PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO - BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA
INFORMÁTICA
MÉTODOS NUMÉRICOS DE DETERMINAÇÃO DE RAÍZES: BISSEÇÃO, SECANTE E NEWTON-RAPHSON
Professor.: Aquiles Burlamaqui
CONTEÚDO
Metodologia Contexto Bibliografia Motivação Idéia Central dos Métodos
Fase I Fase II
Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa
METODOLOGIA Aulas
Teórico-Práticas: Em todas as aulas haverão uma discussão inicial, onde
serão construídos os conceitos assim como as atividades práticas que servirão como parâmetros para avaliação.
Avaliação: A avaliação será feita em cima das prática vistas em
sala de aula assim como provas escritas e participação, de maneira a avaliar o aluno continuamente.
“Eu escutei e esqueci. Eu vi e lembrei. Eu fiz e Entendi.” Confucius
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Fase I Fase II
Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa
CONTEXTO DA AULA NA DISCIPLINA Esta aula de está inserida no contexto da
disciplina de Cálculo Numérico cujos objetivos são: Apresentar o cálculo do ponto de vista
computacional. Desenvolver as técnicas destinadas a compensar
as restrições das representações numéricas. Pré-requisitos:
Cálculo I Introdução à Programação
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CONTEÚDO
Metodologia Contexto Bibliografia Motivação Idéia Central dos Métodos
Fase I Fase II
Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa
BIBLIOGRAFIA Rugiero, Márcia A. G. & Lopes, Vera L.R.
Cálculo Numérico: Aspectos Teóricos e Computacionais. 2 ed. Makron Books, 1996.
Sperandio, Décio et al. Cálculo Numérico: Características Matemáticas e Computacionais. Prentice-Hall, 2003.
Franco, Neide M.B.. Cálculo Numérico. Prentice-Hall, 2006.
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Metodologia Contexto Bibliografia Motivação Idéia Central dos Métodos
Fase I Fase II
Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa
MOTIVAÇÃO A busca por zeros de funções:
- em diversas áreas da ciência, surgem modelos matemáticos definidos por uma equação do tipo
f(x) = 0 Algumas funções podem ter suas raízes
calculadas analiticamente, porém outras são de difícil solução ou de solução desconhecida (polinômios de ordem maior que 3, por exemplo), sendo necessário a solução por métodos numéricos
Desejamos portanto encontrar um valor para x tal que f() = 0
Iremos discutir métodos numéricos de implementação computacionalmente viável para encontrar um valor para dentro de um intervalo com uma precisão razoável
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CONTEÚDO
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Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa
IDÉIA CENTRAL DOS MÉTODOS Fase I
Localizar ou isolar uma região que contenha a raiz e definir um valor aproximado inicial
Fase IIRefinamento ou seja melhorar
sucessivamente a aproximação inicial obtida na fase I até se obter uma aproximação para a raiz real dentro de uma precisão prefixada
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Fase I Fase II
Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa
FASE I Nesta fase fazemos uma análise
teórica e gráfica da função f(x) O sucesso da fase II depende da
precisão desta análise Usamos o Teorema de Cauchy:
seja f(x) uma função contínua no intervalo [a, b]
se f(a)f(b) < 0 então existe pelo menos um ponto x = entre a e b que é zero de f(x)
a prova deste teorema pode ser encontrada em [Guidorizzi, 2001] 14
FASE I : ANÁLISE GRÁFICA
Figuras extraídas de [Ruggiero, 1996]
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FASE I : ANÁLISE GRÁFICA
16
Figuras extraídas de [Ruggiero, 1996]
se f(a)f(b) > 0 então podemos ter várias situações no intervalo [a, b]. Estas situações e a análise gráfica são discutidas com mais detalhes em [Guidorizzi, 2001] e [Leithold, 1994]
FASE I : ANÁLISE GRÁFICA Vimos portanto, que a análise gráfica do função f(x)
é fundamental para se obter boas aproximações para a raiz
É suficiente o uso de um dos processos a seguir:i ) Esboçar o gráfico de f(x) e localizar a região onde a
curva intercepta o eixo das abcissas;
ii ) A partir da equação f(x) = 0 obter a equação equivalente g(x) = h(x) e esboçar seus gráficos. Os pontos de cruzamento das curvas são os zeros procurados, pois f()=0 g() = h()
iii ) Usar softwares para traçar gráficos
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FASE I : EXEMPLO COM PROCESSO I
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Figuras extraídas de [Ruggiero, 1996]
FASE I : EXEMPLO COM PROCESSO II
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Figuras extraídas de [Ruggiero, 1996]
FASE I : TABELA DE VARIAÇÃO DO SINAL
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Figuras extraídas de [Ruggiero, 1996]
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FASE II: REFINAMENTO
Há vários métodos para refinamento da raiz
Todos pertencem a classe dos métodos iterativos onde um conjunto de instruções é repetido formando cada passo ou ciclo
Eles fornecem uma aproximação da raiz
É importante:Definir o critério de paradaEstudar a convergência e sua eficiência
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CRITÉRIOS DE PARADA
Existem vários tipo de critérios de parada
Analise do valor da funcao:
Erro absoluto:
Erro relativo:
Limites do intervalo:
iii xx
)(xf
i
iii
x
xx
2
ab
FASE II: PSEUDO-CÓDIGO
Ler dados iniciaisRealizar cálculos e aproximação iniciaisk = 1
Enquanto !criterioSatisfeito E k < limMaxcriterioSatisfeito =
calcularNovaAproximacao()k = k + 1
Fim enquantoExibirResultados()
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FASE 1
FASE 2
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FASE II: MÉTODO DA BISSEÇÃO Usando-se o teorema já apresentado
se f(a)f(b) < 0 então existe pelo menos um ponto x = entre a e b que é zero de f(x)
Divide-se ao meio o intervalo [a, b] sucessivamente até que (b-a) < Cada novo xk = (ak + bk)/2 será o novo ak+1 ou
bk+1 de modo a manter válido o teorema acima
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FASE II: MÉTODO DA BISSEÇÃO
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Ex: Achar a raiz da equação no intervalo [2,3] com o erro absoluto
10)( 3 xxf1,0
017*2)3(*)2( ff
62,5)5,2(5,22/)32(0 fx
39,1)25,2(25,22/)5,22(1 fx
40,0)15,2(12,22/)25,22(2 fx
46,0)18,2(18,22/)25,212,2(3 fx
06,012,218,2
5,22 ba
32 ba
25,22 ba
25,212,2 ba
FASE II: MÉTODO DA BISSEÇÃO
Vantagens: Simples Converge sempre
Desvantagens: convergencia lenta
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FASE II: MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON Supondo uma aproximação x0 para a raiz de
f(x), no ponto (x0, f(x0)) passa apenas uma única reta tangente, que é a derivada de f(x) em x0. Esta reta tangente corta o eixo x na coordenada x1,definindo por sua vez, o ponto (x1, f(x1))
Por este novo ponto também passa uma única reta tangente que corta o eixo x em x2. Esta nova coordenada define outro ponto (x2, f(x2)) que repete todo o processo
x0,x1,... são aproximações cada vez melhores para a raiz da função, o Xk+1 pode ser obtido a partir do Xk através da função: 31
FASE II: MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
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FASE II: MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON (FORMULAÇÃO E ANÁLISE GRÁFICA)
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Figuras extraídas de [Ruggiero, 1996]
ConvergênciaCaso se escolha x0 de forma que x1 saia do
intervalo [a,b] o método poderá não convergir.
Ex: Ache a raiz da equaçãopara o erro relativo , ou seja:
)ln()( 2 xxxf
FASE II: MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
Se
Então
xxxf1
2)(
x0=0,5
65,03
44,05,0
)5,0(
)5,0(5,01
f
fx
)ln()( 2 xxxf
65,0)65,0(
)65,0(65,02
f
fx
01,065,0
65,065,0
FASE II: MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON Vantagens:
SimplesRápida convergência
Desvantagens:Nem sempre convergeNecessidade de se conhecer a derivada da
funçãoMuito sensível à estimativa inicialSe a derivada for nula o método falha
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FASE II: MÉTODO DA SECANTE
Uma grande desvantagem do método de Newton é a necessidade de se obter f’(x) e calcular seu valor numérico a cada iteração
Uma forma de se contornar este problema é substituir a derivada f’(x) pelo quociente das diferenças
f’(xk) ( f(xk) - f(xk-1) ) / ( xk - xk-1)
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FASE II: MÉTODO DA SECANTE
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Figuras extraídas de [Ruggiero, 1996]
FASE II: MÉTODO DA SECANTE
FASE II: MÉTODO DA SECANTE Vantagens:
Simples Rápida convergência como o método deNewton
e não necessita do conhecimento da derivada da função
Desvantagens: Nem sempre converge Muito sensível à estimativa inicial Se a derivada for nula o método falha
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Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa
FASE II: COMPARAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS APRESENTADOS O método da Bisseção sempre converge para uma
solução O esforço computacional do método da bisseção
cresce demasiadamente quando se aumenta a exatidão da raiz desejada
Deve ser usado apenas para diminuir o intervalo que contém a raiz para posterior aplicação de outro método, como o método de Newton, por exemplo
O método da Secante é uma aproximação para o método de Newton
Ao contrário do método da Bisseção o método da Secante e de Newton podem não convergir
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FASE II: COMPARAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS APRESENTADOS O método da bisseção é bastante simples por não
exigir o conhecimento da derivada da equação em questão, porém possui uma convergência lenta
O método de Newton é o que apresenta a convergência mais rápida, porém exige o conhecimento da derivada analítica da função em questão
O método da Secante é mais lento que o de Newton, porém não exige o conhecimento da derivada analítica da função em questão
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DEMONSTRAÇÃO PRÁTICA DOS MÉTODOS EM AÇÃO
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EXERCÍCIOS PARA OS ALUNOS Implementar os métodos apresentados, de
preferência com visualização gráfica Para uma coleção de funções dadas na lista de
exercícios
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Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante Comparação dos métodos Prática Pesquisa
PESQUISA Em cima de suas implementações:
Encontrar situações de não convergência e explicar o que está acontecendo
Definir diferentes critérios de parada, comparar os resultados obtidos e o número de iterações necessários para cada método
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OBRIGADO!FIM.
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