O “mundo” da simetria
Reflectindo sobre desafios do PMEB
15º EREPM, 30/4/2011- Bragança
Ana Maria Roque [email protected]
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15º ERBragança
Observando o PMEB tendo a simetria por horizonte
Tópicos Objectivos(extractos)
1º ciclo: Reflexão • Identificar no plano figuras simétricas em relação a um eixo; desenhar no plano figuras simétricas relativas a um eixo horizontal ou vertical (1º e 2º anos)• Identificar no plano eixos de simetria de figuras; construir frisos e identificar simetrias (3º e 4º anos).Notas: Exploração de reflexões; construção, no plano, de figuras simétricas através de dobragens e recortes; exemplos que evidenciem reflexões como simetrias axiais; exploração de frisos identificando simetrias de translação, reflexão, reflexão deslizante e rotação (meia-volta)
2º ciclo: Reflexão, rotação e translação Noção e propriedades;simetrias axial e rotacional
Identificar, predizer e descrever a isometria em causa (...); construir o transformado de uma figura, a partir de uma isometria ou de uma composição de isometrias; compreender as noções de simetria axial e rotacional e identificar as simetrias numa figura; (...) explorar padrões geométricos que envolvam simetrias; identificar as simetrias de frisos e rosáceas; construir frisos e rosáceas.
3º ciclo: Isometrias Translação associada a um vector; propriedades das isometrias
• Compreender as noções de vector e de translação e identificar e efectuar translações; identificar e utilizar as propriedades das translações; compor translações; reconhecer as propriedades comuns das isometrias
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Que imagens têm ou não têm simetria?
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Simetria: Que significado?
Serão as mãos simétricas?
Será a nossa cara simétrica?
Serão os bonecos simétricos?
Afinal, de que falamos quando falamos em simetria?
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15º ERBragança
Quando a imagem de uma figura, através de uma isometria diferente
da identidade, coincide com a figura original, então a figura tem
simetria. (Serra, 1993)
Simetria: Que significado?
A noção de simetria, sendo essencial em Matemática, não é exclusiva deste campo
Simetria é uma ideia que o homem tem usado ao longo dos tempos para tentar compreender e criar ordem, beleza e perfeição. (Serra,
1993, p. 304, cit. Weyl)
A noção de simetria é deveras importante em Matemática, nas artes visuais e em diversas ciências como a Cristalografia e a Física. (Oliveira, 1997, p. 70)
Em geometria, simetria define-se em termos de isometrias
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Simetria: Estabilizando um significado
Falar de simetria é falar de simetria de uma figura.
Figura: um subconjunto de pontos do plano ou do espaço. Exs: Recta, rectângulo, esfera, desenho artístico,...
(Bastos, 2006)
Não tem sentido perguntar se as duas bonecas (duas figuras) são simétricas...
... embora possa perguntar-se se a boneca (uma figura) tem simetria.
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Simetria de uma figura: Estabilizando um significado
Simetria de uma figura F é uma particularidade dessa figura. Significa que existe uma isometria T do plano que deixa a figura invariante, isto é, tal que T (F ) = F. (adaptado de Bastos, 2006)
Simetria de uma figura não é o mesmo que simetria axial de uma figura: a figura pode ter simetrias que não sejam axiais
Manutenção da congruência e da posição
O transformado da figura através da isometria coincide com a figura original: as figuras são geometricamente iguais e além disso ocupam a mesma posição no plano, mesmo que haja pontos que não coincidam com as suas imagens.
Podem alguns ou todos os pontos da figura mudar de posição, mas a figura, como um todo, fica invariante. (Veloso, 1998, p. 182)
Invariante significa globalmente invariante
Focando-nos nas figuras do plano
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Revisitando isometrias a propósito de simetria
Analisar a simetria de uma figura remete para investigar se há isometrias (diferentes da identidade) que a deixam invariante
Isometria: Transformação geométrica que preserva as distâncias; as figuras do plano são transformadas noutras geometricamente iguais.
Quatro tipos fundamentais de isometrias:— Rotação
— Translação
— Reflexão
— Reflexão deslizante
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Revisitando isometrias a propósito de simetria
75º
.ORotação
O peixe da esquerda “rodou” no sentido contrário aos ponteiros dorelógio (sentido positivo), descrevendo um ângulo de vértice O eamplitude 75 graus.
Rotação de centro O e amplitude 750
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Revisitando isometrias a propósito de simetria
Rotação
.O
750
.O
27003600
O
75º
.
Centro de rotação: pode ser um ponto da figura
1800 (meia volta)
Centro de rotação: pode ser um ponto que não pertence à figura
.O.O
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Revisitando isometrias a propósito de simetria
Rotação de centro O e amplitude α é uma transformação geométrica tal que:•qualquer que seja o ponto P do plano, a distância de O a P é igual à distância de O à imagem de P (P’ );
•a amplitude do ângulo orientado definido por P, O e P’ é igual a α.
Rotação de centro O e amplitude 900
FF
Rotação
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Revisitando isometrias a propósito de simetria
Numa translação todos os pontos de uma figura se “deslocam” na mesma direcção, no mesmo sentido e a mesma distância.
Translação
u
v
Translação associada ao vector
u
Translação associada ao vector
v
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15º ERBragança
Translação associada ao vector é uma transformação geométrica em que cada ponto O do plano é transformado num outro ponto O’ (imagem de O) em que O’ = O +
Revisitando isometrias a propósito de simetria
u
Translação
u
FTranslação da figura F associada
ao vector u
u
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Revisitando isometrias a propósito de simetria
Cada ponto de uma figura e a sua imagem estão sobre uma recta perpendicular ao eixo de reflexão e a igual distância desse eixo.
É como se o peixe e a estrela se estivessem “a ver ao espelho”...
Reflexão Os eixos de reflexão podem, ou não ter pontos em comum com a(s) figura(s)
eixo de reflexão
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Revisitando isometrias a propósito de simetria
Reflexão de eixo s é a transformação geométrica que faz corresponder a cada ponto O do plano o ponto O’ (imagem de O) de tal modo que:•a recta s é perpendicular a *O O’+ e passa pelo ponto médio de *O O’+ (ou s é a mediatriz de *O O’+;
•se O pertence a s, a sua imagem coincide com O.
Reflexão
Reflexão da figura F de de eixo s
s
F
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Revisitando isometrias a propósito de simetria
Reflexão deslizanteTransformação geométrica que resulta da composição de uma reflexão de eixo s com uma translação cujo vector tem direcção paralela a s.
O’’ imagem de O através da reflexão deslizante associada a s e ao vector
s
u
u
F
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Retomando a ideia de simetria de uma figura
De entre as aplicações mais interessantes das transformações e grupos de transformações estão as relacionadas com questões de simetria. Existindo muitas espécies de simetrias no plano e no espaço (...). (Oliveira, 1996, p. 187)
— Simetria de reflexão (ou simetria axial)
— Simetria de rotação (ou simetria rotacional)
—Simetria de translação
—Simetria de reflexão deslizante
Há uma simetria para cada um dos quatro tipos de isometrias referidos. (Serra, 1993, p. 305)
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Simetria de reflexão de uma figura
Existe, pelo menos, uma reflexão que deixa a figura
globalmente invariante
Como a reconhecemos? Várias hipóteses...
Se conseguirmos dobrar a figura de tal modo que as duas partes obtidas se sobreponham exactamente;
Se conseguirmos colocar um espelho ou mira sobre a figura de modo a que a junção da parte reflectida com a não reflectida seja exactamente igual à figura toda;
Se recortarmos a figura e conseguirmos preencher exactamente o buraco que fica na folha com a parte recortada mas virada ao contrário (com a parte de baixo do papel virada para cima);
...
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Simetria de reflexão de uma figura
Por vezes a simetria de reflexão é designada por simetria axial; o eixo
de reflexão também se pode designar por eixo de simetria ou linha de
simetria. (Serra, 1993, p. 305)
Eixo de simetria?
1 eixo de simetria ? eixos de simetria ? eixos de simetria? eixos de simetria ? eixos de simetria
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Simetria de reflexão de uma figura
Eixo de simetria?
1 eixo de simetria 6 eixos de simetria 0 eixos de simetria2 eixos de simetria 4 eixos de simetria
Eixo de simetria de uma figura: Recta (sobre a qual se
faz a dobra ou se coloca o espelho/mira…) que divide a figura ao
meio de modo que uma metade da figura seja a reflexão da outra
metade. Caso contrário, a recta não é eixo de simetria.
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Figura com simetria rotacional Figura sem simetria rotacional
Simetria rotacional de uma figura
Existe, pelo menos, uma rotação com uma amplitude superior a 00
e inferior a 3600 que deixa a figura globalmente invariante. Só neste caso se admite também uma simetria rotacional associada a um ângulo de 3600.
Se conseguirmos girar a figura em torno de um ponto fixo, de modo a que a
imagem resultante, através da rotação, coincida com a figura original.
Como a reconhecemos?
(ou qualquer outro tipo de simetria)
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Simetria rotacional de uma figura
Que simetrias rotacionais tem a figura?
C: Centro da simetria rotacional (ponto em torno do qual a figura “roda”)
C
Ângulo da simetria rotacional: ângulo orientado que descreve o “movimento” da figura.
Três quartos de volta
(270º)
Uma volta inteira
(360º)
Um quarto de volta
(90º)
Meia volta
(180º)
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Simetria de translação de uma figura
Existe, pelo menos, uma translação que deixa a figura
globalmente invariante
Como a reconhecemos?
Se podemos movimentar a figura segundo uma dada distância e uma dada direcção (identificadas pelo vector da translação) de tal modo que o seu transformado coincide com a figura original
Se a figura for infinita, existe essa possibilidade…
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Simetria de reflexão deslizante de uma figura
Existe, pelo menos, uma reflexão deslizante que deixa a figura
globalmente invariante
Como a reconhecemos?
Se, por exemplo, depois de desenharmos a figura em papel transparente, de virarmos o papel ao contrário “em torno” de uma determinada recta e de o deslocarmos segundo a direcção dessa recta, conseguirmos que o transformado da figura coincida com a figura original.
Se a figura for infinita, existe essa possibilidade…
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Em busca de simetrias de figuras
O estudo das simetrias das figuras constitui uma aplicação muito interessante das isometrias que permite desenvolver o conhecimento matemático destas transformações geométricas e fornecer, consequentemente, ferramentas que podem ser muito úteis na resolução de problemas geométricos. (...)
Potencialidades
(Bastos, 2006, p. 11)
Conhecimento matemático
Resolução de problemas
Conhecimento matemático
Comunicação e raciocínio
Conexões matemáticas
O conceito de simetria pode ser também a base para actividades de descrição e classificação de figuras geométricas, de argumentação/demonstração (…)
A análise de objectos artísticos ou de cristais através dassuas simetrias são actividades que estabelecem ligações entre a matemática e outros domínios do saber (...)
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Simetrias de polígonos
Que simetrias existem num quadrado?D C
BA
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90º
B
CD
Simetrias de polígonos
Que simetrias existem num quadrado?
Simetrias de reflexão
Simetrias rotacionais
4 Com centro no ponto de encontro das diagonais do quadrado e amplitudes 900, 1800, 2700 e 3600.
4Eixos de simetria: 2 rectas que contêm as diagonais do quadrado e 2 rectas que passam pelos pontos médios de lados opostos
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Simetrias de polígonos
Exemplo de material de apoio à exploração de simetrias em polígonos
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Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas
Exemplos de rosáceas Figuras compostas por diversos
módulos geometricamente iguais que se repetem por rotação. O centro de rotação é sempre o mesmo ponto, a amplitude da rotação é sempre a mesma e a divisão entre 3600
e a medida desta amplitude é exacta.
Rosáceas
Existe sempre um ponto do plano que é fixo para o grupo de simetria da figura (conjunto das transformações de simetria da figura).
Têm sempre simetrias rotacionais, podendo ter também simetrias de reflexão.
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15º ERBragança
Que simetrias existem nestas rosáceas?
Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas
• assinala o centro de simetria (ou centro de rotação) da figura
•
Identificar
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15º ERBragança
Que simetrias existem nestas rosáceas?
Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas
Simetria de reflexão2 eixos de simetria – lado/lado
Simetria rotacionalR rotação de 1800
R2 rotação de 3600 (identidade)
R rotação de 600
R2 rotação de 1200
R3 rotação de 1800
R4 rotação de 2400
R5 rotação de 3000
R6 rotação de 3600 (identidade)
Só simetria rotacional
•
Simetria de reflexão e simetria rotacional
Identificar
• assinala o centro de simetria (ou centro de rotação) da figura
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15º ERBragança
Exemplo de um recurso tecnológico de apoio à construção de rosáceas: o scratch
Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas
Motivo
simples
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Exemplo de um recurso tecnológico de apoio à construção de rosáceas: o scratch
Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas
Motivo
simples
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Exemplos de frisos
As barras cinzentas ou os motivos incompletos, indicam que a figura se prolonga indefinidamente para a esquerda e para a direita
Figura infinitacaracterizada por apresentar sempre simetrias de translação com a mesma e uma só direcção.
No friso, o grupo de simetria fixa uma recta.
Pode haver outras simetrias para além das de translação
Friso
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
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Que simetrias existem neste friso?
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Identificar
recta horizontal
Nomenclatura adoptada
recta vertical
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Que simetrias existem neste friso?
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
u
v De translação. Por exemplo, translações associadas aos
vectores e .
De reflexão de eixo horizontal
Identificar
u
v
recta horizontal
Nomenclatura adoptada
recta vertical
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Que simetrias existem neste friso?
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Identificar
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15º ERBragança
Que simetrias existem neste friso?
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
De reflexão de eixo horizontal
De reflexão de eixos verticais
De translação da figuraassociadas a vectores com a
direcção de e comprimento múltiplo do deste vector.
u
Identificar
u
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A partir de um motivo simples podem-se construir frisos muito diversos usando isometrias
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Motivo simples
Construir
[A´, B’, C’, D’+ imagem do motivo simples através de uma reflexão de eixo r.
A’B’
C’
D’
*A’´, B’’, C’’, D’’+ imagem de [A´, B’, C’, D’+ através de uma translação de vector paralelo ao eixo de reflexão (recta r).
A’B’
C’
D’
A’’B’’
C’’
D’’
Nota: O motivo simples é, por vezes, designado por módulo
r
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Construir (continuação)
Obtém-se o friso
Simetrias do friso: de translação e de reflexão deslizante
(AMB, FM, MR, SM: PMEB: Geometria, 2009/2010) 40
Através de translações sucessivas da figura
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Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Investigar
Investigar que tipos de frisos existem (...) [é] perceber que “estruturas” de frisos existem e, para isso, devemos investigar que grupos de simetria podem ter os frisos (...) [trata-se] de procurar uma classificação dos frisos baseada nos respectivos grupos de simetria. (Veloso, 1998, p. 202)
Que tipos de frisos há?
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Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Tipo 1: gerado por translação
Investigar
Tipo 2: gerado por reflexão de eixo horizontal e translação
Motivo simples
Motivo composto
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Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Tipo 3: gerado por reflexão de eixo vertical e translação
Tipo 4: gerado por reflexão de eixo horizontal, reflexão de eixo vertical e translação
InvestigarMotivo simples
Motivo composto
Motivo composto
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Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Tipo 5: gerado por rotação de 1800 e translação
Investigar
Motivo simples
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Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Tipo 6: gerado por reflexão deslizante e translação
Investigar
Motivo simples
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Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Tipo 7: gerado por reflexão de eixo vertical, reflexão deslizante etranslação
Há apenas sete tipos de frisos...
InvestigarMotivo simples
Motivo composto
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(Alcazar, Sevilha)
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15º ERBragança
Bibliografia e outros materiais consultados
Bastos, R. (2006). Notas sobre o Ensino da Geometria do Grupo de Trabalho de Geometria da APM –Simetria. Educação Matemática, 88, 9-11.
Bastos, R. (2007). Notas sobre o ensino da Geometria: Transformações geométricas. Educação e Matemática, 94, 23-27.
Deledicq, A. & Raba, R. (1997). Le monde des pavages. Paris: ACL- Éditions.
Devlin, K. (2002). Matemática: A ciência dos padrões. Porto: Porto Editora.
Hargittai, I. & Hargittai, M. (1994). Symmetry: A unifying concept. Bolinas, California: Shelter Publications.
Haylock, D. (2001). Mathematics explained for primary teachers. London: Sage.
Musser, G., Burger, W. (1997). Mathematics for elementary teachers: A contemporary approach (4ª ed.). Upper Saddle River: Prentice-Hall.
Oliveira, A. (1997). Transformações geométricas. Lisboa: Universidade Aberta.
Serra, M. (1993). Discovering geometry: An inductive approach. Berkeley: Key Curriculum Press.
Veloso, E., Bastos, R. & Figueirinhas, S. (2009). Notas para o ensino da Geometria: isometrias e simetria com materiais manipuláveis. Educação e Matemática, 101, 23-28.
Veloso, E. (1998). Geometria. Temas actuais. Lisboa: Instituto de Inovação Educacional
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Bibliografia e outros materiais consultados
Documentos não publicados
Conjunto de slides elaborados por Ana Maria Boavida para a conferência Revisitando simetrias e isometrias no plano... a propósito do PMEB realizada no âmbito do PFCM da Universidade de Évora (Julho de 2010).
Conjunto de slides sobre Simetrias de uma figura e isometrias no plano elaborados por Ana Maria Boavida, Fernanda Matias, Margarida Rodrigues e Sílvia Machado para a Formação de Professores Acompanhantes do PMEB: Geometria promovida pela DGIDC (Setembro 2009) .
Conjunto de slides sobre isometrias e simetria de uma figura no plano elaborado por Lina Brunheira, professora acompanhante do Plano da Matemática II (Fevereiro de 2011).
Conjunto de slides sobre Simetria e frisos elaborados pela equipa do Programa de Formação Contínua em Matemática para professores dos 1º e 2º ciclos da Universidade de Évora (2008/2009).
Siteshttp://www.apm.pt/formacao/tgs_2008/index.html
http://www.atm.org.uk/resources/
http://www.atractor.pt/simetria/matematica/index.htmlhttp://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=168
http://mathstitch.com/Rosettes__Friezes_and_Wallp.html
O “mundo” da simetria
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