11
Risco, Retorno e o Custo de Oportunidade do Capital
José Fajardo
EBAPE-FGV
Nas próximas aulas
• Risco
• Medindo o Risco
• Risco de Carteiras
• Fronteira Eficiente
• Carteiras de Markowitz
Notícias Financeiras – Introdução de pequenas maquinas de impressão
mediados-1880
• Charles Dow (co-fundador com Edward Jones do
Dow, Jones & Co em 1882) foi o primeiro editor do
Wall Street Journal (fundado em 1885).
• A teoria de Dow:
– « tendências são persistentes até que o mercado envie sinais
mostrando que a tendência esta perdendo seu momento e va
reverter ».
– Dow Jones Average (1884): 12 companhias
– Desde então somente General Electric faz parte até hoje do
DJA.
22
Ìndices Financeiros
• Em 1860, Henry Varnum Poor publica
History of Railroads and Canals in the
United States. – Em 1906 Luther Lee Blake funda the Standard
Statistics Bureau
– 1913: Primeira publicação do indice que se
tornaria (em 1941) o famoso S&P500 cobrindo
97% do 1933 market cap.
» O Objetivo deste índice é mostrar que
obteria um investidor se tivesse investido em
cada ativo do NYSE a inicios de1871.
The Value of an Investment of $1 in 1926
Source: Ibbotson Associates
0.1
10
1000
1925 1940 1955 1970 1985 2000
S&PSmall CapCorp BondsLong BondT Bill
Ind
ex
Year End
1
6402
2587
64.1
48.9
16.6
0.1
10
1000
1925 1940 1955 1970 1985 2000
S&PSmall CapCorp BondsLong BondT Bill
Source: Ibbotson Associates
Ind
ex
Year End
1
660
267
6.6
5.0
1.7
Real returns
The Value of an Investment of $1 in 1926
33
Rates of Return 1926-2000
Source: Ibbotson Associates
-60
-40
-20
0
20
40
60
26
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
2000
Common Stocks
Long T-Bonds
T-Bills
Year
Per
cen
tage
Ret
urn
• Cowles
– Pideu a um matemático fazer uma regressão com 20 variáveis
• Dados: 7.500 recomendações de serviços financeiros, 4 anos de transações de companhias de seguros, 255 editoriais do WSJ de 1903 a 1929 e 3.300 recomendações de publicações financeiras
– Cowles’ Conclusion: « even if I did my negative surveys every five years, or others continued when I’m gone, it wouldn’t matter. People are still going to subscribe to these services. They want to believe that somebody really knows. A world in which nobody really knows can be frightening. »
Análise Quantitativo
Estudo Pioneiro
Em 1952, Markowitz publico um artigo no JF : « Portfolio Selection »
– Esta discusão somente comezou nos 60s.
– “...investors have a real desire of diversification and that somewhere, the RISK dimension is as important as the RETURN dimension”
– Aparece a ideia de « Fronteira Eficiente! »
– Markowitz obteve seu Ph.D na Univ. de Chicago, mesmo que Milton Friedman não estivesse de acordo em aceitar que a Tesis estaba no campo da economia e nem da matemática . Foi a primeira vez que as finanças foram consideradas um campo de pesquisa.
44
Principais ìdeias
• Dimensões
– Valor/Retorno
– Risco
– Tempo
Tempo
RiscoValor/Retorno
Risco
Questões Importantes?
• Que se entende por risco?
• Como posso medir este risco?
55
Tipos de Risco
• Risco Operacional
• Risco de Crédito
• Risco de Liquidez
• Risco Legal
• Risco Soberano
• Risco de Mercado
Risco Operacional
• Definição– Risco inerente à administração
da empresa.
• Tipos:– Risco Organizacional
• Organização ineficiente
– Risco de Equipamentos• Falhas de equipamentos
– Risco de Pessoal• Empregados pouco qualificados
Risco de Crédito
– Aspectos Objetivos
• análise econômico-
financeira
• qualidade das garantias
oferecidas
• existência de títulos
protestados
• análise do desempenho
do setor de atividade
• Análise de Crédito
– Aspectos Subjetivos
(Qualitativos)
• experiências em
relacionamentos
anteriores
• tradição
• idoneidade dos
controladores
Possível não recebimento dos recursos a que se tem direito.
66
Risco de Liquidez
• Desequilíbrio de Caixa
• Descasamento dos
prazos de vencimento
das operações ativas e
passivas
Risco Legal
• Documentação
inadequada
• Proibição legal para
operar
• Problemas na
execução de garantias
Risco Soberano
• Decisões unilaterais de
governos que podem
prejudicar ou adiar a
liquidação de
operações previamente
assumidas
77
Risco de Mercado
• Mudanças nos preços
dos ativos e passivos.
– Ações
– Câmbio
– Juros
– Commodities
• Descasamento dos
indexadores dos ativos
e passivos e de seus
prazos
Risco de Mercado e Específico
• Na gestão de carteiras de costuma usar o
termo Risco de Mercado ou Risco Sistemico
para identificar incertezas produzidas por
fatores de mercado q afetam os ativos como
um todo.
• E o termo Risco Específico identifica
incertezas produzidas por fatores que
afetam únicamente uma carteira, que não
representa o mercado.
Definições e Conceitos de Risco
• Retorno Esperado
– Aumento do capital
investido
• Risco
– Incerteza mensurada
[ ] ∑=
=←Ε=n
i
iObsn
X1
1µ̂µ
( )[ ] ( )∑=
−−
=←−Ε=n
i
iObsn
X1
222
1
1ˆ µσµσ
88
Variância Problemas
• Que captura a medida:
• Imagine duas carteiras uma com mais observações
a direita da média e outra simétrica somente que
agora a esquerda da média.
( )[ ] ( )∑=
−−
=←−Ε=n
i
iObs
nX
1
222
1
1ˆ µσµσ
Existem outras medidas importantes
• Skewness
• Kurtosis
( )[ ]3
3
σ
µ−Ε=
Xs
( )[ ]3
4
4
−−Ε
=σ
µXk
99
Daqui em diante assumiremos que os retornos são “Normais”
Testes de Normalidade
• Existem vários testes de Normalidade
• Importante a frequência considerada.
• Veremos no Lab.
Risco de Carteiras
1010
Retorno esperado:
rc = w1r1 + w2r2
w1 = proporção de recursos no ativo 1
w2 = proporção de recursos no ativo 2
r1 = retorno esperado de 1
r2 = retorno esperado de 2
1=∑=
n
1iiw
Carteira de dois ativos: RetornoCarteira de dois ativos: Retorno
σσσσc2 = w1
2σσσσ12 + w2
2σσσσ22 + 2w1w2 σσσσ12
σσσσ12 = variância de 1
σσσσ22 = variância de 2
σσσσ12 = Cov(r1r2) = Covariância dos retornos de 1 e 2
Carteira de dois ativos:Carteira de dois ativos: VariânciaVariância
∑∑= =
=2
1
2
1i j
ijjiww σ
σσσσ2c = w1
2σσσσ12 + w2
2σσσσ22 + w3
2σσσσ32 +
2w1w2σσσσ12 + 2w1w3σσσσ13+ 2w2w3σσσσ23
rc = w1r1 + w2r2 + w3r3
Carteira com 3 ativosCarteira com 3 ativos
∑∑= =
=3
1
3
1
2
i j
ijjic ww σσ
1111
Se a carteira c tem n ativos:
'**
1
22
1 1
2
1
wCovw
wwwww
rwr
n
i ji
ijjiii
n
i
n
j
ijjic
n
i
iic
=
+==
=
∑ ∑∑∑
∑
= ≠= =
=
σσσσ
Risco da carteiraRisco da carteira
rc = média ponderada de n ativos
σσσσc2= (considera todas as covariâncias)
Em geral, para Em geral, para nn ativos:ativos:
Número
de ativos
Desvio Padrão
Risco do Mercado
Risco Específico
Redução do risco pela diversificaçãoRedução do risco pela diversificação
0lim 22 ≠=∞→ mcn σσ
1212
Como:
σσσσ12 = ρρρρ1,2σσσσ1σσσσ2
onde: ρρρρ1,2 = coeficiente de correlação dos retornos,
e:
,
temos que:
CovariânciaCovariância
11 12 ≤≤− ρ
2112 σσσ ≤
Intervalo de valores para ρρρρ1,2
+ 1.0 > ρρρρ > -1.0
Se ρρρρ = 1.0, ativos são positiva e perfeitamente correlacionados
Se ρρρρ = - 1.0, ativos são negativa e perfeitamente correlacionados
Possíveis valores do coeficiente de correlaçãoPossíveis valores do coeficiente de correlação
Carteira com 2 ativosCarteira com 2 ativos
[ ]
( ) 21
2121
2
2
2
2
2
1
2
1
2121
2
2
2
2
2
1
2
1
1221
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2211
2
2
2
σρσσσσ
σρσσσ
σσσσ
wwww
wwww
wwww
rwrwrrE
c
c
cc
++=
++=
++=
+==
1313
Retorno Esperado vs. Desvio PadrãoRetorno Esperado vs. Desvio Padrão
Retorno Esperado vs. Desvio PadrãoRetorno Esperado vs. Desvio Padrão
Retorno Esperado vs. Desvio PadrãoRetorno Esperado vs. Desvio Padrão
1414
Ef2.Ef2.jpgjpg
Carteira com 2 ativosCarteira com 2 ativos
Se ρ = 1:
( )2211
21
2121
2
2
2
2
2
1
2
1
2121
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
σσ
σσσσσ
σσσσσ
ww
wwww
wwww
c
c
+=
++=
++=
ρ = 1
13%
%8
E(r)
σ12% 20%
2 ativos com correlações diferentes2 ativos com correlações diferentes
•Ativo 1: E[r]=8% e D.P.=12%
•Ativo 2:: E[r]=13% e D.P.=20%
1515
Carteira com 2 ativosCarteira com 2 ativos
Se ρ = -1:
( )
2211
21
2121
2
2
2
2
2
1
2
1
2121
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
σσ
σσσσσ
σσσσσ
ww
wwww
wwww
c
c
−=
−+=
−+=
13%
%8E(r)
σ12% 20%
ρ = -1
ρ = -1
2 ativos com correlações diferentes2 ativos com correlações diferentes
•Ativo 1: E[r]=8% e D.P.=12%
•Ativo 2:: E[r]=13% e D.P.=20%
Carteira com 2 ativosCarteira com 2 ativos
Se –1< ρ < 1:
( )
( )
2211
21
2121
2
2
2
2
2
1
2
1
2211
21
2121
2
2
2
2
2
1
2
1
212121212121
2
2
222
σσ
σσρσσσ
σσ
σσρσσσ
σσσσρσσ
ww
wwww
ww
wwww
wwwwww
c
c
−>
++=
+<
++=
<<−
1616
ρ = 1
13%
%8
E(r)
σ12% 20%
ρ =.3
ρ = -1
ρ = -1
2 ativos com correlações diferentes2 ativos com correlações diferentes
•Ativo 1: E[r]=8% e D.P.=12%
•Ativo 2:: E[r]=13% e D.P.=20%
• A relação depende da magnitude do
coeficiente de correlação
• -1.0 < ρ < +1.0
• Correlações menores implicam maior
potencial de redução do risco
• Se ρ = +1.0, não há redução possível
Efeito da correlaçãoEfeito da correlação
Variância mínima com 2 ativosVariância mínima com 2 ativos
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
12
2
2
2
1
12
2
21
121
2
21
2
11
12
2
11
2
2
2
11
2
1
2
1
2
1211
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
0212222
:...
221min
121
1
σσσ
σσ
σσσ
σσσσ
σσσσ
−+
−=
=−++−+
−++−+=
−+−+=
w
www
opc
wwwww
wwww
cw
c
Lembrando que w2 = (1-w1):
1717
[ ] ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( ) 21
12
*
1
*
1
2
2
2*
1
2
1
2*
1
12
*
1
*
1
2
2
2*
1
2
1
2*
1
2
21
*
122
*
11
*
1
121
121
1
σσσσ
σσσσ
wwww
wwww
rrwrrwrwrE
c
c
c
−+−+=
−+−+=
−+=−+=
E para a carteira de variância mínima temos:
Variância mínima com 2 ativosVariância mínima com 2 ativos
1
σσσσ22- σσσσ12
w1= σσσσ1
2 + σσσσ22 - 2σσσσ12
w2 = (1 - w1)
2E(r2) = .14 = .20Ativo212 = 0.2
E(r1) = .10 = .15Ativo1 σσσσ
σσσσρρρρ
ExemploExemplo
w1=
(.2)2 - (.2)(.15)(.2)
(.15)2 + (.2)2 - 2(.2)(.15)(.2)
w1 = .6733
w2 = (1 - .6733) = .3267
ExemploExemplo ((ρρρρ = 0.2)= 0.2)
1818
E[rc] = .6733(.10) + .3267(.14) = .1131
c = [(.6733)2(.15)2 + (.3267)2(.2)2 +
2(.6733)(.3267)(.2)(.15)(.2)] 1/2
c = [.0171] 1/2 = .1308
σσσσσσσσ
σσσσσσσσ
Mínima Variância: retorno e riscoMínima Variância: retorno e risco
Conjunto FactívelConjunto Factível
E(r)
σ
1
3
2
4
Com três ativos primitivos (1, 2, 3) temos:
Conjunto FactívelConjunto Factível
E(r)
σ
1
3
2
4
• Como 4 pode ser qualquer ponto no arco 23, o conjunto
factível será uma região bi-dimensional sólida.
• O conjunto factível é convexo à esquerda: dados dois
pontos no conjunto, a reta unindo estes dois pontos não
cruza a fronteira esquerda.
1919
•Cada “curvinha” representa as possíveis combinações de dois
ativos.
•A combinação de todos os ativos do conjunto constitui a fronteira
de variância mínima.
fronteira de variância mínima com ativos fronteira de variância mínima com ativos arriscadosarriscados
Desvio Padrâo
Retorno Esperado (%)
1
2 3
4
Retorno Esperado
Variância ou Desvio Padrão
• 2 domina 1; tem maior retorno• 2 domina 3; tem menor risco• 4 domina 3; tem maior retorno
Se o agente gosta de retorno e não gosta de desvio-padrão, vale o princípio da dominância:
Princípio da DominânciaPrincípio da Dominância
• A combinação ótima resulta no mais baixo nível
de risco para um dado retorno
• O trade-off ótimo é descrito como a fronteira
eficiente
• As carteiras na fronteira eficiente são
“dominantes”
ImplicaçõesImplicações
2020
E(r)
Fronteira
Eficiente
Mínimo
Global
Fronteira de
variância mínima
Ativos
Individuais
Desv. Pad.
A fronteira de variância mínima com ativos A fronteira de variância mínima com ativos arriscadosarriscados
CarteirasCarteiras de Markowitzde Markowitz
Prf. José Fajardo
O Modelo de MarkowitzO Modelo de Markowitz
1
:..
min
1
1
1 1,...,1
=
=
∑
∑
∑∑
=
=
= =
A
a
a
A
a
aa
A
a
A
b
abbaww
w
rrw
as
wwA
σ
Assuma que existam A ativos: a=1, 2,..., A
Para achar a carteira de variância mínima, que tem retorno esperado r, formulamos o seguinte problema:
2121
Solução: caso geralSolução: caso geral
−⋅−
−⋅−= ∑∑∑∑
=== =
A
a
a
A
a
aa
A
a
A
b
abba wrrwwwL111 1
12
1µλσ
A carteira ótima do problema acima atende as c.p.o.:[ ]e
A
eewww ,...,, 21
1
10
11
1
==
≥∀=−⋅−
∑∑
∑
==
=
A
a
e
a
A
a
ae
a
a
A
b
ab
e
b
werrw
arw µλσ
Solução para dois ativosSolução para dois ativos
( ) [ ][ ]1
2
1
21
2211
2
2
2
221121221
2
1
2
1
−+⋅−
−+⋅−+++=
ww
rrwrwwwwwwwL
µ
λσσσσ
A carteira ótima do problema acima atende as c.p.o.:[ ]eeww 21 ,
( )
( )
1
022
1
022
1
212211
22
22211121
1212122
2
11
=+=+
=−⋅−++
=−⋅−++
eeee
eee
eee
wwerrwrw
rwww
rwww
µλσσσ
µλσσσ
Teorema dos dois fundosTeorema dos dois fundos
Teorema dos dois fundos: Combinando duas carteiras eficientes quaisquer, podemos replicar todos as carteiras da fronteira de variância mínima.
Prova: Suponha duas soluções conhecidas e
com retornos esperados
respectivamente.
Qualquer combinação linear satisfaz as A+2equações:
[ ] 1111
2
1
1
1 ,,,...,, µλAwwww =
[ ] 2222
2
2
1
2 ,,,...,, µλAwwww =21
rer
( ) 21 1 wwwe αα −+=
1
10
11
1
==
≥∀=−⋅−
∑∑
∑
==
=
A
a
e
a
A
a
ae
a
a
A
b
ab
e
b
werrw
arw µλσ
2222
• Possível dividir os recursos entre ativos
arriscados e seguros:
• Sem risco: T-bills (proxy);
• Arriscado: portfólio de ações
Inclusão do ativo sem riscoInclusão do ativo sem risco
rf = 7% σσσσf = 0%
E(rP) = 15% σσσσP = 22%
y = % em P (1-y) = % em f
Inclusão do ativo sem riscoInclusão do ativo sem risco
Exemplo:
E(rC) = yE(rP) + (1 - y)rf
onde: rC = carteira combinada.
Por exemplo, y = .75:
E(rC) = .75(.15) + .25(.07)
= .13 ou 13%
Retorno esperado para combinaçõesRetorno esperado para combinações
2323
PC =
Como f
y
= 0, entãoσσσσ
σσσσσσσσ *
Variância da carteira combinadaVariância da carteira combinada
C = .75(.22) = .165 or 16.5%
• Se y = .75, então:
C = 1(.22) = .22 or 22%
• Se y = 1:
C = (.22) = .00 or 0%
• Se y = 0:
σσσσσσσσ
σσσσσσσσ
σσσσσσσσ
Combinações sem alavancagemCombinações sem alavancagem
Possíveis CombinaçõesPossíveis Combinações
E(r)
E(rP) = 15%
rf = 7%
22%0
P
F
σσσσσσσσc
E(rC) = 13%C
2424
Alavancagem: pega emprestado à taxa sem
risco e investe em ações.
Usando 50% de alavancagem:
E[rC] = (-.5) (.07) + (1.5) (.15) = .19
σC = (1.5) (.22) = .33
Usando alavancagem com a Linha de Alocação de Usando alavancagem com a Linha de Alocação de CapitalCapital
Possíveis CombinaçõesPossíveis Combinações
E(r)
E(rP) = 15%
rf = 7%
22%0
P
F
σσσσσσσσc
E(rC) = 13%C
LAC = Linha de Alocação de Capital
Linha de alocação de capital: é a linha que
tem origem em rf e intercepta o ponto P do
portifólio arriscado.
Lembrando que de:
temos:
LAC (Linha de Alocação de Capital)LAC (Linha de Alocação de Capital)
P
CPC yy
σ
σσσ =⇒=
[ ] [ ]( )fPfC rrEyrrE −+=
[ ] [ ]( ) [ ][ ]( )
C
P
fP
fCfP
P
CfC
rrErrErrErrE σ
σσ
σ −+=⇒−+=
2525
O retorno esperado de uma carteira como função do seu desvio padrão E[rC] = f(σC) é uma linha reta:
;
com inclinação :
LAC (Linha de Alocação de Capital)LAC (Linha de Alocação de Capital)
[ ] CfC SrrE σ⋅+=
[ ][ ]( )
C
P
fP
fC
rrErrE σ
σ
−+=
[ ]( )P
fP rrES
σ
−=
E(r)
E(rc) = 15%
rf = 7%
σσσσc = 22%0
P
F
) S = 8/22E(rc) - rf = 8%
σσσσ
LAC (Linha de Alocação de Capital)LAC (Linha de Alocação de Capital)
M
E(r)
LAC (variância mínimaglobal)
LAC (A)LAC (P)
P
A
F
P P&F A&FM
A
G
P
M
σσσσ
LAC AlternativasLAC Alternativas
2626
• Se os investidores gostam de retorno e não gostam de variância, escolherão combinações na linha de maior inclinação ( rf P ).
• A combinação ótima fica linear.
• Uma única combinação do ativo arriscado e sem risco dominará.
Inclusão do ativo sem riscoInclusão do ativo sem risco
Teorema de um fundo: Existe um fundo P de ativos arriscados tal que qualquer carteira eficiente pode ser construída como a combinação do fundo P com o ativo sem risco
Como achar o ponto tangente?
• O retorno esperado de uma carteira que combina a
renda fixa a uma portifólio arriscado Q é dado pela
linha reta:
;
com inclinação: .
• O agente escolhe Q de forma a maximizar a inclinação
S.
O O PortifólioPortifólio Tangente (Tangente (PP))
[ ][ ]( )
C
Q
fQ
fC
rrErrE σ
σ
−+=
[ ]( )Q
fQ
Q
rrES
σ
−=
Top Related