Universidade Federal do Triângulo Mineiro – UFTM
Prof.: Daniel Oliveira Veronese
Cônicas
O que é uma Superfície Cônica?
Uma superfície cônica de revolução é a superfície gerada pela rotação completa de uma reta (geratriz) em torno de outra reta (eixo), formando com esta sempre o mesmo ângulo, até completar uma revolução (volta completa). Ao ponto comum à geratriz e ao eixo chama-se vértice.
O que é uma Cônica?
É chamada de Cônica toda curva que se obtém como interseção de um plano com uma superfície cônica.
Obs.: Quando o plano que intersecta a superfície cônica passa pelo vértice, a seção obtida é uma cônica degenerada. Caso contrário, obtemos cônicas não degeneradas.
Cônicas Não Degeneradas
ELIPSE: neste caso, o plano secante não passa pelo vértice e intersecta todas as posições da geratriz e o eixo. Além disso, é oblíquo em relação ao eixo.
Se, em particular, o plano é perpendicular ao eixo, a elipse obtida é uma circunferência.
Hipérbole: neste caso, o plano secante não passa pelo vértice e é paralelo ao eixo;
Parábola: neste caso, o plano secante não passa pelo vértice e é paralelo apenas a uma posição da geratriz.
Cônicas Degeneradas
Ponto(Elipse degenerada)
Duas retas concorrentes(hipérbole degenerada): neste caso, o plano secante é paralelo ao eixo e passa pelo vértice.
Reta(parábola degenerada): neste caso, o plano secante é paralelo apenas a uma posição da geratriz e passa pelo vértice.
Enfatizaremos o estudo das cônicas não degeneradas, ou seja, elipse, hipérbole e parábola.
Parábola
Consideremos em um plano uma reta d e um ponto F não pertencente a d.
Definimos parábola como sendo o lugar geométrico dos pontos que são equidistantes de F e d.
Figura 7.1
Figura 7.2
Observando a figura 7.2 vemos que uma condição necessária e suficiente para que o ponto P pertença à parabola é:
d(P,F)=d(P,P').
Elementos da Parábola
Foco: ponto F Diretriz: reta d
Eixo: reta que passa pelo foco sendo perpendicular à diretriz.
Vértice: é o ponto V de interseção da parábola
com seu eixo.
Equação da Parábola de Vértice na Origem do Sistema
1º Caso: O eixo da parábola é o eixo dos y
Figura 7.3
Da definição de parábola obtemos:
ou seja:
Sendo assim, obtemos:
ou, simplesmente:
que é equação reduzida da parábola neste caso.
Concavidade voltada para cima
dasf
Concavidade voltada para baixo
2º Caso: O eixo da parábola é o eixo dos x
Nesse caso, de modo análogo o que foi feito no primeiro caso, concluímos que:
Concavidade voltada para a direita
Concavidade voltada para a esquerda
Observação
O número p(que é diferente de zero) é chamado parâmetro da parábola.
Translação de Eixos
Consideremos no plano xOy um ponto O'(h,k), arbitrário. Vamos introduzir um novo sistema x'O'y' tal que os eixos O'x' e O'y' tenham a mesma unidade de medida, a mesma direção e o mesmo sentido dos eixos Ox e Oy. Nestas condições, um sistema pode ser obtido do outro, por meio de uma translação de eixos.
Pela figura anterior vemos que:
ou:
que são as fórmulas de translação e que
permitem transformar coordenadas de um sistema para outro.
Equação da Parábola de Vértice Fora da Origem do Sistema
1º caso: o eixo da parábola é paralelo ao eixo dos y
Do que já vimos, sabemos que:
mas:
e daí:
que é a forma padrão da equação de uma parábola de vértice V(h,k) e eixo paralelo ao dos y.
2º caso: o eixo da parábola é paralelo ao eixo dos x
Neste caso, de modo análogo ao caso anterior, obtemos:
Equação da Parábola na Forma Explícita
1º caso: eixo da parábola paralelo ao eixo dos y
2º caso: eixo da parábola paralelo ao eixo dos x
Exemplos
Serão feitos no caderno!!!!!!
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