PERCEPÇÕES DE FUTUROS PROFESSORES DE MATEMÁTICA SOBRE A
FUNÇÃO AFIM E SEU ENSINO: UMA ANÁLISE A LUZ DAS
REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS
Mikaelle Barboza Cardoso – Secretaria de Educação Básica – SEDUC/CE
Silvana Holanda da Silva – Ma. Universidade Estadual do Ceará
Ana Cláudia Gouveia de Sousa – Ma. Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Resumo
O presente trabalho objetivou analisar as percepções conceituais e didático-
metodológicas dos futuros professores de matemática em relação ao ensino de função
afim. Para este artigo, tomou-se como aporte teórico a Teoria dos Registros de
Representação Semiótica (TRRS) de Raymond Duval, que coloca as representações
semióticas em evidência, dado a importância que estas têm no ensino e aprendizagem da
Matemática. Segundo o autor, as representações semióticas são caracterizadas por serem
sistemas semióticos potencialmente produtores que podem nos levar a descoberta de
novas representações e objetos matemáticos, além disso, possuem operações cognitivas
específicas que se diferencia dos códigos e dos sistemas formais. A pesquisa foi
realizada com treze graduandos do curso de Licenciatura Plena em Matemática da
Universidade Estadual do Ceará (UECE). A coleta de dados efetivou-se através da
resolução, pelos discentes, de um questionário semiestruturado. Tal instrumental
continha quatro questões, no entanto, para este trabalho, selecionou-se somente uma
para análise, tendo em vista a adequação ao objetivo definido. Os graduandos
dispuseram de até duas aulas de 50 cinquenta minutos cada para responder
individualmente as questões propostas. Constatou-se que os licenciandos possuem
dificuldades conceituais acerca de função afim e metodológicas sobre seu ensino. Além
disso, foram percebidas dificuldades nas atividades cognitivas de formação, tratamento
e conversão, bem como dificuldades de interpretação da questão proposta e produções
de respostas em língua materna. Propõe-se, dessa forma, um trabalho de formação mais
efetivo e sólido com esses graduandos em relação aos conhecimentos específicos,
didáticos e pedagógicos acerca de função afim, destacando as diversas representações
que esse objeto matemático pode apresentar.
Palavras-chave: Formação de professores de Matemática. Função afim. Representações
semióticas.
Introdução
As discussões sobre a qualidade do ensino trazem à tona reflexões relevantes
acerca da formação do professor de Matemática. Nessa perspectiva vem crescendo o
número de pesquisas que tratam desse tema, abordando questões importantes como:
avaliação de cursos de licenciaturas, a complexidade da prática pedagógica, concepções/
percepções dos professores de matemática além da discussão acerca dos currículos
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EdUECE- Livro 205267
adotados (FERREIRA, 2003). Essas pesquisas convergem para pontos comuns, sendo
considerados como desafios a serem superados.
Entre esses desafios está o ensino e a aprendizagem de função. De acordo
com Lima (2008), as dificuldades na compreensão do conceito de função constituem um
problema geral, ou seja, não se restringe a alunos da Educação Básica e Ensino
Superior, mas também a professores de Matemática. A autora afirma que as dificuldades
mais importantes estão relacionadas às múltiplas representações que esse objeto
matemático pode assumir, bem como as “[...] transformações, há trocas conceituais
entre o conceito de função e equação, aos conceitos de domínio, contradomínio e
imagem de funções e a distinção entre variáveis dependentes e independentes” (LIMA,
2008, p. 45).
Atualmente não se pode negar a importância das representações para a
matemática. As investigações apontam para a importância de um ensino pautado na
utilização de múltiplas representações, como forma de diminuir as lacunas conceituais
na aprendizagem, buscando, assim, uma maior e melhor apreensão do objeto
matemático (LOPES, 2003).
É precisamente para esse ponto que este trabalho pretende focalizar a atenção,
ancorado na Teoria dos Registros de Representação Semiótica (TRRS), cuja elaboração
e desenvolvimento é atribuída ao psicólogo e filósofo Raymond Duval. A teoria de
Duval ganhou destaque nas últimas duas décadas no Brasil, reforçando a especificidade
da linguagem Matemática, destacando o papel das representações semióticas como
fundamentais para a compreensão em matemática. Além disso, não obstante o papel das
representações, para que ocorra a apreensão desse conhecimento é necessário o
desenvolvimento de operações cognitivas peculiares da atividade matemática.
Vale destacar que é imprescindível compreender como utilizar essas diferentes
representações semióticas. Nesse contexto, a ideia de compreender um objeto
matemático na sua plenitude perpassa pela importância da coordenação entre diferentes
registros de representação. É nesse sentindo que Duval (2009) acredita que possam
ocorrer avanços nos processos de conceituação para os conteúdos dessa disciplina.
Além disso, as representações semióticas, de acordo com o autor, também são
definidas por favorecer três atividades [operações] cognitivas fundamentais: a formação,
o tratamento e a conversão.
No que se refere à formação, “[...] consiste na constituição de uma representação
coerente, capaz de conter todos os elementos indispensáveis para a sua compreensão”
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(SOUSA, 2010, p. 58). Além disso, cada registro de representação possui regras de
funcionamento internas ao sistema semiótico utilizado, que são denominadas regras de
conformidade. Sem o conhecimento dessas regras estruturais e funcionais é impossível
efetivamente formar uma representação.
A segunda atividade cognitiva a ser desenvolvida diz respeito ao tratamento.
Quando tratamos 9+6, 45/3, 225, 5x3, (7/2 + 23/2) observamos diferentes custos
cognitivos que depende da operação a ser realizada. Constatamos também que todos
expressam o mesmo objeto matemático, o número “15” diferenciando-se nos signos
[elementos] que cada um possui.
Vale destacar, nesta teoria, as críticas que são atribuídas à ênfase dada nas
práticas pedagógicas à atividade de tratamento e formação (DUVAL, 2009). Para o
autor, o docente tende a utilizar o registro mais facilmente vinculado ao ensino de
determinado conteúdo. Passa muitas vezes a utilizar um único registro de representação
semiótica, isto é, trabalha no monorregistro. Por exemplo, um professor que se utiliza
apenas do registro algébrico para tratar de funções em detrimento dos demais: gráficos,
tabelas e língua materna, tende a limitar o domínio conceitual do aluno.
A terceira atividade cognitiva é a conversão. Trata-se de um tipo de
transformação externa ao registro de partida, formando-se uma nova representação em
outro registro, preservando, entretanto, o objeto representado. Segundo Duval (2009), a
conversão é menos desenvolvida em sala de aula e é, por muitas vezes, considerada
atividade realizada facilmente pelos estudantes, quase automática. Ou seja, presume-se
que ao realizar os tratamentos nos diferentes registros, os estudantes perceberão a
relação existente entre as representações do mesmo conteúdo nos diferentes registros.
Contrariamente a essa prática, o autor adverte que as relações entre os diversos
registros de representação semiótica não acontecem de forma espontânea. De acordo
com Cardoso (2013, p. 71), “[...] é a articulação dos registros que constitui uma
condição de acesso à compreensão matemática, e não o inverso, qual seja, o
enclausuramento em cada registro”.
Diante do que foi exposto, o objetivo do presente trabalho é analisar as
percepções conceituais e didático-metodológicas dos futuros professores em relação ao
ensino de função afim. Para tanto, analisou-se as respostas dadas pelos futuros
professores a uma questão focalizando o uso das representações semióticas para o
ensino de função, identificando possíveis dificuldades dos graduandos nas atividades
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cognitivas de formação, tratamento e conversão. A seguir, será apresentado o percurso
metodológico e a análise dos dados empíricos.
Percurso metodológico
A pesquisa foi realizada na Universidade Estadual do Ceará – UECE, campus
Itaperi com 13 (treze) estudantes do curso presencial de Licenciatura Plena em
Matemática. Além disso, todos os graduandos estavam cursando a disciplina de Prática
de Ensino I, referente ao 5° semestre. Os discentes dispuseram de até duas aulas de 50
cinquenta minutos cada para responder a um questionário com quatro questões abertas
que envolviam situações-problemas diversas. Entretanto, devido às restrições das
normas de publicação do evento para o qual envia-se este artigo, selecionou-se apenas
uma questão para análise. Ver no quadro 1 (ANEXO A).
Nessa perspectiva analisando especificamente a situação-problema 1, percebe-se
que o item “a” trata de uma conversão da Língua Materna para o Registro Algébrico
(LN→RA) e um tratamento no Registro Algébrico (RA), já o item “b” trata de uma
conversão do Registro Algébrico para o Registro Gráfico (RA→RG).
Nesse sentindo, os licenciandos deveriam interpretar a situação-problema 1 e em
seguida assinalar quais representações (Concreta, Gráfica, Algébrica, Numérica, Tabela,
Língua materna...) eles utilizariam para explicar o problema para os alunos; além disso,
foi solicitado que expressassem por escrito de que maneira se daria o uso dessas
representações na explicação.
No tópico a seguir, serão apresentadas as análises dos dados empíricos coletados
junto aos graduandos, quando da aplicação do referido questionário sobre função.
Resultados e Discussão
Representações escolhidas
No que se refere ao item “a”, que corresponde a quais representações os
graduandos utilizariam para a explicação da situação-problema 1 aos estudantes,
verificou-se que 1 licenciando deixou a questão em branco, 5 graduandos assinalaram
apenas 1 representação, 6 graduandos marcaram 2 representações e apenas 1 graduando
considerou 3 representações. Entre as quais as representações algébricas (6 graduandos),
gráfica (5 graduandos) e tabular (4 graduandos) estiveram entre as mais utilizadas para
explicar a questão aos alunos.
É possível perceber as dificuldades dos graduandos em reconhecer a
possibilidade de uso de diferentes representações da função para trabalhá-la
didaticamente, isso pode estar atrelado às experiências vivenciadas por eles de ensino e
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aprendizagem acerca de função, restringindo-se a único tipo de representação, ou seja,
trabalham no monorregistro.
De acordo com Duval (2011a), do ponto de vista matemático basta um único
registro de representação para a realização de uma atividade matemática. Além disso,
costuma-se privilegiar a resolução das situações – problemas, ou seja, o tratamento em
um único registro, limitando o domínio conceitual do estudante já que este passa a não
mais reconhecer os diferentes registros de um mesmo objeto matemático além da
dificuldade do estabelecimento das diversas relações existentes entre os múltiplos pares
possíveis de registros.
Vale destacar também que apenas 1 licenciando (L12) assinalou o registro em
Língua Materna, revelando a ausência de familiaridade com esse tipo de representação
no trato didático da matemática. A importância desse registro de representação, na visão
do autor, está na “[...] espontaneidade discursiva que serve de ponto de ancoragem a
toda a aprendizagem ligada a um ensino” (DUVAL, 2009, p. 106).
Quando perguntados como se daria o uso dessas representações, constatou-se
que 1 licenciando deixou a questão em branco, 6 explicitaram como ensinariam para os
estudantes a situação-problema, 4 resolveram o problema se colocando no lugar do
aluno, 1 licenciando apenas pontuou como o estudante deveria responder aos itens e 1
graduando confundiu metodologias/tendências matemáticas com as próprias
representações. A seguir, têm-se a análise detalhada desses resultados.
Caso 1 – Graduandos que explicitaram como ensinariam para os estudantes a
situação-problema 1.
Através dos dados analisados, contatou-se que, nessa categoria, 2 licenciandos
relacionaram mais de duas representações na explicação, 3 obtiveram explicações
parciais com ênfase na resolução da situação-problema e 1 utilizou apenas a língua
materna para sintetizar a explicação sem o uso de outras representações.
Na primeira subcategoria, dos 2 licenciandos que utilizaram diversas
representações nas explicações, destaca-se que as respostas dos referidos graduandos
foram as que mais se aproximaram do que foi solicitado no item “b” do questionário.
Também observou-se a presença das representações em língua materna, registro
algébrico, gráfico e tabela na explicação do problema. Apresenta-se na figura 1
(ANEXO B) um exemplo de explicação.
Nesse sentindo, pode-se observar a importância da representação para a
matemática, já que cada registro de representação é uma forma parcial de acesso ao
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objeto matemático, portanto torna-se imprescindível a compreensão de diversos
registros de representação de um mesmo objeto como forma de percebê-lo na sua
totalidade, além da importância de se conhecer os diferentes tratamentos que cada
representação possui. É nessa perspectiva, de acordo com Duval (2003), que podem
ocorrer amplas apreensões conceituais.
Na segunda subcategoria, dos licenciandos com explicações parciais com ênfase
nas resoluções da situação-problema, destacam-se dois casos Figura 2 (ANEXO C) e
Figura 3 (ANEXO D).
No primeiro caso, no item “a”, o licenciando L13 utiliza-se do tratamento para
obter a resposta de 20 litros, porém não deixa explícito como seria a explicação dessa
situação para os estudantes e nem como se daria o uso das representações na explicação.
Além disso, o referido graduando constrói uma tabela, por isso infere-se que a formação
dessa representação se constitui uma maneira do mesmo compreender e interpretar para
si a situação-problema apresentada. O item “b” não é mencionado pelo licenciando,
quer seja pela dificuldade de conversão do registro algébrico para o registro gráfico ou
por não saber como seria a explicação dessas representações para os alunos.
Segundo Duval (2009), a conversão necessita de uma maior atenção, pois no
ensino geralmente tende-se a privilegiar as atividades cognitivas de formação e
tratamento. Sendo a atividade cognitiva menos desenvolvida em sala de aula por ser
considerada de fácil acesso aos estudantes. Contudo, observa-se que as relações
estabelecidas entre os diversos registros de representação semiótica não acontecem de
forma espontânea pela maior parte dos estudantes, necessitando de um trabalho
didático-metodológico com esse fim.
Já no caso do licenciando L2 (Figura 3) a ênfase é dada ao registro gráfico do
item “b”, ou seja, o item “a” deixa de ser mencionado na sua explicação, o licenciando
utiliza-se da abordagem ponto a ponto. De acordo com Duval (2011 b, p. 98), “[...] é
por meio desta abordagem que são introduzidas e definidas as representações gráficas.
Em referência aos dois eixos graduados, um par de números permite identificar um
ponto (e inversamente, um ponto se traduz por um par de números)”. Nesse sentindo, de
maneira associativa, essa abordagem acaba se limitando a valores particulares e aos
pontos marcados no plano cartesiano.
Por fim, apenas 1 licenciando (L10) utilizou-se da língua materna para sintetizar
a explicação sem o uso de outras representações (Figura 4 – ANEXO E). Percebe-se que
esse graduando não explicou como se daria o uso das representações na sua explicação,
Didática e Prática de Ensino na relação com a Formação de Professores
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ou por não saber de forma efetiva como fazê-lo ou por não ter compreendido o
enunciado do item “b”.
Além disso, a explicação do referido graduando pode revelar desconhecimento
das regras de formação dessas representações, ou seja, sem o conhecimento das regras
estruturais e funcionais de cada registro o insucesso dos estudantes aumenta
consideravelmente no tratamento de um problema matemático.
Caso 2 – Graduandos que resolveram o problema se colocando no lugar no aluno.
Neste caso, percebeu-se a necessidade do tratamento dos dados, mesmo que não
tenha sido o foco da pergunta. Nessa categoria, destacam-se as produções dos
licenciandos L6 e L9.
No exemplo no licenciando L6 (Figura 5 – ANEXO F), verificou-se as tentativas
de encontrar a solução da situação-problema. As dificuldades enfrentadas pelo
graduando revela pouco domínio conceitual do conteúdo, isso é revelado nas tentativas
de proporção do estudante e na ausência do item “b” que se refere ao registro gráfico da
função f(x) = 2,5x.
A resolução algébrica do problema também pode ser vista no exemplo do
licenciando L9 (Figura 6 – ANEXO G). Percebem-se em ambos os casos a dificuldade
de representar a função afim no registro gráfico. Isso pode ocorrer devido ao
desconhecimento das variáveis pertinentes e a correspondência das unidades
significantes no registro algébrico e no registro gráfico. Essas dificuldades, muitas
vezes, decorrem do aprisionamento a um único tipo de registro de representação
semiótica, mencionado por Duval (2003).
Além disso, essas lacunas conceituais podem perdurar desde o Ensino
Fundamental até o Ensino Superior, ou seja, essas ideias estão de acordo com Lima
(2008), quando afirma que mesmo os alunos apresentando essas dificuldades entre
outras, eles ingressam em disciplinas de conhecimentos avançados em matemática já no
primeiro semestre. Isso ocorre porque de alguma maneira se tem a falsa ideia que esses
estudantes já possuem conhecimentos de base sólida. Os estudos da autora revelaram
que mesmo entre os estudantes concluintes do Ensino Médio, muitos apresentam
lacunas conceituais, além disso, a autora salienta ser imprescindível um trabalho efetivo
com esses conhecimentos prévios dos estudantes com o objetivo de alcançar uma
efetivação da aprendizagem conceitual além de ser essencial estudar problemas
elementares de Matemática por meio de metodologias alternativas de ensino.
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Caso 3 – Graduando que pontuou como o estudante deveria responder aos itens da
situação-problema 1.
Neste caso, destaca-se a explicação do licenciando L7 (Figura 7 – ANEXO H).
Ressalta-se que o referido estudante não apresentou como explicaria aos alunos a
situação – problema 1, também não mencionou como se daria o uso efetivo das
representações. Isso pode ser reflexo da ausência da articulação entre as disciplinas
didáticas e específicas dos cursos de licenciaturas, ou seja, a dicotomia entre teoria e
prática permanece como sendo um campo de grande desafio para os futuros professores.
De acordo com Libâneo (2010), a qualidade da educação é essencial, sendo
necessária uma efetiva formação teórica e prática para os professores. O autor ainda
salienta a importância da didática na formação dos professores, sendo, portanto,
imprescindível a inclusão desta nos currículos e programas de pesquisas. Dessa forma,
Ferreira (2003, p.35) complementa que atualmente ocorre uma tendência mundial de
mudança em relação às pesquisas brasileiras, “[...] aos poucos, a formação de
professores passa a ser entendida como um processo contínuo por meio do qual o
sujeito aprende a ensinar”.
Caso 4 – Graduando que confundiu metodologias/tendências matemáticas com as
próprias representações.
Por fim, na última categoria analisada, o licenciando L3 (Figura 8 – ANEXO I)
confundiu a tendência matemática denominada modelagem matemática com as próprias
representações. De acordo com Silva, Bertoni e Baccartin (2010, p. 33), essa tendência
“[...] é o processo que envolve a obtenção de um modelo para a resolução de uma
situação-problema”, além disso, requer uma postura investigativa, dinâmica, senso
crítico como forma de refletir e solucionar um determinado contexto, construindo assim
soluções generalizadas.
Em contrapartida, de acordo com Duval (2011a), os registros de representação
semiótica são caracterizados essencialmente pelas atividades cognitivas particulares que
eles permitem efetuar, quais sejam: formação, tratamento e conversão. Além disso, são
caracterizadas por serem sistemas semióticos potencialmente produtores que podem
levar à descoberta de novas representações e objetos matemáticos.
Considerações finais
Constatou-se que os referidos graduandos possuem dificuldades conceituais
acerca de função afim e metodológicas sobre seu ensino, não percebendo a importância
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e os papéis que as representações semióticas desempenham no ensino e aprendizagem
da Matemática. Além disso, não estão familiarizados com o registro em língua materna,
visto que, apenas um licenciando assinalou essa representação como forma de explicar
um problema a um aluno.
No que se refere às atividades cognitivas de formação, tratamento e conversão,
constatou-se dificuldades em formar uma representação no registro algébrico, como o
caso do licenciando L6; dificuldades de compreender o que a questão propunha, como
no caso do licenciando L9, que recorreu somente ao tratamento da situação-problema;
dificuldades em produzir por escrito em língua materna como no caso do L10, L6, L9,
L7 entre outros. Essas dificuldades podem estar atreladas às experiências de
aprendizagem e ensino vivenciadas pelos graduandos durante toda a sua Educação
Básica até o Ensino Superior.
Diante desse contexto, salienta-se a necessidade de um trabalho de formação
mais efetivo e sólido com esses graduandos em relação aos conhecimentos específicos,
didáticos e pedagógicos acerca de função afim, enfatizando também suas diferentes
representações semióticas.
Referências
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Curso de Mestrado acadêmico em Educação. Universidade Estadual do Ceará,
Fortaleza-CE, 2010.
Anexos
ANEXO A Quadro 1: Questão respondida pelos graduandos.
ANEXO B
Figura 1: Resposta do L4.
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ANEXO C
Figura 2: Explicação do L13.
ANEXO D
Figura 3: Explicação do L2.
ANEXO E
Figura 4: Explicação do L10.
ANEXO F
Figura 5: representação do L6.
ANEXO G
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