DECivil Secção de Mecânica Estrutural e Estruturas
2º TESTE + 1º EXAME - MECÂNICA I 29 de Junho de 2007 Muito importante: 1) Os problemas devem ser resolvidos em folhas separadas. 2) Todas as folhas devem ser identificadas com o nº de aluno, pelo menos. 3) Todas as passagens deverão ser mínimamente justificadas 4) As provas são estritamente individuais.
NOTA: 2º TESTE: Problemas 3, 4 e 5 1º Problema (4 valores) Considere o sistema constituído pelos seguintes 3 vectores e respectivos pontos de aplicação:
( )4;10;1284 1311 AeeVrrr
+=
( )4;6;14222 23212 −−−= AeeeVrrrr
( )10;4;10106 3323 AeeVrrr
−=
a) (2 val) Prove que é possível substituir o sistema por um só vector. b) (2 val) Verifique se é possível aplicar esse vector único em algum ponto da face
ABCD do cubo representado na figura.
X
Y
Z
2,0 m
2,0 m
2,0 m
A
B C
D
2º Problema (4 valores) Uma caixa A, de peso QA repousa sobre uma caixa B, de peso QB e está presa a uma parede por um cabo CD. Ao ponto E da caixa B está amarrado um cabo que tem suspenso na outra extremidade um peso P. O coeficiente de atrito estático entre todas as superfícies em contacto vale µ . Calcule em função dos dados o menor valor do peso P para o qual é possível retirar a caixa B de sob a caixa A. 3º Problema (5 valores) Considere a estrutura representada na figura, sujeita ao carregamento indicado.
a) (2 val) Calcule as reações no apoio B. b) (3 val) Trace os diagramas de esforços normais, de esforços transversos e de momentos
flectores nas barras EF e GC. 4º Problema (4 valores) Utilizando o Princípio dos Trabalhos Virtuais, calcule o esforço normal na barra DF da estrutura do problema anterior.
A
B
C
D
E
F
G
H I
60 kN
3 m 3 m
1,5 m
1,5 m
1,5 m
6 m
QB
QA
C
D
P
60º
E
10º
5º Problema (3 valores) Considere a viga ABC, encastrada em A, sujeita à acção de duas forças na sua extremidade C. Trace os diagramas de corpo livre das barras AB e BC, explicitando o valor de todas as cargas que as mantêm em equilíbrio. Trace os diagramas de todos os esforços internos nas barras AB e BC, utilizando o referencial local (x1, x2, x3) indicado para cada uma das barras.
X
Y
Z
A B
C 15 kN
20 kN
4,6 m
2,3 m
A B
x1 x2
x3
x3
B
C
x2
x1
RESOLUÇÂO
1º Problema a)
321 446 eeeRrrrr
−+=
321
321
408080804410121 eeeeee
M VO
rrrrrr
r−−==
321
321
40202022246142 eee
eeeM V
O
rrrrrr
r−+−=
−−−=
321
321
601001001060
104103 eeeeee
M VO
rrrrrr
r++−=
−=
321 204040 eeeMO
rrrr−+−=
020160240 =−+−=⋅ RMO
rr
Sistema equivalente a vector único. b)
RR
MROQ O
rrr
λ+×
+= 2 681616362 =++=R
321
321
40028080204040446 eee
eeeMR O
rrrrrr
rr++=
−−−=×
=⇒=−=
+=
+=
6866
2468400
468280
66880
λλ
λ
λ
z
y
x
⇒
>=
>=
268
544
268476
y
x
Não é possível substituir o sistema por um só vector aplicado na face ABCD.
2º Problema
=−−=−−−010cos010
21
12
NNTsenTQNN B
µµ
==+−
30cos030
1
1
DC
DCA
TNsenTQN
µ
πµπµ94
18080
−=⇒= ePTeTP
( )( )( )
πµ
µµµµ 9
4
1010cos3013012
esentg
tgQQP BA
−+++
=
QA
N1 T1=µ N1
TCD
D
QB
N2 T2=µ N2
T1=µ N1 N1
T
P
T
3º Problema a)
b)
B
C
H I
60 kN
3 m
1,5 m
1,5 m
1,5 m HB
VB
HC
VC
A
B
C
D
E
F
G
H I
60 kN
3 m 3 m
1,5 m
1,5 m
1,5 m
6 m
HB
VB
HA
VA
∑ =⇒=×−⇒= kNHHM BBC 60036030
∑ =⇒=×−×+⇒= kNVVM BBA 50012605,46090
C
E
F
G 60 kN
10 kN
10 kN HE
NDF
∑ =⇒=×−×+−⇒= kNNNM DFDFE 1006105,16030
∑ =⇒=−−⇒= kNHHF EEx 50010600
E
F
G
10 kN 50 kN
10 kN 10 kN
60 kN.m 60 kN
10 kN
+
N
E
F
G
10 kN
+
V
E
F
G
-
50 kN
75 kN.m +
M
E
F
G 15 kN.m
C 60 kN
10 kN
G
10 kN
60 kN.m 60 kN
C 60 kN
G
+ N
C G + 10 kN V
C G
- 60 kN.m M
4º Problema
2121 263 δθδθδθδθδ =⇒==Eyr
3232 235,1 δθδθδθδθδ =⇒==Cxr
036033 321 =×+−−= δθδθδθδτ DFDFapl NN
kNNNN DFDFDFapl 1001802343 333 =⇒=+×−×−= δθδθδθδτ
A
B
C
D
E
F
G
H I
60 kN
3 m 3 m
1,5 m
1,5 m
1,5 m
6 m
1 2
3
3δθ
1δθ C1 C2
C3
2δθ
NDF NDF
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