2
Corpo Rígido: Sistema de Forças Equivalentes
•Forças externas e internas
•Princípio da transmissibilidade
•Momento de força em relação a um ponto
3
Forças Externas e Internas
Forças externas
F N1 N2 mg1 mg2
Forças internas
par ação e reação
F12 = - F21
F 1 2
P1
1 2 F F12 F21
N2 N1
P2
4
Forças Externas e Internas
N1 N2
F
mg
Forças externas
F mg N1 N2
Forças e Momentos internos
par ação e reação
F12 = - F21 M12 = - M21
Fx12
N1
mg
1
N2
F
Fx21
2
M12 M21
Fy12 Fy21
5
Princípio da Transmissibilidade
F F
linha de ação
=
N1 N2
F
mg
N1 N2
F
mg
=
6
Momento de força em relação a um ponto
FrM0
senFrM0
Módulo do produto vetorial
Produto vetorial
Direção: perpendicular ao plano
definido por Fer
Sentido: regra da mão direita
0M
r
F
F
0M
r
7
)braço(dsenr
r
d
0
A
FdM0
Nm m N
F
0M
d
r
8
kFL)jF(iLM
jFF;iLr
FrM
0
0
FLM0
kFLsenM
jFFjLiLsenr
FrM
0
0
;cos
FLsenM0
d = L
x
y
i
j
Exemplo 1
90o
d
0 A
L
F
r
d 0
A
L
F
d = Lsen
r
9
Momento de força com relação a origem
do sistema de referência OXYZ
x
y z
r
F
0
A
X
Y
Z
Fx
Fy
Fz
kzjyixr
kFjFiFF zyx
FrM0
k)yFxF(j)xFzF(i)zFyF(
FFF
zyx
kji
M xyzxyz
zyx
0
kMjMiMM z0y0x00
yFxFM
xFzFM
zFyFM
xyz0
zxy0
yzx0
10
x
y z
r
F
0
A
X
Y
Z
Fx
Fy
Fz
)m(k3j1i4r
)N(k100j300i100F
FrM0
)Nm(k1300j100i1000
100300100
314
kji
M0
Nm13001)100(4300yFxFM
Nm1004)100(3)100(xFzFM
Nm100033001)100(zFyFM
xyz0
zxy0
yzx0
Exemplo 2
11
)N(k100j300i100F
)Nm(k1300j100i1000M0
X M0
M0z
M0y M0x
Z
Y
r
F
0 A
dFsenFrM0
M0 = 1643 Nm
d = 4,95 m F = 332 N = 1030
)m(k3j1i4r
x
y z
r
F
0
A
Y
Z
Fx
Fy
Fz
0M X
12
)Nm(FrM0
Exemplo 3
3 m
1m 4m
AF
0
A
X
Y
Z
BF
CF
C
FA = 300N
FB = 200N
FC = 100N
A B C SI
F 300 N
d 5 m
M0 1500 Nm
FdM0
A -1200 0 900 1500
B
C
0M
i
k
j
0M
13
kzjyixr B/A
kFjFiFF AzAyAxA
AB/AB FrM
k)yFxF(j)xFzF(i)zFyF(
FFF
zyx
kji
M AxAyAzAxAyAz
AzAyAx
B
kMjMiMM BzByBxB
yFxFM
xFzFM
zFyFM
AxAyBz
AzAxBy
AyAzBx
Momento de força com relação a
um ponto qualquer (ponto B)
BA xxx BA yyy
BA zzz
BAB/A rrr
x
y z
Ar
AF
0
A
X
Y
Z
FAx
FAy
FAz
B
B/Ar
Br
Y’
X’
Z’
14
)Nm(FrM B/AB
Exemplo 4
FA = 300N
FB = 200N
FC = 100N
A B C SI
F N
d m
MB Nm
FdMB
A
B
C
BM
i
k
j
0M
3 m
1m 4m
AF
0
A
X
Y
Z
BF
CF
C
B
Y’
X’
Z’
300
4
1200
200
0
0
100
2,5
250
-1200 0 0 1200
0 0 0 0
0 250 0 250
3
4
53o
53o
FC
FCX
FCY
C
1,5 B
2 FCX = FCcos(53º) = 80 N
FCY = FCsen(53º) = 60 N
FC = 100 N 2,5
16
Corpo Rígido: Sistema de Forças Equivalentes
•Teorema de Varignon
•Binário ou Par conjugado
•Representação de uma dada força em uma força atuando num ponto O e em um
binário
•Redução de um sistemas de forças em uma força e um binário
17
Teorema de Varignon
Pierre Varignon ( born in
1654 in Caen - died on
December 23, 1722 in Paris)
was a French
mathematician.
http://www.mathdaily.com/l
essons/Pierre_Varignon
1F
0
A
X
Y
Z
2F
3F
r
...FrFr...)FF(r 2121
...FFF 21
forçasdastetansulRe:F
“O momento gerado por um sistema de forças concorrentes
pode ser calculado somando-se os momentos de cada força
ou avaliando-se o momento da força resultante equivalente.”
18 k500j1600i1200M
)j300i400()k4j1i3(M
FrM
0
0
0
Exemplo 5
N5000300400FF
k0j300i400F
222
o37
750,0400
300tg
)m(k4j1i3r
i)N400(F
j)N300(F
2
1
2F
1F
A
F
3 m
1m
0
Y
Z
4m
1F
A
X
2F
F
r
k400j1600i0Fr
k900j0i1200Fr
FrFrM
2
1
210
+
k500j1600i1200M0
19
Exercício 1
B
50o
A
240 mm
180 mm
1000 N
Uma força de 1000 N atua na extremidade A da estrutura da figura
abaixo. Determinar o momento de força com relação ao ponto B, a) da
força de 1000N e b) de suas componentes nas direções horizontal e
vertical.
20
50o
A
240 mm
180 mm
1000 N
B
21
Binário ou Par conjugado
BB/A0
BA0
BA0
MFrM
F)rr(M
)F(rFrM
FdMMM
senrFMM
B0
B/AB0
0)F(F
FdM B/Ar
d B
A
X
F
d
F
0
Y
Z
B
A
Ar
Br
B/Ar
M
22
Binário ou Par conjugado
X
Y F
F
M
B
A
F
F
M
A
B
M = Fd M = Fd
0)F(F
23
Binários Equivalentes
Binário 1 Binário 2
M = F1d1 M = F2d2
M = F1d1 = F2d2
Y
Z
X
5cm 12N
12N
M Y
Z
X
4cm
15N
15N
M
Y
Z
X
d2
2M
2F
2F
Y
Z
X
d1
1M
1F
1F
21 MM
• Direção
• Sentido
• Intensidade
24
Soma de Binários
21B
2B/A1B/AB
21B/AB
B/AB
MMM
FrFrM
)FF(rM
RrM
X
Y
Z d1
1F
1F
2F
1M
2M
A B
2F
R
R
B/Ar
Y
1M
2M
BM
0 X
Z
25
Soma de Binários
1 0 0 -100 100
2
3
k
j
nM
i
nM
RM
1
2
3
X
Y
Z
1M
Z
X
Y
N100
N100
N300A
B N300
N200
N200
1m
1
2
3
cubo
(Nm)
26
Na estrutura da figura abaixo determinar a) os momentos dos binários 1
e 2; b) o momento resultante dos dois binários; c) a soma dos momentos
de cada uma das forças com relação ao ponto O; Dimensões da estrutura
em centímetro.
Exercício 2
100N
X
Y
Z 20
50
50
20
200N
200N 100N
0
A
B
C
D 1
2
27
Representação de uma dada força em uma força
atuando num ponto O e em um binário
0M
FF
r =
F
r
F
F
=
FrM0
28
90o
d
0 A
L
F
r
90o
d
0 A
L
F
r
F
F
90o
d
0 A
L
F
r
0M
FLM0
29
Redução de um sistemas de forças em uma
força e um binário
x
y
AF
0
A
X
Y
Z
BF
CF
C
z
Z
Y
AF
0 X
BF
CF
AFOM
BFOM
CF
OM
Y
Z
F
0 X
ROM
CBA FFFF
CBA F0
F0
F00 MMMM
30
Exemplo 6
3 m
1m 4m
AF
0
A
X
Y
Z
BF
CF
C
FA = 300N; FB = 200N; FC = 100N
SI
A 0 300 0 N
B N
C N
R N
SI
A -1200 0 900 Nm
B Nm
C Nm
Nm
0M
i
k
j
i
k
j
F
R0M
0 X
Y
Z
AF0M
FA
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