RobosRedundantes
HenriqueSimas -
Setembro2005
Planejamento de Trajetorias de Soldagempara Robos Redundantes Operando em
Ambientes Confinados
Henrique Simas
Laborat orio de Rob otica
Departamento de Automacao e Sistemas - DASDepartamento de Engenharia Mecanica - EMC
Universidade Federal de Santa Catarina
Exame de Qualificacao - Setembro de 2005
RobosRedundantes
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Sumario
1 Soldagem robotizada
2 Geracao de trajetorias paralelas
3 Cinematica inversa de robos redundantes
4 Cinematica inversa diferencial utilizando restricoes cinematicas
5 O Jacobiano estendido a partir das restricoes cinematicas
6 Proposta de tese
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Soldagemrobotizada
Gerac ao detrajet orias
Robosredundantes
Restric oescinem aticas
O novoJacobiano
Proposta detese
A robotizacao esta vinculadaaos seguintes fatores:
1 Confiabilidade;2 Flexibilizacao da producao;3 Qualidade do produto desejada;4 Produtividade;5 Mao de obra tecnica especializada para operacao
do robo;6 Custos de investimento e instalacao.
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Soldagemrobotizada
Gerac ao detrajet orias
Robosredundantes
Restric oescinem aticas
O novoJacobiano
Proposta detese
Elementos para especificacoesde robos de soldagem:
1 A concepcao cinematica;2 O numero de juntas;3 O volume de trabalho;4 A repetitividade;5 A exatidao de movimentos;6 A velocidade de deslocamento.
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Soldagemrobotizada
Gerac ao detrajet orias
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Restric oescinem aticas
O novoJacobiano
Proposta detese
Elementos para especificacoesde robos de soldagem:
• Os robos para soldagem precisam um sistema degeracao de trajetorias
• → Um exemplo e o sistema de geracao detrajetorias de preenchimento de cavidades doprojeto ROBOTURB
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Gerac ao detrajet orias
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Restric oescinem aticas
O novoJacobiano
Proposta detese
As trajetorias
Uma tarefa pode ser realizada ponto a ponto ou demaneira contınua atraves de um caminho.
A trajetoria e descrita por um conjunto de dados de:
1 Posicao;2 Velocidade;3 Aceleracao.
Dados estes definidos no espaco cartesiano.
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Restric oescinem aticas
O novoJacobiano
Proposta detese
Geracao de trajetorias e ageometria diferencial
• A geracao de trajetorias e feita atraves damodelagem de curvas e superfıcies;
• A geometria diferencial e uma ferramentamatematica que auxilia no calculo de trajetoriassobre curvas ou superfıcies
• Os algoritmos de modelagem de curvas esuperfıcies parametrizadas possuem propriedadesque auxiliam no tratamento da geometriadiferencial e portanto na geracao de trajetorias
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Gerac ao detrajet orias
Robosredundantes
Restric oescinem aticas
O novoJacobiano
Proposta detese
Geometria diferencial de curvas
• Para descricao das propriedades locais de umacurva parametrizada podem ser utilizados:• Sistema de coordenadas de Frenet;• Formulas de Frenet-Serret.
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O novoJacobiano
Proposta detese
Sistema de Frenet
B.
.N
T
N
r(s)
N
B
T
−τ
−k
N.
kT
Bτ
Vetores:• T → Tangente• N → Normal• B → Binormal
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O novoJacobiano
Proposta detese
Formulas de Frenet-Serret
r(s) = T(s)
T(s) = k(s)N(s)
N(s) = τ(s)B(s)− k(s)T(s)
B(s) = −τ(s)N(s)
Formulas de Frenet-Serret
• k → e a curvatura
• τ → e a torcao da curva
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O novoJacobiano
Proposta detese
Geometria diferencial desuperfıcies
• Duas propriedades sao essenciais para descricao decaminhos sobre as superfıcies:
1 A primeira forma fundamental → Descreve ocomprimento da tangente de uma curva parametrizadasobre a superfıcie.
2 A segunda forma fundamental → Descreve o raio decurvatura local de uma superfıcie.
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O novoJacobiano
Proposta detese
1a forma fundamental
.r(u,v)
uv
u(t)
v(t)
x
yz
r(u,v)
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Proposta detese
2a forma fundamental
k
T
uv
x
yz
curvatura
n
Centro de
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Proposta detese
Calculo de trajetorias paralelas
• Com esta metodologia e possıvel desenvolver umalgoritmo de geracao de trajetorias paralelas para orecobrimento de superfıcies pelo processo desoldagem.
• Baseado em algoritmos de geracao de caminhosparalelos para maquinas ferramenta (5 GDL) umaadaptacao foi realizada para aplicacao em robos desoldagem (6 GDL) → ROBOTURB
• Seja uma superfıcie parametrizada r(u, v) onde, sobreesta superfıcie, existe uma trajetoria r(u(t), v(t))definida pela parametrizacao de u e v por t .
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Proposta detese
Calculo de trajetorias paralelas
u(t),v(t)v
u
v u
r(u(t),v(t))r(u,v)
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Proposta detese
Descricao do procedimento
• Para obtencao de um caminho paralelo, sao calculadospontos sobre o caminho inicial;
• Obtem-se as propriedades locais do ponto sobre o caminho;
ur dudt
vr dvdt
+
v u
centro de curvatura
Distancia g
Caminho paralelo
k*
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Proposta detese
Descricao do procedimento
• Dependendo da curvatura e obtidaa distancia geodesica → g
O
k
Bocal
CiC i+1
dc
θ
w
w g
Superficie
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Proposta detese
Descricao do procedimento
• Calcula-se passo ∆u e ∆v de maneira a encontraro ponto pertencente ao caminho paralelo referenteao ponto r(u, v)
• Definidos os passos um experimento foi realizado.
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Proposta detese
Execucao do algoritmo e oefeito de laco
• Ao ser realizado os experimentos foi observado oaparecimento de um ”laco” nas trajetoriasparalelas.
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Proposta detese
Execucao do algoritmo e oefeito de laco
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Execucao do algoritmo e oefeito de laco
• Duas propostas foram analisadas e uma foiimplementada → O teste de paralelismo;
• Os resultados obtidos foram satisfatorios.
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Proposta detese
Trajetorias paralelas sem apresenca do laco
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Proposta detese
Trajetorias paralelas →Espaco de juntas
• Concluida a analise do problema de geracao detrajetorias no espaco cartesiano, e preciso tratar oproblema da cinematica inversa para analisar astrajetorias no espaco de juntas.
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Proposta detese
Robos redundantes
• Um robo e dito redundante se o seu numero dejuntas n e maior do que o numero de coordenadasdo espaco operacional r → o grau de redundanciae medido por n − r
• A solucao da cinematica inversa pode ser:
1 Analıtica - solucao precisa e obtida de numa unicasequencia de operacoes;
2 Integracao da cinematica diferencial - requer algoritmosnumericos - pode ser sistematizada - a imprecisaonumerica depende basicamente do numero deiteracoes e do metodo de integracao.
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Proposta detese
A cinematica inversa diferenciale o Jacobiano
• Na cinematica diferencial o Jacobiano mapeia o espacodiferencial de juntas no espaco diferencial cartesiano.
v = J(q)q
• A cinematica inversa e obtida pela inversao doJacobiano:
q = J−1(q)v
• Robos redundantes nao possuem o Jacobianoquadrado, portanto a cinematica inversa possuiinfinitas solucoes
• A questao e determinar um metodo adequado parasolucao da cinematica inversa.
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Proposta detese
Metodos baseados nacinematica diferencial
• A seguir sao apresentados os metodos mais utilizadospara resolucao da cinematica inversa para robosredundantes.
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Proposta detese
Metodos baseados nacinematica diferencial
• A pseudo-inversa
q = W−1JT (JW−1JT )−1vq = J†v
• Pode ser obtida por funcionais do tipo energia• A estabilidade numerica depende da trajetoria• No caso de W ser diferente da identidade, sao
necessarias ajustar n variaveis pertencentes a diagonalprincipal de W
• Possui problemas dimensionais para robos com juntasrotativas e prismaticas
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Proposta detese
Metodos baseados nacinematica diferencial
• Task priority
q = J†pvp,d + (Js(In − J†pJp))†(vs,d − JsJ†p)
• Neste metodo sao definidas tarefas primarias esecundarias;
• Metodo baseado na pseudo-inversa - sensıvel asmesmas limitacoes;
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Proposta detese
Metodos baseados nacinematica diferencial
• O Jacobiano estendido[p(t)
0
]=
[J(q)∂h(q)
∂q
]q
• O metodo apresenta o problema das singularidadesalgorıtmicas;
• Inconsistencia dimensional para o caso de diferentestipos de juntas
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Proposta detese
Representacao helicoidal de ummovimento
• Um deslocamento helicoidal e a combinacao de umdeslocamento rotativo com um de translacao
helicoidal
translacional
Deslocamento rotacional
Deslocamento
s
soi
iosi
t
Deslocamento
$
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Representacao helicoidal de ummovimento
• Um helicoide e decomposto em:
• $ = (ω; Vp)T =(L,M,N ;P∗,Q∗,R∗)T ,
• De maneira normalizada. $ = $Ψ, ou seja$ = (L, M, N, P∗, Q∗, R∗)T e magnitude Ψ:
• Para uma cadeia composta por n juntas, o helicoideresultante pode ser obtido pela soma linear doshelicoides de cada junta:
B$E =n∑
i=1
B $iΨi
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Proposta detese
Representacao helicoidal de ummovimento
• Matricialmente tem-se
B$E =[
B $1B $2 · · · B $n
] Ψ1
Ψ2...
Ψn
(1)
• A representacao helicoidal de um movimento permite odesenvolvimento de um metodo de obtencao dacinematica inversa baseado em restricoes cinematicas.
• O metodo das restricoes cinematicas utiliza-se decadeias virtuais para seu desenvolvimento
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Proposta detese
As cadeias virtuais
A cadeia virtual, e uma ferramenta para obter informacoesou restringir movimentos de uma cadeia cinematica.Satisfaz as seguintes propriedades:
• A cadeia virtual e aberta
• Possui juntas as quais os helicoides normalizadossejam linearmente independentes
• Nao interfere na mobilidade da cadeia cinematica real
A seguir sao apresentadas as cadeias virtuais maisutilizadas obter e impor movimetos sobre um plano:
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Proposta detese
Cadeia PPR
x
$
py$
rz$y
px
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Proposta detese
Cadeia RPR
2
rz
$pr
y
x
$ rz
1$
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Proposta detese
Lei da Circulacao de Davies
• Davies adaptou a lei de Kirchhoff para resolver acinematica diferencial de mecanismos de cadeiafechada.
• A lei de circulacao de Kirchhoff-Davies estabelece que”A soma algebrica das velocidades relativas de parescinematicos ao longo de alguma cadeia cinematicafechada e zero.”
• Usando esta lei, a relacao entre as velocidades de umcadeia cinematica fechada pode ser obtida pelaresolucao da cinematica diferencial.
• Para o fechamento de cadeias cinematicas abertas saoutilizadas as cadeias virtuais.
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Proposta detese
Lei da Circulacao de Davies
• Em geral, a equacao de restricao de um mecanismorepresentado por um sistema helicoidal de movimentosde ordem d e dada por:
N(d×Fb)Ψ(Fb×1) = 0(d×1)
• Rearranjando Ψ em duas partes• Magnitudes conhecidas pertencentes a juntas definidas
como primarias → Ψp• Magnitudes desconhecidas pertencentes a juntas
definidas como secundarias → Ψs
• O objetivo e obter as magnitudes desconhecidas (Ψs).
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Proposta detese
Lei da Circulacao de Davies
• Rearranjando a matriz N de helicoides normalizadosobtem-se Ψs por:
Ψs = −Ns−1NpΨp
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Proposta detese
A solucao da cinematicadiferencial
Um exemplo foi desenvolvido considerando a seguintesituacao:
$ rz D$
$C
B$$A
rz$2
Obstáculo
y
x
6Rob ô
Base
5
4
3
21
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Proposta detese
A solucao da cinematicadiferencial
Para a solucao da trajetoria uma cadeia PPR e acoplada aorobo
y
$
py$
$px
A$$B
C$
$D
Cadeia virtual PPR C1
12
3
4
5
Base
ôRob6
Circuito 1
x
rz
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Proposta detese
A solucao da cinematicadiferencial
A mudanca da cadeia virtual PPR nao altera o resultado etorna menos complexo o dsenvolvimento
y
rz’$
px’$
py’$
$ rz
$py
$px
A$$B
C$
$D
Cadeia virtual PPR C2
Cadeia virtual PPR C1
12
3
4
5
Base
ôRob6
7
Circuito 1
x
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Proposta detese
A solucao da cinematicadiferencial
Assim a trajetoria e definida por uma cadeia virtual PPRcomo segue:
D$
$C
B$$A
px$
py$
rz$
y
x
Circuito 1
7
6Rob ô
Base
5
4
3
21
Cadeia virtual PPR C2
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Proposta detese
A solucao da cinematicadiferencial
Para evitar a colisao da junta C uma cadeia RPR eacoplada ao robo
$ rz
$ rz
$prD$
$C
B$$A
px$
py$
rz$2
1
o
o
x
y
1
9
8
Cadeia virtual RPR
y
x
Circuito 1
Circuito 2
7
6Rob ô
Base
5
4
3
21
Cadeia virtual PPR C2
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Proposta detese
A solucao da cinematicadiferencial
Para este exemplo e obtida a equacao de restricao pelometodo de Kirchhoff-Davies
[$A $B $C $D 0 0 0 −$rz −$px −$py$A $B 0 0 −$rz1 −$pr −$rz2 0 0 0
]
ΨAΨBΨCΨDΨrz1ΨprΨrz2ΨrzΨpxΨpy
= NΨ = 0 (2)
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A solucao da cinematicadiferencial
Selecionando as magnitudes da matriz primaria esecundaria tem-se:
NΨ =
[$A $B $C $D 0 0$A $B 0 0 −$rz1 −$rz2
]
ΨA
ΨB
ΨC
ΨD
Ψrz1
Ψrz2
+
[0 −$rz −$px −$py
−$pr 0 0 0
] Ψpr
Ψrz
Ψpx
Ψpy
= NsΨs + NpΨp = 0
• E possıvel notar que as velocidades das juntas rz1 e rz2 seraocalculadas mas nao serao utilizadas no calculo das posicoes dejunta → e interessante elimina-las...
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A metodologia de eliminacaodas juntas passivas
• A discussao inicial mostrou que o Jacobiano estendidopossibilita a solucao da cinematica inversa mediante oacrescimo de restricoes adicionais ao Jacobiano -Ocorrem problemas de singularidadesalgorıtmicas ;
• O metodo de introducao das restricoes impoe o calculode velocidades das juntas passivas da cadeia virtual,que nao sao utilizadas no calculo da posicao do robo;
• Uma nova metodologia e proposta e esta baseada noconceito da matriz aniquiladora.
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Eliminacao das juntas passivas
Considerando o exemplo apresentado tem-se que:
• O robo tem quatro juntas, A, B, C e D
• As velocidades Ψrz1 e Ψrz2 , que fazem parte das juntassecundarias, nao sao necessarias para calcular aposicao do robo
• E util elimina-las
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Eliminacao das juntas passivas
Inicialmente a matriz secundaria e particionada:
NsΨs =
[$A $B $C $D
$A $B 0 0
] ΨA
ΨB
ΨCΨD
+
[0 0
−$rz1 −$rz2
] [Ψrz1
Ψrz2
]= NsaΨsa + NspΨsp
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Eliminacao das juntas passivas
As juntas passivas sao eliminadas utilizando a matrizaniquiladora K
•
K =
[Id×d 0
0 ref WNsp
]
• ref WNsp e um conjunto de helicoides recıprocos damatriz secundaria passiva
• Assim:
KNsp = 0
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Eliminacao das juntas passivas
• Para manter a igualdade e necessario que:
KNpΨp +KNsaΨsa +KNspΨsp︸ ︷︷ ︸=0
= 0 (3)
• Tem-se entao que :
KNpΨp +KNsaΨsa = 0 (4)
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Eliminacao das juntas passivas
• As matrizes KNp e KNs resultantes possuem umnumero de linhas linearmente dependentes igual aonumero de juntas secundarias passivas. Estas linhaspodem ser eliminadas atraves da pre-multiplicacao poruma matriz G que tem sua estrutura dada pelaequacao:
G =[
Ir×r 0r×sp]
• As velocidades das juntas primarias sao obtidas por:
Ψp = −(GKNp)−1GKNsaΨsa
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Eliminacao das juntas passivas
• Empregando a definicao usual do Jacobiano resulta:
J = −(GKNp)−1GKNsa
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Aplicando a metodologia aoexemplo
Aplicando a metodologia desenvolvida ao exemplo tem-se aseguinte matriz Jacobiana:
J =
0 1 1 1
Pa −L1s2 − L2s23 −L2s23 0Qa L1c2 + L2c23 L2c23 0
Pacrz1 + Qasrz1 L1srz1−2 0 0
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Estudo das singularidades
Uma questao fundamental e verificar e discutir assingularidades introduzidas por esse procedimento.
• Foram analisadas as condicoes singulares do roboredundante → [Nokleby]
• Foram analisadas as condicoes singulares com arestricao cinematica de colisao → Determinante doJacobiano
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Singularidade do roboredundante
2 C
B$
$A
$px
$py
$ rz$D
−θ2
aθπ $
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Proposta detese
Singularidade do roboredundante com restricao
y
$ rz1
$pr
$ rz2
$C
B$
$A
$px
$ rz
$D
$py
(θ2+θ )−3
pθ−
x
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Singularidade do roboredundante com restricao
2θa
$C
rz$2
$D
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RobosRedundantes
HenriqueSimas -
Setembro2005
Soldagemrobotizada
Gerac ao detrajet orias
Robosredundantes
Restric oescinem aticas
O novoJacobiano
Proposta detese
Discussao dos resultados
• Os resultados mostram que ocorre introducao de duassingularidades adicionais. Assim, o metodo doJacobiano estendido a partir de restricoes cinematicastambem introduz singularidades algorıtmicas.
• As singularidades algorıtmicas ocorrem quandoexistem incompatibilidades entre os movimentosimpostos ao efetuador e as outras restricoes.
• No exemplo, esta incompatibilidade ocorre emsituacoes nas quais a trajetoria imposta ao efetuadornao pode ser realizada sem que haja colisao.
• Cabe ressaltar que as singularidades tem significadofısico claro que pode ser utilizado no desenvolvimentode metodos para evita-las.
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Objetivo da tese
Sao objetivos do trabalho de tese:
• Concluir a sistematizacao e implementacao dametodologia de obtencao do Jacobiano estendidoobtido pelas restricoes cinematicas
• Validar a solucao do evitamento de colisao no prototipodo projeto ROBOTURB
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Tarefas a serem executadas
1 Conclusao e validacao da metodologia de geracao detrajetorias paralelas para soldagem
2 Complementacao da revisao bibliografica sobre asestrategias para resolucao da cinematica inversa derobos redundantes;
3 Sistematizacao do metodo para a obtencao da matrizaniquiladora;
4 Sistematizacao do metodo de obtencao do Jacobianoestendido obtido pelas restricoes cinematicas;
5 Aplicacao dos resultados no prototipo do ROBOTURB;
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Tarefas a serem executadas
1 Conclusao e validacao da metodologia de geracao detrajetorias paralelas para soldagem
2 Complementacao da revisao bibliografica sobre asestrategias para resolucao da cinematica inversa derobos redundantes;
3 Sistematizacao do metodo para a obtencao da matrizaniquiladora;
4 Sistematizacao do metodo de obtencao do Jacobianoestendido obtido pelas restricoes cinematicas;
5 Aplicacao dos resultados no prototipo do ROBOTURB;
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Tarefas a serem executadas
1 Conclusao e validacao da metodologia de geracao detrajetorias paralelas para soldagem
2 Complementacao da revisao bibliografica sobre asestrategias para resolucao da cinematica inversa derobos redundantes;
3 Sistematizacao do metodo para a obtencao da matrizaniquiladora;
4 Sistematizacao do metodo de obtencao do Jacobianoestendido obtido pelas restricoes cinematicas;
5 Aplicacao dos resultados no prototipo do ROBOTURB;
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Tarefas a serem executadas
1 Conclusao e validacao da metodologia de geracao detrajetorias paralelas para soldagem
2 Complementacao da revisao bibliografica sobre asestrategias para resolucao da cinematica inversa derobos redundantes;
3 Sistematizacao do metodo para a obtencao da matrizaniquiladora;
4 Sistematizacao do metodo de obtencao do Jacobianoestendido obtido pelas restricoes cinematicas;
5 Aplicacao dos resultados no prototipo do ROBOTURB;
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Tarefas a serem executadas
1 Conclusao e validacao da metodologia de geracao detrajetorias paralelas para soldagem
2 Complementacao da revisao bibliografica sobre asestrategias para resolucao da cinematica inversa derobos redundantes;
3 Sistematizacao do metodo para a obtencao da matrizaniquiladora;
4 Sistematizacao do metodo de obtencao do Jacobianoestendido obtido pelas restricoes cinematicas;
5 Aplicacao dos resultados no prototipo do ROBOTURB;
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Simulacao MatLab
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Laboratorio de RoboticaDAS-EMC-UFSC
HENRIQUE [email protected]
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