Revis ão de Álgebra Linear
• Denomina-se posto ou Rank de uma matriz A, um número k tal que:
• a)existe pelo menos uma sub-matriz quadrada de A de ordem k, cujo determinante é não nulo .
• b)Toda sub-matriz quadrada de A, de ordem maior que k, tem determinante nulo.
• (de outro modo: Amxn. O rank linha é igual ao número máximo de linhas linearmente independente de A. O rank coluna é igual ao número máximo de colunas linearmente independentes de A. Pode-se mostrar posto linha=posto coluna).
Revis ão de Álgebra Linear
• Amxn, Posto (A) ≤mínimo{m,n}. Se posto(A)=mínimo{m,n}, então A tem posto completo.
• Amxn tem posto k se e somente se:
00
QkI
Revis ão de Álgebra Linear
• Seja Amxn e considere o sistema Ax=b e (A,b) de ordem m x (n+1).
• Se posto(A,b) > posto(A), o sistema é incompatível (b não pode ser escrito como combinação linear de a1,a2,...,an).
• Se posto(A,b)=posto(A)=k então:
kApostobAposto
xkbnxkAbA
bAbA
==
=
)1()1,1(
,)1(),(1,22
11),(
Revis ão de Álgebra Linear
• Restrições A2x=b2 são redundantes.• Posto(A1)=k, pode-se pegar k colunas linearmente
independentes de A1.• A1=(B,N), B(k x k) é uma matriz não singular e
chamada de matriz básica e N (k x(n-k)) échamada de matriz não básica.
kApostobAposto
xkbnxkAbA
bAbA
==
=
)1()1,1(
,)1(),(1,22
11),(
Álgebra linear
• Resumindo (Seja o sistema Ax=b, Amxn.)
• Se posto (A,b)>posto(A), Ax=b não tem solução.• Se posto(A,b)=posto(A)=k=n, o sistema tem
solução única.• Se posto (A,b)=posto(A)=k<n, Ax=b tem infinitas
soluções.
Álgebra linear
• Seja o sistema Ax=b, Amxn. Suponha que posto(A)=posto(A,b)=m<n.
• A=(B,N), onde Bmxn (matriz básica), Nmx(n-m) (matriz não-básica).
• x=(xB,xN), xB –Variáveis básicas e XN – variáveis não básicas.
NNxBbBBx
BDet
bNNxBBxbAx
11
0)(
−−−=
≠=+⇔=
Solução geral – Infinitas soluções,Há Cm,n maneiras de escolher a partição
Partiçã o básica
• Seja Ax=b, onde Amxn , bmx1 , xnx1 (m< n). Supor que posto(A)=m.
• É possível reorganizar as colunas de A de tal modo A=[B,N] e que:
• Bmxm é formada por m colunas linearmente independentes de A dada por:
Onde B1, B2,..., Bm são os índices das colunas escolhidas da matriz A (índices básicos)
Partiçã o básica
• Nmx (n-m) - formada pelas n-m colunas restantes de A.
• N pode ser escrita como:
Onde N1, N2,..., Nm são os índices das colunas da matriz A que pertencem a N (índices não-básicos)
Esta reorganização é definida como partição básica
Partiçã o básica (partiçã o das variáveis)
• A partição de A em [B N] cria uma partição das variáveis:
variáveis básicas
variáveis não básicas
Solu ção básica
• Considere uma partição básica A=[B,N]. Uma solução é dita básica quando:
• Se xB≥0 então temos uma solução básica factível. Caso contrário, temos uma solução básica não-factível.
• Se xB>0 dizemos que a solução básica factível énão degenerada.
^̂̂
Alguns pontos
Factíveis (Por quê ?) (((construconstruçãção e no e nããoo--negatividadenegatividade)))
Alguns pontos
Na fronteira (alguma variável se anula)!
VariVariááveis nulas indicam restriveis nulas indicam restriçõções ativas!es ativas!Mais de uma variMais de uma variáável se anula: vvel se anula: véértice (mais de uma rtice (mais de uma restrirestriçãção ativa)!o ativa)!
Outros pontos
InfactInfactííveis:veis:
Respeitam o sistema Ax = bRespeitam o sistema Ax = bmas nmas nãão respeitam as restrio respeitam as restriçõções de nes de nããoo--negatividade!negatividade!
Propriedades
Se um problema de otimização linear tem uma solução ótima, então existe um vértice ótimo
Considere a região factível S={x∈∈∈∈Rn tal que Ax=b, x≥0}. Um ponto x ∈∈∈∈ S é um vértice se e somente se x for uma solução básica factível.
Método poss ível
• Enumerar todas as soluções básicas factíveis (vértices)x1, x2, ... xK
• Escolher aquela com melhor função objetivo.
• Problema:K pode ser muito grande!
Simplex
Idéia:
•Partir de uma solução básica factível
•Visitar apenas as soluções básicas factíveis melhores que ela.
Método Simplex
Perguntas
• Dada uma solução básica factível (ou seja, um vértice)
• 1) Esta solução é ótima ?
• 2)Caso não seja ótima, como encontrar uma solução básica factível melhor ?
Pergunta 1: A solu ção atual é ótima ?
• Considere uma solução básica factível:
• E a solução geral do sistema usando a mesma partição :
=N
B
x
xx
Pergunta 1: A solu ção atual é ótima ?
• A função objetivo pode ser expressa considerando a partição básica:
=N
B
x
xx
• Definição (vetor multiplicador simplex): O vetor λmx1, dado por:
é chamado vetor multiplicador simplex (ou também, vetor de variáveis duais).
O vetor multiplicador simplex pode ser obtido por:
Pergunta 1: A solução atual é ótima ?
( ) BT
BTT
BT cBcBBc =⇔=⇔= −− λλλ 11
Custos relativos
Definição: Os coeficientes das variáveis não-básicas na função objetivo descrito acima são chamados custos relativos ou custos reduzidos.
• x1 + x2 = 4 (variável de folga associada: x3)• x1 = 3 (variável de folga associada: x4)
Logo, o vértice (solução básica) deve ser obtido com a partição:
B = (1,2,5) , N = (3,4)
• Atribuindo zero às variáveis não-básicas:x3=x4 = 0
Todos positivos: soluTodos positivos: soluçãção bo báásica factsica factíível.vel.
• Vamos calcular os custos relativos:
B = (B1,B2,B3) = (1,2,5) , NB = (NB1,NB2) = (3,4)
m variáveis básicas
nn--m varim variááveis nveis nããoo--bbáásicassicas
outra maneira de calcular λT
( ) BT
BTT
BT cBcBBc =⇔=⇔= −− λλλ 11
Vamos calcular os custos relativos
Condiçã o de otimalidade
SoluSoluçãção o bbáásicasica
factfactíível e custos relativos vel e custos relativos maiores que zeromaiores que zero
problema de minimizaproblema de minimizaçãçãoo
SoluSoluçãçãooóótimatima
Resumo
• Já vimos:– Soluções básicas estão associadas a vértices
(pontos extremos)– Se há uma solução ótima, então há um ponto
extremo (solução básica) ótima.– Podemos definir os custos relativos de variáveis não
básicas como:– Se, em um problema de minimização (maximização),
para uma dada solução básica, todos os custos relativos são positivos (negativos), a solução é ótima.
Perguntas
• 1) A solução atual é ótima ?Respondida (ver último item do slide anterior)
• 2) Como encontrar uma solução básica factível melhor ?
A solu ção não é ótima
• Existe ao menos uma variável não-básica xNkpara a qual:
*problema de minimização
Estratégia simplex
•Vamos perturbar a solução básica factível de modo a diminuir o valor da função objetivo .•Definição (estratégia simplex). Chamamos de estratégia simplex a perturbação de uma solução básica factível que consiste em alterar as variáveis não básicas por:
isto é, escolhemos uma variável com custo relativo negativo e adicionamos uma pequena perturbação.
Resultado na fun ção objetivo
Pergunta: a solução perturbada é factível ? Sim, se a perturbação é suficientemente pequena e a soluçãobásica original é não degenerada.
qual o maior qual o maior εε ??
Direção simplex e tamanho do passo
• Mudando as variáveis não-básicas, obrigatoriamente temos que mudar as variáveis básicas:
diredireçãção simplex!o simplex!
Direção simplex e tamanho do passo
• As novas variáveis básicas (perturbadas) devem continuar não-negativas:
O que acontece se...
• Se no momento de calcular o passo máximo, todos os yi são negativos...
... significa que para qualquer valor de ε, a nova solução é factível. Como quanto maior ε, maior o decrescimento da função objetivo, a solu ção ótima será ilimitada !
Exemplo
A direA direçãção simplex indica a maneira como as vario simplex indica a maneira como as variááveis bveis báásicas se modificam, ao sicas se modificam, ao se aumentar uma dada varise aumentar uma dada variáável nvel nããoo--bbáásica (no caso, Nsica (no caso, N11=1)=1)
No caso geral:
• Ao resolvermos:
determinamos a variável da base que vai se anular (sair da base).
• Anteriormente, ao escolhermos uma variável não-básica com custo relativo negativo, escolhemos a variável não-básica que vai assumir valor positivo (entrar na base).
No caso geral
• Partição anterior:
escolhida para entrarescolhida para entrar(custo relativo negativo)(custo relativo negativo)
escolhida para sairescolhida para sair(primeira ao se anular ao aumentarmos x(primeira ao se anular ao aumentarmos xNNkk
))
A nova solu ção
• Pode-se mostrar que a nova matriz B éinvertível.
• Como os valores das variáveis da nova B são não-negativos, trata-se de uma solução factível.
• Seu custo é:
Graficamente, no exemplo
* Índice da variável não-básica escolhida para entrar (N1 = 1) (escolhemos aquela com menor custo relativo)
* Índice da variável básica escolhida para sair (B2 = 4)(escolhemos aquela que primeiro se anulava ao aumentarmos ε.)
Nova partição: B = (3,1,5) N=(4,2)
26 Sep 2008 . 22:00
Fácil, pois os coeficientes das variáveis de folga formam uma matriz identidade.