Projecto de Estruturas de um Edifício
Pedro Oliveira Gonçalves de Almeida Machado
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Civil
Júri Presidente: Prof. José Manuel Matos Noronha da Câmara
Orientador: Prof. Pedro Guilherme Sampaio Viola Parreira
Vogal: Prof. António José da Silva Costa
Outubro 2010
i
AGRADECIMENTOS
Gostaria de agradecer em primeiro lugar ao Professor Pedro Parreira, pela disponibilidade e
orientação neste trabalho.
A todos os meus colegas da ViaTúnel P.G.F. que sempre estiveram disponíveis para me ajudar em
todas as matérias.
Aos meus amigos, por não se esquecerem de mim apesar dos tempos em conjunto que tive de
abdicar para concluir este trabalho. Aos meus amigos “ex-colegas” de curso, com os quais muito
aprendi e cujas noites de estudo partilhadas foram fundamentais ao longo de todo este percurso
académico.
À minha família, que sempre me incentivou e me “empurrou” nas alturas em que mais precisei. Um
agradecimento especial aos meus tios por estarem sempre presentes, ao meu pai pela insistência e à
minha mãe pelo carinho.
À minha avó e ao meu avô.
iii
PROJECTO DE ESTRUTURAS DE UM EDIFÍCIO
RESUMO
Pretende-se com este trabalho apresentar as diferentes fases de um projecto de estruturas de um
edifício, desde a sua concepção inicial até à fase final de dimensionamento. Desta forma, são
percorridas ao longo do processo as fases de Concepção da Solução Estrutural, Pré-
Dimensionamento, Análise Sísmica e Dimensionamento, tendo sido apenas dimensionados os
elementos estruturais sujeito a flexão composta – pilares, núcleo e lajes pré-esforçadas, e vigas
sujeitas a flexão simples.
Para tal, foi desenvolvido um programa de pós-processamento que permite a verificação de secções
rectangulares simetricamente armadas à flexão bi-composta e a verificação de secções em “H” ou “T”
à flexão composta.
O objectivo do documento desenvolvido consiste assim na aplicação da plataforma de conhecimentos
teóricos adquirida ao longo do curso na actividade prática do projecto de estruturas.
Uma vez que a realidade da actividade do projecto de estruturas actual é baseado na aplicação de
ferramentas de processo automático de dados, foi naturalmente utilizado um programa tridimensional
de elementos finitos na modelação do edifico. No entanto, foram igualmente utilizados métodos
tradicionais ao longo do processo, nomeadamente na fase de pré-dimensionamento, na validação do
modelo e na avaliação crítica dos resultados.
Os Critérios Gerais de Dimensionamento considerados, com base na regulamentação em vigor em
Portugal – RSA, REBAP e Eurocódigos, bem como as Hipóteses de Cálculo consideradas na
verificação aos estados limites últimos e estados limites de serviço dos elementos estruturais são
detalhadamente enunciados ao longo do trabalho.
Os desenhos de betão armado e pré-esforço dos elementos estruturais dimensionados, bem como os
desenhos de dimensionamento do edifício encontram-se em Anexo.
Palavras-chave: Projecto de Estruturas; Flexão Composta; Pré-Dimensionamento; Modelação;
Análise Sísmica; Dimensionamento.
v
STRUCTURAL DESIGN OF A BUILDING
ABSTRACT
The aim of this work is to present the different phases of a building’s structural design, from its initial
conception through to final design. Thus, the Structural’s Design Solution, Pre-Design, Seismic
Analysis and Design phases are covered throughout the process, having only been designed
structural elements subject to compound bending – columns, core and pre-stressed slabs, and beams
subject to simple bending.
For this, a post-processing program that verifies the safety of rectangular cross-sections with
symmetrical rebar subject to compound bending in both directions and also “H” or “T” cross-sections
subject to compound bending in one direction was developed.
Given this, the purpose of the developed document consists on the application of the theoretical
knowledge platform obtained over the course on the practice activity of structural design.
Once, nowadays, structural design is based on the current use of automatic data processing
applications, a three-dimensional finite elements program was used in its development. However,
traditional methods were also used throughout the process, particularly at the pre-designing phase, in
model validation and critical assessment of results.
Design General Criterias, based on Portuguese regulation in use – RSA, REBAP and Eurocodes, as
well as the Calculation Assumptions considered in structural elements Ultimate Limit States and
Serviceability Limit States verification are set out in detail throughout the document.
Detailed reinforced concrete and pre-stress design drawings of the designed structural elements, as
well the building’s general design, can be the found in Appendix.
Keywords: Structural Design; Compound Bending; Pre-Design; Modeling; Seismic Analysis; Design.
vii
ÍNDICE
1 INTRODUÇÃO 1
1.1 BASES ARQUITECTÓNICAS 2
1.2 ORGANIZAÇÃO 3
2 SOLUÇÃO ESTRUTURAL 5
3 CRITÉRIOS GERAIS DE DIMENSIONAMENTO 11
3.1 SEGURANÇA ESTRUTURAL – REGULAMENTAÇÃO 11
3.2 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA EM RELAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS 11
3.3 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA EM RELAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES EM SERVIÇO 14
3.4 ACÇÕES 17
3.5 COMBINAÇÕES DE ACÇÕES 26
3.6 MATERIAIS E RECOBRIMENTO 27
3.7 CAPACIDADE RESISTENTE DO SOLO 28
4 PRÉ-DIMENSIONAMENTO 29
4.1 LAJES 29
4.2 VIGAS 33
4.3 PILARES 36
4.4 FUNDAÇÕES 39
4.5 MUROS DE SUPORTE 40
4.6 ESCADAS 42
5 MODELAÇÃO DA ESTRUTURA 43
5.1 GEOMETRIA 44
5.2 ELEMENTOS ESTRUTURAIS 45
5.3 CONDIÇÕES DE FUNDAÇÃO 49
5.4 ACÇÕES 49
5.5 PORMENORES DE APLICAÇÃO 51
5.6 VALIDAÇÃO DO MODELO 52
6 ANÁLISE SÍSMICA 55
6.1 COMENTÁRIOS AO COMPORTAMENTO SÍSMICO DO EDIFÍCIO EM ESTUDO 55
6.2 FREQUÊNCIAS, FACTORES DE PARTICIPAÇÃO DE MASSA E MODOS DE VIBRAÇÃO 57
6.3 COEFICIENTE SÍSMICO 62
7 HIPÓTESES DE CÁLCULO PARA A VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA 63
7.1 VERIFICAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS 63
7.2 VERIFICAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES EM SERVIÇO 79
viii
8 ANÁLISE DE ESFORÇOS E VERIFICAÇÃO DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS 81
8.1 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DE ELEMENTOS PRÉ-ESFORÇADOS 82
8.2 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DE LAJES 93
8.3 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DE VIGAS 98
8.4 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DE PILARES 102
8.5 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DO NÚCLEO 104
9 CONCLUSÃO 105
BIBLIOGRAFIA 107
ix
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1.1 – Modelo tridimensional desenvolvido .................................................................. 1
Figura 2.1 – Representação esquemática dos eixos de pilares no edifício na planta de
arquitectura do piso 0 ............................................................................................................ 6
Figura 2.2 – Pilar PB4 ........................................................................................................... 6
Figura 2.3 – Pilar PC4 ........................................................................................................... 6
Figura 2.4 – Pilar PD4 ........................................................................................................... 6
Figura 2.5 – Geometria das lajes nervuradas de blocos de cofragem recuperável aligeiradas
.............................................................................................................................................. 7
Figura 2.6 – Perspectiva 3d de um capitel numa laje aligeirada de cocos ............................. 8
Figura 3.1 – Limitação das extensões numa secção ............................................................11
Figura 3.2 – Diagrama de tensão-deformação (parabóla-rectângulo) para o betão à
compressão ..........................................................................................................................12
Figura 3.3 – Diagrama de tensão-deformação para o aço à tracção e compressão .............12
Figura 3.4 – Restantes cargas permanentes no piso 0 .........................................................20
Figura 3.5 – Restantes cargas permanentes no piso 1 .........................................................20
Figura 3.6 – Restantes cargas permanentes no piso 2 .........................................................20
Figura 3.7 – Restantes cargas permanentes na cobertura ...................................................20
Figura 3.8 – Numeração das paredes exteriores do piso 0 ...................................................21
Figura 3.9 – Numeração das paredes exteriores do piso 1 ...................................................21
Figura 3.10 – Numeração das paredes exteriores do piso 2 .................................................21
Figura 3.11 – Sobrecargas no piso 0 ....................................................................................22
Figura 3.12 – Sobrecargas no piso 1 ....................................................................................22
Figura 3.13 – Sobrecargas no piso 2 ....................................................................................22
Figura 3.14 – Sobrecargas na cobertura ..............................................................................22
Figura 3.15 – Deformadas das estruturas tipo Parede e tipo Pórtico ....................................23
Figura 4.1 – Vão condicionante de pré-dimensionamento da laje .........................................29
Figura 4.2 – Cálculo de momentos na laje considerando um comportamento de flexão
cilíndrica ...............................................................................................................................30
Figura 4.3 – Cálculo de momentos na laje considerando um comportamento de flexão
cilíndrica e uma espessura de 0.40m ...................................................................................30
Figura 4.4 – Deformada do piso 0 ........................................................................................31
Figura 4.5 – Deformada do piso 1 ........................................................................................31
Figura 4.6 – Deformada do piso 2 ........................................................................................31
x
Figura 4.7 – Cálculo de momentos na laje considerando um comportamento de flexão
cilíndrica ...............................................................................................................................32
Figura 4.8 – Deformada da laje de cobertura com uma espessura de 0.40m .......................32
Figura 4.9 – Numeração das vigas do piso 1 ........................................................................33
Figura 4.10 – Numeração das vigas da cobertura ................................................................33
Figura 4.11 – Áreas de influência das vigas do piso 1 ..........................................................34
Figura 4.12 – Áreas de influência das vigas da cobertura ....................................................34
Figura 4.13 – Compatibilização dos momentos negativos ....................................................35
Figura 4.14 – Áreas de influência dos diferentes posicionamentos dos pilares ....................36
Figura 4.15 – Áreas de influência do piso 0 ..........................................................................37
Figura 4.16 – Áreas de influência do piso 1 ..........................................................................37
Figura 4.17 – Áreas de influência do piso 2 ..........................................................................37
Figura 4.18 – Áreas de influência da cobertura do nível inferior ...........................................37
Figura 4.19 – Áreas de influência da cobertura do nível superior .........................................37
Figura 4.20 – Dimensões de uma sapata .............................................................................39
Figura 4.21 – Modelos em consola e encastrado-apoiado (para semi-encastrado) para pré-
dimensionamento dos muros................................................................................................40
Figura 4.22 – Modelos bi-apoiado para pré-dimensionamento da laje das escadas .............42
Figura 4.23 – Cálculo de momentos na laje da escada considerando um modelo bi-apoiado
.............................................................................................................................................42
Figura 5.1 – Modelo tridimensional de elementos finitos ......................................................43
Figura 5.2 – Diferentes orientações dos elementos visíveis ao nível do piso 1 .....................44
Figura 5.3 – Malha Global vista em planta ............................................................................44
Figura 5.4 – Malha a 17 Graus vista em planta ....................................................................44
Figura 5.5 – Malha de coordenadas cilíndricas para definição do muro na zona da garagem
.............................................................................................................................................45
Figura 5.6 – Elemento de barra com os nós de extremidade evidenciados a verde .............45
Figura 5.7 – Elemento de casca com os nós de extremidade evidenciados a verde ............46
Figura 5.8 – Discretização da laje aligeirada do piso 0 com os capitéis e maciçamentos a
verde-escuro ........................................................................................................................46
Figura 5.9 – Geometria do núcleo em planta ........................................................................47
Figura 5.10 – Elementos de barra rígidos ao nível dos pisos ...............................................48
Figura 5.11 – Cargas em “faca” referentes ao pré-esforço na laje de cobertura ...................48
Figura 5.12 - Cargas nodais referentes ao pré-esforço na laje de cobertura ........................48
Figura 5.13 – Cargas em “faca” na direcção perpendicular referentes ao pré-esforço no piso
0 ...........................................................................................................................................49
xi
Figura 5.14 – Aplicação das cargas referentes ao peso próprio das escadas ao nível dos
pisos 0 e 1 ............................................................................................................................50
Figura 5.15 – Cargas referentes às paredes de alvenaria exteriores aplicadas no piso 1 .....50
Figura 5.16 – Distribuição dos impulsos do terreno no muro ................................................51
Figura 5.17 – Tirantes axialmente rígidos a ligar a viga na laje de cobertura superior à laje de
cobertura inferior ..................................................................................................................52
Figura 5.18 – Diagrama de momento na direcção 2-2 da laje de cobertura para a
combinação ELU1 ................................................................................................................53
Figura 5.19 – Deformada do piso 1 referente à sobrecarga de cobertura .............................54
Figura 6.1 – Enquadramento tectónico de Portugal continental. As placas tectónicas
indicadas são: NA (Norte Americana), EU (Euro-asiática) e AF (Africana) ...........................55
Figura 6.2 – Diferentes alinhamentos de pilares orientados segundo as quatro direcções
principais de inércia ..............................................................................................................57
Figura 6.3 – Frequência de diferentes tipos de estruturas ....................................................58
Figura 6.4 – Modelo encastrado ao nível do piso 0 ..............................................................60
Figura 6.5 – Primeiro modo de vibração visto em planta 3d .................................................60
Figura 6.6 – Primeiro modo de vibração visto em perspectiva 3d .........................................60
Figura 6.7 – Segundo modo de vibração visto em planta 3d ................................................61
Figura 6.8 – Segundo modo de vibração visto em perspectiva 3d ........................................61
Figura 6.9 – Terceiro modo de vibração visto em planta 3d .................................................61
Figura 6.10 – Terceiro modo de vibração visto em perspectiva 3d .......................................61
Figura 7.1 – Simplificação do método do diagrama rectangular ...........................................64
Figura 7.2 – Diagrama de tensões na secção e posição da Linha Neutra (LN) ....................64
Figura 7.3 – Posição da LN para �� � 3.5‰ e para �� � 10‰ ............................................65
Figura 7.4 – Posição da LN para �� � 3.5‰ e para �� � ��� ..............................................65
Figura 7.5 – Extensões admissíveis para o betão e para o aço ............................................66
Figura 7.6 – Extensões limites para o betão e para o aço ....................................................67
Figura 7.7 – Diagrama de extensões e forças numa secção de betão armado sujeita a flexão
composta..............................................................................................................................68
Figura 7.8 – Limite de esforço axial favorável/desfavorável ..................................................68
Figura 7.9 – Folha de introdução de dados e navegação do programa ................................69
Figura 7.10 – Diagramas de extensões e tensões no betão e no aço para o caso de rotura
45 .........................................................................................................................................72
Figura 7.11 – Flexão desviada .............................................................................................75
Figura 7.12 – Modelo de verificação aos estados limites últimos de punçoamento em corte e
em planta .............................................................................................................................77
Figura 7.13 – Traçados de perímetro básico de controlo para diferentes secções ...............77
xii
Figura 7.14 – Traçados de perímetro básico de controlo para secções junto às extremidades
.............................................................................................................................................78
Figura 8.1 – Lajes pré-esforçadas aplicadas num edifício em Hong Kong sem pilares
interiores ..............................................................................................................................82
Figura 8.2 – Livros sobre actuação de forças horizontais de compressão ............................83
Figura 8.3 – Cargas verticais ascendentes provocadas por um traçado parabólico pré-
esforçado numa laje bi-apoiada ............................................................................................83
Figura 8.4 – Tipos de aplicação de pré-esforço ....................................................................83
Figura 8.5 – Aplicação de pré-esforço pré-tensionado com libertação das ancoragens depois
da cura do betão ..................................................................................................................84
Figura 8.6 – Bainhas de pré-esforço instalados antes da betonagem ...................................84
Figura 8.7 – Fio ....................................................................................................................86
Figura 8.8 – Conjunto de 7 fios (cordão) ..............................................................................86
Figura 8.9 – Cordão embainhado .........................................................................................86
Figura 8.10 – Estrutura da ancoragem de um monostrand ...................................................86
Figura 8.11 – Dimensões das ancoragens ...........................................................................86
Figura 8.12 – Afastamentos mínimos de ancoragens ...........................................................86
Figura 8.13 – Distribuição dos cordões de pré-esforço no piso 0 .........................................87
Figura 8.14 – Distribuição dos cordões de pré-esforço no piso 1 .........................................87
Figura 8.15 – Distribuição dos cordões de pré-esforço no piso 2 .........................................87
Figura 8.16 – Traçado esquemático do cabo de pré-esforço sem continuidade, com as
cargas de puxe a verde e as correspondente cargas nodais equivalentes a azul .................88
Figura 8.17 – Traçado esquemático do cabo de pré-esforço com continuidade, com as
cargas de puxe a verde e as correspondente cargas nodais equivalentes a azul .................88
Figura 8.18 – Excentricidades do cabo de pré-esforço. ........................................................88
Figura 8.19 – Distribuição dos cabos de pré-esforço na laje de cobertura ............................90
Figura 8.20 – Traçado esquemático do cabo de pré-esforço da cobertura, com as cargas de
puxe a verde e as correspondente cargas nodais e distribuída equivalentes a azul .............90
Figura 8.21 – Deformada do piso 0 com pré-esforço ............................................................91
Figura 8.22 – Deformada do piso 1 com pré-esforço ............................................................91
Figura 8.23 – Deformada do piso 2 com pré-esforço ............................................................91
Figura 8.24 – Deformada do piso 1 com pré-esforço e laje de 0.50m ...................................92
Figura 8.25 – Deformada do piso 2 com pré-esforço e laje de 0.50m ...................................92
Figura 8.26 – Deformada da laje de cobertura com pré-esforço ...........................................92
Figura 8.27 – Localização das lajes a pormenorizar. A azul, a laje do piso 2, com as zonas
maciçadas e capitéis a azul escuro e as extremidades em consola a amarelo. A cor de
laranja, apresentam-se as lajes de cobertura .......................................................................93
xiii
Figura 8.28 – Secção considerada no cálculo da laje maciça de 0.50m ...............................94
Figura 8.29 – Secção equivalente considerada no cálculo da laje nervurada a azul, com o
valor de bm obtido da tabela x.x, correspondente a 208mm ..................................................95
Figura 8.30 – Diferentes tipos de secções com diferentes solicitações ................................97
Figura 8.31 – Localização das vigas analisadas. Vigas V1.15 e V1.16 a azul, vigas DC.1 à
DC.3 e VC.6 a verde e viga VC.5 a cor de laranja ................................................................98
Figura 8.32 – Localização dos pilares analisados. Pilar PC4 a cor de laranja, pilar PD3 a
verde, pilar PE2 a encarnado, pilar PE4 a roxo e pilar PR6 a amarelo ............................... 102
Figura 8.33 – Secção equivalente do núcleo na direcção do momento indicado (M33) ...... 104
Figura 8.34 – Secção do núcleo ......................................................................................... 104
Figura 8.35 – Secção equivalente do núcleo na direcção do momento indicado (M22) ...... 104
xv
ÍNDICE DE TABELAS
Tabela 2.1 – Características das lajes nervuradas de blocos de cofragem recuperável ........ 8
Tabela 3.1 – Cargas distribuídas por metro quadrado nas lajes respeitantes às paredes
interiores ..............................................................................................................................20
Tabela 4.1 – Pré-dimensionamento das vigas do piso 1.......................................................33
Tabela 4.2 – Pré-dimensionamento das vigas da cobertura .................................................33
Tabela 4.3 – Resultados do pré-dimensionamento das vigas ...............................................35
Tabela 6.1 – Períodos, Frequências e Factores de Participação Modal ...............................58
Tabela 6.2 – Coeficientes sísmicos para as diferentes acções sísmicas e direcções ...........62
xvii
ÍNDICE DE QUADROS
Quadro 3.1 – Quadro VIII do REBAP ...................................................................................15
Quadro 3.2 – Quadro IX do REBAP .....................................................................................16
Quadro 3.3 – Esforços em estruturas isostáticas e hiperstáticas ..........................................18
Quadro 3.4 – Quadro I do relatório do estudo geológico-geotécnico ....................................28
xix
ÍNDICE DE GRÁFICOS
Gráfico 3.1 – Deformada em altura do pilar P4D ..................................................................24
Gráfico 3.2 – Espectros de Resposta considerados .............................................................25
Gráfico 6.1 – Percentagem de participação modal por modo e acumulada ..........................59
Gráfico 6.2 – Períodos e frequências por modo ...................................................................59
Gráfico 7.1 – Layout de apresentação de resultados do programa .......................................74
xxi
LISTA DE ABREVIAÇÕES
LETRAS MAIÚSCULAS LATINAS
A – Área
�� – Área da secção transversal de betão
�� – Área da secção de uma armadura para betão armado
��,��� – Área da secção mínima de armaduras
�� – Cargas permanentes
��� – Combinação quase permanente
�� – Módulo de elasticidade do terreno
�� – Eurocódigo
�� – Módulo de elasticidade do betão
��� – Módulo de elasticidade secante do betão
�� – Esforço actuante de dimensionamento
��� – Estados limites em serviço
��� – Estados limites últimos
�� – Valor de cálculo do módulo de elasticidade do aço de uma armadura de pré-esforço
�� – Valor de cálculo do módulo de elasticidade do aço de uma armadura para betão
armado
� – Força no betão
�! – Força nas armaduras
"# – Valor médio de uma acção permanente
$ – Momento de Inércia
% '( � – Comprimento; Vão
) – Momento flector
)*� – Valor de cálculo do momento flector resistente
)+� – Valor de cálculo do momento flector actuante
, – Esforço normal
,*� – Valor de cálculo do esforço normal resistente
xxii
,+� – Valor de cálculo do esforço normal actuante
,+-. – Número de pancadas SPT
� – Pré-esforço
�/ – Valor do pré-esforço na extremidade activa da armadura de pré-esforço,
imediatamente após a aplicação do pré-esforço
�0 – Valor do pré-esforço na extremidade activa da armadura de pré-esforço, a longo prazo
�� – Peso Próprio
�1 – Valor característico de uma acção variável
2� – Esforço resistente de dimensionamento
2�� – Restante carga permanente
2�3�� – Regulamento de estruturas de betão armado e pré-esforçado
2�� – Regulamento de segurança e acções para estruturas de edifícios e pontes
�� – Sobrecarga
�� – = ��
4 – Volume
4 – Esforço transverso
4*� – Valor de cálculo do esforço transverso resistente
4+� – Valor de cálculo do esforço transverso actuante
LETRAS MINÚSCULAS LATINAS
5 – Largura total de uma secção transversal
56 – Largura da alma da viga em T
c’ – Coesão efectiva
� – Altura útil de uma secção transversal
7 – Excentricidade
8� – Tensão de cedência do betão à compressão
8�� – Valor de cálculo da tensão de cedência do betão à compressão
8�1 – Valor característico da tensão de cedência do betão à compressão aos 28 dias de
idade
xxiii
8�� – Valor médio da tensão de cedência do betão à compressão
8�91 – Valor característico da tensão de cedência do betão à tracção simples
8�9� – Valor médio da tensão de cedência do betão à tracção simples
8� – Tensão de cedência do aço para armaduras de pré-esforço
8�1 – Valor característico da tensão de cedência do aço para armaduras de pré-esforço
8�/,: – Tensão limite convencional de proporcionalidade a 0,1% à tracção do aço das
armaduras de pré-esforço
8; – Tensão de cedência do aço para armaduras de betão armado
8;� – Valor de cálculo da tensão de cedência do aço para armaduras de betão armado
8;1 – Valor característico da tensão de cedência do aço para armaduras de betão armado
8<� – Tensão de rotura de cálculo do aço
= – Altura
% '( � – Comprimento; Vão
> – Raio
� – Espaçamento de varões
? – Abertura de fendas
LETRAS MINÚSCULAS GREGAS
@ – Coeficiente de sismicidade
A – Peso volúmico
AB – Coeficiente de segurança para acções permanentes
AC – Coeficiente de segurança para acções variáveis
�� – Extensão do betão à compressão
��: – Extensão do betão à compressão correspondente à tensão máxima 8� ��< – Extensão última do betão à compressão
�< – Extensão do aço da armadura para betão armado ou de pré-esforço correspondente à
tensão máxima
�<1 – Valor característico da extensão do aço da armadura ou de pré-esforço na carga
máxima
xxiv
D – Coeficiente de comportamento
E – Ângulo
F� – Tensão de cedência
G – Coeficiente de poisson
H� – Ângulo de atrito
1
1 INTRODUÇÃO
A presente tese apresenta o desenvolvimento do projecto de estruturas de um edifício destinado a
utilização pública. Tendo por base um projecto de arquitectura, o objectivo do trabalho consiste em
criar uma solução estrutural que garanta a segurança do edifício em relação às acções
regulamentares.
Uma vez que neste trabalho se encontram aplicados os conhecimentos teóricos adquiridos ao longo
do curso de Engenharia Civil do Instituto Superior Técnico, revela-se um objectivo do mesmo a
compreensão da aplicabilidade dessa plataforma de conhecimentos à actividade prática do projecto
de estruturas. Esses fundamentos são explicados ao longo do processo, seguidos da sua aplicação
prática de cálculo.
Pretende-se então nesta dissertação percorrer as fases por que passa o projecto de estruturas de um
edifício, desde a definição da solução estrutural e fase de pré-dimensionamento até à fase final de
dimensionamento, onde é também avaliado o comportamento dinâmico da estrutura e efectuada a
verificação aos estados limites últimos e de serviço.
Sendo um facto que os programas de cálculo automático constituem uma ferramenta de extrema
utilidade para a análise de estruturas no panorama da engenharia de estruturas actual, foi
naturalmente utilizado um programa tridimensional de elementos finitos – o SAP2000 – onde foi
desenvolvido o modelo do edifício proposto, com a finalidade de analisar estática e dinamicamente o
seu comportamento.
Relativamente ao objecto de estudo, este consiste num edifício de utilização colectiva cujas bases de
projecto arquitectónico se encontram explicadas no seguinte subcapítulo. As plantas, cortes e alçados
das bases de arquitectura encontram-se em Anexo nas Peças Desenhas de Arquitectura.
Figura 1.1 – Modelo tridimensional desenvolvido
2
1.1 BASES ARQUITECTÓNICAS
O edifício de estudo possui uma configuração arquitectónica bastante irregular, tanto em planta como
no seu desenvolvimento em altura. Com uma área de implantação de aproximadamente 975m2, este
tem 39.50m na sua extensão máxima, sendo difícil cotar outras dimensões devido à irregularidade
que o caracteriza. Apresentando 4 pisos, com diferentes desenvolvimentos em planta (sendo o piso 0
semi-enterrado e o piso -1 totalmente enterrado), a sua configuração em planta vai encurtando de
piso para piso, até que o último piso (piso 2) apresente uma área correspondente a 33% da área do
piso -1.
O piso -1 é dedicado ao estacionamento de veículos ligeiros e ao economato geral, tendo uma
ligação ao piso superior por intermédio de escadas e elevador, aliás como se verifica em todos os
pisos. A cota do limpo deste piso é constante e encontra-se a 59.00m. O acesso ao exterior é feito
por uma rampa que sobe primeiro em curva e depois em linha recta até ao nível do piso 0.
Este último, correspondente ao piso de entrada do edifício, apresenta uma configuração semelhante
à do piso inferior. Neste encontram-se as salas de espera, dois gabinetes médicos, uma secretaria,
salas polivalentes, uma cozinha com dispensa, um restaurante e ainda instalações sanitárias
masculinas, femininas e para deficientes. A cota de arquitectura encontra-se a 69.00m, à excepção
do pátio do lado Nordeste que está 15cm rebaixado. O canto do edifício da zona Sudoeste ao nível
deste piso está em consola, bem visível no alçado Sul de arquitectura. Por questões estruturais esta
consola foi eliminada, ou seja o piso -1 foi prolongado em planta até à extremidade do piso 1.
Do piso 0 para o piso 1 começam as diferenças geométricas significativas. Exemplos destas
alterações são o grande vazio na zona das escadas entre estes pisos e o recuo do edifício, dando
lugar a dois terraços. Encontram-se também neste piso duas salas de reuniões, dois gabinetes, um
auditório e instalações sanitárias à semelhança do piso inferior. A cota deste piso corresponde a
66.00m, à excepção do auditório. Neste, a cota varia linearmente desde a cota principal até à cota de
66.45m na parte traseira e apresenta um palco na parte frontal a esta mesma cota. O corte AB mostra
claramente este desnível.
O piso 2 apresenta uma área descoberta sensivelmente semelhante à área coberta devido ao grande
recuo que apresenta. Neste existem 4 salas de formação à cota de 70.45m, sendo que a zona
exterior se encontra a uma cota naturalmente inferior correspondente a 70.00m.
Finalmente, a cobertura do último piso apresenta duas cotas diferentes, uma à cota de 74.65m e
outra 1.25m abaixo. Na cobertura mais alta existem quatro clarabóias.
O acesso entre pisos é feito por elevador e por intermédio de escadas, tanto interiores como
exteriores, ao nível de todos os pisos.
3
1.2 ORGANIZAÇÃO
No sentido de realizar um estudo faseado na procura dos objectivos propostos, a exposição do
trabalho desenvolvido encontra-se divida em nove capítulos:
O presente capítulo apresenta uma introdução ao que se pretende desenvolver nesta dissertação
bem como os seus objectivos, sendo também feita uma breve explicação da arquitectura do edifício.
No capítulo 2 é descrita a concepção da solução estrutural do edifício, a par dos condicionalismos
arquitectónicos que influenciaram a geometria estrutural. As dimensões e disposições dos elementos
são descritas com pormenor, bem como as razões das suas escolhas.
O capítulo 3 enuncia os critérios gerais de segurança e a regulamentação considerada para a
verificação da segurança estrutural. A verificação aos estados limites últimos e estados limites em
serviço é explicada em detalhe bem como as definições das acções em geral e as acções estáticas e
dinâmicas consideradas no desenvolvimento do edifício. Os critérios utilizados na determinação das
acções são minuciosamente explicados, bem como as razões porque algumas acções não são
consideradas. Finalmente, são definidas as combinações de acções consideradas, bem como os
materiais considerados.
Representando uma parte importante do trabalho, o capítulo 4 consiste no pré-dimensionamento dos
elementos estruturais. São neste capítulo explicados os cálculos efectuados sem o recurso a
programas de cálculo automático, que permitiram definir as dimensões dos diversos elementos.
Com o pré-dimensionamento efectuado, passou-se à modelação do edifício num programa
tridimensional de elementos finitos. O capítulo 5 explica a forma como os diferentes elementos
estruturais e as acções foram simulados de forma a criar um modelo de estudo cujas características
ao nível da geometria, rigidez e capacidade de carga se aproximassem o mais possível da realidade.
No final deste capítulo são descritos os métodos simples utilizados na validação do modelo, através
da comparação entre os resultados obtidos do modelo e os valores esperados do cálculo manual.
Os comentários ao comportamento sísmico e modos de vibração da estrutura, bem como os cálculos
das frequências e coeficiente sísmico são efectuados no capítulo 6.
O capítulo 7 apresenta os fundamentos de cálculos para a verificação aos estados limites últimos e
em serviço aplicados no capítulo 8. É ainda explicado o programa de pós-processamento
desenvolvido em ambiente de programação VBA.
No capítulo 8 são analisados e dimensionados os elementos estruturais do edifício sujeitos a flexão
composta (pilares, núcleo e lajes pré-esforçadas) e vigas sujeitas a flexão simples, através da
verificação da sua segurança aos estados limites considerados.
Finalmente, no Capítulo 9, são apresentadas as principais conclusões deste estudo.
Em Anexo apresentam-se os resultados dos cálculos efectuados, as Peças Desenhadas com os
desenhos de dimensionamento, betão armado e pré-esforço e ainda as bases do projecto de
arquitectura.
5
2 SOLUÇÃO ESTRUTURAL
O primeiro passo na concepção estrutural de um edifício consiste na criação de uma solução
estrutural que, atendendo à sua arquitectura, permita garantir a segurança deste quando solicitado
pelas acções consideradas no seu dimensionamento. Consiste, portanto, na escolha da localização,
dimensão e disposição dos diferentes elementos estruturais.
Nesta fase do projecto, o factor mais condicionante é de facto a geometria do edifício, aliada à
arquitectura, que condiciona em muito a malha de pilares. Estes factores limitam a liberdade de
escolha do posicionamento dos pilares, vigas e lajes, bem como as suas dimensões.
No entanto, a função do engenheiro só é cumprida ao conceber, projectar e construir uma construção
com qualidade e economia. Desta forma, compete ao engenheiro de estruturas conceber uma
solução que cumpra, na medida do possível, as exigências de arquitectura, a segurança do edifício, o
conforto da sua utilização e um correcto funcionamento do mesmo. Todas essas condições devem
ser cumpridas respeitando um valor global da obra economicamente competitivo, sendo este, um dos
factores mais importantes na concepção duma estrutura. No caso de um concurso público este
corresponde, na maioria dos casos, ao agente mais condicionante na avaliação das propostas, pelo
que uma concepção que cumpra os requisitos anteriormente apresentados, sem no entanto constituir
uma solução economicamente competitiva corre o risco de se tornar inviável.
Posto isto, foi criada uma solução estrutural para o edifício de estudo que atendesse a todos estes
condicionalismos. Globalmente foi conseguido manter a arquitectura original sem grandes alterações.
No entanto, foram feitas algumas alterações que consistiram essencialmente numa alteração da
geometria ao nível do piso -1 e no aumento de pilares que ficaram ligeiramente de fora das paredes.
A explicação destas alterações é descrita adiante neste capítulo. Os desenhos da estrutura
encontram-se em Anexo nas Peças Desenhas de Estabilidade.
Relativamente ao objecto de estudo, este consiste num edifício cuja arquitectura condiciona de uma
forma bastante limitativa a configuração estrutural. Os grandes espaços abertos que o caracterizam
tornam impossível a colocação de pilares. No entanto, é sugerido pela arquitectura o posicionamento
de alguns pilares que se encontram nesses espaços abertos. Esta sugestão foi naturalmente
considerada, uma vez que esses mesmos vãos requerem o máximo de pilares possíveis.
Em relação aos restantes pilares tentou-se criar uma malha o mais regular possível, tentando
encontrar alinhamentos paralelos e perpendiculares onde fosse possível “encaixar” a malha de
pilares. Conseguiu-se, assim, encontrar 3 alinhamentos (eixos 2, 4 e 5 da figura 2.1) que constituem a
base funcional da estrutura, com eixos na sua perpendicular e outros alinhamentos numa direcção
enviesada condicionados pela geometria do edifício.
6
Figura 2.1 – Representação esquemática dos eixos de pilares no edifício na planta de arquitectura do piso 0
Os pilares do eixo 2 encontram-se alinhados com a direcção da parede. Seria preferível que se
encontrassem na direcção perpendicular, contudo o auditório do piso 1 e as salas polivalentes com
paredes amovíveis do piso 0 tornaram essa solução inviável. Estes pilares apresentam na sua
maioria dimensões de 0.35x0.70m2, sendo que os pilares de extremidade têm dimensões de
0.30x0.35m2 e 0.35x0.35m2.
Entre os eixos 2 e 4 apenas foi possível posicionar um pilar. Este encontra-se no eixo D e apresenta
uma dimensão maior de 0.35x1.25m2, por ter uma grande área de influência. Ao longo do eixo 3 (ver
desenhos de dimensionamento em Anexo) seria conceptualmente favorável a existência dum
alinhamento de pilares, no entanto, o espaço livre necessário para o auditório e a sala polivalente
(entre os eixos D e G) impossibilitaram uma vez mais essa solução.
No eixo 4 existe pouco espaço para a colocação dos pilares, pelo que existem três (PB4, PC4 e PE4)
que excedem ligeiramente o espaço concedido pela arquitectura. Os pilares adoptados ficam
ligeiramente de fora das paredes pelo que, nestes casos, a arquitectura deve ser repensada em
conformidade com a solução estrutural.
Figura 2.2 – Pilar PB4 Figura 2.3 – Pilar PC4 Figura 2.4 – Pilar PD4
De forma a tentar ser o menos invasivo possível,
secções. Estas variam dos 0.35x0.35m
prolongam até à cobertura, estes
todos com uma dimensão de 0.35m
nasce um pilar com 0.35x0.70m2
da cobertura que não poderia existir no piso
Os pilares do eixo 5 apresentam também limitações de espaço e dimensão, quer por se encontrarem
no meio de salas quer por estarem entre envidraçados. No entanto, o facto
não implica dimensões tão grandes como os restantes, estes encontram
da parede e apresentam dimensões que variam dos
Relativamente ao eixo 6, este corresponde a um alinhamento de pilare
pelo que também não necessitam de grande
variam entre os 0.35x0.35m2 aos
O eixo 7 apresentava de arquitectura 3 pilares circulares à vista. Estes foram mantidos com
dimensões que apresentavam de arquitectura
O facto de o edifício mudar de orientação em altura interfere na geometria dos pilares de canto. Por
esta razão, os pilares PI5 e PR7 na transição do piso 0 para o piso 1 apresentam uma rot
relação ao seu eixo.
A toda a volta do piso -1 existe um muro de
Nordeste sobe até ao piso 0. Existe ainda o muro M1 com uma espessura que varia de 0.45m na
base até 0.20m no topo. Este muro enc
edifício, com uma altura de, sensivelmente, 7 metros.
Os grandes vãos (na ordem dos 10m) apresentados na concepção arquitectónica,
tradicional de laje maciça, uma solução pouc
tipo implicavam lajes de espessura incomportáveis tanto a nível arquitectónico como económico, pelo
que se adoptou uma solução de laje aligeirada de co
maciçadas. Com este tipo de solução obtém
com uma redução significativamente
Consideram-se assim, lajes nervuradas de blocos de cofragem recuperável,
apresentam abaixo. Optou-se pela solução com
dimensionamento ditado uma altura total de H=400m
lajes dos pisos 1 e 2.
Figura 2.5 – Geometria das lajes
7
De forma a tentar ser o menos invasivo possível, os pilares deste alinhamento apresentam diferentes
0.35x0.35m2 (PA4) aos 0.45x0.80m2 (PC4). Em relação aos
estes apresentam uma diminuição da secção a partir do piso 2
todos com uma dimensão de 0.35m na direcção perpendicular à parede. Ainda neste alinhamento, 2 no piso 0 (pilar PG4). É um pilar extremamente necessário ao apoio
ra que não poderia existir no piso -1, pois cortava a entrada dos veículos.
Os pilares do eixo 5 apresentam também limitações de espaço e dimensão, quer por se encontrarem
no meio de salas quer por estarem entre envidraçados. No entanto, o facto de “morrer
não implica dimensões tão grandes como os restantes, estes encontram-se alinhados com
da parede e apresentam dimensões que variam dos 0.35x0.35m2 aos 0.35x0.55m
corresponde a um alinhamento de pilares que morrem logo no piso 1
pelo que também não necessitam de grandes dimensões. Estes apresentam assim d
aos 0.35x0.45m2.
O eixo 7 apresentava de arquitectura 3 pilares circulares à vista. Estes foram mantidos com
dimensões que apresentavam de arquitectura – 0.35m de diâmetro.
O facto de o edifício mudar de orientação em altura interfere na geometria dos pilares de canto. Por
PR7 na transição do piso 0 para o piso 1 apresentam uma rot
1 existe um muro de suporte com 0.20m de espessura – muro
Existe ainda o muro M1 com uma espessura que varia de 0.45m na
base até 0.20m no topo. Este muro encontra-se na parte exterior da rampa e no lado Nor
edifício, com uma altura de, sensivelmente, 7 metros.
(na ordem dos 10m) apresentados na concepção arquitectónica,
, uma solução pouco eficaz. As deformações traduzidas numa solução deste
tipo implicavam lajes de espessura incomportáveis tanto a nível arquitectónico como económico, pelo
solução de laje aligeirada de cocos pré-esforçada com
Com este tipo de solução obtém-se um melhor comportamento ao nível das deformações
com uma redução significativamente da quantidade de betão na laje (economicamente favorável).
nervuradas de blocos de cofragem recuperável, cujas
se pela solução com nervuras afastadas de
uma altura total de H=400mm para a laje do piso 0 e de
Geometria das lajes nervuradas de blocos de cofragem recuperável
pilares deste alinhamento apresentam diferentes
(PC4). Em relação aos pilares que se
diminuição da secção a partir do piso 2, ficando
Ainda neste alinhamento,
no piso 0 (pilar PG4). É um pilar extremamente necessário ao apoio
pois cortava a entrada dos veículos.
Os pilares do eixo 5 apresentam também limitações de espaço e dimensão, quer por se encontrarem
de “morrerem” no piso 2
se alinhados com a direcção
0.35x0.55m2.
s que morrem logo no piso 1,
. Estes apresentam assim dimensões que
O eixo 7 apresentava de arquitectura 3 pilares circulares à vista. Estes foram mantidos com as
O facto de o edifício mudar de orientação em altura interfere na geometria dos pilares de canto. Por
PR7 na transição do piso 0 para o piso 1 apresentam uma rotação em
muro M2, que no lado
Existe ainda o muro M1 com uma espessura que varia de 0.45m na
se na parte exterior da rampa e no lado Nor-Noroeste do
(na ordem dos 10m) apresentados na concepção arquitectónica, tornaram a solução
deformações traduzidas numa solução deste
tipo implicavam lajes de espessura incomportáveis tanto a nível arquitectónico como económico, pelo
esforçada com capitéis e bandas
se um melhor comportamento ao nível das deformações
da quantidade de betão na laje (economicamente favorável).
cujas características se
de 800mm, tendo o
para a laje do piso 0 e de H=500mm para as
nervuradas de blocos de cofragem recuperável aligeiradas
8
Altura do
molde
Espessura da Lâmina
Altura Total
Largura Média da Nervura
Área da Secção
Distância ao C.G. da
Inércia
Módulo de Flexão Peso
Próprio Face Superior
Face Inferior
Superior Inferior
[mm] [mm] [mm] [mm] [cm2] [mm] [mm] [cm
4] [cm
3] [cm
3] kN/m
2
300
50 350 182 918 115 235 96048 8352 4087 4.3
75 375 186 1118 117 258 122897 10504 4763 4.9
100 400 190 1318 123 277 151574 12323 5472 5.55
400
50 450 200 1162 156 294 203062 13017 6907 5.6
75 475 204 1362 157 318 251824 16040 7919 6.25
100 500 208 1562 160 340 301779 18861 8876 6.85
hm hs H bm A Vs Vi Inércia Ws Wi pp
Tabela 2.1 – Características das lajes nervuradas de blocos de cofragem recuperável
Na zona junto aos pilares existem capitéis, com o objectivo de aumentar a capacidade de resistência
da laje ao esforço de corte elevado que se verifica nestes pontos (punçoamento) bem como aumentar
a resistência da laje nos pontos onde sejam passíveis de existir momentos negativos. Estes
consistem simplesmente num maciçamento da laje na envolvente do pilar.
Figura 2.6 – Perspectiva 3d de um capitel numa laje aligeirada de cocos
Em toda a bordadura das lajes, existem bandas maciças, que à semelhança dos capitéis, consistem
num maciçamento. Estas apresentam no mínimo a largura de um bloco de cofragem (0.80m). Na
zona do auditório existe uma banda maciça com 3.30m e com um reforço de pré-esforço.
Nas zonas descobertas do piso 1 (cobertura do piso 0), por terem menores cargas e menores vãos,
adoptaram-se lajes maciças com 0.30m e 0.35m de espessura.
A laje de cobertura apresenta 2 níveis. O mais alto, com um vão de 10.40m e 4 clarabóias, consiste
numa laje maciça vigada e pré-esforçada com 0.35m de espessura. A laje de cobertura que se
encontra a um nível inferior é fungiforme (por questões estéticas) e tem 0.25m de espessura. A ligar
estas lajes de cobertura existe uma viga dobra com 0.35x1.27m2 de secção.
As consolas do piso 2 têm apenas uma função estética e apresentam uma espessura de 0.25m.
9
Em todas estas lajes maciças existem vigas de bordadura. As vigas apresentam uma largura de
0.35m, correspondente à largura tipo dos pilares. As suas alturas variam entre 0.60m e 1.00m.
No que diz respeito aos mono-cordões de pré-esforço, ao nível das lajes nervuradas, existem apenas
2 mono-cordões por nervura, uma vez que por questões de espaço não existe espaço para mais. Na
banda maciçada existente no piso ,2 estes apresentam um afastamento de 200mm, enquanto que na
cobertura o afastamento corresponde a 140mm.
O núcleo apresenta as dimensões apresentadas pela arquitectura. Tem uma espessura de 22.5cm e
2.45m numa direcção e 2.175m na outra.
Ao nível das fundações, os pilares interiores descarregam em sapatas isoladas, à excepção daqueles
que devido à sua proximidade apresentam sapatas contínuas. Estas apresentam diferentes
dimensões que variam dos 1.85m aos 3.3m e encontram-se enterradas 0.50m. Relativamente à
sapata do núcleo, esta apresenta uma depressão devido ao fosso do elevador. As suas dimensões
são de 4.00x3.70m2 com uma espessura de 0.90m. Na parte envolta do fosso apresenta uma
sobreespessura de 0.50m.
A sapata do muro M2 apresenta uma largura de 1.80m com 0.50m de altura, com excepção da parte
da sapata do lado Nor-Nordeste que, por questões de limitação de terreno, se encontra excêntrica e
da parte junto ao muro M1, sendo que, no primeiro caso, a sua largura corresponde a 2.00m. A
sapata do muro M3 apresenta-se, pelas mesmas razões, igualmente excêntrica. Esta apresenta uma
largura de 2.50m e uma altura de 0.8m. A sapata do muro M2 encontra-se enterrada 0.50m, enquanto
que a sapata do muro M3 se encontra a uma profundidade de 1.00m.
Relativamente à sapata do muro M1, uma vez que esta também tem que ser excêntrica e apresenta
um impulso de terras considerável, a sapata deste muro foi ligada à sapata do muro M2, de maneira a
conseguir garantir a verificação da segurança ao deslizamento e derrubamento do muro M1.
O pavimento térreo do piso -1 apresenta uma espessura de 0.20m.
11
3 CRITÉRIOS GERAIS DE DIMENSIONAMENTO
3.1 SEGURANÇA ESTRUTURAL – REGULAMENTAÇÃO
Na análise e dimensionamento da estrutura adoptaram-se os critérios de verificação de segurança
aos Estados Limites Últimos e em Serviço preconizados na regulamentação portuguesa e europeia
de estruturas, nomeadamente:
• R.S.A. – Regulamento de Segurança e Acções em Estruturas de Edifícios e Pontes, 1983; • R.E.B.A.P. – Regulamento de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado, 1983; • EC2 – Eurocódigo 2: Projecto de Estruturas de Betão Armado, 2010;
• EC7 – Eurocódigo 7: Projecto Geotécnico, 2010.
3.2 ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS
Os estados limites últimos (ELU) são aqueles relacionados ao colapso, ou a qualquer outra forma de
ruptura estrutural, que determine a incapacidade do uso da estrutura. A sua verificação é feita
segundo o princípio de que o esforço resistente de uma secção terá que ser maior que o esforço
actuante de cálculo.
Os valores dos esforços actuantes de cálculo foram determinados a partir da combinação
fundamental de acções, adoptando-se os coeficientes de segurança e os coeficientes de redução de
ψ0, ψ1 e ψ2 das acções especificadas preconizados no RSA. No cálculo dos esforços resistentes das
secções de betão armado adoptaram-se as hipóteses correntes de não consideração da resistência à
tracção do betão, de conservação das secções planas após a deformação e de uma aderência
perfeita entre o aço e o betão, ou seja não se admitem escorregamentos entre os materiais.
As extensões dos diagramas de cálculo do betão e das armaduras consideram-se limitados a:
• Extensão de encurtamento do betão: 3.5 ‰
• Extensão de alongamento das armaduras: 10.0 ‰
Figura 3.1 – Limitação das extensões numa secção
12
Considerando que as tensões de tracção no betão são nulas, as tensões de compressão são
definidas pelo diagrama de parábola-rectângulo, sendo este parabólico até uma extensão de �� � ��I
(extensão para a tensão máxima de compressão – ��I � 2.0 ‰), e constante até à extensão de �� � ��<I (extensão última do betão – ��<I � 3.5 ‰). O gráfico é definido pelas equações seguintes:
F� � 8�� K1 L M1 L ����IN�O PQ>Q 0 R �� R ��I (3.1)
F� � 8�� PQ>Q ��I R �� R ��<I (3.2)
Os valores de ��I, ��<I, e S são dados pelas tabelas 3.1 e do EC2, sendo S � 2.
Figura 3.2 – Diagrama de tensão-deformação (parabóla-rectângulo) para o betão à compressão
Relativamente ao aço, o EC2 preconiza o seguinte diagrama de tensão-deformação (tanto para
tracção como para compressão), com o módulo de elasticidade igual a �� � 200 "�Q.
Figura 3.3 – Diagrama de tensão-deformação para o aço à tracção e compressão
Relativamente ao diagrama B, este pode apresentar dois andamentos:
13
• Diagrama elasto-plástico sem limitação da extensão limite (linha horizontal);
• Diagrama com endurecimento na fase plástica limitado a uma extensão limite �<� � 0.9�<1.
A segurança em relação aos estados limites últimos que não envolvem perda de equilíbrio ou fadiga,
foi elaborada em termos de esforços com base na condição:
�� R 2� (3.3)
em que Sd e Rd designam respectivamente os valores de cálculo do esforço actuante e do esforço
resistente.
Consideraram-se as seguintes combinações fundamentais preconizadas no RSA:
Em geral:
�� � UAB��V�1 W AC X�Y:1 WUΨ/[�Y[1�[\I
]��\:
(3.4)
No caso de a acção variável base ser a acção sísmica:
�� � U�V�1 W AC�^_ WUΨI[�Y[1�[\I
��\:
(3.5)
em que:
SGik – esforço resultante de acção permanente considerada com o seu valor característico;
SQ1k – esforço resultante da acção variável base tomada com o seu valor característico (�^_ no caso
da acção sísmica);
SQjk – esforço resultante das restantes acções variáveis tomadas com os seus valores característicos.
Os coeficientes de segurança γg e γq considerados, respectivamente para acções permanentes e
variáveis, foram os seguintes:
Peso próprio da estrutura: γg = 1.35 ou 1.00 (caso mais desfavorável)
Restantes cargas permanentes γg = 1.50 ou 1.00 (caso mais desfavorável) Acções variáveis γq = 1.50 ou 0.00 (caso mais desfavorável)
14
3.3 ESTADOS LIMITES EM SERVIÇO
Os estados limites em serviço (ELS) são aqueles que correspondem à impossibilidade do uso normal
de uma estrutura, estando relacionados com a durabilidade das estruturas, aparência, conforto do
utilizador e a boa funcionalidade das mesmas, seja em relação aos utilizadores, seja aos
equipamentos e máquinas existentes.
A sua verificação considera os seguintes estados limites:
• Estado limite de muito curta duração – Combinação Rara;
• Estado limite de curta duração – Combinação Frequente;
• Estado limite de longa duração – Combinação Quase Permanente.
A combinação rara considera as acções permanentes quantificadas pelo seu valor médio ("�), a
acção variável base quantificada pelo seu valor raro (�1) e as restantes acções variáveis pelos seus
valores frequentes (`:�1).
A combinação frequente considera as acções permanentes quantificadas pelo seu valor médio ("�),
a acção variável base quantificada pelo seu valor frequente (`:�1) e as restantes acções variáveis
pelos seus valores quase permanentes (`I�1).
A combinação quase permanente considera as acções permanentes quantificadas pelo seu valor
médio ("�) e as acções variáveis quantificadas pelos seus valores quase permanentes (`I�1).
3.3.1 ESTADO LIMITE DE FENDILHAÇÃO
A fendilhação num elemento de betão armado ocorre quando é atingida a tensão de rotura de tracção
do betão, que se admitiu nula.
A consideração da fendilhação num determinado projecto está relacionada ao tipo de obra e à sua
finalidade. Assim, no caso de reservatórios, por exemplo, a formação de fendas de grandes aberturas
pode comprometer seriamente a estanqueidade exigida para este tipo de estrutura. Para edifícios
correntes, a fissuração excessiva do betão pode acarretar, além de problemas estéticos, problemas
de deterioração da estrutura devido à corrosão da armadura.
É possível afirmar que fendilhação do betão armado é um fenómeno inevitável, visto que para impedi-
la, seria necessário adoptar secções de dimensões incomportáveis e financeiramente inviáveis. As
fendas devem ser controladas de forma a não comprometer a funcionalidade ou durabilidade das
estruturas. Além disso, deve ter-se em conta o desconforto psicológico que fendas com aberturas
excessivas causam aos utilizadores.
15
Diversas são as circunstâncias que podem acarretar a formação de fendas, podendo-se destacar
entre elas:
• Fendas causadas por solicitações devidas ao carregamento, causadas por acções directas
de tracção, flexão ou corte, ocorrendo sempre na zona traccionada;
• Fendas causadas por deformações impostas (acções indirectas), tais como retracção,
variação de temperatura e assentamentos diferenciais.
O limite de abertura de fendas admissível depende da agressividade do ambiente e/ou do tipo de
utilização da estrutura e da sensibilidade das armaduras. Relativamente a este último ponto, são
consideradas como muito sensíveis as armaduras de pré-esforço e pouco sensíveis as armaduras
ordinárias. No que diz respeito à agressividade do ambiente, são preconizados no RSA três
diferentes tipos de ambientes:
• Ambientes pouco agressivos – ambientes onde a humidade relativa é geralmente baixa e
onde os agentes corrosivos são escassos (interior de edifícios);
• Ambientes moderadamente agressivos – correspondem a ambientes interiores onde a
presença de agentes corrosivos seja expectável ou a humidade relativa seja habitualmente
elevada, ambiente exteriores sem concentrações especiais de agentes corrosivos, ou ainda
águas e solos pouco agressivos;
• Ambientes muito agressivos – ambientes com presença elevada de agentes corrosivos,
líquidos agressivos (caso de uma ETAR), ou solos especialmente agressivos.
Em função do tipo de ambiente será então definido a abertura máxima de fendas admissível.
Atingindo este valor máximo especificado, a durabilidade e bom funcionamento da peça de betão fica
em causa. Segundo o artigo 68º do REBAP – QUADRO VIII, para o caso de armaduras ordinárias, o
estado limite a considerar é o de largura de fendas. Desta forma, limitou-se a abertura de fendas a ? � 0.3aa para a combinação frequente, por se tratar de um ambiente pouco agressivo.
Ambiente Combinações de Acções Estado Limite
Pouco agressivo Frequente Largura de fendas, ? � 0.3aa
Moderadamente agressivo Frequente Largura de fendas, ? � 0.2aa
Muito agressivo Rara Largura de fendas, ? � 0.1aa
Quadro 3.1 – Quadro VIII do REBAP
16
Relativamente a armaduras de pré-esforço, os estados limites a considerar são o de descompressão
e o de largura de fendas, seguindo as indicações do QUADRO IX no artigo 68º do REBAP. Desta
forma, por se tratar de um ambiente pouco agressivo, limitou-se a abertura de fendas a w = 0.2mm
para a combinação frequente e verificou-se a descompressão para a combinação quase permanente.
Ambiente Combinações de acções Estado limite
Pouco agressivo Frequente Largura de fendas, ? � 0.2aa
Quase permanente Descompressão
Moderadamente agressivo Frequente Largura de fendas, ? � 0.1aa
Quase permanente Descompressão
Muito agressivo Rara Largura de fendas, ? � 0.1aa
Frequente Descompressão
Quadro 3.2 – Quadro IX do REBAP
O artigo 11.2º do REBAP define a descompressão como o anulamento da tensão normal de
compressão devida ao pré-esforço e a outros esforços normais de compressão numa fibra
especificada da secção, sendo em geral esta a fibra extrema que sem a consideração de pré-esforço
ficaria mais traccionada (ou menos comprimida) por acção dos restantes esforços.
3.3.2 ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO
De forma análoga aos estados limites apresentados, estes correspondem aos estados onde as
deformações dos elementos ultrapassam os limites máximos definidos e aceitáveis para a utilização
normal da estrutura.
A deformação das estruturas deve ser controlada de maneira a não comprometer o bom
funcionamento da estrutura bem como de máquinas e equipamentos que nela possam existir. Os
valores limites da deformação devem ser tais que não comprometam a integridade de elementos não
estruturais, tais como paredes divisórias, envidraçados ou mesmo os revestimentos e acabamentos.
Não deve ainda permitir a acumulação de águas pluviais ou outras (caso de lajes de cobertura) ou
comprometer a estética da estrutura.
A deformação de um elemento de betão armado sujeito a esforços de tracção ou flexão deve ter em
consideração, para além das características de deformabilidade do betão e a existência de
armaduras longitudinais, a fendilhação do betão e ainda o comportamento diferido em resultado da
fluência e retracção.
As deformações podem ser classificadas em:
• Deformações que dependem do carregamento;
• Deformações independentes do carregamento.
17
As primeiras correspondem a deformações causadas pelo carregamento imposto e com direcção
definida. São classificadas em deformação instantânea e deformação a longo prazo, devido à
fluência.
o Deformação instantânea – deformação imediata que ocorre aquando da aplicação do
carregamento e que pode ser inicialmente limitada por aplicação de contra-flechas;
o Deformação a longo prazo – definida como o aumento de deformação sob tensão e
exerce importante influência no valor da flecha total.
Aquelas que não se enquadram nas deformações que dependem do carregamento não têm direcção
definida. São função da variação de volume causado por retracção e variação de temperatura.
A retracção é o fenómeno caracterizado pela redução gradual do volume do elemento de betão
causada por secagem, auto-dessecação e/ou carbonatação da massa de betão endurecida. O seu
efeito numa peça de betão armado sob flexão, caracteriza-se pela contracção diferencial das faces do
elemento, o que resulta em flechas. Esta contracção diferencial acontece devido ao facto de nas
regiões onde há armadura, a contracção ser parcialmente impedida, provocando assim o
bambeamento da peça, o que pode também acontecer por variações de temperatura. Neste caso,
uma face do elemento expande mais do que a outra, por apresentar maior temperatura.
3.3.3 TENSÕES NAS FUNDAÇÕES
A verificação de tensões nas fundações foi realizada em termos de tensões para a combinação rara
de acções, com base na condição, em que F� e Fb designam respectivamente os valores de
dimensionamento da tensão actuante e resistente:
F� c Fb (3.6)
3.4 ACÇÕES
Denomina-se acção a todo o agente capaz de produzir estados de tensão ou deformação num
qualquer elemento estrutural. Entre outras, enunciam-se os pesos próprios, revestimentos,
equipamentos, sobrecargas, cargas acidentais, vento, sismo, variação de temperatura, retracção,
fluência, vibrações, influência do processo de construção, assentamentos de apoios ou impulsos de
terreno e hidrostáticos.
A análise estrutural deve assim considerar a influência de todas as acções que possam produzir
tensões, esforços ou deformações significativas para a segurança da estrutura.
18
Em função da sua variabilidade no tempo e probabilidade de ocorrência, as acções podem ser
classificadas em:
• Acções Permanentes
• Acções Variáveis
• Acções Acidentais
As acções permanentes correspondem àquelas que ocorrem em praticamente toda a vida útil da
estrutura (período durante o qual se prevê que uma estrutura ou parte da mesma possa ser utilizada
para os efeitos a que se destina, com a manutenção prevista mas sem necessidade de grandes
reparações), ou com pequenas variações. Estas são ainda divididas em acções directas e acções
indirectas.
o Acções permanentes directas – constituídas pela acção do peso próprio da estrutura,
elementos construtivos fixos, elementos não estruturais, instalações e outros
equipamentos e ainda impulsos do terreno ou de líquidos;
o Acções permanentes indirectas – correspondem às deformações impostas por acção
da retracção do betão, fluência, assentamentos de apoios, imperfeições geométricas,
pré-tensionamento e pós-tensionamento.
Relativamente às acções indirectas, estas podem ou não causar esforços na estrutura, dependendo
se esta é isostática ou hiperstática. As deformações impostas sem restrição à livre deformação não
introduzem esforços nas estruturas, por sua vez as deformações impostas com restrição à livre
deformação já introduzem esforços nas estruturas.
Tipo de Estrutura Assentamento de Apoio Variação de Temperatura
Isostática
A acção não
causa esforços
Hiperstática
A acção causa
esforços
Quadro 3.3 – Esforços em estruturas isostáticas e hiperstáticas
As acções variáveis são aquelas que variam de intensidade de forma significativa ao longo da vida
útil da construção. São classificadas em directas, indirectas e dinâmicas.
19
o Acções variáveis directas – correspondem ao tipo de acções provocadas pela
utilização das estruturas por parte de pessoas ou veículos, considerando as acções
inerentes ao seu exercício – aceleração e frenagem. O vento representa também
uma acção deste tipo;
o Acções variáveis indirectas – são causadas pelas variações da temperatura, podendo
ser com variação uniforme e não uniforme de temperatura;
o Acções variáveis dinâmicas – consistem nas acções provocadas por qualquer tipo de
aceleração que provoque solicitações na estrutura, como é o caso do sismo. No
entanto não só a acção dinâmica do sismo deve ser considerada. Quando a estrutura
estiver sujeita a choques ou vibrações, os respectivos efeitos devem ser
considerados na determinação das solicitações. No caso de vibrações, deve ser
verificada a possibilidade de ressonância em relação à estrutura ou parte dela. Se
existir possibilidade de fadiga, esta deve ser considerada no dimensionamento dos
elementos.
Relativamente às acções acidentais, estas correspondem a acções de duração extremamente curta e
com muito baixa probabilidade de ocorrência durante a vida útil da construção. Devem ser
consideradas no projecto se os seus efeitos não puderem ser controlados por outros meios. São
exemplos deste tipo de acção explosões, incêndios, choques de veículos, enchentes, etc. Este tipo
de acção não foi considerara no dimensionamento da estrutura em estudo.
As acções permanentes e variáveis consideradas no edifício de estudo são quantificadas a partir dos
valores que constam no RSA. Resumem-se, a seguir, as acções consideradas neste projecto:
3.4.1 ACÇÕES PERMANENTES
Peso volúmico do betão armado A = 25 kN/m3
Peso volúmico do terreno A = 20 kN/m3
Revestimento dos pisos 1.5 kN/m2
Revestimento da cobertura 2.0 kN/m2
Carga distribuída de paredes interiores – pisos 0 e 1 3.7 kN/m2
Carga distribuída de paredes interiores – piso 2 3.2 kN/m2
Carga linear de paredes exteriores Variável entre 0 e 11.85 kN/m
20
A distribuição das cargas uniformemente distribuídas correspondentes às restantes cargas
permanentes (revestimento e paredes interiores), encontra-se representada nas seguintes figuras:
Figura 3.4 – Restantes cargas permanentes no piso 0
Figura 3.5 – Restantes cargas permanentes no piso 1
Figura 3.6 – Restantes cargas permanentes no piso 2
Figura 3.7 – Restantes cargas permanentes na
cobertura
1.5 W 3.2 � 4.7 f,/aI 1.5 W 3.6 � 5.1 f,/aI 2.0 f,/aI
Conforme o artigo 15º do RSA, é possível assimilar uma carga uniformemente distribuída em todo o
piso no caso de existir uma distribuição uniforme das paredes interiores. O cálculo desta carga e os
valores considerados foram os seguintes:
30% j =�kbl�l j PP�kbl�l kmnl�kb�k (3.7)
Espessura média das
paredes [cm] Peso da parede
divisória [kN/m2]
Altura média das paredes [m]
Carga distribuída no piso [kN/m
2]
Pisos 0 e 1 0.35 3.0 4 3.6
Piso 2 0.24 2.6 4.2 3.2
Tabela 3.1 – Cargas distribuídas por metro quadrado nas lajes respeitantes às paredes interiores
21
No caso das paredes exteriores foram calculadas, parede a parede, as áreas de parede de alvenaria,
descontando as áreas de envidraçados. Estas cargas lineares foram determinadas considerando o
peso próprio de uma parede com 35cm de espessura (3.0kN/m2).
Piso 0
Parede Carga Linear [kN/m]
Parede P1.0 9.41
Parede P2.0 10.80
Parede P3.0 9.63
Parede P4.0 10.80
Parede P5.0 10.80
Parede P6.0 5.92
Parede P7.0 7.01
Parede P8.0 10.80
Parede P9.0 8.38
Figura 3.8 – Numeração das paredes exteriores do piso 0
Piso 1
Parede Carga Linear [kN/m]
Parede P1.1 10.05
Parede P2.1 7.8
Parede P3.1 10.8
Parede P4.1 -
Parede P5.1 5.40
Parede P6.1 8.46
Parede P7.1 10.80
Parede P8.1 5.9
Figura 3.9 – Numeração das paredes exteriores do piso 1
Piso 2
Parede Carga Linear [kN/m]
Parede P1.2 9.86
Parede P2.2 11.25
Parede P3.2 11.85
Parede P4.2 -
Parede P5.2 -
Parede P6.2 11.85
Figura 3.10 – Numeração das paredes exteriores do piso 2
3.4.1.1 Impulsos do Terreno
O ângulo de atrito considerado para o terreno foi de op � 30º, logo o coeficiente de impulso em
repouso corresponde a f/ � 0.5 � 1 L �7SMo�N.
22
3.4.2 ACÇÕES VARIÁVEIS
3.4.2.1 Sobrecargas
Em pisos 3.0 kN/m2
No auditório 4.0 kN/m2
Em coberturas acessíveis 2.0 kN/m2
Em coberturas não acessíveis 1.0 kN/m2
Em varandas 2.0 kN/m2
Em varandas, numa faixa de um metro de largura adjacente ao parapeito 5.0 kN/m2
Em acessos 5.0 kN/m2
A distribuição das sobrecargas uniformemente distribuídas encontra-se representada nas seguintes
figuras:
Figura 3.11 – Sobrecargas no piso 0
Figura 3.12 – Sobrecargas no piso 1
Figura 3.13 – Sobrecargas no piso 2
Figura 3.14 – Sobrecargas na cobertura
3.0 f,/aI 4.0 f,/aI 1.0 f,/aI 2.0 f,/aI 5.0 f,/aI
23
3.4.2.2 Sismo
A quantificação do sismo à luz do RSA considera o país dividido em 4 zonas. O edifício em estudo
localiza-se em Lisboa, pertencendo assim à zona sísmica A (coeficiente de sismicidade: @ � 1.0).
O coeficiente de comportamento relaciona os esforços elásticos lineares com os esforços não
lineares, permitindo assim, corrigir os efeitos da acção dos sismos obtidos pela análise linear
efectuada no programa de cálculo, de modo a transformá-los nos valores que se obteriam por uma
análise não linear. Este coeficiente depende essencialmente do comportamento não linear, da
dissipação de energia que ocorre nas zonas plastificadas e da redução da frequência modal que
surge da perda de rigidez devido à formação de rótulas plásticas.
No artigo 33º do REBAP estão definidos valores do coeficiente de comportamento para esforços
correspondentes a 3 diferentes tipos de estrutura com ductilidade normal ou melhorada: estrutura em
pórtico, em parede e mista (pórtico-parede). Relativamente ao projecto de estudo, a solução
estrutural definida não se enquadra directamente em nenhum destes tipos de estrutura.
Neste caso, o coeficiente de comportamento a adoptar deve ser convenientemente justificado,
devendo, porém, considerar-se os valores apresentados no artigo como limites superiores. Visto que
as deformações em regime não-linear e em regime elástico são semelhantes, pode-se determinar os
valores dos coeficientes de comportamento através do tipo de deformada que a estrutura apresenta
em regime elástico.
Figura 3.15 – Deformadas das estruturas tipo Parede e tipo Pórtico
Desta forma, estudou-se o comportamento da estrutura em altura através da obtenção das
deformadas qualitativas apresentadas pela estrutura, com base na aplicação unitário da acção
sísmica. Para isso foi escolhido o pilar P4D, por ser o pilar mais próximo do centro de gravidade, cuja
deformada se apresenta no seguinte gráfico.
Gráfico
Como se pode verificar até à cota de 2.88m, que corresponde ao piso 0, a estrutura apresenta
deslocamentos praticamente nulos uma vez que se encontra totalmente confinada pelo muro. A partir
dessa cota a estrutura apresenta uma deformada que varia de forma sensivelmente constante.
É difícil afirmar que a deformada se enquadre totalmente em alguma das deformadas tipo
apresentadas. Por um lado, esta apresenta um comportamento semelhante ao de uma estrutura
mista, visto que os deslocamentos na zona inferior da estrutura são condicionados pelo muro,
enquanto os da zona superior são condicionados pela deformada do pórtico. No entanto, a partir da
cota 2.88m esta apresenta um comportamento diferente, com uma d
mais a um comportamento típico de uma estrutura parede do que uma estrutura porticada.
estas conclusões e admitindo que a estrutura é de ductilidade normal, o coeficiente de
comportamento (η) considerou-se com o valor 1.75, que, duma forma
valor intermédio entre uma estrutura mista (
Os valores máximos expectáveis ao nível das massas oscilantes de 1 grau de liberdade quando
excitados na base com um sismo de determinadas car
espectros de resposta. Estes definem gráficos de uma função em que as abcissas referenciam a
frequência própria do oscilador e a ordenada o deslocamento, velocidade ou aceleração máxima ao
nível da massa oscilante.
0.000
24
Gráfico 3.1 – Deformada em altura do pilar P4D
Como se pode verificar até à cota de 2.88m, que corresponde ao piso 0, a estrutura apresenta
deslocamentos praticamente nulos uma vez que se encontra totalmente confinada pelo muro. A partir
senta uma deformada que varia de forma sensivelmente constante.
É difícil afirmar que a deformada se enquadre totalmente em alguma das deformadas tipo
apresentadas. Por um lado, esta apresenta um comportamento semelhante ao de uma estrutura
e os deslocamentos na zona inferior da estrutura são condicionados pelo muro,
enquanto os da zona superior são condicionados pela deformada do pórtico. No entanto, a partir da
cota 2.88m esta apresenta um comportamento diferente, com uma deformada que se a
um comportamento típico de uma estrutura parede do que uma estrutura porticada.
estas conclusões e admitindo que a estrutura é de ductilidade normal, o coeficiente de
se com o valor 1.75, que, duma forma conservativa, corresponde a um
valor intermédio entre uma estrutura mista (η=2.0) e uma estrutura parede (η=1.5).
Os valores máximos expectáveis ao nível das massas oscilantes de 1 grau de liberdade quando
excitados na base com um sismo de determinadas características podem ser reflectidos em
espectros de resposta. Estes definem gráficos de uma função em que as abcissas referenciam a
frequência própria do oscilador e a ordenada o deslocamento, velocidade ou aceleração máxima ao
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025
[m]
[m]
δx δy
Como se pode verificar até à cota de 2.88m, que corresponde ao piso 0, a estrutura apresenta
deslocamentos praticamente nulos uma vez que se encontra totalmente confinada pelo muro. A partir
senta uma deformada que varia de forma sensivelmente constante.
É difícil afirmar que a deformada se enquadre totalmente em alguma das deformadas tipo
apresentadas. Por um lado, esta apresenta um comportamento semelhante ao de uma estrutura
e os deslocamentos na zona inferior da estrutura são condicionados pelo muro,
enquanto os da zona superior são condicionados pela deformada do pórtico. No entanto, a partir da
eformada que se assemelha
um comportamento típico de uma estrutura parede do que uma estrutura porticada. Face a
estas conclusões e admitindo que a estrutura é de ductilidade normal, o coeficiente de
conservativa, corresponde a um
=1.5).
Os valores máximos expectáveis ao nível das massas oscilantes de 1 grau de liberdade quando
acterísticas podem ser reflectidos em
espectros de resposta. Estes definem gráficos de uma função em que as abcissas referenciam a
frequência própria do oscilador e a ordenada o deslocamento, velocidade ou aceleração máxima ao
25
Podendo-se, posteriormente, pela análise modal, obter resultados para sistemas com vários graus de
liberdade. De acordo com o RSA é possível quantificar a acção sísmica com recurso a uma análise
sísmica por espectro de resposta. Para tal este regulamento define duas acções sísmicas distintas:
• Acção sísmica tipo 1 – representa um sismo de magnitude moderada a pequena distância
focal;
• Acção sísmica tipo 2 – representa um sismo de maior magnitude a uma distância focal maior.
Os espectros de resposta utilizados foram os preconizados no RSA para os sismos tipo 1 e tipo 2.
Cada acção sísmica tem definida vários espectros de resposta que variam consoante o tipo de
terreno de fundação e o coeficiente de amortecimento da estrutura. Relativamente ao coeficiente de
amortecimento, este toma o valor de r � 5%, valor característico das estruturas de betão armado,
enquanto que o terreno corresponde ao terreno tipo I, uma vez que se trata de um solo com uma
elevada rigidez.
Gráfico 3.2 – Espectros de Resposta considerados
3.4.2.3 Retracção e Temperatura
Apesar de as dimensões em planta do edifico ultrapassarem, em pouco, os 30 metros, considerou-se
desnecessária a consideração da retracção do betão ou as variações de temperatura sazonais.
3.4.2.4 Vento
A acção do vento não foi estudada devido ao facto de a acção sísmica ser condicionante, para
acções horizontais, para uma estrutura de betão armado com apenas 3 pisos elevados.
26
3.5 COMBINAÇÕES DE ACÇÕES
Um carregamento é definido pela combinação das acções que têm probabilidade não desprezível de
actuar simultaneamente sobre a estrutura, durante um período pré-estabelecido. Essas combinações
devem englobar as diferentes possibilidades de ocorrência simultânea das cargas de uma forma
verosímil, determinando os efeitos mais desfavoráveis para a estrutura. Na seguinte tabela estão
apresentadas as combinações analisadas no projecto:
Acções \ Combinações ELS1 ELS2 ELS3 ELS4 ELS5 ELS6 ELS7 ELS8 ELU1 ELU2 ELU3 ELU4 ELU5
PP 1 3.5 1 1 1 1 1 1 1.35 1 1 1 1
PRE-ESFORÇO 1 3.5 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
RCP 1 3.5 1 1 1 1 1 1 1.5 1 1 1 1
SC 0.6 3.1 0.4 1 0.6 0.6 0.6 0.6 1.5 0.4 0.4 0.4 0.4
SC_COB 0 0 0 1 0 0 0 0 1.5 0 0 0 0
IMPT 1 0 1 1 1 1 1 1 1.5 1 1 1 1
SISMO-X1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1.5 0 0 0
SISMO-X2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1.5 0 0
SISMO-Y1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1.5 0
SISMO-Y2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1.5
Na acção “PP” (Pesos Próprios) está contabilizada a acção do peso próprio da estrutura, bem como a
acção do peso próprio das escadas. Na acção “RCP” (Restantes Cargas Permanentes) entram os
revestimentos dos pisos, a carga distribuída relativa às paredes interiores e as cargas lineares
devidas às paredes exteriores. A acção “SC” (Sobrecargas) contabiliza as sobrecargas de
pavimentos e dos acessos, ou seja, das escadas. A acção “SC_COB” consiste na sobrecarga de
cobertura e a acção “IMPT” refere-se ao impulso do terreno. Sendo que “ELS” corresponde a Estados
Limites em Serviço e “ELU” a Estados Limites Últimos, as combinações no modelo correspondem a:
• Combinação ELS1 – Combinação Frequente com sobrecarga como acção variável base;
• Combinação ELS2 – Combinação Frequente a Longo Prazo com sobrecarga como acção
variável base – os valores desta combinações resultam da soma dos valores da combinação
frequente com o coeficiente de fluência (φ=2.5);
• Combinação ELS3 – Combinação Quase Permanente;
• Combinação ELS4 – Combinação Rara com sobrecarga como acção variável base;
• Combinações ELS5 à ELS8 - Combinação Rara com o sismo como acção variável base, para
os sismos tipo 1 e 2 nas direcções X e Y.
• Combinação ELU1 – Combinação Fundamental com sobrecarga como acção variável base;
• Combinações ELU2 à ELU5 – Combinação Fundamental com o sismo como acção variável
base, para os sismos tipo 1 e 2 nas direcções X e Y.
27
Finalmente consideram-se combinações correspondentes às envolventes dos esforços. Estas
correspondem às seguintes:
• ELS-RARA_ENV – Envolvente de esforços para a combinação Rara. Esta engloba as
combinações ELS3 à ELS7.
• ELU_ENV – Envolvente de esforços para a combinação Fundamental. Esta engloba todas as
combinações de ELU.
• ELU_ENV-SX – Envolvente de esforços para as combinações Fundamentais com o sismo na
direcção X como acção variável base (ELU2 e ELU3).
• ELU_ENV-SY – Envolvente de esforços para as combinações Fundamentais com o sismo na
direcção Y como acção variável base (ELU4 e ELU5).
3.6 MATERIAIS E RECOBRIMENTO
Apresentam-se os materiais utilizados e o recobrimento adoptados no projecto:
• Betão – C25/30;
• Aço em armaduras ordinárias – A400NR;
• Aço em pré-esforço – A1600/1800;
• Recobrimento – 3cm.
O betão utilizado apresenta as seguintes propriedades:
stu vwxyz 25
stu,t{|} vwxyz 30
st~ vwxyz 33 st�~ vwxyz 2.6
st�u,�.�� vwxyz 1.8
st�u,�.�� vwxyz 3.3
�t~ v�xyz 31
8�� � 8�1/1.5 � 16.67)�Q
28
Relativamente ao aço das armaduras ordinárias considerado, este apresenta as seguintes
características:
s�u vwxyz 400
�� v�xyz 200
8;� � 8;1/1.15 � 348)�Q
Finalmente, o aço de pré-esforço apresenta as seguintes propriedades:
s��,�u vwxyz 1670
s�u vwxyz 1860
�� v�xyz 195 � 10
3.7 CAPACIDADE RESISTENTE DO SOLO
Através de um estudo geológico-geotécnico do local de obra disponibilizado, pode-se ler o seguinte
no relatório: “Tendo em conta a execução de dois níveis enterrados, as estruturas a edificar deverão
ter como horizonte de fundação a zona ZG1. Como tal, poderá desde já admitir-se o recurso a uma
solução de fundação directa, desde que devidamente dimensionada para os parâmetros
geomecânicos sugeridos no quadro I e em função do plano de distribuição de cargas.”
Segundo esse mesmo relatório a zona ZG1 encontra-se dividida em duas subzonas ZG1B e ZG1A. A
primeira encontra-se a uma profundidade compreendida entre 0.50m (abaixo duma camada de aterro
com uma fina cobertura de terra vegetal – ZG2) e pelo menos a profundidade máxima atingida por
uma das sondagens. A esta zona correspondem níveis de argila, margas e areias com, com valores
de NSPT iguais ou superiores a 60 pancadas. A zona ZG1A, detectada entre os 1.50m e os 9.00m de
profundidade corresponde a níveis de margas compactas, calcários margosos e calcarenitos com
características rochosas.
Zona Geotécnica Descrição NSPT �� C’ � E’
[º] [kPa] [kN/m3] [MPa]
ZG2 Depósitos de cobertura - 20 – 25 - 18 5 – 10
ZG1B Tufo compacto ≥60 30 – 35 35 – 40 20 50 – 80
ZG1A Brecha desagregada e Basalto - 35 – 45 60 – 70 21 – 22 80 – 100
Quadro 3.4 – Quadro I do relatório do estudo geológico-geotécnico
De uma forma simplificada adoptou-se um valor para a tensão admissível do terreno correspondente
a 600 kPa, obtido multiplicando por 10 o número de pancadas SPT.
29
4 PRÉ-DIMENSIONAMENTO
Uma vez estabelecida a solução estrutural, torna-se necessário proceder ao pré-dimensionamento
dos elementos estruturais com o objectivo de determinar as dimensões que, a priori, satisfazem as
condições exigidas. Após esta análise inicial, foram feitos os ajustes necessários, determinando a
geometria estrutural final e, consequentemente, as cargas reais que permitem o dimensionamento.
Pode-se afirmar que um bom pré-dimensionamento é o que resulta em dimensões de secções e em
taxas de armaduras finais próximas das inicialmente previstas.
O pré-dimensionamento deve, naturalmente, seguir uma ordem, uma vez que em função das
dimensões dos elementos, os pesos próprios destes variam. Uma vez que as cargas seguem o
caminho tipo “laje � viga � pilar � sapata”, o pré-dimensionamento seguiu essa mesma ordem.
4.1 LAJES
4.1.1 LAJES PISO 0, 1 E 2
O vão condicionante para o pré-dimensionamento de uma laje, corresponde ao menor vão de entre
os maiores vãos da laje. Em função deste valor, é determinada a espessura da laje a adoptar.
No caso do edifício em estudo, este vão corresponde a 10.40m e verifica-se em todas as lajes do
edifício, incluindo a laje de cobertura.
Figura 4.1 – Vão condicionante de pré-dimensionamento da laje
Optou-se inicialmente pela consideração de uma solução de laje fungiforme. Para o vão
condicionante de 10.40m e seguindo as regras de pré-dimensionamento obtém-se uma espessura de
laje fungiforme maciça de:
%= � 30 � 10.4= � 30 � = � 0.35a (4.1)
30
Esta espessura implica uma carga distribuída majorada de:
P�� � 1.35 j PPmk[l W 1.5 j 2�� W 1.5 j �� � 1.35 j 0.35 j 25 W 1.5 j 5.2 W 1.5 j 3 � 24f,/aI
Apresentando a laje um comportamento de flexão cilíndrica, obtém-se o seguinte diagrama de
momentos para uma secção tipo da laje:
Figura 4.2 – Cálculo de momentos na laje considerando um comportamento de flexão cilíndrica
Com o objectivo de garantir à laje uma boa ductilidade e evitar grandes densidades de armaduras
(critério de economia e qualidade de execução) deve-se verificar � c 0.18.
� � )+�5 j �I j 8�� � 324.51 j 0.31I j 16.67 j 1000 � 0.2 � 0.18 (4.2)
[Condição não verificada]
Tendo em conta que não se consegue garantir a fórmula anterior com a espessura examinada,
considerou-se uma espessura de 0.40m:
P�� � 1.35 j PPmk[l W 1.5 j 2�� W 1.5 j �� � 1.35 j 0.40 j 25 W 1.5 j 5.2 W 1.5 j 3 � 25.8f,/aI
Figura 4.3 – Cálculo de momentos na laje considerando um comportamento de flexão cilíndrica e uma espessura de 0.40m
31
� � )+�5 j �I j 8�� � 348.81 j 0.36I j 16.67 j 1000 � 0.16 c 0.18
[Condição verificada]
Após verificada a capacidade resistente da laje, é necessário proceder ao controlo da deformação
vertical da laje. Segundo o artigo 72.2º do REBAP a flecha máxima admissível corresponde a l/400
para a combinação frequente de acções a longo prazo. No entanto, no caso de a laje afectar paredes
divisórias, e a menos que a fendilhação dessas paredes seja controlada, a flecha máxima não pode
exceder os 1.50 cm.
Recorrendo ao programa de elementos finitos, elaboraram-se modelos planos para analisar as
deformadas das lajes. Os resultados destas para a combinação frequente a longo prazo (ELS2) para
uma laje maciça de 0.40m estão apresentadas a seguir.
Figura 4.4 – Deformada do piso 0
Figura 4.5 – Deformada do piso 1
Figura 4.6 – Deformada do piso 2
Dos resultados obtidos conclui-se que as flechas máximas admissíveis não são cumpridas,
excedendo bastante os valores a alcançar. No piso 0 a flecha atinge um valor de 2.50 cm, no piso 1
3.40 cm e no piso 2, 5.40 cm. À excepção do piso 0, para o vão de 10.40 m a flecha máxima não
cumpre sequer a condição de l/400 correspondente a 2.60 cm. Aumentado a espessura da laje para
0.50m aumenta-se, sensivelmente, para o dobro a inércia da secção, no entanto não é o suficiente
para atingir os valores pretendidos. Sendo esta a altura máxima admitida na arquitectura tornou-se
necessário considerar uma hipótese alternativa.
Tendo em conta que a acção do peso próprio corresponde a uma importante fatia da causa destas
grandes deformações, considerou-se a redução desta. Assim sendo, optou-se por uma solução de
laje fungiforme aligeirada pré-esforçada com capitéis. Com este tipo de solução consegue-se diminuir
significativamente o peso próprio da laje sem, no entanto, perder a altura útil das armaduras. O menor
peso desta solução aliada à utilização do pré-esforço, tem a vantagem de resultar em menores
deformadas para a laje. Posto isto, não é desenvolvido mais o pré-dimensionamento das lajes, uma
vez que se entra já no domínio do dimensionamento do pré-esforço. O restante pré-dimensionamento
da laje é feito no capítulo Análise de Esforços e Verificação dos Elementos Estruturais.
cm-5.4 -4.8 -4.2 -3.6 -3 1.2 1.8 2.4-2.4 -1.8 -1.2 -0.6 0 0.6
32
4.1.2 LAJE DE COBERTURA
A laje de cobertura apresenta igualmente um vão de 10.40m. Apesar das sobrecargas menores e das
aberturas que reduzem o peso total da laje, o facto de estar simplesmente apoiada conduz
igualmente a grandes deformadas.
Considerando o comportamento de flexão cilíndrica, obtém-se o seguinte diagrama de momentos
para uma secção tipo da laje com uma espessura de 0.40m:
Figura 4.7 – Cálculo de momentos na laje considerando um comportamento de flexão cilíndrica
� � )+�5 j �I j 8�� � 348.81 j 0.36I j 16.67 j 1000 � 0.16 c 0.18
[Condição verificada]
Considerando uma laje maciça de 40cm obtém-se a seguinte deformada:
Figura 4.8 – Deformada da laje de cobertura com uma espessura de 0.40m
Pelas mesmas razões das lajes dos pisos inferiores, o restante pré-dimensionamento da laje será
efectuado no capítulo Análise de Esforços e Verificação dos Elementos Estruturais.
cm-3.6 -3.2 -2.7 -2.3 -1.8 -1.4 -0.9 -0.4 0 0 0.9 1.35 1.8 2.25
33
4.2 VIGAS
O pré-dimensionamento das vigas foi feito com base na condição de que a altura destas deve estar
num intervalo entre m:/ e
m:I. Tendo em conta que a largura dos pilares corresponde a 0.35m, optou-se
por uma largura de vigas com esta mesma dimensão. Relativamente à altura das vigas, adoptou-se
uma altura mínima correspondente a 0.60m, independentemente das anteriormente calculadas.
Viga l [m] l/10 l/12 hadoptado [m]
V1.1 2.3 0.23 0.19 0.6
V1.2 10.1 1.01 0.84 0.9
V1.3 2.1 0.21 0.18 0.6
V1.4 7.5 0.75 0.63 0.7
V1.5 2.3 0.23 0.19 0.6
V1.6 9.9 0.99 0.83 0.9
V1.7 2.9 0.29 0.24 0.6
V1.8 7.2 0.72 0.60 0.7
V1.9 4.6 0.46 0.38 0.6
V1.10 5.1 0.51 0.43 0.6
V1.11 4.2 0.42 0.35 0.6
V1.12 1.9 0.19 0.16 0.6
V1.13 3.7 0.37 0.31 0.6
V1.14 2.1 0.21 0.18 0.6
V1.15 9.1 0.91 0.76 0.6
V1.16 10.5 1.05 0.88 1.0
V1.17 7.7 0.77 0.64 0.7
V1.18 5.2 0.52 0.43 0.6
Tabela 4.1 – Pré-dimensionamento das vigas do piso 1
Viga l [m] l/10 l/12 hadoptado [m]
VC.1 4.8 0.48 0.40 0.6
VC.2 7.6 0.76 0.63 0.7
VC.3 5.2 0.52 0.43 0.6
VC.4 1.6 0.16 0.13 0.6
VC.5 10.8 1.08 0.90 1
DC.1 4.8 0.48 0.40 1.27
DC.2 7.6 0.76 0.63 1.27
DC.3 5.2 0.52 0.43 1.27
VC.6 1.6 0.16 0.13 0.6
VC.7 5.6 0.56 0.47 0.6
VC.8 5.2 0.52 0.43 0.6
Tabela 4.2 – Pré-dimensionamento das vigas da cobertura
(Nota: a Viga “DC” corresponde à viga-dobra que faz a transição entre as duas lajes de cobertura.)
Figura 4.9 – Numeração das vigas do piso 1
Figura 4.10 – Numeração das vigas da
cobertura
(Viga V1.1)
(Viga V1.3)
(Viga V1.8)
(Viga V1
.2)
(Viga V1.4)
(Viga V1.9)
(Viga V1.5)
(Viga V1.6)
(Viga V1
.10)
(Viga V1
.15)
(Viga V1.16)
(Viga V1
.17)
(Viga V1.11)(Viga V1.12) (Viga V1.13)
(Viga V1.14)
(Viga V1.18)
(Viga V1
.7)
(Viga C.1) (Viga C.2) (Viga C.3)
(Dobra C.1) (Dobra C.2) (Dobra C.3)
(Viga C.8)
(Viga C.5)
(Viga C.4)
(Viga C.6)
(Viga C.7)
34
Com os valores de altura de vigas obtidos, procedeu-se a uma verificação simplificada das seguintes
condições de segurança em relação aos estados limites últimos:
� � )��5 j �I j 8�� c 0.25 (4.3)
4�� c 0.5 j 4*� � 0.5 j �I j 56 j � (4.4)
Estes valores foram calculados em função das áreas de influência das vigas, considerando os valores
tabelados para viga com condições de apoio “simplesmente apoiada”, “encastrada-apoiada” ou
“duplamente encastrada”, com andamentos de carga rectangulares, triangulares ou trapezoidais. Nas
seguintes figuras estão representadas as áreas de influência das vigas, bem como o tipo de carga
considerado no cálculo. No caso de áreas de influência com forma irregular, considerou-se essa
carga distribuída numa área rectangular equivalente, seguindo a seguinte legenda de cores:
CARGA RECTANGULAR CARGA TRAPEZOIDAL CARGA TRIANGULAR CARGA IRREGULAR
Figura 4.11 – Áreas de influência das vigas do piso 1
Figura 4.12 – Áreas de influência das vigas da cobertura
35
Viga hadoptado [m] Área Influência [m2] M
+Sd [kN.m] M
-Sd [kN.m] μ
+ μ
- VSd [kN] 0.5*VRd [kN]
V1.1 0.6 2.6 8 -7 0.00 0.00 41 420
V1.2 0.9 14.4 511 - 0.12 - 202 630
V1.3 0.6 1.9 7 -6 0.00 0.00 37 420
V1.4 0.7 14.9 326 - 0.13 - 138 490
V1.5 0.6 4.3 9 -241 0.01 0.01 49 420
V1.6 0.9 22.0 298 -241 0.07 0.06 267 630
V1.7 0.6 3.3 26 - 0.01 - 29 420
V1.8 0.7 2.8 60 -17 0.03 0.01 94 455
V1.9 0.7 2.6 24 -17 0.01 0.01 61 420
V1.10 0.6 7.3 102 - 0.06 - 65 420
V1.11 0.6 8.0 46 -54 0.03 0.04 136 420
V1.12 0.6 9.9 17 -65 0.01 0.02 109 420
V1.13 0.6 14.0 49 -65 0.03 0.05 157 420
V1.14 0.6 3.5 10 -65 0.01 0.01 56 420
V1.15 0.6 27.7 301 -310 0.17 0.22 294 420
V1.16 1.0 24.4 210 -310 0.04 0.04 240 700
V1.17 0.7 25.5 237 -251 0.10 0.12 273 490
V1.18 0.6 8.7 45 -47 0.03 0.03 105 420
VC.1 0.6 14.3 72 -336 0.04 0.09 190 420
VC.2 0.7 36.8 210 -336 0.09 0.17 332 490
VC.3 0.6 19.5 77 -336 0.04 0.09 177 420
VC.4 0.6 1.6 - -123 - 0.01 58 420
VC.5 1.0 25.9 1013 - 0.19 - 297 700
DC.1 1.27 13.4 85 -369 0.01 0.02 214 889
DC.2 1.27 37.7 231 -350 0.03 0.05 364 889
DC.3 1.27 19.5 86 -369 0.01 0.02 198 889
VC.6 0.6 1.6 - -137 - 0.01 58 420
VC.7 0.6 14.1 96 -194 0.05 0.12 218 420
VC.8 0.6 11.8 83 -194 0.05 0.10 203 420
Tabela 4.3 – Resultados do pré-dimensionamento das vigas
No caso de vigas contínuas foi aplicada uma compatibilização de momentos aos momentos negativos
da seguinte forma:
Figura 4.13 – Compatibilização dos momentos negativos
Com, )�� � aá� � �����I0.8 j aá�M)�; )�N�
36
4.3 PILARES
O pré-dimensionamento dos pilares tem um papel de elevada importância na fase inicial de um
projecto estrutural, uma vez que estes são os elementos que mais interferem nos ambientes
arquitectónicos, especialmente nos pisos térreos e enterrados (garagens). No seu pré-
dimensionamento foram analisados os esforços axiais que descarregam em cada pilar através do
estudo das respectivas áreas de influência. A complexa geometria do edifício e a variação desta em
altura, implicaram uma avaliação mais exaustiva destas áreas, tendo sido efectuada uma análise piso
a piso. Seguindo o artigo 144º do REBAP, a área necessária a cada pilar para resistir ao esforço axial
pode ser obtido pela seguinte expressão:
�� � ,+�G j 8�� (4.5)
Tendo em conta que este método não contempla o efeito da flexão composta desviada da acção
sísmica, (que condiciona normalmente os pilares dos edifícios), adoptou-se um valor de 0,6 para o
valor de ajuste do esforço normal reduzido (G).
Relativamente às áreas de influência foram considerados três posicionamentos diferentes dos pilares
– pilar de extremidade, pilar intermédio e pilar central – uma vez que o seu posicionamento
condiciona os esforços absorvidos por cada pilar.
Considerando um modelo simplificado de viga contínua, obtém-se um modelo apoiado-encastrado
para os vãos de extremidade e um modelo duplamente encastrado para os centrais. Para os vãos
centrais a cargas distribui-se uniformemente, no entanto para os vão de extremidade o apoio
encastrado tem uma reacção maior. Assim, tendo em consideração este efeito hiper-estático, foi
aplicado um valor correctivo de 0.75, 1.125 e 1, respectivamente para os pilares de extremidade,
pilares intermédios e pilares centrais. No caso de pilares que não se enquadram em nenhum destes
casos, adoptou-se um valor correctivo de 1 e estão apresentados com o nome de “pilar
indiferenciado”.
Figura 4.14 – Áreas de influência dos diferentes posicionamentos dos pilares
Pilar de Extremidade � � 0.75����
Pilar Intermédio � � 1.125����
Pilar Central � � ����
37
Nas figuras seguintes estão representadas as áreas de influência referentes a cada piso com a
seguinte legenda de cores:
PILARE DE
EXTREMIDADE PILAR
INTERMÉDIO PILAR
CENTRAL PILAR
INDIFERENCIADO NÚCLEO MURO
Figura 4.15 – Áreas de influência do piso 0
Figura 4.16 – Áreas de influência do piso 1
Figura 4.17 – Áreas de influência do piso 2
Figura 4.18 – Áreas de influência da cobertura do nível inferior
Figura 4.19 – Áreas de influência da cobertura do nível superior
38
Na seguinte tabelas estão resumidos os valores obtidos:
Dimensões adoptadas
Pilar Nsd [kN] Área necessária
[m2]
a [cm]
b [cm]
Ф [cm]
Área [m2]
PA2 123 0.012 30 35
0.105
PB2 1187 0.119 35 60
0.210
PC2 1467 0.147 35 70
0.245
PD2 677 0.068 35 70
0.245
PE2 1195 0.120 35 70
0.245
PF2 1406 0.141 35 70
0.245
PG2 1020 0.102 35 70
0.263
PD3 4136 0.414 35 120
0.420
PA4 123 0.012 30 35
0.105
PB4 1732 0.173 35 82
0.287
PC4 4978 0.498 45 80
0.360
PD4 2882 0.288 35 70
0.245
PE4 4156 0.416 35 95
0.333
PF4 4103 0.410 45 70
0.315
PG4 1901 0.190 35 70
0.245
PC5 2529 0.253 35 45
0.158
PD5 948 0.095 35 35
0.123
PE5 1645 0.164 35 55
0.193
PF5 2072 0.207 35 55
0.193
PH6 181 0.018 35 35
0.123
PI6 735 0.073 35 35
0.123
PJ6 120 0.012 35 35
0.123
PL6 126 0.013 35 40
0.140
PN6 200 0.020 35 40
0.140
P06 195 0.019 35 40
0.140
PQ6 167 0.017 35 35
0.123
PR6 104 0.010 35 40
0.140
PK7 1652 0.165
35 0.096
PM7 1585 0.159
35 0.096
PP7 1411 0.141
35 0.096
PR7 702 0.070 35 70
0.245
Algumas áreas adoptadas correspondem valores inferiores ao de pré-dimensionamento. Isto deve-se
ao facto de se procurar manter uma regularidade nas dimensões dos pilares. Na fase de
dimensionamento deverá ser feita uma análise mais completa de forma a verificar a verdadeira
capacidade desses pilares.
39
4.4 FUNDAÇÕES
O pré-dimensionamento de sapatas num edifício consiste em garantir que o terreno tem condições
para suportar as tensões a si transmitidas. Para o caso de sapatas isoladas, conhecido o esforço
axial na base dos pilares, determina-se a área mínima da sapata pela seguinte expressão:
���� � ,��mkbFk�� (4.6)
O valor da tensão admissível adoptada do terreno encontra-se explicado no capítulo Critérios Gerais
de Dimensionamento e corresponde a Fk�� � 600f�Q.
Sendo:
� � � W 2� (4.7)
3 � 5 W 2� (4.8)
� � � j 3 � M� W 2�N j M5 W 2�N (4.9)
Consegue-se determinar o valor c, conhecida a área mínima, através da expressão:
� � 4 j ���� W 5I L 2 j 5 j � W �I L 5 L �4 (4.10)
Figura 4.20 – Dimensões de uma sapata
A altura mínima de sapatas deverá ser tal que garanta o seu funcionamento como um corpo rígido em
meio elástico (solo), e elimine os problemas de punçoamento.
¡ � aá�¢M� L �N; M3 L 5N£3 (4.11)
40
No quadro da página seguinte estão apresentados os valores dos esforços axiais, para a combinação
rara, transmitidos às sapatas e as dimensões resultantes do pré-dimensionamento:
Sapata b [m] d [m] B [m] D [m] c [m] N [kN] Amin [m2] A [m
2] Hmin [m]
Sapata PD3 0.5 1.25 2.3 3 0.9 2750 6.9 6.9 0.6
Sapata PC4 0.45 0.8 2.95 3.3 1.25 3718 9.3 9.7 0.8
Sapata PD4 0.35 0.7 2.15 2.5 0.9 2040 5.1 5.4 0.6
Sapata PE4 0.35 0.9 2.65 3.2 1.15 3337 8.3 8.5 0.8
Sapata PC5 0.45 0.35 2.05 2.15 0.85 1630 4.1 4.4 0.6
Sapata PD5 0.35 0.35 1.85 1.85 0.75 1270 3.2 3.4 0.5
Sapata PE5 0.55 0.35 2.15 2.35 0.9 1983 5.0 5.1 0.6
Sapata PF5 0.55 0.35 2.15 2.35 0.9 1970 4.9 5.1 0.6
Sapata PK7 0.35 0.35 1.75 1.75 0.7 1111 2.8 3.1 0.4
Sapata PM7 0.35 0.35 1.85 1.85 0.75 1365 3.4 3.4 0.5
Sapata PP7 0.35 0.35 1.45 1.45 0.55 795 2.0 2.1 0.4
Tendo em conta a proximidade das sapatas dos pilares PD4 e PK7 e ainda dos pilares PF5 e PP7
optou-se por sapatas contínuas entre estes elementos, tendo sido ajustadas as dimensões garantido
a verificação das tensões.
4.5 MUROS DE SUPORTE
Os muros de suporte foram pré-dimensionados considerando dois modelos de cálculo diferentes
consoante a sua posição relativamente a outros elementos. Os muros envolventes M1 e M3
(separado da estrutura principal), foram calculado através de um modelo em consola pura, enquanto
que o muro confinado no edifício foi pré-dimensionado através de um modelo semi-encastrado, uma
vez que este está contraventado pela laje do piso 0. Este obtém-se calculando os momentos para um
modelo encastrado-apoiado, considerando depois uma redistribuição dos esforços, baixando o valor
do momento negativo para cerca de metade.
Figura 4.21 – Modelos em consola e encastrado-apoiado (para semi-encastrado) para pré-dimensionamento dos
muros
41
Considerando um peso volúmico do solo de 20kN/m3 e um ângulo de atrito igual a op � 30º e um
coeficiente de impulso em repouso corresponde a f/ � 0.5 � 1 L �7SMo�N, obtêm-se os seguintes
momentos de pré-dimensionamento:
)+��<b¤ �: � LP�� j %I6 � LA j = j f/ j =I6 � L20 j 7 j 0.5 j 7I6 � L571.7f,.a/a
)+��<b¤ �IM¥N � LP�� j %I8 � LA j = j f/ j =I8 � L20 j 3 j 0.5 j 3I8 � L33.75f,.a/a
)+��<b¤ �IM�N � LP�� j %I14.2 � LA j = j f/ j =I14.2 � L20 j 3 j 0.5 j 3I14.2 � 19.01f,.a/a
)+��<b¤ �¦ � LP�� j %I6 � LA j = j f/ j =I6 � L20 j 3.9 j 0.5 j 3.9I6 � L98.87f,.a/a
Considerando uma redistribuição de esforços obtém-se para o muro M2 valores de momento
correspondentes a:
)+��<b¤ �IM¥N � L16.88f,.a/a
)+��<b¤ �IM�N � 35.89f,.a/a
Limitando o valor de µ a 0.20, verificaram-se os muros M1, M2 e M3 para espessuras de 40cm, 20cm
e 20cm respectivamente.
� �<b¤ �: � )��5. �I. 8�� � 571.71 j 0,4I j 16,67 j 10¦ � 0.21 � 0.20
� �<b¤ �I � )��5. �I. 8�� � 35.891 j 0,2I j 16,67 j 10¦ � 0.05 c 0.20
� �<b¤ �¦ � )��5. �I. 8�� � 98.871 j 0,2I j 16,67 j 10¦ � 0.15 c 0.20
Desta forma adoptou-se uma espessura constante de 20cm para os muros M2 e M3 e, uma vez que
a espessura de 40cm não verifica para o muro M1, adoptou-se uma espessura variável com 45cm na
base e 20cm no topo para este último.
42
4.6 ESCADAS
O pré-dimensionamento das escadas seguiu o mesmo processo de uma laje convencional.
Considerando uma modelo bi-apoiado e o seguinte modelo chegou-se ao seguinte momento máximo.
Apenas é pré-dimensionada a escada E3 que faz a transição entre os pisos 0 e 1.
Figura 4.22 – Modelos bi-apoiado para pré-dimensionamento da laje das escadas
Uma vez que esta escada apresenta um vão de 6.6m e uma altura de 4m a sua extensão
corresponde a 7.7a � √6. 6I W 4I.
Assim, a regra de pré-dimensionamento estipula a seguinte espessura da laje:
%= � 30 � 7.7= � 30 � = ¨ 0.25a (4.12)
Esta espessura implica uma carga distribuída majorada de:
P�� � 1.35 j PPmk[l W 1.5 j 2�� W 1.5 j �� � 1.35 j 0.25 j 25 W 1.5 j 1.5 W 1.5 j 5 � 18.2f,/aI
O que resulta no seguinte diagrama de momentos para uma secção tipo da laje da escada.
Figura 4.23 – Cálculo de momentos na laje da escada considerando um modelo bi-apoiado
Com o objectivo de garantir à laje uma boa ductilidade e evitar grandes densidades de armaduras
(critério de economia e qualidade de execução) deve-se verificar � R 0.18.
� � )+�5 j �I j 8�� � 134.81 j 0.21I j 16.67 j 1000 � 0.18
[Condição satisfeita]
M = 134.8 kN.m/m
psd = 18.2 kN/m2
43
5 MODELAÇÃO DA ESTRUTURA
As constantes alterações que um projecto sofre, influenciadoras da solução estrutural, bem como as
pressões económicas que se reflectem em prazos, requerem uma ferramenta que permita um eficaz
processamento de dados e rápidas alterações às estruturas. A engenharia de estruturas actual não
dispensa por isso a utilização de programas de cálculos automático para a sua análise. Assim, foi
utilizado o programa tridimensional de elementos finitos SAP2000 – Structural Analysis Program 2000
na elaboração do modelo do edifício.
Embora seja possível abordar os esforços dos vários elementos estruturais através de cálculos
manuais, apenas um modelo desta natureza consegue simular convenientemente o comportamento
dinâmico global da estrutura, bem como os modos de vibração desta com as respectivas frequências
próprias associadas. Este tipo de ferramenta permite igualmente um acesso rápido aos esforços a
que a estrutura se encontra submetida, facilitando o processo de verificação da segurança da
estrutura.
No presente capítulo são apresentados os critérios e a forma como os diferentes elementos
estruturais e acções foram simulados, de forma a montar o modelo 3d da estrutura mais próximo da
realidade possível.
É importante salientar que apenas se apresenta o modelo final da estrutura. Este sofreu várias
alterações desde a fase de pré-dimensionamento, tendo sofrido alterações ao nível de secções de
pilares, vigas e lajes e mesmo a sua localização. O modelo passou assim por um processo de
refinamento até se chegar ao produto final.
Apresentam-se de seguida uma imagem do modelo final:
Figura 5.1 – Modelo tridimensional de elementos finitos
44
5.1 GEOMETRIA
5.1.1 MALHA
A malha consiste numa grelha tridimensional onde se desenha a geometria da estrutura. O facto do
edifício em estudo apresentar dois planos de orientação distintos (figura 5.2) levou à necessidade da
criação de duas malhas, uma vez que a utilização de apenas uma levaria a uma malha extremamente
refinada, dificultando a sua leitura.
Figura 5.2 – Diferentes orientações dos elementos visíveis ao nível do piso 1
Desta forma foram criadas no modelo duas malhas, uma com um alinhamento segundo as
orientações X e Y do programa e outra com uma rotação aproximada a 17º relativamente ao eixo
global.
O facto de se ter adoptado uma solução de laje aligeirada influenciou desde logo a sua geometria.
Tendo em conta que o espaçamento das nervuras corresponde a 0.80m foi pensada de início uma
malha onde os afastamentos de pilares tivessem espaçamentos múltiplos preferenciais de 0.80m, ou
0.40m. Esta medida facilitou em muito a modelação, uma vez que com esta aproximação diminuiu-se
significativamente o refinamento necessário da malha, principalmente na zona dos capitéis. O
Figura 5.3 – Malha Global vista em planta
Figura 5.4 – Malha a 17 Graus vista em planta
45
inconveniente desta simplificação reflecte-se no facto de o modelo não corresponder exactamente à
realidade, no entanto o erro máximo corresponde a 0.20m o que se considerou aceitável.
Na zona da entrada da garagem onde existe um muro circular, foi necessária a criação de uma malha
de coordenadas cilíndricas que permitisse uma melhor representação da forma curvilínea deste.
Figura 5.5 – Malha de coordenadas cilíndricas para definição do muro na zona da garagem
5.2 ELEMENTOS ESTRUTURAIS
5.2.1 PILARES E VIGAS
Os pilares e vigas existentes na estrutura foram simulados como elementos de barra. Estes
correspondem a elementos finitos com dois nós, um em cada extremidade, tendo cada um deles 6
graus de liberdade, 3 de translação e 3 de rotação.
Figura 5.6 – Elemento de barra com os nós de extremidade evidenciados a verde
5.2.2 LAJES E MURO
As lajes foram simuladas através de elementos finitos de casca de 3 e 4 nós, tendo cada nó, à
semelhança dos nós dos elementos de barra, 6 graus de liberdade. No domínio dos elementos finitos
de casca existem 2 tipos diferentes: laje fina e laje espessa. No modelo foi adoptada a laje fina, que
se baseia na teoria de Kirchhoff onde, ao contrário da teoria de laje espessa, não permite a
consideração do efeito da deformabilidade por esforço transverso. A sua utilização é aconselhável
sempre que a espessura a relação vão/espessura seja maior que 10.
46
Figura 5.7 – Elemento de casca com os nós de extremidade evidenciados a verde
No modelo são consideradas dois tipos diferentes de lajes: lajes maciças e lajes aligeiradas. Uma vez
que o programa utilizado não tem uma aplicação directa para a simulação deste segundo tipo de laje,
foi considerado um mesmo elemento com duas alturas independentes, uma correspondente à área
equivalente e outra altura correspondente à inércia equivalente.
Figura 5.8 – Discretização da laje aligeirada do piso 0 com os capitéis e maciçamentos a verde-escuro
No quadro de definição destes elementos preencheu-se o campo de membrana com a altura
correspondente à área equivalente e o campo de flexão com a altura que corresponda à inércia
equivalente. No caso das lajes maciças e capitéis estes campos são preenchidos com o mesmo valor
– a própria espessura da laje. No quadro seguinte estão apresentadas a área e inércia equivalentes
tabeladas para as diferentes alturas de lajes utilizadas:
Altura total laje aligeirada Área equivalente Inércia equivalente
H = 40 cm 1318 cm2 151574 cm
4
H = 50 cm 1562 cm2 301779 cm
4
Ora, estes valores correspondem a uma largura de 0.80m (afastamento entre nervuras) e devem ser
por isso convertidos a uma largura unitária. Tem-se assim uma altura h equivalente a uma laje maciça
com a mesma área da laje aligeirada de:
47
©ª«¬\�.�~ � �®�¯�. ¯ j ��¥ � | j °ª« ±°ª« � �. �²�~ ©ª«¬\�.��~ � ��²³�. ¯ j ��¥ � | j °ª« ±°ª« � �. ���~
E uma altura h equivalente a uma laje maciça com a mesma inércia da laje aligeirada de:
´ª«¬\�.�~ � ����µ�. ¯ j ��¥¯ � | j °ª«®�³ ± °ª« � �. ³¯®~ ´ª«¬\�.��~ � ®��µµ��. ¯ j ��¥¯ � | j °ª«®�³ ± °ª« � �. ®�²~
Estes elementos de casca foram modeladas preferencialmente com elementos quadrados de
0.8x0.8m2 o que tornou a modelação mais simples ao nível das lajes, como explicado no ponto 5.1.
As lajes do piso -1 e rampa não foram modeladas por se encontrarem ao nível do terreno.
O muro foi simulado à semelhança das lajes com elementos de casca.
5.2.3 NÚCLEO
O núcleo foi simulado através de um elemento de barra com as características geométricas
semelhantes à sua configuração. Deste modo o programa admite um elemento de barra com as
propriedades tais como a área, a inércia ou o modo de flexão equivalentes.
Figura 5.9 – Geometria do núcleo em planta
Ao representar estes elementos desta forma foi necessário introduzir elementos de barra, ao nível de
cada piso, rígidos à torção e à flexão de forma a compatibilizar os deslocamentos (de torção, flexão e
translação) com os elementos de casca adjacentes. De modo a conferir a estes elementos uma
rigidez praticamente infinita (quando comparada com a dos restantes elementos), alterou-se nas
propriedades da secção o coeficiente multiplicador da constante de torção e do momento de inércia
em torno dos eixos 2 e 3, para um factor de 1000. O peso e a massa foram reduzidos para um valor
perto de zero por forma a não serem contabilizados.
48
Figura 5.10 – Elementos de barra rígidos ao nível dos pisos
Cada elemento de barra rígido é ligado ao nó da extremidade do elemento vertical que simula o
núcleo através duma compatibilização dos deslocamentos entre estes elementos.
5.2.4 CABOS DE PRÉ-ESFORÇO
Relativamente aos cabos de pré-esforço, estes não foram de facto modelados, foram sim modeladas
as cargas equivalentes ao pré-esforço aplicadas sob a forma de cargas nodais e cargas em “faca” em
elementos de barra fictícios, cujas propriedades de esforço axial, esforço transverso, momentos,
massa e peso foram reduzidas para valores próximos de zero, constituindo assim apenas um
elemento para localização da carga sem influência alguma a nível de rigidez.
No caso da cobertura, onde os cabos de pré-esforço são parabólicos, considerou-se a carga em
“faca” aplicada ao longo do cabo de pré-esforço e as cargas pontuais nas extremidades deste.
Figura 5.11 – Cargas em “faca” referentes ao pré-esforço na laje de cobertura
Figura 5.12 - Cargas nodais referentes ao pré-esforço na laje de cobertura
49
Uma vez que nos restantes pisos os cabos de pré-esforço têm traçados trapezoidais, os elementos
de barra fictícios foram colocados na direcção transversal aos cabos passando na linha onde as
cargas nodais equivalentes de pré-esforço se encontram.
Figura 5.13 – Cargas em “faca” na direcção perpendicular referentes ao pré-esforço no piso 0
5.3 CONDIÇÕES DE FUNDAÇÃO
Com as informações obtidas pelo relatório geotécnico admitiu-se o terreno com capacidade suficiente
para absorver os esforços dos elementos verticais da estrutura, todos estes elementos foram
simulados como totalmente encastrados na base.
5.4 ACÇÕES
5.4.1 CARGAS DOS PAVIMENTOS
As cargas referentes às restantes cargas permanentes e sobrecargas foram simuladas como cargas
uniformemente distribuídas nos elementos de casca dos pisos.
5.4.2 ESCADAS
Face ao tipo de análise que se pretende estudar, o elemento global das escadas não será totalmente
modelado, prendendo-se apenas a representação das cargas destes elementos sobre as lajes onde
assentam. Este facto deve-se à observação continuada de que este tipo de elementos entra em
rotura logo nos primeiros instantes do sismo. Pela sua configuração geométrica é fácil perceber que
efectivamente a capacidade resistente a acções horizontais este elemento é praticamente nula, pelo
que é preferível não entrar em linha de conta com a sua contribuição no modelo global. O facto de se
considerarem as escadas nos modelos globais pode originar acréscimos de resistência que na
realidade não existem, tornando o modelo menos conservativo. Os cálculos referentes às escadas
são geralmente efectuados à mão.
50
Contudo, as cargas que estes elementos provocam na restante estrutura não podem ser
desprezadas, deste modo foram modelados elementos de barra fictícios com o intuito de representar
as cargas referentes às escadas (peso próprio, restantes cargas permanentes e sobrecarga).
Posteriormente foram aplicadas nesses elementos as cargas provenientes das escadas sob forma de
cargas em “faca”.
Figura 5.14 – Aplicação das cargas referentes ao peso próprio das escadas ao nível dos pisos 0 e 1
5.4.3 PAREDES DE ALVENARIA EXTERIORES
As paredes de alvenaria exteriores foram simuladas com cargas distribuídas em “faca” sobre as vigas
onde estas descarregam. No caso de existirem paredes de alvenaria numa zona sem viga foram
criados elementos de barra fictícios.
Figura 5.15 – Cargas referentes às paredes de alvenaria exteriores aplicadas no piso 1
51
5.4.4 IMPULSOS DO TERRENO
Os impulsos do terreno foram simulados através de uma carga triangular aplicada ao nível dos
elementos de casca.
Figura 5.16 – Distribuição dos impulsos do terreno no muro
5.4.5 SISMO
Uma vez inseridos os espectros definidos no capítulo Critérios Gerais de Dimensionamento, foram
criadas análises espectrais para cada tipo de sismo segundo as direcções X e Y. Aplicando o
coeficiente de 0.57 para as direcções X e Y e o coeficiente 0 para a direcção vertical, resultam as
seguintes análises espectrais: SISMO-X1; SISMO-X2; SISMO-Y1; SISMO-Y2. O valor de 0.57 foi
obtido através da divisão do coeficiente de sismicidade @ � 1 pelo coeficiente de comportamento D � 1.75.
Na definição da acção sísmica houve que ter em conta que as repostas máximas para cada modo de
vibração em cada uma das direcções não acontecem em simultâneo, tendo para tal que se proceder
à sua combinação. Relativamente à combinação direccional, utilizou-se a RQSQ (Raiz Quadrada da
Soma dos Quadrados), correspondendo no fundo à combinação geométrica dos esforços nas duas
direcções. Este corresponde ao resultado pretendido, uma vez que um sismo actuando numa
direcção também provoca esforços na outra direcção, sendo por isso necessária a sua combinação.
Em relação à combinação modal, optou-se pela CQC (Combinação Quadrática Completa), sendo
mais apropriada, que a RQSQ, para uma análise tridimensional com frequências de vibração
próximas, permitindo assim correlacionar os esforços obtidos para os diferentes modos de vibração.
5.5 PORMENORES DE APLICAÇÃO
A dobra vertical existente a unir as lajes dos pisos de cobertura necessitou uma atenção especial em
termos de modelação. Inicialmente foi simulada com elementos de casca, no entanto foi alterada para
uma viga aplicada ao nível da laje de cobertura superior e ligada à laje inferior através de tirantes
52
axialmente rígidos com o objectivo de transmitir as cargas desta segunda laje para a viga. Desta
forma, consegue-se uma análise consideravelmente mais simples, pois pode-se assim armar a banda
como uma viga.
Figura 5.17 – Tirantes axialmente rígidos a ligar a viga na laje de cobertura superior à laje de cobertura inferior
5.6 VALIDAÇÃO DO MODELO
Os programas de cálculo de estruturas são ferramentas poderosas que vieram auxiliar em muito a
vida do engenheiro de estruturas actual. Cálculos complexos que antigamente levavam bastante
tempo a ser efectuados à mão, são agora executados numa questão de segundos e com grande
precisão. No entanto, estes programas podem ser uma ferramenta perigosa se o engenheiro confiar
em resultados que não sejam precisos.
Vários são os erros que se podem dar na criação do modelo e levar a esforços e deformadas irreais.
Torna-se assim necessária uma validação do modelo, confirmando a correcta inserção dos dados, de
maneira a permitir uma total confiança nos resultados devolvidos pelo programa, uma vez que deste
depende o dimensionamento e a segurança da estrutura. A validação do modelo consiste em
comparar a geometria, esforços ou deformadas obtidas no modelo com os valores que seriam
expectáveis.
5.6.1 VALIDAÇÃO DA GEOMETRIA
Uma verificação simples consiste em comparar as cargas verticais devolvidas pelo modelo com o
cálculo do peso da estrutura, através da determinação do seu volume.
Peso total da estrutura por cálculos manuais: A¶l9㤠j ¸4��mkbl� W 4�ú�ml¤ W 4n�Bk� W 4mk[l� W 4�<b¤º �25 j M74 W 22 W 46 W 672 W 140N � 23850 f,
Peso total pelo modelo: 24252 f,
Tem-se assim um erro de:»I¦¼½/¥I¾I½II¾I½I » � 1.64%
Através deste valor consegue-se aferir que geometricamente o modelo está validado.
53
5.6.2 VALIDAÇÃO DAS CARGAS
Através da comparação entre os cálculos manuais das reacções induzidas pelas cargas aplicadas e
as reacções obtidas no modelo, consegue-se verificar se estas estão bem introduzidas. Como
exemplo, mostra-se a verificação para a carga referente à sobrecarga.
Basta multiplicar as diferentes sobrecargas aplicadas pelas áreas correspondentes e comparar com
as reacções obtidas no modelo.
Reacção vertical obtida por cálculo manual: �� j M����¤ / W ¸����¤ : L �k���9lk9b¤N W ����¤ Iº W��k���9lk9b¤ j �k���9lk9b¤ � 3 j M840 W M520 L 190N W 260N W 4 j 190 � 5050 f,
Reacção vertical obtida pelo modelo: 4941 f,
Tem-se assim um erro de:»½/½/¥¾¿¾:¾¿¾: » � 2.22%
Repetindo estes passo para as restantes acções, ficam assim verificadas as cargas introduzias no
modelo.
5.6.3 VALIDAÇÃO DOS ESFORÇOS
A laje de cobertura representa a zona do edifício com a geometria mais simples, apesar de
apresentar aberturas. Devido à sua forma com uma lado aproximadamente duas vezes maior que o
outro, o seu comportamento é de flexão cilíndrica. A combinação de estados limites últimos com a
acção variável base de sobrecarga devolve o seguinte diagrama de momentos na direcção 2-2:
Figura 5.18 – Diagrama de momento na direcção 2-2 da laje de cobertura para a combinação ELU1
Considerando um modelo bi-apoiado, obtém-se um valor de momentos semelhante ao do modelo:
)+� � À1.35 j PPmk[l W 1.5 j M2�� W ���¤¶NÁ j %I8 � v1.35 j 25 j 0.4 W 1.5 j M2 W 1Nz j 10. 4I8 � 244f,a
kN.m-250 -212 -173 -135 -96 -58 -19 19 58 96 135 173 211 250
54
Outros tipos de verificação possíveis seriam a comparação da carga axial em pilares, comparação de
momentos e esforço transverso em vigas ou de momentos em muros devido aos impulsos do terreno.
5.6.4 VALIDAÇÃO DAS DEFORMADAS
Resta apenas verificar se a deformada da estrutura apresenta uma forma esperada. Apresentando
uma deformada exagerada referente à sobrecarga de cobertura apenas no piso 1, é visível que as
zonas afectadas são efectivamente as zonas de cobertura e não as restantes.
Figura 5.19 – Deformada do piso 1 referente à sobrecarga de cobertura
Através da apreciação destes resultados pode-se aferir que o modelo é adequado à solução
estrutural adoptada e que as cargas estão correctamente introduzidas, o modelo está validado.
55
6 ANÁLISE SÍSMICA
Portugal continental apresenta uma actividade sísmica que resulta da sua proximidade geográfica da
fronteira entre as placas tectónicas Euro-asiática e Africana. Uma região que se estende desde
Gibraltar até ao arquipélago dos Açores, onde se encontra uma outra placa, a Norte Americana.
Figura 6.1 – Enquadramento tectónico de Portugal continental. As placas tectónicas indicadas são: NA (Norte
Americana), EU (Euro-asiática) e AF (Africana)
Tendo em conta que os sismos representam um dos fenómenos naturais mais imprevisíveis e de
elevado poder destrutivo que se abatem sobre as estruturas, torna-se fundamental ter em atenção,
aquando da elaboração do projecto de edifícios, os efeitos produzidos pela sua acção. Desta forma,
devem ser tomados certos cuidados que condicionam o comportamento duma estrutura perante a
acção sísmica, com o objectivo de na eventualidade da ocorrência de tal fenómeno, existirem
capacidades estruturais que permitam garantir a segurança das vidas humanas, limitar as perdas
materiais e económicas e ainda assegurar o funcionamento de instalações de protecção civil
importantes.
Para que uma estrutura apresente um bom comportamento sísmico devem ser respeitadas certas
condições a nível de concepção estrutural tais com simplicidade estrutural, uniformidade, simetria e
redundância, resistência e rigidez bidireccionais, resistência e rigidez à torção, comportamento de
diafragma ao nível dos pisos, fundações adequadas, um crescimento em altura simétrico e regular,
não existência de cantos reentrantes ou o posicionamento favorável de elementos de elevada rigidez.
6.1 COMENTÁRIOS AO COMPORTAMENTO SÍSMICO DO EDIFÍCIO EM ESTUDO
A concepção estrutural do edifício em análise procurou uma solução que o dotasse de um bom
comportamento dinâmico. No entanto, foram várias as adversidades encontradas na sua formulação
devido às imposições da sua arquitectura que, como foi já explicado no capítulo Solução Estrutural,
condicionou bastante a solução estrutural, pelo que a liberdade de escolha de dimensões, geometria
e localização de pilares e núcleo foi diminuta.
56
Como características sismicamente desfavoráveis apresentadas no projecto de arquitectura
enunciam-se:
• Localização assimétrica do núcleo;
• Localização do muro de entrada do estacionamento e muro do lado Norte/Nordeste;
• Recuo assimétrico de mais de metade da área em planta ao nível do piso 2;
• Grande abertura no piso 1;
• Canto reentrante constante nos pisos -1, 0 e 1;
• Aumento de área do piso na zona Sudoeste do piso -1 para o piso 0;
• Configuração assimétrica;
• Geometria que traduz quatro direcções principais de inércia diferentes.
A localização assimétrica do núcleo (dependente da localização da caixa do elevador) caracteriza um
dos maiores problemas a nível de comportamento sísmico da estrutura, uma vez que “puxa” o centro
de rigidez da estrutura para junto da sua localização, afastando-o do centro de massa.
O recuo existente no piso 2 é outra das principais características arquitectónicas desfavoráveis à
resposta sísmica do edifício. Para além de ser bastante significativo (cerca de 55% da área em
planta) este apresenta-se num dos cantos, o que o torna assimétrico nas duas direcções. O facto de
o centro de rigidez se encontrar nesta zona, contribui para um aumento da sua excentricidade já que
os pilares que “puxavam” o centro de rigidez para o centro de massa desaparecem.
A grande abertura existente no piso 1 claramente cria problemas sísmicos. Com esta concepção a
transmissão das forças de inércia para os elementos estruturais verticais deixa de ser uniforme.
O canto reentrante que se verifica nos pisos -1, 0 e 1 acaba por não ser muito preocupante devido à
sua dimensão diminuta relativamente à estrutura global, no entanto, é uma zona com atenção
redobrada.
No projecto de arquitectura é possível verificar que existe um aumento da área do piso no lado
Sudoeste do piso -1 para o piso 0. De maneira a contornar esta questão, foi considerado manter a
configuração do piso 0 também no piso -1. Desta forma não só se melhora o comportamento às
acções horizontais como às acções verticais e ainda se ganha espaço no piso de estacionamento.
A assimetria geométrica do edifício conduziu também a uma inevitável assimetria estrutural, o que
levou a um comportamento sísmico menos previsível e com uma análise mais complexa.
57
Figura 6.2 – Diferentes alinhamentos de pilares orientados segundo as quatro direcções principais de inércia
Como se pode verificar, o projecto de arquitectura não apresenta um edifício pensado para resistir
confortavelmente às acções sísmicas, no entanto, cabe ao engenheiro de estruturas conceber a
melhor solução estrutural sem excessivos gastos económicos.
Como foi já explicado o posicionamento do núcleo foi condicionada unicamente pela posição da caixa
de elevador. Esta localização determinou que o centro de rigidez se aproxima-se deste elemento,
afastando-se do centro de massa. Desta forma, procurou-se levar novamente o centro de rigidez para
o centro de massa introduzindo elementos de maior rigidez (paredes) no lado oposto ao núcleo.
Infelizmente tal não foi possível, pois causaria alterações consideráveis na arquitectura.
Os pilares dos eixos 2, 4 e 5 seriam preferíveis se estivessem orientados com a direcção de maior
inércia segundo a menor direcção do edifício. Tal não se verificou para os pilares do eixo 2 que,
devido a questões de arquitectura, se encontram orientados segundo a direcção do muro, no entanto
os pilares do eixo 4 cumprem este requisito. Os pilares do eixo 5 apresentam inércias muito
semelhantes nas duas direcções, pelo que não se considerou preocupante orientá-los na direcção
menos favorável.
6.2 FREQUÊNCIAS, FACTORES DE PARTICIPAÇÃO DE MASSA E MODOS DE VIBRAÇÃO
Da análise dinâmica da estrutura obtêm-se os modos de vibração, correspondentes às diferentes
configurações das deformadas de vibração e as frequências próprias associadas. Estes foram
determinados por intermédio do programa de cálculo automático que elabora as matrizes de rigidez e
de massa necessárias a essa análise. Desta forma, obtiveram-se os valores das frequências próprias
e dos factores de participação de massas (para cada direcção espacial), bem como a deformada
referente a cada modo.
A resposta global da estrutura deve ser avaliada em função dos principais modos de vibração, ou seja
aqueles que envolvem uma maior participação de massa da estrutura. Ao primeiro modo de vibração
corresponde o maior período, ordenando-se os modos por ordem crescente a partir deste, com
períodos sucessivamente decrescentes. O período representa assim a quantidade de tempo que a
estrutura demora a completar um ciclo de oscilação em regime elástico livre.
A frequência, que corresponde ao inverso do período, representa a grandeza física que indica o
número de ocorrências de um ci
for uma estrutura, maior será a sua frequência. Atendendo
correspondem àqueles em que a estrutura oferece menos resistência para se deformar,
aumenta sucessivamente com o aumentar dos
própria fundamental duma estrutura
seja, a mais baixa.
Figura 6
Na seguinte tabela constam as frequências e períodos, bem como os valores dos factores de
participação modal, que indicam a percentagem de contribu
Períodos, Frequências e Factores de Participação Modal
Modo Período [s] Frequência [Hz]
1 0.51
2 0.43
3 0.34
4 0.20
5 0.17
6 0.16
7 0.15
8 0.14
Tabela 6.1 – Períodos,
Estrutura Alta
Estrutura Baixa
58
A frequência, que corresponde ao inverso do período, representa a grandeza física que indica o
número de ocorrências de um ciclo em determinado intervalo de tempo. Ou seja, quanto mais rígida
for uma estrutura, maior será a sua frequência. Atendendo que os primeiros modos de vibração
correspondem àqueles em que a estrutura oferece menos resistência para se deformar,
com o aumentar dos modos de vibração. Relativamente á
duma estrutura, esta corresponde à frequência do primeiro modo de vibração, ou
6.3 – Frequência de diferentes tipos de estruturas
as frequências e períodos, bem como os valores dos factores de
participação modal, que indicam a percentagem de contribuição das massas para cada modo.
dos, Frequências e Factores de Participação Modal
Frequência [Hz] Ux Uy sum Ux sum Uy Rz
1.97 16.3% 15.5% 16.3% 15.5% 0.0%
2.30 16.1% 28.9% 32.4% 44.4% 36.1%
2.90 16.2% 0.5% 48.6% 44.9% 1.4%
5.03 3.0% 2.4% 51.7% 47.3% 0.0%
5.94 0.0% 0.7% 51.7% 48.0% 1.3%
6.17 0.0% 0.1% 51.7% 48.0% 0.0%
6.61 0.6% 7.5% 52.3% 55.5% 8.6%
7.34 6.2% 0.1% 58.5% 55.5% 0.1%
Períodos, Frequências e Factores de Participação Modal
Estrutura Flexível
Frequência Baixa
Estrutura Rígida
Frequência Alta
A frequência, que corresponde ao inverso do período, representa a grandeza física que indica o
clo em determinado intervalo de tempo. Ou seja, quanto mais rígida
os primeiros modos de vibração
correspondem àqueles em que a estrutura oferece menos resistência para se deformar, a frequência
Relativamente á frequência
corresponde à frequência do primeiro modo de vibração, ou
as frequências e períodos, bem como os valores dos factores de
ição das massas para cada modo.
sum Rz
0.0%
36.1%
37.5%
37.6%
38.9%
38.9%
47.6%
47.7%
Frequências e Factores de Participação Modal
Gráfico 6.1 – Percentagem
Gráfico
Nesta análise foram considerados os primeiros 8 modos de vibração onde 58.5% da massa total é
mobilizada em segundo x, 55.5% é mobilizada em y e 47.7% é mobilizada segunda uma rotação em
torno de z. Estes valores correspondem à massa que efectivamente vibra.
Os valores apresentados, à partida, não seriam suficientes para efectuar uma boa análise dos
resultados. Numa análise desta
ordem dos 90% (principalmente nos de translação). A razão pela qual estes valores não são
atingidos, deve-se ao facto de o piso
contraventa a ele próprio e restringe os deslocamentos da laje do piso 0. I
percentagem da massa que não pode ser mobilizada
a confirmar a percentagem de massa acima do solo que efectivamente é mobilizada, foi elaborado
um modelo que começa no piso 0. Ou s
pilares foram todos encastrados na base
massa segundo as translações x e y e a rotação em z de 89.3%,
0.0%
20.0%
40.0%
60.0%
0 1
%
Factores de Participação Modal
Ux Uy
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
0 1
s
59
Percentagem de participação modal por modo e acumulada
Gráfico 6.2 – Períodos e frequências por modo
Nesta análise foram considerados os primeiros 8 modos de vibração onde 58.5% da massa total é
mobilizada em segundo x, 55.5% é mobilizada em y e 47.7% é mobilizada segunda uma rotação em
stes valores correspondem à massa que efectivamente vibra.
, à partida, não seriam suficientes para efectuar uma boa análise dos
resultados. Numa análise desta natureza esperam-se obter valores de participação de massa na
0% (principalmente nos de translação). A razão pela qual estes valores não são
se ao facto de o piso -1 ser totalmente enterrado e ter um muro a toda a volta que se
contraventa a ele próprio e restringe os deslocamentos da laje do piso 0. Isto é, existem
percentagem da massa que não pode ser mobilizada – o muro do piso -1 e a laje do piso 0. Por forma
a confirmar a percentagem de massa acima do solo que efectivamente é mobilizada, foi elaborado
um modelo que começa no piso 0. Ou seja, o muro do piso -1 e a laje do piso 0 foram apagados e os
foram todos encastrados na base. Com este modelo obtém-se valores de participação de
massa segundo as translações x e y e a rotação em z de 89.3%, 81.4% e 71%, respectivamente.
2 3 4 5 6 7
Modo
Factores de Participação Modal
Uy Rz sum Ux sum Uy sum Rz
2 3 4 5 6 7Modo
Perídos e Frequências
Período Frequência
por modo e acumulada
Nesta análise foram considerados os primeiros 8 modos de vibração onde 58.5% da massa total é
mobilizada em segundo x, 55.5% é mobilizada em y e 47.7% é mobilizada segunda uma rotação em
, à partida, não seriam suficientes para efectuar uma boa análise dos
se obter valores de participação de massa na
0% (principalmente nos de translação). A razão pela qual estes valores não são
enterrado e ter um muro a toda a volta que se
sto é, existem uma grande
1 e a laje do piso 0. Por forma
a confirmar a percentagem de massa acima do solo que efectivamente é mobilizada, foi elaborado
1 e a laje do piso 0 foram apagados e os
se valores de participação de
81.4% e 71%, respectivamente.
0.0%
20.0%
40.0%
60.0%
8
% a
cum
ula
da
sum Rz
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
8
Hz
60
Conclui-se assim que esta percentagem se revela suficiente para uma avaliação da resposta
dinâmica da estrutura.
Figura 6.4 – Modelo encastrado ao nível do piso 0
No que diz respeito às deformadas dos modos de vibração, estes não correspondem ao que se
esperaria avaliando os factores de participação modal. De facto, e como já foi mencionado, o edifício
apresenta uma configuração bastante irregular e ainda uma série de características sísmicamente
menos favoráveis, pelo que a sua avaliação sísmica se tornou mais complexa e imprevisível.
Apesar do no primeiro modo o factor de participação de massa em torno de z ser nulo, a sua
configuração deformada apresenta uma clara rotação em torno do centro de rigidez (junto do núcleo),
sem translação aparente. No segundo modo, onde a participação de massa em torno de z
corresponde à mais elevada, verifica-se apenas translação na direcção da menor inércia da estrutura.
Finalmente o terceiro modo apresenta uma translação segundo X, conforme indiciado nos factores de
participação modal, e encontra-se associado a uma ligeira rotação do edifício.
Figura 6.5 – Primeiro modo de vibração visto em planta 3d
Figura 6.6 – Primeiro modo de vibração visto em perspectiva 3d
61
Figura 6.7 – Segundo modo de vibração visto em planta 3d
Figura 6.8 – Segundo modo de vibração visto em perspectiva 3d
Figura 6.9 – Terceiro modo de vibração visto em planta 3d
Figura 6.10 – Terceiro modo de vibração visto em perspectiva 3d
62
6.3 COEFICIENTE SÍSMICO
Como consta no artigo 31º do RSA, “o coeficiente sísmico (β), segundo uma dada direcção, é um
coeficiente que, multiplicando o valor das acções gravíticas correspondentes às cargas permanentes
e ao valor quase permanente das cargas variáveis (FV), define o valor característico da resultante
global das forças estáticas (FE) que, convenientemente distribuídas pela estrutura, permitem
determinar os efeitos da acção dos sismos na direcção considerada”, o que se traduz na seguinte
expressão:
 � �̂�à (6.1)
Foram então calculados os valores dos coeficientes sísmicos para cada direcção e tipo de sismo. Do
modelo foram obtidas as reacções derivadas das acções sísmicas consideradas – SISMO-X1,
SISMO-X2, SISMO-Y1 e SISMO-Y2, bem como a força FV para a combinação quase permanente
(ELS3).
Acção Sísmica Direcção FE [kN] FV [kN] β
Sismo-X1 X 1600.27
23015.97
0.069 Y 987.94
Sismo-X2 X 1129.26
0.049 Y 748.78
Sismo-Y1 X 988.00
0.074 Y 1700.04
Sismo-Y2 X 748.90
0.055 Y 1256.61
Tabela 6.2 – Coeficientes sísmicos para as diferentes acções sísmicas e direcções
De acordo com o artigo 31º do RSA o valor do coeficiente sísmico deve situar-se entre 0.04@ e 0.16@
(α=1.0). Como verificado, todos os valores se encontram dentro dos limites.
63
7 HIPÓTESES DE CÁLCULO PARA A VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA
Uma estrutura, ou parte dela, atinge um estado limite quando, de modo efectivo ou convencional, se
torna inutilizável ou quando deixa de satisfazer as condições previstas para a sua utilização.
Depreende-se naturalmente dos requisitos esperados para uma estrutura, que a mesma deve reunir
as condições adequadas para garantir a segurança, funcionalidade e durabilidade, de modo a atender
às necessidades para as quais foi projectada. Logo, quando uma estrutura deixa de atender a
qualquer uma destas condições, considera-se que atingiu um estado limite. Desta forma, uma
estrutura pode atingir um estado limite de ordem estrutural ou de ordem funcional, distinguindo-se os
seguintes estados limite a verificar:
• Estados Limites Últimos;
• Estados Limites em Serviço.
No presente capítulo são explicados e/ou enunciados os cálculos efectuados no dimensionamento
apenas de elementos sujeitos a flexão composta e flexão simples, em função dos diferentes tipos de
solicitações, através da verificação da segurança aos estados limite.
7.1 VERIFICAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS
A verificação aos estados limites últimos (ELU) está relacionada ao colapso, ou a qualquer outra
forma de ruptura estrutural, que determine a incapacidade de uso da estrutura. Consiste assim, na
verificação da capacidade de carga dos elementos face às acções a que estão sujeitos. Uma vez que
diferentes elementos se encontram sujeitos a diferentes solicitações, as verificações necessárias para
cada elemento estrutural naturalmente que varia. Enunciam-se então os procedimentos de cálculos
para cada tipo de solicitação, cuja determinação da capacidade resistente de secções é efectuada
mediante a consideração das hipóteses de deformações limite no betão e nas armaduras
apresentadas no capítulo Critérios Gerais de Dimensionamento.
7.1.1 VERIFICAÇÃO À FLEXÃO SIMPLES
Na secção transversal de uma peça existe uma solicitação de flexão pura quando na mesma actua
apenas um momento flector. Neste caso as tensões normais de tracção e de compressão produzidas
pelo momento reduzem-se a um binário de forças equivalentes a um momento. Quando,
conjuntamente com o momento flector, actua uma força de corte, a solicitação passa a ser chamada
de flexão simples. A solicitação de flexão pode ser classificada de acordo com a direcção da
actuação das solicitações sobre a secção transversal da peça da seguinte forma:
64
• Recta (ou normal), quando a direcção da solicitação coincide com um dos dois eixos
principais de inércia da secção;
• Desviada, quando a direcção da solicitação não coincide com nenhum dos dois eixos.
Esta verificação consiste em garantir que o momento actuante é inferior ao momento resistente da
secção:
)+� R )*� (7.1)
Para o cálculo do momento flector resistente, recorreu-se ao método do diagrama rectangular que
permite simular, de forma simples, a resultante das tensões de compressão no betão. Este método
admite uma simplificação no diagrama de tensões de compressão no betão da seguinte forma:
Figura 7.1 – Simplificação do método do diagrama rectangular
Do que resulta:
Figura 7.2 – Diagrama de tensões na secção e posição da Linha Neutra (LN)
Admitindo que as armaduras se encontram em cedência, ou seja:
F� � 8;� M�� � �;�N (7.2)
É possível determinar a posição da linha neutra (LN) através do equilíbrio axial:
�� � �� � 0.858�� j 5 j 0.8� � �� j 8;� � � � �� j 8;�0.858�� j 5 j 0.8 (7.3)
Através do equilíbrio de momentos obtém-se o valor do momento resistente da secção:
)*� � �� j 8;� j M� L 0.4�N (7.4)
65
Sabendo a posição da LN, é possível apurar se a rotura convencional se dá pela armadura ou pelo
betão.
Figura 7.3 – Posição da LN para �� � 3.5‰ e para �� � 10‰
�3.5 � �13.5
Conclui-se assim que:
• Para � c 0.26� Ä�� c 3.5‰�� � 10‰� - rotura convencional pela armadura
• Para � � 0.26� Ä�� � 3.5‰�� c 10‰� - rotura convencional pelo betão
Atendendo a que a secção deve ser dotada de ductilidade em situação de rotura, ou seja, deve
apresentar deformações consideráveis por cedência das armaduras, sem no entanto haver uma
perda de resistência, dever-se-á garantir que as armaduras se encontram em cedência na situação
de rotura. Outra razão pela qual se deve garantir esta condição reside numa questão económica: a
armadura utilizada deve ser integralmente mobilizada e, portanto, aproveitada integralmente a sua
capacidade resistente.
No caso do aço em uso (A400NR – �;� � 1.74‰) a posição da LN deverá respeitar � c 0.67�.
Figura 7.4 – Posição da LN para �� � 3.5‰ e para �� � �;� �3.5 � �3.5 W 1.74 � � c 0.67�
66
O valor do momento resistente duma secção varia em função dos seguintes parâmetros:
• Armadura de tracção – Para o caso de momentos reduzidos, o momento resistente varia
duma forma quase proporcional à área de armadura. No entanto, para momentos elevados, a
variação é menos significativa.
• Armadura de compressão - A armadura de compressão é geralmente desprezada no cálculo
do momento resistente duma secção, podendo no entanto ser considerada no caso de
esforços muito elevados.
• Largura da secção – A largura da secção apresenta uma influência significativa apenas no
caso de esforços elevados. Para o nível de esforços usuais, em que geralmente a área
comprimida é pequena, a variação é pouco significativa.
• Classe do betão – A par do que se verifica para a largura da secção a sua influência é
importante apenas para esforços elevados.
7.1.2 VERIFICAÇÃO À FLEXÃO COMPOSTA
A flexão composta consiste numa actuação simultânea de flexão simples e compressão ou tracção.
Esta deve por isso ser verificada para elementos sujeitos a flexão simples com esforço axial não
desprezável. Em função das extensões máximas admitidas para os materiais, a figura 6.1 do EC2
mostra os pontos A, B e C de rotura admitidas para o aço e para o betão.
Figura 7.5 – Extensões admissíveis para o betão e para o aço
Os pontos apresentados correspondem aos seguintes limites de rotura:
• A – Extensão última do aço – 10.0 ‰
• B – Extensão última do betão – 3.5 ‰
• C – Extensão para a tensão máxima de compressão do betão – 2.0 ‰
67
Com base nestas extensões máximas dos dois materiais, podem ser definidas cinco zonas de
diagramas associados à rotura:
Figura 7.6 – Extensões limites para o betão e para o aço
1ª Zona – Zona com a secção totalmente traccionada. É ultrapassada a extensão limite de
tracção em toda a secção, posicionando-se a LN fora da secção. Este estado verifica-se para tracção
pura ou tracção com pequena excentricidade – (��: � 10 ‰, ��I R 10.0 ‰).
2ª Zona – Nesta zona é ultrapassada a extensão máxima de tracção apenas para a armadura
inferior, com a LN situada entre o bordo superior e uma altura corresponde a � � 0.26�, e com
extensões de encurtamento no betão inferiores à extensão última deste. Verifica-se para tracção e
compressão com grande ou média excentricidade – (��: � 10 ‰, ��M¥N R 3.5 ‰).
3ª Zona – Zona com a extensão máxima de encurtamento do betão atingida no extremo da
secção e extensão na armadura inferior à sua extensão limite mas superior a �;. Neste caso a LN
situa-se abaixo do limite correspondente a � � 0.26�. Este estado verifica-se, como o anterior, para
tracção e compressão com grande ou média excentricidade (�;� R ��: R 10 ‰, ��M¥N � 3.5 ‰).
4ª Zona – Zona semelhante à anterior mas com �;� R ��:. Esta caso acontece na actuação de
compressão com grande ou média excentricidade (��: R �;�, ��M¥N � 3.5 ‰).
5ª Zona – Nesta zona a secção encontra-se totalmente comprimida. A extensão de
compressão do betão é ultrapassada em toda a secção em simultâneo, situando-se a LN fora da
secção. Este estado verifica-se para compressão pura ou compressão com pequena excentricidade –
(2.0 ‰ R ��M�áÅN R 3.5 ‰).
As três primeiras zonas correspondem a zonas de rotura dúctil (�� � �;�), enquanto que as duas
restantes apresentam uma rotura frágil (�� c �;�).
Com base nos diferentes diagramas de rotura e através das condições de equilíbrio é possível
determinar o diagrama N-M resistente duma secção.
68
Figura 7.7 – Diagrama de extensões e forças numa secção de betão armado sujeita a flexão composta
Equações de Equilíbrio para o caso acima referido:
• Equilíbrio Axial: �� W ��I L ��: � ,b�
• Equilíbrio de Momentos: �� j �� W ��I j ��I � )b�
De notar que para um valor de ,+� fixo, o aumento de momento produz sempre um aumento da
armadura necessária. Para um valor fixo de )+�, o aumento do esforço axial é favorável até um limite
a partir do qual esse aumento passa a ser desfavorável.
Figura 7.8 – Limite de esforço axial favorável/desfavorável
Uma vez que a consulta de ábacos para a verificação à flexão composta implica um processo
moroso, foi elaborado um programa de cálculo automático para este tipo de verificação.
(tracção)
NDesfavorável
NFavorável
(compressão)
MRd
NRd
7.1.2.1 Programa de Verificação à Flexão Composta
Programado em linguagem de programação
programa elaborado permite determinar os esforços resistentes de
simetricamente armadas, nas duas direcções principais
processo:
Na primeira fase de Introdução de Dados
secção resistente, ou seja, a classe do betão, o tipo de aço, a altura e largu
recobrimento, o número de varões e ainda a quantidade de iterações pretendidas para o cálculo.
Figura 7.9 – Folha de introdução de dados e navegação do programa
•Classe do betão
•Tipo de aço
•Dimensões da secção
•Número e Φ dos varões
•Número de iterações
Introdução de Dados
•Determinação das extensões na secção
•Cálculo das tensões
•Cálculo da força e momento resistentes
Betão C25/30 b [m] 0.35
fck [MPa] 25 h [m] 0.7 x [m]
fcd [MPa] 16.67 c [m] 0.03 -0.15
Ec [Gpa] 31 nvarões b/t 4 -0.05
Aço A400NR esp. b/t 0.10 0.05
fyk [MPa] 400 nvarões lat. 7 0.15
fyd [MPa] 348 esp. lat. 0.11
Es [Gpa] 200 iterações h 40
εyd [%] 0.017 iterações b 25
CÁLCULO DE SECÇÃO RECTANGULAR RESISTENTE SUJEITA A FLEXÃO COMPOSTA
Armaduras base/topo
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
-0.50 -0.30 -0.10 0.10 0.30 0.50
Calcular Secção Apagar Varões
69
Programa de Verificação à Flexão Composta
Programado em linguagem de programação Visual Basic através do Microsoft Office Excel
programa elaborado permite determinar os esforços resistentes de secções
duas direcções principais (flexão bi-compsta). Este segue o seguinte
Introdução de Dados, o utilizador insere os dados necessários ao cálculo da
secção resistente, ou seja, a classe do betão, o tipo de aço, a altura e largu
recobrimento, o número de varões e ainda a quantidade de iterações pretendidas para o cálculo.
Folha de introdução de dados e navegação do programa
Determinação das extensões na secção
Cálculo das tensões
Cálculo da força e momento resistentes
Cálculo do Betão •Determinação das
extensões no aço
•Cáclulo das tensões
•Cálculo da força e momento resistentes
Cálculo do Aço
Φvarão [cm] y [m] Φvarão [cm] y [m] As [cm2] y' [m] As [cm
2]
16 0.14 12 0.03 6.28 0.03 9.68
12 0.24 12 0.14 2.26 0.13 2.26
12 0.35 12 0.24 2.26 0.22 2.26
16 0.46 12 0.35 2.26 0.32 9.68
0.56 12 0.46 2.26 23.88
0.56 2.26
0.67 6.28
23.88
CÁLCULO DE SECÇÃO RECTANGULAR RESISTENTE SUJEITA A FLEXÃO COMPOSTA
Armaduras base/topo Armaduras laterais Secção 0º Secção 90º
Microsoft Office Excel, o
secções rectangulares
. Este segue o seguinte
, o utilizador insere os dados necessários ao cálculo da
secção resistente, ou seja, a classe do betão, o tipo de aço, a altura e largura da secção, o
recobrimento, o número de varões e ainda a quantidade de iterações pretendidas para o cálculo.
Folha de introdução de dados e navegação do programa
•Soma dos esforços resistentes para cada diagrama de rotura
•Traçar do gráfico de secção resistente
Desenho do Gráfico
Calcular Betão e Aço
Calcular Aço
Dados Gráfico
Gráfico
Extensões de Rotura
Diagramas de Rotura - 0º
Diagramas de Rotura - 90º
Apresentação
Esforços
70
Com estes valores, são determinados automaticamente os valores de dimensionamento referentes
aos materiais, o espaçamento entre varões e, calculando no botão “Calcular Secção” o programa
devolve um gráfico com as dimensões da secção e a disposição dos varões. Finalmente, apresenta
uma zona para preenchimento dos diâmetros dos varões em função da sua posição (estes devem
estar simetricamente dispostos, relativamente aos seus diâmetros).
Considerando as zonas de rotura anteriormente apresentadas, são examinados no programa os 76
diferentes diagramas de extensões de rotura a seguir apresentados:
1ª Zona de Rotura
n εbase [%]
εtopo [%]
ybase [m]
ytopo [m]
yLN [m]
1 0.100 0.100 0.03 0.70
2 0.100 0.095 0.03 0.70
3 0.100 0.090 0.03 0.70
4 0.100 0.085 0.03 0.70
5 0.100 0.080 0.03 0.70
6 0.100 0.075 0.03 0.70
7 0.100 0.070 0.03 0.70
8 0.100 0.065 0.03 0.70
9 0.100 0.060 0.03 0.70
10 0.100 0.055 0.03 0.70
11 0.100 0.050 0.03 0.70
12 0.100 0.045 0.03 0.70
13 0.100 0.040 0.03 0.70
14 0.100 0.035 0.03 0.70
15 0.100 0.030 0.03 0.70
16 0.100 0.025 0.03 0.70
17 0.100 0.020 0.03 0.70
18 0.100 0.015 0.03 0.70
19 0.100 0.010 0.03 0.70
20 0.100 0.005 0.03 0.70
21 0.100 0.000 0.03 0.70 0.00
2ª Zona de Rotura
n εbase [%]
εtopo [%]
ybase [m]
ytopo [m]
yLN [m]
22 0.100 0.000 0.03 0.70 0.00
23 0.100 -0.005 0.03 0.70 0.03
24 0.100 -0.010 0.03 0.70 0.06
25 0.100 -0.015 0.03 0.70 0.09
26 0.100 -0.020 0.03 0.70 0.11
27 0.100 -0.025 0.03 0.70 0.13
28 0.100 -0.030 0.03 0.70 0.15
29 0.100 -0.035 0.03 0.70 0.17
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
-0.0400.0100.0600.110
h [m]
extensões [%]
Diagrama de Extensões de Rotura - 1ª zona
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
-0.0400.0100.0600.110
h [m]
extensões [%]
Diagrama de Extensões de Rotura - 2ª zona
71
3ª e 4ª Zona de Rotura
n εbase [%]
εtopo [%]
ybase [m]
ytopo [m]
yLN [m]
30 0.100 -0.035 0.03 0.70 0.17
31 0.095 -0.035 0.03 0.70 0.18
32 0.090 -0.035 0.03 0.70 0.19
33 0.085 -0.035 0.03 0.70 0.20
34 0.080 -0.035 0.03 0.70 0.20
35 0.075 -0.035 0.03 0.70 0.21
36 0.070 -0.035 0.03 0.70 0.22
37 0.065 -0.035 0.03 0.70 0.23
38 0.060 -0.035 0.03 0.70 0.25
39 0.055 -0.035 0.03 0.70 0.26
40 0.050 -0.035 0.03 0.70 0.28
41 0.045 -0.035 0.03 0.70 0.29
42 0.040 -0.035 0.03 0.70 0.31
43 0.035 -0.035 0.03 0.70 0.34
44 0.030 -0.035 0.03 0.70 0.36
45 0.025 -0.035 0.03 0.70 0.39
46 0.020 -0.035 0.03 0.70 0.43
47 0.015 -0.035 0.03 0.70 0.47
48 0.010 -0.035 0.03 0.70 0.52
49 0.005 -0.035 0.03 0.70 0.59
50 0.000 -0.035 0.03 0.70 0.67
51 0.000 -0.035 0.024 0.70 0.68
52 0.000 -0.035 0.018 0.70 0.68
53 0.000 -0.035 0.012 0.70 0.69
54 0.000 -0.035 0.006 0.70 0.69
55 0.000 -0.035 0.00 0.70 0.70
5ª Zona de Rotura
n εbase [%]
εtopo [%]
ybase [m]
ytopo [m]
yLN [m]
56 0.000 -0.035 0.00 0.70 0.70
57 -0.001 -0.034 0.00 0.70
58 -0.002 -0.034 0.00 0.70
59 -0.003 -0.033 0.00 0.70
60 -0.004 -0.032 0.00 0.70
61 -0.005 -0.031 0.00 0.70
62 -0.006 -0.031 0.00 0.70
63 -0.007 -0.030 0.00 0.70
64 -0.008 -0.029 0.00 0.70
65 -0.009 -0.028 0.00 0.70
66 -0.010 -0.028 0.00 0.70
67 -0.011 -0.027 0.00 0.70
68 -0.012 -0.026 0.00 0.70
69 -0.013 -0.025 0.00 0.70
70 -0.014 -0.025 0.00 0.70
71 -0.015 -0.024 0.00 0.70
72 -0.016 -0.023 0.00 0.70
73 -0.017 -0.022 0.00 0.70
74 -0.018 -0.022 0.00 0.70
75 -0.019 -0.021 0.00 0.70
76 -0.020 -0.020 0.00 0.70
(Nota: a posição da linha neutra (yLN) é determinada do topo para a base.)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
-0.0400.0100.0600.110
h [m]
extensões [%]
Diagrama de Extensões de Rotura - 3ª e 4ª zona
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
-0.0400.0100.0600.110
h [m]
extensões [%]
Diagrama de Extensões de Rotura - 5ª zona
72
A segunda fase do programa consiste no Cálculo do Betão. Considerando o número de iterações
definidas pelo utilizador, o programa considera a secção de betão divida em n “fatias”. Em função das
extensões no topo e na base da secção (previamente definidas para cada diagrama de rotura), são
determinadas, através da semelhança de triângulos, as extensões ao longo de toda a secção.
Determinadas as extensões na secção, são então calculadas a tensão, a força e o momento para
cada “fatia” de betão em função dos critérios enunciados no capítulo Critérios Gerais de
Dimensionamento.
No que diz respeito à terceira fase do programa, o Cálculo do Aço, o processo é semelhante ao
anterior. A diferença reside no facto de neste caso não se considerarem “fatias”, mas sim a posição
exacta das armaduras para o cálculo da tensão, da força e do momento dos varões, em função dos
critérios enunciados no capítulo Critérios Gerais de Dimensionamento.
As extensões do betão e do aço e as respectivas tensões podem ser visualizadas graficamente, para
um dado caso de rotura escolhido, através dum módulo incorporado no programa.
Figura 7.10 – Diagramas de extensões e tensões no betão e no aço para o caso de rotura 45
Através das equações de equilíbrio já enunciadas, são determinados os esforços resistentes de
esforço axial e momento para cada caso de rotura. De notar que o cálculo dos valores do momento
resistente referente ao betão e ao aço é efectuado em relação ao centro de gravidade no caso dos
dois elementos. Qualquer outro ponto da secção poderia ter sido escolhido, desde que fosse o
mesmo em ambos os materiais, de forma a verificar-se o equilíbrio.
Na página seguinte apresenta-se um exemplo de resultados obtidos, relativos ao caso de rotura 45.
Do lado esquerdo encontram-se os resultados para cada “fatia” da secção de betão e do lado direito
os resultados para cada camada de armadura. Os valores a sublinhado correspondem ao somatório
do esforço axial e momento.
Extensões no Betão
Extensões no Aço
Tensões no Betão
Tensões no Aço
Legenda:
Traçar Diagramas
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
-15.000 -10.000 -5.000 0.000
y [m]
σc [Mpa]
Tensões no Betão
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
-0.040 -0.020 0.000 0.020 0.040
y [m]
ε [%]
Extensões na Secção
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
-400.0 -200.0 0.0 200.0 400.0
y [m]
σc [Mpa]
Tensões no AçoRotura 45
73
Rotura 45
y [m] ε [%] σc [Mpa] Fc [kN] Mc [kN.m]
0.000 0.000 0. 00 0.000 0.000
0.018 0.000 0.000 0.000 0.000
0.035 0.000 0.000 0.000 0.000
0.053 0.000 0.000 0.000 0.000
0.070 0.000 0.000 0.000 0.000
0.088 0.000 0.000 0.000 0.000
0.105 0.000 0.000 0.000 0.000
0.123 0.000 0.000 0.000 0.000
0.140 0.000 0.000 0.000 0.000
0.158 0.000 0.000 0.000 0.000
0.175 0.000 0.000 0.000 0.000
0.193 0.000 0.000 0.000 0.000
0.210 0.000 0.000 0.000 0.000
0.228 0.000 0.000 0.000 0.000
0.245 0.000 0.000 0.000 0.000
0.263 0.000 0.000 0.000 0.000
0.280 0.000 0.000 0.000 0.000
0.298 0.000 0.000 0.000 0.000
0.315 -0.002 -2.074 -12.702 -0.333
0.333 -0.003 -3.984 -24.399 -0.213
0.350 -0.005 -5.729 -35.092 0.307
0.368 -0.006 -7.311 -44.780 1.175
0.385 -0.008 -8.729 -53.463 2.339
0.403 -0.009 -9.982 -61.141 3.745
0.420 -0.011 -11.072 -67.815 5.340
0.438 -0.012 -11.997 -73.485 7.073
0.455 -0.014 -12.759 -78.149 8.889
0.473 -0.015 -13.357 -81.809 10.737
0.490 -0.017 -13.790 -84.464 12.564
0.508 -0.018 -14.060 -86.115 14.317
0.525 -0.020 -14.165 -86.761 15.942
0.543 -0.021 -14.167 -86.771 17.463
0.560 -0.023 -14.167 -86.771 18.981
0.578 -0.024 -14.167 -86.771 20.500
0.595 -0.026 -14.167 -86.771 22.018
0.613 -0.027 -14.167 -86.771 23.537
0.630 -0.029 -14.167 -86.771 25.055
0.648 -0.030 -14.167 -86.771 26.574
0.665 -0.032 -14.167 -86.771 28.092
0.683 -0.033 -14.167 -86.771 29.611
0.700 -0.035 -14.167 -1571.112 293.712
Rotura 45
y [m] ε [%] σy [Mpa] Fy [kN] My [kN.m]
0.030 0.025 347.826 218.546 69.935
0.137 0.015 308.955 69.884 14.909
0.243 0.006 117.910 26.671 2.845
0.350 -0.004 -73.134 -16.543 0.000
0.457 -0.013 -264.179 -59.756 6.374
0.563 -0.023 -347.826 -78.676 16.784
0.670 -0.032 -347.826 -218.546 69.935
-58.420 180.781
74
Finalmente, na última fase do processo, Desenho do Gráfico, é traçado o diagrama de interacção da
secção resistente ,*� L)*�. Este consiste nos valores de força e momento resistente associados a
casa caso de rotura. Considerando que a secção é rectangular e simetricamente armada, o diagrama
resultante é simétrico relativamente ao eixo de )*�.
Todo o processo é depois repetido para a direcção perpendicular da secção (90º).
Gráfico 7.1 – Layout de apresentação de resultados do programa
Num processo paralelo ao cálculo, o programa permite importar automaticamente da folha de
resultados do modelo tridimensional os esforços actuantes no elemento a verificar, em função da
escolha dos elementos de barra e das combinações pretendidas. Estes esforços actuantes
correspondem aos pontos apresentados no gráfico. Naturalmente que os pontos que se encontrem
fora do diagrama não verificam a segurança.
Finalmente o programa permite a impressão duma folha A4 com as características da secção,
incluindo os materiais considerados, as dimensões da secção, os varões e a percentagem de
armadura, os valores de ,*� e )*� máximos e mínimos e os esforços resistentes para ambas as
direcções. Em Anexo encontram-se essas folhas de apresentação.
Paralelamente a este programa foi desenvolvido um outro que permite o cálculo de secções
rectangulares, em “T” e “H” à flexão composta unidireccional para qualquer tipo de disposição de
armaduras.
75
7.1.3 VERIFICAÇÃO À FLEXÃO COMPOSTA DESVIADA
Uma vez que os elementos verticais não são solicitados apenas nas suas direcções principais de
inércia, torna-se necessária uma verificação à flexão desviada.
Figura 7.11 – Flexão desviada
Para tal utilizou-se a seguinte fórmula, que permite de uma forma simplificada verificar a segurança
relativamente a este tipo de solicitação.
Æ)+�,;)*�,;ÇÈ W Æ)+�,;)*�,;Ç
È R 1.0 (7.5)
Onde α corresponde a um coeficiente que depende da forma da secção ou do carregamento vertical,
e que deve ser tomada com os seguintes valores:
• Secções circulares ou elípticas: α=2;
• Secções rectangulares:
Nsd/Nrd ≤ 0.1 0.7 1.0
α 1.0 1.5 2
7.1.4 VERIFICAÇÃO AO ESFORÇO TRANSVERSO
A verificação ao esforço transverso foi efectuada segundo o parágrafo 6.2 do EC2, onde se especifica
que a resistência ao esforço transverso de um elemento com armadura de esforço transverso
corresponde a:
4*�,� W 4��� W 49� (7.6)
76
Onde,
4*�,� é o valor de cálculo do esforço transverso equilibrado pela armadura de esforço transverso na
tensão de cedência;
4��� é o valor de cálculo da componente de esforço transverso da força de compressão, no caso
de um banzo comprimido inclinado;
49� é o valor de cálculo da componente de esforço transverso da força na armadura de tracção,
no caso de um banzo traccionado inclinado (válido apenas em elementos de altura variável);
4+� é o valor de cálculo da componente de esforço transverso actuante.
No caso de se verificar:
4+� c 4*�,� (7.7)
Não é necessário o cálculo de armadura de esforço transverso. No entanto, deve ser considerada
uma armadura de esforço transverso mínima recomendada pela expressão 9.5N do parágrafo 9.2.2
do EC2, e que corresponde a:
É6,��� � M0.08 8�1N/8;1 (7.8)
Caso se verifique,
4+� � 4*�,� (7.9)
Deverá adoptar-se uma armadura de esforço transverso suficiente para que se verifique:
4+� c 4*� (7.10)
Relativamente à percentagem mínima de estribos, É6 , segundo o artigo 94.2º do REBAP, esta não
deve ser inferior a 0.10, no caso de armadura de aço A400. Valor definido pela seguinte expressão:
É6 � ��656 j � j �7SM@N j 100 (7.11)
Em que:
��6 corresponde à área da secção transversal dos vários ramos do estribo;
56 é a largura da alma;
� corresponde ao espaçamento dos estribos;
@ é o ângulo formado pelos estribos com o eixo da viga (45º R @ R 90º).
77
7.1.5 VERIFICAÇÃO AO PUNÇOAMENTO
O punçoamento consiste num mecanismo de colapso local, associado em geral a uma rotura
repentina, sem qualquer ductilidade (rotura frágil). Embora a rotura por punçoamento seja um
fenómeno localizado, em alguns casos pode dar início a uma rotura progressiva e ao colapso total da
estrutura, pelo facto da perda de um ponto de apoio aumentar os esforços transmitidos aos apoios
vizinhos. O punçoamento consiste assim, num tipo de rotura associado geralmente a lajes (e
fundações) carregadas com uma distribuição uniforme apoiadas em secções pequenas. Ou seja,
resulta de uma carga concentrada ou reacção actuando numa uma área relativamente pequena à
qual se chama de área carregada.
Figura 7.12 – Modelo de verificação aos estados limites últimos de punçoamento em corte e em planta
Sendo:
• A – Secção básica de controlo;
• B – Área básica de controlo;
• C – Perímetro básico de controlo (�:);
• D – Área carregada.
O perímetro básico de controlo �: pode normalmente ser tomado a uma distância de 2.0d da área
carregada e deve ser desenhado de modo a minimizar o seu tamanho. No caso de lajes armadas nas
duas direcções o valor de d pode ser obtido por:
�l�� � M�; W �ÊN2 (7.12)
Sendo �; e �Ê os valores de � nas duas direcções ortogonais.
Figura 7.13 – Traçados de perímetro básico de controlo para diferentes secções
78
Figura 7.14 – Traçados de perímetro básico de controlo para secções junto às extremidades
Posto isto, o procedimento de verificação ao punçoamento é baseado no controlo à face dos pilares e
no perímetro básico de controlo �:.
A verificação a este estado limite consiste em garantir a seguinte expressão, considerando o capitel
sem armadura específica de punçoamento:
Ë+� R Ë*�,� (7.13)
Sendo,
Ë+� o valor actuante de esforço transverso;
Ë*�,� o valor da capacidade resistente ao punçoamento do elemento.
O valor actuante não pode, no entanto, exceder o valor de cálculo do máximo esforço de corte,
corresponde a:
Ë*�,�áÅ � 0.5 · G · 8�� � 4500f,/aI (7.14)
Com G � 0.6 j Í1 L �ÎÏI½/Ð
Relativamente ao punçoamento excêntrico, este foi considerado através duma majoração do esforço
actuante, obtida através de um valor β calculado para cada tipo de solicitação e geometria da laje e
do pilar.
Ë+� � Â 4+�(: · � (7.15)
A verificação ao punçoamento seguiu as indicações do parágrafo 6.4 do EC2.
79
7.2 VERIFICAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES EM SERVIÇO
Os estados limites em serviço (ELS) são aqueles que correspondem à impossibilidade do uso normal
de uma estrutura, estando relacionados com a durabilidade das estruturas, aparência, conforto do
utilizador e a boa funcionalidade das mesmas, seja em relação aos utilizadores, seja aos
equipamentos e máquinas existentes. Neste contexto são efectuadas as verificações aos estados
limites de fendilhação e deformação.
7.2.1 VERIFICAÇÃO À FENDILHAÇÃO
A verificação ao estado limite de abertura de fendas (fendilhação) apresenta cálculos bastante
exaustivos, pelo que a sua não consideração é vantajosa. O artigo 70.3º do REBAP prevê que esta
verificação se considere satisfeita para o caso de armaduras ordinárias em ambiente pouco agressivo
se as disposições dos varões cumpram os artigos 91º e 105º, no caso de vigas e lajes correntes.
Assim, para lajes maciças, esta verificação é dispensada se, no caso de armaduras ordinárias, o
espaçamento dos varões da armadura principal for inferior a 1.5 vezes a espessura da laje, com um
máximo de 35cm. Além desta condição os espaçamentos máximos dos varões não deve ser superior
ao dobro do máximo admitido para as vigas, logo deve ser inferior a 25cm.
Relativamente às vigas, o espaçamento máximo entre varões longitudinais, considerando ambiente
pouco agressivo e aço A400NR, corresponde a 12,5 cm.
Estas condições foram verificadas nas lajes e vigas dimensionadas no projecto, tendo sido desta
forma desprezada esta verificação ao nível do e todos os elementos estruturais.
7.2.2 VERIFICAÇÃO DAS DEFORMAÇÕES
No caso corrente de vigas e lajes, segundo o artigo 72.2º do REBAP a máxima flecha admissível
corresponde a %/400 para a combinação frequente de acções a longo prazo. No entanto, no caso de
a laje afectar paredes divisórias, e a menos que a fendilhação dessas paredes seja controlada, a
flecha máxima não pode exceder os 1.50 cm.
81
8 ANÁLISE DE ESFORÇOS E VERIFICAÇÃO DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS
Uma vez estabelecida uma solução estrutural e efectuada a análise estática e dinâmica tridimensional
desta, e considerando os critérios de segurança enunciados bem como as hipóteses de cálculo a
verificar, procede-se neste capítulo ao dimensionamento das peças estruturais que compõe a
estrutura.
Por razões de espaço e de redundância, serão apenas analisados alguns elementos sujeitos a flexão
simples, flexão composta e pré-esforço que servem de exemplo ao procedimento que deve ser
efectuado para os restantes elementos.
Relativamente à pormenorização, uma vez que não existem regras pré-definidas que possam ensinar
a pormenorizar de forma eficaz, pode-se afirmar que não existe uma solução ideal. A sensibilidade do
projectista orienta o seu raciocínio a atribuir maior ou menor importância a determinado aspecto ou
particularidade do projecto. As pormenorizações podem assim, variar significativamente de projectista
para projectista, o que não significa que não estejam todas correctas.
Por esta razão, os critérios de pormenorização adoptados neste trabalho não serão aqui discutidos, já
que seria impossível encontrar uma fórmula geral ou explicar detalhadamente todas as opções
tomadas. Os desenhos de estabilidade, betão armado e pré-esforço estão apresentados em Anexo
respeitando as regras gerais relativas a armaduras do REBAP.
A verificação aos estados limites em serviço (ELS) e estados limites últimos (ELU) é explicada
detalhadamente para os seguintes elementos:
• Pré-esforço;
• Lajes (maciças e aligeiradas);
• Vigas;
• Pilares;
• Núcleo.
82
8.1 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DE ELEMENTOS PRÉ-ESFORÇADOS
Tendo em conta que o pré-dimensionamento das lajes ditou a necessidade de aplicação de pré-
esforço ao nível dos pisos, é neste capítulo verificada a segurança em relação a este tipo de solução,
sendo primeiro feito uma breve introdução teórica a esta tecnologia aplicada ao nível de lajes.
8.1.1 O PRÉ-ESFORÇO EM LAJES DE EDIFÍCIOS
Numa laje convencional de betão armado com grandes vãos, estas apresentam elevadas
deformações que devem naturalmente ser controladas. A aplicação do pré-esforço permite não só
reduzir consideravelmente essas deformações como também aumenta a resistência da laje à flexão e
ao esforço transverso, como também evita a diminuição da rigidez da laje.
A aplicação de pré-esforço em lajes representa assim, nos dias que correm, uma solução competitiva
em estruturas correntes, como é o caso de edifícios de escritórios, de apartamentos, hotéis, hospitais
ou outros edifícios públicos, representando uma solução económica e eficaz em grande parte dos
sistemas de pavimentos em todo o mundo. A sua aplicação permite reduzir a espessura da laje e,
consequentemente, o seu peso próprio. Esta redução repercute-se no peso próprio global da
estrutura que influência o número de pilares e as dimensões dos restantes elementos estruturais
(pilares, vigas e sapatas), por outro lado permite a adopção de vãos de grande dimensões sem
utilização de quaisquer elementos verticais entre as extremidades.
Figura 8.1 – Lajes pré-esforçadas aplicadas num edifício em Hong Kong sem pilares interiores
Citando Pfeil,1984, o “pré-esforço é um artifício que consiste em introduzir, numa estrutura, um
estado prévio de tensões, de modo a melhorar a sua resistência ou comportamento, sob acção de
diversas condições de carga”.
Um exemplo que transmite duma forma simples o efeito do pré-esforço consiste numa pressão lateral
imprimida a um conjunto de livros alinhados na horizontal que, sem nenhum suporte vertical, os
83
permite manter suspensos. Essa pressão que os comprime uns contra os outros, produz forças de
atrito capazes de superar o peso próprio do conjunto.
Figura 8.2 – Livros sobre actuação de forças horizontais de compressão
Através duma excentricidade relativamente ao centro de gravidade da laje, os cabos de pré-esforço
permitem devolver uma carga ascendente. Esse pré-esforço excêntrico produz uma flecha que, numa
disposição correcta do traçado dos cabos, é contrária às flechas resultantes das acções permanentes
e variáveis que carregam a laje. Fazendo variar a excentricidade do cabo, consegue-se compensar
uma determinada parte dos esforços e deformadas presentes em lajes, tornando-se possível assim,
vencer maiores vãos com maiores esbelteza e melhorar o comportamento em serviço das lajes
devido a um maior controlo da deformação.
Figura 8.3 – Cargas verticais ascendentes provocadas por um traçado parabólico pré-esforçado numa laje bi-apoiada
8.1.1.1 Técnicas e Sistemas de Pré-Esforço
As soluções de pré-esforço encontram-se divididas em duas técnicas distintas, o pré-esforço pré-
tensionado e o pré-esforço pós-tensionado, sendo este último subdivido em cabos aderentes e não
aderentes.
Figura 8.4 – Tipos de aplicação de pré-esforço
84
No betão pré-tensionado são habitualmente utilizados cabos isolados tensionados antes da
betonagem. Após a cura do betão são libertadas as ancoragens iniciais e a transferência de tensões
é feita por aderência. Esta solução acarreta geralmente grandes perdas e consiste num processo
típico de pré-fabricação. O pré-tensionamento não existe sem aderência e, apesar de se poder
recorrer a desviadores, o traçado que apresente uma trajectória que não seja recta torna-se
complicada, embora possível. Este sistema apresenta a vantagem de necessitar ancoragens apenas
na fase de tensionamento inicial.
Figura 8.5 – Aplicação de pré-esforço pré-tensionado com libertação das ancoragens depois da cura do betão
O pré-esforço pós-tensionado é aplicado após o betão ter adquirido resistência suficiente, sendo a
transferência de tensões assegurada pelas ancoragens nas extremidades da peça. Estas zonas
correspondem a zonas críticas por estarem sujeitas a elevada compressão que pode originar o
esmagamento do betão. Primeiro é betonada a peça de betão em questão, incluindo as ancoragens,
as armaduras ordinárias e a bainha dos cabos de pré-esforço com o devido traçado. Após a cura, são
colocados os cabos e é feito o seu tensionamento nas ancoragens através de macacos. Em
alternativa os cabos podem já estar previamente inseridos nas bainhas.
Figura 8.6 – Bainhas de pré-esforço instalados antes da betonagem
85
Neste sistema de pós-tensão, característico da aplicação in-situ, em construções de médio e grande
vão, distinguem-se os sistemas com e sem aderência. Como o próprio nome indica, no primeiro
sistema os cabos ficam aderentes à secção através da injecção de calda de cimento no interior das
bainhas até ganhar presa. No sistema não aderente, apesar de o cabo se encontrar no interior da
peça de betão, os elementos mantêm-se desligados, uma vez que o cabo continua a poder deslizar
no interior da bainha. É utilizada uma graxa que reduz o atrito, para melhor protecção do cabo que
permite deslocamentos relativos entre o betão e o cordão ao longo do elemento, à excepção das
ancoragens.
Como consequência, o alongamento do cordão é distribuído por todo o comprimento entre
ancoragens, em vez de se concentrar nas fendas como acontece no betão armado com pré-esforço
aderente. Na rotura, o aumento de tensões e extensões num cordão não aderente é inferior ao de um
cordão aderente, pelo que a tensão final no aço é pouco superior à inicialmente instalada.
Comparando com outros sistemas o pré-esforço não aderente apresenta as seguintes vantagens:
• Redução considerável nos consumos de material, mão-de-obra e tempo de execução, tendo
em conta que o equipamento de aplicação é muito ligeiro e portátil;
• Em lajes pouco espessas a adopção de mono-cordões permite conduzir uma boa
excentricidade;
• O cordão fica protegido à corrosão desde o seu fabrico;
• A flexibilidade do cabo permite um traçado de cabo simples (trapezoidal) de fácil colocação e
também adaptável a geometrias complexas, com um assentamento dos cordões simples;
• Apresenta perdas de atrito inferiores quando comparado com o pré-esforço com bainhas
injectáveis;
• Não necessita de injecção;
• Permite o reajuste do pré-esforço em qualquer instante da vida útil da estrutura;
Como contrapartidas desta solução quando comparada com pré-esforço aderente, enunciam-se:
• Não mobilizam em estado limite último a resistência máxima do aço de pré-esforço;
• Não mobiliza a aderência com o betão e uma rotura localizada implica a desactivação total do
cordão;
• O seu funcionamento fica dependente das ancoragens ao passo que no pré-esforço
aderente, essa aderência contribui para o funcionamento.
86
8.1.1.2 Materiais e Equipamentos de Pré-Esforço
O pré-esforço consiste numa deformação imposta em peças de betão, cuja aplicação introduz um
estado de tensão que contraria os efeitos das acções a que estas peças estão sujeitas. O pré-esforço
pode ser aplicado por meio de fios, cordões, cabos ou varões tensionados contra a própria peça de
betão, tendo sido utilizados no projecto mono-cordões não aderentes.
Um cordão de pré-esforço é constituído por aço de alta resistência e por 7 fios com dimensões usuais
de 3, 4, 5 e 6mm. Esses fios unidos constituem um cordão que geralmente é comercializado em 3
diâmetros diferentes: 0.5’’ (12.7mm); 0.6N’’ (15.2mm) e 0.6S’’ (15.7mm). O cordão é depois revestido
por uma massa lubrificante anti-corrosiva em fábrica e seguidamente embainhado. Relativamente aos
cabos, estes consistem num grupo de cordões que pode atingir mais de 30 cordões.
Figura 8.7 – Fio Figura 8.8 – Conjunto de 7 fios (cordão)
Figura 8.9 – Cordão embainhado
Relativamente aos cordões de pré-esforço utilizados no projecto, foram escolhidos monostrands de
0.6 polegadas (15.2mm) de diâmetro.
Figura 8.10 – Estrutura da ancoragem de um monostrand
Figura 8.11 – Dimensões das ancoragens Figura 8.12 – Afastamentos mínimos de ancoragens
Tipo A B C
S5N 12.7 5.7 3.8
S6N 12.8 8.9 4.8
Dimensões (cm)
87
8.1.1.3 Traçado e Distribuição dos Cabos/Cordões de Pré-Esforço
O traçado dos cabos de pré-esforço revela-se de extrema importância, podendo-se mesmo afirmar
que corresponde a um dos maiores segredos de sucesso de uma estrutura pré-esforçada. Na
definição dos traçados de pré-esforço, foram consideradas os seguintes princípios base:
• Adopção de traçado simples: troços rectos ou parabólicos;
• Aproveitamento da excentricidade máxima nas zonas de maiores momentos;
• Sempre que possível, nas extremidades, situar os cabos dentro do núcleo central da secção;
• Cruzar o traçado do cabo (ou resultante dos cabos) com o centro de gravidade da secção
numa secção próxima da de momentos nulos das cargas permanentes;
• Respeitar as restrições de ordem prática da construção e os limites relativos às dimensões
das ancoragens e resistência do betão, necessários para resistir às forças de ancoragem.
Os mono-cordões foram aplicados ao longo de toda a laje na zona de maior vão. Visto que a
continuidade do pré-esforço resulta num melhor comportamento da laje, estes foram prologados
sempre que a geometria da laje o permitiu. No entanto, tal nem sempre foi possível devido às
aberturas que existem ao nível dos pisos e tornam impossível a passagem dos cabos,
nomeadamente o núcleo do elevador. Atendendo a estes aspectos, a distribuição dos cabos em
planta toma a configuração das figuras 8.13 à 8.15.
Uma vez que estas lajes consistem numa solução de laje nervurada, a sua configuração limita o
número de mono-cordões a dois por nervura.
Figura 8.13 – Distribuição dos cordões de pré-esforço no piso 0
Figura 8.14 – Distribuição dos cordões de pré-esforço no piso 1
Figura 8.15 – Distribuição dos cordões de pré-esforço no piso 2
Existem assim, duas configurações diferentes relativamente ao andamento dos cabos, cuja
representação esquemática dos traçados e das cargas equivalentes se encontra apresentada na
página seguinte.
88
Figura 8.16 – Traçado esquemático do cabo de pré-esforço sem continuidade, com as cargas de puxe a verde e as correspondente cargas nodais equivalentes a azul
Figura 8.17 – Traçado esquemático do cabo de pré-esforço com continuidade, com as cargas de puxe a verde e as correspondente cargas nodais equivalentes a azul
De maneira a determinar as cargas nodais equivalentes são primeiro calculados os valores de finf e
fsup, resultantes em função das excentricidades do cabo. O valor da excentricidade mínima foi obtido
considerando um recobrimento de 3cm (c), uma camada de varões o20 na direcção longitudinal, uma
camada de varões o20 na direcção transversal e um espaçamento entre as armaduras e o mono-
cordão de o20/2.
7�í� � � W 2H W H/2 W H�9bk��/2 � 30 W 2 j 20 W 20/2 W 15.24/2 � 87.62aa
Nas zonas de ancoragem é exigida uma excentricidade mínima condicionada pela distância mínima
das ancoragens à extremidade da laje, correspondente a 110mm. Tendo em conta que a
excentricidade mínima calculada é inferior a esta, considerou-se uma excentricidade de 110mm para
as zonas de ancoragem.
Relativamente à distância entre ancoragens, esta corresponde a 140mm.
Figura 8.18 – Excentricidades do cabo de pré-esforço.
PP
M=Pxfsup
fsupfinf
fsup
Ptan
Ptan Ptan
Ptan
PP
M=Pxfsup
Ptan
Ptan Ptanfsup
finffsupP
PM=Pxfsup
Ptan
PP
M=Pxfinffinf
Ptan Ptan
armaduras
cordão na ancoragem
cordão no vão ou apoio
evãosup
eancinfevão
inf
eancsup
89
Em função das deformadas finais, foram adoptadas lajes com alturas totais de 0.40m no piso 0 e
0.50m nos pisos 1 e 2. Em função das alturas das lajes e das excentricidades consideradas, são
obtidos os seguintes valores de f:
Mono-cordões sem continuidade:
• H= 0.40m 8 � =mk[l L M7k�� W 7�í�N � 400 L M110 W 87.62N � 212aa
• H= 0.50m 8 � =mk[l L M7k�� W 7�í�N � 500 L M110 W 87.62N � 312aa
Mono-cordões com continuidade:
• H= 0.40m Ò8n㤠:, à l�C<lb�k � =mk[l L M7k�� W 7�í�N � 400 L M110 W 87.62N � 212aa8n㤠:, à ��bl�9k � =mk[l L M7�í� W 7�í�N � 400 L M87.62 W 87.62N � 225aa8n㤠I � =mk[l L M7�í� W 7k��N � 400 L M87.62 W 110N � 212aa �
• H= 0.50m Ò8n㤠:, à l�C<lb�k � =mk[l L M7k�� W 7�í�N � 500 L M110 W 87.62N � 312aa8n㤠:, à ��bl�9k � =mk[l L M7�í� W 7�í�N � 500 L M87.62 W 87.62N � 325aa8n㤠I � =mk[l L M7�í� W 7k��N � 500 L M87.62 W 110N � 312aa �
As denominações de vão 1 e vão 2 correspondem a uma leitura da esquerda para a direita dos vãos
da figura 8.17.
Considerando um valor da força de pré-esforço de �0 � 150f, (contabilizando já as perdas por atrito,
por reentrada de cabos e por deformação instantânea do betão), é possível calcular as cargas nodais
equivalentes, em função das coordenadas dos pontos de variação de traçado, através da expressão:
Ô � �0ÕQSM@N (8.1)
Mono-cordões com continuidade (pontos ordenados da esquerda para a direita):
H = 0.40m
Ponto x [m] y [m] α [º] q [kN] Sentido
Ponto 1 0.00 0.29 4.583 12.025 ↓
Ponto 2 2.40 0.0976 4.583 12.025 ↑
Ponto 3 8.00 0.0976 5.588 14.675 ↑
Ponto 4 10.40 0.332 5.588 14.675 ↓
Ponto 5 11.15 0.3324 1.710 4.478 ↓
Ponto 6 18.60 0.11 1.710 4.478 ↑
H = 0.50m
Ponto x [m] y [m] α [º] q [kN] Sentido
Ponto 1 0.00 0.39 7.181 18.900 ↓
Ponto 2 2.40 0.0876 7.181 18.900 ↑
Ponto 3 8.00 0.0876 7.707 20.300 ↑
Ponto 4 10.40 0.4124 7.707 20.300 ↓
Ponto 5 11.15 0.4124 2.324 6.089 ↓
Ponto 6 18.60 0.11 2.324 6.089 ↑
90
Mono-cordões sem continuidade (pontos ordenados da esquerda para a direita):
H = 0.40m
Ponto x [m] y [m] α [º] q [kN] Sentido
Ponto 1 0.00 0.29 4.583 10.150 ↓
Ponto 2 2.40 0.1276 4.583 10.150 ↑
Ponto 3 8.00 0.1276 4.583 10. 50 ↑
Ponto 4 10.40 0.29 4.583 10.150 ↓
H = 0.50m
Ponto x [m] y [m] α [º] q [kN] Sentido
Ponto 1 0.00 0.39 7.181 18.900 ↓
Ponto 2 2.40 0.0876 7.181 18.900 ↑
Ponto 3 8.00 0.0876 7.181 18.900 ↑
Ponto 4 10.40 0.39 7.181 18.900 ↓
Uma vez que a laje de cobertura é uma laje maciça, o espaçamento dos mono-cordões encontra-se
limitado apenas pela distância mínima entre ancoragens. Desta forma, a distribuição dos mono-
cordões, com um distanciamento de 140mm, apresenta a seguinte configuração:
Figura 8.19 – Distribuição dos cabos de pré-esforço na laje de cobertura
Com a aplicação do pré-esforço, conseguiu-se mesmo reduzir a espessura da laje relativamente ao
valor que na fase de pré-dimensionamento não cumpria a flecha limite. A laje apresenta assim 0.35m
de espessura. Relativamente ao andamento dos mono-cordões, neste caso adoptou-se um traçado
parabólico.
Figura 8.20 – Traçado esquemático do cabo de pré-esforço da cobertura, com as cargas de puxe a verde e as correspondente cargas nodais e distribuída equivalentes a azul
Considerando uma espessura da laje de 0.35m e os valores de excentricidade mínimas já
enunciadas, o valor de f corresponde a:
8 � =mk[l L M7k�� W 7�í�N � 350 L M110 W 87.62N � 212.38aa
f
PtanPtanq= 8fP∞
L2____
PP
M=Pxfsup
PP
M=Pxfsup
91
O que resulta numa carga distribuída equivalente de:
Ô � 88�0�I � 8 j 0.21238 j 15010.4I � 2.356 f,/a (8.2)
E numa carga nodal equivalente de:
�0ÕQSM@N � 150 j tanM4.67N � 12.25f,
Sendo @ � arctan Û I�Ü/IÝ
8.1.2 VERIFICAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES EM SERVIÇO – DEFORMAÇÃO
Em função das deformadas das lajes apresentadas no capítulo de pré-dimensionamento, tornou-se
claro a necessidade de adopção de pré-esforço com o objectivo de verificar o estado limite de
deformação das lajes, sendo que se admitiu um valor limite da flecha correspondente a 1.5cm como
explicado no capítulo Pré-Dimensionamento.
Considerando os pilares do modelo com esforço axial infinito, as deformações relativas acima de
1.5cm das lajes para a combinação frequente a longo prazo (ELS2) e com H=0.40m são as
seguintes:
Figura 8.21 – Deformada do piso 0 com pré-esforço
Figura 8.22 – Deformada do piso 1 com pré-esforço
Figura 8.23 – Deformada do piso 2 com pré-esforço
Relativamente ao piso 0 este apresenta deformadas inferiores a 1.5cm, à excepção de uma pequena
zona (com apenas 3mm de deformada acima do limite). O mesmo não se pode dizer dos pisos
superiores que, para H=0.40m, a deformada continua a exceder o limite admissível. No entanto, para
uma altura de laje H=0.50m, as deformações relativas acima de 1.5cm das lajes para a combinação
frequente a longo prazo (ELS2) são as seguintes:
cm-4.5 -4.3 -4 -3.8 -3.6 -2.2 -2 -1.7 -1.5-3.4 -3.1 -2.9 -2.7 0
92
Figura 8.24 – Deformada do piso 1 com pré-esforço e laje de 0.50m
Figura 8.25 – Deformada do piso 2 com pré-esforço e laje de 0.50m
No piso 1 continuam a existir duas zonas com deformações acima de 1.5cm. A zona de extremidade
corresponde à zona onde descarrega a escada exterior que sobe para o piso 2. Sendo esta uma zona
aberta, não afecta paredes exteriores pelo que bastou limitar a deformada a l/400.
A outra mancha visível encontra-se na zona do anfiteatro onde já se esperavam maiores deformadas
por ter uma sobrecarga maior. Tendo em conta que nesta zona acima do piso não existem paredes e
a deformada máxima é excedida em apenas 4mm, considerou-se a deformada aceitável, sendo no
entanto necessário um controlo de fendilhação das paredes inferiores à laje.
Quanto ao piso 2 este apresenta uma deformada máxima de 3cm. Optou-se por criar uma banda
maciça com 3.3 metros de largura na zona crítica. Este maciçamento não só aumentou a inércia da
laje como permitiu uma maior concentração de pré-esforço (cabos espaçados de 200mm). Com esta
alteração as deformadas do piso 2 passaram todas a ser inferiores a 1.5cm.
Relativamente à configuração deformada da laje apresenta flechas relativas inferiores a 1.5cm em
toda a sua extensão.
Figura 8.26 – Deformada da laje de cobertura com pré-esforço
cm-4.5 -4.3 -4 -3.8 -3.6 -2.2 -2 -1.7 -1.5-3.4 -3.1 -2.9 -2.7 0
cm-2.1 -1.8 -1.5 -1.2 -0.9 -0.6 -0.3 0 0.3 0 0.9 1.2 1.5 1.8
93
8.2 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DE LAJES
Na generalidade dos casos, as lajes correspondem a elementos cuja verificação aos ELU de flexão
consiste numa verificação à flexão simples. No entanto, a aplicação do pré-esforço torna o esforço
axial existente um novo elemento da equação, pelo que se torna necessária uma verificação ao ELU
de flexão composta das lajes nas zonas pré-esforçadas da laje e na direcção da acção do pré-
esforço. Nas zonas não pré-esforçadas, ou naquelas cuja direcção das armaduras é perpendicular ao
pré-esforço, a verificação à flexão consiste apenas numa verificação ao ELU de flexão simples. A par
desta verificação é ainda efectuada a verificação aos ELU de punçoamento na zona dos pilares. Para
o efeito, foram considerados os esforços actuantes correspondentes à combinação fundamental com
acção variável base de sobrecarga (ELU1), já que a acção sísmica não é condicionante para as lajes.
Relativamente à verificação da segurança aos ELS, uma vez que o limite de abertura de fendas se
admitiu controlado por intermédio do critério definido em 7.1.2, e a verificação das deformações foi já
efectuada no capítulo anterior de verificação do pré-esforço, consideram-se a verificação dos ELS
satisfeita.
As lajes a pormenorizar consistem na laje do piso 2 e nas lajes de cobertura.
Figura 8.27 – Localização das lajes a pormenorizar. A azul, a laje do piso 2, com as zonas maciçadas e capitéis a azul escuro e as extremidades em consola a amarelo. A cor de laranja, apresentam-se as lajes de cobertura
94
8.2.1 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS
8.2.1.1 Esforços Resistentes – Interacção de Momento e Esforço Axial Resistentes (Flexão
Composta)
Tendo em conta que as lajes a analisar apresentam diferentes geometrias e tipos de solicitações, são
analisadas as seguintes secções diferentes:
• Laje nervurada do piso 2 com altura total de H=0.50m (Secção em “T”) – Flexão Simples e
Composta;
• Laje maciça do piso 2 (zonas maciçadas, capitéis e banda) com 0.50m de espessura –
Flexão Simples e Composta;
• Laje maciça em consola do piso 2 e da cobertura com 0.25m de espessura – Flexão Simples;
• Laje maciça da cobertura com 0.35m de espessura – Flexão Simples e Composta;
Considerando as expressões apresentadas em 7.1.2, foram determinados os valores de interacção
MRd-NRd, através do programa de cálculo desenvolvido, para as secções consideradas.
No que diz respeito à laje maciça de 0.50m do piso 2, analisou-se uma secção de largura unitária
com diferentes distribuições de armadura numa das faces e com uma distribuição de varões mínima
de Φ10//0.20 na face oposta. Nas zonas maciçadas juntos às nervuras, os valores de momento
resistente foram obtidos para um esforço de compressão de 2 j 150/0.80 � 375f,/a (2 mono-
cordões por nervuras e nervuras afastadas de 0.80m). Na zona da banda maciçada, os valores de
momento resistente foram obtidos para um esforço de compressão de 150/0.20 � 750f,/a (mono-
cordões afastados de 200mm).
Figura 8.28 – Secção considerada no cálculo da laje maciça de 0.50m
Em Anexo apresenta-se o diagrama de interacção NRd – MRd para laje maciça de 0.50m.
A partir do diagrama obtém-se os valores dos momentos resistentes para os dois diferentes casos de
compressão assinalados por linhas a verde no gráfico. Uma vez que a secção da laje é constante, o
momento negativo obtido é equivalente ao positivo (invertendo a posição das armaduras). No
seguinte quadro resumem-se os esforços resistentes obtidos:
DIFERENTES DITRIBUIÇÕES
1
h
Ø10//0.20
95
NSd [kN/m] = -375 NSd [kN/m] = -750
MRd(+/-)
[kN.m/m] MRd(+/-)
[kN.m/m]
Φ10//0.10 202 278
Φ10//0.20+ Φ12//0.20 227 306
Φ12//0.10 252 330
Φ12//0.20+ Φ16//0.20 314 388
Φ16//0.10 376 441
Relativamente à laje da cobertura com espessura de 0.35m, utilizando o mesmo princípio, os valores
obtidos para um esforço de compressão de 150/0.14 � 1071.4f,/a (mono-cordões afastados de
140mm), apresentam-se igualmente em Anexo.
Para o valor de compressão assinalado a verde no gráfico, os esforços resistentes obtidos são:
MRd(+/-)
[kN.m/m]
Φ10//0.10 214
Φ10//0.20+ Φ12//0.20 227
Φ12//0.10 240
Φ12//0.20+ Φ16//0.20 272
Φ16//0.10 302
Relativamente à laje nervurada, esta foi analisada através da variante do programa de cálculo
desenvolvido que permite calcular secções em “H” ou “T”. Para o cálculo do momento positivo
resistente, considerando uma acção de compressão de 300kN (2 mono-cordões por nervura), e
admitindo a secção equivalente da figura 8.30, foi calculada a capacidade resistente da secção à
flexão composta para NRd= -300 kN, com 2 varões na parte inferior por nervura, para diâmetros de
Φ10, Φ12, Φ16 e Φ20. Na parte superior considerou-se a distribuição de varões mínima de
Φ10//0.20. Para o cálculo do momento negativo resistente o processo foi o mesmo, na parte inferior
da nervura manteve-se 2Φ10 constante e calculou-se a capacidade resistente para diferentes
distribuições de armaduras.
Figura 8.29 – Secção equivalente considerada no cálculo da laje nervurada a azul, com o valor de bm obtido da
tabela x.x, correspondente a 208mm
Ø10//0.20
bm
2Ø10/2Ø122Ø16/2Ø20
0.8
0.1
0.4
96
Uma vez que a secção analisada apresenta 0.80m de largura, é necessário dividir por este valor os
resultados para se obter um momento resistente por metro. No seguinte quadro resumem-se os
esforços resistentes obtidos para a compressão considerada (assinalada a verde no gráfico), já por
metro:
MRd(+)
[kN.m/m]
2Φ10 56
2Φ12 64
2Φ16 86
2Φ20 112
MRd(-)
[kN.m/m]
Φ10//0.10 -155
Φ10//0.20+ Φ12//0.20 -175
Φ12//0.10 -190
Φ12//0.20+ Φ16//0.20 -210
Φ16//0.10 -230
8.2.1.2 Esforços Resistentes – Momento Resistente (Flexão Simples)
Relativamente às secções de laje maciça, considerando a expressão (7.4) apresentada no capítulo
anterior, foram determinados os valores dos momentos resistentes correspondentes a cada secção,
considerando uma largura unitária, para uma distribuição de armaduras usuais. Em Anexo encontra-
se uma tabela com esses valores.
No que diz respeito à laje nervurada, os valores resistentes para flexão simples foram obtidos do
diagrama em Anexo considerando compressão nula e a mesma armadura adoptada no cálculo de
flexão composta. Os valores obtidos são os seguintes:
MRd(+)
[kN.m/m]
2Φ10 25
2Φ12 36
2Φ16 63
2Φ20 97
MRd(-)
[kN.m/m]
Φ10//0.10 -95
Φ10//0.20+ Φ12//0.20 -110
Φ12//0.10 -125
Φ12//0.20+ Φ16//0.20 -170
Φ16//0.10 -210
8.2.1.3 Verificação ao Estado Limite Último de Punçoamento
Para um capitel sem armadura específica de punçoamento, é necessário garantir a expressão:
Ë+� R Ë*�,� (8.3)
No entanto, para os casos em que a capacidade resistente do betão sem armadura específica para
resistir ao punçoamento não é suficiente, foi calculada essa armadura através da seguinte expressão:
��� � MË+� L 0.75Ë*�,�N8;6�,l� · �7SM@N · (: · � (8.4)
97
Sendo,
(: o perímetro de controlo;
� a altura útil da laje;
Ë+� o valor actuante de esforço transverso;
@ � 90º correspondente a estribos na vertical;
8;6�,l� � 250 W 0.25� R 348)�Q com d em mm.
Desta forma, foi desenvolvida uma tabela de cálculo que, em função das dimensões, geometria e
localização dos pilares (relativamente às extremidade da laje), da espessura da laje, da armadura de
flexão da laje e dos esforços actuantes permite-se verificar as condições referidas. Apresentam-se
em Anexo somente a tabela com os resultados do cálculo referente à laje do piso 2 uma vez que na
laje de cobertura a segurança verificou-se em todos os casos. Aqueles que se encontram a vermelho
necessitam de armadura de punçoamento.
8.2.1.4 Esforços Actuantes – Momento e Esforço Transverso
Como foi já enunciado existem diferentes tipos de secções e solicitações pelo que os esforços devem
também ser analisados com distinção. A figura 8.30 diferencia as diversas secções a analisar
relativamente ao momento M22 no piso 2, através de um diagrama de cores.
Figura 8.30 – Diferentes tipos de secções com diferentes solicitações
Laje 0.25m em consola sem pré-
esforço Laje aligeirada sem pré-esforço (secção
em “T”) Laje aligeirada com pré-esforço (secção
em “T”)
Laje maciça 0.50m sem pré-esforço Laje maciça 0.50m com pré-esforço Banda maciçada 0.50m com pré-
esforço
98
No que diz respeito ao momento M11, não existe pré-esforço aplicado nessa direcção, pelo que
apenas existem 3 casos distintos, referentes às diferentes geometrias, a verificar à flexão simples.
Em relação às lajes da cobertura, as suas geometrias são constantes pelo que esta análise distinta
não é necessária.
Em Anexo apresentam-se os diagramas de esforços resultantes de momento e esforço transverso da
laje do piso 2 e das lajes de cobertura para a combinação fundamental com acção variável base de
sobrecarga (ELU1).
8.3 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DE VIGAS
Num caso usual de um edifício, as vigas representam elementos estruturais cujos esforços
predominantes correspondem à flexão, esforço transverso e, em certos casos, torção. O esforço axial
a que este tipo de peça está sujeita é relativamente baixo no caso de não se considerar a acção da
retracção, variação de temperatura ou pré-esforço. Desta forma pode ser considerado como um
elemento com esforço axial desprezável.
O seu dimensionamento consiste assim, numa verificação aos ELU de flexão simples e esforço
transverso. Para o efeito, foram considerados os esforços actuantes correspondentes à combinação
envolvente de acções resultantes para as combinações fundamentais (ELU_ENV).
As vigas a analisar corresponde às vigas V1.15 e V1.16 do piso 1, as viga-dobra DC.1 à DC.3 e VC.6
da cobertura e ainda a viga VC.5, também da cobertura.
Figura 8.31 – Localização das vigas analisadas. Vigas V1.15 e V1.16 a azul, vigas DC.1 à DC.3 e VC.6 a verde e
viga VC.5 a cor de laranja
99
O pré-dimensionamento destas vigas ditou as seguintes dimensões:
Viga b [m] h [m]
V1.15 0.35 0.60
V1.16 0.35 1.00
DC.1 0.35 1.27
DC.2 0.35 1.27
DC.3 0.35 1.27
VC.6 0.35 0.60
VC.5 0.35 1.00
8.3.1 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITES EM SERVIÇO
Uma vez que o limite de abertura de fendas se admitiu controlado por intermédio do critério definido
em 7.2.1, resta apenas limitar as flechas das vigas a %/400 e/ou 1.5cm, no caso de afectar paredes de
alvenaria, para a combinação frequente a longo prazo (ELS2).
Os valores relativamente à flecha limite de %/400 para cada viga são:
Viga l/400 [cm]
V1.15 2.28
V1.16 2.63
DC.1 1.20
DC.2 1.90
DC.3 1.30
VC.6 0.40
VC.5 2.70
Em Anexo apresenta-se o traçado das flechas relativas das vigas analisadas para esta combinação.
Estas deformações foram obtidas considerando os pilares com uma rigidez axial infinita, de forma a
se obterem a flechas relativas e não absolutas.
Verifica-se que as vigas V1.15 e V1.16 (figura 1) não apresentam problemas ao nível da deformada, o
mesmo já não acontece para a viga VC.6. Nesse alinhamento, as vigas DC.1 e DC.2 têm uma
deformada quase nula devido à altura que têm (1.27m) como seria de esperar (figura 2). Em relação
à viga DC.3 esta apresenta uma deformada de 1.05cm, ainda inferior ao limite admissível. Esta
deformada acontece devido ao abaixamento do pilar P4G que, “nascendo” no piso 0 implica uma
deformação da laje. Este abaixamento faz com que as vigas DC.3 e VC.6 também se deformem.
Como consequência, a deformada máxima da viga VC.6 apresenta um valor de 1.55cm. No entanto,
este valor deve ser analisado em relação à deformada do próprio pilar (linha azul na figura),
100
apresentando uma deformada de apenas 1.55-1.05=0.50cm, superior ao limite máximo de 0.40cm.
Desta forma, foi aumentada a altura da viga até se obter um valor de 0.40cm. Esse valor foi
conseguido com uma altura nova para a viga VC.6 de 1.00m (figura 3).
A viga VC.5 apresenta uma flecha de 1.57cm que apesar de ser superior ao limite máximo de 1.50cm
se considerou aceitável (figura 4).
8.3.2 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS
8.3.2.1 Esforços Resistentes – Momento Resistente
Considerando a expressão (7.4) apresentadas no capítulo anterior, foram determinados os valores
dos momentos resistentes correspondentes a cada viga para uma gama de armaduras usuais. Em
Anexo encontra-se uma tabela com esses valores.
No que diz respeito à armadura longitudinal de tracção para vigas, o artigo 90.1º do REBAP preconiza
uma percentagem mínima dessa armadura, É, que não deve ser inferior a 0.15 no caso de armaduras
de aço A400. Essa percentagem é definida pela relação:
É � ��59� j 100 (8.7)
Em que:
�� é a área da secção da armadura;
59 é a largura média da zona traccionada;
� é a altura útil da secção.
Os valores obtidos para as diferentes secções consideradas foram os seguintes:
Viga Asmin [cm2]
V1.15 2.99
V1.16 5.09
DC.1 6.51
DC.2 6.51
DC.3 6.51
VC.6 5.09
VC.5 5.09
De igual forma o artigo 90.2º do REBAP define uma percentagem de armadura longitudinal de tracção
ou compressão máxima correspondente a 4% da área total da secção da viga.
101
8.3.2.2 Cálculo dos Esforços Resistentes – Esforço Transverso
Ao longo de todo o vão livre da viga, esta deve ser armada com estribos que abracem a totalidade da
sua altura, envolvendo as armaduras de tracção e de compressão (quando se considerarem
resistentes). O artigo 94.1º do REBAP limita a distância entre 2 ramos consecutivos de um mesmo
estribo a 60cm ou à altura útil da viga. No caso de tal acontecer são necessários 4 ramos por
intermédio de 2 estribos intercalados e armados com auxílio de uma armadura construtiva.
Relativamente à percentagem mínima de estribos, É6 , segundo o artigo 94.2º do REBAP, esta não
deve ser inferior a 0.10, no caso de armadura de aço A400. Este valor é definido pela seguinte
expressão:
É6 � ��656 j � j �7SM@N j 100 (8.8)
Em que:
��6 corresponde à área da secção transversal dos vários ramos do estribo;
56 é a largura da alma;
� corresponde ao espaçamento dos estribos;
@ é o ângulo formado pelos estribos com o eixo da viga (45º R @ R 90º).
Uma vez que as vigas apresentam todas a mesma largura, obtêm-se um valor de armadura de
estribos mínima de 3.5cm2/m, o que corresponde a Φ8//0.125.
Segundo o EC2, o cálculo do esforço transverso resistente duma secção sem armadura de esforço
transverso (4*�,�), pressupõe o conhecimento prévio da armadura longitudinal já instalada no
elemento. Isto implica um processo bastante complexo, uma vez que se teria que calcular o valor de 4*�,� segmento a segmento, impossibilitando uma generalização do esforço transverso resistente para
uma mesma secção. Desta forma foi considerado para o valor de 4*�,� do EC2 o valor de 4Þ�
preconizado no artigo 52.1º do REBAP. Este depende apenas da classe do betão e da dimensão da
secção sendo dado pela seguinte expressão:
4Þ� � �: j 56 j � (8.8)
Em que:
�: é a tensão cujo valor corresponde a 0.75MPa;
56 é a largura da alma da secção;
Considerando as expressões de cálculo de esforço transverso resistente do EC2, foram determinados
os valores dos esforços transversos resistentes para cada viga para uma gama de estribos usuais.
Em Anexo apresenta-se uma tabela com esses valores.
102
8.3.2.3 Esforços Actuantes – Momento e Esforço Transverso
Os diagramas apresentados em Anexo correspondem aos resultados de momento e esforço
transverso obtidos do modelo tridimensional para as combinações fundamentais com acção variável
base de sobrecarga (ELU1) a azul e os valores máximos e mínimos das envolventes de combinações
fundamentais com variável base sísmica nas correspondentes direcções X e Y (ELU_ENV-SX e
ELU_ENV-SY) a cor de laranja e verde, respectivamente. Encontram-se assim descriminados para
permitir a compreensão das combinações condicionantes ao longo das vigas, sendo que os esforços
considerados na verificação corresponderam à envolvente global de combinações (ELU_ENV).
8.4 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DE PILARES
Ao contrário do que acontece vulgarmente em vigas, o esforço axial actuante nos pilares não pode
ser desprezado. Desta forma, a verificação à flexão e à compressão/tracção deve ser feita
conjuntamente através duma análise à flexão composta. Para o efeito, foram considerados os
esforços actuantes correspondentes às combinações fundamentais (ELU1 a ELU5). Estes esforços
foram naturalmente obtidos do modelo de cálculo tridimensional. Os pilares considerados no
dimensionamento correspondem aos pilares PC4, PD3, PE2, PE4, PG4 e PR6.
Figura 8.32 – Localização dos pilares analisados. Pilar PC4 a cor de laranja, pilar PD3 a verde, pilar PE2 a
encarnado, pilar PE4 a roxo e pilar PR6 a amarelo
O pré-dimensionamento destes pilares ditou as seguintes dimensões:
Pilar a [m] b [m]
PC4 0.45 0.80
PD3 0.35 1.20
PE2 0.35 0.70
PE4 0.35 0.95/0.35
PR6 0.35 0.40
103
8.4.1 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS
8.4.1.1 Esforços Resistentes – Interacção de Momento e Esforço Axial Resistentes (Flexão
Composta)
Considerando as expressões apresentadas em 7.1.2, foram determinados os valores de interacção
MRd-NRd para cada pilar, através do programa de cálculo desenvolvido. Em Anexo encontram-se as
folhas de apresentação obtidas no programa com a envolvente de esforços resistentes e valores de
esforços actuantes. Os esforços M3 correspondem à orientação de 0º do programa e os esforços M2
correspondem à orientação de 90º do programa.
Segundo os artigos 121.1º e 121.2º do REBAP a área de armadura (considerando o aço A400) não
deve ser inferior 0.6% da secção do pilar, nem superior a 8%, mesmo em zonas de emenda com
sobreposição de varões.
8.4.1.2 Cálculo dos Esforços Resistentes – Esforço Transverso
O cálculo do esforço transverso é semelhante ao das vigas, pelo que em Anexo se apresentam
igualmente os valores dos esforços transversos resistentes para cada pilar para uma gama de
estribos usuais. Estes têm o objectivo de cintar o betão e impedir a encurvadura dos varões
longitudinais, tendo sido dispostos conforme as especificações indicadas no artigo 122º do REBAP.
8.4.1.3 Esforços Actuantes – Esforço Axial, Momento e Esforço Transverso
Com o mesmo critério de apresentação patente nos diagramas das vigas, os diagramas
apresentados em Anexo correspondem aos resultados máximos e mínimos de esforço axial,
momento M3 e momento M2 obtidos do modelo, bem como de esforço transverso.
Naturalmente a combinação ELU1 é condicionante para o esforço axial e as envolventes de
combinações ELU_ENV-SX (ELU2 e ELU3) e ELU_ENV-SY (ELU4 e ELU5) são condicionante para
os momentos e esforço transverso.
104
8.5 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA DO NÚCLEO
A análise do núcleo é semelhante à análise efectuada para os pilares, sendo até comum verificar este
tipo de estrutura através da consideração de pilares fictícios. No entanto, o processo utilizado na
verificação da flexão composta deste elemento neste trabalho foi bastante mais simples.
8.5.1 VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA AOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS
8.5.1.1 Esforços Resistentes – Interacção de Momento e Esforço Axial Resistentes (Flexão
Composta)
Considerando as expressões apresentadas em 7.1.2, foram determinados os valores de interacção
MRd-NRd do núcleo, através da variante do programa de cálculo desenvolvido que permite calcular
secções em “T” e em “H”. O núcleo foi assim verificado à flexão bi-composta, considerando as
seguintes secções equivalentes para cada direcção:
Figura 8.33 – Secção equivalente do núcleo na direcção do momento
indicado (M33)
Figura 8.34 – Secção do núcleo Figura 8.35 – Secção equivalente do núcleo na direcção do momento
indicado (M22)
Em Anexo encontram-se as folhas de apresentação obtidas no programa com a envolvente de
esforços resistentes e valores de esforços actuantes. Os esforços foram analisados de forma análoga
à considerada na verificação dos pilares.
8.5.1.2 Cálculo dos Esforços Resistentes – Esforço Transverso
O cálculo do esforço transverso é semelhante ao dos pilares, pelo que em Anexo se apresentam os
valores dos esforços transversos resistentes para o núcleo para uma gama de estribos usuais.
8.5.1.3 Esforços Actuantes – Esforço Axial, Momento e Esforço Transverso
Os diagramas de esforços actuantes do núcleo encontram-se apresentados em Anexo de forma
análoga à dos pilares.
0.225 0.225
2.45
0.975
0.975
0.225
0.225
1.95
0.45 0.225
2.45
0.225
105
9 CONCLUSÃO
Em primeiro lugar é de referir que o principal objectivo deste trabalho foi cumprido ao percorrer as
principais fases de um projecto de estruturas, finalizando uma concepção estrutural funcional cuja
solução cumpriu o projecto de arquitectura sem alterações significativas.
Ao longo do trabalho foi posta à prova a plataforma de conhecimentos adquiridas, a qual permitiu
uma análise de todos os diferentes tipos de elementos estruturais, apesar de nem todos terem sido
pormenorizados.
Comparando os valores do pré-dimensionamento com os valores obtidos do modelo conclui-se que
ao nível dos pilares estes se revelaram semelhantes, apesar de existirem pilares com diferenças
significativas. No que diz respeito às vigas, estes valores não foram tão próximos se bem que
permitiram obter uma ordem de grandeza coerente do resultado final. De facto, esta análise inicial é
de elevada importância, uma vez que permite obter uma ideia razoável das dimensões iniciais
necessárias aos elementos estruturais. No entanto, e para o caso de uma estrutura irregular como
esta, a profundidade dessa análise deve ser cuidada de forma a não se perder tempo desnecessário
com cálculos que podem devolver resultados incorrectos. Deve assim ser pesado o rigor do cálculo
do pré-dimensionamento com a fiabilidade dos resultados a obter. Posto isto, destaca-se a clara
relevância da utilização de modelos tridimensionais no projecto de estruturas, de forma a se
alcançarem os valores o mais correctos possível.
Quanto ao comportamento dinâmico da estrutura, considerando a irregularidade do edifício quer em
planta, quer em altura, este revelou-se de difícil interpretação, particularmente ao nível dos modos de
vibração onde os factores de participação modal indiciavam um comportamento dinâmico diferente do
observado nas deformadas globais da estrutura.
No que diz respeito ao programa de verificação de secções de betão armado à flexão composta
desenvolvido no âmbito desta dissertação, este revelou-se de grande utilidade uma vez que permite a
verificação automática dum conjunto significativo de pilares, paredes e núcleos, e ainda a
determinação de esforços resistente em lajes pré-esforçadas.
107
BIBLIOGRAFIA
Bezzeghoud, M., Borges, J. F., Caldeira, B.; Actividade Sísmica em Portugal; Évora; Departamento
de Física e Centro de Geofísica de Évora.
Bhatt, C. A.; Análise Sísmica de Edifícios de Betão Armado segundo o Eurocódigo 8 – Análises
Lineares e Não Lineares; Lisboa; Instituto Superior Técnico; 2007.
Camacho, J. S.; Concreto Armado: Estados Limites de Utilização; Ilha Solteira; Faculdade de
Engenharia de Ilha Solteira; 2005.
Camposinhos, Rui de Sousa; Lajes Pré-Esforçadas por Cabos Não Aderentes; Porto; Faculdade de
Engenharia da Universidade do Porto; 1991.
Freitas, Fernanda; Flexão Composta; FCTUC; 2007/2008.
Guerra, N. M C.; Análise de Estruturas Geotécnicas; 2008.
Marchão, Carla e Appleton, Júlio; Introdução ao Comportamento das Estruturas de Betão Armado;
Lisboa; Instituto Superior Técnico; 2008/2009.
Marchão, Carla e Appleton, Júlio; Verificação da Segurança aos Estados Limites Últimos de
Elementos com Esforço Axial Desprezável; Lisboa; Instituto Superior Técnico; 2008/2009.
Marchão, Carla e Appleton, Júlio; Verificação do Comportamento em Serviço (Estados Limites se
Utilização – SLS); Lisboa; Instituto Superior Técnico; 2008/2009.
Marchão, Carla e Appleton, Júlio; Verificação da Segurança aos Estados Limites Últimos de
Elementos com Esforço Axial Não Desprezável; Lisboa; Instituto Superior Técnico; 2008/2009.
Marchão, Carla e Appleton, Júlio; Pré-Esforço; Lisboa; Instituto Superior Técnico; 2007/2008.
Marchão, Carla e Appleton, Júlio; Lajes de Betão Armado; Lisboa; Instituto Superior Técnico;
2007/2008.
Marchão, Carla e Appleton, Júlio; Fundações de Edifícios; Lisboa; Instituto Superior Técnico;
2007/2008.
Martins, João Guerra; Lajes Fungiformes; 2009.
Martins, João Guerra; Lajes Vigadas; 2009.
Martins, João Guerra; Acção dos Sismos; 2009.
Martins, João Guerra; Pilares em Betão Armado; 2003.
Matrena, C. M.; Análise e Dimensionamento de Estrutura de um Edifício no Parque das Nações;
Lisboa; Instituto Superior Técnico; 2008.
Santos, Álvaro; Martins, João Guerra; Fundamentos de Betão Pré-Esforçado; 2006.
108
Eurcódigo 2 – Projecto de Estruturas de Betão, Parte 1-1:Regras Gerais e Regras para Edifícios;
LNEC; 2010.
Eurcódigo 7 – Projecto Geotécnico: Regras Gerais; LNEC; 2010.
Eurcódigo 8 – Projecto de Estruturas para Resistência aos Sismos, Parte 1:Regras Gerais, Acções
Sísmica e Regras para Edifícios; LNEC; 2010.
R.S.A. – Regulamento de Segurança e Acções para Estruturas de Edifícios e Pontes; Porto; Porto
Editora; 1983.
R.E.B.A.P. – Regulamento de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado; Porto; Porto Editora;
1983.
ÍNDICE DE ANEXOS
Anexo A.1 – DIAGRAMAS DE INTERACÇÃO NRD – MRD DE LAJES PRÉ-ESFORÇADAS
Anexo A.2 – MOMENTOS RESISTENTES DE LAJES MACIÇAS
Anexo A.3 – DIAGRAMAS DE MOMENTO E ESFORÇO TRANSVERSO ACTUANTES EM
LAJES
Anexo A.4 – VERIFICAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS DE PUNÇOAMENTO EM
LAJES
Anexo A.5 – DEFORMADAS DE VIGAS
Anexo A.6 – MOMENTOS RESISTENTES DE VIGAS
Anexo A.7 – ESFORÇO TRANSVERSO RESISTENTE DE VIGAS
Anexo A.8 – DIAGRAMAS DE MOMENTO E ESFORÇO TRANSVERSO ACTUANTES EM
VIGAS
Anexo A.9 – DIAGRAMAS DE INTERACÇÃO MOMENTO NRD – MRD DE PILARES
Anexo A.10 – ESFORÇO TRANSVERSO RESISTENTE DE PILARES
Anexo A.11 – DIAGRAMAS DE ESFORÇO AXIAL, MOMENTO E ESFORÇO TRANSVERSO
ACTUANTES EM PILARES
Anexo A.12 – DIAGRAMAS DE INTERACÇÃO MOMENTO-ESFORÇO AXIAL RESISTENTE DO
NÚCLEO
Anexo A.13 – ESFORÇO TRANSVERSO RESISTENTE DO NÚCLEO
Anexo A.14 – DIAGRAMAS DE MOMENTO E ESFORÇO AXIAL E DE ESFORÇO
TRANSVERSO ACTUANTES NO NÚCLEO
ANEXO A.1 – DIAGRAMAS DE INTERACÇÃO NRD – MRD DE LAJES PRÉ-ESFORÇADAS
‐7000
‐6000
‐5000
‐4000
‐3000
‐2000
‐1000
0
1000
2000
‐500 ‐400 ‐300 ‐200 ‐100 0 100 200 300 400 500
NRd[kN]
MRd [kN.m]
Diagrama de Interacção NRd ‐MRd ‐ Laje 0.50m
Φ10//0.10
Φ10//0.20+Φ12//0.20
Φ12//0.10
Φ12//0.20+Φ16//0.20
Φ16//0.10
‐7000
‐6000
‐5000
‐4000
‐3000
‐2000
‐1000
0
1000
2000
‐500 ‐400 ‐300 ‐200 ‐100 0 100 200 300 400 500
NRd[kN]
MRd [kN.m]
Diagrama de Interacção NRd ‐MRd ‐ Laje 0.35m
Φ10//0.10
Φ10//0.20+Φ12//0.20
Φ12//0.10
Φ12//0.20+Φ16//0.20
Φ16//0.10
‐3000
‐2500
‐2000
‐1500
‐1000
‐500
0
500
‐250 ‐200 ‐150 ‐100 ‐50 0 50 100 150 200 250 300
NRd[kN]
MRd [kN.m]
Diagrama de Interacção NRd ‐MRd ‐ Secção em "T"
2Φ10
2Φ12
2Φ16
2Φ20
ANEXO A.2 – MOMENTOS RESISTENTES DE LAJES MACIÇAS
b [m] h [m] b [m] h [m] b [m] h [m]
1.00 0.50 1.00 0.35 1.00 0.25
Armadura Distribuída As/s [cm2/m] x [m] Mrd [kN.m] x [m] Mrd [kN.m] x [m] Mrd [kN.m]
φ 10 // 20.0 3.93 0.012 62.86 0.012 42.37 0.012 28.71
φ 10 // 15.0 5.24 0.016 83.52 0.016 56.20 0.016 37.99
φ 12 // 20.0 5.65 0.017 90.10 0.017 60.59 0.017 40.92
φ 10 // 12.5 6.28 0.019 99.94 0.019 67.16 0.019 45.30
φ 12 // 30.0 + φ 10 // 30.0 6.39 0.020 101.58 0.020 68.25 0.020 46.03
φ 8 // 20.0 + φ 10 // 20.0 6.44 0.020 102.39 0.020 68.79 0.020 46.39
φ 12 // 17.5 6.46 0.020 102.74 0.020 69.03 0.020 46.55
φ 12 // 15.0 7.54 0.023 119.52 0.023 80.18 0.023 53.96
φ 10 // 10.0 7.85 0.024 124.40 0.024 83.42 0.024 56.10
φ 12 // 12.5 9.05 0.028 142.84 0.028 95.64 0.028 64.17
φ 12 // 20.0 + φ 10 // 20.0 9.58 0.029 151.06 0.029 101.06 0.029 67.74
φ 16 // 20.0 10.05 0.031 158.28 0.031 105.83 0.031 70.86
φ 12 // 30.0 + φ 16 // 30.0 10.47 0.032 164.69 0.032 110.05 0.032 73.63
φ 12 // 10.0 11.31 0.035 177.46 0.035 118.45 0.035 79.12
φ 16 // 17.5 11.49 0.035 180.19 0.035 120.25 0.035 80.28
φ 16 // 15.0 13.40 0.041 209.13 0.041 139.19 0.041 92.57
φ 12 // 20.0 + φ 16 // 20.0 15.71 0.048 243.52 0.048 161.57 0.048 106.93
φ 20 // 20.0 15.71 0.048 243.52 0.048 161.57 0.048 106.93
φ 16 // 12.5 16.08 0.049 249.11 0.049 165.19 0.049 109.24
φ 16 // 30.0 + φ 20 // 30.0 17.17 0.053 265.18 0.053 175.57 0.053 115.84
φ 20 // 17.5 17.95 0.055 276.59 0.055 182.93 0.055 120.49
φ 16 // 10.0 20.11 0.062 307.93 0.062 203.03 0.062 133.10
φ 20 // 15.0 20.94 0.064 320.02 0.064 210.74 0.064 137.89
φ 25 // 20.0 24.54 0.075 371.25 0.075 243.19 0.075 157.82
φ 20 // 12.5 25.13 0.077 379.52 0.077 248.40 0.077 160.98
φ 16 // 20.0 + φ 20 // 20.0 25.76 0.079 388.32 0.079 253.91 0.079 164.31
φ 20 // 30.0 + φ 25 // 30.0 26.83 0.082 403.27 0.082 263.26 0.082 169.93
φ 25 // 17.5 28.05 0.086 420.08 0.086 273.73 0.086 176.17
φ 20 // 10.0 31.42 0.096 465.98 0.096 302.07 0.096 192.79
φ 25 // 15.0 32.72 0.100 483.56 0.100 312.82 0.100 199.00
φ 25 // 12.5 39.27 0.121 569.30 0.121 364.41 0.121 227.82
φ 20 // 20.0 + φ 25 // 20.0 40.25 0.124 581.84 0.124 371.84 0.124 231.83
φ 25 // 10.0 49.09 0.151 691.05 0.151 434.94 0.151 264.20
(Nota: Os valores de x que se apresentam a cor de laranja estão compreendidos entre valores de 0.20d e 0.26d,
aqueles que se encontram rasurados a vermelhos apresentam valores superiores a 0.26d.)
ANEXO A.3 – DIAGRAMAS DE MOMENTO E ESFORÇO TRANSVERSO ACTUANTES EM LAJES
Os momentos seguem a seguinte orientação:
Figura 1 – Diagrama de momentos M11 da laje do piso 2
Figura 2 – Diagrama de momentos M22 da laje do piso 2
‐200 ‐169 ‐138 ‐107 ‐76 ‐45 ‐14 17 48 0 110 141 172 203 kN.m
‐250 ‐223 ‐196 ‐169 ‐142 ‐115 ‐88 ‐61 ‐34 0 20 47 74 101 kN.m
Figura 3 – Diagrama de esforço transverso V13 da laje do piso 2
Figura 4 – Diagrama de esforço transverso V23 da laje do piso 2
‐300 ‐254 ‐208 ‐162 ‐116 ‐70 ‐24 22 68 0 160 206 252 298 kN
‐300 ‐254 ‐208 ‐162 ‐116 ‐70 ‐24 22 68 0 160 206 252 298 kN
Figura 5 – Diagrama de momentos M11 das lajes de cobertura
Figura 6 – Diagrama de momentos M22 das lajes de cobertura
‐200 ‐177 ‐154 ‐131 ‐108 ‐85 ‐62 ‐39 ‐16 0 30 53 76 99 kN.m
‐200 ‐177 ‐154 ‐131 ‐108 ‐85 ‐62 ‐39 ‐16 0 30 53 76 99 kN.m
Figura 7 – Diagrama de esforço transverso V13 das lajes de cobertura
Figura 8 – Diagrama de esforço transverso V23 das lajes de cobertura
‐300 ‐254 ‐208 ‐162 ‐116 ‐70 ‐24 22 68 0 160 206 252 298 kN
‐300 ‐254 ‐208 ‐162 ‐116 ‐70 ‐24 22 68 0 160 206 252 298 kN
ANEXO A.4 – VERIFICAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS DE PUNÇOAMENTO EM LAJES
Características Pilar Dimensões Laje Perímetro de Controlo
Esforços Actuantes no topo do Pilar
Cálculo β e vSd Punçoamento Resistente
Pilar Comb Condição do pilar h [m]
c [m] d [m]
Redução [m]
u1
[m] NSd
[kN] MSd
3
[kN.m] MSd
2
[kN.m] β β3 β2 vsd
[kN/m2]
vsd3
[kN/m2]
vsd2
[kN/m2]
vRd,c[kN/m
2]
VRd,c [kN]
PB2‐2 ELU1 Pilar Central 0.3 0.03 0.27 0 4.79 419 101 ‐74 1.43 462.09 488.49 632.15 PB2‐2 ELU2 Pilar Central 0.3 0.03 0.27 0 4.79 248 145 37 2.04 391.74 488.49 632.15 PB2‐2 ELU2 Pilar Central 0.3 0.03 0.27 0 4.79 287 ‐15 ‐122 1.09 242.46 488.49 632.15 PB2‐2 ELU3 Pilar Central 0.3 0.03 0.27 0 4.79 247 158 48 2.14 407.81 488.49 632.15 PB2‐2 ELU3 Pilar Central 0.3 0.03 0.27 0 4.79 288 ‐27 ‐133 1.17 260.19 488.49 632.15 PB2‐2 ELU4 Pilar Central 0.3 0.03 0.27 0 4.79 250 131 37 1.93 374.03 488.49 632.15 PB2‐2 ELU4 Pilar Central 0.3 0.03 0.27 0 4.79 285 ‐1 ‐122 1.01 221.46 488.49 632.15 PB2‐2 ELU5 Pilar Central 0.3 0.03 0.27 0 4.79 252 132 38 1.93 375.78 488.49 632.15 PB2‐2 ELU5 Pilar Central 0.3 0.03 0.27 0 4.79 283 ‐1 ‐122 1.01 220.66 488.49 632.15
PB4‐2 ELU1 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.00 529 125 21 1.12 1.12 1.02 313.80 314.43 286.86 360.61 678.48 PB4‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.00 320 123 111 1.27 1.19 1.17 215.65 202.69 199.36 360.61 678.48 PB4‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.00 353 35 ‐87 0.97 1.05 0.88 182.40 196.82 164.43 360.61 678.48 PB4‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.00 320 127 124 1.29 1.20 1.19 218.89 203.45 202.62 360.61 678.48 PB4‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.00 353 31 ‐100 0.95 1.04 0.86 179.16 196.06 161.17 360.61 678.48 PB4‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.00 320 110 110 1.27 1.17 1.17 215.58 199.42 199.28 360.61 678.48 PB4‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.00 353 48 ‐87 0.97 1.07 0.88 182.47 200.08 164.51 360.61 678.48 PB4‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.00 323 109 110 1.27 1.17 1.17 217.62 200.85 201.15 360.61 678.48 PB4‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.00 350 49 ‐87 0.97 1.07 0.88 180.43 198.66 162.63 360.61 678.48
PC2‐2 ELU1 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 519 ‐142 ‐169 0.96 0.89 0.87 242.72 225.68 220.54 360.61 737.80 PC2‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 304 106 1 1.09 1.14 1.00 162.09 169.77 149.08 360.61 737.80 PC2‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 360 ‐285 ‐207 0.86 0.68 0.77 150.53 119.78 135.15 360.61 737.80 PC2‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 303 136 15 1.11 1.18 1.02 163.93 174.74 150.99 360.61 737.80 PC2‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 362 ‐314 ‐221 0.84 0.65 0.75 148.68 114.82 133.23 360.61 737.80 PC2‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 299 72 13 1.10 1.10 1.02 161.27 160.12 148.50 360.61 737.80 PC2‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 366 ‐250 ‐218 0.85 0.72 0.76 151.35 129.44 135.72 360.61 737.80 PC2‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 300 72 12 1.10 1.10 1.02 162.03 160.86 149.20 360.61 737.80 PC2‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 364 ‐250 ‐218 0.85 0.72 0.76 150.58 128.69 135.02 360.61 737.80
PC4‐2 ELU1 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.31 1015 50 89 1.05 273.14 360.61 1407.80 PC4‐2 ELU2 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.31 622 353 210 1.59 253.17 360.61 1407.80 PC4‐2 ELU2 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.31 662 ‐294 ‐104 1.46 247.52 360.61 1407.80 PC4‐2 ELU3 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.31 622 398 223 1.66 264.94 360.61 1407.80 PC4‐2 ELU3 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.31 662 ‐339 ‐117 1.53 259.56 360.61 1407.80 PC4‐2 ELU4 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.31 625 378 164 1.63 260.45 360.61 1407.80 PC4‐2 ELU4 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.31 658 ‐318 ‐57 1.50 253.13 360.61 1407.80 PC4‐2 ELU5 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.31 628 379 160 1.63 261.47 360.61 1407.80 PC4‐2 ELU5 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.31 656 ‐320 ‐54 1.50 252.87 360.61 1407.80
PC5‐2 ELU1 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.10 396 54 74 1.18 1.06 1.09 242.35 218.35 223.20 360.61 695.43 PC5‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.10 221 113 128 1.36 1.24 1.27 156.28 141.97 145.58 360.61 695.43 PC5‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.10 289 ‐42 ‐34 1.04 0.93 0.95 155.49 139.39 141.54 360.61 695.43 PC5‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.10 218 110 138 1.39 1.24 1.30 156.78 139.51 146.26 360.61 695.43 PC5‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.10 292 ‐40 ‐44 1.02 0.94 0.93 155.00 141.85 140.86 360.61 695.43 PC5‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.10 217 78 136 1.39 1.17 1.29 155.99 131.41 145.50 360.61 695.43 PC5‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.10 293 ‐8 ‐42 1.03 0.99 0.93 155.79 149.95 141.63 360.61 695.43 PC5‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.10 218 74 136 1.38 1.16 1.29 156.36 130.73 145.83 360.61 695.43 PC5‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.10 292 ‐4 ‐42 1.03 0.99 0.93 155.42 150.64 141.29 360.61 695.43
PD2‐2 ELU1 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 473 2 ‐54 1.04 1.00 0.95 240.73 231.56 220.52 360.61 737.80 PD2‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 187 115 26 1.14 1.25 1.06 104.73 114.32 96.72 360.61 737.80 PD2‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 435 ‐111 ‐92 1.00 0.90 0.92 213.39 191.00 194.78 360.61 737.80 PD2‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 182 122 33 1.16 1.27 1.07 103.33 113.02 95.54 360.61 737.80 PD2‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 441 ‐117 ‐99 1.00 0.89 0.91 214.79 192.30 195.96 360.61 737.80 PD2‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 129 130 43 1.22 1.41 1.14 77.09 88.67 71.58 360.61 737.80 PD2‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 494 ‐126 ‐109 1.00 0.90 0.91 241.03 216.65 219.92 360.61 737.80 PD2‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 142 112 42 1.21 1.32 1.12 84.00 91.64 77.91 360.61 737.80 PD2‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 481 ‐108 ‐108 1.00 0.91 0.91 234.13 213.68 213.59 360.61 737.80
PD3‐2 ELU1 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 9.01 1086 23 21 1.02 261.93 360.61 1526.45 PD3‐2 ELU2 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 9.01 644 431 146 1.67 253.60 360.61 1526.45 PD3‐2 ELU2 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 9.01 752 ‐389 ‐105 1.51 269.24 360.61 1526.45 PD3‐2 ELU3 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 9.01 644 422 163 1.65 251.72 360.61 1526.45 PD3‐2 ELU3 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 9.01 752 ‐380 ‐122 1.50 267.19 360.61 1526.45 PD3‐2 ELU4 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 9.01 659 382 122 1.58 245.45 360.61 1526.45 PD3‐2 ELU4 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 9.01 738 ‐339 ‐81 1.46 254.20 360.61 1526.45 PD3‐2 ELU5 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 9.01 662 353 121 1.53 239.69 360.61 1526.45 PD3‐2 ELU5 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 9.01 734 ‐311 ‐80 1.42 246.70 360.61 1526.45
PD4‐2 ELU1 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.01 719 19 11 1.03 196.41 360.61 1356.96 PD4‐2 ELU2 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.01 407 219 93 1.57 170.24 360.61 1356.96 PD4‐2 ELU2 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.01 523 ‐198 ‐77 1.40 195.12 360.61 1356.96 PD4‐2 ELU3 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.01 402 248 99 1.66 176.95 360.61 1356.96 PD4‐2 ELU3 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.01 528 ‐227 ‐84 1.46 204.74 360.61 1356.96 PD4‐2 ELU4 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.01 400 283 69 1.76 186.69 360.61 1356.96 PD4‐2 ELU4 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.01 530 ‐263 ‐53 1.53 215.19 360.61 1356.96 PD4‐2 ELU5 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.01 401 281 66 1.75 186.18 360.61 1356.96 PD4‐2 ELU5 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.01 529 ‐260 ‐51 1.52 214.19 360.61 1356.96
PD5‐2 ELU1 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.00 416 ‐20 24 1.12 0.98 1.03 248.76 215.87 227.56 360.61 678.48 PD5‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.00 256 47 50 1.19 1.09 1.10 162.24 148.28 149.22 360.61 678.48 PD5‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.00 281 ‐75 ‐19 1.06 0.87 0.97 158.49 129.43 144.19 360.61 678.48 PD5‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.00 254 45 55 1.20 1.09 1.11 162.69 147.15 149.74 360.61 678.48 PD5‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.00 282 ‐73 ‐24 1.05 0.87 0.96 158.04 130.56 143.68 360.61 678.48 PD5‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.00 256 20 61 1.21 1.04 1.12 165.08 141.17 152.06 360.61 678.48 PD5‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.00 281 ‐48 ‐30 1.04 0.91 0.95 155.65 136.54 141.35 360.61 678.48 PD5‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.00 256 17 60 1.21 1.03 1.12 165.05 140.41 152.01 360.61 678.48 PD5‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.00 281 ‐45 ‐29 1.04 0.92 0.95 155.69 137.30 141.40 360.61 678.48
PE2‐2 ELU1 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 1342 99 ‐98 1.06 1.03 0.97 694.23 675.67 636.86 360.61 737.80 PE2‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 762 165 ‐10 1.08 1.09 0.99 403.28 405.10 370.71 360.61 737.80 PE2‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 984 ‐40 ‐90 1.05 0.98 0.96 505.58 473.23 463.51 360.61 737.80 PE2‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 750 166 ‐4 1.09 1.09 1.00 397.98 399.40 365.92 360.61 737.80 PE2‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 996 ‐41 ‐95 1.05 0.98 0.96 510.88 478.93 468.30 360.61 737.80 PE2‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 768 190 3 1.09 1.10 1.00 408.82 412.88 376.00 360.61 737.80 PE2‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 979 ‐65 ‐102 1.05 0.97 0.96 500.04 465.46 458.23 360.61 737.80 PE2‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 775 168 2 1.09 1.09 1.00 412.36 412.00 379.23 360.61 737.80 PE2‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 971 ‐43 ‐101 1.05 0.98 0.96 496.51 466.33 454.99 360.61 737.80
PE4‐2 ELU1 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.51 1479 32 ‐48 1.02 377.98 360.61 1441.70 PE4‐2 ELU2 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.51 857 183 106 1.22 261.53 360.61 1441.70 PE4‐2 ELU2 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.51 1003 ‐188 ‐156 1.19 299.09 360.61 1441.70 PE4‐2 ELU3 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.51 856 201 115 1.24 265.89 360.61 1441.70 PE4‐2 ELU3 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.51 1004 ‐206 ‐166 1.21 304.06 360.61 1441.70 PE4‐2 ELU4 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.51 825 292 72 1.36 281.38 360.61 1441.70 PE4‐2 ELU4 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.51 1035 ‐296 ‐122 1.29 335.00 360.61 1441.70 PE4‐2 ELU5 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.51 836 280 68 1.34 281.25 360.61 1441.70 PE4‐2 ELU5 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 8.51 1024 ‐285 ‐118 1.29 329.20 360.61 1441.70
PE5‐2 ELU1 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.20 317 75 0 1.09 1.10 1.00 175.29 177.18 160.69 360.61 712.38 PE5‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.20 163 175 54 1.24 1.47 1.15 102.28 121.52 94.77 360.61 712.38 PE5‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.20 252 ‐84 ‐49 1.01 0.85 0.91 127.95 108.65 116.39 360.61 712.38 PE5‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.20 160 170 61 1.26 1.47 1.17 101.88 118.78 94.53 360.61 712.38 PE5‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.20 255 ‐80 ‐56 0.99 0.86 0.90 128.35 111.39 116.62 360.61 712.38 PE5‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.20 145 102 81 1.34 1.31 1.25 98.14 95.95 91.47 360.61 712.38 PE5‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.20 270 ‐11 ‐76 0.97 0.98 0.88 132.09 134.22 119.68 360.61 712.38 PE5‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.20 147 94 79 1.33 1.28 1.24 99.07 95.51 92.28 360.61 712.38 PE5‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.20 267 ‐3 ‐74 0.97 0.99 0.88 131.16 134.66 118.87 360.61 712.38
PF2‐2 ELU1 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 1466 ‐42 ‐136 1.05 0.99 0.96 752.22 707.99 689.59 360.61 737.80 PF2‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 834 81 ‐44 1.07 1.04 0.98 434.51 423.50 398.87 360.61 737.80 PF2‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 1057 ‐128 ‐94 1.05 0.95 0.96 543.12 491.26 497.96 360.61 737.80 PF2‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 826 82 ‐44 1.07 1.04 0.98 430.49 420.14 395.18 360.61 737.80 PF2‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 1064 ‐130 ‐94 1.05 0.95 0.96 547.14 494.62 501.66 360.61 737.80 PF2‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 834 102 ‐26 1.07 1.05 0.99 437.94 427.55 402.31 360.61 737.80 PF2‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 1057 ‐150 ‐112 1.04 0.94 0.96 539.69 487.22 494.52 360.61 737.80 PF2‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 844 79 ‐36 1.07 1.04 0.98 441.72 428.26 405.64 360.61 737.80 PF2‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.35 1046 ‐126 ‐103 1.05 0.95 0.96 535.91 486.50 491.19 360.61 737.80
PF4‐2 ELU1 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 2 6.21 1527 167 ‐51 1.11 583.12 360.61 1051.88 PF4‐2 ELU2 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 2 6.21 861 207 37 1.25 369.09 360.61 1051.88 PF4‐2 ELU2 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 2 6.21 1084 ‐61 ‐106 1.06 393.44 360.61 1051.88 PF4‐2 ELU3 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 2 6.21 856 209 44 1.25 368.17 360.61 1051.88 PF4‐2 ELU3 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 2 6.21 1089 ‐63 ‐112 1.06 395.74 360.61 1051.88 PF4‐2 ELU4 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 2 6.21 844 228 13 1.28 370.73 360.61 1051.88 PF4‐2 ELU4 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 2 6.21 1101 ‐82 ‐81 1.08 406.90 360.61 1051.88 PF4‐2 ELU5 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 2 6.21 857 217 13 1.26 371.12 360.61 1051.88 PF4‐2 ELU5 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 2 6.21 1088 ‐71 ‐81 1.07 398.65 360.61 1051.88
PF5‐2 ELU1 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.20 212 ‐42 ‐16 1.06 0.91 0.97 113.71 98.22 103.95 360.61 712.38 PF5‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.20 68 66 46 1.39 1.42 1.30 48.03 49.27 44.89 360.61 712.38 PF5‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.20 210 ‐116 ‐63 0.96 0.76 0.87 101.84 80.52 92.19 360.61 712.38 PF5‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.20 64 64 49 1.42 1.44 1.33 46.34 46.79 43.39 360.61 712.38 PF5‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.20 214 ‐114 ‐66 0.96 0.77 0.87 103.53 83.00 93.70 360.61 712.38 PF5‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.20 39 34 69 1.86 1.38 1.77 36.86 27.19 35.06 360.61 712.38 PF5‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.20 239 ‐83 ‐86 0.93 0.85 0.84 113.02 102.60 102.02 360.61 712.38 PF5‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.20 46 29 63 1.69 1.27 1.60 39.64 29.81 37.51 360.61 712.38 PF5‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.20 232 ‐78 ‐80 0.94 0.85 0.85 110.24 99.98 99.57 360.61 712.38
PG2‐2 ELU1 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.40 1153 108 ‐105 1.05 1.04 0.96 585.14 577.46 537.04 360.61 746.27 PG2‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.40 629 187 ‐23 1.07 1.12 0.99 325.82 339.58 299.57 360.61 746.27 PG2‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.40 889 ‐61 ‐87 1.05 0.97 0.96 450.33 418.26 413.22 360.61 746.27 PG2‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.40 618 190 ‐23 1.07 1.12 0.99 319.96 334.59 294.18 360.61 746.27 PG2‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.40 901 ‐63 ‐88 1.05 0.97 0.96 456.19 423.26 418.61 360.61 746.27 PG2‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.40 650 211 ‐7 1.08 1.13 1.00 339.78 354.09 312.67 360.61 746.27 PG2‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.40 869 ‐85 ‐104 1.04 0.96 0.95 436.37 403.76 400.12 360.61 746.27 PG2‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.40 658 186 ‐20 1.07 1.11 0.99 341.38 352.97 313.94 360.61 746.27 PG2‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 0 4.40 861 ‐59 ‐91 1.05 0.97 0.96 434.78 404.87 398.85 360.61 746.27
PG4‐2 ELU1 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 ‐1 5.35 1513 73 43 1.08 1.02 1.01 651.79 615.54 609.73 360.61 907.29 PG4‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 ‐1 5.35 820 139 82 1.12 1.08 1.05 364.87 353.17 342.08 360.61 907.29 PG4‐2 ELU2 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 ‐1 5.35 1094 ‐55 ‐54 1.05 0.98 0.98 454.66 424.05 424.24 360.61 907.29 PG4‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 ‐1 5.35 817 135 85 1.12 1.08 1.05 364.00 351.19 341.30 360.61 907.29 PG4‐2 ELU3 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 ‐1 5.35 1098 ‐52 ‐57 1.04 0.98 0.97 455.54 426.03 425.02 360.61 907.29 PG4‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 ‐1 5.35 856 115 88 1.12 1.07 1.05 381.39 363.03 357.59 360.61 907.29 PG4‐2 ELU4 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 ‐1 5.35 1058 ‐32 ‐60 1.04 0.99 0.97 438.14 414.19 408.73 360.61 907.29 PG4‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 ‐1 5.35 870 110 76 1.11 1.06 1.04 385.08 367.61 360.88 360.61 907.29 PG4‐2 ELU5 Pilar de Bordo (lado3) 0.5 0.03 0.47 ‐1 5.35 1044 ‐27 ‐48 1.05 0.99 0.98 434.46 409.60 405.43 360.61 907.29
PI6‐2 ELU1 Pilar de Canto 0.5 0.03 0.47 0 2.18 92 31 59 1.19 1.12 1.23 106.84 100.51 110.44 360.61 368.90 PI6‐2 ELU2 Pilar de Canto 0.5 0.03 0.47 0 2.18 47 67 106 1.19 1.51 1.81 55.18 69.92 83.77 360.61 368.90 PI6‐2 ELU2 Pilar de Canto 0.5 0.03 0.47 0 2.18 69 ‐29 ‐29 1.19 0.85 0.85 80.61 57.39 57.28 360.61 368.90 PI6‐2 ELU3 Pilar de Canto 0.5 0.03 0.47 0 2.18 46 66 114 1.19 1.52 1.90 53.38 68.21 84.95 360.61 368.90 PI6‐2 ELU3 Pilar de Canto 0.5 0.03 0.47 0 2.18 71 ‐28 ‐37 1.19 0.85 0.81 82.41 59.09 56.09 360.61 368.90 PI6‐2 ELU4 Pilar de Canto 0.5 0.03 0.47 0 2.18 49 53 105 1.19 1.39 1.77 57.10 66.70 84.98 360.61 368.90 PI6‐2 ELU4 Pilar de Canto 0.5 0.03 0.47 0 2.18 68 ‐15 ‐28 1.19 0.92 0.85 78.68 60.60 56.07 360.61 368.90 PI6‐2 ELU5 Pilar de Canto 0.5 0.03 0.47 0 2.18 49 51 105 1.19 1.38 1.77 57.12 66.00 84.98 360.61 368.90 PI6‐2 ELU5 Pilar de Canto 0.5 0.03 0.47 0 2.18 68 ‐13 ‐28 1.19 0.93 0.85 78.66 61.30 56.06 360.61 368.90
PK7‐2 ELU1 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 7.01 415 ‐2 ‐4 1.00 0.99 125.43 124.84 360.61 1187.39 PK7‐2 ELU2 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 7.01 232 27 30 1.10 1.11 77.61 78.39 360.61 1187.39 PK7‐2 ELU2 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 7.01 303 ‐30 ‐35 0.92 0.90 84.32 82.89 360.61 1187.39 PK7‐2 ELU3 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 7.01 229 28 35 1.10 1.13 76.99 78.69 360.61 1187.39 PK7‐2 ELU3 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 7.01 306 ‐31 ‐40 0.91 0.89 84.94 82.59 360.61 1187.39 PK7‐2 ELU4 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 7.01 223 17 42 1.06 1.16 72.16 78.45 360.61 1187.39 PK7‐2 ELU4 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 7.01 312 ‐19 ‐46 0.95 0.87 89.77 82.84 360.61 1187.39 PK7‐2 ELU5 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 7.01 225 16 41 1.06 1.15 72.49 78.90 360.61 1187.39 PK7‐2 ELU5 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 7.01 310 ‐19 ‐46 0.95 0.87 89.44 82.38 360.61 1187.39
PM7‐2 ELU1 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 7.01 412 4 6 1.01 1.01 125.96 126.55 360.61 1187.39 PM7‐2 ELU2 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 7.01 176 42 30 1.20 1.14 64.23 60.96 360.61 1187.39 PM7‐2 ELU2 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 7.01 366 ‐39 ‐22 0.91 0.95 101.17 105.58 360.61 1187.39 PM7‐2 ELU3 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 7.01 174 43 33 1.21 1.16 63.79 61.19 360.61 1187.39 PM7‐2 ELU3 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 7.01 368 ‐39 ‐25 0.91 0.94 101.61 105.35 360.61 1187.39 PM7‐2 ELU4 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 7.01 216 24 44 1.10 1.17 71.70 76.81 360.61 1187.39 PM7‐2 ELU4 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 7.01 326 ‐20 ‐36 0.95 0.91 93.69 89.73 360.61 1187.39 PM7‐2 ELU5 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 7.01 216 23 43 1.09 1.17 71.39 76.57 360.61 1187.39 PM7‐2 ELU5 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 0 7.01 326 ‐19 ‐35 0.95 0.91 94.01 89.97 360.61 1187.39
PP7‐2 ELU1 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 4 3.01 371 ‐3 ‐2 0.99 0.99 260.88 261.59 360.61 509.44 PP7‐2 ELU2 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 4 3.01 144 25 31 1.14 1.18 116.74 120.31 360.61 509.44 PP7‐2 ELU2 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 4 3.01 346 ‐27 ‐32 0.93 0.92 228.90 225.84 360.61 509.44 PP7‐2 ELU3 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 4 3.01 146 25 32 1.14 1.18 117.83 122.24 360.61 509.44 PP7‐2 ELU3 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 4 3.01 344 ‐27 ‐33 0.93 0.92 227.81 223.91 360.61 509.44 PP7‐2 ELU4 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 4 3.01 208 19 43 1.08 1.17 158.40 172.91 360.61 509.44 PP7‐2 ELU4 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 4 3.01 282 ‐21 ‐44 0.94 0.87 187.24 173.24 360.61 509.44 PP7‐2 ELU5 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 4 3.01 209 17 40 1.07 1.16 158.00 171.45 360.61 509.44 PP7‐2 ELU5 Pilar Central 0.5 0.03 0.47 4 3.01 281 ‐19 ‐41 0.94 0.88 187.64 174.70 360.61 509.44
PR7‐2 ELU1 Pilar de Canto 0.5 0.03 0.47 0 2.53 342 222 23 1.26 1.26 1.02 363.53 363.12 292.48 360.61 428.22 PR7‐2 ELU2 Pilar de Canto 0.5 0.03 0.47 0 2.53 185 265 93 1.26 1.58 1.12 196.36 245.39 173.89 360.61 428.22 PR7‐2 ELU2 Pilar de Canto 0.5 0.03 0.47 0 2.53 258 28 ‐65 1.26 1.04 0.94 274.71 227.13 204.73 360.61 428.22 PR7‐2 ELU3 Pilar de Canto 0.5 0.03 0.47 0 2.53 183 270 91 1.26 1.59 1.12 194.65 245.77 172.05 360.61 428.22 PR7‐2 ELU3 Pilar de Canto 0.5 0.03 0.47 0 2.53 260 23 ‐63 1.26 1.04 0.94 276.42 226.75 206.56 360.61 428.22 PR7‐2 ELU4 Pilar de Canto 0.5 0.03 0.47 0 2.53 182 263 54 1.26 1.58 1.07 193.90 242.78 164.21 360.61 428.22 PR7‐2 ELU4 Pilar de Canto 0.5 0.03 0.47 0 2.53 261 30 ‐26 1.26 1.05 0.98 277.17 229.74 214.41 360.61 428.22 PR7‐2 ELU5 Pilar de Canto 0.5 0.03 0.47 0 2.53 186 253 49 1.26 1.55 1.06 198.03 242.67 166.63 360.61 428.22 PR7‐2 ELU5 Pilar de Canto 0.5 0.03 0.47 0 2.53 257 40 ‐22 1.26 1.06 0.98 273.04 229.85 211.98 360.61 428.22
ANEXO A.5 – DEFORMADAS DE VIGAS
Figura 1 – Deformadas das vigas V1.15 e V1.16
Figura 2 – Deformadas das vigas DC.1, DC.2, DC.3 e VC.6
Figura 3 – Deformadas das vigas DC.1, DC.2, DC.3 e VC.6 com novas dimensões da viga VC.6
Figura 4 – Deformadas da viga VC.5
ANEXO A.6 – MOMENTOS RESISTENTES DE VIGAS
b [m] h [m] b [m] h [m] b [m] h [m]
0.35 0.60 0.35 1.00 0.35 1.27
Armadura As [cm2] x [m] Mrd [kN.m] x [m] Mrd [kN.m] x [m] Mrd [kN.m]
3 φ 12
3.39 0.030 65.27 0.030 112.48 0.030 144.34
2 φ 16
4.02 0.035 77.05 0.035 133.00 0.035 170.77
2 φ 12 + 1 φ 16 4.27 0.037 81.74 0.037 141.18 0.037 181.31
4 φ 12
4.52 0.040 86.41 0.040 149.35 0.040 191.83
2 φ 16 + 1 φ 12 5.15 0.045 98.01 0.045 169.70 0.045 218.08
3 φ 16
6.03 0.053 114.10 0.053 198.02 0.053 254.67
3 φ 16 + 2 φ 12 8.29 0.073 154.60 0.073 269.99 0.073 347.88
2 φ 20
6.28 0.055 118.66 0.055 206.08 0.055 265.09
2 φ 16 + 1 φ 20 7.16 0.063 134.51 0.063 234.16 0.063 301.43
4 φ 16
8.04 0.071 150.16 0.071 262.06 0.071 337.59
2 φ 20 + 1 φ 16 8.29 0.073 154.60 0.073 269.99 0.073 347.88
4 φ 16 + 1 φ 12 9.17 0.080 170.01 0.080 297.64 0.080 383.79
3 φ 20
9.42 0.083 174.38 0.083 305.51 0.083 394.02
2 φ 25
9.82 0.086 181.18 0.086 317.77 0.086 409.97
2 φ 16 + 2 φ 20 10.30 0.090 189.55 0.090 332.92 0.090 429.69
2 φ 20 + 1 φ 25 11.19 0.098 204.66 0.098 360.38 0.098 465.48
2 φ 25 + 1 φ 16 11.83 0.104 215.38 0.104 379.94 0.104 491.03
6 φ 16
12.06 0.106 219.32 0.106 387.17 0.106 500.46
2 φ 20 + 3 φ 16 12.32 0.108 223.51 0.108 394.85 0.108 510.51
4 φ 20
12.57 0.110 227.69 0.110 402.53 0.110 520.54
2 φ 25 + 1 φ 20 12.96 0.114 234.19 0.114 414.49 0.114 536.19
2 φ 16 + 3 φ 20 13.45 0.118 242.19 0.118 429.26 0.118 555.54
2 φ 25 + 2 φ 16 13.84 0.121 248.60 0.121 441.14 0.121 571.10
3 φ 25
14.73 0.129 262.95 0.129 467.83 0.129 606.13
5 φ 20
15.71 0.138 278.59 0.138 497.14 0.138 644.66
2 φ 25 + 2 φ 20 16.10 0.141 284.79 0.141 508.80 0.141 660.00
3 φ 25 + 2 φ 16 18.75 0.164 325.55 0.164 586.38 0.164 762.45
2 φ 25 + 3 φ 20 19.24 0.169 332.98 0.169 600.70 0.169 781.41
4 φ 25
19.63 0.172 338.83 0.172 612.02 0.172 796.41
2 φ 20 + 3 φ 25 21.01 0.184 359.03 0.184 651.34 0.184 848.64
5 φ 25
24.54 0.215 408.85 0.215 750.32 0.215 980.82
(Nota: Os valores de x que se apresentam a cor de laranja estão compreendidos entre valores de 0.20d e 0.26d,
aqueles que se encontram rasurados a vermelhos apresentam valores superiores a 0.26d.)
ANEXO A.7 – ESFORÇO TRANSVERSO RESISTENTE DE VIGAS
b [m] h [m] b [m] h [m] b [m] h [m]
0.35 0.60 0.35 1.00 0.35 1.27
Estribos As/s [cm2/m] VRd,s [kN] VRd [kN] VRd,s [kN] VRd [kN] VRd,s [kN] VRd [kN]
φ 8 // 0.20
2 R 5.03 152.6 299.6 261.6 513.6 335.2 658.1
φ 8 // 0.175
2 R 5.74 174.4 321.4 299.0 551.0 383.1 706.0
φ 8 // 0.15
2 R 6.70 203.5 350.5 348.9 600.9 447.0 769.8
φ 8 // 0.125
2 R 8.04 244.2 391.2 418.6 670.6 536.4 859.2
φ 8 // 0.10
2 R 10.05 305.2 452.2 523.3 775.3 670.5 993.3
φ 8 // 0.20
4 R 10.05 305.2 452.2 523.3 775.3 670.5 993.3
φ 8 // 0.175
4 R 11.49 348.9 495.9 598.0 850.0 766.2 1089.1
φ 8 // 0.15
4 R 13.40 407.0 554.0 697.7 949.7 893.9 1216.8
φ 8 // 0.125
4 R 16.08 488.4 635.4 837.3 1089.3 1072.7 1395.6
φ 8 // 0.10
4 R 20.11 610.5 757.5 1046.6 1298.6 1340.9 1663.8
(Nota: Os valores de que se apresentam a cor de laranja são superiores a , á , pelo que se adoptou este último
valor.)
ANEXO A.8 – DIAGRAMAS DE MOMENTO E ESFORÇO TRANSVERSO ACTUANTES EM VIGAS
‐600
‐400
‐200
0
200
400
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
[kN.m
]
[m]
Diagrama de Momentos Actuantes ‐ Vigas V1.15 ‐ V1.16
ELU1 ELU_ENV‐SX ELU_ENV‐SY
‐1000
‐800
‐600
‐400
‐200
0
200
400
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
[kN.m
]
[m]
Diagrama de Momentos Actuantes ‐ Vigas DC.1 ‐ DC.3 e VC.6
ELU1 ELU_ENV‐SX ELU_ENV‐SY
‐50
0
50
100
150
200
250
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
[kN.m
]
[m]
Diagrama de Momentos Actuantes ‐ Viga VC.5
ELU1 ELU_ENV‐SX ELU_ENV‐SY
‐300
‐200
‐100
0
100
200
300
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
[kN.m
]
[m]
Diagrama de Esf. Transverso Actuante ‐ Vigas V1.15 ‐ V1.16
ELU1 ELU_ENV‐SX ELU_ENV‐SY
‐400
‐300
‐200
‐100
0
100
200
300
400
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
[kN.m
]
[m]
Diagrama de Esf. Transverso Actuante ‐ Vigas DC.1 ‐ DC.3 e VC.6
ELU1 ELU_ENV‐SX ELU_ENV‐SY
‐80
‐60
‐40
‐20
0
20
40
60
80
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
[kN.m
]
[m]
Diagrama de Esf. Transverso Actuante ‐ Viga VC.5
ELU1 ELU_ENV‐SX ELU_ENV‐SY
VERIFICAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS DE FLEXÃO BI‐COMPOSTA
PILAR PC4
Dimensões Secção
b [m] 0.45
h [m] 0.80
c [m] 0.035
Armadura
4 Φ 16 + 16 Φ 12
As [cm2] 26.14
[%] As 0.73%
Materiais
Betão C25/30
Aço A400NR
Secção Resistente 0º
NRd,máx [kN] 909
NRd,mín [kN] ‐6009
MRd,máx [kN.m] 439
MRd,mín [kN.m] ‐439
Secção Resistente 90º
NRd,máx [kN] 909
NRd,mín [kN] ‐6009
MRd,máx [kN.m] 209
MRd,mín [kN.m] ‐209
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
1.10
1.20
‐0.60 ‐0.40 ‐0.20 0.00 0.20 0.40 0.60
‐7000
‐6000
‐5000
‐4000
‐3000
‐2000
‐1000
0
1000
2000
‐800 ‐600 ‐400 ‐200 0 200 400 600 800
NRd[kN]
MRd [kN.m]
Diagramas de Interacção NRd ‐MRd Secção 0º e 90º
Esforços ‐ 0º Diagrama de Interacção ‐ 0º
Esforços ‐ 90º Diagrama de Interacção ‐ 90º
VERIFICAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS DE FLEXÃO BI‐COMPOSTA
PILAR PD3
Dimensões Secção
b [m] 0.35
h [m] 1.20
c [m] 0.035
Armadura
4 Φ 16 + 24 Φ 12
As [cm2] 35.19
[%] As 0.84%
Materiais
Betão C25/30
Aço A400NR
Secção Resistente 0º
NRd,máx [kN] 1224
NRd,mín [kN] ‐7174
MRd,máx [kN.m] 584
MRd,mín [kN.m] ‐584
Secção Resistente 90º
NRd,máx [kN] 1224
NRd,mín [kN] ‐7174
MRd,máx [kN.m] 231
MRd,mín [kN.m] ‐231
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
1.10
1.20
‐0.60 ‐0.40 ‐0.20 0.00 0.20 0.40 0.60
‐8000
‐7000
‐6000
‐5000
‐4000
‐3000
‐2000
‐1000
0
1000
2000
‐1500 ‐1000 ‐500 0 500 1000 1500
NRd[kN]
MRd [kN.m]
Diagramas de Interacção NRd ‐MRd Secção 0º e 90º
Esforços ‐ 0º Diagrama de Interacção ‐ 0º
Esforços ‐ 90º Diagrama de Interacção ‐ 90º
VERIFICAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS DE FLEXÃO BI‐COMPOSTA
PILAR PE2
Dimensões Secção
b [m] 0.35
h [m] 0.70
c [m] 0.035
Armadura
4 Φ 20 + 14 Φ 16
As [cm2] 40.72
[%] As 1.66%
Materiais
Betão C25/30
Aço A400NR
Secção Resistente 0º
NRd,máx [kN] 1416
NRd,mín [kN] ‐4887
MRd,máx [kN.m] 372
MRd,mín [kN.m] ‐372
Secção Resistente 90º
NRd,máx [kN] 1416
NRd,mín [kN] ‐4887
MRd,máx [kN.m] 188
MRd,mín [kN.m] ‐188
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
1.10
1.20
‐0.60 ‐0.40 ‐0.20 0.00 0.20 0.40 0.60
‐6000
‐5000
‐4000
‐3000
‐2000
‐1000
0
1000
2000
‐800 ‐600 ‐400 ‐200 0 200 400 600 800
NRd[kN]
MRd [kN.m]
Diagramas de Interacção NRd ‐MRd Secção 0º e 90º
Esforços ‐ 0º Diagrama de Interacção ‐ 0º
Esforços ‐ 90º Diagrama de Interacção ‐ 90º
VERIFICAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS DE FLEXÃO BI‐COMPOSTA
PILAR PE4 (1/2 – ATÉ AO PISO 1)
Dimensões Secção
b [m] 0.35
h [m] 0.95
c [m] 0.035
Armadura
20 Φ 16 + 6 Φ 12
As [cm2] 47.00
[%] As 1.41%
Materiais
Betão C25/30
Aço A400NR
Secção Resistente 0º
NRd,máx [kN] 1635
NRd,mín [kN] ‐6345
MRd,máx [kN.m] 512
MRd,mín [kN.m] ‐512
Secção Resistente 90º
NRd,máx [kN] 1635
NRd,mín [kN] ‐6345
MRd,máx [kN.m] 209
MRd,mín [kN.m] ‐209
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
1.10
1.20
‐0.60 ‐0.40 ‐0.20 0.00 0.20 0.40 0.60
‐7000
‐6000
‐5000
‐4000
‐3000
‐2000
‐1000
0
1000
2000
3000
‐1500 ‐1000 ‐500 0 500 1000 1500
NRd[kN]
MRd [kN.m]
Diagramas de Interacção NRd ‐MRd Secção 0º e 90º
Esforços ‐ 0º Diagrama de Interacção ‐ 0º
Esforços ‐ 90º Diagrama de Interacção ‐ 90º
VERIFICAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS DE FLEXÃO BI‐COMPOSTA
PILAR PE4 (2/2 – PISO 2)
Dimensões Secção
b [m] 0.35
h [m] 0.35
c [m] 0.035
Armadura
12 Φ 16
As [cm2] 24.13
[%] As 1.97%
Materiais
Betão C25/30
Aço A400NR
Secção Resistente 0º
NRd,máx [kN] 839
NRd,mín [kN] ‐2575
MRd,máx [kN.m] 94
MRd,mín [kN.m] ‐94
Secção Resistente 90º
NRd,máx [kN] 839
NRd,mín [kN] ‐2575
MRd,máx [kN.m] 107
MRd,mín [kN.m] ‐107
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
1.10
1.20
‐0.60 ‐0.40 ‐0.20 0.00 0.20 0.40 0.60
‐3000
‐2500
‐2000
‐1500
‐1000
‐500
0
500
1000
1500
‐200 ‐150 ‐100 ‐50 0 50 100 150 200
NRd[kN]
MRd [kN.m]
Diagramas de Interacção NRd ‐MRd Secção 0º e 90º
Esforços ‐ 0º Diagrama de Interacção ‐ 0º
Esforços ‐ 90º Diagrama de Interacção ‐ 90º
VERIFICAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS DE FLEXÃO BI‐COMPOSTA
PILAR PR6
Dimensões Secção
b [m] 0.35
h [m] 0.40
c [m] 0.035
Armadura
4 Φ 16 + 8 Φ 12
As [cm2] 17.09
[%] As 1.22%
Materiais
Betão C25/30
Aço A400NR
Secção Resistente 0º
NRd,máx [kN] 594
NRd,mín [kN] ‐2578
MRd,máx [kN.m] 309
MRd,mín [kN.m] ‐309
Secção Resistente 90º
NRd,máx [kN] 594
NRd,mín [kN] ‐2578
MRd,máx [kN.m] 115
MRd,mín [kN.m] ‐115
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
1.10
1.20
‐0.60 ‐0.40 ‐0.20 0.00 0.20 0.40 0.60
‐3000
‐2500
‐2000
‐1500
‐1000
‐500
0
500
1000
‐200 ‐150 ‐100 ‐50 0 50 100 150 200
NRd[kN]
MRd [kN.m]
Diagramas de Interacção NRd ‐MRd Secção 0º e 90º
Esforços ‐ 0º Diagrama de Interacção ‐ 0º
Esforços ‐ 90º Diagrama de Interacção ‐ 90º
ANEXO A.10 – ESFORÇO TRANSVERSO RESISTENTE DE PILARES
a [m] b [m] a [m] b [m] a [m] b [m] a [m] b [m]
0.45 0.80 0.80 0.45 0.35 1.20 1.20 0.35
Estribos As/s
[cm2/m] VRd,s [kN]
VRd [kN]
VRd,s [kN]
VRd [kN]
VRd,s [kN]
VRd [kN]
VRd,s [kN]
VRd [kN]
φ 8 // 0.20
2 R 5.03 207.1 463.6 111.7 357.7 316.1 620.6 84.5 363.5
φ 8 // 0.175
2 R 5.74 236.7 493.2 127.7 373.7 361.3 665.8 96.6 375.6
φ 8 // 0.15
2 R 6.70 276.2 532.7 149.0 395.0 421.5 726.0 112.7 391.7
φ 8 // 0.125
2 R 8.04 331.4 587.9 178.8 424.8 505.8 810.3 135.2 414.2
φ 8 // 0.10
2 R 10.05 414.3 670.8 223.5 469.5 632.3 936.8 169.0 448.0
φ 8 // 0.20
4 R 10.05 414.3 670.8 223.5 469.5 632.3 936.8 169.0 448.0
φ 8 // 0.175
4 R 11.49 473.4 729.9 255.4 501.4 722.6 1027.1 193.1 472.1
φ 8 // 0.15
4 R 13.40 552.4 808.9 298.0 544.0 843.1 1147.6 225.3 504.3
φ 8 // 0.125
4 R 16.08 662.8 919.3 357.6 603.6 1011.7 1316.2 270.4 549.4
φ 8 // 0.10
4 R 20.11 828.5 1085.0 447.0 693.0 1264.6 1569.1 338.0 617.0
a [m] b [m] a [m] b [m] a [m] b [m] a [m] b [m]
0.35 0.70 0.70 0.35 0.35 0.40 0.40 0.35
Estribos As/s
[cm2/m] VRd,s [kN]
VRd [kN]
VRd,s [kN]
VRd [kN]
VRd,s [kN]
VRd [kN]
VRd,s [kN]
VRd [kN]
φ 8 // 0.20
2 R 179.9 179.9 353.1 84.5 247.2 98.1 192.6 84.5 177.5
φ 8 // 0.175
2 R 205.6 205.6 378.8 96.6 259.3 112.1 206.6 96.6 189.6
φ 8 // 0.15
2 R 239.8 239.8 413.1 112.7 275.4 130.8 225.3 112.7 205.7
φ 8 // 0.125
2 R 287.8 287.8 461.1 135.2 297.9 157.0 251.5 135.2 228.2
φ 8 // 0.10
2 R 359.8 359.8 533.0 169.0 331.7 196.2 290.7 169.0 262.0
φ 8 // 0.20
4 R 359.8 359.8 533.0 169.0 331.7 196.2 290.7 169.0 262.0
φ 8 // 0.175
4 R 411.2 411.2 584.4 193.1 355.9 224.3 318.8 193.1 286.1
φ 8 // 0.15
4 R 479.7 479.7 652.9 225.3 388.1 261.6 356.1 225.3 318.3
φ 8 // 0.125
4 R 575.6 575.6 748.9 270.4 433.1 314.0 408.5 270.4 363.4
φ 8 // 0.10
4 R 719.5 719.5 892.8 338.0 500.7 392.5 487.0 338.0 431.0
(Nota: Os valores de que se apresentam a cor de laranja são superiores a , á , pelo que se adoptou este
último valor.)
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
‐1000 ‐500 0 500
[m]
[kN.m]
Diagrama de Momentos Actuantes M3 ‐ Pilar PC4
ELU1 ELU_ENV‐SX
ELU_ENV‐SY
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
‐300 ‐200 ‐100 0 100 200 300
[m]
[kN.m]
Diagrama de Momentos Actuantes M2 ‐ Pilar PC4
ELU1 ELU_ENV‐SX
ELU_ENV‐SY
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
14.0
16.0
18.0
‐1000 ‐500 0 500 1000
[m]
[kN.m]
Diagrama de Momentos Actuantes M3 ‐ Pilar PD3
ELU1 ELU_ENV‐SX
ELU_ENV‐SY
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
14.0
16.0
18.0
‐200 ‐100 0 100 200
[m]
[kN.m]
Diagrama de Momentos Actuantes M2 ‐ Pilar PD3
ELU1 ELU_ENV‐SX
ELU_ENV‐SY
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
14.0
16.0
18.0
‐400 ‐200 0 200 400 600
[m]
[kN.m]
Diagrama de Momentos Actuantes M3 ‐ Pilar PE2
ELU1 ELU_ENV‐SX
ELU_ENV‐SY
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
14.0
16.0
18.0
‐200 ‐100 0 100 200
[m]
[kN.m]
Diagrama de Momentos Actuantes M2 ‐ Pilar PE2
ELU1 ELU_ENV‐SX
ELU_ENV‐SY
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
14.0
16.0
18.0
‐400 ‐200 0 200 400
[m]
[kN.m]
Diagrama de Momentos Actuantes M3 ‐ Pilar PE4
ELU1 ELU_ENV‐SX
ELU_ENV‐SY
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
14.0
16.0
18.0
‐200 ‐100 0 100 200
[m]
[kN.m]
Diagrama de Momentos Actuantes M2 ‐ Pilar PE4
ELU1 ELU_ENV‐SX
ELU_ENV‐SY
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
‐100 ‐50 0 50 100
[m]
[kN.m]
Diagrama de Momentos Actuantes M3 ‐ Pilar PR6
ELU1 ELU_ENV‐SX
ELU_ENV‐SY
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
‐50 0 50 100
[m]
[kN.m]
Diagrama de Momentos Actuantes M2 ‐ Pilar PR6
ELU1 ELU_ENV‐SX
ELU_ENV‐SY
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
‐5000 ‐4000 ‐3000 ‐2000 ‐1000 0
[m]
[kN]
Diagrama de Esforço Axial Actuante ‐ Pilar PC4
ELU1 ELU_ENV‐SX
ELU_ENV‐SY
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
14.0
16.0
18.0
‐2500 ‐2000 ‐1500 ‐1000 ‐500 0
[m]
[kN]
Diagrama de Esforço Axial Actuante ‐ Pilar PD3
ELU1 ELU_ENV‐SX
ELU_ENV‐SY
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
14.0
16.0
18.0
‐2500 ‐2000 ‐1500 ‐1000 ‐500 0
[m]
[kN]
Diagrama de Esforço Axial Actuante ‐ Pilar PE2
ELU1 ELU_ENV‐SX
ELU_ENV‐SY
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
14.0
16.0
18.0
‐4000 ‐3000 ‐2000 ‐1000 0
[m]
[kN]
Diagrama de Esforço Axial Actuante ‐ Pilar PE4
ELU1 ELU_ENV‐SX
ELU_ENV‐SY
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
‐300 ‐200 ‐100 0 100
[m]
[kN]
Diagrama de Esforço Axial Actuante ‐ Pilar PR6
ELU1 ELU_ENV‐SX
ELU_ENV‐SY
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
‐150 ‐100 ‐50 0 50
[m]
[kN]
Diagrama de Esforço Transverso Actuante V2 ‐
Pilar PC4
ELU1 ELU_ENV‐SX
ELU_ENV‐SY
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
‐300 ‐200 ‐100 0 100 200
[m]
[kN]
Diagrama de Esforço Transverso Actuante V3 ‐
Pilar PC4
ELU1 ELU_ENV‐SX
ELU_ENV‐SY
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
14.0
16.0
18.0
‐300 ‐200 ‐100 0 100 200 300
[m]
[kN]
Diagrama de Esforço Transverso Actuante V3 ‐
Pilar PD3
ELU1 ELU_ENV‐SX
ELU_ENV‐SY
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
14.0
16.0
18.0
‐100 ‐50 0 50 100
[m]
[kN]
Diagrama de Esforço Transverso Actuante V2 ‐
Pilar PD3
ELU1 ELU_ENV‐SX
ELU_ENV‐SY
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
14.0
16.0
18.0
‐40 ‐20 0 20 40 60
[m]
[kN]
Diagrama de Esforço Transverso Actuante V2 ‐
Pilar PE2
ELU1 ELU_ENV‐SX
ELU_ENV‐SY
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
14.0
16.0
18.0
‐200 ‐100 0 100 200
[m]
[kN]
Diagrama de Esforço Transverso Actuante V3 ‐
Pilar PE2
ELU1 ELU_ENV‐SX
ELU_ENV‐SY
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
14.0
16.0
18.0
‐300 ‐200 ‐100 0 100 200
[m]
[kN]
Diagrama de Esforço Transverso Actuante V2 ‐
Pilar PE4
ELU1 ELU_ENV‐SX
ELU_ENV‐SY
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
14.0
16.0
18.0
‐150 ‐100 ‐50 0 50 100 150
[m]
[kN]
Diagrama de Esforço Transverso Actuante V3 ‐
Pilar PE4
ELU1 ELU_ENV‐SX
ELU_ENV‐SY
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
‐40 ‐20 0 20 40
[m]
[kN]
Diagrama de Esforço Transverso Actuante V2 ‐
Pilar PR6
ELU1 ELU_ENV‐SX
ELU_ENV‐SY
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
‐100 ‐50 0 50 100
[m]
[kN]
Diagrama de Esforço Transverso Actuante V3 ‐
Pilar PR6
ELU1 ELU_ENV‐SX
ELU_ENV‐SY
VERIFICAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS DE FLEXÃO COMPOSTA
NÚCLEO ‐ DIRECÇÃO M33
Dimensões Secção
b1 [m] 2.45
h1 [m] 0.225
b2 [m] 0.45
h2 [m] 1.95
c [m] 0.035
htot [m] 2.175
yg [m] 0.75
A [m2] 1.43
Materiais
Betão C25/30
Aço A400NR
Secção Resistente
NRd,máx [kN] 5452
NRd,mín [kN] ‐25444
MRd,máx [kN.m] 4528
MRd,mín [kN.m] ‐2418
Armadura
As [cm2] 156.74
[%] As 1.10%
y [m] As
[cm2]
0.035 31.40
0.113 4.02
0.190 27.38
0.260 4.52
0.410 4.52
0.560 4.52
0.710 4.52
0.860 4.52
1.010 4.52
1.160 4.52
1.310 4.52
1.460 4.52
1.610 4.52
1.760 4.52
1.775 8.04
1.865 8.04
1.955 8.04
2.045 8.04
2.135 12.06
0.000.200.400.600.801.001.201.401.601.802.002.202.402.602.80
‐1.40 ‐1.00 ‐0.60 ‐0.20 0.20 0.60 1.00 1.40
‐30000
‐25000
‐20000
‐15000
‐10000
‐5000
0
5000
10000
‐15000 ‐10000 ‐5000 0 5000 10000 15000
NRd[kN]
MRd [kN.m]
Diagrama de Interacção NRd ‐MRd
Esforços Diagrama de Interacção
VERIFICAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS DE FLEXÃO COMPOSTA
NÚCLEO ‐ DIRECÇÃO M22
Dimensões Secção
b1 [m] 2.18
h1 [m] 0.225
b2 [m] 0.23
h2 [m] 2.00
b3 [m] 2.18
h3 [m] 0.23
c [m] 0.035
htot [m] 2.450
yg [m] 1.225
A [m2] 1.43
Materiais
Betão C25/30
Aço A400NR
Secção Resistente
NRd,máx [kN] 5452
NRd,mín [kN] ‐25444
MRd,máx [kN.m] 6166
MRd,mín [kN.m] ‐3263
Armadura
As [cm2] 156.74
[%] As 1.10%
y [m] As
[cm2]
0.035 30.27
0.113 4.02
0.190 28.26
0.318 2.26
0.445 2.26
0.550 2.26
0.700 2.26
0.850 2.26
1.000 2.26
1.150 2.26
1.300 2.26
1.450 2.26
1.600 2.26
1.750 2.26
1.900 2.26
2.005 2.26
2.133 2.26
2.260 28.26
2.338 4.02
2.415 30.27
0.000.200.400.600.801.001.201.401.601.802.002.202.402.602.80
‐1.40 ‐1.00 ‐0.60 ‐0.20 0.20 0.60 1.00 1.40
‐30000
‐25000
‐20000
‐15000
‐10000
‐5000
0
5000
10000
‐20000 ‐15000 ‐10000 ‐5000 0 5000 10000 15000 20000
NRd[kN]
MRd [kN.m]
Diagrama de Interacção NRd ‐MRd
Esforços Diagrama de Interacção
ANEXO A.13 – ESFORÇO TRANSVERSO RESISTENTE DO NÚCLEO
a [m] b [m] a [m] b [m]
0.225 2.175 .225 2.45
Estribos As/s [cm2/m] VRd,s [kN] VRd [kN] VRd,s [kN] VRd [kN]
φ 10 // 0.20
2 R 7.85 909.2 1269.5 1026.3 1433.0
φ 10 // 0.175
2 R 10.47 1212.2 1572.5 1368.4 1775.1
φ 10 // 0.15
2 R 12.57 1454.7 1815.0 1642.1 2048.8
φ 10 // 0.125
2 R 15.71 1818.4 2178.7 2052.6 2459.3
φ 10 // 0.10
2 R 15.71 1818.4 2178.7 2052.6 2459.3
φ 10 // 0.20
4 R 20.94 2424.5 2784.8 2736.8 3143.5
φ 10 // 0.175
4 R 25.13 2909.4 3269.7 3284.1 3690.8
φ 10 // 0.15
4 R 7.85 909.2 1269.5 1026.3 1433.0
φ 10 // 0.125
4 R 10.47 1212.2 1572.5 1368.4 1775.1
φ 10 // 0.10
4 R 12.57 1454.7 1815.0 1642.1 2048.8
(Nota: Os valores de que se apresentam a cor de laranja são superiores a , á , pelo que se adoptou este último
valor.)
(Nota 2: Na direcção de actuação do esforço transverso V2 o valor do esforço transverso resistente dobra, uma vez que são
duas paredes a resistir.)
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
14.0
16.0
‐4000 ‐2000 0 2000 4000 6000
[m]
[kN.m]
Diagrama de Momento Actuante M3 ‐ Núcleo
ELU1 ELU_ENV‐SX
ELU_ENV‐SY
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
14.0
16.0
‐10000 ‐5000 0 5000 10000
[m]
[kN.m]
Diagrama de Momento Actuante M2 ‐ Núcleo
ELU1 ELU_ENV‐SX
ELU_ENV‐SY
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
14.0
16.0
‐5000 ‐4000 ‐3000 ‐2000 ‐1000 0
[m]
[kN]
Diagrama de Esforço Axial Actuante ‐ Núcleo
ELU1 ELU_ENV‐SX
ELU_ENV‐SY
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
14.0
16.0
‐2000 ‐1000 0 1000 2000
[m]
[kN]
Diagrama de Esforço Transverso Actuante V2 ‐
Núcleo
ELU1 ELU_ENV‐SX
ELU_ENV‐SY
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
14.0
16.0
‐1000 ‐500 0 500 1000
[m]
[kN]
Diagrama de Esforço Transverso Actuante V3 ‐
Núcleo
ELU1 ELU_ENV‐SX
ELU_ENV‐SY
ÍNDICE DE PEÇAS DESENHADAS
ARQ-01 – PLANTA DO PISO -1
ARQUITECTURA
ARQ-02 – PLANTA DO PISO 0
ARQ-03 – PLANTA DO PISO 1
ARQ-04 – PLANTA DO PISO 2
ARQ-05 – PLANTA DE COBERTURA
ARQ-06 – ALÇADOS NASCENTE E POENTE
ARQ-07 – ALÇADOS SUL E NORTE
ARQ-08 – CORTES AB E CD
EST-01 – DIMENSIONAMENTO – PLANTA DE FUNDAÇÕES
ESTABILIDADE
EST-02 – DIMENSIONAMENTO – PLANTA DO PISO -1
EST-03 – DIMENSIONAMENTO – PLANTA DO PISO 0
EST-04 – DIMENSIONAMENTO – PLANTA DO PISO 1
EST-05 – DIMENSIONAMENTO – PLANTA DO PISO 2
EST-06 – DIMENSIONAMENTO – PLANTA DE COBERTURA
EST-07 – DIMENSIONAMENTO – CORTES
EST-08 – BETÃO ARMADO – PILARES E NÚCLEO
EST.09 – BETÃO ARMADO – VIGAS
EST.10 (1/2) – BETÃO ARMADO – LAJE DO PISO 2
EST.10 (2/2) – BETÃO ARMADO – LAJE DO PISO 2
EST.11 – BETÃO ARMADO E PRÉ-ESFORÇO – LAJE DE COBERTURA E TRAÇADO DOS
CORDÕES
0.40 1.20
41.20
2.50
2.50
2.50
2.50
2.50
2.50
2.50
2.50
2.50
2.50
2.50
2.50
2.50
2.50
5.0
0
5.0
0
5.0
0
5.0
0
31.15
15.640.20
14.620.40
2.150.20
1.400.20
4.200.20
6.27
13.3
3
10.4
0
1.2
0
0.4
0
28.9
5
0.4
0
1.5
00.2
01.8
01.9
80.2
50.2
0
0.301.60
2.50
2.50
2.59
2.50
0.4
0
3.700.30
7.6
10.2
03.5
00.2
0
C
D
3.58
3.38
A
B
10.8
0
8.2
0
10.5
6
0.4
0
5.5
0
1.00
R4.70 R6.95
3.70
1.00 0.
40
2.50
2.86
8.6
2
0.4
0
PEDRO OLIVEIRA GONÇALVES DE ALMEIDA MACHADO
DISSERTAÇÃO PARA OBTENÇÃO DE GRAU DE MESTRE EM ENGENHARIA CIVILPROJECTO DE UM EDIFÍCIO
ARQUITECTURA
PLANTA DO PISO -1
FORMATO
A 3
ESCALA DATA Nº DESENHO
DESENHO
IDENTIFICAÇÃO
FACULDADE
1:200 A R Q 0 1
Nº 53555
OUTUBRO 2010
4.10
2.70
2.50
0.902.00
5.40
2.30
2.70
1.80
4.50
1.80
3.60
1.92 0.10
0.10
2.10 0.101.93 0.20
2.00
1.90
0.15
0.60 1.60 0.40
17.20
0.40
0.30
13.140.30
6.00 6.24 1.60 6.32 0.92 3.600.50
1.800.50
3.60 2.92
34.00
4.270.20
2.10
0.20
6.270.400.40
8.57
4.950.25
2.000.25
6.270.40
1.8
0
7.2
5
1.7
5
2.36
0.4
02.7
04.6
0
2.5
90.2
06.0
60.4
00.7
00.2
00.1
52.2
0
5.5
0
0.1
0
4.4
0
0.4
0
0.4
0
10.0
0
0.4
0
0.4
0
1.4
0
3.5
0
5.1
0
4.1
00.2
07.0
10.2
00.4
0
28.9
5
1.47
1.800.40
1.801.14
1.5
0 0.1
52.4
50.2
02.0
6
10.8
4
0.9
00.1
00.9
00.1
00.9
0
9.8
8
0.1
5
1.5
00.2
01.8
01.9
80.2
51.2
0
1.5
0
0.1
01.2
0
0.1
01.5
0
1.30
10.8
0
5.0
0
3.700.30
0.4
0
6.0
4
35.60
10.52
6.72
3.2
5
1.4
0
0.2
0
C
D
A
B
4.60
1.00
PEDRO OLIVEIRA GONÇALVES DE ALMEIDA MACHADO
DISSERTAÇÃO PARA OBTENÇÃO DE GRAU DE MESTRE EM ENGENHARIA CIVILPROJECTO DE UM EDIFÍCIO
ARQUITECTURA
PLANTA DO PISO 0
FORMATO
A 3
ESCALA DATA Nº DESENHO
DESENHO
IDENTIFICAÇÃO
FACULDADE
1:200 A R Q 0 2
Nº 53555
OUTUBRO 2010
2.84
1.26
5.20
2.00
5.40
19.40
2.54 0.40
5.12
0.201.64
0.94 0.20
2.60 0.15
2.200.151.15 0.40
18.60
0.40
6.96
7.460.40
4.830.40
7.44
0.40
0.40
0.20
0.20
5.12
0.20
2.600.15
1.90
1.60
7.56
7.19
0.40
4.60
2.42
3.27 1.400.50
0.10
1.5
8
1.4
0
2.7
0
1.8
0
2.7
0
1.4
00.4
0
2.7
0
0.9
0
2.7
0
1.9
0
4.4
0
0.2
0
4.4
00.2
0
4.4
00.2
0
4.4
0
0.4
0
8.7
5
34.16
1.2
8
1.2
7
0.1
5
7.3
0
0.7
5
7.1
0
0.3
5
1.8
0
7.2
0
0.5
00.9
0
0.4
0
1.7
51.9
80.2
51.8
5
7.8
0
4.35
6.2
7
0.4
0
10.0
0
0.4
0
0.4
0
7.02
2.10
4.94
8.2
0
10.8
0
0.40
0.51
5.04
0.4
0
32.56
19.0
0
0.4
0
0.30
C B
D
A
4.92
0.90
0.201.64
0.94
PEDRO OLIVEIRA GONÇALVES DE ALMEIDA MACHADO
DISSERTAÇÃO PARA OBTENÇÃO DE GRAU DE MESTRE EM ENGENHARIA CIVILPROJECTO DE UM EDIFÍCIO
ARQUITECTURA
PLANTA DO PISO 0
FORMATO
A 3
ESCALA DATA Nº DESENHO
DESENHO
IDENTIFICAÇÃO
FACULDADE
1:200 A R Q 0 3
Nº 53555
OUTUBRO 2010
2.30
2.70
0.90
3.60
0.901.80
0.900.90
0.901.80
2.70
19.40
4.80
0.20
4.50
0.20
4.40
0.40
0.40
0.424.63
0.407.44
0.40
0.5013.79
13.7
7
10.0
0
2.2
0
1.5
51.9
80.2
81.5
00.4
50.4
0
0.4
0
0.4
0
8.0
0
0.2
0 1.6
0
10.8
0
4.08
6.1
51.1
6
0.25
2.00
0.25
1.500.758.48A
B
D
C
4.50
PEDRO OLIVEIRA GONÇALVES DE ALMEIDA MACHADO
DISSERTAÇÃO PARA OBTENÇÃO DE GRAU DE MESTRE EM ENGENHARIA CIVILPROJECTO DE UM EDIFÍCIO
ARQUITECTURA
PLANTA DO PISO 1
FORMATO
A 3
ESCALA DATA Nº DESENHO
DESENHO
IDENTIFICAÇÃO
FACULDADE
1:200 A R Q 0 4
Nº 53555
OUTUBRO 2010
A
B
C
D
PEDRO OLIVEIRA GONÇALVES DE ALMEIDA MACHADO
DISSERTAÇÃO PARA OBTENÇÃO DE GRAU DE MESTRE EM ENGENHARIA CIVILPROJECTO DE UM EDIFÍCIO
ARQUITECTURA
PLANTA DA COBERTURA
FORMATO
A 3
ESCALA DATA Nº DESENHO
DESENHO
IDENTIFICAÇÃO
FACULDADE
1:200 A R Q 0 5
Nº 53555
OUTUBRO 2010
10.3
0
2.0
0
1.5
0
0.7
2
1.2
0
R16.0
0
2.20
9.3
0
0.6
01.2
0
2.0
0
1.5
0R8.5
0
14.951.70
Alçado Poente
a.
d. c.
a.
c.
h.
g.
b. c.
h.
b.
i.
g.
c.
b.
c.
f.
c. c.
h.g.
f.i.
b.
b. b.
j.
e. e. e.
I=14%
Alçado Nascente
d.
a.
h.
g.
L.
j.
b.
e.
e.
f.
f.
a.
c.
c.
c.
b.
d.
Rampa
PEDRO OLIVEIRA GONÇALVES DE ALMEIDA MACHADO
DISSERTAÇÃO PARA OBTENÇÃO DE GRAU DE MESTRE EM ENGENHARIA CIVILPROJECTO DE UM EDIFÍCIO
ARQUITECTURA
ALÇADOS POENTE E NASCENTE
FORMATO
A 3
ESCALA DATA Nº DESENHO
DESENHO
IDENTIFICAÇÃO
FACULDADE
1:200 A R Q 0 6
Nº 53555
OUTUBRO 2010
10.6
4
1.6
4
1.9
3
0.8
0
1.2
0
1.5
4
1.5
0
13.0
01.9
1
1.5
0
Alçado Sul
d.
a.
c.
d.
a.
c.
c.
f.
c.c.c.
a.a.
e.
f. i. i.
c.
c.
c.
b.
b.
g.
d.
h.
f. f. f.
c.
b.
b.
j. j.
b.
c.
g.
h.
e.
b.
b.
e.
Alçado Norte
b.
d.
a.
c.
a.
j.
h.g.
c.
b.
b.
j.j.L.
h. g.
c. c.
d.
c.
e.
h.g.
m.m.
PEDRO OLIVEIRA GONÇALVES DE ALMEIDA MACHADO
DISSERTAÇÃO PARA OBTENÇÃO DE GRAU DE MESTRE EM ENGENHARIA CIVILPROJECTO DE UM EDIFÍCIO
ARQUITECTURA
ALÇADOS SUL E NORTE
FORMATO
A 3
ESCALA DATA Nº DESENHO
DESENHO
IDENTIFICAÇÃO
FACULDADE
1:200 A R Q 0 7
Nº 53555
OUTUBRO 2010
3.0
04.0
0
0.4
5
4.0
04.2
00.6
5
2.5
00.5
03.5
00.5
03.5
00.5
00.5
0
4.0
04.4
53.0
04.2
0
4.0
04.4
5
0.6
5
2.0
0
1.5
0
1.8
6
1.9
0
13.0
0
2.0
0
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Corte AB
b.
b.
Ver porm. des. N11 Ver porm. des. N11
Ver porm. des. N11
Ver porm. des. N11
Perfil Natural do Terreno
Corte CD
Ver porm. des. N11
Perfil Natural do Terreno
d.
b.
j.
c.
c.
f.
c.
e.
a.
e.
PEDRO OLIVEIRA GONÇALVES DE ALMEIDA MACHADO
DISSERTAÇÃO PARA OBTENÇÃO DE GRAU DE MESTRE EM ENGENHARIA CIVILPROJECTO DE UM EDIFÍCIO
ARQUITECTURA
CORTES A-B E C-D
FORMATO
A 3
ESCALA DATA Nº DESENHO
DESENHO
IDENTIFICAÇÃO
FACULDADE
1:200 A R Q 0 8
Nº 53555
OUTUBRO 2010
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