REDEMAT - Métodos Numéricos e Estatísticos
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Métodos Numéricos e Estatísticos
Prof. Marcone Jamilson Freitas Souza
Aula 7: Métodos numéricos para equações diferenciais• 1a ordem
• Passos múltiplos
• 2a ordem
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Equações diferenciais de 1a ordem
Métodos numéricos são usados quando não é possível obter uma solução geral, ou a forma dela é tão complicada que seu uso não é prático.
Uma equação diferencial de 1a ordem tem a forma ,e em geral podemos escrevê-la como:
),(
0),,(
yxfy
yyxF
Problema do valor inicial- uma equação diferencial- uma condição que deve ser satisfeita pela solução
00 )(
),(
yxy
yxfy
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Os métodos que estudaremos partem da idéia de que o espaço da variável independente (x) pode ser discretizado, formando uma rede
x0 x1= x0+h x2= x1+h.......
h é o passo .
)(x- 22
e),( yxyxf
O valor da função em cada ponto da rede é calculado a partir de expansões em série de Taylor.
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)(!2
)()()(
)(
0
2
000
00
xyh
xyhxyhxy
yxy
Método de Euler ou Euler-Cauchy
O valor de y para um passo h é dadopela expansão:
Como em geral h é pequeno, suprimimos ostermos de ordem O(h2): h2, h3, .....
Resultando na aproximação
),()(
)()()()()()( 2
yxhfxy
xyhxyhOxyhxyhxy
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O que resulta no processo iterativo
),(
),(
),(
1
1112
0001
nnnn yxhfyy
yxhfyy
yxhfyy
A omissão dos termos de ordemsuperior a 2 causa erros de truncagem(que podem ocorrer junto a erros dearredondamento).
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n x n y n 0,2(xn+yn) Exato erro
0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0001 0,200 0,000 0,040 0,021 0,0212 0,400 0,040 0,088 0,092 0,0523 0,600 0,128 0,146 0,222 0,0944 0,800 0,274 0,215 0,426 0,1525 1,000 0,488 0,718 0,230
Exemplo:
passo h=0,2
O erro não é (em geral) conhecido. Podemos estimá-loutilizando um passo h´=2h
0)0(
y
yxy
)(2,01 nnnn yxyy
n x n y n 0,4(xn+yn) y n para h=0,2erro = y n(h=0,4) - y n(h=0,2)
0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0001 0,400 0,000 0,160 0,040 0,0402 0,800 0,160 0,384 0,274 0,1143 1,200 0,544
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Método de Euler melhorado (2a ordem)Método chamado de preditor-corretor.
)],(),([2
1
),(
*111
*1
nnnnnn
nnnn
yxfyxfhyy
yxhfyy
)(2
1
),(
),(
21!
112
1
1
kkyy
kyxhfk
yxhfk
hxx
nn
nn
nn
nn
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Exemplo:o mesmo visto anteriormente
02,022,0)(2
2,0
2,02,02,0
2,0
2,0
211
2
1
nnnnn
nnnn
nn
yxykkyy
yxyxk
yxk
h
yxy
n xn yn 0,22(xn+yn) + 0,02 Exato erro
0 0,000 0,0000 0,0200 0,0000 0,00001 0,200 0,0200 0,0684 0,0214 0,00142 0,400 0,0884 0,1274 0,0918 0,00343 0,600 0,2158 0,1995 0,2221 0,00634 0,800 0,4153 0,2874 0,4255 0,01025 1,000 0,7027 0,3946 0,7183 0,0156
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Método de Runge-Kutta (4a ordem)
),(
)2
1,
2
1(
)2
1,
2
1(
),(
)22(6
1
34
23
12
1
43211
1
kyhxhfk
kyhxhfk
kyhxhfk
yxhfk
kkkkyy
hxx
nn
nn
nn
nn
nn
nn
Se f(x,y) não dependerde y, o método reduz-seà regra de integraçãode Simpson
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n x n y n 0,2214(x n+y n) + 0,0214 Exato erro
0 0,000 0,000000 0,021400 0,000000 0,0000001 0,200 0,021400 0,070418 0,021403 0,0000032 0,400 0,091818 0,130288 0,091825 0,0000073 0,600 0,222106 0,203414 0,222119 0,0000124 0,800 0,425521 0,292730 0,425541 0,0000205 1,000 0,718251 0,401821 0,718282 0,000031
Comparação entre os métodos
x n y = ex - x - 1 Erro
Euler Euler melhorado Runge-Kutta
0,000 0,000000 0,000 0,0000 0,0000000,200 0,021403 0,021 0,0014 0,0000030,400 0,091825 0,052 0,0034 0,0000070,600 0,222119 0,094 0,0063 0,0000120,800 0,425541 0,152 0,0102 0,0000201,000 0,718282 0,229 0,0156 0,000031
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Qual o valor mais adequado para o passo h?
Se a função f varia muito com y, então h deve ser pequeno, para evitar erros de truncagem. Em geral, adota-se a “proposta” de que
12
232
05,001,0
kk
kkK
y
fhK
h h/2 se K 0,05
h 2h se 0,01 K h não muda se
0,05 K 0,01
Estimativa de erro:
hy
hy
yy
2passooparaobtidoé~~onde
passooparaobtidoé~onde
~~~15
1
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Métodos para eq. dif. de segunda ordem
P.V.I.
00
00
)(
)(
),,(
yxy
yxy
yyxfy
Novamente o problema é obter os valores de yn e yn´ para a seqüência x1
= x0 + h; x2 = x0 + 2h; ...
)(!3
)(!2
)()()(
)(!3
)(!2
)()()(
32
32
xyh
xyh
xyhxyhxy
xyh
xyh
xyhxyhxy
Começamos mais uma vez pelas expansõesem série de Taylor da função e de sua derivada:
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O método mais simples consiste em desprezaros termos em derivadas de ordem y´´´ ou superiores
)()()(
)(2
)()()(2
xyhxyhxy
xyh
xyhxyhxy
001
0
2
001
0000
2
),,(
yhyy
yh
yhyy
yyxfy
1o passo: 2o passo:
112
1
2
112
1111
2
),,(
yhyy
yh
yhyy
yyxfy
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Runge-Kutta-Nyström
)22(3
1
))(3
1(
)2,,(2
1
)(
),,2
1(
2
1
),,2
1(
2
1
)2
1(
2
1
),,(2
1
43211
3211
1
34
3
23
12
1
1
kkkkyy
kkkyhyy
hxx
kyLyhxhfk
kyhL
kyKyhxhfk
kyKyhxhfk
kyhK
yyxhfk
nn
nnn
nn
nnn
n
nnn
nnn
n
nnn
Valores iniciais:x0, y0, y0´
passo h
Saída
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Equações diferenciais parciais
0:parabólicaCalor)(
0:ahiperbólicOnda)(
0:elípticaLaplace)(0
222
22
22
2
2
22
bacTct
T
bacx
ct
bac
Uma equação é dita quasilinear se forlinear nas derivadas mais altas:
;;;onde
),,,,(22
2
2
x
uu
yx
uu
x
uu
uuuyxFcubuau
xxyxx
yxyyxyxx
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Equações de diferenças para Eq. de Laplace e Poisson
),(
0
2
2
2
2
222
yxfu
y
u
x
uuuuu yyxx
Laplace
Poisson
Vamos ver o caso mais simples em duas dimensões (x e y):
(x-h,y) (x,y) (x+h,y)
h hk
k
(x,y-k)
(x,y+k)
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),(),(2
1),(
),(),(2
1),(
)(emtermosodesprezand,EE
),(6
1),(
2
1),(),(),(:E
),(6
1),(
2
1),(),(),(:E
321
22
21
kyxukyxuk
yxu
yhxuyhxuh
yxu
hO
yxuyxuhyxhuyxuyhxu
yxuyxuhyxhuyxuyhxu
y
x
xxxxxx
xxxxxx
(x-h,y) (x,y) (x+h,y)
h hk
k
(x,y-k)
(x,y+k)
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)],(),(
),(),([4
1),(
),(),(2),(1
),(
),(),(2),(1
),(
),(),(2),(),(
2
2
2
kyhxukyhxu
kyhxukyhxuhk
yxu
kyxuyxukyxuk
yxu
yhxuyxuyhxuh
yxu
yxuhyxuyhxuyhxu
xy
yy
xx
xx
Para as derivadas segundas, desprezando os termos O(h4),temos
Juntando as aproximações das derivadas primeiras e segundas,fazendo h=k, obtemos a equação de diferenças correspondente àequação de Poisson:
),(),(4),(),(),(),( 2 yxfhyxuhyxuyhxuhyxuyhxu
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Para f(x,y) = 0 temos a equação de Laplace. h é chamado de o comprimento da malha (mesh size).
Equações elípticas - em geral - devem levar em conta problemas de contorno (condições previamente definidas numa dada fronteira - espacial, por exemplo). Casos mais comuns:
•Dirichlet: se u é definido na fronteira C
•Neumann: se un=u/n (derivada na direção normal) é definida na fronteira.
Para resolver o problema, é necessáriocriar uma malha.: nós da rede ou da malha (Pij)
Fronteira C
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Exemplo
Uma placa de 12 cm de lado tem suas bordas mantidas às temperaturas mostradas na figura. Quais os valores das temperaturas no interior da placa? Será escolhido um comprimento h = 4 cm.
12x
y12
u=0
u=100
u=100
u=100 R
u=0
u=100
u=100
P02
P10 P20
P01 P11 P21
P12
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A equação de transferência de calor éut = c2(uxx+uyy)
Para o regime estacionário ut = 0, aequação se reduz à de Laplace
uxx+uyy = 0
Para cada ponto da malha, temos a seguinte equação:
ui+1,j + ui-1,j + ui,j+1 + ui,j-1 -4 ui,j = 0
P11: - 4u11 + u21 + u01 + u12 + u10 = 0
- 4u11 + u21 + 100 + u12 + 100 = 0
- 4u11 + u21 + u12 = - 200
ui+1,jui-1,j
ui,j+1
ui,j-1
ui,j
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- 4u11 + u21 + u12 = -200
u11 - 4u21 + u22 = -200
u11 - 4u12 + u22 = -100
u21 +u12 - 4u22 = -100
Dando como resultados
u11 = u21 = 87,5 (88,1)
u12 = u22 = 62,5 (61,9)
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