2Principio do Trabalho Virtual (PTV)
2.1.Continuo com microestrutura
Na teoria que leva em considerao a microestrutura do material, cada
partcula ainda representada por um ponto P, conforme Figura 1. Porm suas
propriedades cinemticas so definidas sob um ponto de vista microscpico. Neste
ponto de observao, o ponto P passa a ser definido como um contnuo de
pequena extenso C(P) ao redor do ponto P.
Um contnuo micromrfico de primeira ordem obtido atravs do
deslocamento ui no ponto P em C(P) e expresso atravs da expanso de Taylor
at o primeiro grau, de coordenadas xi em P, conforme equao 1.
jijii xuu '' 1
O significado desta considerao claro, consegue-se descrever o
movimento relativo de vrios pontos da partcula ao assumir que a deformao
homognea dentro do volume da partcula C(P).
O tensor de segunda ordem ij composto de parte simtrica e anti-
simtrica, conforme equao 2 e proposto segundo [35]. A primeira corresponde
ao tensor de microdeformao, equao 3, e a segunda parcela ao tensor de
microrrotao, equao 4.
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x1
x2
P
C(P)
Contnuo Macroscpico
Microcontnuo
x1
x2Eixos Locais
Eixos Cartesianos Globais
x1
x2
P
C(P)
Contnuo Macroscpico
Microcontnuo
x1
x2Eixos Locais
Eixos Cartesianos Globais
Figura 1 Representao esquemtica do contnuo clssico e microcontnuo.
][)( ijijij 2
)''''(21
)( jiijij uu 3
ijjiijij uu )''''(21
][ 4
No contnuo clssico, que pode ser caracterizado como um contnuo
generalizado onde o comprimento caracterstico da partcula nulo, apenas possue
tensor deformao e rotao macroscpica, correspondendo respectivamente
parcela simtrica e anti-simtrica, conforme equaes 5, 6 e 7.
][)( ijijij 5
)(21
)( jiijij uu 6
ijjiijij uu )(21
][ 7
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Os tensores de macro e micro deformaes no so grandezas objetivas,
significando que suas grandezas variam em relao ao movimento de corpo
rgido. Como h necessidade de que estas grandezas sejam objetivas para a
formulao das leis constitutivas, ento definido um tensor relativo:
ijijij 8
Este tensor relativo corresponde diferena entre o tensor de macro
deformao e rotao e o tensor de micro deformao e rotao, conforme alguns
exemplos na Figura 2 [12].
Tambm definido um tensor relativo de terceira ordem, pelos mesmos
motivos explanados acima. Este define a variao do tensor de segunda ordem ij ,
tanto da sua parcela simtrica quanto da anti-simtrica, ou seja, o gradiente
referente rotao e deformao microscpica, conforme equao 9 e Figura 3.
ijkijkx 9
O contnuo generalizado de Mindlin [35] assume que a partcula C(P) sofre
microdeformaes homogneas. As condies cinemticas deste contnuo so
representadas em associao com a energia gerada e os seguintes tensores, para o
trabalho virtual das foras internas: o tensor convencional, denominado de Cauchy
( ij ), o tensor microscpico ( ijS ) e o tensor duplo ( ijk ). Ser agora definido um
tensor, denominando de tensor total ( ij ), para representar o continuo
generalizado, seja do ponto de vista macroscpico ou macroscpico e
microscpico, conforme equao 10. Para o trabalho virtual das foras externas de
massa e superfcie, existem foras: a fora de massa ( if ) e a fora de superfcie
( iT ), ambos referentes ao tensor total, a fora dupla da massa ( ij ) e a fora dupla
de superfcie ( ijM ), ambas referentes ao tensor duplo.
ijijij S 10
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34
22
x2
x122
2d
x1
x2
222 udx
222 d
22
x2
x122
2d
x1
x2
222 udx
222 d
x2
x1
x1
x2
21u
21
12
2d
2121
x2
x1
x1
x2
21u
21
12
2d
2121
x2
x1
x1
x2
12u
12
12u
12
2d
1212
x2
x1
x1
x2
12u
12
12u
12
2d
1212
Figura 2 Representao fsica do tensor relativo de segunda ordem ij
[12].
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35
111
211
121
221
)(21
121211
111111 x
211211 x
121121 x
221221 x
)(21
121221 xx
111
211
121
221
)(21
121211
111111 x
211211 x
121121 x
221221 x
)(21
121221 xx
)(21
121211 )(21
121221 xx )(21
121211 )(21
121221 xx
Figura 3 Representao dos gradientes relativo de rotao e/ou deformao
micromrfica e das tenses duplas conjugadas ao gradiente [12].
2.2.Principio DAlembert
O princpio afirma que a soma das diferenas entre as foras agindo em um
sistema S e as derivadas no tempo dos momentos do sistema ao longo de um
deslocamento virtual consistente com os vnculos do sistema, zero, conforme
equao 11.
0)( iiii
i umF 11
Onde:
iF so as foras aplicadas;
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iu o deslocamento virtual do sistema, consistente com os vnculos;
mi so as massas das partculas do sistema;
i so as aceleraes das partculas do sistema;
iim representa a derivada temporal do momentum linear da i-sima
partcula.
Considere a lei de Newton para um sistema de partculas. A fora total sobre
cada partcula :
iiiT mF 12
Onde:
iTF so as foras totais agindo no sistema de partculas;
iim so as foras inerciais resultantes das foras totais.
Movendo as foras inerciais para o lado esquerdo da equao e
considerando o trabalho virtual, W, realizado pelas foras totais e inerciais juntas
atravs de um deslocamento virtual do sistema, temos:
0)( iiii
iT umFW 13
que zera pelo fato de as foras totais sobre cada partcula serem nulas.
Separando as foras totais em foras aplicadas, iF , e foras de vnculo, iC ,
temos:
0)( iiiii
i umCFW 14
Se deslocamentos virtuais arbitrrios so assumidos em direes ortogonais
s foras de vnculo, ento as foras de vnculo no realizam trabalho. Tais
deslocamentos so ditos serem consistentes com os vnculos. Isto leva
formulao do princpio de d'Alembert, que afirma que a diferena entre as foras
aplicadas e as foras inerciais para um sistema dinmico no realiza trabalho
virtual:
0)( iiii
i umFW 15
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2.3.PTV do Contnuo Generalizado
Aqui introduzirar-se- o conceito bsico de trabalho e deslocamento virtual
ao se considerar uma pequena partcula rgida onde foras atuam. A partcula se
encontra em equilbrio, ento a resultante das foras atuantes so nulas. Caso se
deseja movimentar esta partcula para uma nova posio, uma fora adicional
requerida, ento o sistema de foras originais ser modificado. Agora considerar-
se- um deslocamento virtual definido como um deslocamento arbitrrio que no
afeta o sistema de foras atuante na partcula. Em outras palavras, o deslocamento
virtual um deslocamento ficticio e durante a aplicao de cada fora na partcula
permanece constante em magnitude e direo. Para um deslocamento infinitesimal
as foras devido ao deslocamento so pequenas e podem ser negligenciadas
quando comparadas com as foras atuantes, ento as vezes o deslocamento virtual
pode ser considerado como um deslocamento infinetisimal. Apesar de que por
definio no necessariamente o deslocamento virtual seja infinitesimal [8].
Foras e tenses no so aplicadas diretamente, mas sim o trabalho virtual
que estas geram para determinado tipo de deslocamento virtual. Mais
precisamente, para um sistema S num dado tempo, um deslocamento virtual
definido por um vetor , que corresponde a um campo de velocidade virtual. O
deslocamento virtual u representado por um espao vetorial U cujos elementos
so u . O sistema de foras que se quer considerar definido pela aplicao
continua de U R ou
W L (u ) 16
W um nmero real e corresponde ao trabalho virtual produzido por um
sistema de foras num campo vetorial U precisa ser um espao vetorial topolgico
para garantir a continuidade de L (u ).
Assim como a velocidade real, a virtual definida em funo de um
sistema. O campo de velocidades do mesmo movimento virtual em dois diferentes
sistemas difere somente do campo de velocidade referente ao movimento de corpo
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rgido, o qual define um espao vetorial C. Assumi-se que C ser sempre
subespao de U.
As diversas foras que atuam no sistema mecnico sero subdivididas de
maneira clssica, de duas formas: foras externas, que representam o efeito
dinmico em S devido interao com outros sistemas que no fazem parte de S,
e foras internas, que representam o efeito que um subsistema (Si) de S realiza em
outro subsistema (Sj) e vice-versa.
Quando um volume est sob a ao de um sistema de cargas, foras internas
so geradas neste. O comportamento do volume, tal como deformaes, ou falha,
est relacionado com a distribuio de foras internas, que por sua vez est
relacionado s foras externas. As foras externas so divididas em dois grupos:
foras de massa e foras de superfcie. Caso um plano imaginrio passe atravs do
volume como apresentado na Figura 4, e na parte I tem as foras F1 e F2 (foras
externas) e na parte II atuam as foras F3 e F4 (foras externas), o corpo est em
equilbrio pois as foras que atuam na parte I se anulam com as que atuam na
parte II. Porm esta fora est distribuda ao longo do plano que passa pelo
volume, que corresponde fora mdia definida como [2]:
AFFmedia
17
Dai tem-se o conceito de que a tenso (fora interna) no ponto A
corresponde a variao de fora por unidade de rea quando a rea tende a zero,
conforme equao 18.
dAdF
AF
A
0
lim 18
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I
IIF1
F2
F3
F4
F
A
I
IIF1
F2
F3
F4
F
A
Figura 4 Foras de Superfcie Externas e Foras Internas [2]
importante notar que a definio de trabalho virtual das foras internas
tem que respeitar ao axioma apresentado.
Axioma do trabalho das foras internas: O trabalho virtual das foras
internas que atuam no sistema S para o determinado deslocamento virtual uma
grandeza objetiva, entende-se que o trabalho ser o mesmo em qualquer que seja o
sistema onde se observa o movimento virtual. Isto quer dizer que para qualquer
campo de velocidade referente ao movimento de corpo rgido o trabalho das
foras internas ser nulo.
Como j dito o trabalho virtual nulo, j que as foras se anulam, ento por
isto a partcula esta em equilbrio, conforme equao 19.
0 IE WWW 19
O trabalho virtual interno correspondente a energia de deformao
absorvida pela partcula devido ao trabalho virtual externo realizado pelas foras
externas. As foras internas atuantes num meio analisado sob o ponto de vista
macroscpico e microscpico so as seguintes: tenses de Cauchy ( ij ), ou
tenses macroscpicas, tenses microscpicas ( ijS ), ou tenses relativas e
segunda tenso microscpica ( ijk ), ou tenso dupla, que um tensor de terceira
ordem. O tensor macroscpico convencional simtrico, ou seja, jiij
. Ento
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o trabalho virtual interno, de um meio que ocupa um volume V e uma fronteira
pode ser expresso da seguinte maneira:
dVxSW ijijkijijijV
ijI )( 20
Substituindo na equao 20 a equao 5 at equao 9 tem:
dVSuSW ijkijkijijiV
jijijI }){( 21 Aplicando a integrao por partes:
dnnuSdVSuSW kijijkiiijijijijkkijiV
jijijI }){(})(){(
22
Onde in uma normal unitria apontado na perpendicular da fronteira .
O trabalho virtual das foras internas pode ser dividido em trabalho virtual
devido as foras internas de massa e devido as foras internas de superficie,
conforme equao 23 at equao 25.
IIV
I WWW 23
dVSuSW ijijkkijiV
jijijIV })(){( 24
dnnuSW kijijkiiijijI }){( 25
O passo seguinte introduzir o trabalho virtual das foras externas, que
pode ser dividido em trabalho virtual devido as foras externas de massa e devido
as foras externas de superficie, conforme j definidas anteriormente. Suas
equaes se encontram apresentadas abaixo.
EEV
E WWW 26
dVufW ijijiV
iEV )( 27
dMuTW ijijiiE )( 28
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O ltimo passo aplicar o principio do trabalho virtual equao 19.
Assume-se que iu e ij escolhidos de modo que estes sejam nulos fora do
volume. Dai, na soma dos trabalhos virtuais, somente a integral de massa
permanece, a qual nula para qualquer valor de iu e ij . Como consequncia
bvia, podemos igualar diretamente os coeficientes do trabalho virtual devido as
foras externas e internas de massa. Separando a parcela do tensor total e do
tensor duplo teremos as duas equaes de equilbrio conforme equao 29 e
equao 30.
0)( ijijji Sf 29
0 ijkkijij S 30
Novamente o mesmo vlido para o trabalho virtual devido s foras
externas e internas de superficie, j que iu e ij so valores arbitrrios.
Separando a parcela do tensor total e do tensor duplo teremos as duas condies
de contorno naturais conforme equaes 31e 32.
iijiji nST )( 31
kijkij nM 32
Na teoria de Mindlin [35], tanto iu quanto ij so independentes e por
isto suas condies de contorno essenciais podem ser aplicadas de maneira
independente, j que o problema totalmente desacoplado. O mesmo vlido
para as condies de contorno naturais, podem ser aplicadas de maneira
independente. Difcil conhecer as condies de contorno ditas como no
clssicas ij e ijM , fato que no impede a utilizao da teoria de Mindlin [35], j
que se pode simplesmente apenas prescrever as condies de contorno ditas como
clssicas, no reconhecendo que isto seja o ideal, ou que represente o problema de
fato. Como ser visto mais adiante, algumas das teorias que tomam em
considerao a partcula no tem suas condies de contorno desacopladas, ou
seja, iu e ij dependem um do outro, como o caso, por exemplo, da teoria do
2 gradiente [36], [37] e [38] e da teoria das tenses-momento [39]. Fato este que
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por muitas vezes impede que tais teorias sejam utilizadas na engenharia, j que
estas condies de contorno nem sempre so conhecidas. Esta uma vantagem da
Teoria de Cosserat, pois apesar das condies de contorno no serem
desacopladas, estas so de mais fcil interpretao e compreenso fsica.
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