índi
ce d
e oc
tana
gem
Regressão - ModeloRegressão - Modelo
Y =Predito por X, se-gundo uma função Efeito aleatório+
Parâmetros
RegressãoLinear
Simplesyi .xi ei
Modelo de regressão linear simplesModelo de regressão linear simples• Em termos das variáveis: XYE
• Em termos dos dados: Yi = + xi + i
• Suposições:– os termos de erro (1, 2, ..., n) são variáveis aleatórias
independentes;– E{i} = 0;– V{i} = 2; e i tem distribuição normal (i = 1, 2, ..., n).
Método dos mínimos quadrados para estimar Método dos mínimos quadrados para estimar e e
• Minimizar em relação a e :
yi
xi
i
22iii xYS
0S
0S
Método dos mínimos quadrados para estimar Método dos mínimos quadrados para estimar e e
• Resultado das derivadas parciais:
22
ii
iiii
x xn.
yx yxn.b =
nxby
a = ii
Estimativa de :
Estimativa de :
Reta de regressão construída com os dados:
bxay ˆ
Qualidade do ajusteQualidade do ajuste
• Ajustou-se uma equação de regressão entre X e Y. E a qualidade do ajuste?– análise de variância do modelo– análise dos resíduos
Reta de regressão e resíduosReta de regressão e resíduos• Valores preditos:
• Resíduos:
ii bxay ˆ
iii yye ˆ
yi
xi
ei
iybxay ˆ
Análise de variância do modeloAnálise de variância do modelo
yi
xi
eidi bxay ˆ
y
yyd ii
iii yye ˆ
Desvio em relação à média aritmética:
Desvio em relação à reta de regressão(resíduo da regressão):
Somas de quadradosSomas de quadrados
SQT
variação total
SQR
variação explicadapela equação de
regressão
SQE
variação nãoexplicada
2yyi = 2ˆ yyi + 2ˆ ii yy
Somas de quadradosSomas de quadrados
ny
yyySQT iii
222
iiiiii yxbyayyySQE 22ˆ
SQESQTSQR
Coeficiente de determinação:SQTSQE
SQTSQR
R 12
Medida da qualidade do ajuste:Medida da qualidade do ajuste:Coeficiente de determinação (R2)
R2 = Variação
total
Variaçãoexplicada
= (yi - y)2
(yi - y)2^
0 R2 1 Matematicamente, R2 é o quadrado do Coef. de Correlaçãode Pearson.
Exemplo 11.2:Exemplo 11.2:
Quantidade de aditivo (%)
Índi
ce d
e oc
tana
gem
80
81
82
83
84
85
86
0 1 2 3 4 5 6 7
xy )886,0(7,79ˆ
%5,97975,008,1473,132 R
Interpretar.
Fonte de variação
gl SQ QM Razão f
Regressão 1
Erro n – 2
Total n – 1
Análise de variância do modeloAnálise de variância do modelo
2ˆ yySQR i 1SQRQMR
QMEQMRf
2ˆii yySQE
2yySQT i
2 nSQEQME
Teste de significância do modelo Teste de significância do modelo
• H0: = 0 e H1: 0
• Distribuição de referência para a razão f : distribuição F com gl = 2 no numerador e gl = n – 2 no denominador (Tabela 6).
XYE .
Exemplo 11.2:Exemplo 11.2:Fonte de variação gl SQ MQ Razão f
Regressão 1 13,73 13,729 156,26
Erro 4 0,35 0,088
Total 5 14,08
Usar a Tabela 6 e fazer o teste de significância do modelo.
Suposições do modeloSuposições do modelo
– os termos de erro (1, 2, ..., n) são variáveis aleatórias independentes;
– E{i} = 0;– V{i} = 2; e i tem distribuição
normal (i = 1, 2, ..., n).
• Modelo: Yi = + xi + i
x
E{Y}= +x y
Análise dos resíduos:Análise dos resíduos:um diagnóstico das suposições do um diagnóstico das suposições do
modelomodelo• Valores preditos:
ii bxay ˆ
iii yye ˆ
• Resíduos:
yi
xi
ei
iybxay ˆ
Análise dos resíduosAnálise dos resíduos
x
y e
x
Gráfico dos dados:(xi, yi)
Gráfico dos resíduos:(xi, ei)
As suposições do modelo parecem satisfeitas?
Análise dos resíduosAnálise dos resíduos
Gráfico dos dados:(xi, yi)
Gráfico dos resíduos:(xi, ei)
As suposições do modelo parecem satisfeitas?O que pode ser feito? (Ver livro)
x
yresíduo
0x
Análise dos resíduosAnálise dos resíduos
Gráfico dos dados:(xi, yi)
Gráfico dos resíduos:(xi, ei)
As suposições do modelo parecem satisfeitas?O que pode ser feito? (Ver livro)
x
y e
0x
Análise dos resíduosAnálise dos resíduos
Gráfico dos resíduos: (xi, ei)
As suposições do modelo parecem satisfeitas?O que pode ser feito? (Ver livro)
resíduo
0 x
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