POLIEDROS: POLI = Muitos E EDROS = Lados → Muitos
lados.
Toda figura geométrica espacial de três dimensões (comprimento,
largura e altura), formada por POLÍGONOS (figura plana
composta de n lados) é chamada de poliedro.
Os poliedros são figuras geométricas formadas por vértices,
arestas e faces. Através da expressão de Euler, é possível
determinar o número de vértices, arestas e faces dos poliedros.
Essas formas espaciais estão presentes no mundo a nossa volta. Por exemplo:
- Uma caixa de sabão em pó;
- O dado, que faz parte de muitos jogos e brincadeiras,
- Etc...
Esses objetos são estudados pela matemática através da geometria. Eles possuem características e propriedades muito importantes para sua compreensão.
EIS UM EXEMPLO, O CUBO:
O cubo possui comprimento, largura e altura (3 dimensões),
e é formado por 6 quadrados (figuras planas). Tais
quadrados estão unidos, dois a dois, pelas arestas. São 12
arestas e 8 vértices.
OUTRO EXEMPLO, A PIRÂMIDE DE BASE
QUADRANGULAR:
Essa pirâmide tem por base um retângulo. Por isso, é
chamada de pirâmide de base quadrangular, ou apenas de
pirâmide quadrangular. Ela possui 5 vértices, 4 faces
triangulares e 8 arestas.
VEJA:
- Polígono = figura plana;
- Poliedro = sólido, em 3 dimensões, no espaço,
formado por polígonos;
- Arestas = lados dos polígonos que formam o poliedro;
- Vértices = os pontos onde as arestas se interceptam;
- Faces = cada um dos polígonos que formam o
poliedro.
MAS ATENÇÃO: NÃO SÃO POLIEDROS OS
SÓLIDOS QUE POSSUEM FORMAS
ARREDONDADAS, COMO O CILINDRO E O
CONE:
POLIEDROS CONVEXOS Um poliedro é chamado convexo, em relação a uma de
suas faces, se está todo contido no mesmo semi-espaço
determinado por esta mesma face.
Complicado?
Vamos entender melhor isso!
Considere um poliedro e uma de suas faces: um
octaedro, por exemplo.
Imagine um plano apoiado nessa face.
O poliedro ficou todo de um lado só desse plano?
Então ele é convexo! Veja:
OS NOMES DOS POLIEDROS CONVEXOS DEPENDEM
DO NÚMERO DE FACES:
Tetraedro Quatro Faces
Pentaedro Cinco Faces
Hexaedro Seis Faces
Heptaedro Sete Faces
Octaedro Oito Faces
Dodecaedro Dez Faces
Icosaedro Vinte Faces
POLIEDROS REGULARES
Vamos lembrar o conceito de polígono regular: aquele em
que todos os lados são congruentes (iguais) e todos os
ângulos são também congruentes.
Então, um poliedro é regular se suas faces são polígonos
regulares, todos com o mesmo número de lados e, em
cada vértice do poliedro, encontram-se (convergem)
sempre o mesmo número de arestas.
Não existem muitos poliedros regulares; não é possível
construir senão uns poucos tipos destes poliedros -
apenas o suficiente para uma correspondência com os
dedos de uma mão!
Isto mesmo! Ainda que dispuséssemos de todos os
recursos imagináveis, não seria possível construir mais
do que cinco tipos de poliedros regulares:
EXISTEM APENAS CINCO POLIEDROS REGULARES:
Por volta do século VI antes de Cristo, o filósofo Platão estudou
os poliedros platônicos relacionando-os aos elementos da
natureza. Veja a associação feita por ele:
Tetraedro: fogo
Hexaedro (cubo): terra
Octaedro: ar
Icosaedro: água
Dodecaedro: universo
RELAÇÃO DE EULER
A fórmula de Euler está atribuída à relação de
dependência entre os elementos de um poliedro.
A expressão matemática desenvolvida por
Leonhard Euler (1707-1783), matemático suíço,
é a seguinte:
V – A + F = 2
Onde:
V = vértice
A = arestas
F = Faces
Essa expressão determina o número de faces,
arestas e vértices de qualquer poliedro convexo.
EXERCÍCIO:
1) Num poliedro convexo, o número de vértices é 5 e o de
arestas é 10. Qual é o número de faces? V + F = A + 2
5 + F = 10 + 2
F = 12 - 5
F = 7
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