Processamento Digital de Sinais - ENG420
Prof. Dr. Fabrıcio Simoes
IFBA
22 de julho de 2016
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Parte I
Conceitos Basicos
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Conceitos Basicos
Sinal : Funcao (ou uma grandeza fısica) de uma ou mais variaveis quetransporta algum tipo de informacao.
Exemplos
Sinal de voz, de vıdeo, de um sensor, sinal de recepcao e de transmissao,sinal dos sensores de pressao, de temperatura, sinais medicos, entre outros.
Processamento de Sinais e a disciplina que estuda como os sinais serelacionam e, principalmente, como manipular os sinais de forma a seobter um resultado desejado (Nalon, 2014).
Processamento de Sinais e a representacao, transformacao e amanipulacao de sinais e da informacao que os sinais contem(Oppenheim, 2012)
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Sinais Discretos
Os sinais discretos (ou sinais de tempo discreto) sao representadosmatematicamente como uma sequencia de numeros. (Oppenheim, 2012).Exemplo : x [n] = {. . . , x [−2], x [−1], x [0], x [1], x [2], . . .}
Essa sequencia pode ser obtida a partir da amostragem de um sinalanalogico, conforme
x [n] = x(nT ) = x(t)|t=nT
C/D
Conversãox(t) x[n] = x(nT )
Tempo de Amostragem (T)
X(ω) Xd(ω)
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Conversao Analogico-Digital
Etapas: Amostragem (Sample and Hold), Quantizacao e Codificacao.
1 0 1 1 0 1 1 1
TT t
Sample and
Hold (S/H)
x(t) xo(t) Quantizacao / bits
Codificacao
x(t) xo(t)
t t
bits
Sample and Hold
Cada amostra = palavra digital;
Sequencia digital : 1011 0111;
Representacao Matematica: Sinal discreto x(T ) x(2T ).
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Quantizacao e Codificacao.
O valor das amostras de sinal na saıda do circuito Sample and Holdsao aproximadas para um conjunto finito de L valores, chamados denıveis de quantizacao.
1,36 V
1,45 V
−0,85 V
−0,91 V
4 amostras do sinal xo(t)
Quantização
1,4 V
−0,9 V
−0,8 V
sinal quantizado
(Aproximação)
L Nıveis de Quantizacao : {...; 1,4V; -0,9V; -0,8V; ...}.Codigo Binario : {(10), (11) e (01) }
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Conversores A/D - Comerciais
Relacao sinal-ruıdo de quantizacao
SNRq =L2q2/4
q2/12= 3L2,
considerando a potencia de pico do sinal analogico.
Padroes Comerciais:
Padrao Comercial Freq. de Amostragem Nbits Nıveis de Quantiz.
CD 44100 Hz 16 65536
Voz 8000 Hz 8 256
Arduino 9600 Hz 10 1024
DSP Texas C6416 96000 Hz 16 65536
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Parte II
Transformada de Fourier DTFT
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A ideia da Transformada
Transformar : Mudar o domınio da variavel.
f (x) G(y)
T [.]
T−1[.]
Transformada Direta
Transformada Inversa
Laplace, Fourier, Z, Wavelet, ...
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Mas, vamos comecar com a Serie de Fourier
Considere o sinal periodico abaixo com perıodo Nx(nT )
n
N amostras
1
A sua Serie de Fourier e dada por
x(nT ) =N−1∑
m=0
cmdejmωonT
E os coeficientes cmd dados por
cmd =1
N
N−1∑
n=0
x(nT )e−jmωonT
Como a serie de Fourier pode ser aplicada a sinais nao-periodicos ?
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Efeito do Aumento do Valor de N
Considerando o aumento do perıodo N, qual o efeito sobre o sinal ?
x(nT )
n
N amostras
1
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Efeito do Aumento do Valor de N
Considerando o aumento do perıodo N, qual o efeito sobre o sinal ?
x(nT )
n
N amostras
1
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Efeito do Aumento do Valor de N
Considerando o aumento do perıodo N, qual o efeito sobre o sinal ?
x(nT )
n
N amostras
1
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Efeito do Aumento do Valor de N
Considerando o aumento do perıodo N, qual o efeito sobre o sinal ?
x(nT )
n
N = ∞
1
Fazendo N →∞, o sinal x(nT ) torna-se nao periodico.
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Qual o Efeito sobre a Serie de Fourier ?
Os coeficientes cmd estao associados a frequencia mωo . Por isso, considerea equacao
cmd =1
N
N−1∑
n=0
x(nT )e−jmωonT
Multiplicando ambos os lados da equacao por N, temos
Ncmd =
(N−1)/2∑
n=−(N−1)/2
x(nT )e−jmωonT
Definindo Ncmd como a funcao Xd(mωo), obtem-se
Xd(mωo) =
(N−1)/2∑
n=−(N−1)/2
x(nT )e−jmωonT (1)
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Obtendo a Transformada Direta de Fourier
Sabendo que
ωo =2π
NT,
quando N →∞ e ωo → dω, a equacao
Xd(mωo) =
(N−1)/2∑
n=−(N−1)/2
x(nT )e−jmωonT
torna-se a Transformada Direta de Fourier
Xd(ω) =∞∑
n=−∞x(nT )e−jωnT
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Transformada de Fourier: Exercıcio
Determine a Transformada de Fourier do sinal x(nT ) = anTu(nT ),0 < a < 1.
Grafico de |Xd(ω)|.
-3 -2 -1 0 1 2 3
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Frequencia
Esp
ectr
o
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Comportamento da Funcao Xd(ω)
Periodicidade
Xd(ω) = Xd
(ω ± k
2π
T
)
-5 0 5
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Frequencia
Espectr
o
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Obtendo a Transformada Inversa de Fourier
A seguir, considere a equacao de sıntese do sinal x(nT ) a partir doscoeficientes cmd
x(nT ) =N−1∑
m=0
cmdejmωonT , (2)
em que cmd = Xd (mωo)N , ou seja:
x(nT ) =1
N
N−1∑
m=0
Xd(mωo)e jmωonT
e como N = 2πωoT
, a equacao e reescrita como
x(nT ) =T
2π
N−1∑
m=0
Xd(mωo)e jmωonTωo .
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Obtendo a Transformada Inversa de Fourier
Quando N →∞, ωo → dω. Portanto,
x(nT ) = limN→∞
T
2π
N−1∑
m=0
Xd(mωo)e jmωonTωo =T
2π
∫ ∞
0Xd(ω)e jωnTdω
Mas, como Xd(ω) se repete a cada 2π/T , entao x(nT ) e calculado nointervalo de Nyquist, obtendo a Transformada Inversa de Fourier
x(nT ) =T
2π
∫ 2π/T
0Xd(ω)e jωnTdω
ou
x(nT ) =T
2π
∫ π/T
−π/TXd(ω)e jωnTdω
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Qual o significado de Xd(ω) ?
A Transformada Inversa e obtida a partir de
x(nT ) = limN→∞
T
2π
N−1∑
m=0
Xd(mωo)e jmωonTωo .
Qual a unidade de Xd(mωo) ? Ou equivalentemente de Xd(ω) ?
x(nT ) = limN→∞
[T
2πXd(0)ωo +
T
2πXd(ωo)e jωonTωo + . . . .
]
Xd(ω) e uma densidade. Uma concentracao de tensao (V/rad/s) ou decorrente(A/rad/s) ao longo da frequencia.
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Propriedades da Transformada de Fourier
Linearidade
ax(nT ) + by(nT )F↔ aXd(ω) + bYd(ω)
Deslocamento no Tempo e na Frequencia
x((n ± no)T )F↔ e±jωnoTXd(ω)
y(nT ) = x(nT )e±jωonT F↔ Yd(ω) = Xd(ω ∓ ωo)
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Propriedades da Transformada de Fourier
Reflexao no Tempo
x(nT )F↔ Xd(ω)
x(−nT )F↔ X ∗d (ω)
Teorema da Convolucao
x(nT )⊗ h(nT )F↔ Xd(ω)Hd(ω)
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Propriedades da Transformada de Fourier
Produto no Tempo
x(nT )y(nT )F↔(Xd(ω)⊗ Yd(ω)
2π/T
)
Teorema de Parseval
Ex =∞∑
n=−∞|x(nT )|2 =
T
2π
∫ π/T
−π/T|Xd(ω)|2dω
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Propriedade e Criterio de Convergencia da Trasformada deFourier
Periodicidade
Xd(ω) = Xd
(ω ± k
2π
T
)
Convergencia da Transformada de Fourier∞∑
n=−∞|x(nT )| <∞
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Exercıcios
1 Determine a Transformada de Fourier dos sinais abaixo:
1 x [n] = δ[n − no ]
2 Sabendo que F [x(nT ) = k] = k 2πT δ(ω), determine a Transformada de
Fourier dex(nT ) = ke jmωonT
3 x(nT ) = cos(ωonT )
4 x(nT ) = [anTu(nT )] cos(ωonT )
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Transformada de Fourier de um Sinal Periodico
Considere a Serie de Fourier
x(nT ) =N−1∑
m=0
cmdejmωonT
Aplicando Transformada de Fourier sobre x(nT )
Xd(ω) = F[N−1∑
m=0
cmdejmωonT
]=
N−1∑
m=0
cmdF[e jmωonT
],
Obtem-se :
Xd(ω) =2π
T
N−1∑
m=0
cmdδ(ω −mωo),
no qual
cmd =1
N
N−1∑
n=0
x(nT )e−jmωonT
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Exercıcio
Qual a Transformada de Fourier do sinal abaixo ?
x(nT )
n4 8-4-8
1
. . .. . .
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Parte III
Amostragem
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Amostragem de Sinais Contınuo no Tempo
1 Uma sequencia de amostras e obtida a partir de sinais contınuos notempo de acordo com a relacao
x [n] = x(nT ) = x(t)|t=nT ,
no qual T e o tempo de amostragem e ωa = 2π/T , frequencia deamostragem.
2 Representacao Ideal do Conversor Contınuo-Discreto.
C/D
Conversãox(t) x[n] = x(nT )
Tempo de Amostragem (T)
X(ω) Xd(ω)
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Sinal xs(t)
Sinal xs(t) - representacao no tempo contınuo de um sinal discreto.
Figura: Oppenheim. Discrete Time Signal Processing.
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Qual a relacao entre X (ω) e Xd(ω) ?
Inicialmente, considere o sinal xs(t)
xs(t) = x(t)r(t) = x(t)∞∑
n=−∞δ(t − nT )
xs(t) =∞∑
n=−∞x(t)δ(t − nT )
Representacao Contınuo do Sinal x(nT ).
xs(t) =∞∑
n=−∞x(nT )δ(t − nT )
De acordo com a equacao, xs(t) e uma representacao contınua notempo do sinal discreto x(nT ).
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Relacao entre Xs(ω) e Xd(ω) ?
Aplicando a Transformada de Fourier para sinais contınuos sobrexs(t), obtem-se
Xs(ω) = F [xs(t)] = F[ ∞∑
n=−∞x(nT )δ(t − nT )
]
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Relacao entre Xs(ω) e Xd(ω) ?
Aplicando a Transformada de Fourier para sinais contınuos sobrexs(t), obtem-se
Xs(ω) = F [xs(t)] = F[ ∞∑
n=−∞x(nT )δ(t − nT )
]
Xs(ω) =∞∑
n=−∞x(nT )F [δ(t − nT )]
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Relacao entre Xs(ω) e Xd(ω) ?
Aplicando a Transformada de Fourier para sinais contınuos sobrexs(t), obtem-se
Xs(ω) = F [xs(t)] = F[ ∞∑
n=−∞x(nT )δ(t − nT )
]
Xs(ω) =∞∑
n=−∞x(nT )F [δ(t − nT )]
Xs(ω) =∞∑
n=−∞x(nT )e−jωnT = Fd [x(nT )]
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Relacao entre Xs(ω) e Xd(ω) ?
Aplicando a Transformada de Fourier para sinais contınuos sobrexs(t), obtem-se
Xs(ω) = F [xs(t)] = F[ ∞∑
n=−∞x(nT )δ(t − nT )
]
Xs(ω) =∞∑
n=−∞x(nT )F [δ(t − nT )]
Xs(ω) =∞∑
n=−∞x(nT )e−jωnT = Fd [x(nT )]
O termo em vermelho da equacao anterior corresponde aTransformada de Fourier do sinal x(nT ), ou seja
Xs(ω) = Xd(ω)
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Relacao entre X (ω) e Xd(ω)
Mas, qual a relacao entre X (ω) e Xs(ω) ?
Considere xs(t) = x(t)r(t) e aplique Transformada de Fourier.
Xs(ω) = F [x(t)r(t)] = Xd(ω)
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Relacao entre X (ω) e Xd(ω)
Mas, qual a relacao entre X (ω) e Xs(ω) ?
Considere xs(t) = x(t)r(t) e aplique Transformada de Fourier.
Xs(ω) = F [x(t)r(t)] = Xd(ω)
Xd(ω) =X (ω) ~ R(ω)
2π,R(ω) =
2π
T
∞∑
k=−∞δ(ω − kωa).
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Relacao entre X (ω) e Xd(ω)
Mas, qual a relacao entre X (ω) e Xs(ω) ?
Considere xs(t) = x(t)r(t) e aplique Transformada de Fourier.
Xs(ω) = F [x(t)r(t)] = Xd(ω)
Xd(ω) =X (ω) ~ R(ω)
2π,R(ω) =
2π
T
∞∑
k=−∞δ(ω − kωa).
Resolvendo a convolucao, obtem-se
Xd(ω) =1
T
∞∑
k=−∞X (ω − kωa)
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Representacao Grafica entre Xd(ω) e X (ω)
1 Para compreender o comportamento da equacao
Xd(ω) =1
T
∞∑
k=−∞X (ω − kωa),
considere um sinal x(t) cuja Transformada de Fourier e mostradaabaixo
ω
X(ω)
1
ωmax−ωmax
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Relacao entre as Frequencias de Amostragem (ωa) eMaxima do Sinal (ωmax)
1 Para ωa > 2ωmax .
ω
Xd(ω)
ωmax−ωmax
1/T1/T
1/T
ωa−ωa
−π/T π/T
Intervalo de Nyquist
......
2 Criterio de Analise: Preservacao do espectro original de x(t).
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Relacao entre as Frequencias de Amostragem (ωa) eMaxima do Sinal (ωmax)
Para ωa < 2ωmax .
������������������������������������������������������
������������������������������������������������������
������������������������������������������������������
������������������������������������������������������
ω
Xd(ω)
ωmax−ωmax
1/T1/T
1/T
ωa−ωa
......
aliasing
Devido ao aliasing, o espectro de frequencia original do sinal nao epreservado.
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Teorema da Amostragem
Um sinal contınuo x(t) limitado em banda somente pode serrecuperado a partir de suas amostras se a frequencia de amostragemωa for no mınimo igual ao dobro da frequencia maxima ωmax .
ωa ≥ 2ωmax
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Filtro Anti-Alias
Se o sinal contınuo x(t) nao for limitado em banda e necessario usarum filtro Anti-Alias;
Filtro Anti-Alias e usado para limitar a largura de banda do sinalcontınuo x(t) e assegurar o cumprimento do teorema da Amostragem.
C/Dx(t) x(nT ) = x[n]x(t)Filtro
Anti-Alias
ωc1ω
|Hanti(ω)|T
Hanti(ω) =
1 se |ω| < ωc1 ≤ π/T ;0 se |ω| ≥ ωc1.
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Recuperacao do Sinal: Conversor D/C Ideal
D/C
Conversão
xr(t)x(nT ) = x[n]
Conversor
Sequencia / Trem
de Impulso
Estagio 1 Estagio 2
Hr(jω)xs(t) xs(t) = ∑∞
n=−∞ x(nT )δ(t− nT )
xr(t) = hr(t) ∗ xs(t)
xr(t)x[n] = x(nT )
Tempo de Amostragem (T)
Conversor Discreto / Contınuo Ideal
T
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Conversor D/C : Analise no Domınio da Frequencia
Influencia da resposta em frequencia do filtro de recuperacao
ωa − ωmax
ω
Xd(ω) = Xs(ω)
ωmax−ωmax
1/T1/T
1/T
ωa−ωa
−π/T π/T
Hr(ω)
T
ωc−ωc
......
Equacoes da resposta em frequencia do filtro Hr (ω) e do sinalrecuperado Xr (ω).
Hr (ω) =
{T se |ω| ≤ ωc ;0 se |ω| > ωc .
Xr (ω) = Hr (ω)Xs(ω)
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Processamento Discreto de Sinais Contınuos
D/C
ConversãoConversão
C/D
yr(t)
y[n] = y(nT )x[n] = x(nT )
x(t)
T T
Hd(ω)
Sistema Discreto
X(ω) Yr(ω)
Xd(ω) Yd(ω)
Hr(ω)
Qual a relacao entre X (ω) e Yr (ω) ?
Analisando a partir da saıda yr (t).
Yr (ω) = Hr (ω)Yd(ω)
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Processamento Discreto de Sinais Contınuos
O sistema discreto tem resposta em frequencia Hd(ω), ou seja
Yr (ω) = Hr (ω)Hd(ω)Xd(ω)
Xd(ω) depende de X (ω) conforme a equacao
Xd(ω) =1
T
∞∑
k=−∞X (ω − kωa)
Considerando o filtro ideal Hr (ω) = T p/ |ω| ≤ ωc . A equacaoanterior e reescrita como
Yr (ω) = Hd(ω)X (ω)
Os sinais contınuos x(t) e y(t) sao modificados pelo sistema Hd(ω).
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Exemplo
Determine a frequencia de amostragem ωa;
Esboce Yr (ω) sem o sistema Hd(ω);
Esboce Yr (ω) com o sistema Hd(ω).
D/C
ConversãoConversão
C/D
yr(t)
y[n] = y(nT )x[n] = x(nT )
x(t)
T T
Hd(ω)
Sistema Discreto
X(f ) Yr(f )
Xd(f ) Yd(f )
Hr(ω)
2000-2000 ω
1X(ω)
1000-1000 ω
1
Hd(ω)
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