Curso de Especialização em Redes e
Segurança de Sistemas - PPGIA - PUCPR
Prof. Marcelo E. Pellenz 1
Projeto de Redes:Modelagem e Desempenho
Especialização em Redes e Segurança de Sistemas
Prof. Marcelo E. Pellenz
http://www.ppgia.pucpr.br/~marcelo
2
Modelagem de Desempenho de Redes
� Objetivo:� Apresentar os fundamentos para o projeto e avaliação de
desempenho de redes de computadores através de estudos analíticos e ferramentas de simulação.
� Estudo analítico através de modelos matemáticos.� Modelagem e simulação do segmento de rede em estudo.
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3
Tópicos
� Introdução� Avaliação de Desempenho de Sistemas
� Teoria de Probabilidades� Eventos aleatórios
� Variáveis aleatórias
� Função densidade de probabilidade
� Função distribuição de probabilidade
� Principais distribuições de probabilidade
� Teste de Aderência (Teste de Hipótese)
4
Tópicos
� Teoria de Filas� Processo de chegada
� Processo de atendimento
� Modelos de filas
� Disciplina de gerência de filas
� Aplicações
� Simulação de Sistemas� Software NS-2
� Análise de Resultados de Simulação
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5
Bibliografia
� Apostila do Prof. Carlos M. Pedroso
� JAIN, Raj - The art of computer systems performance analysis: techniques for experimental design, measurement, simulation, andmodeling. New York: J. Wiley & Sons, c1991. 685 p. ISBN 0-471-50336-3
� PARK, Kihong; WILLINGER, Walter (Ed.). Self-similar network traffic andperformance evaluation. New York: J. Wiley & Sons, c2000. 558 p. ISBN 0-471-31974-0
� TANENBAUM, Andrew S. Computer networks. 3rd ed. Upper SaddleRiver: Prentice Hall PTR, c1996. 813 p. ISBN 0-13-349945-6
� PRADO, Darci. Teoria das filas e da simulação. Belo Horizonte: DG, 1999. 122 p. ISBN 85-86948-12-8
6
Procedimento de Avaliação
� Ao final do curso os alunos deverão entregar um relatório com o detalhamento dos experimentos realizados.
� Durante as aulas serão indicados os itens que deveram fazer parte do relatório.
� Data das Aulas:� 14/09
� 21/09� 28/09� 05/10
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Introdução
� Técnicas de Avaliação de Desempenho
AltoMédioBaixoCusto
DifícilModeradaFácilAvaliação de Impacto de Parâmetros
VariávelModeradaBaixaPrecisão
InstrumentaçãoSoftwareAnalistasFerramentas
VariávelMédioBaixoTempo Requerido
Após ProtótipoQualquerQualquerEstágio do Sistema
MedidasSimulaçãoModelagem
AnalíticaCritério
Seleção de Técnicas de Avaliação de Desempenho
8
Introdução
� Seleção de Métrica de Desempenho
Sistema
Requisiçãodo Serviço i
Realizado
Não Realizado
RealizadoCorretamente
RealizadoIncorretamente
Evento k
Erro j
Probabilidade
Tempo entre Erros
Duração do Evento
Tempo entre Eventos
Tempo(Tempo de Resposta)
Taxa(Throughput)
Recursos(Utilização)
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Introdução
� Estudo de Caso� Considere o problema de comparar dois algoritmos de
controle de congestionamento para redes de computadores.
� Rede de Computadores� Inúmeros sistemas finais (end systems) interconectados por
inúmeros sistemas intermediários (intermediate systems)
� O congestionamento ocorre quando o número de pacotes em espera nos sistemas intermediários excede a capacidade de armazenamento (buffering) do sistema, ocasionando descarte de pacotes.
10
R3
A
B
C
R1
R2
R4 D
E
FR5
Introdução
� Redes de Computadores / Telecomunicações
� Rede = Conjunto de Nós + Conjunto de Enlaces
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Introdução
� Estudo de Caso� Quando um usuário envia um bloco de pacotes para um
destinatário, podem ocorrer as seguintes possibilidades:
� Alguns pacotes são entregues na ordem para o destinatário� Alguns pacotes são entregues fora de ordem para o destinatário� Alguns pacotes são entregues duplicados
� Alguns pacotes são descartados (perdidos) ao longo do caminho
12
Introdução
A
B
C
R1
R2
R3
R4 D
E
FR5
� Sistema de Telecomunicações do Ponto de Vista do Tráfego� O sistema serve o tráfego que está chegando (gerado pelos usuários)
UsuáriosTráfego
chegandoTráfegosaindo
Sistema
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13
Introdução
� Complexidade da Rede (POPs)
A
B
C
POP1
POP3
POP2
POP4 D
E
F
POP5
POP6POP7
POP8
14
Introdução
� Estudo de Caso� Para os pacotes entregues em ordem, teremos as seguintes
métricas possíveis de desempenho:
� Tempo de resposta
� Atraso na rede para pacotes individuais� Taxa Média de Transmissão (Vazão/Throughput)
� Número médio de pacotes por unidade de tempo
� Tempo de processamento por pacote no transmissor� Tempo de processamento por pacote no receptor� Tempo de processamento por pacote no sistema intermediário
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Introdução
� Estudo de Caso� Como a rede é um sistema multiusuário, uma métrica importante é a
justiça (fairness) que define a variabilidade do throughput entre usuários.
� Para o conjunto de taxas de n usuários a seguinte função pode ser usada para atribuir uma medida de justiça ao conjunto:
( )∑
∑
=
=
⋅
=n
i
i
n
i
i
n
rn
r
rrrf
1
2
2
1
21 ,,, K
( )nrrr ,,, 21 K
16
Introdução
� Exemplo� Considere as taxas normalizadas médias de 4 usuários que
estejam compartilhando uma determinada rede:
0,9430,20,20,250,35
0,3810,050,050,10,8
10,250,250,250,25
r4r3r2r1
Medida de JustiçaDistribuição das Taxas
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Introdução
� Tempo de Resposta de um Sistema
Tempo
Requisiçãodo Usuário
Respostado Sistema
Tempo de Resposta
Tempo
Usuário TerminaRequisição
Sistema IniciaExecução
Tempo deReação
Usuário IniciaRequisição
Sistema IniciaResposta
Sistema CompletaResposta
Usuário IniciaPróxima Requisição
Tempo de Resposta(Definição 1)
Tempo de Resposta(Definição 2)
(a) Requisição e Resposta Ideal
(b) Requisição e Resposta Real
18
Introdução
� Capacidade de um Sistema
Carga
Tax
a (T
hro
ug
hp
ut)
CapacidadeNominal
CapacidadeÚtil
Carga
Tem
po
de
Res
po
sta
CapacidadeUtilizável
CPU: MIPS MFLOPS
REDE: ppsbps
Joelho
Capacidadede Joelho
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Introdução
� Eficiência de um Sistema� A razão entre o máximo throughput atingível pela capacidade
nominal do sistema é denominado de eficiência.
� Exemplo 1: Se o máximo throughput atingível em uma LANde 100Mbps for de 85Mbps, a sua eficiência é de 85%.
� Exemplo 2: A razão entre o desempenho de um sistema multiprocessado com n processadores em relação a um sistema com um único processador.
20
Introdução
� Exemplo 2 - Eficiência de um Sistema Multiprocessado
Número de Processadores
Eficiência em MIPS/MFLOPS
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
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R3
A
B
C
R1
R2
R4 D
E
FR5
Introdução
� Parâmetros que Afetam o Desempenho da Rede
Perfil de Tráfegodas Aplicações
Capacidade dos Enlaces(Taxa de Transmissão)Atraso de Propagação
ConfiabilidadeTaxa de Erro
Capacidade de ProcessamentoEstratégias de Escalonamento
22
Introdução
� Complexidade da Rede (POPs)
A
B
C
POP1
POP3
POP2
POP4 D
E
F
POP5
POP6POP7
POP8
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23
R10 R11
R4
R13
R9
R5
R2R1 R6
R3 R7
R12
R16R15
R14
R8
(2.5 Gb/s)
(2.5 Gb/s)(2.5 Gb/s)
(2.5 Gb/s)
Introdução
24
Introdução
� Arquitetura Geral de Roteadores e Switches
1 write per “cell” time 1 read per “cell” timeRate of writes/reads determined by switch
fabric speedup
Lookup&
DropPolicy
OutputScheduling
OutputScheduling
OutputScheduling
SwitchFabric
SwitchArbitration
Linecard Linecard
Switch Core
Lookup&
DropPolicy
Lookup&
DropPolicy
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Introdução
� Questões Relevantes:� Dado o sistema e o tráfego de chegada, qual é a qualidade
de serviço experimentada pelo usuário ?
� Dado o tráfego de chegada e a qualidade de serviçodesejada, como o sistema deve ser dimensionado ?
� Dado o sistema e a qualidade de serviço desejada, qual a máxima carga de tráfego ?
26
Introdução
� Sistema=Dispositivo(s)+Princípio(s) de Controle
� Um Único Dispositivo� Um processador roteando pacotes numa rede de dados
� Um multiplexador estatístico numa rede ATM (Switch ATM)� Um servidor de páginas
� Uma Rede de Comunicações/Telecomunicações
� Rede Telefônica (Comutação por Circuito)� Rede de Dados (Comutação por Pacotes)
� Tráfego
� Chamadas Telefônicas (PSTN)
� Pacotes/Células (Voz/Vídeo/Dados)
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Introdução
� Parâmetros de Qualidade de Serviço (QoS)
Parâmetro de QoSPonto de Vista
- Taxa de perda de pacotesTráfego Transportado
- Bloqueio experimentado por requisições de conexão ATM
Tráfego Oferecido
- UtilizaçãoSistema (Desempenho)
- Probabilidade de bloqueio de chamadas
- Distribuição do atraso experimentado por uma seqüência de pacotes
Usuário
28
Introdução
� Relações Qualitativas:� Capacidade do Sistema x Carga de Tráfego ?
(Dada a qualidade de Serviço)
� Qualidade de Serviço x Carga de Tráfego ?
(Dada a capacidade do sistema)
� Qualidade de Serviço x Capacidade do Sistema ?
(Dada a carga de tráfego)
� Relações Quantitativas:� Exigem a utilização de modelos matemáticos
� Modelos de tráfego
� Modelos de dispositivos
Qualidadede serviço
Capacidadedo Sistema
Carga deTráfego
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Introdução
� Objetivos Práticos da Teoria de Tráfego:
� Planejamento da Rede� Dimensionamento� Otimização� Análise de Desempenho
� Controle e Gerência da Rede� Operação Eficiente� Recuperação de Falhas� Gerência de Tráfego� Roteamento
30
Introdução
� Áreas Relacionadas com Estudo de QoS:� Teoria de Probabilidades
� Processos Aleatórios (Estocásticos)� Teoria de Filas� Análise Estatística (Medidas de Tráfego)
� Teoria de Otimização� Teoria de Decisão� Técnicas de Simulação
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Introdução
� Projeto de Redes:� Estudo analítico através de modelos matemáticos
� Modelagem e simulação do segmento de rede em estudo
� Sistema Real versus Modelo� O modelo é uma descrição de apenas uma certa parte ou
propriedade do sistema real
� Os modelos em geral são aproximações
32
Introdução
� Elementos de Redes� Roteadores/Comutadores
� Capacidade de Processamento� Capacidade de Armazenamento (Buffer)� Algoritmos de Escalonamento
� Enlaces de Transmissão� Fibra ótica� Pares metálicos/cabo coaxial� Enlaces de Rádio (Microondas/Satélite)
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LookupIP Address
UpdateHeader
Header ProcessingData Hdr Data Hdr
AddressTable
AddressTable
IP Address Next Hop
QueuePacket
BufferMemory
BufferMemory
Introdução
� Arquitetura Geral do Roteador
34
LookupIP Address
UpdateHeader
Header Processing
AddressTable
AddressTable
LookupIP Address
UpdateHeader
Header Processing
AddressTable
AddressTable
LookupIP Address
UpdateHeader
Header Processing
AddressTable
AddressTable
Data Hdr
Data Hdr
Data Hdr
BufferManager
BufferMemory
BufferMemory
BufferManager
BufferMemory
BufferMemory
BufferManager
BufferMemory
BufferMemory
Data Hdr
Data Hdr
Data Hdr
Introdução
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Estudo Analítico de Redes
� Exemplo de Modelo Determinístico:
TRNB ⋅= R=Taxa de transmissão
T=Tempo de transmissão
NB=Número de bits transmitidos
1 2R bits/s
Enlace de Transmissão
36
Estudo Analítico de Redes
� Muitos fenômenos que ocorrem na rede são de natureza probabilística:� Instante de chegada dos pacotes
� Tamanho dos pacotes (Tempo de Serviço)
� Número de usuários
� Chegadas de requisições em um servidor de páginas
� Condições do canal (taxa de erro)
� Falha de enlaces e nós (confiabilidade)
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Estudo Analítico de Redes
� Exemplo de Modelo Probabilístico:
� Considere dois roteadores, R1 e R2, conectados através de um enlace full-duplex na taxa de 256kbps, com atraso de propagação de 50ms
� Na modelagem é necessário estabelecer qual a taxa de transmissão e o tamanho dos pacotes gerados por R1 em direção a R2
R1 R2256 kbps - Atraso de 50ms
R11λ
1λ
R2
38
Estudo Analítico de Redes
� Parâmetros que Modelam o Tráfego:� Tamanho dos Pacotes (Ti)
� Intervalo entre Pacotes (Ii)
� O comportamento do sistema precisa ser modelado de forma probabilística
R1 R2T6 T5 T4 T3 T2 T1
I1I2I3I4I5
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Estudo Analítico de Redes
� Tráfego numa LAN Ethernet (Bellcore)
� Tamanho dos dados (64 bytes – 1518 bytes) no quadro Ethernet, não incluindo o preâmbulo, cabeçalho ou CRC
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
Tam
anho
dos
Pac
otes
(B
ytes
)
Tempo (s)
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.00
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
Tam
anho
dos
Pac
otes
(B
ytes
)
Tempo (s)
40
Estudo Analítico de Redes
� Tráfego WAN (Internet-Bellcore)
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000
200
400
600
Tam
anho
dos
Pac
otes
(B
ytes
)
Tempo (s)
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Estudo Analítico de Redes
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
200
400
600
Tam
anho
dos
Pac
otes
(B
ytes
)
Tempo (s)
42
Teoria de Probabilidades
� Portanto não podemos estudar o desempenho de redes sem utilizar ferramentas matemáticas apropriadas:
� Teoria de Probabilidades
� Variáveis Aleatórias (V.A.)
� Processos Aleatórios (Estocásticos)
� Considere a realização de um experimento aleatório. O conjunto das possíveis saídas (resultados) do experimento aleatório é denominado espaço amostral (S)
� Dentro do espaço amostral podemos estar observando a ocorrência de um evento específico (A)
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Teoria de Probabilidades
� Definições Básicas:
� A probabilidade é uma medida que associa a cada evento Aum número real P(A) tal que:
� Conceito de Freqüência Relativa:
( ) 10 ≤≤ AP
( )n
nAP A
n ∞→= lim
44
Teoria de Probabilidades
� Principais Leis da Probabilidade:
( ) ( )APAP −=1
( ) 0=φP
( ) ( ) ( ) ( )BAPBPAPBAP ∩−+=∪
( ) 1=SP
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Teoria de Probabilidades
� Variáveis Aleatórias (V.A.)� Uma variável aleatória, X, é uma função que associa um
número real com cada elemento do espaço amostral S.
� V. A. Contínuas� Intervalo entre pacotes� Tempo de atendimento de requisições num servidor� Atraso dos pacotes na rede� Variação do atraso (jitter)
� V. A. Discretas� Número de pacotes transmitidos durante um intervalo� Tamanho dos pacotes recebidos
46
Exemplo de Variáveis Aleatórias
� Suponha que foi medido o tráfego em um servidor de páginas. Os seguintes parâmetros são modelados como uma variável aleatória:
� X=Tamanho do pacote (bytes)
� Y=Intervalo entre pacotes (s)
� Z=Tempo de atendimento da requisição (s)
� As letras maiúsculas X, Y e Z designam a variável aleatória.
� As letras minúsculas designam x, y e z designam números reais, que são os valores que as V.A. podem assumir.
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Exemplo de Variáveis Aleatórias
0.001340 1090 0.001508 174 0.004176 162 0.008140 174 0.011036 162 0.015072 174 0.017892 162 0.020604 150 0.022032 174 0.024300 90 0.024752 162 0.027356 150 0.028692 174 0.030840 90 0.031608 162
0.035844 174 0.038468 162 0.042524 174 0.044044 150 0.045324 162 0.047296 90 0.049248 174 0.050360 150 0.052184 162 0.053820 90 0.056356 174 0.059044 162 0.063028 174 0.065900 162 0.070032 174
� Tráfego LAN Ethernet: Tempo (s) x Tamanho dos dados (bytes)
0.072760 162 0.076728 174 0.079616 162 0.083732 174 0.086476 162 0.090484 174 0.093332 162 0.097492 174 0.101832 162 0.105752 174 0.110332 162 0.114340 174 0.118832 162 0.122752 174 0.125692 162
48
Variáveis Aleatórias
� Caracterização das Variáveis Aleatórias:� Função Distribuição de Probabilidade da variável aleatória X:
� Função Densidade de Probabilidade da variável aleatória X:
( ) ( )xXPxFX ≤=
( ) ( )dx
xdFxf X
X = ( ) 1=∫+∞
∞−dxxf X
( ) ( )aFaX X=≤Pr
( ) ( ) ( )aFbFbXa XX −=≤≤Pr
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Distribuição Exponencial Negativa
� Distribuição Exponencial Negativa:
� Considere como exemplo que o intervalo entre a chegada de pacotes num enlace siga a distribuição exponencial negativa.
� Podemos interpretar graficamente a probabilidade de duração dos intervalos.
( ) ( ) x
X exXPxFλ−−=≤= 1
[ ]λ
1Média == XE
( ) x
X exfλλ −⋅=
50
Exemplo
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1Dis tribuição A cum ulada de P robabilidade
x
P(X
<=
x)
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Variáveis Aleatórias
� Exercício – Desenhe o gráfico da seguinte função distribuição de probabilidade:
� Determine:
( )
≥
<<
≤
=
1 ,1
10 ,
0 ,03
x
xx
x
xFX
( )7,0>XP
( )9,04,0 ≤< XP
52
Variáveis Aleatórias
� Caracterização das Variáveis Aleatórias
� Função Densidade de Probabilidade:
� Utilizando a função densidade de probabilidade podemos calcular:
( ) ( ) ( )∫ ∞−=≤=
x
XX dyyfxXPxF
( )( )
dx
xdFxf X
X = ( ) 1=∫+∞
∞−dxxf X
( ) ( )∫=≤≤b
aX dyyfbXaP
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Variáveis Aleatórias
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5Função Densidade de Probabilidade
x
p(X
=x)
54
Distribuição de Probabilidade
� Principais Distribuições:� Distribuição Uniforme
� Distribuição Normal
� Distribuição Lognormal
� Distribuição de Pareto
Exemplos do Matlab
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55
Estatísticas das Variáveis Aleatórias
� Quando utilizamos variáveis aleatórias na modelagem de experimentos, estamos interessados nas médias estatísticas.
� Estas estatísticas são denominadas de momentos da variável aleatória.
� Em geral, os dois momentos de particular interesse são:
� Valor Médio=Valor Esperado (primeiro momento)
� Variância (segundo momento central)
56
Estatísticas das Variáveis Aleatórias
� Se X é uma variável aleatória discreta, o n-ésimo momento é definido como:
� Se X é uma variável aleatória contínua, o n-ésimo momento é definido como:
[ ] { }∑ =⋅=i
i
n
i
nxXPxXE
[ ] ( )∫+∞
∞−⋅= dxxfxXE X
nn
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Estatísticas das Variáveis Aleatórias
� Se X é uma variável aleatória discreta, o n-ésimo momento
central é definido como:
� Se X é uma variável aleatória contínua, o n-ésimo momento
central é definido como:
[ ] { }∑ =⋅−=−i
i
n
i
nxXPXxXXE )()(
( )[ ] ( )∫+∞
∞−⋅−=− dxxfXxXXE X
nn)(
58
Estatísticas das Variáveis Aleatórias
� A média é designada por:
� A variância é designada por:
� A raiz quadrada da variância é denominada de desvio padrão,
[ ] [ ] 22)(Var σµ =−= XEX
[ ] XX == Eµ
[ ] [ ] 22Var µ−= XEX
σ
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Estimadores
� Os estimadores são utilizados para se obter as estatísticas a partir da repetição (observação) do experimento.
� A média amostral:
� A variância amostral:
∑∑==
==n
i
i
n
i
i xnn
xx
11
1
∑=
−=
n
i
i
n
xx
1
22 )(
σ
60
Exemplo
� Suponha que foi realizada as seguintes medições em um servidor de páginas:
� Intervalo entre requisições
� Tamanho dos pacotes enviados
� Quantidade de pacotes transmitidos por requisição
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61
Exemplo
� Intervalo entre Requisições
0.17120.12190.10240.02710.07160.03960.10920.05840.00950.0138
0.37730.05180.12910.00920.06030.00740.03270.10270.04730.0719
0.07540.29570.06990.04340.03250.12260.01660.02850.12460.0956
0.17000.13080.10880.10280.06240.13790.02860.03080.02810.0066
0.19520.10900.10230.06730.19830.04540.06220.01050.08230.0020
0.03450.16220.12210.11690.02770.10580.01410.05950.11930.1628
0.00180.05320.01120.02590.11010.46760.05790.03580.06130.1031
0.01020.05790.10960.00890.01090.01020.32160.10430.04790.1448
0.01870.00240.04030.00590.03060.49730.02370.29350.03660.2009
0.26070.03370.16050.15570.07880.21880.21880.02730.03570.1493
62
Exemplo
� Intervalo entre Requisições:
� Valor médio estimado: 0,0937 Desvio padrão: 0,0943
� Histograma:
20,45 – 0,50
00,40 – 0,45
10,35 – 0,40
10,30 – 0,35
30,25 – 0,30
30,20 – 0,25
80,15 – 0,20
230,1 – 0,15
180,05 - 0,1
410 – 0,05
Freqüência Observada (fo)
Intervalo (s)
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63
Exemplo
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50
5
10
15
20
25
30
35
40
45Histograma de Ocorrências
Intervalo
Núm
ero
de O
corr
ênci
as
64
Teste de Aderência
� O histograma é similar a uma distribuição exponencial negativa.
� Para verificar a qualidade da aproximação oferecida pela distribuição exponencial negativa aplicamos o teste Chi-quadrado.
� Calcula-se:
� = freqüência esperada pela distribuição teórica
� = freqüência observada (histograma)
ef
of
( ) x
X exf λλ −⋅=
( ) x
X exF λ−−=1
( )D
f
ffk
i ei
eioi =−
=∑=1
2
2χ
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65
Teste de Aderência
0,339320,45 – 0,50
0,5785
0,9865
1,6822
2,8685
4,8914
8,3408
14,2228
24,2528
41,3561
Freqüência Esperada (fei)
0
1
1
3
3
8
23
18
41
Freqüência Observada (foi)
7,2063
0,1606
0,0139
5,4166
1,6121
0,0031
D
0,40 – 0,45
0,35 – 0,40
0,30 – 0,35
0,25 – 0,30
0,20 – 0,25
0,15 – 0,20
0,1 – 0,15
0,05 - 0,1
0 – 0,05
Intervalo
66
Teste de Aderência
� O teste de aderência de Chi-quadrado compara o valor de D com o valor tabelado da distribuição Chi-quadrado:
� onde é o nível de significância, k é o número de classes, k-1 é o número de graus de liberdade e r é o número de estimadores da distribuição em estudo.
� Para que a hipótese seja aceita,
2
1, −−rkαχ
α
2
1, −−<
rkD
αχ
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67
Teste de Aderência
� Para um nível de significância de
25,18823,20918,30715,98713,4429,3426,1794,8653,9402,5582,15610
23,58921,66616,91914,68412,2428,3435,3804,1683,3252,0881,7359
21,95520,02015,50713,36211,0307,3444,5943,4902,7331,6471,3448
20,27818,47514,06712,0179,8036,3463,8222,8332,1671,2390,9897
18,54816,81212,59210,6458,5585,3483,0702,2041,6350,8720,6766
16,75015,08611,0709,2367,2894,3512,3431,6101,1450,5540,4125
14,86013,2779,4887,7795,9893,3571,6491,0640,7110,2970,2074
12,83811,3457,8156,2514,6422,3661,0050,5840,3520,1150,0723
10,5979,2105,9914,6053,2191,3860,4460,2110,1030,0200,0102
7,8796,6353,8412,7061,6420,4550,0640,0160,0040,0000,0001
0,0050,0100,0500,1000,2000,5000,8000,9000,9500,9900.995Graus de
Liberdade
alfa
05,0=α 3,05.01, χχα =−−rk
68
Teste de Aderência
� Considere os seguintes valores médios estimados para o exemplo anterior:
� Intervalo entre requisições= 0,0937s
� Tamanho dos Pacotes=503 bytes
� Quantidade de pacotes transmitidos por requisição=12
� Determine a capacidade mínima para o enlace deste servidor ?
� Quais fatores afetam este dimensionamento ?
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69
Exercício
� Realize o teste de aderência para os dados abaixo, que representam o tamanho dos pacotes (bytes) transmitidos pelo servidor:
669273341554577352352474487506
502528422586485452249542555435
489479543324447387468452551408
433370724569533448530584617571
654365630566384690392441471461
525628444601558488423612438591
451370529612486357537505531469
410550429431456507453473346449
639502541673531565517458582630
470342373489583435587498448512
70
Teoria de Filas
� A teoria de filas é uma importante área de aplicação da teoria de probabilidades.
� A teoria de filas é utilizada para análise e dimensionamento de redes de comunicações e sistemas computacionais.
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71
Teoria de Filas
� Sistemas de fila também são formados em sistemas e redes de comunicações:
� Fila de pacotes aguardando por transmissão.
� Fila de pacotes aguardando por roteamento/comutação.
� Fila de pacotes recebidos na placa de rede de um terminal.
� Fila de chamadas telefônicas aguardando por linha em um PABX.
� Fila de amostras de voz recebidas em um telefone IP.
72
Teoria de Filas
� Um sistema de filas (Q – Queuing System) é um sistema composto por:
� Uma ou mais filas (W – Waiting Line) onde são armazenados os elementos que aguardam por atendimento.
� Um ou mais servidores (S – Servers) que atendem os elementos.
� Um processo de chegada, que define como os elementos chegam ao sistema.
� Um processo de atendimento, que define como os elementos são atendidos pelo sistema.
� O tamanho da população que gera os elementos.
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73
Teoria de Filas
� Sistema de Filas com 1 Fila e vários Servidores
S1
S2
Sm
.
.
.
Fila (W)
População
Processo de Chegada
Processo de Atendimento
Armazenamento
λµ
µ
µ
Servidores (S)
Taxa média de chegada de elementos. Ex.: 5 elementos/segundo.
Taxa média de atendimento de elementos. Ex.: 2 elementos/segundo.
Elemento que chega ao sistema.
Elemento sendo servido. Servidor ocupado.
Sistema de Fila (Q) = Fila (W) + Servidor (S)
Auto
r: P
rof. A
nto
nio
M. A
lbe
rti -
INA
TE
L
74
Teoria de Filas
� Métricas de Desempenho: Ocupação
S1
S2
Sm
.
.
.
Fila (W)
PopulaçãoNº Médio de Elementos na Fila
µ
µ
µ
Servidores (S){ }wE
Nº Médio de Elementos nos Servidores
{ }sE
Nº Médio de Elementos no Sistema de Fila
{ } { } { }sEwEqE +=
Nº Médio de Elementos que Chegam ao Sistema
{ } λ=xE
Nº Médio de Elementos que Saem ao Sistema
{ } µ=yE
Auto
r: P
rof. A
nto
nio
M. A
lbe
rti -
INA
TE
L
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75
Teoria de Filas
� Métricas de Desempenho: Atraso
S1
S2
Sm
.
.
.
Fila (W)
PopulaçãoTempo Médio de Armazenamento
µ
µ
µ
Servidores (S){ }wtE
Tempo Médio de Serviço
{ }µ
1=stE
Tempo Médio no Sistema de Fila
{ } { } { }swq tEtEtE +=
Auto
r: P
rof. A
nto
nio
M. A
lbe
rti -
INA
TE
L
76
Teoria de Filas
� A notação de Kendall foi desenvolvida em 1951 para descrever o comportamento de um sistema de fila em uma única frase:
XSKmBA /////Disciplina de serviço
Tamanho da população
Nº total de elementos no sistema
Processo de chegada
Processo de atendimento
Número de servidores
Auto
r: P
rof. A
nto
nio
M. A
lbe
rti -
INA
TE
L
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77
Teoria de Filas
� Notação de Kendall Expandida:
XSKJmBA //////
Disciplina de serviço
Tamanho da população
Nº total de elementos no sistema
Processo de chegada
Processo de atendimento
Número de servidores
Número de elementos na fila
Auto
r: P
rof. A
nto
nio
M. A
lbe
rti -
INA
TE
L
78
Teoria de Filas
� Processo de Chegada (A)� Descreve o processo que modela as chegadas de elementos ao
sistema.
� As seguintes opções são utilizadas:� M – Markoviano
� Intervalo de tempo entre chegadas é exponencial.
� D – Determinístico� Intervalo de tempo entre chegadas é constante.
� Ek – Erlang
� Hk – Hiperexponencial
� G – Genérico� Intervalo de tempo entre chegadas é tratado de forma
genérica, independente da distribuição.
Auto
r: P
rof. A
nto
nio
M. A
lbe
rti -
INA
TE
L
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79
Teoria de Filas
� Processo de Atendimento (B)� Descreve o processo que modela o atendimento de elementos no
sistema.
� As seguintes opções são utilizadas:� M – Markoviano
� O tempo de serviço de um elemento é exponencial.
� D – Determinístico� O tempo de serviço de um elemento é constante.
� Ek – Erlang
� Hk – Hiperexponencial
� G – Genérico� O tempo de serviço de um elemento é tratado de forma
genérica, independente da distribuição.
Auto
r: P
rof. A
nto
nio
M. A
lbe
rti -
INA
TE
L
80
Teoria de Filas
� Tamanho da População (S)� Descreve o tamanho da população que gera elementos para o
sistema. Tipicamente é considerada como infinito.
� Disciplina de Serviço (X)� Os elementos que aguardam por serviço na fila podem ser
selecionados de acordo com uma regra chamada disciplina de serviço. Dentre as principais disciplinas estão:� FCFS – First Come First Served
� Primeiro elemento que chega é o primeiro a ser atendido.
� LCFS – Last Come First Served
� Último elemento que chega é o primeiro a ser atendido.
� SIRO – Service In a Random Order
� Elementos são atendidos em ordem aleatória.
Auto
r: P
rof. A
nto
nio
M. A
lbe
rti -
INA
TE
L
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81
Teoria de Filas
S1
S2
Sm
.
.
.
Buffer Infinito
População
Processo de Chegada
Processo de Atendimento
λµ
µ
µ
A B
m
KS
X
Auto
r: P
rof. A
nto
nio
M. A
lbe
rti -
INA
TE
L
82
Teoria de Filas
FCFSMM //14/5/9// ∞
S1
S2
S9
.
.
.
Buffer finito com no máximo 5 elementos.
População Infinita
Processo de ChegadaMarkoviano
Processo de AtendimentoMarkoviano
λµ
µ
µA=M
B = M
m=9
K=5+9=14S=∞
X=FCFS
J=5
XSKJmBA //////
Auto
r: P
rof. A
nto
nio
M. A
lbe
rti -
INA
TE
L
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83
Teoria de Filas
� Modelo do Roteador
� Enlaces full duplex
� O processo de roteamento insere pacotes no buffer
84
Modelo Simplificado de Tráfego
clientes/s λ m
clientes/s µ
1
n
M
chegadas entre médio tempo 1 =λ
serviço de médio tempo 1 =µ
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85
Modelo de Sistema com Perdas Puras
� Usuário – Qual a probabilidade do sistema estar ocupado chegar ?
� Sistema – Qual o fator de utilização dos servidores ?
clientes/s λ
0=m1
n
M
clientes/s µ
86
Processo de Tráfego Telefônico
Can
ais
ocupação canal-por-canal Tempo de duração da chamada
6
5
4
3
2
1
volume de tráfego tempo
tempo
Núm
ero
de c
anai
s oc
upad
os
6
5
4
3
2
10
chamada bloqueada
instantes de chegada das chamadas
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87
Processo de Tráfego TelefônicoC
anai
s
ocupação canal-por-canal Tempo de duração da chamada
6
5
4
3
2
1
volume de tráfego tempo
tempo
Núm
ero
de c
anai
s oc
upad
os
6
5
4
3
2
10
chamada bloqueada
instantes de chegada das chamadas
88
Modelo de Sistema com Atrasos Puros
� Usuário – Qual a probabilidade de se esperar muito tempo ?
� Sistema – Qual o fator de utilização dos servidores ?
clientes/s λ∞=m
clientes/s µ
1
n
M
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Modelo de Sistema Misto
clientes/s λ ∞<< m0
clientes/s µ
1
n
M
90
Sistema Sem Perdas
� Nenhum cliente é perdido, nem precisa esperar para ser atendido
clientes/s λ
0=m1
∞
M
clientes/s µ
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91
Fórmula de Little
� Considere um sistema onde:
� Novos clientes chegam na taxa clientes/s
� Condição de Estabilidade:
� Os clientes não se acumulam no sistema
� Ocasionalmente o sistema está vazio
� Conseqüência:
� Os clientes deixam o sistema na taxa
λ
λ
sistema no cliente de médio número=N
sistema no cliente do médio tempo=T
TN ⋅= λ
92
Modelos de Tráfego
� Modelos Clássicos para Rede Telefônica� Modelos de Perda
� Modelos Clássicos para Rede de Dados� Modelos de Filas
� Tráfego consiste de pacotes transmitidos no enlace
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93
Modelo Clássico para Tráfego de Dados
� 1 Servidor + Buffer Infinito
� Cliente=Pacote
� Taxa de chegada de pacotes (pacotes/s)
� L=Tamanho médio dos pacotes (unidades de dados)
� Servidor=Enlace
� C=Velocidade do enlace (unidades de dados/tempo)
� Tempo de Serviço=Tempo de Transmissão dos Pacotes
∞=mpacotes/s λ CL=µ1
94
Processo de Tráfego de Dados
Estado dos Pacotes no Sistema (em espera ou sendo transmitidos)
tempo de espera
tempo
tempo
Núm
ero
de p
acot
esno
sis
tem
a 4
3
2
10
instantes de chegada dos pacotes
tempo de transmissão
10
tempo
Utilização do Enlace
Número de Pacotesno Sistema
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95
Carga de Tráfego
� Redes de Dados Comutada por Pacotes
� A carga de tráfego é adimensional
C
Lλ
µ
λρ ===Tráfego de Carga
L
C== µServiço de Taxa
Tráfego=Pacotes
λ=Chegada de Taxa
96
Exemplo
� Considere um enlace entre dois roteadores. Assuma que:
� Na média, 10 novos pacotes chegam em um segundo
� O tamanho médio dos pacotes é 400 bytes
� A velocidade do enlace é de 64kbps
� Se a velocidade do enlace for aumentada para 150Mbps:
%505,064000
840010==
⋅⋅==
C
Lλρ
%02,00002,010150
8400106
==⋅
⋅⋅==
C
Lλρ
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97
Teoria de Filas
� a/b/m/K
� a=distribuição de probabilidade do intervalo entre chegadas� M (Markov) denota o processo de chegada de Poisson, com
chegadas independentes e identicamente distribuídas (iid)
� b=distribuição de probabilidade do tempo de serviço� M (Markov) denota exponencialmente distribuído� D (Determinístico) denota tempo de serviço constante
� G (Geral) denota tempo de serviço i.i.d. seguindo alguma distribuição geral
� E (Erlang)� H (Hiperexponencial)
� m=número de servidores
� K=número máximo de clientes permitidos no sistema
98
Teoria de Filas
� Notação:� NS=Número médio de pacotes no sistema
� NF=Número médio de pacotes na fila
� NA=Número de pacotes em atendimento
� TS=Tempo no sistema
� TF=Tempo na fila
� TA=Tempo de atendimento
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99
Teoria de Filas
� Teorema de Little
� Aplicando o teorema obtemos as seguintes relações:
[ ] [ ]TSENSE ⋅= λ
[ ] [ ]TAENAE ⋅= λ
[ ] [ ]TFENFE ⋅= λ
100
Fila M/M/1
� Probabilidade de existirem n pacotes no sistema:
� Número de pacotes na fila:
� Número de pacotes no sistema:
� Número de pacotes sendo atendidos:
( )ρρµ
λ
µ
λ−⋅=
−⋅
= 11 n
n
nP
( )λµµ
λ
−=
2
NF
[ ]ρ
ρ
λµ
λ
−=
−==
1nENS
NANFNS +=
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101
Fila M/M/1
� Tempo na fila:
� Tempo no sistema:
� Tempo de atendimento:
( )λµµ
λ
−=TF
λµ −=
1TS
TATFTS +=
TSNS ⋅= λ
µ
1=TA
102
Exercício 1
� Considere uma interface de um roteador recebendo uma média de 100 pacotes/s. O tamanho médio dos pacotes é 1000 bytes. Os pacotes são transmitidos (roteados) para o enlace na taxa de 1Mbps. Considerando que o intervalo entre chegadas e o tamanho dos pacotes podem ser modelados utilizando a distribuição exponencial (M/M/1).
� Determine:
� O tempo médio de atraso dos pacotes devido à fila no roteador e o tempo médio entre a recepção do pacote e a sua transmissão
� O número médio de pacotes no buffer
� Se o buffer for dimensionado para suportar o número médio de pacotes, qual será a probabilidade de perda de pacotes ?
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103
Exercício 1
� Resolução:
� Para 100 pacotes/s com tamanho médio de pacote de 1000bytes, teremos uma taxa de chegada de 100*1000*8=800kbps
� O tempo de atendimento médio (TA) será 8000bits/1Mbps=8ms
� Utilizando as equações do modelo M/M/1:
msC
LTA 8
1===
µ
8,0125
100===
µ
λρ 4
1=
−=
−=
ρ
ρ
λµ
λNS
125==L
Cµ
TSNS ⋅= λ
04,0=TS
104
Exercício 1
� Resolução:
� Para 100 pacotes/s com tamanho médio de pacote de 1000bytes, teremos uma taxa de 100*1000*8=800kbps
� Utilizando as equações do modelo M/M/1, se o buffer for dimensionado para 3200 bytes, as probabilidades de se ter 0, 1, 2 e 3 pacotes no sistema é dada por:
TATFTS += 032,0=TF
[ ] [ ]TFENFE ⋅= λ 2,3=NF
( )ρρ −⋅= 1n
nP2,00 =P 128,02 =P
1024,03 =P16,01 =P
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105
Exercício 1
� Resolução:
� A probabilidade de haver mais que 3 pacotes no sistema (probabilidade de perda) é calculada como:
� A probabilidade de descarte é de 41%
( ) 4096,01 32103 =+++−=> PPPPPn
106
Exercício 2
� Um concentrador recebe mensagens de um grupo de terminais e transmite através de uma única linha de transmissão. O sistema émodelado como uma fila M/M/1. O tempo médio entre chegadas das mensagens é de 4ms. O tempo médio de transmissão é de 3ms.
� Determine:
� Número médio de mensagens no sistema e o atraso total
� Qual aumento percentual na taxa de chegada resulta em dobrar o atraso médio total
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107
Exercício 3
� Num gateway da rede, medidas mostram que os pacotes chegam numa taxa média de 125 pacotes/s e o gateway leva em média 2ms para encaminhar um pacote. Utilizando um modelo de fila M/M/1, analise o gateway.
� a) Qual a probabilidade de estouro do buffer se o gateway possui um buffer para apenas 13 pacotes ?
� b) Qual a capacidade do buffer para manter a taxa de perda de pacotes inferior a 1E-6 ?
108
Multiplexação TDM/FDM
1 2 … m 1 2 … m 1 2 … m
t
1λ1µ
mµ
2µ
Lm
Ci
1⋅=µ
2λ
mλ
m
CCi =
L
Cii =µ
mi
λλ =
Curso de Especialização em Redes e
Segurança de Sistemas - PPGIA - PUCPR
Prof. Marcelo E. Pellenz 55
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Técnicas de Multiplexação
� Comparação: A multiplexação estatística possui menor atraso médio, mas maior variância de atraso. A multiplexação estatística elimina a necessidade de identificar o fluxo de tráfego associado com cada pacote.
mλ
mλ
mλ
mµ
λ µmλmλ
mλ…
…
TDM/FDM
MultiplexaçãoEstatística
λµ −=
1SMTS SMTDM TSm
m
mmTS ⋅=
−=
−=
λµλµ
1
110
Simulação de Fila M/M/1
� Utilizar simulador NS-2 (filamm1.tcl)
� Esboçar o cenário de simulação (nós+enlaces)
� O intervalo entre chegadas e o tempo de serviço seguem distribuição exponencial
� Identificar o tempo médio entre chegadas e o tempo médio de serviço (tamanho médio dos pacotes)
� Calcular analiticamente o número médio de pacotes na fila
� Utilizando os resultados de simulação, traçar o gráfico de comportamento do tamanho do buffer (coluna 5) versus tempo (coluna 1)
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