POLINÔMIOS,
PRODUTOS NOTÁVEIS
E
FRAÇÕES ALGÉBRICAS
30
MÓDULO III – POLINÔMIOS, PRODUTOS NOTÁVEIS E FRAÇÕES ALGÉBRICAS
O Módulo III é composto por uma coletânea de exercícios que tem como objetivo ajudá-lo a relembrar itens como:
- “Colocar em evidência”;- “Produtos Notáveis”;- “Mínimo Múltiplo Comum”, onde os denominadores são variáveis e não números.
I. POLINÔMIOS
1) DEFINIÇÃO: Polinômios são qualquer adição algébrica de monômios.
MONÔMIOS: toda expressão algébrica inteira representada por um número ou apenas por uma variável, ou por uma multiplicação de números e variáveis.
Exemplos:
a) m5b) 2p
c) xy2
d) my
Geralmente o monômio é formado por uma parte numérica chamada de coeficiente numérico e por uma parte literal formada por uma variável ou por uma multiplicação de variáveis.
Exemplo:
22 mx2mx2 =
Os monômios que formam os polinômios são chamados de termos dos polinômios.
Obs. 1: O monômio ay4 é um polinômio de um termo só.
Obs. 2: y4x2 + é um polinômio de 2 termos: x2 e y4 .
Obs. 3: 4abx2 +− é um polinômio de 3 termos: x2 , ab− e 4.
2) OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS
2.1. Adição Algébrica de Polinômios
Para somarmos 2 ou mais polinômios, somamos apenas os termos semelhantes.
Exemplo:
31
Coeficiente Numérico
Parte Literal
a) Obter o perímetro do triângulo abaixo:
Como perímetro é a soma dos lados, teremos:
( ) ( ) ( ) =+−+++ 3x4x3x1x 22
termos semelhantes=+−+++ 3x4x3x1x 22
termos semelhantes
=++−++ 31x4xx3x 22
4x3x4 2 +− o resultado é um polinômio.
b) ( ) ( ) ( ) =+++−−− xy2xyx34xy4x 22
xy2xyx34xy4x 22 +−−−−−
=+−−−−− xy2xyx34xy4x 22
=−−+−−− 24xyxyxy4x3x 22
6xy4x2 2 −−−EXE R C Í C I O S
32
2x1+x343 2 +− xx
Primeiro eliminaremos os parênteses tomando cuidado quando houver sinal negativo
fora dos parênteses.
1) Reduza os termos semelhantes:a) =−−− 2222 46104 aaaa
b) =+−−532
aaa
2) Escreva os polinômios na forma fatorada:a) =+− 234 654 xxxb) =+− 3322 1248 baabbac) =+ 43223 315 xbaxbad) =+++ acabcb 55e) =+++++ cnbnancmbmamf) =++ 22 2 yxyx
g) =++ 962 aah) =+− 36122 mmi) =− 22 164 yx
j) =−122nm
k) ( ) ( ) ( ) =+−−+−−++ yxyxyxyxxyyxyx 2222222222 65235
l) =
−+−+
−+−
++− cbabaccab
6
1
6
1
8
1
2
1
3
1
4
5
m) ( ) ( ) ( ) =−−−++−+−− 3,05,11,38,17,04,12,35,2 222 xxxxxx
2.2. Multiplicação Algébrica de Polinômios
A multiplicação de um polinômio por outro polinômio deve ser feita multiplicando-se cada termo de um deles pelos termos do outro (propriedade distributiva) e reduzindo-se os termos semelhantes.
Exemplo:
a) ( ) ( )xxy2x 2 −⋅+ xy2xy2xxxx 22 ⋅−⋅+⋅−⋅=
yx2yx2xx 223 −+−= e fica assim.
33
b) ( ) ( )b2a3ba2 −⋅+ b2ba3bb2a2a3a2 ⋅−⋅+⋅−⋅=bb2ab3ba22aa32 ⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=
22 2346 bababassemelhantetermos
−+−=
22 b2aba6 −−=
c) ( ) ( ) =+−⋅− 2p3p1p2 2
=−++−−
=−+−+−
=⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅
2p3p4pp6p2
2p3pp4p6p2
21p31p12p2p3p2pp2
223
223
22
2p7p7p2 23 −+−d) ( ) ( ) =−⋅− yy3xy4xxy 22
=+⋅⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅
=⋅+⋅−⋅−⋅
222222
2222
yx4yyxx34xyyyxx3
yyx4yx3yx4yxyyx3xy
34
Conserve a base e some os expoentes.
2224223 yx4yx12xyyx3 +−− não há termos semelhantes
Obs.: No item fatoração de polinômios veremos outras formas de apresentar esta resposta.
2.3. Divisão Algébrica de Polinômio
Divisão de um polinômio por um monômio
A divisão de um polinômio por um monômio deve ser feita dividindo-se cada termo do polinômio pelo monômio.
Exemplo:a) ( ) =÷+− 3234 x5x15x20x10
3
2
3
3
3
4
3
234
x5
x15
x5
x20
x5
x10
x5
x15x20x10 +−=+−=
x
34x2
x
1314x2
x314x2
x3x4x2
x5
15x
5
20x
5
10
1
1
101
323334
+−=
⋅+⋅−=
+⋅−=
+−=
⋅+⋅−⋅=
−
−
−−−
ou
3
2
3
3
3
4
3
234
x5
x15
x5
x02
x5
x10
x5
x15x20x10 +−=+−
x
34x2
xx
x314
x
xx2
x
x3
x
x4
x
x2
2
2
3
3
3
2
3
3
3
4
+−=
⋅⋅+⋅−⋅=
+−=
/
/
/
/
/
/
b) ( ) =÷− 224334 yx7yx7yx28
22
43
22
34
22
4334
yx7
yx7
yx7
yx82
yx7
yx7yx28 −=−=
35
Como é mínimo múltiplo da fração, podemos separar em duas frações.
22
212
24232324
xyyx4
yx1yx4
yx1yx4
−=
⋅⋅−=
⋅⋅−⋅⋅= −−−−
ou
22
43
22
34
22
4334
yx7
yx7
yx7
yx82
yx7
yx7yx28 −=−
22
22
22
222
22
122
xyyx4
xy1yx4
yx.1
yyxx1
yx
yyxx4
−=
=−=/⋅/⋅/⋅⋅/⋅−
/⋅/⋅/⋅/⋅= //
//
//
//2
Obs.: Na parte de fatoração de polinômios, veremos outras formas de apresentar esta resposta.
EXERCÍCIOS
3) Calcule:
a) =+− )4)(3(5 xxx
b) =−+ ))(2(3 babaab
c) =+−− )1)(1)(1( 2 aaa
d)( )
( ) =−2
24
7
2135
a
aa
e) ( ) =−−xy
xyyx )( 33
f)( )
( ) =−
−−2
357
6
722442
y
yyy
g)( )
( ) =−+abc
abccabbca
5
502510 222
h)=
+−
ab
abbaba
27
4
5
2
2
1 2222
i) =+2
3a2
j) a
1a5 2 +
4) Escreva os seguintes polinômios na forma mais reduzida:
a) ( )( ) =−−+ 222 2axxaax
b) ( )( ) ( ) =+−−+− yxayxayx 2
c) ( )( ) ( )( ) =−−−−−−+ cbcbabacba
d)( )( )( ) ( )( ) =++−−−+ 22 2323 yxyxyxyxyx
e) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] =+−+−+ 2222 xaaxxaxa
f) ( ) =−−− 132.3 2 xxx
g) ( ) =++ xyyxyx 3.5 22
h) =
−
2
1
4
1.
5
2xx
i) =
+
2
3
4
3.4
aa
II. PRODUTOS NOTÁVEIS
No cálculo algébrico alguns produtos são muito utilizados, e são de grande importância para simplificações realizadas em expressões algébricas. Devido a importância, estes produtos são chamados de produtos notáveis. Abaixo, enumeramos os mais utilizados:
1) ( ) ( ) 22 yxyxyx −=−⋅+
2) ( ) 222 yxy2xyx +±=±
3) ( ) 32233 yxy3yx3xyx ±+±=±
36
Todos estes produtos são desenvolvidos apoiados na propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e subtração. Se lembrarmos deste detalhe não precisaremos mais decorá-los, observemos:
a) ( ) ( ) =+⋅− yxyx =−/−/+ 22 yxyyxx 22 yx −
b) ( ) =+ 2yx ( ) ( ) =+++=+⋅+ 22 yxyxyxyxyx 22 2 yxyx ++
c) ( ) =− 2yx ( ) ( ) =+−−=−⋅− 22 yxyxyxyxyx 22 2 yxyx +−
d) ( ) =+ 3yx ( ) ( ) ( ) ( ) =++⋅+=+⋅+ 222 2 yxyxyxyxyx
=+++++= 322223 22 yxyyxxyyxx 3223 33 yxyyxx +++
Como utilizaremos os produtos notáveis?
Exemplos para simplificações:
a)( )
( ) ( ) ( )yx
3
yxyx
yx3
yx
y3x3notável produto22 −
=−⋅+
+ →−+
b) ( ) 16x8x44.x.2x4x 2222 ++=++=+
Obs.: ( ) 24x + jamais será igual a 16x 2 + , basta lembrarmos que:( ) ( ) ( ) 16x8x16x.44.xx4x4x4x 222 ++=+++=+⋅+=+
c) ( )32a − jamais será 8a 3 − , pois:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+−⋅−=−⋅−=− 4a4a2a2a2a2a 223
8a12a6a8a8a2a4a4a 23223 −+−=−+−+−
EXERCÍCIOS
5) Desenvolva os produtos notáveis:
a) ( )2ba +
b) ( )232 +a
c) ( )243 yx +
d) ( )2ba −
e) ( )232 −a
f) ( )243 yx −
g) ( ) )( baba −+
h) ( )( )3232 −+ aa
i) ( )( )yxyx 3434 −+
j)2
2
1
−y
k) ( )22hd −
l) ( )( )3535 −+
m) ( )( )1212 +−
37
Observemos que b é o fator comum, portanto, deve ser colocado em
evidência com o menor expoente.
6) Sabendo que a – b = 5 e a + b = 20, determine quanto vale a2 – b2.
III. ALGUNS CASOS DE FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS
A fatoração de polinômios será muito usada para simplificação de expressões algébricas e para obter o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de frações algébricas.
1. Fatoração pela colocação de algum fator em evidência
Exemplos:
a) 2bab −
Então ( )babbab 2 −=−
Ao efetuarmos o produto ( )abb −⋅ , voltaremos para a expressão inicial 2bab − .
b) by4ay2 +
Assim: ( )b2ay2by4ay2 +=+
c) xb8bx16bx4 223 −−
( )b4x8x2bx2xb8bx16bx4 2223 −−=−−
38
2y é o fator comum;2 é o mínimo (menor) divisor comum de 2 e 4;Portanto 2y deve ser colocado em evidência.
Fator comum 2bx (as variáveis b e x com seus menores expoentes)2 é o mínimo (menor) divisor comum de 4, 16 e 8.Portanto, 2bx deve ser colocado em evidência.
ab
abbab ==÷
bb
bbb
22 ==÷
ay2
ay2y2ay2 ==÷
b2y2
by4y2by4 ==÷
23
3 x2bx2
bx4bx2bx4 ==÷
x8bx2
bx16bx2bx16
22 −=
−=÷−
b4bx2
xb8bx2xb8
22 −=
−=÷−
d) ( )3225322 my2ymymym2 −=−
Obs.: As variáveis que aparecem em todos os termos do polinômio aparecerão no fator comum sempre com o menor expoente.
EXERCÍCIO
7) Simplifique as expressões:
a)( ) =
++
ba
ba 2
b)( )
( ) =++
⋅++xcba
xcba
c)( ) =
++
ba
ba
55
33
d) =++
1515
55
b
aab
e) =++
+22 2 baba
ba
f) =+−
1
12a
a
g) =++
−96
92
2
xx
x
h) =−−
2
2
26
39
bab
aba
IV. FRAÇÕES ALGÉBRICAS
As frações que apresentam variável no denominador são chamadas de frações algébricas.
Exemplos:t
m2,
y
t4,
x
22
As operações de adição, subtração, multiplicação e potenciação de frações algébricas são exatamente iguais às operações realizadas com frações não algébricas. A seguir trazemos alguns exemplos:
1. Adição e Subtração
Tanto na adição como na subtração de frações, devemos obter o m.m.c. dos denominadores.
Exemplos:
a) y4
1
x2
3 +
39
2ymym2 2222 =÷
322
532253 my
ym
ymymym ==÷
m.m.c. dos denominadores =4 xy. 4 é o m.m.c. de 2 e 4.xy → todas as variáveis que aparecem nos denominadores comporão o m.m.c. com seus maiores expoentes.
y63y2
y2x2
xy4x2xy4
=⋅
==÷
x1x
xy4
xy4y4xy4
=⋅
==÷
=+y4
1
x2
3
xy4
xy6 +
b) 22
2
x8
y
xy3
2
y
x −+
M.m.c. entre 2222 yx24x8exy3,y =
=−+22
2
x8
y
xy3
2
y
x
22
324
yx24
y3x16yx24 −+
VOCÊ SABE A DIFERENÇA ENTRE MMC e MDC ?
40
24222
222
22
yx24xyx24
yx24y
yx24yyx24
=•
==÷
x162x8
x8xy3
yx24xy3yx24
2
22222
=•
==÷
32
22
22222
y3yy3
y3x8
yx24x8yx24
=•
==÷
24 é o m.m.c. entre 1, 3 e 8;
são as variáveis com seus maiores expoentes.
Qual a diferença entre m.d.c. e m.m.c.?m.d.c. ⇒ mínimo divisor comum. Usado quando determinamos fatores comuns (aquilo que aparece em
todos os termos) para colocar em evidência.Ex.: a) 2, 4, 6 ⇒ m.d.c. é 2, pois 2 é o menor número que divide 2, 4 e 6.
b) 10, 15, 20 ⇒ m.d.c. é 5, pois 5 é o menor número que divide 10, 15 e 20.
m.m.c. ⇒ mínimo múltiplo comum. Usado quando somarmos ou subtrairmos frações.
Qual é o mmc de 2,4 e 6 ? Observe:múltiplos de 2 : 2,4,6,8,10,12,14,16,18,.... (como se fosse a tabuada do 2)múltiplos de 4 : 4,8,12,16,20,24,28,32,.....( como se fosse a tabuada do 4)múltiplos de 6 : 6,12,18,24,30,36,,...........(como se fosse a tabuada do 6)
O número 12 é o menor dos múltiplos de 2, 4 e 6 por isso é chamado de mínimo múltiplo comum.(mmc).No entanto não é necessário recorrer a este modo para determinar o mmc de vários números. Pode-se usar a regra prática de a decomposição simultânea em fatores primos..
Ex.: a) 2, 4, 6 ⇒ m.m.c. é 12.
b) 10, 15, 20 ⇒ m.m.c. é 60.
Nos exemplos “c” e “d” a seguir, para obter o mmc dos denominadores teremos que escrevê-los na forma fatorada.
c)x39
x
xx3
32 −
−−
Fatorando os denominadores:( )
( )x33x39
x3xxx3 2
−=−−=−
M.m.c. dos denominadores fatorados ( )x3x − e ( )x33 − será: ( )x3x3 −
Assim ( ) ( ) =−
−−
=−
−− x33
x
x3x
3
x39
x
xx3
32 ( )x3x3
x9 2
−−
Mas ainda podemos melhorar o resultado:
41
605.3.2.2
5
3
2
2
1,1,1
5,5,5
5,15,5
10,15,5
20,15,10
=
123.2.2
3
2
2
1,1,1
3,1,1
3,2,1
6,4,2
=
Denominadores fatorados
m.m.c.produto de todos os
termos que aparecem nos denominadores
( ) ( ) ( )( )
2xxx que temose
xx33
x3x3x33x3x3
=•
=−−
=−÷−
( ) ( ) ( )( )
933 que temose
3x3x
x3x3x3xx3x3
=•
=−−
=−÷−
( )( ) ( )
( ) x3
x3
x3x3
x3x3
x3x3
x9 notável produto2 +=
−+− →
−−
d) ya
1
ya
ya
ya
a22 +
+−−+
−
Procuramos escrever os denominadores na forma fatorada:( )( ) notável produto yayaya 22 →+−=−
Assim teremos:
( ) ( ) =+
++
+−
=+
++−
−+− ya
1
ya
1
ya
a
ya
1
yaya
ya
ya
a
( )( ) ( ) ( ) ( )yaya
y2a2aya
yaya
yayayaa 2
−+−++=
−+−+−++
2. Multiplicação e divisão de frações algébricas
A multiplicação e divisão de frações algébricas é exatamente igual a de frações numéricas, ou seja não é necessário obter o mmc dos denominadores. Multiplica-se numerador por numerador e denominador por denominador.
Exemplos:
a)xy3
4
xy3
y4
y
1
3
y2
x
222
==⋅⋅
b)yx
12
yx
12
yx
3
x
4
3
yxx
4
32122=
⋅=⋅= +
42
m.m.c dos denominadores será
EXERCÍCIOS
8. Calcule:
a) =−+y
a
y
a
y
a 23
b) =+++
+−−
+−
yx
x
yx
x
yx
x 123
c) =−+b
a
b
a
b
a
2
3
3
2
d) =−+x
a
x
a
x
a
4
3
2
2
3
e) =−xx 4
322
f) =−++
2
23
a
a
a
g) =−+−
−+
1
1
22
13
x
x
x
x
h) =−
++ baba
11
i) =+
−+
+1
22 2
b
a
aab
ab
j)4
124
2
2
2
22 −−+
−+
+−
x
x
xx
x
k)ba
b
ba
b
ba
a
++
−+
− 22
22
l)ab
ba
a
ba
b
ba 22 +++−+
m) =+
+−−−
− 2
2
4
12
2 2
2
xx
x
x
x
n) =−
−−++
+−
1
4
1
1
1
12y
y
y
y
y
y
o) =+
+−x
xx
33
2
p) =⋅y
x 5
3
2
q) =−⋅+y
ba
x
ba
r) =+
⋅+ 2
2
3
3
a
a
a
a
s) =−
⋅−5
2
3
5
a
aa
t) =⋅⋅x
y
y
a
a
x 32 22
8
3
u) =−−⋅
−+
nm
ba
ba
nm
)(2
v) =−
⋅−nm
nm 3
6
22
w) =−+⋅
++
4
63
1 2
2
x
x
x
xx
x) =+
⋅−1
212
a
x
x
a
y) =
x
a
a
23
z) =−
−
x
xaxy
xa 22
9. Calcule:
a) =−
+
x
xx
x
3
252
5
2
43
b) =++
−
a
xxa
x
9124
94
2
2
2
c) ( )=
−
−
ba
aab
a
2
2
2
2
2
d) =−
−
4
222 yx
yx
e) =
2
7
5
b
a
f) =
− −3
3
m
a
g) =
2
2
32
b
a
h) =
−1
3
2
4
5
y
x
i) =
−3
25
2
b
a
j) =
02
c
ab
k) =
22
4
3
c
ba
l) =
−− 2
ba
a
m) =
−
−2
43
2
x
x
n) =
+− 2
ba
ba
RE S P O S T A S D O S EXE R C Í C I O S
1ª Questão:a) 2a 16 b)
30
19a−
2ª Questão:a) ( )6 5x -4xx 22 + d) c)a)(b(5 ++ g) 23)(a + j) 1) 1).(mn- (mn +
b) ( )22b3a 1 -2ab4ab + e) c)bn)(a(m +++ h) 26)-(m k) 2222 3xy-y5xyx +
c) ( )322 bx 5a xb3a + f) 2y)(x + i) 4y) 4y).(2x-(2x + l) ( )24
12c 8b-3a +
m) 1,1- 0,9x -0,1x 2
3ª Questão:a) 60x- 5x 5x 2 3 + d) 3 - 5a 2 g) 10c-5b2a + j)
a
1a5 +
b) 3223 3ab-b3a-b6a e) 22 y x- + h) ( )140
40b 28a-35ab +
c) 12a-a 24 + f) 12y 4y 7y- 35 ++ i)2
3a +
4ª Questão:
44
a) 242 2ax-x -a c) 22 c -ab- bc a + e) 322 2x-xaax- + g) 3223 3xyy15xy3x ++
b) 3ay-2y3xy-x 22 + d) y5x-5xy- 22 f) 3x9x6x- 23 ++ h)5
x-
10
x2
i) 6a 3a 2 +
5ª Questão:a) 22 b2aba ++ d) 22 b2ab-a + g) 22 b-a j) 41+y-y 2
b) 912a4a 2 ++ e) 912a-4a 2 + h) 9-4a 2 k) 22 4h4hd-d +c) 22 16y24xy9x ++ f) 22 16y24xy-9x + i) 22 9y-16x l) 2
m) 1
6ª Questão:100
7ª Questão:a) ba + c)
5
3 e)( )ba
1
+g)
3x
3-x
+b) d d)
3
a f)( )1a
1
+h)
2b
3a
8ª Questão:a)
y
4a h)( )22 b-a
2a o)( )x3
9
+v)
2
nm +
b)( )yx
x
+i)
( )1ba
b
+p)
3y
10x w)( )2-x
3x
c)6b
a j)
4-x
4-2xx2
2 + q)
xy
b-a 22 x) 2a-2
d)12x
7a k) ( )( )b-a
ba + r)
65aa
6a2
2
++
y)3a
x
e) ( )24x
3x-8 l)b
2a s)
3
2a z) ( )y
xa +
f)( )2aa
aa
−−+ 652 m)
( )2-x
4 t)2
3xy 2
g)2
1 n) ( )( )1y
2-2y
+u)
( )n-m2
nm +
9ª Questão:a)
102
3
−xd)
yx +2 g)
4
6
b
4a k)2
24
16
9
c
ba
b))32(
32
+−
xa
x e)2
2
49
25
b
a h)2
3
5
4
x
y l)22
2
2 baba
a
+−c)
( )2−ab
a f)3
3
27a
m−i) 125b6/8 a3 m)
2
2
4
16249
x
xx +−
j) 1 n)22
22
2
2
baba
baba
+++−
45