Ondas
OSCILACOES FORCADASMecanica II (FIS-26)
Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pela
IEFF-ITA
23 de maio de 2013
R.R.Pela Oscilacoes
Ondas
Roteiro
1 OndasOndas UnidimensionaisEquacao de Ondas UnidimensionaisOndas HarmonicasOndas em cordasInterferencia
R.R.Pela Oscilacoes
Ondas
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R.R.Pela Oscilacoes
Ondas
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Ondas transversais numa corda
Consideremos uma perturbacao que se propaga ao longo doeixo x, no sentido positivo. Num certo t (fixado), y(x, t) tera oaspecto de uma certa funcao f(x). Num outro instante t′, oaspecto sera o mesmo de f(x), porem deslocado para adireita, de modo que podemos afirmar que:
y(x, t′) = f(x− v(t′ − t))R.R.Pela Oscilacoes
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Ondas transversais numa corda
De forma geral, podemos dizer que:
y(x, 0)∆= f(x)
y(x, t) = f(x− vt)Esta e uma onda progressiva para a direita, que sepropaga com velocidade v. No caso de uma ondaprogressiva que se propaga para a esquerda comvelocidade v, temos, analogamente:
y(x, t) = g(x+ vt)
Numa corda, e possıvel que coexistam tanto ondasprogressivas para a direita como para a esquerda, demodo que a solucao geral e:
y(x, t) = f(x− vt) + g(x+ vt)R.R.Pela Oscilacoes
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Equacao de Ondas Unidimensionais
Dada a semelhanca entre as ondas e o MHS, esperamosque a equacao de onda seja de 2a ordem, mas agora setrata de uma EDP, ja que y depende de x e t.Num primeiro momento, faremos uma deducao intuitivadesta EDP (depois ela sera obtida a partir das leis daMecanica)
y(x, t) = f(x− vt) + g(x+ vt)
∂2y
∂2x= f
′′(x− vt) + g
′′(x+ vt)
∂2y
∂2t= v2
[f
′′(x− vt) + g
′′(x+ vt)
]∂2y
∂2x=
1
v2
∂2y
∂2tR.R.Pela Oscilacoes
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Ondas Harmonicas
Um caso particular de solucao da equacao de ondas equando a funcao f(x) tem a forma cossenoidal
f(x) = A cos
(2πx
λ+ δ
)∆= A cos(kx+ δ)
Nesse caso:
y(x, t) = A cos(kx− kvt+ δ) = A cos(kx− ωt+ δ)R.R.Pela Oscilacoes
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Ondas Harmonicas
y(x, t) = A cos(kx− kvt+ δ) = A cos(kx− ωt+ δ)
Este tipo de solucao e conhecido como onda harmonica(onda monocromatica – uma unica frequencia) que sepropaga para a direita.Tambem e possıvel ter uma onda harmonica sepropagando para a esquerda:
y(x, t) = A cos(kx+ ωt+ δ)
A grandeza k =2π
λe conhecida como numero de onda, e
ω e a frequencia angular.
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Ondas Harmonicas
Ha uma relacao entre ω e k:
ω = kv ou ainda 2πf =2π
λv
v = λf
O argumento do cosseno ϕ(x, t) = kx− ωt+ δ econhecido como fase da onda, ao passo que δ e chamadade constante de fase.A funcao y(x, t) tambem pode ser escrita na formacomplexa como:
y(x, t) = Re[Aei(kx−wt+δ)
]R.R.Pela Oscilacoes
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Ondas numa corda
Aplicando a 2a lei de Newton para este elemento etomando a direcao y:T sin θ(x+ ∆x)− T sin θ(x) = (∆m)ay
ay =∂2y
∂t2
(x+
∆x
2, t
)R.R.Pela Oscilacoes
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Ondas numa corda
Considerando θ pequeno (ligeiro deslocamento):
sin θ(x) ∼= tan θ(x) =∂y
∂x(x, t)
sin θ(x+ ∆x) ∼= tan θ(x+ ∆x) =∂y
∂x(x+ ∆x, t)
Sendo µ a densidade linear
T
[∂y
∂x(x+ ∆x, t)− ∂y
∂x(x, t)
]= (µ∆x)
∂2y
∂t2(x+
∆x
2, t)
No limite em que ∆x→ 0:
∂2y
∂x2(x, t) =
µ
T
∂2y
∂t2(x, t)
Onda unidimensional com v =√T/µ
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Solucao geral
Consideremos a mudanca:{r = x− vts = x+ vt
∂y
∂t=∂y
∂r
∂r
∂t+∂y
∂s
∂s
∂t=∂y
∂r(−v) +
∂y
∂s(+v)
∂2y
∂t2= (−v)
(∂2y
∂r2
∂r
∂t+
∂2y
∂r∂s
∂s
∂t
)+ (v)
(∂2y
∂r∂s
∂r
∂t+∂2y
∂s2
∂s
∂t
)Analogamente:
∂2y
∂x2=∂2y
∂r2+ 2
∂2y
∂r∂s+∂2y
∂s2
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Solucao geral
Substituindo:∂2y
∂r∂s= 0 ∴
∂
∂r
∂y
∂s= 0
∴∂y
∂s= G(s) ∴ y =
∫G(s)ds+ f(r) = g(s) + f(r)
y(x, t) = f(x− vt) + g(x+ vt)
como ja tınhamos visto antes de forma intuitiva.A solucao geral pode ser particularizada sob as condicoesiniciais: y(x, 0) = y0(x)
∂y
∂t(x, 0) = y1(x)
Estas condicoes iniciais especificam f(x) e g(x) a menos,possivelmente, de uma constante aditiva.
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Exemplo
Suponha que a corda sofra um deslocamento inicial y0(x) eseja solta do repouso.
f(x) + g(x) = y0(x) − f ′(x) + g′(x) = 0
∴ g(x) = f(x) + C
∴ 2f(x)+C = y0(x) ∴ f(x) =y0(x)
2−C
2∴ g(x) =
y0(x)
2+C
2
y(x, t) =1
2[y0(x− vt) + y0(x+ vt)]
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Intensidade
Uma onda transporta energia. Mas a que taxa?Consideremos que um agente externo esteja transferindoenergia a corda atraves da movimentacao de um elementode massa na posicao x.
Para ondas progressivas, a potencia transferida e:
P = Fy∂y
∂t= −T ∂y
∂x
∂y
∂t
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Intensidade
No caso de uma onda harmonica
P = ωkTA2 sin2(kx− ωt+ δ) = µvw2A2 sin2(kx− ωt+ δ)
Em geral, mais importante que o valor instantaneo de P , emais importante saber o valor medio, que e chamado deintensidade I da onda (unidimensional).
I = P =1
T
∫ t′+T
t′P (x, t)dt
I =µvω2A2
2
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Ondas no mesmo sentido
Como a equacao de ondas e linear, qualquersuperposicao de ondas (que sao solucao da EDP)tambem e uma solucao valida.A superposicao de ondas e um fenomeno conhecido comointerferencia.Vamos estudar esse fenomeno para o caso de ondasprogressivas harmonicas.Consideremos duas ondas progressivas se propagandopara a direita:
y1 = A1 cos(kx− wt+ δ1) = Re[A1e
ikxe−iwteiδ1]
y2 = A2 cos(kx− wt+ δ2) = Re[A2e
ikxe−iwteiδ2]
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Ondas no mesmo sentido
A superposicao destas duas ondas resulta em:
y = Re[ei(kx−wt)(A1e
iδ1 +A2eiδ2)]
A1eiδ1 +A2e
iδ2 e um numero complexo que podemos escrevercomo Aeiδ
A2 = (A1eiδ1 +A2e
iδ2)(A1e−iδ1 +A2e
−iδ2)
A2 = A21 +A2
2 + 2A1A2 cos(δ1 − δ2)
Assim:
y(x, t) = Re[Aei(kx−wt+δ)
]= A cos(kx− wt+ δ)
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Ondas no mesmo sentido
Intensidade da onda resultante
I = I1 + I2 + 2√I1I2 cos(δ1 − δ2)
Nem sempre a intensidade de duas ondas em processo deinterferencia e igual a soma das intensidades individuais.A intensidade e maxima quando:
δ1 − δ2 = 2mπ m = 0,±1,±2, ...
Imax = (√I1 +
√I2)2
Nesse caso, a interferencia e construtiva. Do contrario, aintensidade e mınima (interferencia destrutiva) quando:
δ1 − δ2 = (2m+ 1)π m = 0,±1,±2, ...
Imin = (√I1 −
√I2)2
Para valores intermediarios de δ1 − δ2, a intensidade variaconforme a figura seguinte.
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Ondas no mesmo sentido
Para valores intermediarios de δ1 − δ2, a intensidade variaconforme a figura seguinte.
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Ondas em sentidos opostos
Para o caso de ondas de mesma amplitude se propagando emsentidos opostos
y1 = A cos(kx− ωt)
y2 = A cos(kx+ ωt)
A superposicao destas duas ondas resulta em:
y = 2A cos kx cosωt
que e uma solucao que nao se propaga (onda estacionaria).As ondas componentes tem fluxos de energia iguais econtrario, que se cancelam na resultante, de modo que o fluxomedio de energia se anula neste caso.
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