Matemática Básica
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Parte 5
Parte 5 Matemática Básica 1
Números
Parte 5 Matemática Básica 2
O que é um número?
Dicionário Aurélio:
Número.[Do lat. numeru.]S. m.1. A soma total dos elementos ou unidades de um conjunto, série, etc.2. Porção ou parcela de um grupo, conjunto, etc.3. Nome, símbolo ou representação de uma quantidade. [Cf. numeral (3).]4. Entidade abstrata que corresponde a um aspecto ou a uma caraterística
mensurável de algo (quantidade, grandeza, intensidade, etc.) e queé matematicamente definida como conjunto de todos os conjuntosequivalentes a um conjunto dado.
Parte 5 Matemática Básica 3
O que é um número?
Wikipédia:
Número é a essência e o princípio de todas as coisas (Pitágoras).
Número é a relação entre a quantidade e a unidade (Newton).
Número é um composto da unidade (Euclides).
Número nada mais é do que a proporção de uma magnitude com relação a outra consideradaarbitrariamente como unidade (Euler).
Número é uma coleção de objetos de cuja natureza fazemos abstração (Boutroux).
Número é o resultado da comparação de qualquer grandeza com a unidade (BenjaminConstant).
Número é o movimento acelerado ou retardado (Aristóteles).
Número é uma coleção de unidades (Condorcet).
Número é a expressão que determina uma quantidade de coisas da mesma espécie (Baltzer).
Número é a classe de todas as classes equivalente a uma dada classe (Bertrand Russell).
Parte 5 Matemática Básica 4
O que é um número?
Não é uma definição formal, mas nos revela para que servem e porqual motivo foram inventados os números:
Número é o resultado da comparação entre uma grandeza e uma unidade. Sea grandeza é discreta, essa comparação chama-se uma contagem e o resultadoé um número inteiro; se a grandeza é contínua, a comparação chama-se umamedição e o resultado é um número real.
Parte 5 Matemática Básica 5
Números naturais
Parte 5 Matemática Básica 6
Números naturais
númerosnaturais
númerosordinais
númeroscardinais
(substantivo) (adjetivo)
interpretados como interpretados como
Parte 5 Matemática Básica 7
Números naturais como números ordinais
N é um conjunto, cujos elementos são chamados númerosnaturais. Seu uso e suas propriedades são regidos pelas seguintespropriedades:
(a) Todo número natural tem um único sucessor.(b) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes.(c) Existe um único número natural, chamado um e representado
pelo símbolo 1, que não é sucessor de nenhum outro.(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de números
naturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axiomas de Peano
Parte 5 Matemática Básica 8
Números naturais como números ordinaisN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .}.
2 é o sucessor de 13 é o sucessor de 24 é o sucessor de 3...
......
Deve ficar claro que o conjunto N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .} dos númerosnaturais é uma sequência de objetos abstratos que, em princípio, sãodesprovidos de significado. Cada um desses objetos (um número natural)possui apenas um lugar determinado nesta sequência. Nenhuma outrapropriedade lhes serve de definição. Todo número tem um sucessor (único)e, com exceção de 1, tem também um único antecessor (número do qual ésucessor).
[Lima, Carvalho, Wagner e Morgado, 2003]
Parte 5 Matemática Básica 9
Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é {n}0 ∅
1 {∅} {0}2 {{∅}} {1}3 {{{∅}}} {2}...
......
n {n − 1}
Parte 5 Matemática Básica 10
Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}0 ∅
1 {∅} 0 ∪ {0}2 {∅, {∅}} 1 ∪ {1}3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}} 2 ∪ {2}...
......
n (n − 1) ∪ {n − 1}
Parte 5 Matemática Básica 11
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Cuneiforme Babilônica
Parte 5 Matemática Básica 12
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Maia
Parte 5 Matemática Básica 13
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Chinesa
Parte 5 Matemática Básica 14
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Romana
1 2 3 4 5 10 50 100 500 1000I II III IV V X L C D M
Parte 5 Matemática Básica 15
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Egípcia
Parte 5 Matemática Básica 16
Números naturais como números ordinais: símbolosEscrita Egípcia
Parte 5 Matemática Básica 17
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Braille
Parte 5 Matemática Básica 18
Números naturais como números cardinais
Apresentaremos os números naturais como números cardinaisposteriormente!
Parte 5 Matemática Básica 19
O Princípio da Indução Finita
Parte 5 Matemática Básica 20
O Principio da Indução Finita
(d) (Axioma da Indução) Seja X um subconjunto de númerosnaturais. Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elementode X ainda pertence a X , então X = N.
Axioma da Indução de Peano
Considere uma sentença da forma “∀n ∈ N,P(n)” (estamos escrevendo P(n)ao invés de P para enfatizar o fato de que o predicado P depende de n). Seja
X = {n ∈ N | n satisfaz o predicado P}.
Se mostramos que
(1) (Passo básico) 1 ∈ X (isto é, que 1 satisfaz o predicado P ou, ainda,que P(1) é verdadeira),
(2) (Passo indutivo) k ∈ X ⇒ k + 1 ∈ X (isto é, que se k satisfazo predicado P, então k + 1 também satisfaz o predicado P ou, ainda,que se P(k) é verdadeira, então P(k + 1) é verdadeira),
então, pelo Axioma de Indução de Peano, X = N, isto é, todo númeronatural n ∈ N satisfaz o predicado P e, assim, a sentença “∀n ∈ N,P(n)”é verdadeira!
Parte 5 Matemática Básica 21
O Principio da Indução Finita
Moral:
O Princípio da Indução Finita é uma técnica para tentardemonstrar que sentenças do tipo “∀n ∈ N,P(n)” sãoverdadeiras!
Parte 5 Matemática Básica 22
Protocolo de uma prova por indução
Uma demonstração por indução segue o seguinte esquema:
(1) Diga que a demonstração é por indução. Assim, o leitor já saberá qual seráa estrutura da demonstração.
(2) Especifique o predicado P(n) que se quer demonstrar que é verdadeiro para todon ∈ N (isto é, que é satisfeito para todo n ∈ N).
(3) Passo básico: mostre que P(1) é verdadeira (isto é, que n = 1 satisfazo predicado P).
(4) Passo indutivo: mostre que se P(k) é verdadeira (isto é, se k satisfazo predicado P), então P(k + 1) também é verdadeira (isto é, k + 1 também satisfazo predicado P).
Parte 5 Matemática Básica 23
ExemploMostre que ∀n ∈ N, 1 + 2 + · · ·+ n =
n (n + 1)2
.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 1 + 2 + · · ·+ n = n (n + 1)/2.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira, isto é, que 1 satisfaz o predicado P. Em nosso caso,isso significa mostrar que 1 = (1)(1 + 1)/2. Mas (1)(1 + 1)/2 = 2/2 = 1.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira (isto é, que k satisfaz o predicado P). Devemos mostrar queP(k + 1) também é verdadeira (isto é, que k + 1 também satisfaz o predicado P). Agora, se P(k) é verdadeira,então
1 + 2 + · · ·+ k =k(k + 1)
2. (hipótese de indução)
Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrar que 1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) =(k + 1)((k + 1) + 1)
2.
Mas,
1 + 2 + · · ·+ k + (k + 1) (∗)=
k (k + 1)2
+ (k + 1) =k (k + 1) + 2 (k + 1)
2=
(k + 1)(k + 2)2
=(k + 1)((k + 1) + 1)
2,
onde, em (∗), usamos a hipótese de indução.
Parte 5 Matemática Básica 24
ExemploMostre que ∀n ∈ N, 3 é divisor de n3 − n.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : 3 é divisor de n3 − n.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(1) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 3 édivisor de (1)3 − 1. Mas (1)3 − 1 = 0 e 3 é divisor de 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então 3 é divisor de k3−k . Para mostrar que P(k+1) é verdadeira, devemosmostrar que 3 é divisor de (k + 1)3 − (k + 1). Agora:
(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3 k2 + 3 k + 1 − (k + 1) = k3 − k + 3 k2 + 3 k .
Pela hipótese de indução, 3 é divisor de k3 − k . Como 3 também é divisor de 3 k2 + 3 k , segue-se que 3é divisor de k3 − k + 3 k2 + 3 k = (k + 1)3 − (k + 1).
Parte 5 Matemática Básica 25
Onde está o erro?Todos os cavalos têm uma mesma cor.
“Demonstração”. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : em todo conjunto com n cavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor.
(Passo básico ) Se n = 1, então todo cavalo em um conjunto com um único cavalo tem uma mesma cor.Logo, P(1) é verdadeira.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira, isto é, suponha que em todo conjunto com kcavalos, todos os cavalos têm uma mesma cor (hipótese de indução). Devemos mostrar que P(k + 1)é verdadeira, isto é, devemos mostrar que em todo conjunto com k + 1 cavalos, todos os cavalos têmuma mesma cor. Considere então um conjunto com k +1 cavalos: {c1, c2, . . . , ck , ck+1}. Pela hipótese deindução, os k primeiros cavalos têm uma mesma cor: {c1, c2, . . . , ck}. Também pela hipótese de indução,os k últimos cavalos também possuem uma mesma cor: {c2, . . . , ck , ck+1}. Logo todos os cavalosem {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cor.
O erro está no passo indutivo: para concluir que todos os cavalos em {c1, c2, . . . , ck , ck+1} têm uma mesma cora partir do fato de que todos os cavalos em A = {c1, c2, . . . , ck} e B = {c2, . . . , ck , ck+1} possuírem uma mesmacor, usou-se que existe pelo menos um cavalo em comum aos dois conjuntos A e B. Mas, se k = 2, então A = {c1},B = {c2} e A ∩ B = ∅.
Parte 5 Matemática Básica 26
Ainda SobreO Princípio da Indução Finita
Parte 5 Matemática Básica 27
Ainda sobre o princípio da indução finita
Vimos que o Princípio da Indução Finita pode ser usada para demonstrar que sentençasdo tipo ∀n ∈ N = { 1, 2, 3, . . .}, P(n) são verdadeiras!
Mas, de fato, ele também pode ser usado para demonstrar que sentenças do tipo
∀n ∈ A = { 2, 3, 4, . . .}, P(n)
∀n ∈ B = { 3, 4, 5, . . .}, P(n)
∀n ∈ C = { 0, 1, 2, . . .}, P(n)
∀n ∈ D = {−1, 0, 1, . . .}, P(n)
são verdadeiras! Afinal, em termos dos Axiomas de Peano, os conjuntos A, B, C e Dsão tão bons quanto o conjunto N.
Parte 5 Matemática Básica 28
ExemploMostre que ∀n ∈ B = {3, 4, 5, . . .}, n2 − n − 6 ≥ 0.
Demonstração. A prova será feita por indução. Considere o predicado
P(n) : n2 − n − 6 ≥ 0.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(3) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que32 − 3 − 6 ≥ 0. Mas 32 − 3 − 6 = 0, logo 32 − 3 − 6 ≥ 0.
(Passo indutivo) Suponha que P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k+1) também é verdadeira.Agora, se P(k) é verdadeira, então k2 − k − 6 ≥ 0. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemosmostrar que (k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0. Agora:
(k + 1)2 − (k + 1)− 6 = k2 + 2 k + 1 − k − 1 − 6 = k2 − k − 6 + 2 k .
Pela hipótese de indução, k2 − k −6 ≥ 0. Como 2 k ≥ 0 para todo k ∈ B, segue-se que k2 − k −6+2 k =(k + 1)2 − (k + 1)− 6 ≥ 0.
Parte 5 Matemática Básica 29
O Segundo Princípio da Indução Finita
Parte 5 Matemática Básica 30
O Segundo Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Primeiro Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Segundo Princípio da Indução
Parte 5 Matemática Básica 31
ExemploMostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado
P(n) : n pode ser escrito como produto de números primos.
(Passo básico ) Devemos mostrar que P(2) é verdadeira. Em nosso caso, isso significa mostrar que 2pode ser escrito como produto de números primos. Mas 2 é um número primo, logo 2 pode ser escritocomo um produto de números primos com um único fator (o próprio 2).
(Passo indutivo) Suponha que P(2) ∧ P(3) ∧ · · · ∧ P(k) seja verdadeira. Devemos mostrar que P(k + 1)também é verdadeira. Agora, se P(2)∧P(3)∧ · · · ∧P(k) é verdadeira, então todo número ≥ 2 e ≤ k podeser escrito como produto de números primos. Para mostrar que P(k + 1) é verdadeira, devemos mostrarque k + 1 pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um número primo, nada há parase fazer: k +1 pode ser escrito como um produto de números primos com um único fator (o próprio k +1).Se k + 1 não é um número primo, então ele pode ser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem ser escritos como produto de números primos. Logok + 1 = a b também pode ser escrito como produto de números primos.
Por que o Segundo Princípio da Indução é útil aqui? Considere k = 24 = 4 ·6. Para mostrar que P(24) é verdadeirausando essa decomposição, precisamos usar que P(4) e P(6) verdadeiras. A hipótese de indução do PrimeiroPrincípio permite usar apenas que P(23) é verdadeira, o que não nos ajuda aqui.
Parte 5 Matemática Básica 32
Exemplo (sem pegar pela mão)Mostre que todo número inteiro n ≥ 2 pode ser escrito como produto de números primos (admitindo-seo caso de um produto com um único fator caso n seja um número primo).
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. P(2) é verdadeira, pois 2 é um número primo.Suponha que todo número ≥ 2 e ≤ k pode ser escrito como produto de números primos. Queremosmostrar que k + 1 também pode ser escrito como produto de números primos. Se k + 1 é um númeroprimo, nada há para se fazer. Suponha então que k + 1 não seja um número primo. Portanto, ele podeser escrito na forma k + 1 = a b, com 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k . Pela hipótese de indução, a e b podem serescritos como produto de números primos. Logo k + 1 = a b também pode ser escrito como produto denúmeros primos.
Parte 5 Matemática Básica 33
O Segundo Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Primeiro Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Segundo Princípio da Indução
Teorema: os dois princípios são equivalentes, isto é, quem tem um, demonstrao outro. Moral: qualquer demonstração usando um dos princípios pode serconvertida em uma demonstração usando o outro.
Parte 5 Matemática Básica 34
Demonstração do teorema
Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Primeiro Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Segundo Princípio da Indução
(Primeiro Princípio ⇒ Segundo Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todon ∈ N. Defina P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n). Note que P̃(1) = P(1) é verdadeira. Se P̃(k) éverdadeira, então P(1)∧P(2)∧· · ·∧P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k +1) também é verdadeira. LogoP(1)∧P(2)∧ · · · ∧P(k)∧P(k + 1) é verdadeira, isto é, P̃(k + 1) é verdadeira. Pelo Primeiro Princípio daIndução (aplicado ao predicado P̃(n)), P̃(n) = P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Emparticular, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Parte 5 Matemática Básica 35
Demonstração do teorema
Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Primeiro Princípio da Indução
Dado um predicado P(n),• se P(1) é verdadeira e (Passo básico )• se P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira, (Passo indutivo)
então P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Segundo Princípio da Indução
(Segundo Princípio ⇒ Primeiro Princípio) Seja P(n) um predicado tal que P(1) é verdadeira e tal queP(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. Queremos mostrar que P(n) é verdadeira para todo n ∈ N. Afirmamosque o predicado P(n) também é tal que P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) ⇒ P(k + 1) é verdadeira. De fato: seP(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(k) é verdadeira, em particular, P(k) é verdadeira. Por hipótese, P(k + 1) também éverdadeira. Pelo Segundo Princípio da Indução, P(n) é verdadeira para todo n ∈ N.
Parte 5 Matemática Básica 36
Outros nomes para o Segundo Princípio da Indução
O Segundo Princípio da Indução também é conhecido como
Princípio da Indução Completaou
Princípio da Indução Forte.
Parte 5 Matemática Básica 37
Outras Aplicações
Parte 5 Matemática Básica 38
ExemploQuais são os valores que podem ser gerados com selos de 3 e 5 centavos?
Linhas: quantidade selos de 3 centavos. Colunas: quantidade de selos de 5 centavos.
0 1 2 3 4 5 · · ·0 0 5 10 15 20 25 · · ·1 3 8 13 18 23 28 · · ·2 6 11 16 21 26 31 · · ·3 9 14 19 24 29 34 · · ·4 12 17 22 27 32 37 · · ·5 15 20 25 30 35 40 · · ·...
......
......
......
. . .
Parte 5 Matemática Básica 39
ExemploÉ possível produzir qualquer quantia n ≥ 8 (em centavos) com selos de 3 e 5 centavos.
Demonstração. Usaremos o Segundo Princípio da Indução. Considere o predicado:
P(n) : existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que 3 r + 5 s = n.
(Passo básico ) O predicado P(n) é verdadeiro para n = 8, n = 9 e n = 10, pois 8 = 3 (1) + 5 (1),9 = 3 (3) + 5 (0) e 10 = 3 (0) + 5 (2).
(Passo indutivo) Se k ≥ 10, suponha que P(l) seja verdadeira para todo l ∈ {8, . . . , k}, isto é, suponhaque qualquer quantia em centavos l ∈ {8, . . . , k} possa ser produzida com selos de 3 e 5 centavos. Vamosmostrar que P(k+1) também é verdadeira, isto é, a quantia em centavos k+1 também pode ser produzidacom selos de 3 e 5 centavos. Pela hipótese de indução, existem inteiros r ≥ 0 e s ≥ 0 tais que
k − 2 = 3 r + 5 s.
Então, k + 1 = k − 2 + 3 = 3 r + 5 s + 3 = 3 (r + 1) + 5 s = 3 r̃ + 5 s, com r̃ = r + 1 ≥ 0 e s ≥ 0.
Mais do que uma demonstração, o Princípio da Indução nos dá um algoritmo para calcular os valores de r e s:
23 = 20 + 3 = 17 + 3 (2) = 14 + 3 (3) = 11 + 3 (4) = 8 + 3 (5) = 5 + 3 (6) = 5 (1) + 3 (6).
Desta maneira, a quantia de 23 centavos pode ser produzida com 1 selo de 5 centavos e 6 selos de 3 centavos.
Parte 5 Matemática Básica 40
ExemploPara todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n com
a estátua de Bill em um quadrado central.
B B
Parte 5 Matemática Básica 41
ExemploPara todo n ≥ 1, existe um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L ( ) para um jardim 2n × 2n com
a estátua de Bill em um quadrado central.
Demonstração. A prova será por indução, mas usaremos um predicado mais forte: P(n) : existe umladrilhamento por ladrilhos em formato de L para um jardim 2n × 2n com a estátua de Bill em qualquerquadrado.
(Passo básico ) P(1) é verdadeira: B , B ,B
,B
.
(Passo indutivo) Suponha que exista um ladrilhamento por ladrilhos em formato de L para jardins 2k × 2k
com um quadrado removido. Considere um jardim 2k+1 × 2k+1. Divida o jardim em 4 quadrantes 2k × 2k .O quadrante que contém a estátua de Bill pode ser ladrilhado com ladrilhos no formato de L (hipótesede indução). Coloque um ladrilho no formato de L na posição central de forma que cada um dos trêsquadrados do L esteja nos três quadrantes restantes. Tudo o que falta é ladrilhar cada um dos trêsquadrantes excluindo o quadrado central já ladrilhado, o que pode ser feito pela hipótese de indução.
B
2k
2k
2k 2k
2k+1
Parte 5 Matemática Básica 42
Exemplo: A Torre de Hanoi
Torre A Torre B Torre C
4
3
2
1
O objetivo desse jogo é mover todos os anéis de uma torre para a outra obedecendo duasregras:
(1) Apenas o anel mais acima de cada torre pode ser movido.(2) Um anel maior não pode ser colocado sobre um anel menor.
Este jogo foi criado pelo matemático francês Édouard Lucas em 1883. Há uma lenda que diz queexiste uma sala em um certo monastério com três grandes torres, uma delas com 64 anéis de ouro.Os monges desse monastério estão transferindo os anéis seguindo as regras acima. A lenda diz queo mundo terminará quando os monges conseguirem terminar a transferência.
Parte 5 Matemática Básica 43
Torre de Hanoi com 1 Anel
1
Parte 5 Matemática Básica 44
Torre de Hanoi com 1 Anel
1
Anel transferido da torre A para a torre C.
Parte 5 Matemática Básica 45
Torre de Hanoi com 1 Anel
1
OK
Parte 5 Matemática Básica 46
Torre de Hanoi com 2 Anéis
21
Parte 5 Matemática Básica 47
Torre de Hanoi com 2 Anéis
2 1
Anel transferido da torre A para a torre B.
Parte 5 Matemática Básica 48
Torre de Hanoi com 2 Anéis
1 2
Anel transferido da torre A para a torre C.
Parte 5 Matemática Básica 49
Torre de Hanoi com 2 Anéis
21
Anel transferido da torre B para a torre C.
Parte 5 Matemática Básica 50
Torre de Hanoi com 2 Anéis
21
OK
Parte 5 Matemática Básica 51
Torre de Hanoi com 3 Anéis
321
Parte 5 Matemática Básica 52
Torre de Hanoi com 3 Anéis
32
1
Anel transferido da torre A para a torre C.
Parte 5 Matemática Básica 53
Torre de Hanoi com 3 Anéis
3 2 1
Anel transferido da torre A para a torre B.
Parte 5 Matemática Básica 54
Torre de Hanoi com 3 Anéis
3 21
Anel transferido da torre C para a torre B.
Parte 5 Matemática Básica 55
Torre de Hanoi com 3 Anéis
21
3
Anel transferido da torre A para a torre C.
Parte 5 Matemática Básica 56
Torre de Hanoi com 3 Anéis
1 2 3
Anel transferido da torre B para a torre A.
Parte 5 Matemática Básica 57
Torre de Hanoi com 3 Anéis
1 32
Anel transferido da torre B para a torre C.
Parte 5 Matemática Básica 58
Torre de Hanoi com 3 Anéis
321
Anel transferido da torre A para a torre C.
Parte 5 Matemática Básica 59
Torre de Hanoi com 3 Anéis
321
OK
Parte 5 Matemática Básica 60
Torre de Hanoi com 4 Anéis
4321
Parte 5 Matemática Básica 61
Torre de Hanoi com 4 Anéis
432
1
Anel transferido da torre A para a torre B.
Parte 5 Matemática Básica 62
Torre de Hanoi com 4 Anéis
43
1 2
Anel transferido da torre A para a torre C.
Parte 5 Matemática Básica 63
Torre de Hanoi com 4 Anéis
43
21
Anel transferido da torre B para a torre C.
Parte 5 Matemática Básica 64
Torre de Hanoi com 4 Anéis
4 3 21
Anel transferido da torre A para a torre B.
Parte 5 Matemática Básica 65
Torre de Hanoi com 4 Anéis
41
3 2
Anel transferido da torre C para a torre A.
Parte 5 Matemática Básica 66
Torre de Hanoi com 4 Anéis
41
32
Anel transferido da torre C para a torre B.
Parte 5 Matemática Básica 67
Torre de Hanoi com 4 Anéis
4 321
Anel transferido da torre A para a torre B.
Parte 5 Matemática Básica 68
Torre de Hanoi com 4 Anéis
321
4
Anel transferido da torre A para a torre C.
Parte 5 Matemática Básica 69
Torre de Hanoi com 4 Anéis
32
41
Anel transferido da torre B para a torre C.
Parte 5 Matemática Básica 70
Torre de Hanoi com 4 Anéis
2 3 41
Anel transferido da torre B para a torre A.
Parte 5 Matemática Básica 71
Torre de Hanoi com 4 Anéis
21
3 4
Anel transferido da torre C para a torre A.
Parte 5 Matemática Básica 72
Torre de Hanoi com 4 Anéis
21
43
Anel transferido da torre B para a torre C.
Parte 5 Matemática Básica 73
Torre de Hanoi com 4 Anéis
2 1 43
Anel transferido da torre A para a torre B.
Parte 5 Matemática Básica 74
Torre de Hanoi com 4 Anéis
1 432
Anel transferido da torre A para a torre C.
Parte 5 Matemática Básica 75
Torre de Hanoi com 4 Anéis
4321
Anel transferido da torre B para a torre C.
Parte 5 Matemática Básica 76
Torre de Hanoi com 4 Anéis
4321
OK
Parte 5 Matemática Básica 77
Exemplo: A Torre de HanoiA Torre de Hanoi possui solução para qualquer número n ∈ N de anéis. Mais ainda, se Tn é o númeromínimo de movimentos para transferir n anéis de uma torre para outra, então Tn+1 = 2 Tn + 1, comT1 = 1. Em particular, Tn = 2n − 1.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que o problema tem solução. Isso será feito por indução. Sen = 1, basta transferir o único anel de uma torre para outra. Suponha que seja sempre possível transferirk anéis de uma torre para outra. Queremos mostrar que é possível transferir k +1 anéis. Se os k +1 anéisestão, digamos, na torre A, transfira os k primeiros anéis para a torre B. Transfira então o (k + 1)-ésimoanel para a torre C e, em seguida, transfira os k anéis da torre B para a torre C.
A solução que propomos para o problema nos mostra que Tn+1 ≤ 2 Tn + 1. Vamos agora mostrar que,também, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1. No processo de transferir os n + 1 anéis, em algum momento, os n anéissuperiores devem estar em uma torre, pois (1) não é possível mover o anel n + 1 sem que os n anéissuperiores tenham sido movidos e (2) esses n anéis devem todos estar em uma mesma torre para deixaruma torre vazia, uma vez que o (n + 1)-ésimo anel só pode ser movido para uma torre vazia. Assim,usamos pelo menos Tn movimentos. Ao transferir o (n+1)-ésimo anel, usamos 1 movimento. Ao transferiros n anéis menores para a torre onde o anel n+1 foi colocado, usamos pelo menos outros Tn movimentos.Logo, Tn+1 ≥ 2 Tn + 1.
Temos assim que T1 = 1 e Tn+1 = 2 Tn + 1. Escrevendo Un = Tn + 1, então U1 = T1 + 1 = 1 + 1 = 2 e
Tn+1 = 2 Tn + 1 ⇔ Un+1 − 1 = 2 (Un − 1) + 1 ⇔ Un+1 = 2 Un.
Assim, Un = 2n e, portanto, Tn = 2n − 1.
Parte 5 Matemática Básica 78
Exemplo: A Torre de Hanoi
Para n = 64 anéis são então necessários
T64 = 264 − 1 movimentos.
264 − 1 = 18446744073709551615.
Se os monges moverem um anel por segundo, serão necessários mais de
584 bilhões de anos
para eles transferirem todos os 64 anéis!
Parte 5 Matemática Básica 79
Exemplo: Permutações
Quantas e quais são as permutações da lista (a, b)?Resposta: são 2 permutações, a saber,
(a, b), (b, a).
Quantas e quais são as permutações da lista (a, b, c)?Resposta: são 6 permutações, a saber,
(a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a).
E o caso geral?
Parte 5 Matemática Básica 80
Exemplo: PermutaçõesO número de permutações de uma lista com n elementos é igual a 1 · 2 · · · · · n = n!.
Demonstração. A prova será por indução. O número de permutações de uma lista com um únicoelemento é igual a 1 = 1!. Suponha que o número de permutações de uma lista com k elementos sejaigual a k !. Queremos mostrar que o número de permutações de uma lista (a1, a2, a3, . . . , ak , ak+1) comk + 1 elementos é igual a (k + 1)!. Ora, as permutações de (a1, a2, a3, . . . , ak , ak+1) podem ser divididasem k + 1 grupos:
(a1 , permutações de a2, a3, . . . , ak , ak+1
),(
a2 , permutações de a1, a3, . . . , ak , ak+1
),
...(ak , permutações de a1, a2, . . . ,ak−1, ak+1
),(
ak+1, permutações de a1, a2, . . . ,ak−1, ak
).
Logo, o número total de permutações da lista (a1, a2, a3, . . . ,ak , ak+1) é igual a
k ! + k ! + · · ·+ k ! + k !︸ ︷︷ ︸k+1 vezes
= (k + 1) k ! = (k + 1)!.
Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcularpermutações de listas.
Parte 5 Matemática Básica 81
Exemplo: subconjuntos de um conjunto finito
Quantos e quais são os subconjuntos de {a, b}?Resposta: são 4 subconjuntos, a saber,
∅, {a}, {b}, {a, b}.
Quantos e quais são os subconjuntos de {a, b, c}?Resposta: são 8 subconjuntos, a saber,
∅, {a}, {b}, {a, b},
∅ ∪ {c}, {a} ∪ {c}, {b} ∪ {c}, {a, b} ∪ {c}.
E o caso geral?
Parte 5 Matemática Básica 82
Exemplo: subconjuntos de um conjunto finitoO número de subconjuntos de um conjunto com n elementos é igual a 2n.
Demonstração. A prova será por indução. O número de subconjuntos do conjunto vazio ∅ (com n = 0elementos) é igual a 1 = 20. Suponha que o número de subconjuntos de um conjunto com k elementosseja igual a 2k . Queremos mostrar que o número de subconjuntos de um conjunto {a1, . . . , ak , ak+1}com k + 1 elementos é igual a 2k+1. Ora, os subconjuntos de {a1, . . . , ak , ak+1} podem ser divididos em2 grupos: os subconjuntos de {a1, . . . ,ak , ak+1} dos quais ak+1 não é um elemento e os subconjuntosde {a1, . . . ,ak , ak+1} dos quais ak+1 é um elemento. O número de subconjuntos do segundo grupo é igualao número de subconjuntos do primeiro grupo pois, se retirarmos o elemento ak+1 de um subconjuntodo segundo grupo, obteremos um subconjunto do primeiro grupo. Agora, os subconjuntos do primeirogrupo são subconjuntos do conjunto {a1, . . . ,ak} com k elementos. Portanto, pela hipótese de indução,segue-se que existem 2k subconjuntos no primeiro grupo. Somando-se o número de subconjuntos dosgrupos, concluímos que existem 2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1 subconjuntos do conjunto {a1, . . . , ak , ak+1}.
Note que a demonstração por indução que fizemos nos dá um algoritmo recursivo para calcular os subconjuntos deum conjunto finito.
Parte 5 Matemática Básica 83
Números Naturais (Continuação)
Parte 5 Matemática Básica 84
Números naturais como números cardinais
X Y
Parte 5 Matemática Básica 85
Números naturais como números cardinais
X Y
Parte 5 Matemática Básica 86
Números naturais como números cardinais
A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelomatemático que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, elesrespondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.
Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se podedefinir uma função bijetiva f : X → Y .
Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando sepode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N eIn = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinaldo conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, oconjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.
Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que Xnão é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .
Definições
Parte 5 Matemática Básica 87
Números naturais como números cardinais
X Y
Parte 5 Matemática Básica 88
Números naturais como números cardinais
Os segmentos X e Y possuem a mesma cardinalidade?
(Ir para o GeoGebra)
Parte 5 Matemática Básica 89
Números naturais como números cardinais
Os segmentos X e Y possuem a mesma cardinalidade?
(Ir para o GeoGebra)
Parte 5 Matemática Básica 90
Números naturais como números cardinais
O Hotel Infinito de Hilbert
Parte 5 Matemática Básica 91
Um pequeno comentário gramatical
Quando dizemos “o número um”, “o número dois” ou o “número três”, aspalavras “um”, “dois” e “três” são substantivos, pois são nomes de objetos.Isto contrasta com o uso destas palavras em frases como “um ano, doismeses e três dias”, onde elas aparecem para dar a ideia de número cardinal,isto é, como resultados de contagens. Nesta frase, “um”, “dois” e “três” nãosão substantivos. Pertencem a categoria gramatical que, noutras línguas(como francês, inglês e alemão, por exemplo) é chamada adjetivo numerale que os gramáticos brasileiros e portugueses, há um par de décadas,resolveram chamar numeral apenas. Este comentário visa salientar adiferença entre números naturais, olhados como elementos do conjunto N, eo seu emprego como números cardinais.
[Lima, Carvalho, Morgado e Wagner, 2003]
Parte 5 Matemática Básica 92
Semelhança dos nomes dos números
SânscritoGregoAntigo
Latim Alemão Inglês Francês Russo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
100
1000
eka
dva
tri
catur
panca
sas
sapta
asta
nava
daca
cata
sehastre
en
duo
tri
tetra
pente
hex
hepta
octo
ennea
deca
ecaton
xilia
unus
duo
tres
quatuor
quinque
sex
septem
octo
novem
decem
centum
mille
eins
zwei
drei
vier
fünf
sechs
sieben
acht
neun
zehn
hundert
tausend
one
two
three
four
five
six
seven
eight
nine
ten
hundred
thousand
un
deux
trois
quatre
cinq
six
sept
huit
neuf
dix
cent
mille
odyn
dva
tri
chetyre
piat
shest
sem
vosem
deviat
desiat
sto
tysiaca
Parte 5 Matemática Básica 93
Giuseppe Peano
Matemático italiano (27 de agosto de 1858 – 20 de abril de 1932)
Parte 5 Matemática Básica 94
David Hilbert
Matemático alemão (23 de janeiro de 1862 – 14 de feveriro de 1943)
Parte 5 Matemática Básica 95
Existem “infinitos” diferentes!
Parte 5 Matemática Básica 96
Existem “infinitos” diferentes!
Os conjuntos
N = {1, 2, 3, . . .} e (0, 1) = {x ∈ R | 0 < x < 1}
são infinitos, mas não possuem o mesmo número cardinal.
Em um certo sentido, o intervalo (0, 1) é “mais infinito” do que oconjunto N dos números naturais!
Parte 5 Matemática Básica 97
O argumento da diagonal de CantorN e (0, 1) não possuem o mesmo número cardinal.
Demonstração.(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0, 1).(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N → (0, 1).(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número
real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão
decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para0.5 escolhemos 0.49).
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
...
Parte 5 Matemática Básica 98
O argumento da diagonal de Cantor(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,
f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,
...
(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:� Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.
� Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.
� Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.
� E assim por diante.
(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0, 1), mas x = f (1) (poisp1 = d1,1), x = f (2) (pois p2 = d2,2), x = f (3) (pois p3 = d3,3), etc. Isto contradizo fato de f : N → (0, 1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0, 1).
Parte 5 Matemática Básica 99
Georg Cantor
Matemático alemão (3 de março de 1845 – 6 de janeiro de 1918)
Parte 5 Matemática Básica 100