7/26/2019 prova calculo I
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Pontifcia Universidade Catolica de Minas GeraisCurso de Engenharia Qumica
Calculo IV - Primeira Prova
Professora: Flaviana Dutra - Valor: 40 pontos - 26/03/2014
Instrucoes: Esta prova e individual, sem consulta e tem duracao de 90 minutos. NAO e permitido o uso de calculadoras.
RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS NAO SERAO CONSIDERADAS: lembre-se que voce seraavaliado pelo que tiver escrito e nao pelo que tiver pensado. O esboco da regiao de integracao faz parte da solucao. As questoes devem ser respondidas na folha de respostas que deve estar devidamente identificada.
Nome: Nota
Questao 1 (8 pontos) Classifique as afirmativas abaixo como verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
a) Se f for uma funcao de uma variavel, contnua no intervalo [0, 1], entao
1
0
1
0
f(x)f(y)dy dx=
1
0
f(x) dx
2
b)A integral
1
0
1x
0
1xy
0
z dz dy dx representa o volume do tetraedro delimitado pelos planos coordenados e pelo
planox + y+ z = 1.
Questao 2 (8 pontos)Uma lamina triangular de metal de vertices A(0, 0), B(0, 1) e C(1, 0) tem densidade demassa no ponto (x, y) dada por (x, y) = xy. Determine a massa dessa lamina e escreva, mas nao calcule, as integraisque determinam as coordenadas seu centro de massa.
Questao 3 (8 pontos)Calcule o volume do solido delimitado pelos graficos de z = x2 + y2 e x2 + y2 + z2 = 2.
Questao 4 (8 pontos)Mostre que a regiao interna a circunferencia de raio a possui area igual a a2.
Questao 5 (8 pontos)Um solido delimitado pelas superfcies z = 0, z =
1 x2 y2 e z =
4 x2 y2
tem densidade de massa (x,y,z) inversamente proporcional a distancia do ponto (x,y,z) ate a origem. Sabendo que aconstante de proporcionalidade e 1, calcule a massa deste solido.
LEMBRE-SE:
D
f(x, y) dA=
21
r2r1
f(r cos, r sen) r dr d, onde D = {(r, )| 1 2, r1 r r2}
E
f(x,y,z) dV =
21
21
21
f( sen cos, sen sen, cos) 2 sen d d d,
onde E= {(,,) | 1 2, 1 2, 1 2}
My =
D
x(x, y) dA e Mx =
D
y(x, y) dA;
My
M ,
Mx
M
Boa Prova!!!