Matemática Básica
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Parte 6
Parte 6 Matemática Básica 1
A reta numérica
Parte 6 Matemática Básica 2
A reta numérica
(Ir para o GeoGebra)
Parte 6 Matemática Básica 3
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
= 4 + 3 · 110
+ 7 · 1100
+ 5 · 11000
= 4 + 3 · 110
+ 7 · 1102 + 5 · 1
103 .
Como representar o número 4.375 em uma reta numérica?
Parte 6 Matemática Básica 4
Folha 1
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
Parte 6 Matemática Básica 5
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
0 1
Parte 6 Matemática Básica 6
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Parte 6 Matemática Básica 7
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Parte 6 Matemática Básica 8
Folha 2
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5
Parte 6 Matemática Básica 9
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5
Parte 6 Matemática Básica 10
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5
Parte 6 Matemática Básica 11
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
4.3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4.4
Parte 6 Matemática Básica 12
Folha 3
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
4.3 4.31 4.32 4.33 4.34 4.35 4.36 4.37 4.38 4.39 4.4
Parte 6 Matemática Básica 13
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
4.3 4.31 4.32 4.33 4.34 4.35 4.36 4.37 4.38 4.39 4.4
Parte 6 Matemática Básica 14
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
4.37 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4.38
Parte 6 Matemática Básica 15
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
4.37 4.371 4.372 4.373 4.374 4.375 4.376 4.377 4.378 4.379 4.38
Parte 6 Matemática Básica 16
Folha 4
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
4.37 4.371 4.372 4.373 4.374 4.375 4.376 4.377 4.378 4.379 4.38
Parte 6 Matemática Básica 17
Expansões decimais: exemplo 1
4.375 = 4 + 0.3 + 0.07 + 0.005
4.37 4.371 4.372 4.373 4.374 4.375 4.376 4.377 4.378 4.379 4.38
Parte 6 Matemática Básica 18
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.333 . . . = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
= 3 · 110
+ 3 · 1100
+ 3 · 11000
+ · · ·
= 3 · 110
+ 3 · 1102 + 3 · 1
103 + · · ·
= 3 ·[
110
+
(1
10
)2
+
(1
10
)3
+ · · ·]
(∗)= 3 ·
[1/10
1 − (1/10)
]
=13.
Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.
Parte 6 Matemática Básica 19
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
Parte 6 Matemática Básica 20
Folha 5
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
0 1
Parte 6 Matemática Básica 21
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Parte 6 Matemática Básica 22
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Parte 6 Matemática Básica 23
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1
Parte 6 Matemática Básica 24
Folha 6
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Parte 6 Matemática Básica 25
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Parte 6 Matemática Básica 26
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
0.3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0.4
Parte 6 Matemática Básica 27
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.4
Parte 6 Matemática Básica 28
Folha 7
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.4
Parte 6 Matemática Básica 29
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
0.33 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0.34
Parte 6 Matemática Básica 30
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
0.33 0.331 0.332 0.333 0.334 0.335 0.336 0.337 0.338 0.339 0.34
Parte 6 Matemática Básica 31
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·
0.33 0.331 0.332 0.333 0.334 0.335 0.336 0.337 0.338 0.339 0.34
Parte 6 Matemática Básica 32
Folha 8
Expansões decimais: exemplo 2
0.3 = 0.3 + 0.03 + 0.003 + · · ·E assim por diante. . .
0.33 0.331 0.332 0.333 0.334 0.335 0.336 0.337 0.338 0.339 0.34
Parte 6 Matemática Básica 33
Expansões decimais: exemplo 3
0.9 = 0.999 . . . = 0.9 + 0.09 + 0.009 + · · ·
= 9 · 110
+ 9 · 1100
+ 9 · 11000
+ · · ·
= 9 · 110
+ 9 · 1102 + 9 · 1
103 + · · ·
= 9 ·[
110
+
(1
10
)2
+
(1
10
)3
+ · · ·]
(∗)= 9 ·
[1/10
1 − (1/10)
]
= 1.
Em (∗) usamos a fórmula para a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica.
Parte 6 Matemática Básica 34
Expansões decimais: exemplo 3
0.9 = 1
Moral:existem números reais que possuemduas expressões decimais diferentes!
Parte 6 Matemática Básica 35
Expansões decimais
(Ir para o GeoGebra)
Parte 6 Matemática Básica 36
Folha 9
Expansões decimais
Exploraremos mais esse assunto posteriormente!
Parte 6 Matemática Básica 37
Números reais algebricamente(axiomaticamente): R é um corpo
Parte 6 Matemática Básica 38
Números reais algebricamente (axiomaticamente)
A partir do conjunto dos números naturais,é possível construir o conjunto dos números reais (R):
um corpo ordenado completo.
Não faremos esta construção aqui,mas explicaremos o significado de corpo ordenado completo.
Parte 6 Matemática Básica 39
R é um corpo
O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:
(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a, b ∈ R.
(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a, b ∈ R.
(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a, b, c ∈ R.
(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a, b, c ∈ R.
(C5) Existência dos elementos neutros:∃ 0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃ 1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.
(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.
(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R− {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.
Parte 6 Matemática Básica 40
Folha 10
Observações
� A notaçãoab
significa a ·b−1. A notação a−b significa a+(−b).
� O conjunto dos números racionais (Q) e o conjunto dosnúmeros complexos (C) munidos com as operações usuais deadição e multiplicação também são exemplos de corpos, poissatisfazem as sete propriedades que caracterizam um corpo.
� Existem estruturas algébricas que não satisfazem algumasdas propriedades que caracterizam um corpo. Por exemplo,a multiplicação de matrizes não é comutativa:
�a =
[1 11 0
], �b =
[1 10 1
], �a · �b �= �b · �a.
Parte 6 Matemática Básica 41
Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpoTodas as proposições abaixo são verdadeiras!
� O elemento neutro da adição é único. [PA01]� O elemento neutro da multiplicação é único. [PA02]� 0 + a = a, ∀a ∈ R. [PA03]� 1 · a = a, ∀a ∈ R. [PA04]� Cada número real possui um único elemento simétrico. [PA05]� Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso. [PA06]� −a + a = 0, ∀a ∈ R. [PA07]� (1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}. [PA08]� −(−a) = a, ∀a ∈ R. [PA09]� 1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0}. [PA10]� (b + c) · a = b · a + c · a, ∀a, b, c ∈ R. [PA11]� a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R. [PA12]� (−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R. [PA13]� −(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a, b ∈ R. [PA14]� (−a) · (−b) = a · b, ∀a ∈ R. [PA15]
Parte 6 Matemática Básica 42
Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpoTodas as proposições abaixo são verdadeiras!
�a · b
c= a · b
c=
ac· b, ∀a, b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA16]
� −1a=
−1a
=1−a
, ∀a ∈ R− {0}. [PA17]
�1
a · b=
1a· 1
b, ∀a, b ∈ R− {0}. [PA18]
�a · bc · d
=ac· b
d, ∀a, b ∈ R, ∀c, d ∈ R− {0}. [PA19]
�a + b
c=
ac+
bc
, ∀a, b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA20]
� −(a + b) = −a − b, ∀a, b ∈ R. [PA21]
� −a + bc
=−a − b
c, ∀a, b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}. [PA22]
Parte 6 Matemática Básica 43
Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpoTodas as proposições abaixo são verdadeiras!
�1
a/b=
ba
, ∀a, b ∈ R− {0}. [PA23]
�a/bc/d
=ab· d
c, ∀a ∈ R, ∀b, c, d ∈ R− {0}. [PA24]
Parte 6 Matemática Básica 44
Folha 11
[PA01]
O elemento neutro da adição é único.
Demonstração. Sejam 0 e 0′ dois elementos neutros para a adição.Então:
0′ (1)= 0′ + 0 (2)
= 0 + 0′ (3)= 0,
onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).
Parte 6 Matemática Básica 45
[PA02]
O elemento neutro da multiplicação é único.
Demonstração. Sejam 1 e 1′ dois elementos neutros para a multiplicação.Então:
1′ (1)= 1′ · 1 (2)
= 1 · 1′ (2)= 1,
onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C2) e em (3) usamos (C5).
Parte 6 Matemática Básica 46
[PA03]
0 + a = a, ∀a ∈ R.
Demonstração. Temos que:
0 + a (1)= a + 0 (2)
= a,
onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C5).
Parte 6 Matemática Básica 47
[PA04]
1 · a = a, ∀a ∈ R.
Demonstração. Temos que:
1 · a (1)= a · 1 (2)
= a,
onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C5).
Parte 6 Matemática Básica 48
Folha 12
[PA05]
Cada número real possui um único elemento simétrico.
Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos simétricos de um númeroreal a. Temos que
a′ (1)= 0 + a′ (2)
= (a + a′′) + a′ (3)= (a′′ + a) + a′ (4)
= a′′ + (a + a′) (5)= a′′ + 0 (6)
= a′′,
onde, em (1) usamos [PA03], em (2) usamos (C6), em (3) usamos (C2),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6) e em (6) usamos (C5).
Parte 6 Matemática Básica 49
[PA06]
Cada número real diferente de zero possui um único elemento inverso.
Demonstração. Sejam a′ e a′′ dois elementos elementos inversos de umnúmero real a �= 0. Temos que
a′ (1)= a′ · 1 (2)
= a′ · (a · a′′) (3)= (a′ · a) · a′′ (4)
= (a · a′) · a′′ (5)= 1 · a′′ (6)
= a′′,
onde, em (1) usamos (C5), em (2) usamos (C7), em (3) usamos (C3),em (4) usamos (C2), em (5) usamos (C7) e em (6) usamos [PA04].
Parte 6 Matemática Básica 50
[PA07]
−a + a = 0, ∀a ∈ R.
Demonstração. Exercício.
Parte 6 Matemática Básica 51
[PA08]
(1/a) · a = 1, ∀a ∈ R− {0}.
Demonstração. Exercício.
Parte 6 Matemática Básica 52
Folha 13
[PA09]
−(−a) = a, ∀a ∈ R (o simétrico do simétrico de a é a).
Demonstração. Basta mostrar que (−a) + a = 0, pois (−a) + (−(−a))também é igual a 0 e o elemento simétrico é único. Agora
− a + a (1)= a + (−a) (2)
= 0,
onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C6).
Parte 6 Matemática Básica 53
[PA10]
1/(1/a) = a, ∀a ∈ R− {0} (o inverso do inverso de a é a).
Demonstração. Basta mostrar que (1/a) · a = 1, pois (1/a) · (1/(1/a))também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora
(1/a) · a (1)= a · (1/a) (2)
= 1,
onde, em (1) usamos (C2) e em (2) usamos (C7).
Parte 6 Matemática Básica 54
[PA11]
(b + c) · a = b · a + c · a, ∀a, b, c ∈ R.
Demonstração. Temos que
(b + c) · a (1)= a · (b + c) (2)
= a · b + a · c (3)= b · a + c · a,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C4) e em (3) usamos (C2).
Parte 6 Matemática Básica 55
[PA12]
a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R.
Demonstração. Temos que
0 (1)= a · 0 − a · 0 (2)
= a · (0 + 0)− a · 0 (3)= (a · 0 + a · 0)− a · 0
(4)= a · 0 + (a · 0 − a · 0) (5)
= a · 0 + 0 (6)= a · 0,
onde, em (1) usamos (C6), em (2) usamos (C5), em (3) usamos (C4),em (4) usamos (C3), em (5) usamos (C6), e em (6) usamos (C5). Istomostra que a · 0 = 0. Por (C2), segue-se que 0 · a = a · 0 = 0.
Parte 6 Matemática Básica 56
Folha 14
[PA13]
(−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R.
Demonstração. Basta mostrar que a+(−1) ·a = 0, pois a+(−a) tambémé igual a 0 e o elemento simétrico é único. Temos que
a + (−1) · a (1)= 1 · a + (−1) · a (2)
= (1 + (−1)) · a (3)= 0 · a (4)
= 0,
onde, em (1) usamos [PA04], em (2) usamos [PA11], em (3) usamos(C6), e em (4) usamos [PA12]. Isto mostra que (−1) · a = −a. Por (C2),segue-se que a · (−1) = (−1) · a = −a.
Parte 6 Matemática Básica 57
[PA14]
−(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a, b ∈ R.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
− (a · b) (1)= (−1) · (a · b) (2)
= ((−1) · a) · b (3)= (−a) · b,
onde, em (1) usamos [PA13], em (2) usamos (C3), e em (3) usamos[PA13]. Para a segunda igualdade:
− (a ·b) (4)= (−1) · (a ·b) (5)
= (−1) · (b ·a) (6)= ((−1) ·b) ·a (7)
= (−b) ·a (8)= a · (−b),
onde, em (4) usamos [PA13], em (5) usamos (C2), em (6) usamos (C3),em (7) usamos [PA13], e em (8) usamos (C2).
Parte 6 Matemática Básica 58
[PA15]
(−a) · (−b) = a · b, ∀a, b ∈ R.
Demonstração. Temos que:
(−a) · (−b) (1)= −(a · (−b)) (2)
= −(−(a · b)) (3)= a · b,
onde, em (1) usamos [PA14], em (2) usamos [PA14], e em (3) usamos[PA09].
Parte 6 Matemática Básica 59
[PA16]
a · bc
= a · bc=
ac· b, ∀a, b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
a · bc
(1)= (a · b) · 1
c(2)= a ·
(b · 1
c
)(3)= a · b
c,
onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos (C3), eem (3) usamos a definição do símbolo “/”. A segunda desigualdade ficacomo exercício.
Parte 6 Matemática Básica 60
Folha 15
[PA17]
−1a=
−1a
=1−a
, ∀a ∈ R− {0}.
Demonstração. Para a primeira igualdade:
− 1a
(1)= (−1) · 1
a(2)=
−1a
,
onde, em (1) usamos [PA13] e em (2) usamos a definição do símbolo “/”.Para a segunda igualdade: basta mostrar que (−a) · (−1/a) = 1, pois(−a) · 1/(−a) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:
(−a) · −1a
(3)= (−a) ·
(−1
a
)(4)= a · 1
a(5)= 1,
onde, em (3) usamos a primeira equação, em (4) usamos [PA15], e em(5) usamos (C7).
Parte 6 Matemática Básica 61
[PA18]
1a · b
=1a· 1
b, ∀a, b ∈ R− {0}.
Demonstração. Basta mostrar que (a ·b) · ((1/a) · (1/b)) = 1, pois (a ·b) ·1/(a · b) também é igual a 1 e o elemento inverso é único. Agora:
(a·b)·(
1a· 1
b
)(1)= (b·a)·
(1a· 1
b
)(2)=
(b ·
(a · 1
a
))·1b
(3)= (b·1)·1
b(4)= b·1
b(5)= 1,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),em (4) usamos (C5), e em (5) usamos (C7).
Parte 6 Matemática Básica 62
[PA19]
a · bc · d
=ac· b
d, ∀a, b,∈ R, ∀c, d ∈ R− {0}.
Demonstração. Temos que:
a · bc · d
(1)= (a · b) ·
(1
c · d
)(2)= (a · b) ·
(1c· 1
d
)(3)= (a · b) ·
(1d· 1
c
)(4)= a ·
(b · 1
d
)· 1
c(5)= a · b
d· 1
c(6)= a · 1
c· b
d(7)=
ac· b
d,
onde, em (1) usamos a definição do símbolo “/”, em (2) usamos [PA18],em (3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos a definiçãodo símbolo “/”, em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição dosímbolo “/”.
Parte 6 Matemática Básica 63
[PA20]
a + bc
=ac+
bc
, ∀a, b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}.
Demonstração. Exercício.
Parte 6 Matemática Básica 64
Folha 16
[PA21]
−(a + b) = −a − b, ∀a, b,∈ R.
Demonstração. Exercício.
Parte 6 Matemática Básica 65
[PA22]
−a + bc
=−a − b
c, ∀a, b,∈ R, ∀c ∈ R− {0}.
Demonstração. Exercício.
Parte 6 Matemática Básica 66
[PA23]
1ab
=ba
, ∀a, b ∈ R− {0}.
Demonstração. Exercício.
Parte 6 Matemática Básica 67
[PA24]
abcd
=ab· d
c, ∀a ∈ R, ∀b, c, d ∈ R− {0}.
Demonstração. Exercício.
Parte 6 Matemática Básica 68
Folha 17
[PA25]
∀a, b, c ∈ R, a = b ⇒ a + c = b + c e a = b ⇒ a · c = b · c.
Demonstração. Basta usar o princípio da substituição. Se a = b, entãoa + c = b + c. Do mesmo modo, se a = b, então a · c = b · c.
Parte 6 Matemática Básica 69
[PA26]
∀a, b, c ∈ R, a+ c = b + c ⇒ a = b e a · c = b · c e c �= 0 ⇒ a = b.
Demonstração. Observe:
a + c = b + c (1)⇒ (a + c)− c = (b + c)− c (2)⇒ a + (c − c) = b + (c − c)(3)⇒ a + 0 = b + 0 (4)⇒ a = b,
onde, em (1) usamos [PA25], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5). Se c �= 0, então existe 1/c. Logo:
a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1
c(6)⇒ a · (c · 1
c) = b · (c · 1
c)
(7)⇒ a · 1 = b · 1 (8)⇒ a = b,
onde, em (5) usamos [PA25], em (6) usamos (C3), em (7) usamos (C7),e em (8) usamos (C5).
Parte 6 Matemática Básica 70
Observação
Na Passo (5) da demonstração dada para [PA26], o certo seria escrever
a · c = b · c e c �= 0 (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1
c,
no lugar de simplesmente
a · c = b · c (5)⇒ (a · c) · 1c= (b · c) · 1
c.
Note que a condição c �= 0 foi indicada anteriormente e, então, ela ficousubentendida. Essa é uma prática comum. Moral: fique atento ao que foisuposto anteriormente!
Parte 6 Matemática Básica 71
[PA27]
∀a, b, c ∈ R, a + c = b + c ⇔ a = b.
Demonstração. (⇒) [PA26]. (⇐) [PA25].
Parte 6 Matemática Básica 72
Folha 18
[PA28]
∀a, b ∈ R, ∀c ∈ R− {0}, a · c = b · c ⇔ a = b.
Demonstração. (⇒) [PA26]. (⇐) [PA25].
Parte 6 Matemática Básica 73
[PA29]
∀a, b ∈ R, a · b = 0 ⇔ a = 0 ou b = 0.
Demonstração.
(⇐) Se a = 0, então a · b = 0 · b = 0 por [PA12]. Se b = 0, entãoa · b = a · 0 = 0 por [PA12]. Assim, se a = 0 ou b = 0, então a · b = 0.
(⇒) Sejam a, b ∈ R tais que a · b = 0. Se a = 0, então a = 0 ou b = 0.Se a �= 0, então existe 1/a e, portanto,
a · b = 0 (1)=⇒ b · a = 0 (2)
=⇒ b · a · 1a= 0 · 1
a(3)=⇒ b · 1 = 0 (4)
=⇒ b = 0,
onde, em (1) usamos (C2), em (2) usamos [PA28], em (3) usamos (C7)e [PA12], e em (4) usamos (C5). Assim, se a �= 0, então b = 0 e,consequentemente, a = 0 ou b = 0. Em todos os casos, se a · b = 0,então a = 0 ou b = 0.
Parte 6 Matemática Básica 74
[PA30]
∀a, b, c ∈ R, a · c = b · c ⇔ a = b ou c = 0.
Demonstração.
(⇐) Se a = b, então a·c = b·c por [PA25]. Se c = 0, então a·c = a·0 = 0e b · c = b · 0 = 0 por [PA12]. Logo, a · c = 0 = b · c.
(⇒) Se c = 0, então a = b ou c = 0 (nada há para se fazer). Se c �= 0,então por [PA28], se a · c = b · c, então a = b e, assim, a = b ou c = 0.Em todos os casos, se a · c = b · c, então a = b ou c = 0.
Parte 6 Matemática Básica 75
[PA31]
ab=
cd
⇔ a · d = b · c, ∀a, c ∈ R, ∀b, d ∈ R− {0}.
Demonstração. Exercício.
Parte 6 Matemática Básica 76
Folha 19
[PA32]
ab+
cd
=a · db · d
+b · cb · d
=a · d + b · c
b · d, ∀a, c ∈ R, ∀b, d ∈ R− {0}.
Demonstração. Exercício.
Parte 6 Matemática Básica 77
Usando os axiomas e as propriedadesde números reais para resolver
equações
Parte 6 Matemática Básica 78
Resolvendo equações. . .Estas propriedades são úteis para se resolver equações!
2 · x − 5 = 9[PA27]⇐⇒ (2 · x − 5) + 5 = 9 + 5
(C3)⇐⇒ 2 · x + (−5 + 5) = 9 + 5
[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 = 14
(C5)⇐⇒ 2 · x = 14
[PA28]⇐⇒ 12· (2 · x) =
12· 14
(C3)⇐⇒(
12· 2
)· x =
12· 14
[PA08]⇐⇒ 1 · x =12· 14
[PA04]⇐⇒ x = 7.
Parte 6 Matemática Básica 79
Resolvendo equações. . .
x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x(C6)⇐⇒ x · x − x = 0(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0(C4)⇐⇒ x · (x − 1) = 0
[PA29]⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0[PA27]⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1(C3)⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1
[PA07]⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1(C5)⇐⇒ x = 0 ou x = 1
Parte 6 Matemática Básica 80
Folha 20
O que está errado neste argumento?
x = 1 ⇐⇒ x2 = x
⇐⇒ x2 − 1 = x − 1
⇐⇒ (x − 1) · (x + 1) = x − 1
⇐⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1
=x − 1x − 1
⇐⇒ x + 1 = 1
⇐⇒ x = 0
É verdade que x = 1 ⇒ x2 = x , mas é falso que x2 = x ⇒ x = 1.
Apenas para x �= 1,(x − 1) · (x + 1)
x − 1=
x − 1x − 1
⇔ (x − 1) · (x + 1) = x − 1.
�
�
Parte 6 Matemática Básica 81
Resolvendo equações. . .
Verdadeiro ou falso?
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐= 2 · x2 − 5 · x = 0 (x = 0 é um contraexemplo)
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 �= 0
�
�
�
�
Parte 6 Matemática Básica 82
Cuidado com as implicações e equivalências!
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
=⇒ x · (2 · x − 5) = 0
=⇒ x = 0 ou 2 · x − 5 = 0
=⇒ x = 0 ou x =52
Cuidado!
Toda solução de2 · x2 − 5 · x
x − x3 = 0 é solução de 2 · x2 − 5 · x = 0,
mas nem toda solução de 2 · x2 − 5 · x = 0 é solução de2 · x2 − 5 · x
x − x3 = 0!
Parte 6 Matemática Básica 83
Cuidado com as implicações e equivalências!
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
=⇒ x · (2 · x − 5) = 0
=⇒ x = 0 ou 2 · x − 5 = 0
=⇒ x = 0 ou x =52
Cuidado!
Você pode usar implicações (⇒) para resolver equações, mas
nem todo número obtido no final pode ser solução da equação original.
Parte 6 Matemática Básica 84
Folha 21
Cuidado com as implicações e equivalências!
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0
=⇒ x · (2 · x − 5) = 0
=⇒ x = 0 ou 2 · x − 5 = 0
=⇒ x = 0 ou x =52
Cuidado!
É preciso tirar a “prova real”!
x = 0 não é solução da equação2 · x2 − 5 · x
x − x3 = 0!
Parte 6 Matemática Básica 85
Cuidado com as implicações e equivalências!
Usando-se equivalências, esta particularidade não aparece!
2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 �= 0
⇐⇒ x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1 − x2) �= 0
⇐⇒ x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1 − x) · (1 + x) �= 0
⇐⇒[x = 0 ou x =
52
]e
[x �= 0 e x �= 1 e x �= −1
]
⇐⇒ x =52
Parte 6 Matemática Básica 86
Números reais algebricamente(axiomaticamente): R é ordenado
Parte 6 Matemática Básica 87
R é ordenado
Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R+, que satisfaz as seguintes propriedades:
(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.
Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R+.
(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.
Em símbolos: se a, b ∈ R+, então a + b ∈ R+ e a · b ∈ R+.
Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R+.
Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R−.
Escrevemos a < b para indicar que b − a > 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.
Parte 6 Matemática Básica 88
Folha 22
Números reais positivos e a reta numérica
−5 −4 −3 −2 −1 0 11 2 3 4 5
números reais positivosnúmeros reais negativos
Parte 6 Matemática Básica 89
Observações
� Fato: a > 0 ⇔ −a < 0. Prova:
a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ −(−a) é positivo⇔ −a é negativo ⇔ − a < 0,
onde, na segunda equivalência, usamos [PA09].
� Fato: a < b ⇔ b > a. Prova:
a < b ⇔ b − a > 0 ⇔ −(b − a) < 0 ⇔ −b − (−a) < 0⇔ − b + a < 0 ⇔ a − b < 0 ⇔ b > a.
Exercício: justifique cada umas das equivalências.
� Corolário: a > b ⇔ a − b > 0. Prova: a > b ⇔ b < a ⇔a − b > 0. Exercício: justifique cada umas das equivalências.
Parte 6 Matemática Básica 90
Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado
Todas as proposições abaixo são verdadeiras!
� ∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]� ∀a, b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c. [PO02]� ∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c. [PO03]� ∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c. [PO04]� ∀a, b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c. [PO05]� ∀a, b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b. [PO06]� ∀a, b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c. [PO07]� ∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0 ⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0 ⇔ 1/a < 0. [PO08]� ∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c. [PO09]� ∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c. [PO10]� ∀a, b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]� ∀a, b ∈ R, a · b > 0 ⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]� ∀a, b ∈ R, a · b < 0 ⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]� ∀a ∈ R, a �= 0 ⇔ a2 > 0. [PO16]
Parte 6 Matemática Básica 91
[PO01]
∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia).
Demonstração. Seja a ∈ R. Por (01) uma e somente uma das trêscondições ocorre: (1) a é positivo, (2) a = 0, (3) −a é positivo. Assim,uma e somente uma das três condições ocorre: (1) a > 0, (2) a = 0,(3) a < 0.
Parte 6 Matemática Básica 92
Folha 23
[PO02]
∀a, b, c ∈ R, a < b ⇒ a + c < b + c.
Demonstração. Temos que
a < b (1)=⇒ b − a > 0 (2)
=⇒ b + 0 − a > 0 (3)=⇒ b + (c − c)− a > 0
(4)=⇒ (b + c)− (c + a) > 0 (5)
=⇒ (b + c)− (a + c) > 0(6)=⇒ a + c < b + c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (C5), em (3)usamos (C6), em (4) usamos (C3) e [PA21], em (5) usamos (C2), e em(6) usamos a definição de “<”.
Parte 6 Matemática Básica 93
[PO03]
∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇒ a · c < b · c.
Demonstração. Temos que
a < b e c > 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c > 0 (2)
=⇒ (b − a) · c > 0(3)=⇒ b · c − a · c > 0 (4)
=⇒ a · c < b · c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em (3)usamos [PA11], e em (4) usamos a definição de “<”.
Parte 6 Matemática Básica 94
[PO04]
∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇒ a · c > b · c.
Demonstração. Temos que
a < b e c < 0 (1)=⇒ b − a > 0 e c < 0 (2)
=⇒ b − a > 0 e − c > 0(3)=⇒ (b − a) · (−c) > 0 (4)
=⇒ b · (−c)− a · (−c) > 0(5)=⇒ − b · c + a · c > 0 (6)
=⇒ a · c − b · c > 0(7)=⇒ a · c > b · c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos a definição de“<”, em (3) usamos (O2), em (4) usamos [PA11], em (5) usamos [PA14]e [PA09], em (6) usamos (C2), e em (7) usamos a definição de “>”.
Parte 6 Matemática Básica 95
[PO05]
∀a, b, c ∈ R, a < b e b < c ⇒ a < c.
Demonstração. Temos que
a < b e b < c (1)=⇒ b − a > 0 e c − b > 0 (2)
=⇒ (b − a) + (c − b) > 0(3)=⇒ (c − b) + (b − a) > 0 (4)
=⇒ c + (−b + b)− a > 0(5)=⇒ c + 0 − a > 0 (6)
=⇒ c − a > 0 (7)=⇒ a < c,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos (O2), em(3) usamos (C2), em (4) usamos (C3), em (5) usamos [PA07], em (6)usamos (C5), e em (7) usamos a definição de “<”.
Parte 6 Matemática Básica 96
Folha 24
[PO06]
∀a, b ∈ R, ou a < b, ou a = b ou a > b.
Demonstração. Sejam a, b ∈ R. Por [PO01], uma e somente uma dastrês condições ocorre: (1) b − a > 0, (2) b − a = 0, (3) b − a < 0. Assim,usando as definições de “>” e “<” e as propriedades [PA25], (C3), [PA03],[PA07] e (C6), concluímos que uma e somente uma das três condiçõesocorre: (1) b > a, (2) a = b, (3) b < a.
Parte 6 Matemática Básica 97
[PO07]
∀a, b, c ∈ R, a < b ⇔ a + c < b + c.
Demonstração.
(⇒) Verdadeira por [PO02].
(⇐) Sejam a, b, c ∈ R tais que a + c < b + c. Temos que
a + c < b + c (1)=⇒ (a + c)− c < (b + c)− c(2)=⇒ a + (c − c) < b + (c − c)(3)=⇒ a + 0 < b + 0 (4)
=⇒ a < b,
onde, em (1) usamos [PO02], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C6),e em (4) usamos (C5).
Parte 6 Matemática Básica 98
[PO08]
∀a ∈ R− {0}, (i) a > 0 ⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0 ⇔ 1/a < 0
Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.
(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que a > 0, mas 1/a = 0ou 1/a < 0. Se 1/a = 0, então por [PA12], a · 1/a = a · 0 = 0, umacontradição, pois a · 1/a = 1. Se 1/a < 0, então −(1/a) > 0 e, portanto,a · (−(1/a)) > 0. Mas a · (−(1/a)) = −(a · 1/a) = −1, por [PA14] e (C7).Concluímos então que −1 > 0, um absurdo.
(⇐) Basta usar (⇒) substituindo “a” por “1/a” e observar que, por [PA10],1/(1/a) = a.
Parte 6 Matemática Básica 99
[PO09]
∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a < b ⇔ a · c < b · c.
Demonstração.
(⇒) Verdadeira por [PO03].
(⇐) Sejam a, b ∈ R e c > 0 tais que a ·c < b ·c. Como c > 0, por [PO08],1/c > 0. Temos que
a · c < b · c(1)=⇒ (a · c) · (1/c) < (b · c) · (1/c)(2)=⇒ a · (c · 1/c) < b · (c · 1/c)(3)=⇒ a · 1 < b · 1 (4)
=⇒ a < b,
onde, em (1) usamos [PO03], em (2) usamos (C3), em (3) usamos (C7),e em (4) usamos (C5).
Parte 6 Matemática Básica 100
Folha 25
[PO10]
∀a, b ∈ R, ∀c < 0, a < b ⇔ a · c > b · c.
Demonstração. Exercício.
Parte 6 Matemática Básica 101
[PO11]
∀a, b ∈ R, (i) a < b ⇔ −a > −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b.
Demonstração. Vamos demonstrar (i). A demonstração de (ii) ficará comoexercício.
(⇒) Temos que
a < b(1)=⇒ b − a > 0 (2)
=⇒ − (b − a) < 0 (3)=⇒ − b − (−a) < 0
(4)=⇒ − a > −b,
onde, em (1) usamos a definição de “<”, em (2) usamos que x < 0 se, esomente se, −x > 0 e, também, usamos [PA09], em (3) usamos [PA21],e em (4) usamos a definição de “>”.
(⇐) Se −a > −b, então −b < −a. Usando (⇒), concluímos que−(−b) > −(−a). Por [PA09], segue-se que b > a. Logo, a < b.
Parte 6 Matemática Básica 102
[PO12]: Parte 1
∀a, b ∈ R, a · b > 0 ⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0).
Demonstração.(⇒) Se a · b > 0, então a �= 0, pois, caso contrário, a · b = 0 · b = 0, umacontradição. Assim, ou a > 0 ou a < 0. Se a > 0, então 1/a > 0 por[PO08]. Por (O2), (1/a)·(a·b) > 0. Mas (1/a)·(a·b) = (1/a·a)·b = 1·b =b por (C3), [PA08] e [PA04]. Logo b > 0. Assim, a > 0 e b > 0. Se a < 0,então 1/a < 0 por [PO08]. Logo −(1/a) > 0. Por (O2), −(1/a)·(a·b) > 0.Mas − (1/a) · (a · b) = −(1/a · a) · b = −1 · b = −b por (C3), [PA08] e[PA13]. Logo −b > 0 e, portanto, b < 0. Assim, a < 0 e b < 0. Em todosos casos, concluímos que se a · b > 0, então (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 eb < 0).
(⇐) Se a > 0 e b > 0, então a · b > 0 por (O2). Se a < 0 e b < 0, então−a > 0 e −b > 0. Logo (−a) · (−b) > 0 por (O2). Mas, (−a) · (−b) = a ·bpor [PA15]. Assim, a · b > 0. Desta maneira, mostramos então que se(a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0), então a · b > 0.
Parte 6 Matemática Básica 103
[PO12]: Parte 2
∀a, b ∈ R, a · b < 0 ⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0).
Demonstração. Exercício.
Parte 6 Matemática Básica 104
Folha 26
[PO13]
Se a ∈ R e a > 0, então a2 > 0.
Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a2 = a · a e (O2).
Parte 6 Matemática Básica 105
[PO14]
A sentença “se a ∈ R e a2 > 0, então a > 0” é falsa!
Demonstração. Exercício. Sugestão: apresente um contraexemplo paraa sentença.
Parte 6 Matemática Básica 106
[PO15]
Se a ∈ R e a < 0, então a2 > 0.
Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a2 = a · a = (−a) · (−a) =(−a)2, [PO11] e (O2).
Parte 6 Matemática Básica 107
[PO16]
a �= 0 ⇔ a2 > 0.
Demonstração. Exercício. Sugestão: para a �= 0, separe nos dois casospossíveis: a > 0 e a < 0.
Parte 6 Matemática Básica 108
Folha 27
[PO17]
(i) a > 0 ⇔ a3 > 0, (ii) a < 0 ⇔ a3 < 0.
Demonstração. Exercício. Sugestão: use que a3 = a2 · a e aspropriedades e os axiomas anteriores.
Parte 6 Matemática Básica 109
Observações� A notação a ≥ b indica que a = b ou a > b. Ela deve ser lida
da seguinte maneira: a é maior do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≥ 3 e 7 ≥ 5.
� A notação a ≤ b indica que a = b ou a < b. Ela deve serlida da seguinte maneira: a é menor do que ou igual a b. Sãoverdadeiras as afirmações 3 ≤ 3 e 5 ≤ 7.
� Todas as propriedades enunciadas anteriormente continuamverdadeiras se trocarmos “>” por “≥” e/ou “<” por “≤”.
� Alguns autores usam o símbolo R+ para indicar os reais não-negativos e o símbolo R+∗ para indicar os reais positivos.
� O conjunto dos números racionais (Q) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação também é exemplode um corpo ordenado.
Parte 6 Matemática Básica 110
Observações
� O conjunto dos números complexos (C) munido com asoperações usuais de adição e multiplicação não pode serordenado com uma estrutura compatível com a ordenaçãode R.
De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamentei �= 0. O número i não é maior do que 0, pois
i > 0 ⇒ i · i > i · 0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então −i > 0e, portanto,
−i > 0 ⇒ (−i)·(−i) > (−i)·0 ⇒ i2 > 0 ⇒ −1 > 0 (absurdo).
Parte 6 Matemática Básica 111
Resolvendo inequações. . .
2 · x − 4 > 0[PO07]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 0 + 4
[PA03]⇐⇒ (2 · x − 4) + 4 > 4
(C3)⇐⇒ 2 · x + (−4 + 4) > 4
[PA07]⇐⇒ 2 · x + 0 > 4
(C5)⇐⇒ 2 · x > 4
[PO09]⇐⇒ 12· (2 · x) >
12· 4
(C3)⇐⇒(
12· 2
)· x >
12· 4
[PA08]⇐⇒ 1 · x >12· 4
[PA04]⇐⇒ x >12· 4 = 2
Parte 6 Matemática Básica 112
Folha 28
Resolvendo inequações. . .
(x − 5) · (x − 1) > 0[PO12]⇐⇒ (x − 5 > 0 e x − 1 > 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 < 0)
[PO07, PA03, C3, C5]⇐⇒ (x > 5 e x > 1) ou (x < 5 e x < 1)
⇐⇒ x > 5 ou x < 1
Parte 6 Matemática Básica 113
Intervalos
Sejam a, b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b},[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Parte 6 Matemática Básica 114
Intervalos
Sejam a, b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b},[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b
Parte 6 Matemática Básica 115
Intervalos
Sejam a, b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b},[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a, b] é um intervalo fechado
Parte 6 Matemática Básica 116
Folha 29
Intervalos
Sejam a, b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b},[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a, b] é um intervalo fechado, (a, b) é um intervalo aberto
Parte 6 Matemática Básica 117
Intervalos
Sejam a, b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b},[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a, b] é um intervalo fechado, (a, b) é um intervalo aberto, [a, b) éfechado à esquerda
Parte 6 Matemática Básica 118
Intervalos
Sejam a, b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b},[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a, b] é um intervalo fechado, (a, b) é um intervalo aberto, [a, b) éfechado à esquerda, (a, b] é fechado à direita
Parte 6 Matemática Básica 119
Intervalos
Sejam a, b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b},[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a, b] é um intervalo fechado, (a, b) é um intervalo aberto, [a, b) éfechado à esquerda, (a, b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados
Parte 6 Matemática Básica 120
Folha 30
Intervalos
Sejam a, b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b},[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a, b] é um intervalo fechado, (a, b) é um intervalo aberto, [a, b) éfechado à esquerda, (a, b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞, b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b.
Parte 6 Matemática Básica 121
Intervalos
Sejam a, b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b},[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a, b] é um intervalo fechado, (a, b) é um intervalo aberto, [a, b) éfechado à esquerda, (a, b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞, b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas.
Parte 6 Matemática Básica 122
Intervalos
Sejam a, b ∈ R, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidossão denominados intervalos:
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b},(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b},[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x},(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}, (a,+∞) = {x ∈ R | a < x},
(−∞,+∞) = R.
Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b:[a, b] é um intervalo fechado, (a, b) é um intervalo aberto, [a, b) éfechado à esquerda, (a, b] é fechado à direita. Os cinco intervalosda direita são ilimitados: (−∞, b] é a semirreta esquerda, fechada, deorigem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b,o intervalo fechado [a, b] reduz-se a um único elemento, chama-seintervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso,são vazios.
Parte 6 Matemática Básica 123
Observações
� Outras notações para intervalos:
]a, b[ para indicar o intervalo (a, b),
[a, b[ para indicar o intervalo [a, b), etc.
� −∞ e +∞ não são números! Eles são apenas símbolosusados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto,não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualqueroperação considerando-os como se fossem números.
Parte 6 Matemática Básica 124
Folha 31
Intervalos
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
a b
Parte 6 Matemática Básica 125
Intervalos
(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}
a b
Parte 6 Matemática Básica 126
Intervalos
[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}
a b
Parte 6 Matemática Básica 127
Intervalos
(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}
a b
Parte 6 Matemática Básica 128
Folha 32
Intervalos
(−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b}
b
Parte 6 Matemática Básica 129
Intervalos
(−∞, b) = {x ∈ R | x < b}
b
Parte 6 Matemática Básica 130
Intervalos
[a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x}
a
Parte 6 Matemática Básica 131
Intervalos
(a,+∞) = {x ∈ R | a < x}
a
Parte 6 Matemática Básica 132
Folha 33
Resolvendo inequações. . .
CUIDADO!
1 − 2 x − 6x − 1
> 0 ⇔ 1 >2 x − 6x − 1
⇔ 2 x − 6x − 1
< 1
⇔ 2 x − 6 < x − 1
⇔ 2 x − x < −1 + 6
⇔ x < 5.
Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim!
�
Parte 6 Matemática Básica 133
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6 − (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Esta última inequação pode ser resolvida usando-se uma variaçãode [PO12]:
x − 5x − 1
< 0
(x − 5 > 0 e x − 1 < 0) ou (x − 5 < 0 e x − 1 > 0)
Mas vamos resolvê-la usando um método mais esquemático!
Parte 6 Matemática Básica 134
Resolvendo inequações. . .
2 x − 6x − 1
< 1 ⇔ 2 x − 6x − 1
−1 < 0 ⇔ 2 x − 6 − (x − 1)x − 1
< 0 ⇔ x − 5x − 1
< 0
Sinal dex − 5
Sinal dex − 1
Sinal de(x − 5)/(x − 1)
5
5
5
1
1
1
S = {x ∈ R | 1 < x < 5} =]1, 5[.
Parte 6 Matemática Básica 135
Números reais algebricamente(axiomaticamente): R é completo
Parte 6 Matemática Básica 136
Folha 34
Q é completo?
x1 = 0.9x2 = 0.99x3 = 0.999x4 = 0.9999x5 = 0.99999x6 = 0.999999x7 = 0.9999999x8 = 0.99999999
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.9 = 1.
Parte 6 Matemática Básica 137
Q é completo?
x1 = 0.3x2 = 0.33x3 = 0.333x4 = 0.3333x5 = 0.33333x6 = 0.333333x7 = 0.3333333x8 = 0.33333333
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.4 para todo n).
Em Q, xn converge para 0.3 = 1/3.
Parte 6 Matemática Básica 138
Q é completo?
Será que toda sequência xn de números racionais crescente elimitada sempre tende a algum número racional?
Resposta: não!
Parte 6 Matemática Básica 139
Q é completo?
x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Parte 6 Matemática Básica 140
Folha 35
R é completo!
x1 = 1.4x2 = 1.41x3 = 1.414x4 = 1.4142x5 = 1.41421x6 = 1.414213x7 = 1.4142135x8 = 1.41421356
...
Em R, xn é crescente e xn é limitada (xn < 1.5 para todo n).
Em R, xn converge para o número√
2 ∈ R!
Parte 6 Matemática Básica 141
Q é completo?
x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001
...
Em Q, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).
Mas, em Q, xn não converge para um número em Q!
Parte 6 Matemática Básica 142
R é completo!
x1 = 0.1x2 = 0.101x3 = 0.101001x4 = 0.1010010001x5 = 0.101001000100001x6 = 0.101001000100001000001x7 = 0.1010010001000010000010000001x8 = 0.101001000100001000001000000100000001
...
Em R, xn é crescente e xn é limitada (xn < 0.2 para todo n).
Em R, xn converge para um número em R!
Parte 6 Matemática Básica 143
R é completo!
Q não é completo.
R é completo.
C é completo
(usando uma definição mais geral de completude via sequências deCauchy, que não depende do fato do corpo ser ordenado ou não)
Parte 6 Matemática Básica 144
Folha 36
R é completo!
O que é 3√
5?
Parte 6 Matemática Básica 145
Construção dos números reais
Construção dos números reais:sequências de Cauchy e cortes de Dedekind.
Parte 6 Matemática Básica 146
Construção dos números reais
Construção dos números reais:sequências de Cauchy e cortes de Dedekind.
Parte 6 Matemática Básica 147
Construção dos números reais
Construção dos números reais:sequências de Cauchy e cortes de Dedekind.
Parte 6 Matemática Básica 148
Folha 37
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