Pró-Reitoria de Graduação Curso de Física
Trabalho de Conclusão de Curso
O COMPUTADOR QUÂNTICO
DE OSCILADOR HARMÔNICO
Autor: Vagner Vieira Lins
Orientador: Dr. Paulo Henrique Alves Guimarães
Brasília - DF
2010
O COMPUTADOR QUÂNTICO DE OSCILADOR HARMÔNICO (Quantum computer of harmonic oscillator)
Vagner Vieira Lins1, Dr. Paulo Henrique A. Guimarães2
1 Curso de Física - Universidade Católica de Brasília 2 Departamento de Física – Universidade Católica de Brasília - Orientador
A computação quântica é um tema de fronteira entre a computação e a física.
Neste trabalho é feita uma revisão da literatura sobre o assunto. Num segundo
momento é apresentado o oscilador harmônico como modelo de construção de um
computador quântico. Nesse contexto, serão abordados os casos clássicos e
quânticos no sentido de construir uma teoria sobre estes sistemas. Para este último
caso, serão analisados os efeitos dos fenômenos de superposição e do
emaranhamento. Posteriormente é analisada a viabilidade de construção do
computador baseado no modelo de osciladores harmônicos.
Palavras chaves: computação quântica, osciladores harmônicos quânticos,
implementação de computadores quânticos, emaranhamento.
Quantum computing is a subject of the boundary between computing and
physics. In this work, a review of the literature on the subject. In a second step the
harmonic oscillator is presented as a model for building a quantum computer. In this
context, the cases will be dealt with classical and quantum in order to build a theory
about these systems. For the latter case, we will analyze the effects of the phenomena
of superposition and entanglement. It is then examined the feasibility of constructing
the computer model based on harmonic oscillators.
Keywords: quantum computing, quantum harmonic oscillators, the implementation of
quantum computers, entanglement.
1. Introdução A computação clássica está baseada num conjunto de operações
matemáticas sobre um conjunto formado por somente dois elementos. Nesse
sistema binário, a unidade fundamental da informação é o bit que pode assumir
o estado 0 (zero) ou 1(um) (NIELSEN, 2005). Utilizando-se essa maneira de
manipular informações, o computador tem se mostrado bastante eficiente para
muitas aplicações. O acesso a banco de dados, a realização de cálculos
matemáticos e a edição de imagens são alguns exemplos de tarefas em que o
computador é a melhor máquina para executá-las. No entanto, existem
problemas complexos que a computação clássica não consegue solucionar
com eficiência, apesar da grande evolução tecnológica tanto em nível de
arquitetura física quanto de programação. Além disso, a arquitetura dos
computadores que conhecemos atingirá seu limite, ou seja, quando chegarmos
ao limite do átomo não será fisicamente possível fabricar nada menor
(ALEGRETTI, 2004).
Podemos enumerar algumas restrições impostas à computação
clássica como a fatoração de números inteiros grandes em números primos,
que é a base da criptografia, a otimização da busca em bancos de dados, a
Inteligência artificial e a determinação da conformação geométrica ideal de
uma macromolécula a partir dos seus componentes. Tais tarefas necessitam
de um processamento paralelo maciço que seria inviável num computador
clássico ou, ao menos, demoraria muito tempo (HASS, 2006).
O objetivo deste trabalho é expor as condições necessárias para a
realização de computação quântica bem como lançar mão de um modelo físico,
o Oscilador Harmônico quântico como uma possível escolha para
implementação do computador quântico. Deste último aspecto, pretende-se
analisar, em nível introdutório, o emaranhamento, uma propriedade importante
no estudo da computação quântica.
2. Conceitos fundamentais
Historicamente, a computação quântica surgiu de especulações de
Feynman e Benioff a respeito das pontecialidades de uma máquina baseada
em princípios quânticos (HASS, 2006). Desta forma, um computador quântico é
um dispositivo que executa cálculos utilizando propriedades da mecânica
quântica.
Antes de falar sobre o computador quântico apresentaremos alguns
conceitos fundamentais, necessários para o entendimento da computação
quântica.
2.1. Bits Quânticos
Em computação quântica, utilizam-se estados quânticos ao invés de
estados clássicos.
O bit clássico é substituído pelo bit quântico, o q-bit. Os valores 0 e 1
de um bit clássico são substituídos pelos vetores e | . A notação | é a
notação de estados quânticos conhecida por notação de Dirac.
A diferença entre um bit e um q-bit é que este último pode estar em
estados diferentes de e | , ou seja, é possível que sejam formados
combinações lineares de estados. Sendo assim, um q-bit pode existir em um
estado contínuo entre e | conforme mostrado na Equação 1. Essa
propriedade é chamada de superposição:
| | | (1)
Os parâmetros e são números complexos. De outra forma,
podemos dizer que um q-bit é um vetor num espaço vetorial complexo com
duas dimensões.
Apesar dessa configuração estranha, os q-bits são reais. Sistemas
físicos podem ser utilizados para torná-los reais. Num átomo, por exemplo, o
elétron pode estar no estado fundamental ou no estado excitado. Podemos
atribuir | ao estado fundamental e | ao estado excitado (NIELSEN,
2005), conforme mostrado na figura abaixo.
Figura 1: Dois níveis eletrônicos em um átomo representando um q-bit.
Se irradiarmos o átomo com luz podemos levar o átomo do estado |
ao estado | . Também podemos levar o elétron a um estado intermediário
entre | e | , o estado | cuja probabilidade quando medido é de 50%
para 0 e 50% para 1. De acordo com a Equação 2, | | | |
|
√ |
√ | (2)
Podemos reescrever a superposição de estados da seguinte forma:
| (
|
| ) (3)
em que , e são números reais. O termo não é geometricamente
observável, logo podemos escrever a Equação 3 da seguinte forma:
| (
|
| ) (4)
O argumento e argumento presentes na Equação 4 definem um
ponto sobre a superfície de uma esfera de raio unitário chamada de esfera de
Block ilustrada na Figura 2.
Figura 2: Representação de um q-bit na esfera de Block. Fonte: Enciclopédia livre - Wikipédia.
Embora útil essa representação é limitada. Para muitos q-bits não
existe uma representação simples na esfera do Block.
2.2. Circuitos Quânticos
Um computador clássico é constituído de circuitos elétricos contendo
fios e portas lógicas. Um computador quântico é constituído a partir de um
circuito quântico onde se encontram portas lógicas quânticas que manipulam a
informação quântica e fios que transportam a informação (NIELSEN, 2005).
A grande vantagem da computação quântica é realizar uma operação
sobre todas as 2n combinações de n q-bits (VALADARES, 2004). Por exemplo,
um computador clássico com três bits de memória pode apenas armazenar oito
estados lógicos (000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111). Um computador
quântico pode atualmente armazenar 16 valores analógicos em pares para
formar 8 números complexos. A primeira coluna da Tabela 1 apresenta todos
os estados possíveis para três bits. Num computador clássico, somente um
destes estados pode ser assumido de cada vez. Um computador quântico
pode, através da superposição de estados, assumir os oito estados
simultaneamente. A segunda coluna mostra a "amplitude" para cada um destes
estados. Os oito números complexos representam uma imagem dos conteúdos
do computador quântico num determinado instante. Durante a computação
estes oitos estados irão interagir e se modificarem. A terceira coluna mostra a
probabilidade para cada estado. Não é possível realizar uma medida direta
sobre os números complexos. Quando o algoritmo é terminado somente uma
linha de 3-bits é mostrada. Isso porque uma medida sobre a superposição
pode levar o sistema para um estado desconhecido, sem a coerência que tinha
anteriormente.
A Figura 3 mostra um esquema de operação em um registrador de 3 q-
bits.
Tabela 1: Devido a superposição um computador quântico pode assumir 8 estados
simultaneamente para um conjunto de 3 q-bits.
Estado Amplitude Probabilidade
* (a+ib) (a²+b²) 000 0.37 + i 0.04 0.14 001 0.11 + i 0.18 0.04 010 0.09 + i 0.31 0.10 011 0.30 + i 0.30 0.18 100 0.35 + i 0.43 0.31 101 0.40 + i 0.01 0.16 110 0.09 + i 0.12 0.02 111 0.15 + i 0.16 0.05
Fonte: Enciclopédia livre – Wikipédia
Figura 3: Operação F(x) simultânea em 3 q-bits.
3. Condições para a realização da computação quântica
Para construir um computador quântico, devemos além da
representação matemática, ter uma representação física dos q-bits que
mantenha as suas propriedades quânticas, preparar os q-bits num conjunto
bem definido de estados iniciais, selecionar um sistema em que os q-bits
possam evoluir e finalmente realizar a medição do estado final de saída do
sistema.
3.1. Representação da informação quântica.
A computação quântica se realiza através das transformações de
estados quânticos. Uma partícula com spin 1/2, por exemplo, pode ser usada
para representar um q-bit ( - . Isso preenche um requisito
para se realizar computação, ou seja, o conjunto de estados é finito.
Um problema relevante é que os sistemas geralmente não estão
isolados. Na computação quântica um grande problema é a decoerência, ou
seja, a distorção do estado quântico em virtude da interação com ambiente
(ALVES, 2003). A seleção da representação deve ser tal que a decoerência
seja a mínima possível. No caso do spin, ele representaria um bit quântico
quase ideal pois está confinado ao espaço de Hilbert gerado pelos estados
| | . O spin da partícula não pode estar fora desse espaço.
Um sistema que seja vulnerável e permita com facilidade a destruição
da superposição dos estados não é uma boa escolha para a representação da
informação quântica (NIELSEN, 2005). Os estados de energia num átomo, por
exemplo, não constitui uma boa escolha.
3.2. A realização de transformações unitárias
Sistemas quânticos fechados evoluem unitariamente de acordo com
seus operadores observáveis de energia (NIELSEN, 2005). Esse operador é
chamado de Hamiltoniano. É imediato então pensar que para realizar
computação quântica é necessário controlar o Hamiltoniano para selecionar
uma transformação unitária de uma família universal de transformações
unitárias. As transformações unitárias são realizadas por portas lógicas
quânticas.
A principal diferença entre uma porta lógica quântica e uma porta lógica
clássica é que nesta última as operações não são reversíveis.
Figura 4: Representação da operação de portas lógicas quânticas.
Abaixo temos algumas portas lógicas quânticas importantes:
Toffoli - Transforma um registrador quântico em um registrador
clássico. Tal operação permite reproduzir algoritmos clássicos em um
computador quântico.
Controlled NOT - Esta operação aplica NOT no segundo q-bit caso o
primeiro seja 1 ou mantém o segundo q-bit, caso o primeiro seja 0. Isso torna o
bit dependente do outro, que é a definição de entrelaçamento.
3.3. Preparação dos estados iniciais de alta fidelidade e baixa entropia
Uma vez escolhida a representação física de um q-bit é preciso
preparar o estado inicial de tal forma que uma transformação unitária sobre
este estado leve o sistema para o estado desejado. Além disso, o estado inicial
precisa ser de baixa entropia, no caso ideal igual a zero. Íons, por exemplo,
podem ser preparados em bons estados de entrada, fisicamente resfriando-os
ao estado fundamental, porém tal tarefa constitui um desafio. Um outro
problema, agora no campo da computação, é colocar todos os q-bits no mesmo
estado. Isso porque, a diferença de energia entre estes estados, numa
molécula, por exemplo, é muito pequena quando comparada com a energia
KBT (KB = constante de boltzmann, T= Temperatura. (NIELSEN, 2005).
3.4. Medida do resultado da saída
O q-bit precisa ser lido no final, e esta tarefa é extremamente
complicada, porque a menor instabilidade provocada ao sistema pode alterar o
resultado final. Além disso, devemos considerar a impossibilidade de ler o
estado real do q-bit, pois o estado é probabilístico. O que se obtém é um valor
aleatório, que segue as regras probabilísticas de seu estado real.
Considerando este último aspecto, as medidas representam um processo de
decoerência.
4. Implementação de computadores Quânticos
O mecanismo necessário para a construção de um computador
quântico deve ser capaz de manipular q-bits. Esse mecanismo deve levar em
consideração os seguintes aspectos:
Os q-bits precisam ser armazenados por um período de tempo
suficiente para que possam ser realizadas as rotinas computacionais.
Os q-bits precisam estar isolados ao máximo do ambiente para
minimizar a decoerência.
A leitura dos q-bits precisa ser eficiente e confiável.
É necessário manipular q-bits separadamente. Para tanto é necessário
a construção de portas lógicas quânticas de alta precisão.
A seguir apresentamos uma abordagem de computador quântico a
partir do oscilador harmônico quântico.
4.1. O computador quântico de oscilador Harmônico
Antes de investigarmos se o oscilador harmônico quântico é uma boa
escolha para a implementação do computador quântico, vamos analisar alguns
casos clássicos com a finalidade de construir uma teoria consistente sobre este
sistema físico.
4.1.1. Oscilador harmônico simples
Para este caso, consideramos um sistema disposto horizontalmente
composto por uma massa presa a uma mola e esta última presa a parede.
Figura 5: Modelo de oscilador harmônico simples com um grau de liberdade.
Inicialmente a mola não está alongada nem comprimida, ou seja, x0 =
0. Desprezando as forças de resistência como o atrito, temos que a única força
que age é a força elástica:
(5)
onde é a força resultante, k é a constante elástica da mola e x é a posição
da massa.
Igualando a Equação 5 a uma consequência da segunda lei de Newton
e fazendo , temos que:
(6)
A solução para a Equação diferencial acima é do tipo:
(7)
Derivando duas vezes a Equação 7, temos que:
(8)
Substituindo a solução e sua segunda derivada na Equação 6, obtemos
(
)
(9)
√ √
√
Do desenvolvimento acima, obtemos as seguintes soluções:
√
(10)
√
(11)
A soma das duas Equações 10 e 11 também é uma solução. Fazendo
uma combinação linear:
√
√ (12)
Utilizando a relação de Euller (Equação 13), e fazendo as substituições
abaixo (Equações 14, 15 e 16), obtemos a solução da Equação 6 que modela o
oscilador harmônico simples. Na equação 13, u é uma constante.
[ ] (13)
√
√
( ) (14)
(15)
( ) ( ) (√
) ( ) (√
) (16)
( ) √
(17)
A Equação 17 nos dá a posição da massa em função do tempo, o
parâmetro é a constante de fase relacionada a posição inicial da massa.
4.1.2. Osciladores harmônicos acoplados
O sistema é constituído de duas massas iguais, representadas por m
acopladas por três molas, duas de constantes k , e uma mola de constante
elástica kc, arranjadas conforme esquematizado na Figura 6. A oscilação tem a
característica de ser em uma dimensão e na direção horizontal, com um grau
de liberdade. Assumiremos as duas massas iguais para facilitar cálculos.
Figura 6: Modelo de oscilador harmônico acoplado com dois graus de liberdade.
Analisando as forças que agem sobre a massa da esquerda, temos
que:
Figura 7 - Forças que agem sobre a massa da esquerda.
Analisando as forças que agem sobre a massa da direita, temos que:
Figura 8 - Forças que agem sobre a massa da direita.
Aplicando a segunda Lei de Newton a cada massa considerando o
somatório das forças elásticas, temos que:
Para a massa da esquerda
(18)
Para a massa da direita
(19)
As Equações 18 e 19 estão acopladas formando um sistema linear com
duas equações diferenciais.
Somando e subtraindo as Equações 18 e 19 temos um sistema de
equações equivalente (NUSSENZVEIG, 2003) e dividindo as duas equações
resultantes por m, temos que:
( )
( ) (20)
( )
( ) (21)
As Equações 20 e 21 nos fornecem as duas freqüências do movimento
harmônico simples conforme mostrado nas Equações 22 e 23:
(22)
(23)
As soluções das Equações 20 e 21 são respectivamente,
( ) (24)
( ) (25)
As amplitudes Aa e Ab que aparecem nas Equações 24 e 25 e as
constantes de fase a e b são determinadas pelas condições iniciais: posição
inicial e velocidade inicial de cada partícula.
Resolvendo as Equações 24 e 25 para x1 e x2 obtemos as seguintes
equações:
(26)
(27)
As Equações 26 e 27 revelam que o movimento de dois osciladores
acoplados pode ser considerado como uma superposição de dois modos
normais de oscilação de freqüências angulares iguais as presentes nas
Equações 22 e 23.
No tempo t = 0, as posições inicias das duas massas são,
respectivamente, x01 e x02 e as velocidades iniciais são iguais a zero.
As equações 26 e 27 são transformadas nas equações 28 e 29 após
algumas operações algébricas e trigonométricas.
(28)
(29)
O primeiro modo normal de oscilação pode ser obtido quando as
duas massas movem-se em fase, ou seja, x01 = x02. Nessa situação a mola
central não sofre nenhuma deformação. Sendo assim, esta mola não exerce
força sobre as massas e estas últimas movem-se como se não estivessem
acopladas. As Equações 30 e 31 representam matematicamente essa
situação.
(30)
(31)
O segundo modo normal de oscilação é obtido quando as duas
massas movem-se em oposição de fase, ou seja, x01 = - x02. Nessa situação o
movimento de cada massa é matematicamente representado pelas Equações
32 e 33.
(32)
(33)
4.1.3. Oscilador harmônico quântico
A análise do oscilador harmônico quântico está diretamente ligada a
determinação das soluções da equação de Schrödinger para uma partícula de
massa m e coordenada x movendo numa região onde a energia potencial tem
a forma de um oscilador harmônico, conforme ilustrado na Figura 9.
Figura 9: Energia Potencial do Oscilador em função do deslocamento da partícula.
No caso quântico, a constante k define quão bruscamente a energia
potencial varia da posição de equilíbrio a medida que se afasta deste ponto.
Para o oscilador harmônico, a equação de Schrödinger pode ser escrita
independente do tempo como mostra a Equação 34.
( ) ( ) (34)
(
) ( )
No caso clássico, o módulo da posição não deve ser maior que a
amplitude. No entanto, a mecânica quântica permite a penetração em regiões
proibidas classicamente. Nessa situação a probabilidade da penetração diminui
a medida que a penetração aumenta.
Quando os valores do módulo de x são elevados, o valor da grandeza
- torna-se positivo, portanto a função de onda ( ) e sua segunda
derivada devem ter o mesmo sinal. A segunda Derivada de ( ) fornece a taxa
de inclinação de ( ). Considerando um ponto tal que x > A para o qual
- > 0, quando ( ) é positiva, a sua segunda derivada também
deve ser positiva e a curva possui concavidade para cima.
Entre as curvas que tendem ao infinito por valores positivos e as que
tendem ao infinito por valores negativos existe a possibilidade de que a curva
tenda assintoticamente ao eixo Ox, conforme ilustrado na Figura 10. Nesse
caso, ( ), ( ) e ( ) tendem simultaneamente a zero quando x
tende ao infinito. Essa possibilidade satisfaz a condição de contorno ( ) 0
quando x ∞.
Figura 10: Curva aceitável de ( ) quando x ∞.
Antes de apresentarmos a solução geral da Equação 34, mostraremos
as funções de onda para o estado fundamental e o primeiro estado excitado. A
função de onda do estado fundamental ( ) é uma função gaussiana
centrada na origem (TIPLER, 1933).
( )
(35)
As constantes e a são positivas. Podemos verificar se a Equação 35
é uma solução para a equação 34 que modela o oscilador harmônico.
Calculado a primeira e a segunda derivada da Equação 35, temos que:
(
)
(
)
= - - ) (36)
Substituindo a Equação 36 na Equação 34, temos que:
(37)
Dividindo ambos os lados da Equação 37 por - , obtemos a
Equação 38.
(38)
Rearranjando a Equação 38 na forma polinomial, temos que:
(
) (
) (39)
Partindo do seguinte teorema " Se um polinômio é igual a zero sobre
um intervalo contínuo de x, então cada coeficiente do polinômio é nulo".
Aplicando este teorema na Equação 39, temos que:
(
) (40)
(
) (41)
Resolvendo a Equação 40 para a, obtemos:
(43)
Resolvendo a Equação 41 para , obtemos:
(44)
Substituindo a Equação 43 na equação 44, obtemos a energia do
estado fundamental independente do valor de .
(45)
O primeiro estado excitado tem um nó exatamente no centro do poço
de potencial, da mesma forma que uma partícula numa caixa. A função de
onda desse estado é
( )
(46)
Procedendo de forma análoga ao realizado para o estado fundamental
(
)
(
)
= - - ) (47)
Substituindo a Equação 47 na Equação 34, temos que:
(48)
Dividindo ambos os lados da Equação 48 por - , obtemos a
Equação 49.
(49)
Rearranjando a Equação 49 na forma polinomial, temos que:
(
) (
) (
) (50)
Partindo novamente do teorema enunciado anteriormente aplicando-o
na Equação 50, temos que:
(
) (
) (51)
(
) (52)
Resolvendo a Equação 51 para a, obtemos:
(53)
Resolvendo a Equação 52 para , obtemos:
(54)
Substituindo a Equação 53 na equação 54, obtemos a energia do
primeiro estado excitado.
(55)
De modo geral, a solução da Equação de Schrödinger para o oscilador
harmônico é dado pela expressão abaixo:
( )
A Figura 11 mostra o gráfico das funções de onda para o estado
fundamental e para os cinco primeiros estados excitados. Observe que cada
estado de energia tem um nó adicional na função de onda.
Figura 11: Funções de onda para o estado fundamental e para os cinco primeiros estados
excitados. Fonte: Enciclopédia livre - Wikipédia.
A partir dos resultados apresentados acima podemos generalizar a
energia do n-ésimo estado excitado de um oscilador harmônico quântico,
matematicamente descrita pela Equação 56.
(
) (56)
onde n = 1, 2, 3,...
A Figura 12 mostra que os níveis de energia são uniformemente
espaçados por uma quantidade igual a , ou seja, as energias são
quantizadas o que corrobora com a característica de sistemas mecânicos-
quânticos.
Figura 12: Energias do estado fundamental e para os cinco primeiros estados excitados. Fonte:
Física - Para cientistas e Engenheiros Vol.3, TIPLER, Paul A. / MOSCA, Gene, 2009, p. 38.
4.1.4. Oscilador Harmônico quântico acoplado
A equação de Schrödinger para um sistema com dois ou mais elétrons
não pode ser resolvida exatamente e neste caso são utilizados métodos de
aproximação. Essa situação é semelhante a vista para oscilador acoplado
clássico. No entanto, surgem complicações decorrentes da própria identidade
dos elétrons, que é um efeito puramente quântico e não tem contrapartida na
mecânica clássica. Isso acontece devido ao fato de ser impossível distinguir um
elétron do outro. Classicamente partículas idênticas podem ser identificadas
pelas suas posições, que em princípio pode ser determinado com precisão
ilimitada. Isto é impossível na mecânica quântica por causa do principio de
incerteza. (TIPLER, 2009). A figura 13 ilustra essa situação.
Figura 13: Se o elétron fosse uma partícula os caminhos a e b representam as duas
possibilidades de caminhos. No entanto, em virtude das propriedades de onda do elétron, os
caminhos são espalhados. Nessa situação é impossível analisar os elétrons depois que eles se
separam. Fonte: Física - Para cientistas e Engenheiros Vol.3, TIPLER, Paul A. / MOSCA,
Gene, 2009, p. 47.
Para este caso, vamos considerar duas partículas idênticas colocadas
num poço quadrado infinito e unidimensional. Essas partículas não tem
interação eletrostática. A Equação 57 descreve a equação de Schrödinger
independente do tempo para as duas partículas com massas iguais a m.
( ) ( ) ( ) (57)
Resolvendo a equação de Schrödinger dentro do poço onde U = 0
temos que:
(58)
Os índices a e b da Equação 58 representam os números quânticos
das partículas 1 e 2 e
são as respectivas funções de onda. Por
exemplo, se a = 1 e b = 2, a função de onda resultante é mostrada pela
Equação 59.
(
) (
) (59)
A densidade de probabilidade de encontrar a partícula 1 numa região x
= x1 e x = x1 + dx é a mesma probabilidade de encontrar a partícula 2 numa
região x = x2 e x2 = x2 + dx2 já que as partículas são idênticas e não podem ser
diferenciadas, matematicamente.
( ) ( ) (60)
A Equação 60 é satisfeita se ( ) = ( ) ou ( ) =
- ( ), ou seja, se as funções forem simétricas ou anti-simétricas.
Procedendo de forma análoga ao caso clássico podemos encontrar
funções de onda simétricas e anti-simétricas que são soluções da equação de
Schrödinger, através da adição ou subtração das funções e
,
conforme as Equações 61 e 62.
(
)
[( (
]
(61)
(
)
[( - ( ]
(62)
As funções obtidas e
são respectivamente as funções simétricas
e anti-simétricas.
Para o primeiro estado excitado podemos reescrever as Equações 61 e
62 da seguinte forma;
( (
) (
) (
) (
)) (64)
( (
) (
) (
) (
)) (65)
A solução da equação de Schrödigner para o caso acoplado mostra as
funções simétricas e anti-simétricas depende simultaneamente das posições
das duas partículas, isto é, o resultado é uma superposição das posições das
duas partículas.
5. Análise do oscilador harmônico como modelo de construção do
computador quântico.
Apesar do nível de abordagem não considerar todo o formalismo da
mecânica quântica, o estudo dos osciladores harmônicos, sobretudo os
acoplados, revelou duas propriedades quânticas fundamentais para a
computação quântica: a superposição e o entrelaçamento. Para a primeira
propriedade, percebida também para o caso do oscilador harmônico clássico
acoplado, notamos através das Equações 26 e 27 que as funções de onda
para as duas massas formam uma superposição de dois modos normais de
oscilação. A Figura 14 ilustra esse tipo de situação para um caso geral similar
ao representado matematicamente pelas duas equações citadas anteriormente
Figura 14: Duas ondas estacionárias representadas pelas cores azul e vermelho. A onda na cor
negra representa o resultado da superposição dessas duas ondas. Fonte: Física -
Enciclopédia livre - Wikipédia.
Ainda analisando o caso clássico de oscilador harmônico acoplado
notamos que, se ocorrer, por exemplo, uma mudança de freqüência no modo
de oscilação de uma das massas, essa mudança afetará diretamente a posição
da outra massa. Essa situação em que dois ou mais objetos estejam de alguma
forma ligados de tal forma que um objeto não possa ser corretamente descrito
sem que uma propriedade do outro seja considerada constitui o conceito de
entrelaçamento.
Para o caso quântico acoplado temos uma configuração semelhante
onde a solução da equação Schrödigner depende das posições das duas
partículas mesmo as soluções não sendo simétricas ou anti-simetricas como
pode ser visto através da Equação 59. Embora as partículas não estejam
espacialmente ligadas por molas, como acontece no caso clássico, a descrição
do estado de uma partícula depende diretamente do estado da outra. Essa
conjuntura implica também no conceito de entrelaçamento. Essa importante
propriedade tem sido utilizada para experiências como o teletransporte
quântico.
O estudo do oscilador harmônico quântico simples mostra que este
sistema pode ser utilizado para representar os q-bits, pois podemos ter uma
superposição linear do primeiro estado excitado com o estado fundamental
guardando a característica do q-bit ser um sistema de dois níveis. Através
dessa primeira constatação podemos dizer também que seria possível realizar
transformações unitárias de um q-bit, ou seja, construir portas lógicas que
manipulam um q-bit. Um exemplo de operação deste tipo seria um processo
que conseguisse levar o estado | para o estado | e vice-versa.
Embora tenhamos uma representação do q-bit através dos níveis de
energia do oscilador harmônico temos um problema se tentarmos diferenciar
esses q-bits. Como os níveis de energia são igualmente espaçados por uma
quantidade , um q-bit representado pelo estado fundamental e pelo
primeiro estado excitado seria idêntico a um q-bit representado pelo terceiro e
quarto estado excitado. Para contornamos essa situação, poderíamos acoplar
outro sistema que controle a diferenciação de q-bits. Submeter o sistema a um
potencial externo poderia ser uma escolha. No entanto, esse acoplamento leva
a decoerência e conseqüentemente a destruição da superposição. Neste
ponto, podemos ressaltar uma condição para a realização da computação
quântica. Os estados de entrada não seriam bons em virtude de a preparação
ser vulnerável a decoerência.
O acoplamento estudado no caso das duas partículas num poço de
potencial quadrado infinito pode ser utilizado para a criação de portas lógicas
quânticas que manipulam mais de um q-bit, ou realizam transformações
unitárias sobre mais de um q-bit. Um exemplo de portas desse tipo é porta Não
– Controlada que usa diretamente o conceito de entrelaçamento.
6. Conclusão
Este trabalho apresenta os conceitos básicos em computação quântica
mediante uma pesquisa bibliográfica. Através do estudo de sistemas de
osciladores harmônicos procurou-se um modelo físico que viabilize a
construção do computador quântico. Os casos quânticos revelaram-se como
uma estrutura aceitável ao menos para representação da informação quântica
e para implementação de portas lógicas quânticas. No entanto, a escolha
destes sistemas torna a condição de preparação dos estados iniciais
dificultosa.
Os resultados obtidos nos casos acoplados elucidaram os conceitos de
superposição e entrelaçamento, embora o texto não use todo o formalismo da
mecânica quântica.
Sem Dúvida, a escolha do sistema físico para construção do
computador quântico é uma das grandes questões a ser resolvida. Este fato
motiva a busca por outros sistemas que obedeçam as condições necessárias
para a realização da computação quântica.
Agradecimentos
A realização deste trabalho foi concretizada graças a cooperação de
muitas pessoas. Em especial à aqueles que acreditaram no meu potencial. Ao
meu orientador, Dr. Paulo Henrique Alves Guimarães, pela disponibilidade e
constante auxílio. À minha família pelo apoio e incentivo. À minha namorada
Sônia que mesmo distante desempenhou papel similar ao realizado pela minha
família.
7. Bibliografia
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