Processo de Quatro-Tanques: Uma Abordagem Multivarivel
Engenharia de Controle e Automao Controle Multivarivel
Felipe Jung, Marina Padilha
Instituto Federal de Educao, Cincia e Tecnologia Campus Luzerna
1 Introduo
Sistemas multivariveis esto presentes em inmeras situaes, onde so vrios
os parmetros ou variveis que sofrem alterao ao receber a ao de uma ou mais
excitao. Pode-se citar sistemas de presso, por exemplo, que ao receber uma ao
mecnica para modificar seu volume, tanto a temperatura quanto a presso do sistema
so alteradas. Neste sentido, a presso e a temperatura podem ser monitoradas para
efeito de controle e segurana.
Em sistemas modernos podem existir muitas entradas e muitas sadas, e elas
podem ser inter-relacionadas de maneira complexa. Para analisar esse tipo de sistema,
essencial reduzir a complexidade das expresses matemticas, bem como recorrer a
ferramentas computacionais para a maioria das anlises. A abordagem no espao de
estados a mais apropriada para analisar o sistema sob esse ponto de vista.
Neste trabalho ser apresentado o modelo no-linear composto por quatro
tanques, ilustrado na Figura 1. Primeiramente sero obtidas as equaes diferenciais que
descrevem o sistema, para em seguida obter seu modelo linearizado. A partir do modelo
linear sero projetados e aplicados os mtodos de controle multivariveis. Finalmente,
os mesmos controladores sero inseridos no modelo no-linear do sistema de quatro-
tanques, a fim de comparar as respostas entre o sistema linearizado e o sistema no-
linear, alm de avaliar a ao dos controladores.
2 Levantamento do Modelo-Linear
A Figura 1 apresenta a planta a ser modelada no espao de estados. O fluxo da
bomba 1 dividido para o tanque 1 e tanque 4 atravs da vlvula proporcional 1, e o
fluxo da bomba 2 dividido entre os tanques 2 e 3 atravs da vlvula proporcional 2. Os
quatro tanques possuem vazo de sada que dependem do nvel de lquido.
Figura 1 - Sistema Quatro-Tanques
Os fluxos da Bomba 1 e Bomba 2 so dados em funo da tenso aplicada e
uma constante de proporcionalidade, conforme as equaes a seguir.:
1
2
Cada vlvula distribui esse fluxo entre dois tanques de forma complementar. A
Vlvula 1 distribui o fluxo entre os tanques 1 e 4, de acordo com o parmetro .,
conforme as equaes a seguir:
3
4
Para a Vlvula 2:
5
6
Outros fluxos que precisam ser determinados so os fluxo de sada dos tanques, que
no podem ser controlados uma vez que a sada apenas um orifcio de rea constante.
Desta forma determinado apenas em funo da altura da coluna de gua, conforme
equaes a seguir:
7
8
9
10
Por fim, define-se o volume acumulado em cada tanque, conforme a equao a
seguir.
11
A partir de todas as equaes descritas aqui, o comportamento de cada tanque
pode ser obtido. A equao para o tanque 1 :
12
13
A equao para o tanque 2
14
15
A equao para o tanque 3 :
16
17
E a equao para o tanque 4 :
18
19
Estas equaes diferenciais no so lineares. Para tanto, preciso determinar
os pontos de equilbrio do sistema para ento lineariz-las. Como a sada a ser
controlada a altura do tanque 1 e do tanque 2, os termos variantes das equaes
( ) devem ser iguais zero. Define-se ento os pontos de equilbrio:
20
21
22
23
E os pontos de equilbrio:
[ ]
24
[ ]
25
26
27
A linearizao pode ser obtida atravs da matriz jacobiana, definida por:
[
]
28
A funo linearizada do sistema de tanques pode ser obtida a partir de:
( ) ( ) 29
Onde e o controle do sistema linearizado indicam a
variao do estado e controle no lineares em relao ao equilbrio. O termo ( ) da
igualdade nulo, pois a funo ( ) no equilbrio . Ou seja, no
existe variao. Como , ento , tal que ( ) :
Sendo as matrizes jacobianas:
[
]
30
[
]
31
Aplicando as equaes na matriz jacobiana, obtm-se as matrizes a seguir:
[
]
32
[
]
33
As equaes de estado do sistema linearizado so dados por:
34
35
Onde a matriz jacobiana e a matriz . A matriz que define a
equao de sada do sistema escrita em funo da altura do nvel dos tanques 1 e 2,
sendo estes nveis lidos por sensores que daro valores de tenso proporcional ao nvel
do lquido segundo uma constante . Logo, a matriz C :
[
] 36
Os parmetros da planta so listados a seguir:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Onde a seo transversal do tanque , a seo do orifcio de sada de
tanque , a constante do medidor de nvel e a acelerao da gravidade.
Os pontos de operao definidos so descritos a seguir:
A partir destes valores, as matrizes A, B e C podem ser obtidas mediante a
substituio dos parmetros. Desta forma, as matrizes A, B e C so:
[
] 37
[
] 38
[
] 39
A matriz de transferncia obtida a partir da seguinte equao.
40
Logo,
[
]
41
2.1 Validaes
Neste sistema so feitos os testes de controlabilidade, observabilidade e
controlabilidade total de sada, de acordo com as equaes a seguir.
| | | 42
| | | 43
| | | 44
Onde o posto das matrizes e deve ser maior que n e o posto da matriz
deve ser m, sendo estes os ndices especificados nas equaes 34 e 35. As matrizes
para verificao da controlabilidade e observabilidade deste modelo fsico atende a estes
requisitos.
O script quatro_tanques.m apresenta a obteno das matrizes deste modelo e
os testes de observabilidade e controlabilidade. A figura a seguir ilustra os estados do
sistema e as sadas, em malha aberta com condies iniciais nulas.
Figura 2: Diagrama de blocos do sistema em malha aberta
(a) (b) Figura 3: (a) Estados do sistema e (b) sadas do sistema
0 50 100 150 200 250 3000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Tempo(s)
Am
plit
ude S
inal (c
m)
Estados do Sistema Linear
h1
h2
h3
h4
0 50 100 150 200 250 3000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Tempo(s)
Am
plit
ude S
inal (V
)
Sadas do Sistema Linear
y1
y2
3 Projeto dos controladores
3.1 Implementao em Modelo Linear
3.1.1 Controlador por Realimentao de Estados
O controlador por realimentao de estados inserido no sistema conforme
ilustra a figura a seguir, onde a matriz K calculada a partir da resposta desejada do
sistema.
Figura 4: Diagrama de blocos do sistema com realimentao de estados
Os polos desejados para o sistema so:
[ ]
A matriz de ganhos K obtida pela funo place :
[
]
Como o sistema tem mais de uma entrada, o mtodo de Ackerman no pode ser
utilizado para obter a matriz de ganhos.
As figuras a seguir mostram a resposta do sistema com condio inicial nula e
entrada em degrau unitrio.
Observa-se que o sistema com ganho na realimentao de estados melhorou em
relao ao sistema em malha aberta quanto ao seguimento de referncia. Porm, ainda
existe um erro, alm do fato do tempo de assentamento estar prximo ao do sistema em
malha aberta.
Devido esta caracterstica, um controlador de ao integradora foi inserido na
planta visando eliminao do erro em regime permanente.
A rotina do MatLab statefeedback.m apresenta o projeto pelo mtodo de
controle por Realimentao de Estados.
(a) (b)
(c)
Figura 5: Realimentao de estados: (a) estados do sistema, (b) sadas do sistema e (c) sinal de controle.
3.1.2 Projeto de Integrador no Espao de Estados
A Figura 6 ilustra o diagrama de blocos do sistema com realimentao de
estados e com integrador.
Figura 6: Diagrama de blocos do sistema com realimentao de estados e com integrador
Para o projeto deste conjunto de controladores necessrio reescrever a matriz
A e a matriz B nas formas:
[
] [ ]
Como as dimenses das matrizes aumentam, preciso especificar mais dois
polos, sendo estes:
[ ]
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo(s)
Am
plit
ude S
inal (c
m)
Estados do Sistema
h1
h2
h3
h4
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Tempo(s)
Am
plit
ude S
inal (V
)
Sadas do Sistema
y1
y2
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tempo(s)
Am
plit
ude S
inal (V
)
Sinal de Controle
u1
u2
Com a funo place, obtm-se a seguinte matriz de ganhos:
[
]
Desta forma, o ganho do integrador e o ganho de realimentao so:
[
]
[
]
As respostas so ilustradas na Figura 7. A rotina utilizada para o clculo e
obteno destes controladores integ.m.
(a) (b)
(c)
Figura 7: Sistema com integrador: (a) estados, (b) sadas e (c) ao de controle
3.1.3 Observador de Estados de Ordem Plena
Outro mtodo utilizado para o controle de sistemas multivariveis conhecido
como observadores de estados. Este regulador utilizado quando as variveis de estado
no esto disponveis para realimentao. Desta forma, necessrio estimar os estados
no mensurveis.
Para que seja possvel esta estimao de estados condio obrigatria que o
sistema seja de estado completamente observvel. A Figura 8 apresenta como o
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2Estados do Sistema
Tempo(s)
Am
plit
ude S
inal (c
m)
h1
h2
h3
h4
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Sada do Sistema
Tempo(s)
Am
plit
ude S
inal (V
)
y1
y2
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2Sinal de Controle
Tempo(s)
Am
plit
ude S
inal (V
)
u1
u2
estimador inserido na planta e a Figura 9 apresenta as respostas obtidas com a
utilizao deste mtodo na planta estudada.
Figura 8: Diagrama de blocos da planta com observador de estados
A matriz de ganho K obtida do mesmo mtodo apresentado no item 3.1., com
os mesmos polos em malha fechada. recomendado que os polos do observador sejam
de 2 a 5 vezes mais rpidos que os polos da planta, para que o erro de estimao seja
reduzido mais rapidamente.
Desta forma, escolhendo os polos desejados do observador como quatro vezes
mais rpido, os polos da planta e do observador so, respectivamente:
[ ]
[ ]
A partir da funo place a matriz de ganho para a realimentao de estados
obtida :
[
]
A matriz de ganhos do observador obtida a partir da matriz
Onde so os coeficientes do polinmio caracterstico desejado
para o observador:
Desta forma, o polinmio do observador:
Logo, obtido por:
[ ] [
]
Onde a matriz de observabilidade. A matriz de ganho para o observador
obtida :
[
]
As respostas obtidas com este mtodo de controle podem ser observadas na
Figura 9. O script para este mtodo observ.m.
(a) (b)
(c)
Figura 9: Observador de estados: (a) estados, (b) sadas e(c) sinal de controle
3.1.4 Observador de Estados de Ordem Plena com Integrador
Neste procedimento, um integrador foi adicionado ao sistema com observador
de estados com o objetivo do seguimento de referncia. O diagrama de blocos do
sistema resultante est ilustrado a seguir.
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5Estados Estimados
Tempo(s)
Am
plit
ude S
inal (c
m)
xe1
xe2
xe3
xe4
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Sada do Sistema
Tempo(s)
Am
plit
ude S
inal (V
)
y1
y2
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2Sinal de Controle
Tempo(s)
Am
plit
ude S
inal (V
)
u1
u2
Figura 10: Diagrama de blocos do observador com integrador
Para este sistema, o procedimento de clculo para e foi o mesmo
utilizado no item 3.1.2 e o ganho do estimador foi obtido de forma semelhante ao
item 3.1.3. As respostas para este sistema podem ser observadas na Figura 11. O script
que simula este mtodo integ_observ.m.
(a) (b)
(c)
Figura 11: Observador com integrador: (a) estados, (b) sadas e (c) sinal de controle
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2Estados Estimados
Tempo(s)
Am
plit
ude S
inal (c
m)
xe1
xe2
xe3
xe4
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Sada do Sistema
Tempo(s)
Am
plit
ude S
inal (V
)
y1
y2
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2Sinal de Controle
Tempo(s)
Am
plit
ude S
inal (V
)
u1
u2
3.1.5 Observador de Estados de Ordem Mnima
Para que seja possvel projetar um observador de estados de ordem mnima
necessrio que a matriz (45) tenha posto .
[
] 45
Onde:
[
] 46
A matriz obtida indicada em 47 e tem posto 1, quando deveria ter posto 3.
Desta forma, no possvel aplicar o observador de ordem mnima neste sistema.
[
] 47
3.1.6 LQR
A partir do Regulador Linear Quadrtico (Linear Quadratic Regulator) obtida
uma matriz K de ganho timo, que, para uma lei de controle , minimiza a
funo custo:
48
Neste caso, no so determinados polos desejados para a planta em malha
fechada, e sim as matrizes de ponderao e , sendo estas definidas positivas. A
funo utilizada para o clculo deste controlador a funo lqr, que alm do ganho,
retorna tambm a matriz soluo da equao de Ricatti, equao 49, e os autovalores do
sistema em malha fechada . A matriz de ganhos obtida por 50.
49
50
A soluo da equao de Ricatti e a matriz de ganho do LQR obtidas com
a funo lqr so, respectivamente:
[
] 51
[
] 52
O diagrama de blocos deste sistema o mesmo para o sistema com
realimentao de estados, ilustrado na Figura 4. As respostas obtidas com este
controlador so mostradas na Figura 12. O script que simula este mtodo qt_lqr.m.
(a) (b)
(c)
Figura 12: LQR: (a) estados, (b) sadas e (c) sinal de controle
As matrizes e consideradas para os clculos so:
[
] 53
[
] 54
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Estados do Sistema
Tempo(s)
Am
plit
ude S
inal (c
m)
h1
h2
h3
h4
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Tempo(s)
Am
plit
ude s
inal (V
)
Sada do Sistema
y1
y2
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Sinal de Controle
Tempo(s)
Am
plit
ude S
inal (V
)
u1
u2
3.1.7 LQG
O Regulador LQG (Linear Quadratic Gaussian) uma combinao do
controlador LQR, que minimiza um critrio quadrtico, e de um observador particular,
chamado de Filtro de Kalman, que projetado para minimizar a varincia do erro de
estimao. O diagrama de blocos deste sistema o mesmo apresentado na Figura 8,
onde a matriz de ganho obtida com o LQR e a matriz do observador obtido com
o Kalman.
O LQR o mesmo obtido anteriormente. O ganho do observador Kalman
obtido a partir da funo kalman no Matlab. Esta funo, alm do ganho do
observador, calculado por 56, retorna tambm a soluo da equao de Ricatti, que para
o observador Kalman definida por 55.
55
56
Sendo e matrizes referentes perturbao e rudos na planta, arbitradas
como:
[
] 57
[
] 58
Desta forma, o ganho e a matriz soluo de Ricatti para o observador Kalman
so, respectivamente:
[
] 59
[
] 60
Os grficos das respostas podem ser observados na Figura 13.
Para esse sistema, foi elaborado o script qt_lqg.m, e para observar os efeitos
da perturbao e rudos na planta preciso executar o modelo do SimuLink lqg_pert.
(a) (b)
(c)
Figura 13: Controle LQG (a) estados, (b) sada e (c) sinal de controle
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Estados do Sistema
Tempo(s)
Am
plit
ude S
inal (c
m)
h1
h2
h3
h4
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Tempo(s)
Am
plit
ude s
inal (V
)
Sada do Sistema
y1
y2
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-1
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0Sinal de Controle
Tempo(s)
Am
plit
ude S
inal (V
)
u1
u2
3.2 Implementao em Modelo No-Linear
Os mesmos controladores projetados para a planta linear, sero inseridos no
modelo no linear com o objetivo de comparar as respostas. Sero abordados os
mtodos de realimentao de estados, observador de estados com integrador e o LQG.
Todos os sistemas foram simulados com condies iniciais nulas e entradas de
referncia e .
3.2.1 Sistema em Malha Aberta
Primeiramente verificou-se a resposta do sistema em malha aberta. Para esta
situao as entradas foram e , com condies iniciais nulas. As
respostas obtidas podem ser visualizadas na Figura 14.
(a) (b)
Figura 14: Resposta em malha aberta do sistema no-linear
Apesar de este sistema ser no-linear, percebe-se que o tempo de assentamento
para o degrau unitrio menor que a da resposta mostrada na Figura 3 com o sistema
linearizado. Contudo, se a amplitude do degrau for aumentada, a amplitude da sada no
aumenta linearmente com o aumento da amplitude do degrau, e tambm o tempo de
resposta se tornar mais lento. O mesmo no ocorre com o sistema linearizado.
0 50 100 150 200 250 3000
0.5
1
1.5
Tempo(s)
Am
plit
ude S
inal (c
m)
Estados do Sistema No-Linear
h1
h2
h3
h4
0 50 100 150 200 250 3000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Tempo(s)
Am
plit
ude S
inal (V
)
Sadas do Sistema No-Linear
y1
y2
3.2.2 Sistema com Realimentao de Estados
Neste procedimento, verificou-se o controle por realimentao de estados com
a mesma matriz de ganhos obtida no item 3.1.1. Os grficos obtidos so mostrados na
Figura 15.
Observa-se que para o mesmo valor de entrada de referncia os modelos no
chegaram ao mesmo valor de regime permanente. Embora a amplitude de ambas as
repostas divirjam, o comportamento se assemelha.
(a) (b)
(c) (d)
Figura 15: (a) Sada sistema linear, (b) erro sistema linear, (c) sada sistema no-linear e (d) erro sistema
no-linear
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5005
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Tempo(s)
Am
plit
ude S
inal (V
)
Sadas do Sistema Linear
y1
y2
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-2
0
2
4
6
8
10
Tempo(s)
Am
plit
ude S
inal (V
)
Sinal de Erro (e=r-u) - Sistema Linear
e1
e2
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5004
5
6
7
8
9
10
11
Tempo(s)
Am
plit
ude S
inal (V
)
Sadas do Sistema No-Linear
y1
y2
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-2
0
2
4
6
8
10
Tempo(s)
Am
plit
ude S
inal (V
)
Sinal de Erro (e=r-u) - Sistema No-Linear
e1
e2
3.2.3 Observador de Estados com Integrador
Aplicando o mesmo controlador do item 3.1.4 na planta no linear, os grficos
obtidos so apresentados na Figura 17.
Observando a Figura, pode-se afirmar que ambos os sistemas responderam de
forma satisfatria ao controle por observador-integrador. Devido ao integradora,
ambos os sistemas convergiram para o valor de entrada de referncia. O inconveniente
deste sistema de controle a amplitude da ao de controle, bastante elevada e exigiria
atuadores muito grandes e mais caros do que o necessrio.
Entretanto, para fins de simulao e comparao observou-se que tanto os
grficos de sada quanto de erro tm comportamentos muito parecidos e mesma resposta
em regime permanente.
(a) (b)
(c) (d)
Figura 16: Sistema com observador-integrador (a) Sada sistema linear, (b) erro, (c) sada sistema no
linear e (d) erro sistema no linear
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000
2
4
6
8
10
12
14Sada do Sistema Linear
Tempo(s)
Am
plit
ude S
inal (V
)
y1
y2
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-50
0
50
100
150
200
250Sinal de Erro (e=r-u) - Sistema Linear
Tempo(s)
Am
plit
ude S
inal (V
)
e1
e2
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000
2
4
6
8
10
12
14Sada do Sistema No-Linear
Tempo(s)
Am
plit
ude S
inal (V
)
y1
y2
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-50
0
50
100
150
200
250Sinal de Erro (e=r-u) - Sistema No-Linear
Tempo(s)
Am
plit
ude S
inal (V
)
e1
e2
3.2.4 LQG
A partir do diagrama de blocos ilustrado na Figura 17 foram obtidas as curvas
de respostas dos sistemas, no-linear e linear, e o sinal de erro, exibidas na Figura 17.
Figura 17: Diagrama de Blocos para implementao do LQG em planta no-linear
Apesar do LQG ser um controlador com observador timo, observa-se na
Figura 17(a) que o sistema no segue referncia. Por outro lado, a ao de controle no
alcana valores to elevados, demandando mais esforo do efetuador.
Tanto o modelo linear quanto o no linear apresentam mesmo comportamento
em regime transitrio, divergindo dos valores de resposta permanente.
(a) (b)
(c) (d)
Figura 18: Sinais obtidos do modelo linear e no-linear com controlador LQG
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000
1
2
3
4
5
6
7
Tempo(s)
Am
plit
ude s
inal (V
)
Sada do Sistema Linear
y1
y2
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-12
-10
-8
-6
-4
-2
0Sinal de Erro (e=r-u) - Sistema Linear
Tempo(s)
Am
plit
ude S
inal (V
)
e1
e2
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5Sadas do Sistema No-Linear
Tempo(s)
Am
plit
ude s
inal (V
)
y1
y2
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5002
4
6
8
10
12
14Erro do Sistema No-Linear (e=r-u)
Tempo(s)
Am
plit
ude s
inal (V
)
e1
e2
4 Concluso
Enquanto a teoria de controle convencional fundamentada na relao entrada-
sada, ou funo de transferncia, a teoria de controle moderno baseada na descrio
de um sistema de equaes em termos de n equaes diferenciais de primeira ordem, as
quais podem ser combinadas em uma equao diferencial vetorial-matricial de primeira
ordem, podendo representar sistemas Multiple In - Multiple Out (MIMO). O uso de uma
notao vetorial-matricial simplifica bastante a representao matemtica do sistema de
equaes. O aumento do nmero de variveis de estados, do nmero de entradas, ou do
nmero de sadas no aumenta a complexidade das equaes, apenas o sistema aumenta
ligeiramente a sua complexidade de anlise.
Em vista disso, sistemas multivariveis podem abranger sistemas de ordem
bastante elevada, dificultando a anlise para controle. Desta forma, as simulaes de
diferentes sistemas de controle podem ser comparadas para a escolha da melhor
estratgia para atingir o objetivo do projeto.
Neste trabalho foram aplicados os mtodos utilizados para o controle MIMO,
ou multivarivel, em uma planta no linear, cuja representao no espao de estados foi
obtida atravs da matriz Jacobiana.
Primeiramente os reguladores foram projetados e aplicados no modelo
linearizado, onde se verificou que tanto com o controle por realimentao de estados
quanto com o por observador de estados, o sistema possui um grande erro em regime
permanente. Com a insero de integradores, tanto na realimentao quanto no
observador, notou-se uma melhora em relao ao regime permanente, ambos
apresentando novamente resultados muito semelhantes.
Utilizando a estratgia de controle com integrador observou-se que o esforo
de controle muito elevado, pois uma estratgia bastante agressiva o que exigiria
atuadores muito potentes, pesados e caros.
As estratgias de controle que utilizam controladores timos, por serem
baseadas na minimizao da funo custo, apresentam ao de controle com amplitudes
reduzidas, evitando a saturao do atuador. A grande vantagem em relao ao mtodo
de alocao de polos que o sistema utiliza a menor energia para o resultado com erro
minimizado.
A anlise de sistemas apenas pela resposta em regime permanente e ao do
controlador nem sempre suficiente para a garantia de um sistema robusto. Em
sistemas reais impossvel filtrar e reduzir completamente a ao de perturbaes e
rudos, o que torna essencial a incluso destes na simulao dos sistemas a fim de se
determinar a estratgia que minimize os efeitos destes na planta a ser controlada.
Apesar da importncia desta anlise, rudos e perturbaes no foram
abordados de forma predominante, uma vez que o foco do trabalho o projeto de
controladores para sistemas multivariveis. Em vista disso, podero ser desenvolvidos
outros trabalhos com o objetivo de estudar o efeito destes rudos e perturbaes na
planta e como cada controlador atua para diminuir a interferncia no sistema.
Referncias
[1] GOLNARAGHI, Farid; KUO, Benjamin C. Sistemas de controle automtico. 9.
ed. Rio de Janeiro: Livros Tcnicos e Cientficos, 2012.
[2] JOHANSSON, Karl H., The Quadruple-Tank Process: A Multivariable
Laboratory Process with an Adjustable Zero, IEEE TRANSACTIONS ON
CONTROL SYSTEMS TECHNOLOGY, VOL. 8, NO. 3, MAY 2000.
[3] NISE, Norman S. Engenharia de Sistemas de Controle. Rio de Janeiro: LTC,
2011.
[4] OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. 5. ed. So Paulo:
Pearson Prentice Hall, 2010.
1 Introduo2 Levantamento do Modelo-Linear2.1 Validaes
3 Projeto dos controladores3.1 Implementao em Modelo Linear3.1.1 Controlador por Realimentao de Estados3.1.2 Projeto de Integrador no Espao de Estados3.1.3 Observador de Estados de Ordem Plena3.1.4 Observador de Estados de Ordem Plena com Integrador3.1.5 Observador de Estados de Ordem Mnima3.1.6 LQR3.1.7 LQG
3.2 Implementao em Modelo No-Linear3.2.1 Sistema em Malha Aberta3.2.2 Sistema com Realimentao de Estados3.2.3 Observador de Estados com Integrador3.2.4 LQG
4 ConclusoReferncias
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