Teoria do Consumidor:Preferncias e Utilidade
Roberto Guena de Oliveira
17 de maro de 2014
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 1 / 55
Sumrio
1 Cestas de bens e o conjunto de consumo
2 Preferncias
3 Curvas de indiferena
4 Funo de utilidade
5 Taxa Marginal de Substituio
6 Hipteses usuais sobre as preferncias
7 Preferncias tpicas
8 Exerccios
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 2 / 55
Conjunto de Consumo
Cesta de bens
Um consumidor um agente que deve escolher quantoconsumir de cada bem.
Suporemos um nmero finito L de bens. Um conjuntoordenado de nmeros representando as quantidadesconsumidas de cada bem chamado cesta de bens oucesta de consumo.
Mais especificamente, uma cesta de bens um vetorx = (x1, x2, . . . , xL) no qual x1 a quantidade consumidado bem 1, x2 a quantidade consumida do bem 2, eassim por diante.
Para possibilitar a apresentao grfica de uma cesta debens, trabalharemos aqui com a hiptese de que hapenas dois bens um dos bens pode ser pensado comoreais gastos com todos os outros bens.
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 3 / 55
Conjunto de Consumo
Cestas de bens: representao grfica
1
2
3
4
1 2 3 4Bem 1 (x1)
Bem
2(x
2)
b
(4,1)
b
(0,3)
b
(1,2)
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 4 / 55
Conjunto de Consumo
O conjunto de consumo
Nem toda cesta de bens concebvel fisicamente possvelde ser consumida. Exemplo: no possvel consumirmais do que 24 horas por dia de aulas de microeconomia.
O conjunto de todas as cestas de bens fisicamentepossveis de serem consumidas chamado conjunto deconsumo e usualmente notado por X.
Assumiremos que o conjunto de consumo o conjuntodas cestas de bens que no contm quantidades menoresdo que zero de qualquer bem.
No caso de dois bens, esse conjunto corresponde aoquadrante positivo do diagrama carteziano do slideanterior.
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 5 / 55
Preferncias
Sumrio
1 Cestas de bens e o conjunto de consumo
2 Preferncias
3 Curvas de indiferena
4 Funo de utilidade
5 Taxa Marginal de Substituio
6 Hipteses usuais sobre as preferncias
7 Preferncias tpicas
8 Exerccios
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 6 / 55
Preferncias
Notao
Para duas cestas de consumo quaisquer x e y X,empregaremos a seguinte notao:
Conceito primitivo: x y significa x ao menos to bomquanto y, ou y no preferido a x.
x y lido x indiferente a y e equivale a x y e y x.
x y lido x preferido a y e equivale a x y e noy x.
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 7 / 55
Preferncias
Preferncias Racionais
Definio
Diz-se que um consumidor apresenta preferncias racionaiscaso:
1 As preferncias sejam completas, isto , para quaisquerx,y X,
x y e/ou y x.
2 As preferncias sejam transitivas, ou seja, para quaisquerx,y,z X
se x y e y z, ento x z.
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 8 / 55
Preferncias
Notas sobre racionalidade das preferncias:
1 Caso as preferncias de um consumidor sejam racionaisento as relaes e sero reflexivas, ou seja, paraqualquer x X,
x x e
x x.
2 A racionalidade das preferncias tambm implica atransitividade das relaes e , isto , para quaisquerx,y,z X
x y e y z x z e
x y e y z x z
3 Ao longo de todo o curso suporemos que os consumidoresapresentam preferncias racionais.
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 9 / 55
Curvas de indiferena
Sumrio
1 Cestas de bens e o conjunto de consumo
2 Preferncias
3 Curvas de indiferena
4 Funo de utilidade
5 Taxa Marginal de Substituio
6 Hipteses usuais sobre as preferncias
7 Preferncias tpicas
8 Exerccios
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 10 / 55
Curvas de indiferena
Curvas de Indiferena
Definio
Uma curva de indiferena, CIx0 associada a qualquer cesta debens x0 X conjunto de todas as cestas de bens pertencentesao conjunto de consumo indiferentes a x0.
Notas:
Evidentemente, duas cestas quaisquer indiferentes entresi definem a mesma curva de indiferena.
A representao grfica das curvas de indiferena podeser uma forma reveladora de representao daspreferncias.
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 11 / 55
Curvas de indiferena
Representao grfica
x1
x2
b
x0
b
x1
b
x2
b
x3
CIx2
CIx3
CIx0CIx0 = CIx1
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 12 / 55
Curvas de indiferena
Duas curvas de indiferena no se cruzam
x1
x2
b
x0
b
x1
x2b
ou x1 x2;ou;x2 x1
x1 x0
x2 x0
x1 x2
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 13 / 55
Funo de utilidade
Sumrio
1 Cestas de bens e o conjunto de consumo
2 Preferncias
3 Curvas de indiferena
4 Funo de utilidade
5 Taxa Marginal de Substituio
6 Hipteses usuais sobre as preferncias
7 Preferncias tpicas
8 Exerccios
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 14 / 55
Funo de utilidade
Funo de Utilidade
Definio:
Uma funo U : X R chamada de funo de utilidade caso,para quaisquer x,y X,
x yU(x) U(y).
Uma funo de utilidade simplesmente atribui nmeros reaisa todas as cestas de bens do conjunto de consumo de talsorte que cestas de bens mais preferidas recebam nmerosmais elevados.
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 15 / 55
Funo de utilidade
Exemplo: construindo uma funo de utilidade
x1
x2
b
x0
b
x1
b
x2
b
x3
CIx2
CIx3
CIx0 1
2
3
U(x2) = 1
U(x0) = U(x1) = 2
U(x3) = 3
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 16 / 55
Funo de utilidade
Utilidade Ordinal
Do modo como definimos a funo de utilidade, esta tempor funo ordenar as cestas de bens, atribuindo nmerosmaiores paras as cestas mais desejadas, no importandoo valor absoluto desses nmeros.
Por exemplo, no slide anterior a funo de utilidadepoderia ser a raiz quadrada da distncia entre a origem ea curva de indiferena, pois a ordenao das cestas seriamantida.
Tambm poderia ser considerada como funo deutilidade o quadrado dessa distncia.
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 17 / 55
Funo de utilidade
Transformaes Monotnicas
Sejam U(x) uma funo de utilidade que representeadequadamente as prerncias de um consumidor e f , umafuno estritamente crescente definida na imagem deU(x), ento a funo V(x) definida para todo x X como
V(x) = f (U(x))
tambm uma boa representao das caractersticasordinais das preferncias do mesmo consumidor.
A funo V(x) definida acima chamada detransformao monotnica da funo U(x).
Duas funes de utilidade quaisquer representam ascaractersticas ordinais das mesmas preferncias se, esomente se, uma uma transformao monotnica daoutra.
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 18 / 55
Funo de utilidade
Utilidade Cardinal
Caso, ao contrrio do que dissemos at aqui, seja dadoum significado ao valor que a funo de utilidade associaa cada cesta de bens, dizemos que a funo de utilidade cardinal, ou que os aspectos cardinais da funo deutilidade so relevantes.
Os primeiros economistas neoclssicos trabalhavam coma hiptese de utilidade cardinal. Porm, hoje se sabe quetoda a teoria microeconmica positiva e grande parte damicroeconomia normativa dependem apenas dosaspectos ordinais da funo de utilidade.
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 19 / 55
Funo de utilidade
Utilidade Marginal
Definio:
A Utilidade Marginal de um bem qualquer definida por
UMg =U(x)
x
Exemplo:
U(x1, x2) = x1x2
UMg1(x1, x2) =U(x1, x2)
x1= x2
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 20 / 55
TMS
Sumrio
1 Cestas de bens e o conjunto de consumo
2 Preferncias
3 Curvas de indiferena
4 Funo de utilidade
5 Taxa Marginal de Substituio
6 Hipteses usuais sobre as preferncias
7 Preferncias tpicas
8 Exerccios
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 21 / 55
TMS
Taxa Marginal de Substituio
Definio:
A taxa marginal de substituio (TMS) entre os bens 1 e 2 definida por
TMS(x1, x2) = limx10
x2
x1
U(x1+x1,x2+x2)=U(x1,x2)
=dx2
dx1
dU=0
TMS e utilidades marginais
TMS = U(x1, x2)/x1
U(x1, x2)/x2=
UMg1
UMg2.
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 22 / 55
TMS
TMS Interpretao grfica
x1
x2
b
x1
b
x2
x1
x2(< 0)
tan = x2x1
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 23 / 55
TMS
TMS Interpretao grfica
x1
x2
b
x1
b
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 24 / 55
TMS
TMS Interpretao grfica
x1
x2
b
x1
tan = TMS
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 25 / 55
TMS
TMS e cardinalidade.
Diferentemente da utilidade marginal que uma propriedadecardinal da funo de utilidade, a taxa marginal desubstituio uma caracterstica que depende apenas doaspecto ordinal dessa funo, ou seja, ela no alterada portransformaes monotnicas da funo de utilidade.
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 26 / 55
Hipteses
Sumrio
1 Cestas de bens e o conjunto de consumo
2 Preferncias
3 Curvas de indiferena
4 Funo de utilidade
5 Taxa Marginal de Substituio
6 Hipteses usuais sobre as preferncias
7 Preferncias tpicas
8 Exerccios
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 27 / 55
Hipteses
Continuidade
As preferncias so ditas contnuas caso, para quaisquerx,y X, se x y, ento, qualquer cesta de benssuficientemente prxima de x tambm ser preferida a y e xser preferida a qualquer cesta de bens suficientementeprxima de y.
Preferncias contnuas tm curvas de indiferenacontnuas.
Se um consumidor tem preferncias transitivas,completas e contnuas, ento essas preferncias tambmpodero ser representadas por uma funo de utilidadecontnua.
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 28 / 55
Hipteses
Hipteses de monotonicidade
1 Monotonicidade Fraca: Se,comparada a y, x contmquantidades maiores de todos os bens, entox y.Implicaes:
Inexistncia de saciedade por parte do consumidor.As curvas de indiferena no podem ser positivamenteinclinadas.
2 Monotonicidade forte: Se, quando comparada a y, xpossui pelo menos as mesmas quantidades de todos osbens e uma quantidade maior de, pelo menos, um bem,ento x y. Implicaes:
Inexistncia de saciedade por parte do consumidor.As curvas de indiferena devam ser negativamenteinclinadas.A funo de utilidade crescente em cada um de seusargumentos.
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 29 / 55
Hipteses
Hiptese de no saciedade local
Para qualquer cesta de bens x X e qualquer nmero realpositivo existe uma cesta de bens y X que seja tal que|x y| < e y x. Intuitivamente, sempre possvel deixar oconsumidor melhor com uma pequena mudana no padro deconsumo.Implicao: a funo de utilidade no apresenta mximolocal, e, portanto, tampouco mximo global.
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 30 / 55
Hipteses
Hipteses de convexidade
1 Convexidade (fraca): Para quaisquer x,y X e 0 < < 1
x y x+ (1 )y y.
2 Convexidade forte ou estrita: Para quaisquer x,y X e0 < < 1
x y x+ (1 )y y.
Note que convexidade forte implica convexidade fraca,mas a recproca no verdadeira.
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 31 / 55
Hipteses
Exemplos I
x1
x2
b
yb
{x X : x y}
b xb
x+ (1 )y
Preferncias estritamenteconvexas
b
y bx
{x X : x y}
x1
x2
Preferncias estritamenteconvexas
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 32 / 55
Hipteses
Exemplos II
b
x
b
y
{x X : x y}
x1
x2
Preferncias convexas, masno estritamente convexas
b
x
b
y
{x X : x y}
x1
x2
Preferncias convexas, masno estritamente convexas
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 33 / 55
Hipteses
Exemplos III
b
y
b x
{x X : x y}
x1
x2
Preferncias no convexas.(Cncavas).
b
y
b
x
{x X : x y}
x1
x2
Preferncias no convexas
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 34 / 55
Hipteses
Convexidade das preferncias e funo deutilidade
Convexidade das preferncias implica quase-concavidadeda funo de utilidade. Uma funo de utilidade U : X R dita quase-cncava caso, para quaisquer x,y X e0 < < 1
U(x) U(y) U(x+ (1 )y) U(y).
Convexidade forte das preferncias implicaquase-concavidade estrita da funo de utilidade.Umafuno de utilidade U : X R dita estritamentequase-cncava caso, para quaisquer x,y X e 0 < < 1
x 6= y e U(x) U(y) U(x+ (1 )y) > U(y).
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 35 / 55
Preferncias tpicas
Sumrio
1 Cestas de bens e o conjunto de consumo
2 Preferncias
3 Curvas de indiferena
4 Funo de utilidade
5 Taxa Marginal de Substituio
6 Hipteses usuais sobre as preferncias
7 Preferncias tpicas
8 Exerccios
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 36 / 55
Preferncias tpicas
Preferncias bem comportadas
x1
x2
Caractersticas:
Monotnicas.
Diferenciveis.
Convexas: TMSdecrescente (em mdulo).
Averso especializao.
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 37 / 55
Preferncias tpicas
Preferncias cncavas
x1
x2
Caractersticas:
TMS crescente (emmdulo).
Propenso especializao.
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 38 / 55
Preferncias tpicas
Substitutos Perfeitos
x1
x2
Caractersticas:
TMS constante.
Com escolha certa deunidades de medida,TMS = 1.
Sempre podem serrepresentadas pela funode utilidadeU(x1,x2) = ax1 + x2, sendoTMS = a.
Com escolha adequada deunidades, a funo deutilidade passa a serU(x1,x2) = x1 + x2.
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 39 / 55
Preferncias tpicas
Complementos Perfeitos
x1
x2
TMS = 0
TMS = 0
TMS = 0
TMSindefinida
TMSindefinida
TMSindefinida
Caractersticas:
Uma unidade adicional dex2 s tem utilidadequando combinada com1unidades de x2.
Com escolha certa deunidades de medida, = 1.
Sempre podem serrepresentadas pelafuno de utilidadeU(x1,x2) =min(x1,x2).
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 40 / 55
Preferncias tpicas
Males & Neutros
x1 um mal
x1
x2
x1 um neutro
x1
x2
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 41 / 55
Preferncias tpicas
Saciedade
x1
x2
b
Ponto de saciedade
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 42 / 55
Preferncias tpicas
Preferncias quase lineares
x1
x2
Caractersticas
U(x1,x2) = u(x1) + x2.
Quase-linear em x2.
TMS = u(x1) dependeexclusivamente de x1.
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 43 / 55
Preferncias tpicas
Preferncias Homotticas
x1
x2x2x1
= 1
x2x1
= 12
Caractersticas:
TMS depende apenas dex2/x1.
Sempre podem serrepresentadas por umafuno de utilidadehomognea.
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 44 / 55
Preferncias tpicas
Preferncias Cobb-Douglas
Funo de utilidade U(x1,x2) = xa1xb2, com a,b > 0.
Alternativas:
V(x1, x2) = x1x
2, com =a
a+b e =b
a+b .
W(x1, x2) = a lnx1 + b lnx2
TMS = abx2x1
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 45 / 55
Exerccios
Sumrio
1 Cestas de bens e o conjunto de consumo
2 Preferncias
3 Curvas de indiferena
4 Funo de utilidade
5 Taxa Marginal de Substituio
6 Hipteses usuais sobre as preferncias
7 Preferncias tpicas
8 Exerccios
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 46 / 55
Exerccios
ANPEC 2014 Questo 02
A respeito das relaes de preferncias da teoria doconsumidor possvel afirmar:
0 Se x y e x 6= y ento a cesta de bens x possui no mnimoas mesmas quantidades de cada bem da cesta y; V
1 Relaes binrias transitivas e reflexivas so relaes depreferncias; F
2 Se a relao de preferncia transitiva, entonecessariamente a relao de indiferena tambm transitiva; V
3 Relaes de preferncia simtricas e irreflexivas sotransitivas; F
4 A preferncia lexicogrfica uma relao de prefernciaporque completa, transitiva, contnua e reflexiva. F
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 47 / 55
Exerccios
ANPEC 2010 Questo 01
Com respeito a critrios de deciso, relaes de preferncia efunes de utilidade, julgue as questes a seguir:
0 Seja u(x,y) uma utilidade homottica. Suponha queu(x0,y0) = u(x1,y1) , em que (x0,y0) e (x1,y1) so duascestas dadas, e seja t > 0 um escalar positivo. Entou(tx0, ty0) = u(tx1, ty1); V
1 Seja u(x,y) uma utilidade homottica e seja t > 0 umescalar positivo. Denote por TMSu(x,y) a taxa marginal desubstituio da utilidade u na cesta (x,y) . EntoTMSu(x,y) = TMSu(tx, ty); V
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 48 / 55
Exerccios
ANPEC 2010 Questo 01 (continuao)
Com respeito a critrios de deciso, relaes de preferncia efunes de utilidade, julgue as questes a seguir:
2 Seja uma relao de preferncia monotnica e contnuasobre 2 e suponha que u e U so duas funesnumricas que representam a relao de preferncia .Suponha que u(x,y) < U(x,y) , para qualquer cesta(x,y) 2 . Se TMSu(x,y) e TMSU(x,y) denotam a taxamarginal de substituio da funo u e U,respectivamente, na cesta (x,y) , entoTMSu(x,y) > TMSU(x,y), para qualquer cesta (x,y)
2. F
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 49 / 55
Exerccios
ANPEC 2010 Questo 01 (continuao)
Com respeito a critrios de deciso, relaes de preferncia efunes de utilidade, julgue as questes a seguir:
3 Considere a funo de utilidadeu(x,y) =min{2x+ y,x+ 2y} , em que x denota aquantidade do bem 1 e y a quantidade do bem 2. Entoos bens 1 e 2 so complementares perfeitos; F
4 Considere a relao binria sobre 2+definida por
(x,y) (z,w) se, e somente se, x z e y w . Ento uma relao transitiva e reflexiva, mas no estritamente monotnica. V
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 50 / 55
Exerccios
ANPEC 2007 Questo 01
Com relao s preferncias do consumidor, julgue asafirmativas:
0 A monotonicidade das preferncias do consumidor exigeque, dadas duas cestas (x0,y0) e (x1,y1) , com x0 x1 ey0 < y1 , ento (x1,y1) (x0,y0) em que denota apreferncia estrita. V
1 Se excluirmos os bens classificados como males, ascurvas de indiferena tero inclinao negativa. F
2 Monotonicidade e preferncias no-convexas definempreferncias bem-comportadas. F
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 51 / 55
Exerccios
ANPEC 2007 Questo 01 continuao
3 Se o consumidor apresenta preferncias no-convexas,dadas duas cestas A e B com quantidades diferentes dosmesmos bens x e y, ele prefere uma cesta que contenhamdia ponderada das quantidades contidas nas cestas Ae B a qualquer uma das cestas A ou B. F
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 52 / 55
Exerccios
ANPEC 2007 Questo 01 continuao
4 Uma lanchonete oferece quatro tipos de sucos: laranja,melo, manga e uva. Um consumidor considera suco deuva pelo menos to bom quanto de melo, suco delaranja pelo menos to bom quanto de manga, suco demelo pelo menos to bom quanto de laranja e suco deuva pelo menos to bom quanto de manga. Esseconsumidor tambm considera suco de uva pelo menosto bom quanto de laranja e suco de melo pelo menosto bom quanto o de manga. Tal consumidor apresentapreferncias completas e transitivas. V
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 53 / 55
Exerccios
ANPEC 2002 Questo 01
Em relao teoria das preferncias, julgue os itens a seguir:
0 Os pressupostos de que as preferncias so completas etransitivas garantem que curvas de indiferena distintasno se cruzam. V
1 Quando as preferncias de um indivduo so tais queX = {x1,x2} estritamente prefervel a Y = {y1,y2} se esomente se (x1 > y1) ou (x1 = y1 e x2 > y2), as curvas deindiferena so conjuntos unitrios. V
2 Curvas de indiferena circulares indicam que opressuposto de convexidade das preferncias no vlido. F
3 A convexidade estrita das curvas de indiferena elimina apossibilidade de que os bens sejam substitutos perfeitos.V
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 54 / 55
Exerccios
ANPEC 2002 Questo 01 continuao.
4 Considere um alcolatra que beba pinga ou usque e quenunca misture as duas bebidas. Sua funo de utilidade dada por u(x,y) =max(x,2y), em que x e y so nmerosde litros de pinga e usque, respectivamente. Esta funode utilidade respeita o princpio de convexidade daspreferncias. F
Roberto Guena de Oliveira Preferncias 17 de maro de 2014 55 / 55
Cestas de bens e o conjunto de consumoPrefernciasCurvas de indiferenaFuno de utilidadeTaxa Marginal de SubstituioHipteses usuais sobre as prefernciasPreferncias tpicasExerccios
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