Princıpio de Cavalieri
Princıpio de Cavalieri
Prof. Marcio [email protected]
Universidade Estadual Vale do AcarauCentro de Ciencias Exatas e TecnologiaCurso de Licenciatura em Matematica
Disciplina: Geometria Espacial - 2014.2
27 de abril de 2015
Princıpio de Cavalieri
Importante: a aula a seguir foi preparada a partir da dissertacaoKariton Pereira Lula (2013, UFG) intitulada “Aplicacoes do
Princıpio de Cavalieri ao Calculo de Volumes e Areas”
Princıpio de Cavalieri
Ideia intuitiva de volume
Sumario
1 Ideia intuitiva de volume
2 Paralelepıpedo
3 Princıpio de Cavalieri
4 Prisma
5 Cilindro
6 Piramide
7 Cone
Princıpio de Cavalieri
Ideia intuitiva de volume
1 Euclides (300 a.C.) trata de volumes no livro XII dos“Elementos”.
2 Ele sabia calcular volume de prismas, cilindros, cones epiramides, mas nao apresentou uma expressao para o volumeda esfera.
3 Arquimedes (meados de 200 a.C.) foi o primeiro a efetuar comrigor e elegancia o calculo do volume da esfera (“Superfıcie eVolume do Cilindro e da Esfera”).
4 Eram metodos bastante trabalhosos... Hoje, o metodo maiseficiente utilizado e o calculo (integracao).
Princıpio de Cavalieri
Ideia intuitiva de volume
1 Euclides (300 a.C.) trata de volumes no livro XII dos“Elementos”.
2 Ele sabia calcular volume de prismas, cilindros, cones epiramides, mas nao apresentou uma expressao para o volumeda esfera.
3 Arquimedes (meados de 200 a.C.) foi o primeiro a efetuar comrigor e elegancia o calculo do volume da esfera (“Superfıcie eVolume do Cilindro e da Esfera”).
4 Eram metodos bastante trabalhosos... Hoje, o metodo maiseficiente utilizado e o calculo (integracao).
Princıpio de Cavalieri
Ideia intuitiva de volume
1 Euclides (300 a.C.) trata de volumes no livro XII dos“Elementos”.
2 Ele sabia calcular volume de prismas, cilindros, cones epiramides, mas nao apresentou uma expressao para o volumeda esfera.
3 Arquimedes (meados de 200 a.C.) foi o primeiro a efetuar comrigor e elegancia o calculo do volume da esfera (“Superfıcie eVolume do Cilindro e da Esfera”).
4 Eram metodos bastante trabalhosos... Hoje, o metodo maiseficiente utilizado e o calculo (integracao).
Princıpio de Cavalieri
Ideia intuitiva de volume
1 Euclides (300 a.C.) trata de volumes no livro XII dos“Elementos”.
2 Ele sabia calcular volume de prismas, cilindros, cones epiramides, mas nao apresentou uma expressao para o volumeda esfera.
3 Arquimedes (meados de 200 a.C.) foi o primeiro a efetuar comrigor e elegancia o calculo do volume da esfera (“Superfıcie eVolume do Cilindro e da Esfera”).
4 Eram metodos bastante trabalhosos... Hoje, o metodo maiseficiente utilizado e o calculo (integracao).
Princıpio de Cavalieri
Ideia intuitiva de volume
O Calculo
1 O Calculo foi desenvolvido na segunda metade do seculo XVIIpor Newton e Leibniz a partir dos trabalhos de Fermat eDescartes.
2 No entanto, Arquimedes e considerado o precursor dosmetodos infinitesimais que conduziram a nocao de integral.
3 Padre italiano Bonaventura Cavalieri (seculo XVII), discıpulode Galileu: “Geometria dos Indivisıveis”.
4 As ideias de Cavalieri exerceram forte influencia no trabalhode Leibniz e alguma influencia no trabalho de Newton.
Princıpio de Cavalieri
Ideia intuitiva de volume
O Calculo
1 O Calculo foi desenvolvido na segunda metade do seculo XVIIpor Newton e Leibniz a partir dos trabalhos de Fermat eDescartes.
2 No entanto, Arquimedes e considerado o precursor dosmetodos infinitesimais que conduziram a nocao de integral.
3 Padre italiano Bonaventura Cavalieri (seculo XVII), discıpulode Galileu: “Geometria dos Indivisıveis”.
4 As ideias de Cavalieri exerceram forte influencia no trabalhode Leibniz e alguma influencia no trabalho de Newton.
Princıpio de Cavalieri
Ideia intuitiva de volume
O Calculo
1 O Calculo foi desenvolvido na segunda metade do seculo XVIIpor Newton e Leibniz a partir dos trabalhos de Fermat eDescartes.
2 No entanto, Arquimedes e considerado o precursor dosmetodos infinitesimais que conduziram a nocao de integral.
3 Padre italiano Bonaventura Cavalieri (seculo XVII), discıpulode Galileu: “Geometria dos Indivisıveis”.
4 As ideias de Cavalieri exerceram forte influencia no trabalhode Leibniz e alguma influencia no trabalho de Newton.
Princıpio de Cavalieri
Ideia intuitiva de volume
O Calculo
1 O Calculo foi desenvolvido na segunda metade do seculo XVIIpor Newton e Leibniz a partir dos trabalhos de Fermat eDescartes.
2 No entanto, Arquimedes e considerado o precursor dosmetodos infinitesimais que conduziram a nocao de integral.
3 Padre italiano Bonaventura Cavalieri (seculo XVII), discıpulode Galileu: “Geometria dos Indivisıveis”.
4 As ideias de Cavalieri exerceram forte influencia no trabalhode Leibniz e alguma influencia no trabalho de Newton.
Princıpio de Cavalieri
Ideia intuitiva de volume
Ideia intuitiva de Volume
O que e o volume de um solido?
1 Volume
Volume de um solido: exprimir a “quantidade de espaco”que umsolido ocupa, atraves de um numero real positivo.
2 Para isso, devemos comparar esse espaco ocupado com umacerta unidade.
3 Unidade de medida: Consideremos uma cubo de aresta 1unidade de comprimento. O chamaremos de cubo unitario.
Princıpio de Cavalieri
Ideia intuitiva de volume
Ideia intuitiva de Volume
O que e o volume de um solido?
1 Volume
Volume de um solido: exprimir a “quantidade de espaco”que umsolido ocupa, atraves de um numero real positivo.
2 Para isso, devemos comparar esse espaco ocupado com umacerta unidade.
3 Unidade de medida: Consideremos uma cubo de aresta 1unidade de comprimento. O chamaremos de cubo unitario.
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Ideia intuitiva de volume
Ideia intuitiva de Volume
O que e o volume de um solido?
1 Volume
Volume de um solido: exprimir a “quantidade de espaco”que umsolido ocupa, atraves de um numero real positivo.
2 Para isso, devemos comparar esse espaco ocupado com umacerta unidade.
3 Unidade de medida: Consideremos uma cubo de aresta 1unidade de comprimento. O chamaremos de cubo unitario.
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Ideia intuitiva de volume
Ideia intuitiva de Volume
O que e o volume de um solido?
1 Volume
Volume de um solido: exprimir a “quantidade de espaco”que umsolido ocupa, atraves de um numero real positivo.
2 Para isso, devemos comparar esse espaco ocupado com umacerta unidade.
3 Unidade de medida: Consideremos uma cubo de aresta 1unidade de comprimento. O chamaremos de cubo unitario.
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Paralelepıpedo
Sumario
1 Ideia intuitiva de volume
2 Paralelepıpedo
3 Princıpio de Cavalieri
4 Prisma
5 Cilindro
6 Piramide
7 Cone
Princıpio de Cavalieri
Paralelepıpedo
Volume do Paralelepıpedo
Paralelepıpedo
Solido cujas faces sao paralelogramos. Sao seis faces e para cadauma delas, existe uma outra identica e paralela.
1 Todo paralelepıpedo reto retangulo fica perfeitamentedeterminado por tres medidas: seu comprimento (a), sualargura (b) e sua altura (c).
2 Os numeros reais positivos a,b e c sao as dimensoes doparalelepıpedo.
3 Cubo: um caso particular de paralelepıpedo.
Princıpio de Cavalieri
Paralelepıpedo
Volume do Paralelepıpedo
Paralelepıpedo
Solido cujas faces sao paralelogramos. Sao seis faces e para cadauma delas, existe uma outra identica e paralela.
1 Todo paralelepıpedo reto retangulo fica perfeitamentedeterminado por tres medidas: seu comprimento (a), sualargura (b) e sua altura (c).
2 Os numeros reais positivos a,b e c sao as dimensoes doparalelepıpedo.
3 Cubo: um caso particular de paralelepıpedo.
Princıpio de Cavalieri
Paralelepıpedo
Volume do Paralelepıpedo
Paralelepıpedo
Solido cujas faces sao paralelogramos. Sao seis faces e para cadauma delas, existe uma outra identica e paralela.
1 Todo paralelepıpedo reto retangulo fica perfeitamentedeterminado por tres medidas: seu comprimento (a), sualargura (b) e sua altura (c).
2 Os numeros reais positivos a,b e c sao as dimensoes doparalelepıpedo.
3 Cubo: um caso particular de paralelepıpedo.
Princıpio de Cavalieri
Paralelepıpedo
Volume do Paralelepıpedo
Paralelepıpedo
Solido cujas faces sao paralelogramos. Sao seis faces e para cadauma delas, existe uma outra identica e paralela.
1 Todo paralelepıpedo reto retangulo fica perfeitamentedeterminado por tres medidas: seu comprimento (a), sualargura (b) e sua altura (c).
2 Os numeros reais positivos a,b e c sao as dimensoes doparalelepıpedo.
3 Cubo: um caso particular de paralelepıpedo.
Princıpio de Cavalieri
Paralelepıpedo
Volume do Cubo
Teorema
O volume de um cubo de aresta a ∈ R∗+ e igual a a3.
1 1o Caso: Se a ∈ N, entao o cubo de aresta a contem a3
cubos unitarios. Portanto, o volume do cubo de aresta a eigual a soma dos volumes dos a3 cubos unitarios.
2 2o Caso: Se a ∈ Q, entao a = p/q onde p, q ∈ N com q 6= 0.
3 Considere um cubo unitario divindo suas arestas em q partesiguais. Isso gera q3 cubos de aresta 1/q. Seja V ′ o volumedesses cubos menores.
4 q3.V ′ = 1. Logo, V ′ =1
q3=
(1
q
)3
e o volume de cada cubo
menor.
Princıpio de Cavalieri
Paralelepıpedo
Volume do Cubo
Teorema
O volume de um cubo de aresta a ∈ R∗+ e igual a a3.
1 1o Caso: Se a ∈ N, entao o cubo de aresta a contem a3
cubos unitarios. Portanto, o volume do cubo de aresta a eigual a soma dos volumes dos a3 cubos unitarios.
2 2o Caso: Se a ∈ Q, entao a = p/q onde p, q ∈ N com q 6= 0.
3 Considere um cubo unitario divindo suas arestas em q partesiguais. Isso gera q3 cubos de aresta 1/q. Seja V ′ o volumedesses cubos menores.
4 q3.V ′ = 1. Logo, V ′ =1
q3=
(1
q
)3
e o volume de cada cubo
menor.
Princıpio de Cavalieri
Paralelepıpedo
Volume do Cubo
Teorema
O volume de um cubo de aresta a ∈ R∗+ e igual a a3.
1 1o Caso: Se a ∈ N, entao o cubo de aresta a contem a3
cubos unitarios. Portanto, o volume do cubo de aresta a eigual a soma dos volumes dos a3 cubos unitarios.
2 2o Caso: Se a ∈ Q, entao a = p/q onde p, q ∈ N com q 6= 0.
3 Considere um cubo unitario divindo suas arestas em q partesiguais. Isso gera q3 cubos de aresta 1/q. Seja V ′ o volumedesses cubos menores.
4 q3.V ′ = 1. Logo, V ′ =1
q3=
(1
q
)3
e o volume de cada cubo
menor.
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Paralelepıpedo
Volume do Cubo
Teorema
O volume de um cubo de aresta a ∈ R∗+ e igual a a3.
1 1o Caso: Se a ∈ N, entao o cubo de aresta a contem a3
cubos unitarios. Portanto, o volume do cubo de aresta a eigual a soma dos volumes dos a3 cubos unitarios.
2 2o Caso: Se a ∈ Q, entao a = p/q onde p, q ∈ N com q 6= 0.
3 Considere um cubo unitario divindo suas arestas em q partesiguais. Isso gera q3 cubos de aresta 1/q. Seja V ′ o volumedesses cubos menores.
4 q3.V ′ = 1. Logo, V ′ =1
q3=
(1
q
)3
e o volume de cada cubo
menor.
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Paralelepıpedo
Volume do Cubo
Teorema
O volume de um cubo de aresta a ∈ R∗+ e igual a a3.
1 1o Caso: Se a ∈ N, entao o cubo de aresta a contem a3
cubos unitarios. Portanto, o volume do cubo de aresta a eigual a soma dos volumes dos a3 cubos unitarios.
2 2o Caso: Se a ∈ Q, entao a = p/q onde p, q ∈ N com q 6= 0.
3 Considere um cubo unitario divindo suas arestas em q partesiguais. Isso gera q3 cubos de aresta 1/q. Seja V ′ o volumedesses cubos menores.
4 q3.V ′ = 1. Logo, V ′ =1
q3=
(1
q
)3
e o volume de cada cubo
menor.
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Paralelepıpedo
Volume do Cubo
Teorema
O volume de um cubo de aresta a ∈ R∗+ e igual a a3.
1 Pensando, agora, em um cubo de aresta p/q, podemosdividı-la em p partes iguais medindo 1/q.
2 Isso gera p3 cubos de aresta 1/q. Portanto, o volume do cubode aresta a sera igual a soma dos volumes desses p3 cubosmenores.
3 Como vimos anteriormente, cada um desses cubos tem
volume
(1
q
)3
4 Portanto, realizando a soma, o volume do cubo de aresta a
sera p3.
(1
q
)3
=
(p
q
)3
= a3
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Paralelepıpedo
Volume do Cubo
Teorema
O volume de um cubo de aresta a ∈ R∗+ e igual a a3.
1 Pensando, agora, em um cubo de aresta p/q, podemosdividı-la em p partes iguais medindo 1/q.
2 Isso gera p3 cubos de aresta 1/q. Portanto, o volume do cubode aresta a sera igual a soma dos volumes desses p3 cubosmenores.
3 Como vimos anteriormente, cada um desses cubos tem
volume
(1
q
)3
4 Portanto, realizando a soma, o volume do cubo de aresta a
sera p3.
(1
q
)3
=
(p
q
)3
= a3
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Paralelepıpedo
Volume do Cubo
Teorema
O volume de um cubo de aresta a ∈ R∗+ e igual a a3.
1 Pensando, agora, em um cubo de aresta p/q, podemosdividı-la em p partes iguais medindo 1/q.
2 Isso gera p3 cubos de aresta 1/q. Portanto, o volume do cubode aresta a sera igual a soma dos volumes desses p3 cubosmenores.
3 Como vimos anteriormente, cada um desses cubos tem
volume
(1
q
)3
4 Portanto, realizando a soma, o volume do cubo de aresta a
sera p3.
(1
q
)3
=
(p
q
)3
= a3
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Paralelepıpedo
Volume do Cubo
Teorema
O volume de um cubo de aresta a ∈ R∗+ e igual a a3.
1 Pensando, agora, em um cubo de aresta p/q, podemosdividı-la em p partes iguais medindo 1/q.
2 Isso gera p3 cubos de aresta 1/q. Portanto, o volume do cubode aresta a sera igual a soma dos volumes desses p3 cubosmenores.
3 Como vimos anteriormente, cada um desses cubos tem
volume
(1
q
)3
4 Portanto, realizando a soma, o volume do cubo de aresta a
sera p3.
(1
q
)3
=
(p
q
)3
= a3
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Paralelepıpedo
Volume do Cubo
Teorema
O volume de um cubo de aresta a ∈ R∗+ e igual a a3.
1 Pensando, agora, em um cubo de aresta p/q, podemosdividı-la em p partes iguais medindo 1/q.
2 Isso gera p3 cubos de aresta 1/q. Portanto, o volume do cubode aresta a sera igual a soma dos volumes desses p3 cubosmenores.
3 Como vimos anteriormente, cada um desses cubos tem
volume
(1
q
)3
4 Portanto, realizando a soma, o volume do cubo de aresta a
sera p3.
(1
q
)3
=
(p
q
)3
= a3
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Paralelepıpedo
Volume do Cubo
Teorema
O volume de um cubo de aresta a ∈ R∗+ e igual a a3.
1 3o Caso: Seja a um numero irracional. Para qualquer x < a3
existe um numero racional r < a, tao proximo de a quanto sequeira, de forma que x < r 3 < a3.
2 Desta forma, o cubo de aresta de aresta r pode ser inseridodentro do cubo de aresta a e, portanto, Vr < Va.
3 Sendo r racional, Vr = r 3. Como x < r 3, segue-se quex < Va.
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Paralelepıpedo
Volume do Cubo
Teorema
O volume de um cubo de aresta a ∈ R∗+ e igual a a3.
1 3o Caso: Seja a um numero irracional. Para qualquer x < a3
existe um numero racional r < a, tao proximo de a quanto sequeira, de forma que x < r 3 < a3.
2 Desta forma, o cubo de aresta de aresta r pode ser inseridodentro do cubo de aresta a e, portanto, Vr < Va.
3 Sendo r racional, Vr = r 3. Como x < r 3, segue-se quex < Va.
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Paralelepıpedo
Volume do Cubo
Teorema
O volume de um cubo de aresta a ∈ R∗+ e igual a a3.
1 3o Caso: Seja a um numero irracional. Para qualquer x < a3
existe um numero racional r < a, tao proximo de a quanto sequeira, de forma que x < r 3 < a3.
2 Desta forma, o cubo de aresta de aresta r pode ser inseridodentro do cubo de aresta a e, portanto, Vr < Va.
3 Sendo r racional, Vr = r 3. Como x < r 3, segue-se quex < Va.
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Paralelepıpedo
Volume do Cubo
Teorema
O volume de um cubo de aresta a ∈ R∗+ e igual a a3.
1 3o Caso: Seja a um numero irracional. Para qualquer x < a3
existe um numero racional r < a, tao proximo de a quanto sequeira, de forma que x < r 3 < a3.
2 Desta forma, o cubo de aresta de aresta r pode ser inseridodentro do cubo de aresta a e, portanto, Vr < Va.
3 Sendo r racional, Vr = r 3. Como x < r 3, segue-se quex < Va.
Princıpio de Cavalieri
Paralelepıpedo
Volume do Cubo
Teorema
O volume de um cubo de aresta a ∈ R∗+ e igual a a3.
1 3o Caso: Analogamente, para qualquer y > a3 existe umnumero racional s > a, tao proximo de a quanto se queira, deforma que a3 < s3 < y .
2 Entao um cubo de aresta de aresta s contem um cubo dearesta a e, portanto, Va < Vs .
3 Sendo s racional, Vs = s3. Como s3 < y , segue-se queVa < y .
4 Portanto, para quaisquer x , y racionais tais que x < a3 < y ,tem-se x < Va < y . Portanto, Va = a3.
�
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Paralelepıpedo
Volume do Cubo
Teorema
O volume de um cubo de aresta a ∈ R∗+ e igual a a3.
1 3o Caso: Analogamente, para qualquer y > a3 existe umnumero racional s > a, tao proximo de a quanto se queira, deforma que a3 < s3 < y .
2 Entao um cubo de aresta de aresta s contem um cubo dearesta a e, portanto, Va < Vs .
3 Sendo s racional, Vs = s3. Como s3 < y , segue-se queVa < y .
4 Portanto, para quaisquer x , y racionais tais que x < a3 < y ,tem-se x < Va < y . Portanto, Va = a3.
�
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Paralelepıpedo
Volume do Cubo
Teorema
O volume de um cubo de aresta a ∈ R∗+ e igual a a3.
1 3o Caso: Analogamente, para qualquer y > a3 existe umnumero racional s > a, tao proximo de a quanto se queira, deforma que a3 < s3 < y .
2 Entao um cubo de aresta de aresta s contem um cubo dearesta a e, portanto, Va < Vs .
3 Sendo s racional, Vs = s3. Como s3 < y , segue-se queVa < y .
4 Portanto, para quaisquer x , y racionais tais que x < a3 < y ,tem-se x < Va < y . Portanto, Va = a3.
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Paralelepıpedo
Volume do Cubo
Teorema
O volume de um cubo de aresta a ∈ R∗+ e igual a a3.
1 3o Caso: Analogamente, para qualquer y > a3 existe umnumero racional s > a, tao proximo de a quanto se queira, deforma que a3 < s3 < y .
2 Entao um cubo de aresta de aresta s contem um cubo dearesta a e, portanto, Va < Vs .
3 Sendo s racional, Vs = s3. Como s3 < y , segue-se queVa < y .
4 Portanto, para quaisquer x , y racionais tais que x < a3 < y ,tem-se x < Va < y . Portanto, Va = a3.
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Paralelepıpedo
Volume do Cubo
Teorema
O volume de um cubo de aresta a ∈ R∗+ e igual a a3.
1 3o Caso: Analogamente, para qualquer y > a3 existe umnumero racional s > a, tao proximo de a quanto se queira, deforma que a3 < s3 < y .
2 Entao um cubo de aresta de aresta s contem um cubo dearesta a e, portanto, Va < Vs .
3 Sendo s racional, Vs = s3. Como s3 < y , segue-se queVa < y .
4 Portanto, para quaisquer x , y racionais tais que x < a3 < y ,tem-se x < Va < y . Portanto, Va = a3.
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Paralelepıpedo
Volume do Paralelepıpedo
Teorema
O volume de um paralelepıpedo reto retangulo de dimensoesa, b, c ∈ R∗+ e igual a a.b.c .
1 1o Caso: Consideremos que todas as arestas sao numeros
racionais. Entao podemos escrever: a =x
q, b =
y
q, c =
z
qonde x , y , z , q ∈ N∗.
2 Podemos, entao, dividir cada uma das arestas em arestas detamanho 1/q.
3 Isso gera x .y .z cubos de aresta 1/q.4 O volume do paralelepıpedo sera o somatorio dos volumes dos
cubos:
V = x .y .z .
(1
q
)3
=x
q.y
q.z
q= a.b.c
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Paralelepıpedo
Volume do Paralelepıpedo
Teorema
O volume de um paralelepıpedo reto retangulo de dimensoesa, b, c ∈ R∗+ e igual a a.b.c .
1 1o Caso: Consideremos que todas as arestas sao numeros
racionais. Entao podemos escrever: a =x
q, b =
y
q, c =
z
qonde x , y , z , q ∈ N∗.
2 Podemos, entao, dividir cada uma das arestas em arestas detamanho 1/q.
3 Isso gera x .y .z cubos de aresta 1/q.4 O volume do paralelepıpedo sera o somatorio dos volumes dos
cubos:
V = x .y .z .
(1
q
)3
=x
q.y
q.z
q= a.b.c
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Paralelepıpedo
Volume do Paralelepıpedo
Teorema
O volume de um paralelepıpedo reto retangulo de dimensoesa, b, c ∈ R∗+ e igual a a.b.c .
1 1o Caso: Consideremos que todas as arestas sao numeros
racionais. Entao podemos escrever: a =x
q, b =
y
q, c =
z
qonde x , y , z , q ∈ N∗.
2 Podemos, entao, dividir cada uma das arestas em arestas detamanho 1/q.
3 Isso gera x .y .z cubos de aresta 1/q.4 O volume do paralelepıpedo sera o somatorio dos volumes dos
cubos:
V = x .y .z .
(1
q
)3
=x
q.y
q.z
q= a.b.c
Princıpio de Cavalieri
Paralelepıpedo
Volume do Paralelepıpedo
Teorema
O volume de um paralelepıpedo reto retangulo de dimensoesa, b, c ∈ R∗+ e igual a a.b.c .
1 1o Caso: Consideremos que todas as arestas sao numeros
racionais. Entao podemos escrever: a =x
q, b =
y
q, c =
z
qonde x , y , z , q ∈ N∗.
2 Podemos, entao, dividir cada uma das arestas em arestas detamanho 1/q.
3 Isso gera x .y .z cubos de aresta 1/q.
4 O volume do paralelepıpedo sera o somatorio dos volumes doscubos:
V = x .y .z .
(1
q
)3
=x
q.y
q.z
q= a.b.c
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Paralelepıpedo
Volume do Paralelepıpedo
Teorema
O volume de um paralelepıpedo reto retangulo de dimensoesa, b, c ∈ R∗+ e igual a a.b.c .
1 1o Caso: Consideremos que todas as arestas sao numeros
racionais. Entao podemos escrever: a =x
q, b =
y
q, c =
z
qonde x , y , z , q ∈ N∗.
2 Podemos, entao, dividir cada uma das arestas em arestas detamanho 1/q.
3 Isso gera x .y .z cubos de aresta 1/q.4 O volume do paralelepıpedo sera o somatorio dos volumes dos
cubos:
V = x .y .z .
(1
q
)3
=x
q.y
q.z
q= a.b.c
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Paralelepıpedo
Volume do Paralelepıpedo
Teorema
O volume de um paralelepıpedo reto retangulo de dimensoesa, b, c ∈ R∗+ e igual a a.b.c .
1 2o Caso: Pelo menos uma das dimensoes e um numeroirracional.
2 Seja x < abc. Existem racionais r , s, t tao proximos de a, b, c(respectivamente) quanto se queira tais quer < a, s < b, t < c e que x < rst < abc.
3 Assim, o paralelepıpedo de dimensoes a, b, c contem umparalelepıpedo de dimensoes r , s, t e x < rst = Vrst < Vabc
4 De maneira analoga, encontramos y de modo que abc < y eVabc < y .
5 Conclusao: x < abc < y e x < Vabc < y implica Vabc = abc.
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Paralelepıpedo
Volume do Paralelepıpedo
Teorema
O volume de um paralelepıpedo reto retangulo de dimensoesa, b, c ∈ R∗+ e igual a a.b.c .
1 2o Caso: Pelo menos uma das dimensoes e um numeroirracional.
2 Seja x < abc. Existem racionais r , s, t tao proximos de a, b, c(respectivamente) quanto se queira tais quer < a, s < b, t < c e que x < rst < abc.
3 Assim, o paralelepıpedo de dimensoes a, b, c contem umparalelepıpedo de dimensoes r , s, t e x < rst = Vrst < Vabc
4 De maneira analoga, encontramos y de modo que abc < y eVabc < y .
5 Conclusao: x < abc < y e x < Vabc < y implica Vabc = abc.
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Paralelepıpedo
Volume do Paralelepıpedo
Teorema
O volume de um paralelepıpedo reto retangulo de dimensoesa, b, c ∈ R∗+ e igual a a.b.c .
1 2o Caso: Pelo menos uma das dimensoes e um numeroirracional.
2 Seja x < abc. Existem racionais r , s, t tao proximos de a, b, c(respectivamente) quanto se queira tais quer < a, s < b, t < c e que x < rst < abc.
3 Assim, o paralelepıpedo de dimensoes a, b, c contem umparalelepıpedo de dimensoes r , s, t e x < rst = Vrst < Vabc
4 De maneira analoga, encontramos y de modo que abc < y eVabc < y .
5 Conclusao: x < abc < y e x < Vabc < y implica Vabc = abc.
Princıpio de Cavalieri
Paralelepıpedo
Volume do Paralelepıpedo
Teorema
O volume de um paralelepıpedo reto retangulo de dimensoesa, b, c ∈ R∗+ e igual a a.b.c .
1 2o Caso: Pelo menos uma das dimensoes e um numeroirracional.
2 Seja x < abc. Existem racionais r , s, t tao proximos de a, b, c(respectivamente) quanto se queira tais quer < a, s < b, t < c e que x < rst < abc.
3 Assim, o paralelepıpedo de dimensoes a, b, c contem umparalelepıpedo de dimensoes r , s, t e x < rst = Vrst < Vabc
4 De maneira analoga, encontramos y de modo que abc < y eVabc < y .
5 Conclusao: x < abc < y e x < Vabc < y implica Vabc = abc.
Princıpio de Cavalieri
Paralelepıpedo
Volume do Paralelepıpedo
Teorema
O volume de um paralelepıpedo reto retangulo de dimensoesa, b, c ∈ R∗+ e igual a a.b.c .
1 2o Caso: Pelo menos uma das dimensoes e um numeroirracional.
2 Seja x < abc. Existem racionais r , s, t tao proximos de a, b, c(respectivamente) quanto se queira tais quer < a, s < b, t < c e que x < rst < abc.
3 Assim, o paralelepıpedo de dimensoes a, b, c contem umparalelepıpedo de dimensoes r , s, t e x < rst = Vrst < Vabc
4 De maneira analoga, encontramos y de modo que abc < y eVabc < y .
5 Conclusao: x < abc < y e x < Vabc < y implica Vabc = abc.
Princıpio de Cavalieri
Paralelepıpedo
Volume do Paralelepıpedo
Teorema
O volume de um paralelepıpedo reto retangulo de dimensoesa, b, c ∈ R∗+ e igual a a.b.c .
1 2o Caso: Pelo menos uma das dimensoes e um numeroirracional.
2 Seja x < abc. Existem racionais r , s, t tao proximos de a, b, c(respectivamente) quanto se queira tais quer < a, s < b, t < c e que x < rst < abc.
3 Assim, o paralelepıpedo de dimensoes a, b, c contem umparalelepıpedo de dimensoes r , s, t e x < rst = Vrst < Vabc
4 De maneira analoga, encontramos y de modo que abc < y eVabc < y .
5 Conclusao: x < abc < y e x < Vabc < y implica Vabc = abc.
Princıpio de Cavalieri
Princıpio de Cavalieri
Sumario
1 Ideia intuitiva de volume
2 Paralelepıpedo
3 Princıpio de Cavalieri
4 Prisma
5 Cilindro
6 Piramide
7 Cone
Princıpio de Cavalieri
Princıpio de Cavalieri
Princıpio de Cavalieri
Princıpio de Cavalieri
Se considerarmos dois solidos quaisquer que possuem a mesmaaltura e seccionarmos estes solidos a uma mesma altura qualquer,se as seccoes possuirem sempre a mesma area, concluımos que ovolume destes solidos sao iguais.
Princıpio de Cavalieri
Princıpio de Cavalieri
Princıpio de Cavalieri
[Vıdeo] 3,2,1: Misterio - Matematica Multimıdia/Unicamp
Princıpio de Cavalieri
Prisma
Sumario
1 Ideia intuitiva de volume
2 Paralelepıpedo
3 Princıpio de Cavalieri
4 Prisma
5 Cilindro
6 Piramide
7 Cone
Princıpio de Cavalieri
Prisma
Volume do Prisma
Prisma
Um prisma e todo poliedro formado por uma face superior e umaface inferior paralelas e congruentes (tambem chamadas bases)ligadas por arestas paralelas entre si. As laterais de um prisma saoparalelogramos.
Princıpio de Cavalieri
Prisma
Volume do Prisma
Teorema
O Volume de um prisma qualquer e dado pelo produto da suaaltura pela area de sua base.
1 Considere um prisma de altura h e area dabase A. Seja β o plano no qual a base seapoia.
2 Considere um paralelepıpedo reto retangulode altura h, area da base e A e que tambemse apoia em β.
3 Seja α o plano paralelo a β que secciona ossolidos a uma altura h0 de β.
Princıpio de Cavalieri
Prisma
Volume do Prisma
Teorema
O Volume de um prisma qualquer e dado pelo produto da suaaltura pela area de sua base.
1 Considere um prisma de altura h e area dabase A. Seja β o plano no qual a base seapoia.
2 Considere um paralelepıpedo reto retangulode altura h, area da base e A e que tambemse apoia em β.
3 Seja α o plano paralelo a β que secciona ossolidos a uma altura h0 de β.
Princıpio de Cavalieri
Prisma
Volume do Prisma
Teorema
O Volume de um prisma qualquer e dado pelo produto da suaaltura pela area de sua base.
1 Considere um prisma de altura h e area dabase A. Seja β o plano no qual a base seapoia.
2 Considere um paralelepıpedo reto retangulode altura h, area da base e A e que tambemse apoia em β.
3 Seja α o plano paralelo a β que secciona ossolidos a uma altura h0 de β.
Princıpio de Cavalieri
Prisma
Volume do Prisma
Teorema
O Volume de um prisma qualquer e dado pelo produto da suaaltura pela area de sua base.
1 Considere um prisma de altura h e area dabase A. Seja β o plano no qual a base seapoia.
2 Considere um paralelepıpedo reto retangulode altura h, area da base e A e que tambemse apoia em β.
3 Seja α o plano paralelo a β que secciona ossolidos a uma altura h0 de β.
Princıpio de Cavalieri
Prisma
Volume do Prisma
Teorema
O Volume de um prisma qualquer e dado pelo produto da suaaltura pela area de sua base.
1 O plano α produz as secoes A′ e A′′.
2 O paralelepıpedo tambem e um prisma etoda secao feita em prisma paralela a suabase, produz uma figura congruente a base.
3 Portanto, A = A′, A = A′′ e A′ = A′′.
Princıpio de Cavalieri
Prisma
Volume do Prisma
Teorema
O Volume de um prisma qualquer e dado pelo produto da suaaltura pela area de sua base.
1 O plano α produz as secoes A′ e A′′.
2 O paralelepıpedo tambem e um prisma etoda secao feita em prisma paralela a suabase, produz uma figura congruente a base.
3 Portanto, A = A′, A = A′′ e A′ = A′′.
Princıpio de Cavalieri
Prisma
Volume do Prisma
Teorema
O Volume de um prisma qualquer e dado pelo produto da suaaltura pela area de sua base.
1 O plano α produz as secoes A′ e A′′.
2 O paralelepıpedo tambem e um prisma etoda secao feita em prisma paralela a suabase, produz uma figura congruente a base.
3 Portanto, A = A′, A = A′′ e A′ = A′′.
Princıpio de Cavalieri
Prisma
Volume do Prisma
Teorema
O Volume de um prisma qualquer e dado pelo produto da suaaltura pela area de sua base.
1 O plano α produz as secoes A′ e A′′.
2 O paralelepıpedo tambem e um prisma etoda secao feita em prisma paralela a suabase, produz uma figura congruente a base.
3 Portanto, A = A′, A = A′′ e A′ = A′′.
Princıpio de Cavalieri
Prisma
Volume do Prisma
Teorema
O Volume de um prisma qualquer e dado pelo produto da suaaltura pela area de sua base.
1 Portanto, pelo Princıpio de Cavalieri, os doissolidos tem o mesmo volume.
2 VPRISMA = VPARALELEPIPEDO = a.b.h = A.h.
Princıpio de Cavalieri
Prisma
Volume do Prisma
Teorema
O Volume de um prisma qualquer e dado pelo produto da suaaltura pela area de sua base.
1 Portanto, pelo Princıpio de Cavalieri, os doissolidos tem o mesmo volume.
2 VPRISMA = VPARALELEPIPEDO = a.b.h = A.h.
Princıpio de Cavalieri
Prisma
Volume do Prisma
Teorema
O Volume de um prisma qualquer e dado pelo produto da suaaltura pela area de sua base.
1 Portanto, pelo Princıpio de Cavalieri, os doissolidos tem o mesmo volume.
2 VPRISMA = VPARALELEPIPEDO = a.b.h = A.h.
Princıpio de Cavalieri
Cilindro
Sumario
1 Ideia intuitiva de volume
2 Paralelepıpedo
3 Princıpio de Cavalieri
4 Prisma
5 Cilindro
6 Piramide
7 Cone
Princıpio de Cavalieri
Cilindro
Volume do Cilindro
Cilindro
Considere uma figura plana, fechada, em um plano α. Seja PQ umsegmento de reta secante ao plano α. Chama-se cilindro a reuniaodos segmentos congruentes e paralelos a PQ com umaextremidade nos pontos da figura plana. O segmento PQ edenominado geratriz do cilindro e sera indicada por g .
1 Um cilindro cuja base e um cırculo, e chamado cilindrocircular.
2 Um cilindro em que a geratriz forma um angulo reto com oplano que contem a base e chamado de cilindro reto, casocontrario o cilindro e dito cilindro oblıquo.
Princıpio de Cavalieri
Cilindro
Volume do Cilindro
Cilindro
Considere uma figura plana, fechada, em um plano α. Seja PQ umsegmento de reta secante ao plano α. Chama-se cilindro a reuniaodos segmentos congruentes e paralelos a PQ com umaextremidade nos pontos da figura plana. O segmento PQ edenominado geratriz do cilindro e sera indicada por g .
1 Um cilindro cuja base e um cırculo, e chamado cilindrocircular.
2 Um cilindro em que a geratriz forma um angulo reto com oplano que contem a base e chamado de cilindro reto, casocontrario o cilindro e dito cilindro oblıquo.
Princıpio de Cavalieri
Cilindro
Volume do Cilindro
Cilindro
Considere uma figura plana, fechada, em um plano α. Seja PQ umsegmento de reta secante ao plano α. Chama-se cilindro a reuniaodos segmentos congruentes e paralelos a PQ com umaextremidade nos pontos da figura plana. O segmento PQ edenominado geratriz do cilindro e sera indicada por g .
1 Um cilindro cuja base e um cırculo, e chamado cilindrocircular.
2 Um cilindro em que a geratriz forma um angulo reto com oplano que contem a base e chamado de cilindro reto, casocontrario o cilindro e dito cilindro oblıquo.
Princıpio de Cavalieri
Cilindro
Volume do Cilindro
Todo cilindro circular reto cujageratriz e igual ao diametro dabase sera chamado de cilindroequilatero.
Princıpio de Cavalieri
Cilindro
Volume do Cilindro
Teorema
O volume de um cilindro circular e dado pelo produto da area dabase pela altura do cilindro.
1 Basta construir um paralelepıpedo de mesmaaltura que o cilindro e de mesma area debase.
Princıpio de Cavalieri
Cilindro
Volume do Cilindro
Teorema
O volume de um cilindro circular e dado pelo produto da area dabase pela altura do cilindro.
1 Basta construir um paralelepıpedo de mesmaaltura que o cilindro e de mesma area debase.
Princıpio de Cavalieri
Piramide
Sumario
1 Ideia intuitiva de volume
2 Paralelepıpedo
3 Princıpio de Cavalieri
4 Prisma
5 Cilindro
6 Piramide
7 Cone
Princıpio de Cavalieri
Piramide
Volume da Piramide
Piramide
Consideremos um polıgono convexode vertices A1,A2, ...,An situado emum plano α e um ponto V naopertencente a α. Chama-se depiramide a reuniao de todos ossegmentos que tem uma extremidadeem V e a outra em um ponto dopolıgono. O ponto V e chamadovertice da piramide e o polıgonoA1A2 · · ·An e a base da piramide.
Princıpio de Cavalieri
Piramide
Volume da Piramide
1 Considere uma piramide de basetriangular ABC , vertice V ealtura H, seccionada por umplano paralelo a base e a umadistancia h do vertice V .
2 Mostremos que os triangulosABC e DEF sao semelhantes.
Princıpio de Cavalieri
Piramide
Volume da Piramide
1 Considere uma piramide de basetriangular ABC , vertice V ealtura H, seccionada por umplano paralelo a base e a umadistancia h do vertice V .
2 Mostremos que os triangulosABC e DEF sao semelhantes.
Princıpio de Cavalieri
Piramide
Volume da Piramide
1 Considere uma piramide de basetriangular ABC , vertice V ealtura H, seccionada por umplano paralelo a base e a umadistancia h do vertice V .
2 Mostremos que os triangulosABC e DEF sao semelhantes.
Princıpio de Cavalieri
Piramide
Volume da Piramide
1 VAB ∼ VDE , pois AB‖DE eAV B = DV E
2 Portanto,VA
VD=
VB
VE=
AB
DE= k
3 Aplicando o mesmo raciocınioas outras duas faces dapiramide, temos:
VB
VE=
VC
VF=
BC
EF= k
VA
VD=
VC
VF=
AC
DF= k
Princıpio de Cavalieri
Piramide
Volume da Piramide
1 VAB ∼ VDE , pois AB‖DE eAV B = DV E
2 Portanto,VA
VD=
VB
VE=
AB
DE= k
3 Aplicando o mesmo raciocınioas outras duas faces dapiramide, temos:
VB
VE=
VC
VF=
BC
EF= k
VA
VD=
VC
VF=
AC
DF= k
Princıpio de Cavalieri
Piramide
Volume da Piramide
1 VAB ∼ VDE , pois AB‖DE eAV B = DV E
2 Portanto,VA
VD=
VB
VE=
AB
DE= k
3 Aplicando o mesmo raciocınioas outras duas faces dapiramide, temos:
VB
VE=
VC
VF=
BC
EF= k
VA
VD=
VC
VF=
AC
DF= k
Princıpio de Cavalieri
Piramide
Volume da Piramide
1 VAB ∼ VDE , pois AB‖DE eAV B = DV E
2 Portanto,VA
VD=
VB
VE=
AB
DE= k
3 Aplicando o mesmo raciocınioas outras duas faces dapiramide, temos:
VB
VE=
VC
VF=
BC
EF= k
VA
VD=
VC
VF=
AC
DF= k
Princıpio de Cavalieri
Piramide
Volume da Piramide
1
VA
VD=
VB
VE=
AB
DE= k (1)
VB
VE=
VC
VF=
BC
EF= k (2)
VA
VD=
VC
VF=
AC
DF= k (3)
2 De (1), (2), (3), temos:
AB
DE=
BC
EF=
AC
DF= k
3 Encontremos k em funcao de He h.
Princıpio de Cavalieri
Piramide
Volume da Piramide
1
VA
VD=
VB
VE=
AB
DE= k (1)
VB
VE=
VC
VF=
BC
EF= k (2)
VA
VD=
VC
VF=
AC
DF= k (3)
2 De (1), (2), (3), temos:
AB
DE=
BC
EF=
AC
DF= k
3 Encontremos k em funcao de He h.
Princıpio de Cavalieri
Piramide
Volume da Piramide
1
VA
VD=
VB
VE=
AB
DE= k (1)
VB
VE=
VC
VF=
BC
EF= k (2)
VA
VD=
VC
VF=
AC
DF= k (3)
2 De (1), (2), (3), temos:
AB
DE=
BC
EF=
AC
DF= k
3 Encontremos k em funcao de He h.
Princıpio de Cavalieri
Piramide
Volume da Piramide
1
VA
VD=
VB
VE=
AB
DE= k (1)
VB
VE=
VC
VF=
BC
EF= k (2)
VA
VD=
VC
VF=
AC
DF= k (3)
2 De (1), (2), (3), temos:
AB
DE=
BC
EF=
AC
DF= k
3 Encontremos k em funcao de He h.
Princıpio de Cavalieri
Piramide
Volume da Piramide
1 Consideremos os pontos Y naseccao e X na base, ambossobre a perpendicular baixadapelo vertice V .
2 VXB ∼ VXE . Portanto,VX
VY=
XB
XE=
VB
VE= k
3 Sendo VXB retangulo em X ,segue-se que VX = H. Pelomesmo motivo, VY = h. Daı,
k =H
h
Princıpio de Cavalieri
Piramide
Volume da Piramide
1 Consideremos os pontos Y naseccao e X na base, ambossobre a perpendicular baixadapelo vertice V .
2 VXB ∼ VXE . Portanto,VX
VY=
XB
XE=
VB
VE= k
3 Sendo VXB retangulo em X ,segue-se que VX = H. Pelomesmo motivo, VY = h. Daı,
k =H
h
Princıpio de Cavalieri
Piramide
Volume da Piramide
1 Consideremos os pontos Y naseccao e X na base, ambossobre a perpendicular baixadapelo vertice V .
2 VXB ∼ VXE . Portanto,VX
VY=
XB
XE=
VB
VE= k
3 Sendo VXB retangulo em X ,segue-se que VX = H. Pelomesmo motivo, VY = h. Daı,
k =H
h
Princıpio de Cavalieri
Piramide
Volume da Piramide
1 Consideremos os pontos Y naseccao e X na base, ambossobre a perpendicular baixadapelo vertice V .
2 VXB ∼ VXE . Portanto,VX
VY=
XB
XE=
VB
VE= k
3 Sendo VXB retangulo em X ,segue-se que VX = H. Pelomesmo motivo, VY = h. Daı,
k =H
h
Princıpio de Cavalieri
Piramide
Volume da Piramide
Vejamos a relacao entre as areas da base e da secao.
1 Seja H1 a altura do trianguloABC com respeito ao lado BC .
2 Seja h1 a altura do trianguloDEF com respeito ao lado EF .
3 Entao, H1/h1 = k = H/K .
4 Alem disso, AABC =1
2BC .H1 e
ADEF =1
2EF .h1
5 Daı,AABC
ADEF=
(H
h
)2
Princıpio de Cavalieri
Piramide
Volume da Piramide
Vejamos a relacao entre as areas da base e da secao.
1 Seja H1 a altura do trianguloABC com respeito ao lado BC .
2 Seja h1 a altura do trianguloDEF com respeito ao lado EF .
3 Entao, H1/h1 = k = H/K .
4 Alem disso, AABC =1
2BC .H1 e
ADEF =1
2EF .h1
5 Daı,AABC
ADEF=
(H
h
)2
Princıpio de Cavalieri
Piramide
Volume da Piramide
Vejamos a relacao entre as areas da base e da secao.
1 Seja H1 a altura do trianguloABC com respeito ao lado BC .
2 Seja h1 a altura do trianguloDEF com respeito ao lado EF .
3 Entao, H1/h1 = k = H/K .
4 Alem disso, AABC =1
2BC .H1 e
ADEF =1
2EF .h1
5 Daı,AABC
ADEF=
(H
h
)2
Princıpio de Cavalieri
Piramide
Volume da Piramide
Vejamos a relacao entre as areas da base e da secao.
1 Seja H1 a altura do trianguloABC com respeito ao lado BC .
2 Seja h1 a altura do trianguloDEF com respeito ao lado EF .
3 Entao, H1/h1 = k = H/K .
4 Alem disso, AABC =1
2BC .H1 e
ADEF =1
2EF .h1
5 Daı,AABC
ADEF=
(H
h
)2
Princıpio de Cavalieri
Piramide
Volume da Piramide
Vejamos a relacao entre as areas da base e da secao.
1 Seja H1 a altura do trianguloABC com respeito ao lado BC .
2 Seja h1 a altura do trianguloDEF com respeito ao lado EF .
3 Entao, H1/h1 = k = H/K .
4 Alem disso, AABC =1
2BC .H1 e
ADEF =1
2EF .h1
5 Daı,AABC
ADEF=
(H
h
)2
Princıpio de Cavalieri
Piramide
Volume da Piramide
Vejamos a relacao entre as areas da base e da secao.
1 Seja H1 a altura do trianguloABC com respeito ao lado BC .
2 Seja h1 a altura do trianguloDEF com respeito ao lado EF .
3 Entao, H1/h1 = k = H/K .
4 Alem disso, AABC =1
2BC .H1 e
ADEF =1
2EF .h1
5 Daı,AABC
ADEF=
(H
h
)2
Princıpio de Cavalieri
Piramide
Volume da Piramide
Teorema
Duas piramides de mesma base emesma altura possuem o mesmovolume.
1 Pelo que vimos anteriormente,
AABC
S1=
(H
h
)2
,AABC
S2=
(H
h
)2
2 Portanto, S1 = S2 e peloPrincıpio de Cavalieri, V1 = V2.
Princıpio de Cavalieri
Piramide
Volume da Piramide
Teorema
Duas piramides de mesma base emesma altura possuem o mesmovolume.
1 Pelo que vimos anteriormente,
AABC
S1=
(H
h
)2
,AABC
S2=
(H
h
)2
2 Portanto, S1 = S2 e peloPrincıpio de Cavalieri, V1 = V2.
Princıpio de Cavalieri
Piramide
Volume da Piramide
Teorema
Duas piramides de mesma base emesma altura possuem o mesmovolume.
1 Pelo que vimos anteriormente,
AABC
S1=
(H
h
)2
,AABC
S2=
(H
h
)2
2 Portanto, S1 = S2 e peloPrincıpio de Cavalieri, V1 = V2.
Princıpio de Cavalieri
Piramide
Volume da Piramide
Portanto, o vertice de uma piramide pode deslocar-se sobre umplano paralelo a sua base e seu volume nao sera alterado!
Princıpio de Cavalieri
Piramide
Volume da Piramide
Teorema
O Volume de uma piramide triangular e um terco do produto desua altura pela area de sua base.
1 Considere um prisma triangular de baseABC e altura h. O volume deste prisma edado por V = AABC .h
Princıpio de Cavalieri
Piramide
Volume da Piramide
Teorema
O Volume de uma piramide triangular e um terco do produto desua altura pela area de sua base.
1 Considere um prisma triangular de baseABC e altura h. O volume deste prisma edado por V = AABC .h
Princıpio de Cavalieri
Piramide
Volume da Piramide
Este prisma pode ser dividido em tres piramides triangulares,conforme a figura abaixo:
Princıpio de Cavalieri
Piramide
Volume da Piramide
1 Observe que AABC = AA′B′C ′
2 Portanto, V1 = V3.3 V1 = V2, pois AAA′C ′ = AACC ′ e considerando B ′ como
vertice, as piramides tem a mesma altura.4 Sendo V1 = V2 = V3, segue-se que VPRISMA = 3.V3, isto e,
V3 = VPIRAMIDE =1
3.AABC .h.
Princıpio de Cavalieri
Piramide
Volume da Piramide
1 Observe que AABC = AA′B′C ′
2 Portanto, V1 = V3.3 V1 = V2, pois AAA′C ′ = AACC ′ e considerando B ′ como
vertice, as piramides tem a mesma altura.4 Sendo V1 = V2 = V3, segue-se que VPRISMA = 3.V3, isto e,
V3 = VPIRAMIDE =1
3.AABC .h.
Princıpio de Cavalieri
Piramide
Volume da Piramide
1 Observe que AABC = AA′B′C ′
2 Portanto, V1 = V3.
3 V1 = V2, pois AAA′C ′ = AACC ′ e considerando B ′ comovertice, as piramides tem a mesma altura.
4 Sendo V1 = V2 = V3, segue-se que VPRISMA = 3.V3, isto e,
V3 = VPIRAMIDE =1
3.AABC .h.
Princıpio de Cavalieri
Piramide
Volume da Piramide
1 Observe que AABC = AA′B′C ′
2 Portanto, V1 = V3.3 V1 = V2, pois AAA′C ′ = AACC ′ e considerando B ′ como
vertice, as piramides tem a mesma altura.
4 Sendo V1 = V2 = V3, segue-se que VPRISMA = 3.V3, isto e,
V3 = VPIRAMIDE =1
3.AABC .h.
Princıpio de Cavalieri
Piramide
Volume da Piramide
1 Observe que AABC = AA′B′C ′
2 Portanto, V1 = V3.3 V1 = V2, pois AAA′C ′ = AACC ′ e considerando B ′ como
vertice, as piramides tem a mesma altura.4 Sendo V1 = V2 = V3, segue-se que VPRISMA = 3.V3, isto e,
V3 = VPIRAMIDE =1
3.AABC .h.
Princıpio de Cavalieri
Piramide
Volume da Piramide
Teorema
O Volume de uma piramide qualquer e um terco do produto desua altura pela area de sua base.
1 Basta observar que qualquer piramide podeser dividida em piramides de base triangular.
2 Seja h a altura e suponha que a base podeser divida em n triangulos. Entao,
V =1
3A1.h +
1
3A2.h + ...+
1
3An.h
3 V =1
3(A1 + A2 + ...+ An).h =
1
3A.h
Princıpio de Cavalieri
Piramide
Volume da Piramide
Teorema
O Volume de uma piramide qualquer e um terco do produto desua altura pela area de sua base.
1 Basta observar que qualquer piramide podeser dividida em piramides de base triangular.
2 Seja h a altura e suponha que a base podeser divida em n triangulos. Entao,
V =1
3A1.h +
1
3A2.h + ...+
1
3An.h
3 V =1
3(A1 + A2 + ...+ An).h =
1
3A.h
Princıpio de Cavalieri
Piramide
Volume da Piramide
Teorema
O Volume de uma piramide qualquer e um terco do produto desua altura pela area de sua base.
1 Basta observar que qualquer piramide podeser dividida em piramides de base triangular.
2 Seja h a altura e suponha que a base podeser divida em n triangulos. Entao,
V =1
3A1.h +
1
3A2.h + ...+
1
3An.h
3 V =1
3(A1 + A2 + ...+ An).h =
1
3A.h
Princıpio de Cavalieri
Piramide
Volume da Piramide
Teorema
O Volume de uma piramide qualquer e um terco do produto desua altura pela area de sua base.
1 Basta observar que qualquer piramide podeser dividida em piramides de base triangular.
2 Seja h a altura e suponha que a base podeser divida em n triangulos. Entao,
V =1
3A1.h +
1
3A2.h + ...+
1
3An.h
3 V =1
3(A1 + A2 + ...+ An).h =
1
3A.h
Princıpio de Cavalieri
Cone
Sumario
1 Ideia intuitiva de volume
2 Paralelepıpedo
3 Princıpio de Cavalieri
4 Prisma
5 Cilindro
6 Piramide
7 Cone
Princıpio de Cavalieri
Cone
Volume do Cone
Cone
Consideremos uma curva fechada C em um plano α e um ponto Vnao pertencente a α. Chama-se de cone a reuniao de todos ossegmentos que tem uma extremidade em V e a outra em um pontode C . O ponto V e chamado vertice e a curva C e a base do cone.
Princıpio de Cavalieri
Cone
Volume do Cone
1 Os cones podem ser classificados em retos, quando o seu eixocentral e perpendicular ao plano que contem a base, ouoblıquos, caso contrario.
2 Os elementos principais de um cone circular reto sao: geratriz(g), raio da base (r) e altura (h). Quando a geratriz e igual aodiametro da base ele sera chamado de cone equilatero.
Princıpio de Cavalieri
Cone
Volume do Cone
1 Os cones podem ser classificados em retos, quando o seu eixocentral e perpendicular ao plano que contem a base, ouoblıquos, caso contrario.
2 Os elementos principais de um cone circular reto sao: geratriz(g), raio da base (r) e altura (h). Quando a geratriz e igual aodiametro da base ele sera chamado de cone equilatero.
Princıpio de Cavalieri
Cone
Volume do Cone
1 Os cones podem ser classificados em retos, quando o seu eixocentral e perpendicular ao plano que contem a base, ouoblıquos, caso contrario.
2 Os elementos principais de um cone circular reto sao: geratriz(g), raio da base (r) e altura (h). Quando a geratriz e igual aodiametro da base ele sera chamado de cone equilatero.
Princıpio de Cavalieri
Cone
Volume do Cone
Teorema
O Volume de um cone e um terco do produto de sua altura pelaarea de sua base.
1 Dado um cone de altura H, consideremos uma piramidequalquer tambem de altura H e com area da base igual a areada base do cone. Considere ambos sobre um mesmo plano.
2 Se um plano paralelo ao que contem as bases intersectar ossolidos a uma altura h dos vertices, obtemos as figuras deareas A1 e A2.
Princıpio de Cavalieri
Cone
Volume do Cone
Teorema
O Volume de um cone e um terco do produto de sua altura pelaarea de sua base.
1 Dado um cone de altura H, consideremos uma piramidequalquer tambem de altura H e com area da base igual a areada base do cone. Considere ambos sobre um mesmo plano.
2 Se um plano paralelo ao que contem as bases intersectar ossolidos a uma altura h dos vertices, obtemos as figuras deareas A1 e A2.
Princıpio de Cavalieri
Cone
Volume do Cone
Teorema
O Volume de um cone e um terco do produto de sua altura pelaarea de sua base.
1 Dado um cone de altura H, consideremos uma piramidequalquer tambem de altura H e com area da base igual a areada base do cone. Considere ambos sobre um mesmo plano.
2 Se um plano paralelo ao que contem as bases intersectar ossolidos a uma altura h dos vertices, obtemos as figuras deareas A1 e A2.
Princıpio de Cavalieri
Cone
Volume do Cone
Teorema
O Volume de um cone e um terco do produto de sua altura pelaarea de sua base.
1 As regioes A e A2 sao circunferencias de raioR e r respectivamente.
2 Tracando a perpendicular VB do cone,
temos VBC ∼ VDE , isto e,H
h=
R
r3 Em relacao as areas, temos:
A
A2=πR2
πr 2=
(R
r
)2
=
(H
h
)2
Princıpio de Cavalieri
Cone
Volume do Cone
Teorema
O Volume de um cone e um terco do produto de sua altura pelaarea de sua base.
1 As regioes A e A2 sao circunferencias de raioR e r respectivamente.
2 Tracando a perpendicular VB do cone,
temos VBC ∼ VDE , isto e,H
h=
R
r3 Em relacao as areas, temos:
A
A2=πR2
πr 2=
(R
r
)2
=
(H
h
)2
Princıpio de Cavalieri
Cone
Volume do Cone
Teorema
O Volume de um cone e um terco do produto de sua altura pelaarea de sua base.
1 As regioes A e A2 sao circunferencias de raioR e r respectivamente.
2 Tracando a perpendicular VB do cone,
temos VBC ∼ VDE , isto e,H
h=
R
r
3 Em relacao as areas, temos:
A
A2=πR2
πr 2=
(R
r
)2
=
(H
h
)2
Princıpio de Cavalieri
Cone
Volume do Cone
Teorema
O Volume de um cone e um terco do produto de sua altura pelaarea de sua base.
1 As regioes A e A2 sao circunferencias de raioR e r respectivamente.
2 Tracando a perpendicular VB do cone,
temos VBC ∼ VDE , isto e,H
h=
R
r3 Em relacao as areas, temos:
A
A2=πR2
πr 2=
(R
r
)2
=
(H
h
)2
Princıpio de Cavalieri
Cone
Volume do Cone
Teorema
O Volume de um cone e um terco do produto de sua altura pelaarea de sua base.
1 Com relacao a piramide, ja tınhamos visto
queA
A1=
(H
h
)2
.
2 Portanto, A1 = A2.
3 Pelo Princıpio de Cavalieri, o volume doCone e igual ao volume da piramide, isto e,1
3A.H.
Princıpio de Cavalieri
Cone
Volume do Cone
Teorema
O Volume de um cone e um terco do produto de sua altura pelaarea de sua base.
1 Com relacao a piramide, ja tınhamos visto
queA
A1=
(H
h
)2
.
2 Portanto, A1 = A2.
3 Pelo Princıpio de Cavalieri, o volume doCone e igual ao volume da piramide, isto e,1
3A.H.
Princıpio de Cavalieri
Cone
Volume do Cone
Teorema
O Volume de um cone e um terco do produto de sua altura pelaarea de sua base.
1 Com relacao a piramide, ja tınhamos visto
queA
A1=
(H
h
)2
.
2 Portanto, A1 = A2.
3 Pelo Princıpio de Cavalieri, o volume doCone e igual ao volume da piramide, isto e,1
3A.H.
Princıpio de Cavalieri
Cone
Volume do Cone
Teorema
O Volume de um cone e um terco do produto de sua altura pelaarea de sua base.
1 Com relacao a piramide, ja tınhamos visto
queA
A1=
(H
h
)2
.
2 Portanto, A1 = A2.
3 Pelo Princıpio de Cavalieri, o volume doCone e igual ao volume da piramide, isto e,1
3A.H.
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