Hewlett-Packard
Ano: 2015
PROGRESSÃO
GEOMÉTRICA Aulas 01 a 05
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos
Sumário PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.) ............................... 1
PRELIMINAR 1 ..................................................................................................................................................... 1
DEFINIÇÃO .................................................................... 1
A RAZÃO DE UMA P.G. ................................................. 1
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 1
CLASSIFICAÇÃO DE UMA P.G. ...................................... 1
PRELIMINAR 2 ..................................................................................................................................................... 1
CRITÉRIOS DE CLASSIFICAÇÃO ..................................... 1
Uma P.G. é dita crescente ................................................................................................................................... 1
Uma P.G. é dita decrescente ............................................................................................................................... 1
Uma P.G. é dita alternada (ou oscilante) ............................................................................................................ 1
Uma P.G. é dita constante .................................................................................................................................. 1
TERMO GERAL DA P.G. ................................................. 2
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2
INTERPOLAÇÃO DE MEIOS GEOMÉTRICOS .................. 2
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 3
ALGUMAS PROPRIEDADES DOS TERMOS DE UMA P.G.3
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 3
REPRESENTAÇÕES ESPECIAIS ....................................... 3
P.G. de três termos ............................................................................................................................................. 3
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 3
SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA ............................................................. 4
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 4
PRELIMINAR 1 ..................................................................................................................................................... 4
SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. INFINITA DE RAZÃO 𝒒, com −𝟏 < 𝒒 < 𝟎 ou 𝟎 < 𝒒 < 𝟏. .................... 4
QUESTÕES EXTRAS .............................................................................................................................................. 5
CAIU NO VEST ..................................................................................................................................................... 5
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 1
AULA 01 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G.)
PRELIMINAR 1 Identifique, em cada uma das sequências a seguir, o
padrão de sua formação e escreva seus dois próximos
termos.
I. (1, 2, 4, 8, _____, _____, . . . )
II. (−12, −6, −3, _____, ____, . . . )
III. (81, 27, 9, _____, _____, . . . )
IV. (−4, −12, −36, _____, _____, . . . )
V. (−2, 4, −8, 16, _____, _____, . . . )
VI. (12, 12, 12, 12, _____, _____, … )
DEFINIÇÃO Uma progressão geométrica (P.G.) é uma sequência
de termos não-nulos, na qual cada termo, a partir do
segundo, é igual ao produto do seu antecessor por
uma constante chamada de razão da P.G.: q.
A RAZÃO DE UMA P.G. Considere um termo qualquer 𝑎𝑛, 𝑛 ≥ 2, de uma P.G..
O termo que o antecede é chamado: 𝑎𝑛−1.
Assim,
a razão de uma P.G. é dada pela razão de um termo
qualquer, a partir do 2°, para seu antecessor.
Isto é,
𝑞 = 𝑎𝑛
𝑎𝑛−1 , para todo 𝑛 ∈ ℕ∗ 𝑒 𝑛 ≥ 2.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.0. Para cada sequência da parte PRELIMINAR 1,
determine os valores de 𝑎1e de 𝑞.
1.1. Uma sequência (𝑎𝑛) é uma P.G. com
𝑎𝑛 = −3 ∙ 5𝑛−2, ∀ 𝑛 ∈ ℕ∗. Determine a razão
dessa P.G.
CLASSIFICAÇÃO DE UMA P.G.
PRELIMINAR 2 Partindo da sua experiência em P.A., classifique cada
sequência do tópico PRELIMINAR 1.
CRITÉRIOS DE CLASSIFICAÇÃO Uma progressão geométrica é classificada de acordo
com o valor da sua razão q e do sinal de a1.
Uma P.G. é dita crescente se a1 > 0 e q > 1. Ex.: Sequência I ; ou
se a1 < 0 e 0 < q < 1. Ex.: Sequência II.
Uma P.G. é dita decrescente se a1 > 0 e 0 < q < 1. Ex.: Sequência III ; ou
se a1 < 0 e q > 1. Ex.: Sequência IV.
Uma P.G. é dita alternada (ou oscilante) se q < 0. Ex.: Sequência V.
Obs.1: Termos consecutivos possuem sinais contrários.
Uma P.G. é dita constante se q = 1. Ex.: Sequência VI.
Obs.2: Todos os termos são iguais e não-nulos.
TAREFA 1: Ler, nas PARTES 1 e 2, os exercícios
resolvidos: 1(a,b,d,f,g) e 4(a,c,e). Fazer os PROP.
6(a,c,e) e 7.
Como verificar se uma sequência (𝒂𝒏) é uma P.G.?
Se for apresentado um trecho da P.G., calcule a razão
de um termo, a partir do 2°, para seu antecessor. A
sequência só será uma P.G., se todas as razões forem
iguais.
Se for dada a lei de formação da P.G., calcule a razão
q (pela fórmula dada nesta aula). A sequência só será
uma P.G., se, após todas as simplificações, o resultado
obtido não depender de n.
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TERMO GERAL DA P.G. Da definição de progressão geométrica, é razoável
escrevermos o seguinte:
𝑎1
𝑎2 = 𝑎1 ⋅ 𝑞
𝑎3 = 𝑎1 ⋅ 𝑞2
𝑎4 = 𝑎1 ⋅ 𝑞3
𝑎5 = 𝑎1 ⋅ 𝑞4...
Portanto, considerando 𝑛 ∈ ℕ∗ 𝑒 𝑛 ≥ 2 , um termo
𝑎𝑛 pode ser dado por:
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 . 𝒒𝒏 – 𝟏
-- Termo Geral da P.G –
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
1.2. a) Seja (𝑎𝑛) = (3, 6, 12, . . . ) uma P.G..
Determine seu 9º termo.
b) Em uma P.G. crescente de razão 𝑞 = 2, tem-
se 𝑎11 = 3.072. Qual é o valor de 𝑎2?
1.3. Em uma P.G. de quatro termos, a razão é 5 e o
último termo é 375. O primeiro termo dessa P.G.
é A) 1 B) 2 C) 3 D) 4.
1.4. Em uma P.G., o 4° termo é igual a 32 e o 1° termo
é igual a 1
2. Qual é o valor do 8° termo?
1.5. Qual é o valor da razão da P.G. em que a soma do
3° termo com o 5° termo é 5
4 e a soma do 7° com o
9° termo é 20?
1.6. Em uma P.G. o terceiro termo é igual a 8 e o sexto
termo é 32. Determine o seu décimo termo.
Generalização do Termo Geral
𝒂𝒋 = 𝒂𝒊 . 𝒒𝒋 – 𝒊
AULA 02 INTERPOLAÇÃO DE MEIOS
GEOMÉTRICOS Interpolar k meios geométricos entre dois números, x
e y, é formar uma P.G. que comece em x, termine em y
e tenha k termos entre eles.
Obs. 1: Note que, nesse cenário, tem-se
𝒙 = 𝒂𝟏 e 𝒚 = 𝒂𝒌+𝟐.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1. Interpolando quatro meios geométricos entre 1 e
243, nessa ordem, obtém-se uma P.G. na qual a soma
desses quatro meios é
A) 100 B) 130 C) 220 D) 120 E) 150
TAREFA 2: Ler os exercícios resolvidos 2(a,b,d), 3, 5,
6 (+Obs.1) e 8. Fazer os PSA 2(b,d), 4, 8(a, b, d),11 e
19.
TAREFA 3: Ler, na PARTE 3, os ex. resolvidos 9 e 10;
Como entender o “funcionamento”
da versão generalizada do termo geral de uma PG?
DICA DO PROFESSOR – PRINCÍPIO DO ELEVADOR
Encare os termos da fórmula 𝒂𝒋 = 𝒂𝒊 . 𝒒𝒋 – 𝒊 como:
𝒂𝒊 : morador de um andar 𝒊 (inferior);
𝒂𝒋 : morador de um andar 𝒋 (superior).
Desse modo, o expoente (𝒋 – 𝒊) representa o número
de andares que o morador do andar 𝒊 precisa subir
para chegar ao andar 𝒋.
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EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
AULA 03 ALGUMAS PROPRIEDADES DOS
TERMOS DE UMA P.G. P1) Considere três termos consecutivos de uma P.G..
O quadrado do termo do meio é o produto dos outros
dois.
Exemplo 3.1: Sejam a, b e c, três termos consecutivos
de uma Progressão Geométrica, então
𝑏2 = 𝑎. 𝑐
Exemplo 3.2: Na P.G. (2, 6, 18, 54, 162), tem-se que:
6² = 2 . 18 ou 18² = 6 . 54 ou 54² = 18 . 162
P2) Em uma P.G. finita, o produto de dois termos
equidistantes dos extremos é igual ao produto dos
extremos.
Exemplo 3.3: Na P.G. ( 3, 6, 12, 24, 48, 96), tem-se:
3 . 96 = 6 . 48 = 12 . 24 = 288
P3) Considere uma P.G. com um número ímpar de
termos. Nesse cenário, existe um termo central (termo
médio) tal que seu quadrado é igual ao produto dos
extremos.
Exemplo 3.4: A P.G. (56, 28, 14, 7,7
2) possui 5 termos
(número ímpar) e, portanto, possui termo médio, no
caso, o terceiro. Desse modo, tem-se que
14² = 56 .7
2= 196
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 3.1. Qual é o valor de x que torna a sequência (𝑎𝑛) =
(7, 𝑥, 4𝑥) uma progressão geométrica?
3.2. Determine o quinto termo da P.G. em que 𝑎1 =
1 e 𝑎9 = 256.
REPRESENTAÇÕES ESPECIAIS É importante saber representar progressões
geométricas, com poucos termos, utilizando um
número mínimo de incógnitas.
P.G. de três termos
(𝑥; 𝑥 ⋅ 𝑞; 𝑥 ⋅ 𝑞²) ou ( 𝒙
𝒒; 𝒙; 𝒙 ⋅ 𝒒 )
Obs.1: Ambas tem razão 𝑞.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 3.3. Determine uma P.G. crescente de três termos, tal
que o produto destes é 64 e a soma, 14.
TAREFA 5: Ler os exercícios resolvidos 12, 13 e 14;
Fazer os PSA. 23, 24, 25.
Desafio: PSA. 27
TAREFA 6: Lero ex. res. 16; e fazer o PSA 30.
TAREFA 4: Fazer os PSA 20, 15 e 17
Como “anotar”/ interpretar os dados de uma
situação-problema que envolve valor presente?
dessas fórmulas?
DICA DO PROFESSOR!
Alguns problemas apresentam, em seus dados,
valores referentes ao tempo presente: “hoje”,
“agora”, “neste ano”, ... ; e, também, ao valor em
um tempo futuro: “daqui a 𝑛 anos seu valor será...”
Existem duas maneiras corretas de interpretar esses
dados:
1) Valor de hoje: 𝒂𝟏
Valor daqui a 𝑛 “anos”: 𝒂𝒏+𝟏
Note que, dessa forma, 𝑎𝑛 representa o termo que
ocupa a posição 𝑛 da sequência, neste caso, ele é
o valor obtido 𝑛 − 1 “anos” após o início da
“experiência” (duração da mesma).
2) Valor de hoje: 𝒂𝟎
Valor daqui a 𝑛 “anos”: 𝒂𝒏
Note que, dessa forma, 𝑎𝑛 representa o termo que
ocupa a posição 𝑛 da sequência, neste caso, ele é
o valor obtido 𝑛 “anos” após o início da
“experiência” (duração da mesma).
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AULA 04 SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE
UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA Considere uma P.G. , (𝑎𝑛), com razão 𝒒 ≠ 𝟏:
(𝑎𝑛) = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 , … , 𝑎𝑛−1 , 𝑎𝑛 , … )
A soma dos seus 𝑛 primeiros termos, 𝑆𝑛 , é tal que
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 .
Essa soma pode ser obtida pelas fórmulas
equivalentes:
𝑺𝒏 = 𝒂𝟏( 𝒒𝒏−𝟏)
𝒒−𝟏 ou 𝑺𝒏 =
𝒂𝟏(𝟏− 𝒒𝒏)
𝟏−𝒒
Obs. 1: Sendo (𝑎𝑛) uma P.G. com razão 𝑞 = 1, tem-se
que, a soma de seus 𝑛 primeiros termos, 𝑆𝑛 , é dada
por:
𝑺𝒏 = 𝒏 . 𝒂𝟏
Afinal, nesse caso, todos os termos são iguais a 𝑎1.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 4.1. Calcule a soma dos seis primeiros termos da P.G.
(−2, 4, −8, . . . ).
4.2. Considere a P.G. finita (2
9 ,
2
3 , … , 486). Determine
a soma de seus termos.
4.3. Quantos termos da P.G. (2, 6, 18, . . . ) devem ser
considerados a fim de que a sua soma seja
19.682?
AULA 05 PRELIMINAR 1 Os dois exemplos seguintes ilustram, em duas
progressões geométricas distintas, a soma de seus 𝑛
primeiros termos, para alguns valores de 𝑛.
1) Seja (𝒂𝒏) = (𝟏,𝟏
𝟐,
𝟏
𝟒,
𝟏
𝟖, … ) uma P.G..
Neste caso, para
𝑛 = 5 𝑡𝑒𝑚 − 𝑠𝑒 𝑆5 = 1,9375
𝑛 = 10 𝑡𝑒𝑚 − 𝑠𝑒 𝑆10 ≅ 1,998
𝑛 = 20 𝑡𝑒𝑚 − 𝑠𝑒 𝑆20 ≅ 1,999998
2) Seja (𝒂𝒏) = (𝟐, 𝟒, 𝟖, 𝟏𝟔, … ) uma P.G..
Neste caso, para
𝑛 = 5 𝑡𝑒𝑚 − 𝑠𝑒 𝑆5 = 62
𝑛 = 10 𝑡𝑒𝑚 − 𝑠𝑒 𝑆10 ≅ 2046
𝑛 = 20 𝑡𝑒𝑚 − 𝑠𝑒 𝑆20 ≅ 2 097 150
Note que, à medida que n aumenta, o valor de 𝑆𝑛 ,
no exemplo 1, fica cada vez mais próximo de 2.
Nesses casos, dizemos que a soma CONVERGE
para um número. No caso, 2.
no exemplo 2, fica cada vez maior.
Nesses casos, dizemos que a soma DIVERGE.
SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G.
INFINITA DE RAZÃO 𝒒, com −𝟏 <
𝒒 < 𝟎 ou 𝟎 < 𝒒 < 𝟏. Considere uma progressão geométrica (𝑎𝑛) com
(𝑎𝑛) = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 , … ) e com razão 𝑞 tal que
−𝟏 < 𝑞 < 0 ou 𝟎 < 𝑞 < 1 .
Essa P.G. é dita convergente e chamamos de Série
Geométrica Convergente a soma:
𝑺 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 + 𝒂𝟑 + . ..
Nas séries geométricas convergentes, dizemos que
para 𝑛 muito grande o valor de 𝑞𝑛 tende a zero.
Assim, partindo da fórmula para 𝑆𝑛 , chegamos a:
𝑺 = 𝒂𝟏
𝟏 − 𝒒
TAREFA 7: Ler os ex. resolvidos 18, 19 e 20; e fazer os
PSA. 33(b), 35, 44, 45 e 48.
DICA DO PROFESSOR
Note que, para obter o valor de 𝑆𝑛, é necessário
conhecer os valores de 𝑎1 , 𝑞 e 𝑛.
Portanto, caso um desses três não seja fornecido
explicitamente no enunciado, procure calculá-lo
antes de tentar utilizar a fórmula de Sn.
TAREFA 8: Ler os ex. resolvidos 22(b) e 25; e fazer os
PSA. 49, 52, 55, 56 e 57.
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EXTRA
QUESTÕES EXTRAS 1) Interpolando 5 meios geométricos positivos entre
4 e 2916, nesta ordem, obtém-se uma progressão
geométrica de razão
(A) −9.
(B) −3.
(C) 3.
(D) 6.
(E) 9.
2) Um automóvel foi financiado em um ano de tal
forma que os valores, em reais, das prestações
estão em progressão geométrica. O valor da
primeira prestação desse automóvel (referente a
janeiro) é R$ 10000,00 e o valor da última
prestação (referente a dezembro) é R$ 100,00.
Nesse caso, o produto dos valores das prestações
referentes a junho e julho é
(A) 103.
(B) 104.
(C) 106.
(D) 107.
(E) 108.
3) Somando um mesmo número aos números 5, 7 e
6, nesta ordem, obtém-se uma progressão
geométrica. O número somado é
(A) −11
3.
(B) −19
3.
(C) 14
3.
(D) 16
3.
(E) 17
3.
4) A sequência de figuras as seguir representa os
cinco primeiros passos da construção do fractal de
Sierpinski. Os vértices dos triângulos claros são os
pontos médios dos lados dos triângulos escuros
da figura anterior.
Denotando por 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, 𝐴4 e 𝐴5, respectivamente,
as áreas das regiões escuras da primeira, segunda,
terceira, quarta e quinta figuras da sequência acima, a
sequência (𝐴1; 𝐴2; 𝐴3; 𝐴4; 𝐴5) é uma progressão
geométrica de razão igual a
(A) 3
4.
(B) 1
2.
(C) 1
3.
(D) 1
4.
(E) 2
3.
5) A progressão geométrica (𝑎𝑛), tal que 𝑎𝑛 =
72𝑛−4, ∀𝑛 ∈ ℕ∗, tem razão igual a
(A) 49.
(B) 1.
(C) 7.
(D) 1
7.
(E) 1
49.
6) Considere uma progressão geométrica (𝑎𝑛), com
𝑛 ∈ ℕ∗, na qual 𝑎3 = 12 e 𝑎7 = 192. Determine
𝑎10.
7) Determine a razão da progressão geométrica
(2 + 𝑥; 𝑥 ; 8 + 𝑥; … ).
CAIU NO VEST 1) (PUC) Em uma progressão geométrica a diferença
entre o 2º e o 1º termos é 9 e a diferença entre o
5º e o 4º é 576. O primeiro termo da progressão
é:
(A) 3
(B) 4
(C) 6
(D) 8
(E) 9
2) (AFA) Uma bola é solta de uma altura de 128
metros em relação ao solo, e, ao atingir o mesmo,
ela sobe a metade da altura anterior. Esse
movimento se repete até atingir o solo pela
décima vez. Nesse momento, quanto a bola terá
percorrido, em metros?
(A) 255,5
(B) 383,00
(C) 383, 50
(D) 383,63
3) (MACK) Na sequência geométrica de termos
positivos, ilimitada e decrescente, o segundo
termo é igual à razão. Se a soma de todos os
termos tende a 2, então o quarto termo vale:
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(A) 1
4.
(B) 1
8
(C) 1
6
(D) 1
16
(E) 1
32
4) (IME) Uma bola é lançada na vertical, de encontro
ao solo, de uma altura ℎ. Cada vez que bate no
solo, ela sobe até a metade da altura que caiu.
Calcule o comprimento total percorrido pela bola
em sua trajetória até atingir o repouso.
GABARITO:
FUNDAMENTAIS
1.1. 5
1.2. a) 768 b) 6
1.3. C
1.4. 8192
1.5. 2
1.6. 3128 4
2.1. D
3.1. 28
3.2. 16
3.3. 2, 4, 8
4.1. 42
4.2. 6560
9
4.3. 9
QUESTÕES EXTRAS
1) C
2) C
3) B
4) A
5) A
6) ±1536
7) −8
5
CAIU NO VEST
1) A
2) C
3) B
4) 3h
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