Prof. Dr. Renato de Oliveira Moraes
PRO 2723 – Estatística
Parte 03 – Estimação de parâmetros
Parte 03
Estimação de parâmetros
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PRO 2723 – Estatística
Parte 03 – Estimação de parâmetros
Estimador e Estimativa
• q = parâmetro a ser estimado
• T = um estimador de q
• t = uma dada estimativa
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
Propriedades dos estimadores
21
2
2
2
1
2
que eficiente mais é
Eficiência
0lim
0lim
iaConsistênc
sidade) tendencio(não Justeza
TTTT
T
ou
TP
T
n
n
q
q
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
Estimador para a variância
populacional 2
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
Estimador q para a variância populacional 2
22222
22
22
22
222
22
2
12
2
2
2
xNNxNxNx
xxNNxx
xxxx
xxxx
xxxxxx
N
xx
N
xx
i
i
ii
ii
iii
ii
q
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
N
NE
N
N
N
NNN
N
xNENEE
N
xNNE
N
xNNEE
N
xNN
N
xxi
12
22
2222
2222
222
q
q
q
q
Estimador q para a variância populacional 2
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
Estimador de máxima verossimilhança
Qual o valor do parâmetro a ser estimado que
maximiza a probabilidade do estimador assumir o
valor observado na amostra?
Estimadores:
• Consistentes
• Assintoticamente eficientes
• Distribuição assintoticamente Normal
qq |,,max 321 nxxxxPL
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
Exemplo
Uma caixa com 10 bolas, das quais S são
pretas e 10 – S são brancas. Uma amostra
de 4 bolas com extraídas com reposição foi
colhida e observou-se que três bolas eram
brancas e apenas uma era. O número bolas
pretas na amostra tem uma distribuição
Binomial. A função de verossimilhança fica:
33
10
10
104
10
10
101
4
SSSSSL
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
Nestas condições o
máximo valor da função
de verossimilhança
ocorre quando S = 3.
S L(S)
0 0,00%
1 29,16%
2 40,96%
3 41,16%
4 34,56%
5 25,00%
6 15,36%
7 7,56%
8 2,56%
9 0,36%
10 0,00%
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
Exercício
• Uma única observação é efetuada de uma
variável aleatória discreta X com função de
probabilidade f(x|q), onde q {1,2,3}. Encontre o
Estimador de Máxima verossimilhança de q.
X f(x|q=1) f(x|q=2) f(x|q=3)
0 1/3 ¼ 0
1 1/3 ¼ 0
2 0 ¼ ¼
3 1/6 ¼ ½
4 1/6 0 ¼
X Estimativa (valor de q)
0 1
1 1
2 2 ou 3
3 3
4 4
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
Estimador de máxima verossimilhança
• Amostra com N elementos: x1, x2, x3 ... xn
• Calcula-se a probabilidade de se obter a amostra observada em função do valor do parâmetro que se deseja estimar –𝑓 𝑥𝑖 , 𝜃
• 𝑃 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 = 𝑓 𝑥1 × 𝑓 𝑥2 ×⋯× 𝑓 𝑥𝑛• 𝑃 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 = 𝐿 𝜃 = 𝑓 𝑥1 × 𝑓 𝑥2 ×⋯× 𝑓 𝑥𝑛• Aplica-se a função logarítmica a L(q) e procura-se
o valor de q que maximiza o valor da função 𝑙𝑛 𝐿 𝜃
• Deriva e iguala a zero: 𝜕𝑙𝑛 𝐿 𝜃
𝜕𝜃= 0
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
Distribuição de Bernoulli
Qual é o estimador de p? (probabilidade de sucesso)
𝑓 𝑥 = 𝑝𝑥 1 − 𝑝 1−𝑥; 𝑥 = 1, 𝑃 𝑋 = 𝑝
0, 𝑃 𝑋 = 1 − 𝑝
𝐿 𝑝 = 𝑓 𝑥1 × 𝑓 𝑥2 ×⋯× 𝑓 𝑥𝑁 =
𝑖=1
𝑁
𝑓 𝑥𝑖
𝐿 𝑝 = 𝑝 𝑖=1𝑁 𝑥𝑖 1 − 𝑝 𝑖=1
𝑁 1−𝑥𝑖 = 𝑝 𝑖=1𝑁 𝑥𝑖 1 − 𝑝 𝑁− 𝑖=1
𝑁 𝑥𝑖
𝑙𝑛 𝐿 𝑝 = 𝑙𝑛 𝑝 𝑖=1𝑁 𝑥𝑖 1 − 𝑝 𝑁− 𝑖=1
𝑁 𝑥𝑖
𝑙𝑛 𝐿 𝑝 = 𝑙𝑛 𝑝 𝑖=1𝑁 𝑥𝑖 + 𝑙𝑛 1 − 𝑝 𝑁− 𝑖=1
𝑁 𝑥𝑖
𝑙𝑛 𝐿 𝑝 =
𝑖=1
𝑁
𝑥𝑖 𝑙𝑛 𝑝 + 𝑁 −
𝑖=1
𝑁
𝑥𝑖 𝑙𝑛 1 − 𝑝
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
• 𝑙𝑛 𝐿 𝑝 = 𝑖=1𝑁 𝑥𝑖 𝑙𝑛 𝑝 + 𝑁 − 𝑖=1
𝑁 𝑥𝑖 𝑙𝑛 1 − 𝑝
•𝜕𝑙𝑛 𝐿 𝑝
𝜕𝑝= 0 ⟹
• 𝑖=1𝑁 𝑥𝑖
𝑝−
𝑁− 𝑖=1𝑁 𝑥𝑖
1−𝑝= 0 ⟹
𝑖=1𝑁 𝑥𝑖
𝑝=
𝑁− 𝑖=1𝑁 𝑥𝑖
1−𝑝⟹
• 1 − 𝑝 × 𝑖=1𝑁 𝑥𝑖 = 𝑝 × 𝑁 − 𝑖=1
𝑁 𝑥𝑖 ⟹
• 𝑝 × 𝑁 − 𝑖=1𝑁 𝑥𝑖 + 𝑖=1
𝑁 𝑥𝑖 = 𝑖=1𝑁 𝑥𝑖 ⟹
• 𝑝 = 𝑖=1𝑁 𝑥𝑖
𝑁
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
Exemplo 1
• Amostra de 5 elementos {1; 0; 1; 1; 0}
• {sucesso; fracasso; sucesso; sucesso;
fracasso}
• 𝑝 = 𝑖=1𝑁 𝑥𝑖
𝑁=
3
5= 0,6
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
Distribuição Contínua
𝑓 𝑥 = 𝜃𝑥 𝜃−1
q
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
Distribuição Contínua
• 𝑓 𝑥 = 𝜃𝑥 𝜃−1
• Amostra de N elementos
• 𝐿 𝜃 = 𝑓 𝑥1 × 𝑓 𝑥2 ×⋯× 𝑓 𝑥𝑁 = 𝜃𝑥1𝜃−1
× 𝜃𝑥2𝜃−1
×
⋯× 𝜃𝑥𝑛𝜃−1
= 𝜃𝑁 × 𝑥1 × 𝑥2 ×⋯× 𝑥𝑁𝜃−1
• 𝑙𝑛 𝐿 𝜃 = 𝑁𝑙𝑛 𝜃 + 𝜃 − 1 × 𝑙𝑛 𝑥1 × 𝑥2 ×⋯× 𝑥𝑁
• 𝑙𝑛 𝐿 𝜃 = 𝑁𝑙𝑛 𝜃 + 𝜃 − 1 × 𝑙𝑛 𝑖=1𝑁 𝑥𝑖
•𝜕𝑙𝑛 𝐿 𝜃
𝜕𝜃= 0 ⟹
𝑁
𝜃+ 𝑙𝑛 𝑖=1
𝑁 𝑥𝑖 ⟹ 𝜃 =−𝑁
𝑙𝑛 𝑖=1𝑁 𝑥𝑖
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
Exemplo
• Amostra de 5 elementos {0,37; 0,88; 0,94; 0,67; 0,79}
• 𝜃 =−𝑁
𝑙𝑛 𝑖=1𝑁 𝑥𝑖
• 𝑖=15 𝑥𝑖 = 0,162
• 𝑙𝑛 𝑖=1𝑁 𝑥𝑖 = −1,82
• 𝜃 =−5
−1,82= 2,75
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
Distribuição de Poisson
• Amostra de N elementos, deseja-se estimar o valor de (lt)
• 𝑓 𝑥 =𝜇𝑥𝑒−𝜇
𝑥!⟹ 𝐿 𝜇 = 𝑖=1
𝑁 𝜇𝑥𝑖𝑒−𝜇
𝑥𝑖!=
𝜇 𝑖=1𝑁 𝑥𝑖
𝑖=1𝑁 𝑥𝑖!
𝑒−𝑁𝜇
• 𝑙𝑛 𝐿 𝜇 = 𝑖=1𝑁 𝑥𝑖 𝑙𝑛 𝜇 − 𝑖=1
𝑁 𝑙𝑛 𝑥𝑖 − 𝑁𝜇
•𝜕𝑙𝑛 𝐿 𝜇
𝜕𝜇= 0 ⟹ 𝑖=1
𝑁 𝑥𝑖1
𝜇− 0 − 𝑁 = 0
• 𝜇 = 𝑖=1𝑁 𝑥𝑖
𝑁
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
Exemplo com distribuição de Poisson
Amostra com 6 elementos {4; 3; 1; 2; 1; 1} 𝑥 = 2
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
Distribuição Exponencial
• Amostra com N elementos, deseja-se estimar a taxa de
ocorrência 𝜆 = 1 𝐸 𝑋
• 𝑓 𝑥 = 𝜆𝑒−𝜆𝑥 ⟹ 𝐿 𝜆 = 𝑖=1𝑁 𝑓 𝑥𝑖 = 𝑖=1
𝑁 𝜆𝑒−𝜆𝑥𝑖 =
𝜆𝑁𝑒−𝜆 𝑖=1𝑁 𝑥𝑖
• 𝑙𝑛 𝐿 𝜆 = 𝑙𝑛 𝜆𝑁 +𝑙𝑛 𝑒−𝜆 𝑖=1𝑁 𝑥𝑖 = 𝑁𝑙𝑛 𝜆 − 𝜆 𝑖=1
𝑁 𝑥𝑖
•𝜕𝑙𝑛 𝐿 𝜆
𝜕𝜆= 0 ⟹ 𝑁
1
𝜆− 𝑖=1
𝑁 𝑥𝑖 = 0 ⟹ 𝜆 =𝑁
𝑖=1𝑁 𝑥𝑖
⟹ 𝜆 =
1
𝑥=
1
𝐸 𝑥
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
Exemplo com distribuição Exponencial
Amostra com 5 elementos {4; 3; 2; 1; 3} 𝑥 = 2,6
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
Exercício
Considere a fdp abaixo. Construa um
estimador de máxima verossimilhança para
o parâmetro l.
𝑓 𝑥 =
𝑥2𝑒 −𝑥𝜆
2𝜆3; 𝑥 > 0
0; 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
Exercício
Considere a fdp abaixo. Construa um
estimador de máxima verossimilhança para
o parâmetro l.
𝑓 𝑥 =
𝜃+3
3𝑥𝜃
3; 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 𝑒 𝜃 > 0
0; 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
Estimativa de parâmetros
• Estimativa por ponto– Uma amostras
– Várias amostras – média ponderada
• Estimativa por intervalo de confiança (IC)
O IC é construído de tal forma que se o processo de construção for repetido um grande número de vezes, o percentual de IC que contém de fato o parâmetro estimado é dado por (1- a)
Confiança = (1- a)
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
Intervalo de Confiança (IC) para:
• Média populacional –
• Variância populacional – 2
• Fração da população – p
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
Intervalo de Confiança (IC) para média
populacional –
20 30 40 50 60 70
20 30 40 50 60 70
Variável x na população
Variável média amostral de
uma amostra com N
elementos
NNx
2
;
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
20 30 40 50 60 70
Intervalo de Confiança (IC) para média
populacional –
Média amostral
Variável de interesse
na população
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
Intervalo de Confiança (IC) para
média populacional –
O limite inferior (Li) do IC é tal que:
P(T > t | q=Li) = a/2
O limite superior (Ls) do IC é tal que:
P(T < t | q=Ls) = a/2
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
Intervalo de Confiança (IC) para
média populacional –
máx
máx
IC
axP
axP
a
a
min
min
:
2|
2|
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
20 30 40 50 60 70
Valor da média
amostral observado
Distribuição da média
amostral quando =máx
Distribuição da média
amostral quando =min
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PRO 2723 – Estatística
Parte 03 – Estimação de parâmetros
20 30 40 50 60 70
Valor da média
amostral observado
Distribuição da média
amostral quando =máx
Distribuição da média
amostral quando =min
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
20 30 40 50 60 70
Valor da média
amostral observado
máxmin
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
Nzx
a
2
Intervalo de Confiança
para Média Populacional
Variância Conhecida
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
Exemplo
Suponha que uma amostra com 16 elementos teve
uma média de 13,6. Construa um IC para a média
populacional com nível de confiança de 90%. Suponha
que o desvio padrão populacional () é de 2,1.
5,147,12
9,06,13
16
1,265,16,13
65,1
%901
6,13
16
1,22
2
a
a
a
Nzx
z
x
N
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PRO 2723 – Estatística
Parte 03 – Estimação de parâmetros
Intervalo de Confiança para Média
Populacional
Variância Desconhecida
N
stx
N 1;2
a
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
Distribuição t de Student
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
z t com GL=3 t com GL=5 t com GL=10 t com GL=20
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PRO 2723 – Estatística
Parte 03 – Estimação de parâmetros
Distribuição de t de Student
Student é um pseudônimo
de William Sealy Gosset,
que não podia publicar
artigos usando seu próprio
nome.
1
Liberdade de Graus :
2
0
2
N
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
Exemplo
Suponha que uma amostra com 16 elementos teve
uma média de 13,6 e desvio padrão 2,1. Construa um
IC para a média populacional com nível de confiança
de 90%.
753,1
%10
%901
1,2
6,13
151
16
12
Nt
s
x
N
N
a
a
a
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
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PRO 2723 – Estatística
Parte 03 – Estimação de parâmetros
Dados da amostra
52,1468,12
92,06,13
92,06,1316
1,2753,16,13
753,1%10%901
1516
%10
%901
1,2
6,13
16
2;
%5;152
;
aa
a
a
a
a
N
stx
ttN
s
x
N
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PRO 2723 – Estatística
Parte 03 – Estimação de parâmetros
Dimensionamento do tamanho da
amostra
Qual deve ser o tamanho da amostra de
forma que a semi amplitude do intervalo
de confiança não seja superior a 0,6 e o
nível de confiança seja de 99,0%?
Dado que o desvio padrão (e a variância)
populacional é conhecida.( = 2,1)
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PRO 2723 – Estatística
Parte 03 – Estimação de parâmetros
Dimensionamento do tamanho da
amostra- 2 conhecido
82
81,546,0
1,258,22
2
2
2
2
2
N
N
e
zNe
Nz
Nze
Nzx
a
a
a
a
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PRO 2723 – Estatística
Parte 03 – Estimação de parâmetros
Dimensionamento do tamanho da
amostra
Qual deve ser o tamanho da amostra de forma que a semi amplitude do intervalo de confiança não seja superior a 0,6 e o nível de confiança seja de 99,0%?
Neste caso o desvio padrão (e a variância) populacional NÃO é conhecido. Assim, uma amostra piloto (N=16) será utilizada para se obter uma estimativa (s=2,1) do desvio padrão da população.
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PRO 2723 – Estatística
Parte 03 – Estimação de parâmetros
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PRO 2723 – Estatística
Parte 03 – Estimação de parâmetros
Dimensionamento do tamanho da
amostra - 2 desconhecido
107
29,1066,0
1,2947,22
2
2;1
2;1
2;1
2;1
N
N
e
stNe
N
st
N
ste
N
stx
N
N
N
N
a
a
a
a
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PRO 2723 – Estatística
Parte 03 – Estimação de parâmetros
Intervalo de Confiança para Fração da
população – p
• Distribuição Binomial
• Aproximação pela Normal
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
Aproximação pela NormalCondição Necessária
Np>5
N(1-p)>5
Distribuição Binomial
N: Número de provas de Bernoulli
P: probabilidade de sucesso mas provas de Bernoulli
X: número de sucessos
E[X]=Np
Var[X]=NPq=Np(1-p)
Distribuição Normal
E[X]=Np
Var[X]=Npq=Np(1-p)
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PRO 2723 – Estatística
Parte 03 – Estimação de parâmetros
Proporção amostral
Feita a aproximação pela normal a
proporção amostral será dada por
N
pqp
N
pqNpq
NXVar
NpVar
pNpN
XENN
XEpE
N
Xp
ˆPadrão Desvio
11ˆ
11ˆ
ˆ
22
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PRO 2723 – Estatística
Parte 03 – Estimação de parâmetros
Exercício 45
Foi feita uma pesquisa eleitoral no bairro A com 500 eleitores sendo que 100 deles manifestaram a intenção de votar no candidato H. No bairro B, foram entrevistados 1000 eleitores e 300 deles manifestaram interesse em votar em H.
a) Construa o intervalo de confiança para a probabilidade de votar em H no bairro A (confiança: 95%).
b) Construa o intervalo de confiança para a probabilidade de votar em H no bairro B (confiança: 95%).
c) Construa o intervalo de confiança para a diferença entre as probabilidades de votar em H no bairro A e B (confiança: 95%).
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
Exercício 45
%5,3%20
)1(
1,8%
%20
%20500
100
2
p
N
ppzpp
IC:
p
N
pq
p
a
Bairro A
%8,2%30
)1(
1,4%
%30
%301000
300
2
p
N
ppzpp
IC:
p
N
pq
p
a
Bairro B
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
Exercício 45
2,3%
%10
1,4%
%30
1,8%
%20
22
ABX
ABX
AB
B
B
A
A
ppX
4,51%%10
%3,21,96%10
%3,2%102
X
X
X z
IC:
a
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
Dimensionamento do tamanho da
amostra
Estimativa de uma fração da população
Qual deve ser o tamanho da amostra de
forma que a semi amplitude do intervalo
de confiança não seja superior a 1% e o
nível de confiança seja de 90%?
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
724.68201,02
64,1
2
ˆ
2
2
2
2
2
2
2
2
2
N
e
zN
e
zpqNe
N
pqz
N
pqze
N
pqzpp
aa
a
a
a
0
1/8
1/4
0 0,25 0,5 0,75 1
pq
p
Máximo valor de pq
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
Dimensionamento do tamanho da
amostra
Estimativa de uma fração da população
Qual deve ser o tamanho da amostra de
forma que a semi amplitude do intervalo de
confiança não seja superior a 1% e o nível
de confiança seja de 90%?
É sabido que esta fração é não superior a
20%!
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
0
1/8
1/4
0 0,25 0,5 0,75 1
pq
p
304.4
36,303.416416,001,0
64,116,0
16,0
ˆ
2
2
2
2
2
2
2
2
2
N
N
e
zN
e
zpqNe
N
pqz
N
pqze
N
pqzpp
aa
a
a
a
Máximo valor de pq é
0,16
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
Intervalo de Confiança para Variância
populacional – 2
• Distribuição Qui-quadrado
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
VariânciaIntervalo de Confiança
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
Distribuição Qui-quadrado (c2)
2
1
22
2
2
1
1
2
22
1
1
2
2
1
2
1
1
2
2
1
1
22
1
1
1
1
n
n
i
i
n
i
i
n
n
i
i
n
n
i
in
ns
sn
n
xxn
xx
xx
z
c
c
c
c
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
Distribuição Qui-quadrado c2
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0 2 4 6 8 10
x
f(x)
GL=1 GL=2 GL=3 GL=4 GL=5
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Parte 03 – Estimação de parâmetros
Intervalo de Confiança
2
21;1
22
2
2;1
2
2
2;12
22
21;1
2
2;1
2
1
2
21;1
2
2;1
2
1
2
21;1
11
1
1
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cccc
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P
Prof. Dr. Renato de Oliveira Moraes
PRO 2723 – Estatística
Parte 03 – Estimação de parâmetros
Exemplo
Uma amostra de onze elementos,
extraída de uma população com
distribuição normal, forneceu
variância s2=7,08. Construir um
intervalo de 90% de confiança
para a variância desta população.
Prof. Dr. Renato de Oliveira Moraes
PRO 2723 – Estatística
Parte 03 – Estimação de parâmetros
Exemplo
17,973,87
3,9403
08,710
18,3070
08,71011
18,3070
3,9403
%901
08,7
101
11
2
2
2
21;1
22
2
2;1
2
2
%5;10
2
2;1
2
%95;10
2
21;1
2
c
c
cc
cc
a
aa
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a
nn
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n
snsn
s
n
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