8/2/2019 OitavaListaDeExercicios-FisicaIII O Campo Magnetico
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LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IFUFRGS 3 de Dezembro de 2005, as 16:17
Exerccios Resolvidos de Teoria Eletromagnetica
Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fsica teorica,
Doutor em Fsica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Instituto de Fsica, Universidade Federal do Rio Grande do Sul91501-970 Porto Alegre, BRASIL
Materia para a TERCEIRA prova. Numeracao conforme a quarta edicao do livro
Fundamentos de Fsica, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
Conteudo
30 O Campo Magnetico 2
30.1 Questoes . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
30.2 Problemas e Exerccios . . . . . . . . . 3
30.2.1 Definicao de B 1/8 . . . . . . 3
30.2.2 A Descoberta do Eletron 9/13 6
30.2.3 O Efeito Hall 14/18 . . . . . . 6
30.2.4 Movimento Circular de uma
Carga 19/37 . . . . . . . . . . 7
30.2.5 Cclotrons e Sincrotons 38/42 9
30.2.6 Forca magnetica sobre fio trans-
portando corrente 43/52 . . . 9
30.2.7 Torque sobre uma Bobina de
Corrente 53/61 . . . . . . . . 10
30.2.8 O Dipolo Magnetico 62/72 . . 12
Comentarios/Sugestoes e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br
(lista3.tex)
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30 O Campo Magnetico
30.1 Questoes
Q 30-1.
Dos tres vetores na equacao
, que pa-
res sao sempre ortogonais entre si? Que pares podem
formar um angulo arbitrario entre si?
Esta questao e apenas uma revisaode algebra vetorial:
o vetor que resulta de um produto vetorial de dois outros
vetores deve sempre ser ortogonal aos vetores dos quais
descende. Portanto os vetores
e
podem fazer um
angulo arbitrario entre si. Mas
sera necessariamente
perpendicular tanto a
quanto a
.
Q 30-3.
Imagine que voce esteja sentado numa sala com as cos-
tas voltadas para a parede, da qual emerge um feixe de
eletrons que se move horizontalmente na direcao da pa-
rede em frente. Se o feixe de eletrons for desviado paraa sua direita, qual sera a direcao e o sentido do campo
magnetico existente na sala?
Vertical, para baixo. Pois fazendo o produto vetorial
vemos que a forca magnetica aponta para a es-
querda, fornecendo a direcao para onde partculas carre-
gadaspositivamente sao desviadas. Eletrons desviam-se
para a direita.
Q 30-4.
Como podemos descartar a hipotese de as forcas exis-
tentes entre mas serem forcas eletricas?
Basta colocar os mas em contato e, depois separa-los:
as forcas nao se neutralizam e sua magnitude, direcao
e sentido nao se altera apos ter havido o contato e a
separacao.
Q 30-6.
Se um eletron em movimento for desviado lateralmente
ao atravessar uma certa regiao do espaco, podemos afir-
mar com certeza que existe um campo magnetico nessa
regiao?
Nao. Tal afirmativa sera valida apenas se o eletron
andar em crculos sem variar sua energia cinetica.
Q 30-11.
Quais sao as funcoes fundamentais do: (a) campo
eletrico e (b) campo magnetico no ciclotron?
(a) Estabelecer a ddp que acelera as cargas [i.e. au-
menta sua energia]; (b) Estabelecer movimento circu-
lar que permite a aceleracao das mesmas, ao serem re-
injetadas no campo eletrico.
Q 30-12.
Qual e o fato central que possibilita a operacao de
um ciclotron convencional? Ignore consideracoes rela-
tivsticas.
O fato central que permite a operacao de um ciclo-
tron e a chamada condic ao de ressonancia, expressa pe-
la Eq. (30-22):
circulacao
oscilador eletrico
Q 30-17.
Um condutor tem uma carga total nula, mesmo quando
percorrido por uma corrente. Por que, entao, um campo
magnetico e capaz de exercer uma forca sobre ele?
Numa corrente eletrica os eletrons possuem uma
mobilidade grande ao passo que os protons pratica-
mente nao se movem (porque estao rigidamente liga-
dos na rede cristalina). Portanto, surge uma forca
magnetica macroscopica em virtude destes movimentos
microscopicos dos eletrons.
Q 30-19.
Uma espira retangular ocupa uma posicao arbitraria
num campo magnetico externo. Que trabalho e ne-
cessario para girar a espira em torno de um eixo per-
pendicular ao seu plano?
Nenhum. Justifique!
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Dica: A energia potencial magnetica de um dipolo
magnetico
colocado num campo magnetico externo
e! " $ &
(
0
Q 30-21.
Mostramos, no exemplo 9, que o trabalho necessario
para inverter uma espira de corrente, num campo
magnetico externo, a partir da posicao em que esta ali-
nhada com o campo vale2
3 . Este resultado e valido
para qualquer rotacao de5 6 8 @
que parta de uma posicao
arbitraria?
Nao.
B
! " $ D F &
(
! " $ &
(
3 P R T
" $ D F &
( V (
3 P R T
" $ & X
2
3 P R T
" $ & `
pois P R T" $ D F &
P R T
" $ &
P R T
" F &
(
P R T
" $ &
Desta ex-
pressao vemos que o resultado final depende do angulo$
, do qual partimos, ao fazer a rotacao de5 6 8 @
.
Q 30-22.
Imagine que no aposento em que voce esta sentado exis-
ta um campo magnetico uniforme
apontando verti-
calmente para cima. Uma espira circular tem seu plano
horizontal. Para que sentido da corrente (vista de cima)
estara a espira em equilbrio estavel em relacao as forcas
e torques de origem magnetica?
Anti-horario, pois minimiza
! " $ &
.
30.2 Problemas e Exerccios
30.2.1 Definicao de B 1/8
E 30-1
Expresse a unidade de um campo magnetico 3 em ter-
mos das dimensoesg
,h
,i
ep
(massa, comprimento,
tempo e carga).
Uma maneira simples de se fazer isto e usando-se a
Eq. 30-6,
, que fornece
t
3 u
t w
u
t
u
t x
u
g h i
"
p
& "
h i
&
g
p i
E 30-2
Quator part culas seguem as trajetorias mostradas na
Fig. 30-28 quando elas passam atraves de um campo
magnetico. O que se pode concluir sobre a carga de
cada partcula?
O que podemos concluir sobre o sinal da carga e o
seguinte, considerando-se a atuacao da forca magnetica
: A partcula 1 tem carga positiva, pois
desloca-se no mesmo sentido em que atua
. Analoga-
mente, as partculas 2 e 4 tem carga negativa.
Para a partcula 3 podemos concluir mais do que apenas
seu sinal: a partcula 3 nao tem carga pois, como se per-
cebe claramente da figura, a possibilidade do produtovetorial ser zero (isto e, termos
//
) esta excluida.
Em outras palavras, perceba que uma partcula carrega-
da poderia atravessar um campo magnetico sem sobre
deflexao, desde que viajasse paralelamente ao campo.
Isto e uma consequencia direta do produto vetorial que
define
.
E 30-3
Um eletron num tubo de TV esta se movendo a
2
5 8
m/s num campo magnetico de intensidade6
mT. (a)
Sem conhecermos a direcao do campo, quais sao omaior e o menor modulo da forca que o eletron po-
de sentir devido a este campo? (b) Num certo ponto a
aceleracao do eletron e
5 8 m/s
. Qual e o angulo
entre a velocidade do eletron e o campo magnetico?
(a) As forcas maxima e mnima ocorrem para
8 @e
8 @, respectivamente. Portanto
w
max
x
3 sen
8
@
"
5
5 8
& "
2
5 8
& "
6
5 8
&
j
5 8
N
w
min
x
3 sen8
@
8N
(b) Comon
w
o
"
x
3 sen
$ &
o temos que
$
sen
o
n
x
3
sen
"
5 5
5 8
& "
5 8
&
j
5 8
8
2
@
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E 30-4
Um protonque se movenum angulo de2 @
em relacao a
um campo magnetico de intensidade 2 mT experimen-ta uma forca magnetica de
j
5 8
N. Calcular: (a)
a velocidade escalar e (b) a energia cinetica em eletrons-
volt do proton.
(a) A magnitude da forca magnetica no proton e dada
porw
x
3 sen
, ondex
e a velocidade do proton,3 e a magnitude do campo magnetico, e
e o angulo
entre a velocidade da partcula e o campo. Portanto
x
w
3 sen
j
5 8
N
"
5
5 8
C
& "
2
5 8
T
&
sen2
@
5 8 zm/s
(b) A energia cinetica do proton e
{
5
2
o
x
5
2
"
5
5 8
kg
& "
5 8 zm/s
&
5
5 8
J
`
energia esta que equivale a
5
5 8
J
5
5 8
J/eV
6
j
eV
P 30-5
Um eletron que tem velocidade
"
2
5 8
m/s
& } D
"
5 8
m/s
&
penetra num campo magnetico
"
8
8 8 i
& } D "
8
5
j
i
&
. (a) Determine o modulo, direcao
e o sentido da forca sobre o eletron. (b) Repita o calculo
para um proton tendo a mesma velocidade.
(a) A equacao que fornece a forca e
.Portanto, basta calcular o produto vetorial:
}
2
5 8
5 8
8
8
8 8
(
8
5
j
8
(
"
8
5
j
& "
2
5 8
&
(
"
8
8 8
& "
5 8
&
`
onde (
5
5 8
C. Fazendo as contas,
obtemos,
D
5 8
(b) Neste caso o calculo e identico ao anterior, porem
usando-se agora
D
5
5 8
C:
(
5 8
P 30-6
Um eletron num campo magnetico uniforme tem uma
velocidade
"
8km/s
& } D "
j
km/s
&
. Ele experi-
menta uma forca (
"
2fN
& } D "
6fN
&
. Sabendo-
se que 3
8, calcular o campo magnetico [que da
origem a forca].
Nota: o prefixo
= femto =5 8
z
.
Como 3
8, escrevemos
3
D
3
e tratamos
de descobrir o valor das duas componentes desconheci-das, 3 e 3 . Com este campo obtemos para a forca
magnetica:
"
x
} D
x
&
"
3
D
3
&
w
} D
w
`
ondew
(
2
5 8
z
N ew
6
5 8
z
N.
Efetuando o produto e simplificando encontramos que
w
x
3
`
w
(
x
3
`
x
3
8
`
e, portanto, que3
8 . Assim sendo, temos
3
w
x
(
2
5 8
z
"
(
5
5 8
& "
j
5 8
&
"
8
j
&
i
Sera que a relacaow
x
3 , que nao foi usada nos
calculos acima, tambem fica satisfeita? E facil verificar
que tal relacao tambem e obedecida, consistentemente:
w
w
( 6
2
(6
( 8
j
(
x
x
P 30-7
Os eletrons de um tubo de televisao tem uma energia
cinetica de5
2keV. O tubo esta orientado de modo que
os eletrons se movam horizontalmente do sul magnetico
para o norte magnetico. A componente vertical do cam-
po magnetico da Terra aponta para baixo e tem modulo
dej j
T. (a) Em que direcao o feixe sera desviado?
(b) Qual a aceleracao de um eletron devida ao campo
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magnetico? (c) Qual sera o desvio sofrido pelo feixe
apos ter percorrido2 8
cm atraves do tubo de televisao?
(a) Desenhe uma linha reta vertical e, sobre ela, su-ponha que o o Sul magnetico (
norte geografico) es-
teja localizado na parte superior da figura e o Norte
magnetico
(
sul geografico) na parte inferior. Entao,
neste diagrama, o oeste esta a esquerda, o leste direita.
Conforme os dados do problema, o vetor velocidade
dos eletrons tera a mesma direcao da linha vertical,
apontando de cima para baixo (dado do problema), en-
quanto que o campo magnetico da Terra apontara sem-
pre para dentro da pagina onde estiver desenhada a li-
nha reta.
Isto posto, a regra da mao direita nos fornece que
aponta para a direita (Leste). Porem, como a carga do
eletron e negativa, a forca magnetica sobre ele apontara
para a esquerda (Oeste).
Esta resposta contradiz a resposta do livro. Mas a minha
resposta parece-me ser a correta.
(b) Usew
o n, onde
w
x
3 sen
. Nesta ex-
pressaox
e a magnitude da velocidade do eletron, 3 a
magnitude do campo magnetico, e
e o angulo entre
a velocidade do eletron e o campo magnetico, ou seja,
8 @. Portanto,
n
x
3 sen
8 @
o
x
3
o
Para podermos determinar o valor numerico destaaceleracao falta-nos ainda obter o valor de
x
, que pode
ser facilmente obtido da energia cinetica:
x
2
{
o
2
"
5 2
5 8
eV
& "
5
5 8
J/eV
&
5 5
5 8
kg
5 8
m/s
Portanto
n
x
3
o
"
5
8
5 8
& "
5 8
& "
j j
5 8
&
5 5
5 8
2'
5 8
m/s
(c) A orbita do eletron e circular. Como a aceleracao e
dada porx
, onde
e o raio da orbita, encontramos
que
x
n
"
5 8
&
2
5 8
2m
O pedaco de crculo percorrido pelo eletron subenten-
de um angulo
$
a partir do centro. O comprimento
8
2 8m que foi andado no tubo implica numa
reducao
(defleccao) do raio
. O triangulo curvo
cuja hipotenusa e a trajetoria curva do eletron, o lado
maior e
e o lado menor e a deflexao
nos fornece
P R T
$
(
`
e
sen
$
Elevando ambas equacoes ao quadrado e somando o re-
sultado obtemos
"
(
&
D
, ou seja,
(
O sinal mais corresponde a um angulo de5 6 8
@
(
$
. O
sinal menos corresponde a solucao fisicamente corre-ta.
Como
e muito menor que
, podemos usar o teorema
da expansao binomial e expandir
(
. Os dois
primeiros termos de tal expansao sao
(
"
2
&
de
onde obtemos finalmente que a defleccao (diminuicao
de
) e dada por
2
8
8 8 2
6m
2
6mm
P 30-8
Um eletron tem uma velocidade inicial
"
5 2km/s
& D
"
5
j
km/s
&
e uma aceleracao de
"
2
5 8 km/s
& }
nu-
ma regiao em que estao presentes um campo eletrico
e um campo magnetico uniformes. Sabendo-se que
"
8 8
T
& }
, determine o campo eletrico
.
Chamando a aceleracao de
e partindo-se da relacao
"
D
&
o
`
encontramos sem dificuldades que
o
D
`
onde o sinal negativo foi usado para trocar a ordem dos
fatores no produto vetorial.
"
(
5 5
}
(
8
D
6
&
V/m
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30.2.2 A Descoberta do Eletron 9/13
E 30-10
Umeletron com energia cinetica de2
j
keV se move ho-
rizontalmente para dentro de uma regiao do espaco onde
existe um campo eletrico direcionado para baixo e cujo
modulo e igual a5 8
kV/m. (a) Quais sao o modulo, a
direcao e o sentido do (menor) campo magnetico capaz
de fazer com que os eletrons continuem a se mover hori-
zontalmente? Ignore a forca gravitacional, que e bastan-
te pequena. (b) Sera possvel, para um proton, atravessar
esta combinacao de campos sem ser desviado? Se for,
em que circunstancias?
(a) Usamos a energia cinetica para determinar a velo-
cidade:
x
2
{
o
2
"
2
j
5 8
eV
& "
5
8
5 8
J/eV
&
5 5
5 8
kg
2
5 8
m/s
Usando a Eq. 30-10, obtemos:
3
x
5 8
5 8
V/m
2
5 8
m/s
5 8
T
O campo magnetico tem que ser perpendicular tanto ao
campo eletrico quanto a velocidade do eletron.
(b) Um proton passara sem deflexao caso sua velocidade
seja identica a velocidade do eletron. Devido a carga do
proton ter sinal positivo, observe que as forcas eletricas
e magneticas revertem suas direcoes, porem continuam
a cancelar-se!
E 30-11
Um campo eletrico de5
j
kV/m e um campo magnetico
de8
T atuam sobre um eletron em movimento de mo-
do a produzir uma forca resultante nula. (a) Calcule a
velocidade escalar mnimax
do eletron. (b) Desenhe
vetores
`
e
.
Como a forca resultante e nula, o modulo da forca
eletrica e igual ao modulo da forca magnetica:
x
3 . Portanto
(a)
x
3
5
j
5 8
8
j
5 8 m/s
(b) Uma possibilidade e: com
saindo perpendicular-
mente ao plano da pagina e
apontando para baixo,
temos um desvio para cima quando o eletron entrar da
esquerda para a direita, no plano da pagina. Faca este
desenho!
P 30-13
Uma fonte de ons esta produzindo ons de
Li (massa
=
u), cada um com uma carga
D
. Os ons sao acele-
rados por uma diferenca de potencial de5 8
kV e entram
numa regiao onde existe um campo magnetico unifor-
me vertical 3
5
2T. Calcule a intensidade do menor
campo eletrico, a ser estabelecido na mesma regiao que
permitira aos ons de Li a passagem sem desvios.
Para que a forca total
D
"
D
&
se anule, ocampo eletrico
tem que ser perpendicular a velocida-
de
dos ons e ao campo magnetico
. O campo e per-
pendicular a velocidade de modo que
tem magni-
tudex
3 , sendo a magnitude do campo eletrico dada por
x
3 . Como os ons tem carga
D
e sao acelerados
por uma diferenca de potencial
, temoso
x
2
,
ou sejax
2
o. Portanto,
3
2
o
"
5
2U i
&
2
"
5
8
5 8
-
& "
5 8
5 8
&
"
8
& "
5
5
5 8
&
6
5 8z
o
Note que a massa, dada em
, precisou ser convertida
para kg.
30.2.3 O Efeito Hall 14/18
E 30-15
Mostre que, em termos de do campo eletrico Hall e
da intensidade de corrente
, o numero de portadores de
carga por unidade de volume e dado por
3
Chamando o campo eletrico Hall de , temos quew
w
ou seja,
x
3 . Como a
velocidade de deriva e dada porx
"
&
, basta
substitui-la na equacao anterior para se encontrar que
3
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30.2.4 Movimento Circular de uma Carga 19/37
E 30-19.
Campos magneticos sao frequentemente usados para
curvar um feixe de eletrons em experimentos de fsica.
Que campo magnetico uniforme, aplicado perpendicu-
larmente a um feixe de eletrons que se move a5
5 8
m/s, e necessario para fazer com que os eletrons percor-
ram uma trajetoria circular de raio8
j
m?
Sabemos que
x
3
o
x
. Portanto
o
x
"
3
&
, donde tiramos que
3
o
x
"
5 5
5 8
Kg
& "
5
5 8 m/s
&
"
5
5 8
C
& "
8
j m
&
2
5 5
5 8 zT
E 30-20.
(a) Num campo magnetico com 3
8
j
T, qual e o
raio da trajetoria circular percorrida por um eletron a
5 8 da velocidade escalar da luz? (b) Qual a sua ener-
gia cinetica em eletrons-volt? Ignore os efeitos rela-
tivsticos.
(a) Use a Eq. 30-17 para calcular o raio:
o
x
3
"
5 5
5 8
& "
8
5
& "
8
5 8
&
"
5
8
5 8
& "
8
j
8
&
5 8
m
(b)
{ 5
2
o
x
"
5 5
5 8
& "
8
5 8
&
2
"
5
5 8
J/eV
&
2
5 8 eV
E 30-21.
Que campo magnetico uniforme deve ser estabelecido
no espaco de modo a fazer um proton, de velocidade
escalar5
5 8 m/s, mover-se numa circunferencia do
tamanho do equador terrestre.
Use a Eq. 30-17:
3
o
x
"
5
5 8
& "
5
8
5 8
&
"
5
8
5 8
& "
5 8
&
5
5 8
T
E 30-22.
(a)
x
2
{
o
2
"
5
2 8
5 8
& "
5
8
5 8
&
5 5
5 8
2
8
j
5 8
m/s
(b) Use a Eq. 30-17:
3
o
x
"
5 5
5 8
& "
2
8
j
5 8
&
"
5
8
5 8
& "
2
j
8
5 8
&
5 8
T
(c)
x
2
F
2
8
j
5 8
2
F "
2
j
8
5 8
&
5
5
5 8
Hz
(d)
i
5
5
5
5
5 8
5 8
s
E 30-24.
O perodo de revolucao do on de iodo ei
2
F
x
2
F
o
"
3
&
, o que nos fornece
o
3
i
2
F
"
5
8
5 8
& "
j
8
5 8
& "
5
2
5 8
&
"
2
F & "
5
5 8
kg/u
&
5 2 u
P 30-31.
O on entra no espectrometro com uma velocidadex
relacionada com o potencial porB {
, assim:
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5
2
o
x
Dentro do instrumento, o on realiza um movimento cir-
cular com velocidadex
inalterada usando, entao, a Se-
gunda Lei de Newton:
o
x
x
3
Mas da primeira equacao,x
e
, substi-
tuindo estes valores, temos:
2
3
Portanto,
o
3
6
P 30-33.
(a) Resolvendo a equacao encontrada no Problema
30-31 para o campo 3 , substituindo
2m nela:
3
6 o
6
"
5 8 8
5 8
& "
2
5 8
z
&
"
2 8
5 8
-
& "
2
8 o
&
8
j
i
(b) Seja
o numero de ons separados pela maquina
por unidade de tempo. A corrente e entao
e
a massa que e separada por unidade de tempo eg
o , onde
oe a massa de um unico on.
gtem o valor
g
5 8 8 o
5 8 8
5 8
8 8
2
6
5 8
Como
g o
temos
g
o
"
2 8
5 8
-
& "
2
6
5 8
&
2
5 8
z
2
2
5 8
(c) Cada on deposita uma energia de
na taca, de
modo que a energia depositada num tempo
e dada
por
`
onde a segunda expressao foi obtida substituindo-se
no lugar de
. Para
5hora, temos
"
2
2
5 8
& "
5 8 8
5 8
& "
8 8
&
6
5
5 8
P 30-35.
(a) Ver o Exemplo 4. O perodo e dado por
i
2
F
x
sen
2
F
x
sen
o
x
sen
3
2
F
o
3
O positron e um eletron positivo, assim no SI
i
j
6
5 8
s
(b) O passo
"
x
P R T
&
i, entao, temos primeiro que
acharx
atraves da energia cinetica. Ou seja,
x
2
{
o
2
j
5
5 8
m/s
Portanto,
"
x
P R T
&
i
8
5
mm
(c) O raio e
o
x
sen
3
5
j
5
mm
P 30-37.
(a) O raio
da orbita circular e dado por
"
3
&
,
onde 3 e a magnitude do campo magnetico. A ex-
pressao relativstica
o
x
5
(
x
deve ser usa-
da para a magnitude
do momentum. Aqui,x
e a mag-
nitude da velocidade do proton,o
e sua massa, e
e a
velocidade da luz. Portanto
o
x
3
5
(
x
Elevando-se esta expressao ao quadrado e resolvendo-a
parax
obtemos
x
3
o
D
3
Subsitutindo-se
5 8 o(raio da terra),
5
8 2 2
5 8
-
(a carga do proton), 3
5
5 8
i,
o
5
2
5 8
(a massa de
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um proton), e
2
5 8 o obtem-se, final-
mente,x
2
5 8
o
(b) Desenho dos vetores: veja no livro!
30.2.5 Cclotrons e Sincrotons 38/42
P 30-42.
Faca uma estimativa da distancia percorrida por um
deuteron no ciclotron do Exemplo 30-5 (pagina 169) du-
rante o processo de aceleracao. Suponha um potencial
acelerador entre os d es de 6 8 kV.
Aproxime a distancia total pelo numero de revolucoes
multiplicado pela circunferencia da orbita correspon-
dente a energia media. Isto e uma boa aproximacao pois
o deuteron recebe a mesma energia a cada revolucao e
seu perodo nao depende da sua energia.
O deuteron acelera duplamente em cada ciclo e, cada
vez, recebe uma energia de
6 8
5 8
eV. Comosua energia final e5
MeV, o numero de revolucoes
que ele faz e
5
5 8
eV
2
"
6 8
5 8
eV
&
5 8
Sua energia media durante o processo de aceleracao e
6
MeV. O raio da orbita e dado por
o
x
"
3
&
,
ondex
e a velocidade do deuteron. Como tal velocidade
e dada porx
2
{
o, o raio e
o
3
2
{
o
5
3
2
{
o
Para a energia media temos
{
"
6
5 8
eV
& "
5
5 8
J/eV
&
Portanto,
2
{
"
5 8
&
"
5
8
5 8
& "
5
j
&
8
j
m
A distancia total viajada e, aproximadamente,
2
F
"
5 8
& "
2
F & "
8
j
&
2
j
m
30.2.6 Forca magnetica sobre fio transportando
corrente 43/52
E 30-44.
Um condutor horizontal numa linha de forca transporta
uma corrente dej
8 8 8A do sul para o norte. O cam-
po magnetico da Terra (
8
T) esta direcionado para o
norte e inclinado para baixo de um angulo de 8
@ com
a linha horizontal. Determine o modulo, a direcao e o
sentido da forca magnetica devida ao campo da Terra
sobre5 8 8
m do condutor.
A magnitude da forca magnetica sobre o fio e dada
por
w
h
3 sen
`
onde
e a corrente no fio,h
e o comprimento do fio,3 e a magnitude do campo magnetico, e
e o angulo
entre a corrente e o campo. No presente caso,
8 @
.
Portanto
w
"
j
8 8 8
& "
5 8 8
& "
8
8
5 8
&
sen 8
@
29 6
2N
Aplique a regrada mao direita ao produto vetorial
para mostrar que a forca aponta para o oeste.
E 30-45.
Um fio de5
6 8m de comprimento transporta uma cor-
rente de5
A e faz um angulo de
j
@com um cam-
po magnetico uniforme 3
5
j
T. Calcular a forca
magnetica sobre o fio.
w
h
3
sen j
@
"
5
& "
5
6
& "
5
j
&
sen
j
@
2l 8
5
P 30-46.
Como
, a corrente tem que fluir da es-
querda para a direita. A condicao de equilbrio requer
que tenhamosw
`
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isto e, que
h
3
o
Portanto
o
h
3
"
8
8 5 8
& "
6 o
&
"
8
2 8 o
& "
8
8 i
&
8
P 30-48.
A forca e dada por
, e aponta para o
lado esquerdo da figura, sendo esta a direcao da veloci-
dade. O modulo da forca ew
3
, sendo portanto a
aceleracao sofrida pelo fio dada porn
w
o. Como o
fio parte do repouso, sua velocidade e
x
n
w
o
3
o
P 30-52.
Uma barra de cobre de5
kg esta em repouso sobre dois
trilhos horizontais que distam5
m um do outro e per-
mite a passagem de uma corrente dej
8A de um trilho
para o outro. O coeficiente de atrito estatico e de8
8.
Qual e o menor campo magnetico (nao necessariamente
vertical) que daria incio ao movimento da barra?
Escolhendo uma orientacao arbitraria para o campo,
vemos que a forca magnetica tera tanto uma compo-
nente horizontal quanto uma componente vertical. A
componente horizontal devera atuar de modo a vencer
a forca de atrito
, onde
representa a forca
normal que os trilhos (parados) exercem sobre a barra e e o coeficiente de atrito estatico. A componente ver-
tical da forca magnetica atua no sentido de reduzir tanto
o peso da barra quanto a forca de atrito.
Seja
$
o angulo que 3 faz com a vertical. A forca
magnetica ew
h
3 , pois 3 faz
8 com a barra
horizontal. Como a barra esta prestes a deslizar, usando
a Eq. 1 do Cap. 6, obtemos para as componentes hori-
zontais:
h
3 P R T
$
(
8
Equilibrando as componentes verticais, obtemos:
D
h
3 sen
$
(
o
8
Eliminando
das duas equacoes, encontramos:
h
3 P R T
$
(
"
o
(
h
3 sen
$ &
8
`
ou seja,
3
P R T
$ D
sen
$
O menor valor de 3 ocorre quando o denominador da
expressao acima for maximo. Para determina o valor de$
que maximiza tal denominador basta calcular a deri-vada em relacao a
$
do denominador e iguala-la a zero:
8
$
P R T
$ D
sen
$
(
sen
$ D
P R T
$
Portanto, o denominador tera um extremo [que e um
maximo. Verifique isto!] quando
sen
$
P R T
$
tg
$ `
ou seja, quando$
8
8
5
@
Substituindo este valor de
$
na expressao para 3 , acima,
encontramos o valor mnimo pedido:
3
min
8
8
"
5
8kg
& "
6m/s
&
"
j
8A
& "
5
8m
& "
P R T
5
@
D
8
8sen
5
@
&
8
5 8T
30.2.7 Torque sobre uma Bobina de Corrente
53/61
E 30-54.
A Fig. 30-39 mostra uma bobina de retangular, com2 8
voltas de fio, de dimensoes5 8
cm [prj
cm. Ela trans-
porta uma corrente de8
5 8A e pode girar em torno de
um lado longo. Ela esta montada com seu plano fa-
zendo um angulo de 8 @
com a direcao de um campo
magnetico uniforme de8
j
8T. Calcular o torque que
atua sobre a bobina em torno do eixo que passa pelo
lado longo.
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No plano de uma folha de papel, escolha um sistema
de coordenadas XY com o eixo
na horizontal, cres-
cendo para a direita, e o eixo na vertical, crescendo
para baixo. Com tal escolha, o eixo de giro estara sobre
a vertical8
, enquanto que o campo estara na mesma
direcao horizontal de
.
Chame den
e
os comprimentos curtos e longos que
formam o retangulo da bobina. Seja
$
o angulo de 8 @
entre o ladon
e o campo (suposto ao longo do eixo8
).
Na bobina atuarao quatro forcas, uma sobre cada um
dos lados do retangulo. Porem, a unica forca que pode
produzir um torque em relacao ao eixo vertical e aquela
exercida sobre o lado de comprimento
oposto ao eixo
de apoio. O modulo de tal forca e:
w
3
sen 8
3
`
estando ela dirigida ao longo do eixo (isto e, para bai-
xo).
De acordo com a figura indicada na solucao deste pro-
blema, vemos que a menor distancia entre a forcaw
e o
eixo de giro (oo seja, o chamado braco de alavanca) e
(n
P R T
$
). Portanto, o torque para
espiras sera:
"
3
& "
n
P R T
$ &
5 8 N 0 m
Pela regra da mao direita o sentido e(
, ou seja, o tor-
que esta orientado de cima para baixo.
Uma outra maneira (mais formal porem bem maisdireta) e calcular o torque a partir da sua definicao
3 , onde
"
n
&
. Nes-
ta definicao e preciso cuidar para usar o angulo correto!
Notando-se que o angulo entre 3 e
(cuja direcao e a
da normal a espira) e de
8
(
$
graus, temos
3 sen
"
8
(
$ &
3 P R T
" $ &
"
n
&
3 P R T
" $ &
5 8
N 0 m
Perceba que as duas expressoes usadas para contem
exatamente os mesmos elementos, porem ordenados de
modo diferente, com interpretacoes um pouco diferen-tes: num caso o fator
n
P R T
$
da o braco de alavanca, no
outro o P R T$
aparece devido ao produto escalar.
P 30-56.
Se
espiras completas sao formadas por um fio
de comprimentoh
, a circunferencia de cada volta e de
h , e o raio e de
. Portanto, a area de cada espira
vale:
F "
h
2
F
&
h
F
Para o torque maximo, orientamos o plano de espiras
paralelamente as linhas do campo magnetico; assim, se-
gundo a Eq. 27,
$
8 , temos:
3
h
F
3
h
3
F
Como aparece no denominador, o torque maximo
ocorre quando
5 :
h
3
F
P 30-59.
A Fig. 30-40 mostra um anel de arame de raio n per-pendicular a direcao geral de um campo magnetico di-
vergente, radialmente simetrico. O campo magnetico no
anel tem em todos os seus pontos o mesmo modulo 3 e
faz um angulo
$
com a normal ao plano do anel. os fios
de ligacao, entrelacados, nao tem efeito algum sobre o
problema. Determine o modulo, a direcao e o sentidoda
forca que o campo exerce sobre o anel se este for per-
corrido por uma corrente
como mostra a figura.
Considere um segmento infinitesimal do laco, de
comprimento
. O campo magnetico e perpendicular
ao segmento de modo que a forca magnetica sobre ele
tem uma magnitude w
3
. O diagrama abaixomostra a direcao da forca para o segmento na extrema
direita do laco:
A componente horizontal da forca tem magnitude
w
"
3 P R T
$ &
e aponta para dentro do centrodo laco. A componente vertical tem magnitude
w
"
3 sen
$ &
e aponta para cima.
Agora, somemos as forcas em todos segmentos do laco.
A componente horizontal da forca total anula-se pois ca-
da segmento do fio pode ser pareado com outro segmen-
to, diametralmente oposto. As componentes horizontais
destas forcas apontam ambas em direcao ao centro do
laco e, portanto, em direcoes opostas.
A componente vertical da forca total e
w
3 sen
$
3 sen
$ "
2
F
n
&
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Note que, 3 , e
$
tem o mesmo valor para cada segmen-
to e portanto podem ser extraidos para fora da integral.
P 30-60.
(a) A corrente no galvanometro deveria ser de5
2
mA quando a ddp atraves da combinacao resistor-
galvanometro e de5
V. A ddp atraves do galvanometro
apenas e
"
5
2
5 8
& "
j
&
8
57 2 ' 2 V
de modo que o resistor deve estar em serie com o gal-
vanometro e a ddp atraves dele deve ser
5
8
(
8
5 2 2
8
6 6
V
A resistencia deve ser
8
6 6
5
2
5 8
j
2
(b) A corrente no galvanometro deveria ser de5
2
mA quando a corrente atraves da combinacao resistor-
galvanometro e dej
8mA. O resistor deve estar em pa-
ralelo com o galvanometroe a corrente atraves dele deve
ser
j
8
(
5
2
6
6mA
A ddp atraves do resistor e a mesma que a ddp atraves
do galvanometro,8
5 2 2V, de modo que a resistencia
deve ser
8
57 2 ' 2
6
6
5 8
2
j
2
P 30-61.
A Fig. 30-41 mostra um cilindro de madeira com mas-
sao
8
2
j
8kg e comprimento
h
8
5 8m, com
5 8
voltas de fio enrolado em torno dele longi-tudinalmente, de modo que o plano da bobina, assim,
formada, contenha o eixo do cilindro. Qual e a corrente
mnima atraves da bobina capaz de impedir o cilindro
de rolar para baixo no plano inclinado de
$
em relacao
a horizontal, na presenca de um campo magnetico uni-
forme vertical de8
j
T, se o plano dos enrolamentos for
paralelo ao plano inclinado?
Se o cilindro rolar, tera como eixo instantaneo de
rotacao o ponto
, ponto de contato do cilindro com
o plano. Nem a forca normal nem a forca de atrito exer-
cem torques sobre
, pois as linhas de acao destas duas
forcas passam pelo ponto
. As duas unicas forcas que
exercem torque em relacao a
sao (i) o peso e (ii) a
forca devida ao campo magnetico.
Da definicao de torque [Eq. 12-21 da quarta edicao Hal-
liday] temos
`
onde
o no caso gravitacional em questao. Por-
tanto, o modulo do torque devido a acao gravitacional
vale
o
o
sen
$ `
onde
representa o raio do cilindro. O torque devido
ao campo magnetico sobre a espira vale:
3 sen
$
3 sen
$
"
2 h
&
3 sen
$
Para que nao haja rotacao, os dois torques devem ser
iguais (ou, equivalentemente, a soma dos torques deve
ser nula):
m 2 l h
3 sen
$
o
sen
$
Portanto,
o
2l
3
h
2
j
A
30.2.8 O Dipolo Magnetico 62/72
E 30-62.
(a) A magnitude do momento de dipolo magnetico e
dada por
, onde
e o numero de voltas,
e a
corrente em cada volta, e e a area do laco. Neste caso
os lacos sao circulares, de modo que
F
, onde
eo raio de uma volta. Protanto,
F
2
j
8
"
5
8
& " F & "
8
8 5
8
&
5 2
A
(b) O torque maximo ocorre quando o momento de di-
polo estiver perpendicular ao campo (ou o plano do laco
for paralelo ao campo). O torque e dado por
3
"
2
8
& "
j
8
5 8
&
6
8
j
5 8
N 0 m
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Pagina 12 de 13
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LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, IFUFRGS 3 de Dezembro de 2005, as 16:17
P 30-63.
O momento de dipolo da Terra vale6
J/T. Suponha
que ele seja produzido por cargas fluindo no nucleo der-
retido da Terra. Calcular a corrente gerada por estas car-
gas, supondo que o raio da trajetoria descrita por elas
seja
j
8 8km.
Da equacao
F
obtemos sem proble-
mas
F
6
8
5 8
F "
j
8 8
5 8
&
2
8 6
5 8
A
P 30-67.
Uma espira circular de corrente, de raio6
cm, transpor-
ta uma corrente de8
2A. Um vetor unitario, paralelo ao
momento de dipolo
da espira e dado por8
8
}
(
8
6 8
.
A espira esta imersa num campo magnetico dado por
"
8
j
i
& } D "
8
i
&
. Determine (a) o torque
sobre a espira (usando notacao vetorial) e (b) a energia
potencial magnetica da espira.
Conforme dado, o vetor momento de dipolo
magnetico e
"
8
8
}
(
8
6 8
& `
onde
F
5
"
8
2 8
& " F & "
8
8 6 8
&
8 2 5 2
5 8 A 0 m
Nesta expressao,
e a corrente na espira,
e o numero
de espiras, a area da espira, e
e raio da espira.
(a) O torque e
"
8
8
}
(
8
6 8
&
"
8
2
j
} D
8
8
&
V
"
8
8
& "
8
2
j
& " }
} &
D "
8
8
& "
8
8
& " }
&
(
"
8
6 8
& "
8
2
j
& "
} &
(
"
8
6 8
& "
8
8
& "
& X
V
(
8
5 6
D
8
2l 8
(
8
2
}
X
`
onde usamos o fato que
}
(
`
}
(
`
} ` }
}
8
Substituindo o valor de obtemos
t
(
8
j
}
(
2
D
6
8
u
5 8
N 0 m
(b) A energia potencial do dipolo e dada por
!
(
0
3
(
"
8
8
}
(
8
6 8
&
0
"
8
2
j
} D
8
8
&
(
"
8
8
& "
8
2
j
&
(
8
5
j
(
8
5 8
J
`
onde usamos
}
0
}
5,
}
0
8e
0
8.
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Pagina 13 de 13
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