Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas
Prof. Dr. Vitaly F. Rodríguez-Esquerre
ENGC34 – ELETROMAGNETISMO APLICADO
Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas
Qualquer componente prático, seja um modulador, um guia de ondas, um acoplador direcional, etc. Deve ter dimensões finitas
Em termos das propriedades eletromagnéticas, pode ser descrito como variações nas constantes dielétricas ou do índice de refração em função das coordenadas espaciais.
Para entender como um dispositivo opera, devemos entender como a variação espacial nas constantes dielétricas modificam as propriedades da radiação propagando-se dentro do dispositivo.
A forma mais simples pode ser a descontinuidade entre dois meios com diferentes propriedades dielétricas.
As condições de contorno nas interfaces mostradas nas figura 1. são obtidas diretamente das equações de Maxwell.
Condições de Contorno nas Interfaces
meio 1
meio 2l
h
. .
. .
c s
c s
E dl B dst
H dl D dst
tan tan1 2
tan tan1 2
0
0
E l E l
H l H l
As componentes tangencias dos campos elétricos e magnéticos devem ser iguais na interface entre dois meios.
Figura 1. Geometria para obter as condições de contorno
Figura 1. Onda plana incidindo desde a região 1 para a região 2
Reflexão e Transmissão de Ondas Planas em Interfaces Dielétricas
z
y
xik
rk
tk
Região 2
Região 1
1 1,
2 2,
Isto implica que,
rk tkik
.
.
.
i
r
t
j k ri i
j k rr r
j k rt t
E r Ae
E r A e
E r A e
Os vetores de onda são:
tan tan
0 , , 0 , , 0 , ,i r tE y z E y z E y z
tan tan
iy ry tyiz tzrzjk y jk y jk yjk z jk zjk zi r tAe e A e e A e e
Condições de continuidade requerem que os campos elétricos e magnéticos sejam contínuos através da fronteira x = 0
tan tan
iy ry tyiz tzrzjk y jk y jk yjk z jk zjk zi r tAe e A e e A e e
Esta equação tem que ser satisfeita em todos os pontos sobre a interface, ou seja para todos os valores de y e z. Observe que a especificação de um ponto (y,z) resulta numa equação com as variáveis desconhecidas Ar, At, kry, krz, kty e ktz
Especificando suficientes pontos para ter mais equações do que variáveis, resulta num sistema inconsistente.A única solução não trivial requer que as componentes tangenciais dos vetores de onda sejam iguais:
iy ry ty y
iz rz tz z
k k k k
k k k k
Estas relações são conhecidas como requerimentos de casamento de fase. Isto significa que os vetores de onda das ondas incidente, refletida e transmitida estão no mesmo plano.Sem perda de generalidade, podemos girar o sistema de coordenadas para que todos os três vetores de onda estejam no plano xz como mostrado na figura 3.O plano xz é chamado de plano de incidência e não deve ser confundido com o plano yz que é o plano de interface e separa as regiões 1 e 2.
Figura 3. Orientação relativa entre os vetores de onda incidente, refletido e transmitido.
zy
xik
rk
tk
Região 2
Região 1
1 1,
2 2,
i r
t
ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ
i ix iz
r rx rz
t tx tz
k xk zkk xk zkk xk zk
ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ
i ix iz
r rx rz
t tx tz
k xk zkk xk zkk xk zk
1
1
2
coscoscos
ix i
rx r
tx t
k kk kk k
1
1
2
sensensen
iz i
rz r
tz t
k kk kk k
1 1 1k 2 2 2k
Onde:
r tiDesta forma as componentes podem ser escritas em função dos ângulos incidente, refletido e transmitido:
zy
xik
rk
tk
Região 2
Região 1
1 1,
2 2,
i r
t
É importante observar que as componentes x do vetor de onda das ondas incidente e transmitidasão negativos pois, como mostrado na figura 3, as ondas viajam na direção x negativa.Para que as componentes tangenciais ou as componentes z dos vetores de onda sejam iguais, tem-se:
sen sen i r 1 2sen sen i tk k Isto significa que o ângulo da onda incidente deve ser igual ao ângulo da onda refletida e o ângula da onda transmitida pode ser obtido como:
2 2 2
1 1 1
sen sen
i
t
kk
No caso específico de materiais não magnéticos, esta relação é conhecida como a Lei de Snell.
0 22 2 2
1 0 1 1 1
sen sen
i
t
k nk n
1 2sen sen i tn n
Exemplo:
Uma onda plana incide desde o espaço livre, região 1, na região 2 que tem = 0 e = 20.. O vetor de onda incidente é
(a) Escreva a dependência da onda em função de x e z.(b) Qual é o vetor de onda transmitido?
Solução:
ˆ ˆ2 / 3 4 / 3ik x z
Exemplo:
Uma onda plana incide desde o espaço livre, região 1, na região 2 que tem = 0 e = 20.. O vetor de onda incidente é
(a) Escreva a dependência da onda em função de x e z.(b) Qual é o vetor de onda transmitido?
Solução: (a)
ˆ ˆ2 / 3 4 / 3ik x z
ˆ ˆˆ ˆ2 /3 4 /3 . 2 /3 4 /3j x z xx zz j x j ze e e
(b) A componente em z do vetor de onda transmitido é conhecido pois
2 21 0 0
222 0 0
2 22 22
2 / 3 4 / 3 2 / 3 5
4 / 3 2 2 / 3 10
2 / 3 10 4 / 3 2 / 3 6
tx
tx tz
k
k k
k k k
4 / 3iz tzk k
ˆ ˆ2 / 3 6 4 / 3tk x z
Transversal Elétrico(TE)
Senkrecht Polarized(s)
Transversal Magnético(TM)
Plane Polarized(p)
E E
Incidência Oblíqua: Polarização
Incidência Oblíqua: Considerações
2 2 21 1 1x zk k k
2 2 22 2 2x zk k k
2 21 2z zk k
Neste caso, percebe-se que independente do ângulo de incidência, a componente tangencial (z) estará no intervalo [ 0, k1 ] para incidência normal e rasante, respectivamente.
Todos os vetores de onda serão reais.
Então sempre haverá onda transmitida
1 2k k
Incidência Oblíqua: Considerações
1 2k k2 2 21 1 1x zk k k
2 2 22 2 2x zk k k
2 21 2z zk k
Neste caso, percebe-se que existirá um ângulo de incidência no qual, a componente tangencial (z) será igual ou maior que k2.Assim, a componente k2x será imaginária
2 22 2 2 2 2
2 2
2 22 2 2
, se
,
onde
x z z
x x
x z
k k k k k
k j
k k
Quando a componente tangencial é maior do que k2, não existe onda propagante na região 2, o que se tem é uma onda evanescente (exponencial decrescente).
Incidência Oblíqua: Polarização TE
16meio 2
meio 1
z
x
x = 0
1 1,
2 2,
1 1 1k
2 2 2k
i r
t
rE
rH
rk
tE
tktH
iE
ik
iH
17
• Campo Elétrico Tangencial na Região 1
• Campo Magnético Tangencial na Região 1
Incidência Oblíqua: Polarização TE
1 11 10 0
1 1
ˆ cosx xz zjk x jk xjk z jk zi ri r i
E EH H z e e e e
1 11 10 0ˆ x xz zjk x jk xjk z jk z
i r i rE E y E e e E e e
18
• Campo Elétrico Tangencial na Região 2
• Campo Magnético Tangencial na Região 2
Incidência Oblíqua: Polarização TE
2 20ˆ x zjk x jk z
t tE yE e e
2 20
2
ˆcos cosx zjk x jk ztt t t
EH z e e
19
• Para determinar as incógnitas Er0 e Et0, devemos aplicar as condições de contorno em x = 0:
Considerando que k1z = k2z
1 2tan tan
1 2tan tan
0 0
0 0
E x E x
H x H x
Incidência Oblíqua: Polarização TE
20
Coeficientes de Reflexão e Transmissão
• Definindo o coeficiente de reflexão como:
• Definindo o coeficiente de transmissão como:
0
0
r
i
ER
E
0
0
t
i
ET
E
Incidência Oblíqua: Polarização TE
0 0 0i r tE E E
0 0 0
1 1 2
cos cosi r ti t
E E E
0 0 0i i iE RE TE
0 0 0
1 1 2
cos cosi i ii t
E RE TE
Incidência Oblíqua: Polarização TE
1
2
1cos1cos
t
i
R T
R T
0 0 0i i iE RE TE
0 0 0
1 1 2
cos cosi i ii t
E RE TE
Incidência Oblíqua: Polarização TE
1
2
1cos1cos
t
i
R T
R T
1 1 1 21
2 2 2 2 1
1 2 2 1 2 1 1
1 2 22 1 2 1
cos coscoscos cos cos
cos coscoscos
t tt
i i i
t t tx
i ixi
k kk k
Incidência Oblíqua: Polarização TE
1
2
1
1 tx
ix
R TkR Tk
1 2
1 2
11
r r tx ix
r r tx ix
k kR
k k
1 2
21 r r tx ix
Tk k
1 2
1 2
11
r r tx ix
r r tx ix
k kR
k k
1 2
21 r r tx ix
Tk k
EXEMPLO
Determine o coeficiente de reflexão para uma onda plana com polarização TE incidindo com um ângulo de 30º desde uma região com μ1=μ0 e ε1= 2ε0 numa região com μ1=μ0 e ε1= ε0
Solução:
11
tx ix
tx ix
k kR
k k
1
22 2
11 2
2
22 1 2
2 22 1 2 1 2
2 11
2 22 1
cos
cos 1 sen
como, sen sen sen
1 sen
1 sen 1 sencos cos
sen 1 2 sen 300.577
cos cos30
ix i
tx t t
t i r r i
tx r r i
r r i r r itxr r
ix i i
r r itx
ix i
k k
k k k
kk
k k
kkk k
kk
1 0,577 0,2681 0,577
R
Incidência Oblíqua: Polarização TM
27meio 2
meio 1
z
x
x = 0
1 1,
2 2,
1 1 1k
2 2 2k
i r
t tE
tH
rE
rH
rk
tk
iE
iH
ik
28
• Campo Magnético Tangencial na Região 1
• Campo Elétrico Tangencial na Região 1
Incidência Oblíqua: Polarização TM
1 11 10 0ˆ x xz zjk x jk xjk z jk z
i r i rH H y H e e H e e
1 11 11 0 1 0ˆcos cos cosx xz zjk x jk xjk z jk z
i i r r i r iE E z H e e H e e
29
• Campo Magnético Tangencial na Região 2
• Campo Elétrico Tangencial na Região 2
Incidência Oblíqua: Polarização TM
2 22 0ˆcos cosx zjk x jk z
t t t tE z H e e
2 20ˆ x zjk x jk z
t tH yH e e
30
• Para determinar as incógnitas Er0 e Et0, devemos aplicar as condições de contorno em x = 0:
Considerando que k1z = k2z
1 2tan tan
1 2tan tan
0 0
0 0
E x E x
H x H x
Incidência Oblíqua: Polarização TM
31
Coeficientes de Reflexão e Transmissão
• Definindo o coeficiente de reflexão como:
• Definindo o coeficiente de transmissão como:
0
0
r
i
HR
H
0
0
t
i
HTH
Incidência Oblíqua: Polarização TM
0 0 0i r tH H H
1 0 1 0 2 0cos cosi r i t tH H H
0 0 0i i iH RH TH
1 0 1 0 2 0cos cosi i i i tH RH TH
Incidência Oblíqua: Polarização TM
2
1
1cos1cos
t
i
R T
R T
0 0 0i i iH RH TH
1 0 1 0 2 0cos cosi i i i tH RH TH
Incidência Oblíqua: Polarização TM
1 2
1 2
1
1 2
cos coscos cos
2 coscos cos
i t
i t
i
i t
R
2 1
2 1
2
2 1
cos coscos cos
2 coscos cos
i t
i t
i
i t
R
Incidência Oblíqua: Polarização TM
2
1
1cos1cos
t
i
R T
R T
2 2 2 12
1 1 1 1 2
2 1 2 1 2 1 1
1 2 21 2 2 1
cos coscoscos cos cos
cos coscoscos
t tt
i i i
t t tx
i ixi
k kk k
Incidência Oblíqua: Polarização TM
1
2
1
1 tx
ix
R TkR Tk
1 2
1 2
11
r r tx ix
r r tx ix
k kR
k k
1 2
21 r r tx ix
Tk k
1 2
1 2
11
r r tx ix
r r tx ix
k kR
k k
1 2
21 r r tx ix
Tk k
37
Coeficientes de Reflexão e Transmissão em função dos vetores de onda
• Polarização TE:
• Polarização TM:
1 2
1 2
11
r r tx ix
r r tx ix
k kR
k k
1 2
21 r r tx ix
Tk k
1 2
1 2
11
r r tx ix
r r tx ix
k kR
k k
1 2
21 r r tx ix
Tk k
Considerando meios não magnéticos temos então:
Desta forma,
Lei de Snell
Considerando o caso,
Observa-se que se existe um ângulo de incidência θi no qual θt = 90
Isto acontece quando: , nesse caso temos reflexão total.
Análise: Polarização TE ou TM
2 1 1 2
2 1 1 2
cos cos cos coscos cos cos cos
i t i t
t t t t
n nRn n
0 0 0 0 0 01 2
1 0 0 1 2 0 0 21 2
1 1 e, r rr rn n
1 2 t in n
2
1
sen inn
1 2sen seni tn n
Considerando meios não magnéticos temos então:
Desta forma,
Considerando os dois casos,
O numerador de será nulo se:
Isto acontece quando: , conhecido como ângulo de Brewster
Análise: Polarização TM
1 2
1 2
cos coscos cos
t i
t i
n nRn n
0 0 0 0 0 01 2
1 0 0 1 2 0 0 21 2
1 1 e, r rr rn n
1 2cos cost in n 2
1
tan inn
1 2
i t
n n
1 2
i t
n n
Análise: Polarização TM1 2
1 2
cos cos 0cos cos
t i
t i
n nRn n
2
1
tan inn
1 2cos cos 0t in n
1 2cos cost in n 2 2 2 21 2cos cost in n
2 2 2 21 21 sen cost in n
2
2 2 2 211 22
2
1 sen 1 seni inn nn
4 2
2 1 14 2
2 2
sen 1 1in nn n
2 2 22 1 1 1
2 2 22 2 2
sen 1 1 1in n nn n n
22 1
22
sen 1 1inn
22 2
1 2
sen in
n n
41
Coeficientes de Reflexão e Transmissão na Reflexão Total Interna
• Polarização TM:
• Polarização TE:
jR R e jT T e
12 tanTE tx
ixk
1 1
2
2 tanTM txr
r ixk
22 1sen
cosi r rtx
ix ik
0 30 60 900.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
TE
RTE
i
0
30
60
90
120
150
180
0 30 60 900.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
TE
RTE
i
0
30
60
90
120
150
180
0 30 60 900.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
TE
RTE
i
0
30
60
90
120
150
180
0 30 60 900.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
TE
RTE
i
0
30
60
90
120
150
180
MODOS TM; Paralelo ou p
MODOS TE; Perpendicular ou s
Incidência Normal
43
meio 2
meio 1
z
xPlano incidência xzPlano interface yz
1 1,
2 2,
iE
rE
iH
rH
tEtH
ik
tk
rk
1 1 1k
2 2 2k
44
• Onda incidente conhecido
11 1 1 1
1
k
Incidência Normal
iEiH
ik
1
1
0
0
1
ˆ
ˆ
jk xi i
jk xii
E yE eEH z e
45
• Onda refletida
Incidência Normal
desconhecido
rE rH
rk 1
1
0
0
1
ˆ
ˆ
jk xr r
jk xrr
E yE eEH z e
11 1 1 1
1
k
46
• Onda transmitida
2
2
0
0
2
ˆ
ˆ
jk xt t
jk xtt
E y E eEH z e
desconhecido
22 2 2 2
2
k
Incidência Normal
tEtH
tk
47
• Campo Elétrico Total na Região 1
• Campo Magnético Total na Região 1
Incidência Normal
1 10 0
1 1
ˆ jk x jk xi ri r
E EH H z e e
1 10 0ˆ jk x jk x
i r i rE E y E e E e
48
• Campo Elétrico Total na Região 2
• Campo Magnético Total na Região 2
Incidência Normal
20ˆ jk x
t tE y E e
20
2
ˆ jk xtt
EH z e
49
• Para determinar as incógnitas Er0 e Et0, devemos aplicar as condições de contorno em x = 0:
Da geometria do problema, o campo elétrico e magnético
total nas duas regiões são tangenciais ao plano yz
1 2tan tan
1 2tan tan
0 0
0 0
E x E x
H x H x
Incidência Normal
50
Incidência Normal• Das condições de contorno, obtem-se:
2
0
1
0
1
0
000
tri
tri
EEEEEE
colocando em evidência Er0 e Et0
012
200
12
120
2, itir EEEE
51
Coeficientes de Reflexão e Transmissão
• Definindo o coeficiente de reflexão como:
• Definindo o coeficiente de transmissão como:
0 2 1
0 2 1
r
i
ER
E
0 2
0 2 1
2t
i
ETE
52
Coeficientes de Reflexão e Transmissão
• Observar que• As definições dos Coeficientes de Reflexão e
Transmissão se aplicam também no caso de meios com perdas.
• Em meios sem perdas, R e T são reais.
• Em meios com perdas, R e T são complexos.
1 R T
1 1, 0 2R T
1, 2R T
53
Ondas Viajantes e Ondas Estacionárias
• O campo total no meio 1 é parcialmente uma onda propagante e parcialmente uma onda estacionária.
• O campo total no meio 2 é apenas onda propagante.
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