Momento Angular
1 Regras de comutacao do momento angular
e rotacoes.
1.1 Como representamos rotacoes no espaco tridimen-sional. Matriz de rotacao.
Considere um vetor ~V cujas componentes numa dada base sao (Vx, Vy, Vz).
Quando rodamos o vetor ~V ele se transforma no vetor ~V ′ cujas componentessao (V x, V y, V z). As componentes de ~V e ~V´ estao relacionadas por umatransformacao ortogonal, V x
V y
V z
= R
VxVyVz
(1)
com R uma matriz ortogonal
RTR = RRT = 1
pois a rotacao deixa invariante a magnitude do vetor,
| ~V ′|2 = |~V |2
Para determinarmos a matriz R consideremos um sistema de coordenadasOx′y′z′ que roda com o vetor ~V ′ (ver figura 1).
Por construcao as componentes de ~V ′ no sistema rodado Ox′y′z′, sao iguaisas componentes de ~V no sistema fixo, Oxyz:
~V ′ =∑j
Vj~e′j
~V =∑j
Vj~ej
Mas de
V ′j = ~ej · ~V ′ =∑k
(~ej · ~e′k
)Vk
e da definicao da matriz de rotacao, equacao (1),
1
V ′j =∑k
RjkVk
deduzimos uma expressao para os elementos da matriz de rotacao
R =
~e1 · ~e′1 ~e1 · ~e′2 ~e1 · ~e′3~e2 · ~e′1 ~e2 · ~e′2 ~e2 · ~e′3~e3 · ~e′1 ~e3 · ~e′2 ~e3 · ~e′3
Vamos agora considerar o caso particular de uma rotacao de φ em torno
do eixo Oz:
Rz(φ) =
cosφ −senφ 0senφ cosφ 0
0 0 1
Por permutacao ciclica temos que:
Rx(φ) =
1 0 00 cosφ −senφ0 senφ cosφ
e
Ry(φ) =
cosφ 0 senφ0 1 0
−senφ 0 cosφ
No caso de rotacoes infinitesimais essas matrizes de rotacao tem a seguinte
expansao, ate a segunda ordem no angulo de rotacao ε :
Rz(ε) =
1− ε2
2−ε 0
ε 1− ε2
20
0 0 1
Rx(ε) =
1 0 0
0 1− ε2
2−ε
0 ε 1− ε2
2
Ry(ε) =
1− ε2
20 ε
0 1 0
−ε 0 1− ε2
2
Ate a segunda ordem em ε temos que
Rx(ε)Ry(ε) =
1− ε2
20 ε
ε2 1− ε2
2−ε
−ε ε 1− ε2
2
e
Ry(ε)Rx(ε) =
1− ε2
2ε2 ε
0 1− ε2
2−ε
−ε ε 1− ε2
Dessas equacoes concluımos que, ate segunda ordem em ε :
Rx(ε)Ry(ε)−Ry(ε)Rx(ε) =
0 −ε2 0ε2 0 00 0 0
= Rz(ε2)− 1
Desse resultado podemos concluir que:
1. Rotacoes infinitesimais (ate a primeira ordem em ε) comutam.
2. Ate a segunda ordem em ε temos que :
Rx(ε)Ry(ε)−Ry(ε)Rx(ε) = Rz(ε2)− 1 (2a)
Ry(ε)Rz(ε)−Rz(ε)Ry(ε) = Rx(ε2)− 1 (2b)
Rz(ε)Rx(ε)−Rx(ε)Rz(ε) = Ry(ε2)− 1 (2c)
3
1.2 Parametrizacao da matriz de rotacao.
Uma matriz real 3x3 tem nove elementos independentes. Se a matriz e orto-gonal seus elementos devem satisfazer as equacoes∑
l
RljRlk = δjk (3)
Como as equacoes (3) sao simetricas nos ındices j e k, temos seis equacoesrelacionando os elementos da matriz de rotacao R:∑
l
R2lj = 1 j = 1, 2, 3
∑l
RljRlk = 0 j > k
Desse modo R tem tres elementos independentes. Existem duas parame-trizacoes padroes para a matriz de rotacao, uma em funcao das componentesdo eixo de rotacao e do angulo de rotacao e a outra em funcao dos angulosde Euler.
1. Parametrizacao em funcao das componentes do eixo de rotacaoe do angulo de rotacao
Exercıcio 1: Se ~n e um versor na direcao do eixo de rotacao e φ oangulo de rotacao, mostre que ~V ′ e ~V estao relacionados pela expressao:
~V ′ = ~V cosφ+ ~n(~V · ~n)(1− cosφ) + (~n× ~V )senφ (4)
Da figura 2 vemos que,
~V ′ =−→OP +
−→PQ
~V =−→OP +
−→PS
−→OP= (~V · ~n)~n
Como os vetores−→PS,
−→PT e
−→PQ tem o mesmo modulo, segue que:
−→PQ=
−→PS cosφ+
−→PT senφ
Mas −→PT= ~n×
−→PS
4
−→PS= ~V − (~V · ~n)~n = ~n× (~V × ~n)
−→OP= (~V · ~n)~n
Entao
~V ′ = (~V · ~n)~n+ [(~n× ~V )× ~n]cosφ+ (~n× ~V )senφ
e finalmente
~V ′ = ~V cosφ+ ~n(~V · ~n)(1− cosφ) + (~n× ~V )senφ
Em termos das suas componentes a equacao (4) pode ser escrita como,
V ′j =∑k
RjkVk
com
Rjk = δjkcosφ+ njnk(1− cosφ)−∑l
εjklnlsenφ
No limite de uma rotacao infinitesimal, os elementos da matriz derotacao sao dados por
Rjk = δjk − ε∑l
εjklnl
que pode ser interpretado como o elemento jk da matriz
R = 1− iε~I · ~n = 1− iε∑l
Ilnl
onde o elemento jk da matriz Il e igual a
(Il)jk = −iεjkl
Desse modo vemos que as matrizes hermiteanas Ix, Iy e Iz sao iguais a
5
Ix =
0 0 00 0 −i0 i 0
, Iy =
0 0 i0 0 0−i 0 0
, Iz =
0 −i 0i 0 00 0 0
Uma rotacao finita pode ser expressa como uma sucessao de rotacoesinfinitesimais:
R(~n, φ) = limN→∞
(1− i φN~I · ~n)N = e−iφ
~I·~n (5)
lembrando que
limN→∞
(1 +α
N)N = eα
Dada a expressao (5) para a matriz de rotacao, segue das equacoes (2)que as matrizes Il, l = x, y, z nao comutam, pois
[Ix, Iy] = iIz
[Iy, Iz] = iIx
[Iz, Ix] = iIy
2. Angulos de EulerConsidere a rotacao de um corpo rıgido. Fixamos a posicao de umcorpo rıgido, determinando a orientacao de um sistema de coordenadasfixo no corpo rıgido, em relacao a um sistema de coordenadas fixo noespaco. Para isto introduzimos os angulos de Euler, definidos comomostrado abaixo:
(a) Uma rotacao de um angulo α, 0 ≤ α < 2π, em torno do eixo Oz,que transforma o sistema fixo no espaco Oxyz no sistema Ox′y′z′ .
(b) Uma rotacao de um angulo β, 0 ≤ β < 2π, em torno do eixo Oy′ ,que transforma o sistema Ox′y′z′ no sistema Ox′′y′′z′′ .
(c) Uma rotacao de um angulo γ, 0 ≤ γ < 2π, em torno do eixo Oz′′ ,que transforma o sistema Ox′′y′′z′′ no sistema fixo no corpo rıgidoOx′′′y′′′z′′′ .
6
A matriz de rotacao e dada pelo produto das tres rotacoes na ordem especi-ficada (ver figura 3)
R(α, β, γ) = Rz′′(γ)Ry′(β)Rz(α)
Das figuras 3 e 4 podemos mostrar que:
Ry′(β) = Rz(α)Ry(β)R−1z (α) (6a)
Rz′′(γ) = Ry′(β)Rz′(γ)R−1y′ (β) (6b)
Usando as equacoes 6b e 6a temos que:
R(, β, γ) = Ry′(β)Rz′(γ)Rz(α)
= Ry′(β)Rz(α)Rz(γ)
= Rz(α)Ry(β)Rz(γ)
7
1.3 Rotacoes na Mecanica Quantica.
Como rotacoes, em geral, muda o sistema fısico, o vetor de estado corres-pondente ao sistema rodado e diferente do vetor de estado do sistema naorodado. Assim dada uma rotacao R no espaco tridimensional associamos umoperador unitario no espaco de vetores de estado tal que
|α >R= D(R)|α >, D†(R)D(R) = D(R)D†(R) = 1
onde |α >R e o vetor de estado que resulta da rotacao de R do vetor deestado |α >.Para construir o operador unitario D(R) vamos primeiramente considerar olimite de rotacoes infinitesimais. Nesse limite
D(~n, dφ) = 1− idφ~J · ~nh
onde ~J e o operador momento angular do sistema (gerador das rotacoes)Exercicio 2quest: Determine Dz(ε) para uma partıcula de spin zero.
Dado|Ψ >R= D(R)|Ψ >
temos, pelas propriedades geometricas das rotacoes que a probabilidade deachar a partıcula no ponto ~x no estado rodado e igual a probabilidade deachar a partıcula no ponto R−1~x, no estado nao rodado,
|ΨR(~x)|2 = |Ψ(R−1~x)|2
Por uma escolha de fase temos que
ΨR(~x) = Ψ(R−1~x)
ou
< ~x|D(R)|Ψ >= Ψ(R−1~x)
Considerando uma rotacao infinitesimal em torno do eixo Oz temos que
R−1z (ε)
xyz
=
x+ εy−εx+ y
z
8
Ate primeira ordem em ε, Ψ(R−1~x) e dado por:
Ψ(R−1~x) = Ψ(x+ εy,−εx+ y, z)
= Ψ(~x) + ε
(y∂Ψ
∂x− x∂Ψ
∂y
)= Ψ(~x)− i ε
h
(xh
i
∂Ψ
∂y− y h
i
∂Ψ
∂x
)= < ~x|
[1− i ε
h(xpy − ypx)
]|Ψ >
Comparando com o termo a esquerda temos que:
Dz(ε) = 1− i εhLz
que e o resultado esperado pois Lz e o gerador das rotacoes em torno do eixoOz.Na Mecanica Quantica o momento angular e a soma do momento angularorbital e do spin. O spin esta associado ao movimento rotacional de um graude liberdade intrinseco puramente quantico. Entao
~J = ~L+ ~S
onde ~S e o spin da partıcula.Para uma partıcula com spin o momento angular num sistema de referenicano qual a partıcula esta em repouso e diferente de zero e igual ao spin da
partıcula, ~S.Assim vemos que, analogamente ao caso de translacoes e deslocamentos notempo, onde os geradores sao respectivamente, o momento ~p e o hamiltonianoH,
T (d~a) = 1− i~p · d~ah
U(dt) = 1− iHhdt
no caso de uma rotacao infinitesinal temos
D(~n, dφ) = 1− i(~J · ~n)
hdφ
pois o operador momento angular e o gerador das rotacoes.Uma rotacao finita em torno de um eixo ~n e dada pela composicao sucessiva
9
de rotacoes infinitesimais,
D(~n, φ) = limN→∞
1− i
(~J · ~n
)h
φ
N
N
lembrando que
limN→∞
(1 +
α
N
)N= eα
achamos a seguinte expressao para D(~n, φ):
D(~n, φ) = e−iφ( ~J·~n)h
As rotacoes formam um grupo, o grupo ortogonal de dimensao tres, SO(3).Um conjunto de elementos formam um grupo se:
1. O produto de dois elementos do grupo, e outro elemento do grupoR1R2 = R3.
2. A cada elemento do grupo existe o seu inverso tal que o produto e oelemento identidade R1R
−11 = 1.
3. O elemento identidade e um elemento do grupo R11 = 1R1 = R1.
4. o produto e associativo R1(R2R3) = (R1R2)R3 = R1R2R3.
Como a matriz unidade e uma matriz ortogonal, o produto de duas matrizesortogonais e uma matriz ortogonal, a inversa de uma matriz ortogonal e umamatriz ortogonal e o produto de matrizes e associativo, as matrizes ortogo-nais de dimensao tres formam um grupo, O(3).A correspondencia entre rotacoes no espaco tridimensional e operadores unitariosno espaco de vetores de estado preserva as propriedades de grupo
Identidade: R11 = 1R1 = R1 ⇒ D(R)1 = 1D(R) = D(R), 1 = D(0)
Completeza: R1R2 = R3 ⇒ D(R1)D(R2) = D(R3)
Inversa: R−1R = RR−1 = 1 ⇒ D(R−1)D(R) = D(R)D(R−1) = 1
Associatividade: R1(R2R3) = (R1R2)R3 = R1R2R3 ⇒ D(R1)[D(R2)D(R3)] =[D(R1)D(R2)]D(R3) = D(R1)D(R2)D(R3)
Vamos agora mostrar que as componentes do operador momento angular
10
que,como consequencia das rotacoes serem nao-comutativas,as componen-tes do operador momento angular sao tambem nao-comutativa
Vamos agora retornar as relacoes de comutacao, eq(2), para as matrizesde rotacao. O analogo para os operadores de rotacao e:
D (Rx(ε)) D (Ry(ε))− D (Ry(ε)) D (Rx(ε)) = D(Rz(ε
2))− 1
Ate segunda ordem em ε essa equacao fica igual a:1− iε Jxh
+1
2
(−iεJxh
)21− iε Jy
h+
1
2
(−iεJyh
)2+
−
1− iε Jyh
+1
2
(−iεJyh
)21− iε Jx
h+
1
2
(−iεJxh
)2 = −iε2 Jz
h
que e igual a,
−
(JxJy − JyJx
)h2 ε2 = −iε2 Jz
h
dando, [Jx, Jy
]= ihJz
Analogamente [Jy, Jz
]= ihJx[
Jz, Jx
]= ihJy
Essas relacoes de comutacao podem ser escritas como[Jj, Jk
]= i∑l
εjklJl
e sao as relacoes de comutacao fundamentais para o operador momento an-gular.
11
2 Partıcula de spin 1/2 e rotacoes finitas.
2.1 Operador de rotacao para uma partıcula de spin1/2.
A menor dimensao para a qual as relacoes de comutacao do operador mo-mento angular sao realizadas e N = 2.Os operadores de spin, usando a representacao dos operadores de spin nabase de auto-estados de S3, sao:
Sx = |+ >< +|Sx|+ >< +| + |+ >< +|Sx|− >< −| +
= +|− >< −|Sx|+ >< +| + |− >< −|Sx|− >< −|
e
Sx =h
2(|+ >< −| + |− >< +|)
Analogamente
Sy = ih
2(−|+ >< −| + |− >< +|)
Sz =h
2(|+ >< +| − |− >< −|)
com [Sj, Sk
]= i∑l
εjklSl
Seja |α > um vetor de estado generico definido no espaco bidimensional deuma partıcula de spin 1/2. Considere a rotacao de um angulo φ em torno doeixo Oz desse estado,
|α >R= D (Rz(φ)) |α >Para mostrar que esse operador realmente roda o vetor de estado, vamoscalcular o valor medio das componentes do operador spin no estado rodado.Metodo 1: usamos a forma especıfica dos operadores de spin, valida parauma partıcula de spin 1/2.
R < α|Sx|α >R=< α|eiφSzh Sxe
− iφSzh |α >
Mas
eiφSzh Sxe
− iφSzh = e
iφSzhh
2(|+ >< −| + |− >< +|)e−
iφSzh
=h
2
(eiφ|+ >< −| + e−iφ|− >< +|
)= cosφ
h
2(|+ >< −| + |− >< +|)− senφih
2(−|+ >< −| + |− >< +|)
= cosφSx − senφSy
12
Desse modo o valor medio de Sx no estado rodado esta relacionado com ovalor medio no estado nao-rodado pela equacao
R < α|Sx|α >R= cosφ < α|Sx|α > −senφ < α|Sy|α >
Procedendo de modo analogo calculamos o valor medio no estado rodado deSy e Sz:
R < α|Sy|α >R= senφ < α|Sx|α > +cosφ < α|Sy|α >
R < α|Sz|α >R=< α|Sz|α >
Metodo 2: Vamos usar a formula de Baker-Campbell-Hausdorff,
eABe−A = B + [A, B] +1
2![A, [A, B]] +
1
3![A, [A, [A, B]]] + · · ·
e as regras de comutacao do operador momento angular para calcularmos
eihφSz Sxe
− ihφSz
Pela formula de BCH temos:
eihφSz Sxe
− ihφSz = Sx+
iφ
h[Sz, Sx]+
1
2!
(iφ
h
)2
[Sz, [Sz, Sx]]+1
3!
(iφ
h
)3
[Sz, [Sz, [Sz, Sx]]]+· · ·
que, usando as regras de comutacao do operador momento angular fica iguala
eihφSz Sxe
− ihφSz = Sx
(1− φ2
2+ · · ·
)− Sy
(φ− φ3
3!+ · · ·
)= Sxcosφ − Sysenφ
De um modo analogo podemos mostrar que
eihφSz Sye
− ihφSz = Sxsenφ + Sycosφ
eihφSz Sze
− ihφSz = Sz
indicando que os dois metodos chegam ao mesmo resultado.Note que no metodo 2 usamos somente as relacoes de comutacao do operadormomento angular, indicando que essas relacoes sao validas para qualquermomento angular.
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As equacoes que relacionam o valor medio das componentes do operador spinno estado rodado e no nao-rodado poder ser escritas como R < α|Sx|α >R
R < α|Sy|α >R
R < α|Sz|α >R
=
cosφ −senφ 0senφ cosφ 0
0 0 1
< α|Sx|α >< α|Sy|α >< α|Sz|α >
onde podemos identificar a matriz do termo a direita como a matriz derotacao de um angulo φ em torno do eixo Oz, Rz(φ). Assim vemos queo operador de rotacao quando aplicado no vetor de estado |α >, roda o valor
medio de ~S de um angulo φ em torno do eixo Oz. Em outras palavras o valor
medio de ~S se comporta como um vetor por rotacoes
R < α|Sk|α >R=∑l
Rkl < α|Sl|α >
ou como |α > e um vetor de estado generico
D†(R)SkD(R) =∑l
RklSl
Operadores que se transformam como o momento angular sao chamados de
operadores vetoriais. Se ~A e um operador vetorial vale a relacao
D†(R)AkD(R) =∑l
RklAl
Ate agora tudo tem sido como esperado. Mesmo assim vamos examinar maisde perto a acao do operador D(Rz(φ)) no vetor de estado |α >.Expandindo o vetor de estado |α > na base de autoestados de Sz,
|α >= |+ >< +|α > + |− >< −|α.
temos que
|α >R= e−ihφSz |α >= e−i
φ2 |+ >< +|α > + e−i
φ2 |− >< −|α >
O aparecimento do angulo φ2
tem uma consequencia interessante. Considereuma rotacao de 2π do estado |α >:
|α >Rz(2π)= −|α >
Assim vemos que o vetor de estado rodado de 2π difere do vetor de estado naorodado por um sinal menos. Esse sinal menos nao tem efeito no calculo devalores medios e probabilidades. O efeito do sinal menos pode ser detectadoem experiencias de interferometria de neutrons que verificaram a predicao daMecanica Quantica.
14
Precessao de spin revisitada
A hamiltoniana de um eletron (partıcula de spin meio) na presenca de umcampo magnetico uniforme e dada por
H = − e
mec~S · ~B = ωSz
com
ω =|e|Bmec
O operador de evolucao temporal deste sistema
U(t, 0) = e−iHth = e−i
ωtSzh
e precisamente o operador de rotacao em torno do eixo Oz (direcao do campomagnetico) de um angulo igual a ωt.Se inicialmente o eletron esta no estado |α >, o vetor de estado no instantet e igual a :
|α, t >= e−iωtSzh |α >= e−i
ωt2 |+ >< +|α > +ei
ωt2 |− >< −|α >
Desse modo vemos pela equacao (7) que o valor medio do spin no instantet esta relacionado com o valor medio no instante inicial por uma rotacao deum angulo igual a ωt em torno do eixo Oz, indicando que o valor medio de
~S precessa em torno do eixo Oz com velocidade angular ω. Depois de umintervalo de tempo igual a
Tprecessao =2π
ω
o valor medio de ~S retorna ao valor original mas o vetor de estado adquiriuum sinal menos. O vetor de estado retorna ao seu valor original somente noinstante
Tvetor de estado =4π
ω
15
2.2 Formalismo de Pauli. Matrizes de spin de Pauli.
Para uma partıcula de spin 1/2 uma base no espaco de vetores de estado edada pelos auto-estados de Sz com autovalores ±h/2:
Sz|+ >=h
2|+ > , Sz|− >= − h
2|− >
Dado um estado generico |α > podemos expandi-lo na base de auto-estadosde Sz:
|α >= |+ >< +|α > + |− >< −|α >
A matriz coluna de dimensao dois que e a representacao do vetor de es-tado |α >, na base de auto-estados de Sz e denominada de espinor de duascomponentes
χα =
(< +|α >< +|α >
)=< +|α >
(10
)+ < −|α >
(01
)=< +|α > χ++ < −|α > χ−
A representacao das componentes do operador de spin na base de auto-estados de Sz esta relacionada com as matrizes de spin de Pauli, σk, pelarelacao
< j|Sk|l >=h
2(σk)jl j, l = ±
Explicitamente
σx =
(0 11 0
), σy =
(0 −ii 0
), σz =
(1 00 −1
)O valor medio das componentes do operador de spin num estado |α > podeser expresso em termos de χ e σk:
< α|Sk|α >=(< +|α >∗< −|α >∗
) h2σk
(< +|α >< −|α >
)=h
2χ†ασkχα
As matrizes de spin de Pauli tem as seguintes propriedades
1. {σj, σk} = 2δjk1
2. [σj, σk] = 2i∑l
εjklσl, que e uma consequencia das relacoes de co-
mutacao
[Sj, Sk] = ih∑l
εjklSl
3. σ†k = σk ; detσk = −1 ; Tr(σk) = 0
16
Agora provaremos a identidade
(~σ · ~a)(~σ ·~b
)= ~a ·~b+ i~σ ·
(~a×~b
)onde ~a e ~b sao vetores.~σ · ~a e uma matriz 2× 2 dada por:
~σ · ~a = σ1a1 + σ2a2 + σ3a3 =
(a3 a1 − ia2
a1 + ia2 −a3
)Entao
(~σ · ~a)(~σ ·~b
)=
∑j,k
σjajσkbk
=∑j,k
ajbk
(1
2{σj, σk}+
1
2[σj, σk]
)
=∑j,k
ajbk
(δjk1 + i
∑l
εjklσl
)= ~a ·~b1 + i
(~a×~b
)· ~σ
Em particular se ~b = ~a e as componentes de ~a sao numeros reais; temos:
(~σ · ~a)2 = |~a|21
Matriz de rotacao para uma partıcula de spin 1/2.
A representacao do operador de rotacao D(~n, φ),
D(~n, φ) = e−iφ~S·~nh
na base de auto-estados de Sz e a matriz
D(~n, φ) = e−iφ2~σ·~n
como (~σ · ~n)2 = 1 vemos que
(~σ · ~n)k =
{1, se k e par~σ · ~n, se k e impar
17
Entao podemos escrever
e−iφ2~σ·~n =
∞∑k=0
(−iφ
2
)2k(~σ · ~n)2k
(2k)!+
∞∑k=0
(−iφ
2
)2k+1(~σ · ~n)2k+1
(2k + 1)!
=∞∑k=0
(−1)k(φ/2)2k
(2k)!1 − i(~σ · ~n)
∞∑k=0
(−1)k(φ/2)2k+1
(2k + 1)!
= cos
(φ
2
)1− i(~σ · ~n)sen
(φ
2
)Explicitamente, a matriz 2x2 de rotacao e igual a
e−iφ2~σ·~n =
(cos(φ2
)− isen
(φ2
)nz −isen
(φ2
)(nx − iny)
−isen(φ2
)(nx + iny) cos
(φ2
)+ isen
(φ2
)nz
)que e a representacao do operador de rotacao na base de auto-estados de Sz,parametrizada pelo angulo de rotacao e eixo de rotacao.Dado e−iφ
2~σ · ~n podemos calcular o espinor do estado rodado em funcao do
nao-rodado.Se |α >R= e−i
φh~S·~n|α >, temos que
χR = e−iφ2~σ·~nχ
Exercıcio 3: Ache a representacao do operador de rotacao na base de auto-estados de Sz, parametrizada pelos angulos de Euler. D(α, β, γ) e igual a:
D(α, β, γ) = D(Rz(α))D(Ry(β))D(Rz(γ))
A representacao desse operador na base de auto-estados de Sz e igual a
D(α, β, γ) = e−iα2σze−i
β2σye−i
γ2σz
=
(e−i
α2 0
0 eiα2
)(cos(β2
)−sen
(β2
)sen
(β2
)cos(β2
) )(e−i
γ2 0
0 eiγ2
)=
(e−i
(α+γ)2 cos
(β2
)−e−i
(α−γ)2 sen
(β2
)ei
(α−γ)2 sen
(β2
)ei
(α+γ)2 cos
(β2
) )
Como uma aplicacao de rotacoes vamos calcular o autovetor de(~S, ~n)
com
autovalor h/2: (~S, ~n)|~n; + >=
h
2|~n; + >
18
onde ~n e o vetor de componentes (senθcosφ, senθsenφ, cosθ)
Exercıcio 4: Mostre que D†(R)~S · ~aD(R) = ~S · ~a′ onde ~a′ = R−1~aProva:
D†(R)~S · ~aD(R) =∑j
D†(R)SjD(R)aj
=∑j,k
RjkSkaj
=∑k
Sk∑j
(RT )kjaj
= ~S · ~a′
para RT = R−1 c.q.d.
Vamos mostrar que |~n; + > e dado pela rotacao de θ em torno do eixo Oy ede φ em torno do eixo Oz, do estado |z; + >.Seja
Sz|z; + >=h
2|z; + >
Do exerıcio 4 vemos que
D(Rz(φ)Ry(θ))~S · ~ezD†(Rz(φ)Ry(θ)) = ~S · ~n
com nxnynz
= Rz(φ)Ry(θ)
001
=
cosφ −senφ 0senφ cosφ 0
0 0 1
cosθ 0 senθ0 1 0
−senθ 0 cosθ
001
=
cosφ −senφ 0senφ cosφ 0
0 0 1
senθ0
cosθ
=
cosφsenθsenφsenθcosθ
Entao a equacao de autovalores para Sz pode ser escrita como:
D(Rz(φ)Ry(θ))SzD†(Rz(φ)Ry(θ))D(Rz(φ)Ry(θ))|z; + >=
h
2D(Rz(φ)Ry(θ))|z; + >
19
que e igual a (~S · ~n
)|~n; + >=
h
2|~n; + >
com|~n; + >= D(Rz(φ)y(θ))|z; + >
O espinor do estado |~n; + > pode ser calculado pela equacao(< +|~n; + >< −|~n;− >
)= e−i
φ2σze−i
θ2σy
(10
)=
(e−i
φ2 0
0 eiφ2
)(cos θ
2−sen θ
2
sen θ2
cos θ2
)(10
)
=
(e−i
φ2 cos θ
2
eiφ2 sen θ
2
)
em concordancia com o resultado obtido pela diagonalizacao do operador ~S·~n.
20
Auto-estados e autovalores do operador momento angular
Dada as componentes do operador momento angular,
~J = Jx~ex + Jy~ey + Jz~ez
que satisfazem as relacoes de comutacao[Jj, Jk
]= ih
∑l
εjklJl
podemos mostrar que [~J2, Jj
]= 0
onde ~J2 = J2x + J2
y + J2z
Prova:[~J2, Jj
]=∑k
[J2k , Jj
]=∑k
(Jk
[Jk, Jj
]+[Jk, Jj
]Jk
)= ih
∑k,l
εjkl
(JlJk + JkJl
)= 0
pois os termos da soma sao antisimetricos na troca k ↔ l. Desse modo ~J2
e uma das componentes de ~J , por exemplo ~Jz sao observaveis compatıveis epodem ter autovetores simultaneos,
~J2|a, b >= a|a, b >
Jz|a, b >= b|a, b >Para determinar os possıveis valores de a e b e conveniente definir os opera-dores nao hermiteanos de levantamento e abaixamento
J± = Jx ± iJy J†+ = J−
Esses operadores satisfazem as seguintes relacoes de comutacao:[J+, J−
]= 2hJz[
Jz, J±
]= ±hJ±
Para determinar o significado fısico de J± vamos examinar a acao de Jz nosestados J±|a, b >:
JzJ±|a, b > =[Jz, J±
]|a, b > +J±Jz|a, b >
= ±hJ±|a, b > +bJ±|a, b >= (b± h)J±|a, b >
21
Em outras palavras se J+(J−) age num auto-estado de Jz, o vetor de estadoresultante ainda e um auto-estado de Jz, com o autovalor acrescido (decres-cido) de h.Por outro lado a acao de J± nao muda o autovalor de J2
J2J±|a, b >= J±J2|a, b >= aJ±|a, b >
22
Autovalores de J2 e Jz
Usando a definicao dos operadores de levantamento e abaixamento podemosescrever o operador J2 como
J2 =1
2
(J+J− + J−J+
)+ J2
z = J−J+ + hJz + J2z = J+J− − hJz + J2
z
Vamos calcular o valor medio de ~J2 − J2z nos autoestados simultaneos de ~J2
e Jz
< a, b| ~J2 − J2z |a, b > = < a, b|1
2
(J+J− + J−J+
)|a, b >
=1
2
(||J−|a, b > ||2 + ||J+|a, b > ||2
)= a− b2
o que implica na desigualdade
a− b2 ≥ 0
Desse modo deve existir um bmax tal que
J+|a, bmax >= 0
Essa equacao e equivalente a equacao
J−J+|a, bmax >=(J2 − hJz − J2
z
)|a, bmax >= (a−hbmax−b2
max)|a, bmax >= 0
Como |a, bmax > nao e um vetor de estado nulo, isto e possıvel somente se:
a = bmax(bmax + h)
Do mesmo modo deve existir um bmin tal que
J−|a, bmin >= 0
Essa equacao e equivalente a equacao
J+J−|a, bmin >=(J2 + hJz − J2
z
)|a, bmin >= (a+hbmin−b2
min)|a, bmin >= 0
Como |a, bmin > nao e um vetor de estado nulo, isto so e possıvel se
a = bmin(bmin − h)
23
Comparando as duas expressoes para a, temos que
bmax = −bmin
oubmax = bmin − h
Como bmax > bmin a solucao aceitavel e
bmax = −bmin
com bmax positivo Os valores permitidos de b estao definidos no intervalo
−bmax ≤ b ≤ bmax
Note que o estado | bmax > pode ser obtido pela aplicacao sucessiva do ope-rador J+ no estado |a, bmin >. Desse modo devemos ter:
bmax = bmin + nh , n inteiro
que resulta em
bmax =n
2h = jh
com j = n2.
Essa equacao mostra que os possıveis autovalores de ~J2 sao iguais a
a = h2j(j + 1)
com j um inteiro ou semi inteiro.Escrevendo os autovalores de Jz como;
b = mh
vemos que eles sao iguais a (para um dado j existem 2j + 1 autovalores)
m = −j,−j + 1, . . . , j − 1, j
Resumindo, os autovalores de J2 e Jz sao
~J2|j,m >= h2j(j + 1)|j,m >
~Jz|j,m >= hm|j,m >
onde j e um inteiro ou semi-inteiro e para um dado j existem 2j+ 1 possıveisautovalores de Jz definidos no intervalo
−j ≤ m ≤ j
24
Autoestados do operados momento angular
Dado o estado de projecao maxima (mınima) podemos contruir os auto-
estados de ~J2 e Jz pela aplicacao sucessiva dos operadores J−(J+).i) Cosifere o estado de maxima projecao,
J+|j, j >= 0
Da relacao
J−|j,m+ 1 >= h√
(j +m+ 1)(j −m)|j,m >
segue que
|j,m >=1√
(j +m+ 1)(j −m)
J−h|j,m+ 1 >
A aplicacao sucessiva dessa relacao mostra que
|j,m > =(J−/h)j−m√
(j +m+ 1)(j +m+ 2) · · · (j +m+ j −m)×
× 1√(j −m)(j −m− 1) · · · (j −m− (j − (m+ 1)))
|j, j >
e
|j,m >=
√(j +m)!
2j!(j −m)!
(J−h
)(j−m)
|j, j >
ii) Considere o estado de mınima projecao
J−|j,−j >= 0
Da relacao
J+|j,m− 1 >= h√
(j −m+ 1)(j +m)|j,m >
segue que
|j,m >=1√
(j +m)(j −m+ 1)
(J+/h
)|j,m− 1 >
A aplicacao sucessiva dessa relacao mostra que
|j,m > =(J+/h)j+m√
(j +m)(j +m− 1) · · · (j +m− (j +m− 1))×
× 1√(j −m+ 1)(j −m+ 2) · · · (j −m+ j +m)
|j,−j >
25
e
|j,m >=
√(j −m)!
(j +m)!2j!
(J+
h
)j+m
|j,−j >
Observacao: Para determinar a lei de recorrencia calcule |j,m > em termosde |j,m+ z > ou |j,m− z >.
26
Elementos de matriz das componentes do operador momento
angular nos auto-estados de ~J2 e Jz
Seja os auto-estados de ~J2 e Jz:
~J2|j,m >= h2j(j + 1)|j,m >
Jz|j,m >= hm|j,m >
Entao valem as relacoes
< j′,m′| ~J2|j,m >= h2j(j + 1)δjj′δmm′
< j′,m′|Jz|j,m >= hmδjj′δmm′
Para calcular os elementos de matriz dos operadores J± vamos determinar a
acao desses operadores na base de auto-estados de ~J2 e Jz.Comecando com J+:
J+|j,m >= c+|j,m+ 1 >
Calculando a norma:
< j,m|J−J+|j,m >= |c+|2 =< j,m|J2−hJz−J2z |j,m >= h2(j(j+1)−m−m2)
Assim
|c+|2 = h2(j(j + 1)−m(m+ 1)) = h2(j −m)(j +m+ 1)
Escolhendo a fase de tal modo que c+e um mınimo real temos que
J+|j,m >= h√
(j −m)(j +m+ 1)|j,m+ 1 >
De um modo analogo:
J−|j,m >= c−|j,m− 1 >
< j,m|J+J−|j,m >= |c−|2 =< j,m|J2+hJz−J2z |j,m >= h2(j(j+1)+m−m2)
Assim
|c−|2 = h2(j(j + 1)−m(m− 1)) = h2(j +m)(j −m+ 1)
Como no caso anterior escolhendo a fase de tal modo que c− e real temos
J−|j,m >= h√
(j +m)(j −m+ 1)|j,m− 1 >
Finalmente determinamos os elementos de matriz:
< j′,m′|J±|j,m >= h√
(j ∓m)(j ±m+ 1)δjj′δm±1,m′
27
Representacao do operador de rotacao na base de auto-estados deJz
A representacao do operador de rotacao na base de auto-estados de jz e umamatriz cujos elementos sao:
< j′,m′|D(R)|j,m >=< j′,m′|e−iφh~J ·~n|j,m >= δjj′D
jm′m(R)
onde
Djm′m(R) =< j,m′|e−i
φh~J ·~n|j,m >
Os elementos de matriz com j′ 6= j sao nulos porque D(R)|j,m > continua
sendo um auto-estado de ~J2 com autovalor j
~J2D(R)|j,m >= D(R) ~J2|j,m >= h2j(j + 1)D(R)|j,m >
pois[~J2, D(R)
]= 0 que decorre diretamente do fato de ~J2 comutar com
qualquer componente de ~J . A matriz Djm′m(R) de dimensao (2j+ 1)× (2j+
1) e uma representacao irredutivel do grupo das rotacoes . Isto significaque dado um espaco vetorial que e uma representacao de D(R) podemosdecompo-lo numa soma direta de representacoes irrdutıveis.As matrizes de rotacao sao uma representacao do grupo de rotacoes
R −→ Dj(R)
satisfazendo as propriedades
1. R3 = R2R1 ⇒ D(R3) = D(R2)D(R1)⇒ Djmm′(R3) =
∑m′′Djmm′′(R2)Dj
m′′m′(R1)
2. R−1R = 1⇒ D(R−1)D(R) = 1⇒∑m′′Djm′m′′(R
−1)Djm′′m(R) = δm′m
Dj e uma matriz unitaria:
Djm′m′′(R
−1) = (Dj)−1m′m′′(R) = Dj∗
m′′m′(R)
Para exibir o significado fısico da matriz de rotacao vamos considerar arotacao do estado |j,m >:
|j,m >R= D(R)|j,m >=∑m′
|j,m′ > Djm′m(R)
Assim vemos que Djm′m(R) e a amplitude de probabilidade de achar o sistema
no estado |j,m′ > no estado rodado se o estado nao-rodado e |j,m >.
28
Os elementos da matriz Dj parametrizados pelos angulos de Euler sao iguaisa
Djm′m(α, β, γ) =< j,m′|e−i
αhJze−i
βhJye−i
γhJz |j,m >= e−i(m
′α+mγ) < j,m′|e−iβhJy |j,m >
Note que a unica parte nao trivial e a rotacao de β em torno do eixo Oy.Introduzindo a matriz
djm′m(β) =< j,m′|e−iβhJy |j,m >
podemos escrever
Djm′m(α, β, γ) = e−i(m
′α+mγ)djm′m(β)
Calcule d1(β)Para uma partıcula de spin 1 temos que
Jyh
(Jyh− 1
)(Jyh
+ 1
)= 0 ou
J3y
h3 =Jyh
Dessa relacao seque que (Jyh
)2m
=J2y
h2 , m ≥ 1
(Jyh
)2m+1
=Jyh, m ≥ 1
Nesse caso temos
e−iβhJy =
∞∑k=0
(−iβ)2k
(2k)!
(Jyh
)2k
+∞∑k=0
(−iβ)2k+1
(2k + 1)!
(Jyh
)2k+1
= 1 +∞∑k=1
(−1)kβ2k
(2k)!
J2y
h2 − i∞∑k=0
(−1)k
(2k + 1)!β2k+1 Jy
h
= 1− (1− cosβ)J2y
h2 − isenβJyh
Calculando a matriz que representa Jy na base de auto-estados de Jz, deter-minamos d1(β) 0 −
√2i 0√
2i 0 −√
2i
0√
2i 0
29
Momento angular orbital
O operador momento angular orbital e dado por
~L = ~r × ~p
E facil mostrar que as componentes do operador momento angular orbitalsatisfazem as relacoes de comutacao do operador momento angular, dado queas componentes do operador posicao e do operador momento satisfazem asrelacoes de comutacao canonicas.Exercıcio 5: Mostre que se [xj, xk] = [pj, pk] = 0 e [xj, pk] = ihδjk entao:
[Lj, Lk] = ih∑l
εjklLl
Na representacao das posicoes a acao do operador momento angular orbitale dada por
< ~x|~L|Ψ >= −ih(~r × ~∇)Ψ(~r)
Lembrando que o operador gradiente em coordenadas esfericas e dado por
~∇ = ~er∂
∂r+ ~eθ
1
r
∂
∂θ+ ~eφ
1
rsenθ
∂
∂φ
e que~r = r~er
temos que
< ~x|~L|Ψ >= −ih(~eφ∂
∂θ− ~eθ
1
senθ
∂
∂φ)Ψ(r, θ, φ)
De~er = senθcosφ~ex + senθsenφ~ey + cosθ~ez
~eθ = cosθcosφ~ex + cosθsenφ~ey − senθ~ez~eφ = −senφ~ex + cosφ~ey
encontraremos a acao das componentes do operador momento angular orbitalna representacao das posicoes
< ~x|Lx|Ψ >=< ~x|~ex · ~L|Ψ >= −ih(−senφ ∂
∂θ− cotgθcosφ ∂
∂φ
)Ψ(r, θ, φ)
< ~x|Ly|Ψ >=< ~x|~ey · ~L|Ψ >= −ih(cosφ
∂
∂θ− cotgθsenφ ∂
∂φ
)Ψ(r, θ, φ)
30
< ~x|Lz|Ψ >=< ~x|~ez · ~L|Ψ >= −ih ∂∂φ
Ψ(r, θ, φ)
Como L± = Lx ± iLy segue imediatamente que
< ~x|L+|Ψ >= heiφ(∂
∂θ+ icotgθ
∂
∂φ
)Ψ(r, θ, φ)
< ~x|L−|Ψ >= −he−iφ(∂
∂θ− icotgθ ∂
∂φ
)Ψ(r, θ, φ)
Para determinarmos a acao de ~L2 usamos a relacao
~L2 = L2x + L2
y + L2z =
1
2
(L+L− + L−L+
)+ L2
z = L+L− − hLz + L2z
obtendo
< ~x|~L2|Ψ >= −h2
(∂2
∂θ2+ cotgθ
∂
∂θ+
1
sen2θ
∂2
∂φ2
)Ψ(r, θ, φ)
Esses resultados mostram que o operador momento angular orbital age ape-nas nas variaveis angulares. Desse modo a funcao de onda dos auto-estados
simultaneos de ~L2 e Lz
~L2|l,m >= h2l(l + 1)|l,m >
~Lz|l,m >= hm|l,m >
pode ser escrita como o produto de uma funcao de onda radial e uma angular
< ~x|l,m >= R(r)Ylm(θ, φ)
com a funcao de onda angular, Ylm(θ, φ), que e deniminada de harmonicosesfericos satisfazendo as equacoes
−i∂Ylm(θ, φ)
∂φ= mYlm(θ, φ)
−(∂2
∂θ2+ cotgθ
∂
∂θ+
1
sen2θ
∂2
∂φ2
)Ylm(θ, φ) = l(l + 1)Ylm(θ, φ)
Vamos procurar solucoes que sejam o produto de uma funcao de θ e de umafuncao de φ
Ylm(θ, φ) = Θ(θ)Φ(φ)
31
com
−i∂Φ
∂φ= mΦ(φ)
cuja solucao eΦ(φ) = eimφ
A unicidade da funcao de onda impoe que
Φ(φ+ 2π) = Φ(φ)
que e igual aei2πm = 1
Desse modo m deve ser um inteiro e por conseguinte l tambem e um inteiro.Com isto a equacao para Θ(θ) se reduz a(
∂2
∂θ2+ cotgθ
∂
∂θ+ l(l + 1)− m2
sen2θ
)Θ(θ) = 0
A solucao dessa equacao diferencial e dada por
Θ(θ) = Cl|m|P|m|l (cosθ), para m ≥ 0
onde P|m|l (x) e a funcao associada de Legendre
P|m|l (x) = (1− x2)|m|/2
d|m|
dx|m|Pl(x)
onde Pl(x) e o polinomio de Legendre de ordem l
Pl(x) =(−1)l
2ll!
dl
dxl(1− x2)l
Vemos entao que os harmonicos esfericos sao dados, por uma escolha de faseapropriada, por:
Ylm(θ, φ) = Cl|m|P|m|l (cosθ)eimφ (8a)
Yl−m(θ, φ) = (−1)|m|Y ∗l|m|(θ, φ) (8b)
A constante de normalizacao Cl|m| e determinada impondo a condicao denormalizacao
2π∫0
π∫0
|Ylm(θ, φ)|2senθdθdφ = 1
que resulta em
Cl|m| = (−1)|m|
√2l + 1
4π
(l − |m|)!(l + |m|)!
(veja fim da secao)
32
Paridade dos harmonicos esfericos
Por uma reflexao em torno da origem, ~r → −~r temos que
r → r, θ → π − θ, φ→ φ+ π
AssimYlm(π − θ, φ+ π) = Clme
im(φ+π)P|m|l (−cosθ)
Pl(x) e uma funcao de paridade l + |m| e eim(φ+π) = (−1)meimφ, entao
Ylm(π − θ, φ+ π) = (−1)l+m+|m|Ylm(θ, φ) = (−1)lYlm(θ, φ)
33
Harmonicos esfericos como elementos da matriz de rotacao
Seja um estado |l,m > cuja funcao de onda e
< ~x|l,m >= R(r)Ylm(θ, φ) =< r|R >< ~n|l,m >
onde ~n e um vetor unitario especificado pelos angulos θ e φ.De
< ~x|D(R)|l,m >=< R−1~x|l,m >
temos que< ~n|D(R)|l,m >=< R−1~n|l,m >
ou< R−1~n|l,m >=
∑m′
< ~n|l,m′ >< l,m′|D(R)|l,m >
ouYlm(R−1~n) =
∑m′
Ylm′(~n)Dlm′m(R)
Ylm(R~n) =∑m′
Ylm′(~n)Dlm′m(R−1)
Finalmente chegamos a expressao
Ylm(R~n) =∑m′
Ylm′(~n)Dl∗mm′(R)
Vamos considerar ~n como um vetor unitario na direcao Oz e ~n′ = R~n umvetor especificado pelos angulos θ e φ
~n′ = Rz(φ)Ry(θ)~n n′xn′yn′z
=
cosφ −senφ 0senφ cosφ 0
0 0 1
cosθ 0 senθ0 1 0
−senθ 0 cosθ
001
Entao
Ylm(θ, φ) =∑m′
Ylm′(0, φ′)Dl∗
mm′(φ, θ, 0)
Mas
Ylm′(0, φ′) =
√2l + 1
4πδm′0
resultando em
Ylm(θ, φ) =
√2l + 1
4πDl∗m0(φ, θ, 0)
34
Estados estacionarios de uma hamiltoniana esfericamentesimetrica
SejaH = T + V
uma hamiltoniana esfericamente simetrica
[H, Lk] = 0 , k = x, y, z
isto e
H =~p2
2m+ V (
√x2 + y2 + z2)
Neste caso H, ~L2 e Lz sao observaveis compatıveis e podemos achar auto-estados simetricos desses observaveis
H|E, l,m >= E|E, l,m >
~L2|E, l,m >= h2l(l + 1)|E, l,m >
Lz|E, l,m >= hm|E, l,m >
na representacao das posicoes a equacao de Schrodinger para os estados es-tacionarios pode ser escrita como(
− h2
2m~∇2 + V (r)
)Ψ(r, θ, φ) = EΨ(r, θ, φ)
O operador Laplaciano em coordenadas esfericas pode ser escrita como
~∇2 =∂2
∂r2+
2
r
∂
∂r+
1
r2
(∂2
∂θ2+ cotgθ
∂
∂θ+
1
sen2θ
∂2
∂φ2
)=
∂2
∂r2+
2
r
∂
∂r−
~L2
h2r2
Entao a equacao de Schrodinger se reduz a:[− h2
2m
(∂2
∂r2+
2
r
∂
∂r
)+
~L2
2mr2+ V (r)
]ΨElm(r, θ, φ) = EΨElm(r, θ, φ)
ΨElm(r, θ, φ) e o produto de uma funcao de r com um harmonico esferico
ΨElm(r, θ, φ) = REl(r)Ylm(θ, φ)
com a funcao de onda radial satisfazendo a equacao[− h2
2m
(∂2
∂r2+
2
r
∂
∂r
)+h2l(l + 1)
2mr2+ V (r)
]REl(r) = EREl(r)
35
A normalizacao dos harmonicos esfericos e da funcao de onda dos estadosestacionarios leva a seguinte condicao de normalizacao para a funcao de ondaradial
∞∫0
dr r2|REl(r)|2 = 1
Entao podemos escrever a expressao dos harmonicos esfericos valida paraqualquer m como
Ylm(θ, φ) = clmP|m|l (cosθ)eimφ
comclm = cl|m| se m > 0
clm = (−1)|m|cl|m| se m < 0
36
3 Adicao de dois momentos angulares
Antes de estudar a teoria da adicao de dois momentos angulares e util consi-derar um exemplo simples: como adcionar o spin de duas partıculas de spin1/2.
3.1 Duas partıculas de spin 1/2
O espaco de vetores de estado do sistema e dado pelo produto direto doespaco de vetores de estado de cada partıcula do sistema. Uma base noespaco produto direto e dada pelo produto direto dos vetores da base paracada partıcula do sistema.Para uma partıcula de spin 1/2 o espaco de vetores de estado e bidimensionale os auto-estados de S2
1(S22), S1z(S2z) define uma base no espaco de vetores
de estado de cada partıcula
S21 |1/2,m1 >1=
3
4h2|1/2,m1 >1
S1z|1/2,m1 >1= hm1|1/2,m1 >1
S22 |1/2,m2 >2=
3
4h2|1/2,m2 >2
S2z|1/2,m2 >2= hm2|1/2,m2 >2
Desse modo uma base para as duas partıculas de spin 1/2 e dada por
|1/2, 1/2;m1,m2 >= |1/2,m1 >1 ⊗|1/2,m2 >2, m1,m2 = ±1
2
Desse modo vemos que o espaco produto direto tem dimensao quatro e umabase e dada por: |1/2, 1/2; 1/2, 1/2 >, |1/2, 1/2; 1/2,−1/2 >, |1/2, 1/2;−1/2, 1/2 >e |1/2, 1/2;−1/2,−1/2 >O spin total do sistema e dado por
~S = ~S1 + ~S2
que deve ser entendido como
~S = ~S1 ⊗ 12 + 11 ⊗ ~S2
onde 1 no primeiro (segundo) termo e o operador identidade no espaco dapartıcula 2(1).Naturalmente temos que:[
S1j, S1k
]= ih
∑l
εjklS1l
37
[S2j, S2k
]= ih
∑l
εjklS2l
[~S2
1 , S1k
]= 0,
[~S2
2 , S2k
]= 0[
S1j, S2k
]= 0
Como uma consequencia direta das propriedades de comutacao das compo-nentes do operador spin de cada partıcula segue que o spin total satisfaz asregras de comutacao do operador momento angular,[
Sj, Sk
]= ih
∑l
εjklSl
e que
~S2 = ~S21 + ~S2
2 + 2 ~S1 · ~S2
eSz = S1z + S2z
satisfazem as seguintes relacoes de comutacao[~S2, Sz
]=[~S2, ~S2
1
]=[~S2, ~S2
2
]= 0[
Sz, ~S21
]=[Sz, ~S
22
]=[~S2
1 , ~S22
]= 0
Com isto vemos que os observaveis ~S21 , S1z, ~S
22 , S2z e ~S2
1 , ~S22 , ~S2 e Sz sao
observaveis compatıveis e um vetor de estado generico no espaco de veto-res de estado do sistema no espaco de vetores de estado do sistema de duaspartıculas de spin 1/2 pode ser expandido numa base de auto-estados si-
multaneos de ~S21 , S1z, ~S
22 , S2z e ~S2
1 , ~S22 , ~S2 e Sz.
No primeiro caso essa base de vetores de estado e a base produto direto,definida anteriormente:
|1/2, 1/2; 1/2, 1/2 >= |1/2, 1/2 >1 ⊗|1/2, 1/2 >2
|1/2, 1/2; 1/2,−1/2 >= |1/2, 1/2 >1 ⊗|1/2,−1/2 >2
|1/2, 1/2;−1/2, 1/2 >= |1/2,−1/2 >1 ⊗|1/2, 1/2 >2
|1/2, 1/2;−1/2,−1/2 >= |1/2,−1/2 >1 ⊗|1/2,−1/2 >2
38
No segundo caso os auto-estados simultaneos de ~S21 , ~S2
2 , ~S2 e Sz sao:
|1/2, 1/2; s = 1,m = 1 >= |1/2, 1/2; 1/2, 1/2 > (9a)
|1/2,1/2;s=1,m=0>= 1√2
(|1/2,1/2;1/2,−1/2>+|1/2,1/2;−1/2,1/2>) (9b)
|1/2, 1/2; s = 1,m = −1 >= |1/2, 1/2;−1/2,−1/2 > (9c)
|1/2,1/2;s=0,m=0>= 1√2
(|1/2,1/2;1/2,−1/2>−|1/2,1/2;−1/2,1/2>) (9d)
onde s e m sao os autovalores de ~S2 e Sz:
~S2|1/2, 1/2; s,m >= h2s(s+ 1)|1/2, 1/2; s,m >
Sz|1/2, 1/2; s,m >= hm|1/2, 1/2; s,m >
O estado |1/2, 1/2; 1/2, 1/2 > tem maxima projecao do spin total, m = 1, epor conseguinte tem o maximo valor de s, s = 1.O estado |1/2, 1/2; 1, 0 > e dado pela acao de S− no estado |1/2, 1/2; 1, 1 >:
|1/2, 1/2; 1, 0 >=S−
h√
2|1/2, 1/2; 1, 1 >
Como S− = S1− + S2− temos que
|1/2, 1/2; 1, 0 >=1
h√
2
(S1−|1/2, 1/2 >1 ⊗|1/2, 1/2 >2 +|1/2, 1/2 >1 ⊗S2−|1/2, 1/2 >2
)De J±|j,m >= h
√(j ∓m)(j ±m+ 1)|j,m± 1 > segue que
S1+|1/2, 1/2 >1= 0, S1−|1/2, 1/2 >1= h|1/2,−1/2 >1
S1+|1/2,−1/2 >1= h|1/2, 1/2 >1, S1−|1/2,−1/2 >1= 0
Entao temos que
|1/2, 1/2; 1, 0 > =1√2
(|1/2,−1/2 >1 ⊗|1/2, 1/2 >2 +
1√2|1/2, 1/2 >1 ⊗|1/2,−1/2 >2
)=
1√2|1/2, 1/2; 1/2,−1/2 > +
1√2|1/2, 1/2;−1/2, 1/2 >
O estado com s = 1, m = −1 e obtido pela acao de S− no estado acima emostra-se facilmente que coincide com o estado (9c). Note que os estados dabase produto direto, |1/2, 1/2;m1,m2 > sao auto-estados de Sz com autovalorm = m1 +m2.
Sz|1/2, 1/2;m1,m2 >= h(m1 +m2)|1/2, 1/2;m1,m2 >
39
Para um dado m os possıveis valores de s devem satisfazer a condicao s ≥ |m|.No nosso caso existem dois estados com m = 0, |1/2, 1/2; 1/2,−1/2 > e|1/2, 1/2;−1/2, 1/2 >.A combinacao linear da equacao (9b) tem s = 1, m = 0. O estado ortogonalao estado (9b), mostrado na equacao (9d), tem necessariamente s = 0, m = 0.Desse modo vemos que quando adiciona-mos o spin de duas partıculas despin 1/2, os possıveis valores do spin total do sistema sao s = 1 e s = 0, commultiplicidade 1.Os coeficientes da expansao dos vetores da base de auto-estados simultaneos
de ~S21 , ~S2
2 , ~S2 e Sz numa combinacao linear de vetores da base de auto-estados
simultaneos de ~S21 , S1z, ~S
22 e S2z mostrados na equacao (9) e um exemplo dos
coeficientes de Clebsch-Gordan sao os elementos da matriz que transforma abase |1/2, 1/2;m1,m2 > na base |1/2, 1/2; s,m >.
40
Teoria da adicao do momento angular
Vamos considerar dois operadores momento angular que agem em espacos
diferentes ~J1 e ~J2.Esses operadores satisfazem as regras de comutacao do operador momentoangular: [
J1j, J1k
]= ih
∑l
εjklJ1l[J2j, J2k
]= ih
∑l
εjklJ2l
e o comutador de um par de operadores que agem em espacos diferentes enulo [
J1j, J2k
]= 0
O momento angular total do sistema e
~J = ~J1 + ~J2
que, mais rigorosamente, e igual a
~J = ~J1 ⊗ 12 + 11 ⊗ ~J2
Como uma consequencia direta das regras de comutacao de ~J1 e ~J2, ~J natu-ralmente satisfaz as regras de comutacao do operador momento angular[
Jj, Jk
]= ih
∑l
εjklJl
Temos a opcao de escolher duas bases diferentes para os vetores de estadodo sistema
1. Auto-estados simultaneos de ~J21 , J1z, ~J
22 , J2z:
~J21 |j1, j2;m1,m2 >= h2j1(j1 + 1)|j1, j2;m1,m2 >
J1z|j1, j2;m1,m2 >= hm1|j1, j2;m1,m2 >
~J22 |j1, j2;m1,m2 >= h2j2(j2 + 1)|j1, j2;m1,m2 >
J2z|j1, j2;m1,m2 >= hm2|j1, j2;m1,m2 >
que e a base dada pelo produto direto dos vetores da base de auto-estados de cada momento angular,
|j1, j2;m1,m2 >= |j1,m1 >1 ⊗|j2,m2 >2
41
2. Auto-estados simultaneos de ~J21 , ~J2
2 , ~J2 e Jz:
~J21 |j1, j2; j,m >= h2j1(j1 + 1)|j1, j2; j,m >
~J22 |j1, j2; j,m >= h2j2(j2 + 1)|j1, j2; j,m >
~J2|j1, j2; j,m >= h2j(j + 1)|j1, j2; j,m >
Jz|j1, j2; j,m >= hm|j1, j2; j,m >
As duas bases estao relacionadas por uma transformacao unitaria
|j1, j2; j,m >=∑m1,m2
|j1, j2;m1,m2 >< j1, j2;m1,m2|j1, j2; j,m >
Os elementos dessa matriz de transformacao sao os coeficientes de Clebsch-Gordan
Cj1m1
j2m2
jm =< j1, j2;m1,m2|j1, j2; j,m >
42
Autovalores de ~J2 e Jz e a ordem de sua degenerescencia
O que primeiramente precisamos determinar sao os possıveis autovalores de
~J2 e Jz e a ordem de sua degenerescencia. Primeiramente note que cadaestado |m1,m2 > e um auto-estadode Jz com autovalores mh = (m1 +m2)h
Jz|m1,m2 >= h(m1 +m2)|m1,m2 >
Para cada valor de m, j tem que satisfazer a desigualdade j ≥ |m|. Paradeterminar os possıveis valores de j vamos considerar a degenerescencia dosubespaco do autovalor m.Note que o maximo valor de m e, m = j1 + j2. Existe apenas um vetorde estado com esse autovalor que e o vetor de estado |j1, j2 >= |j1, j1 >1
⊗|j2, j2 >2. Como sonsequencia o maior valor de j e j = j1 + j2 e o vetor de
estado |j1, j2 >e necessariamente um auto-estado de ~J2 e Jz com autovaloresiguais a j1 + j2.
|j1 + j2, j1 + j2 >= |j1, j2 >
Na base produto direto, |m1,m2 >, existe apenas dois vetores de estadocom autovalores de Jz igual a j1 + j2 − 1, que sao os estados |j1 − 1, j2 > e|j1, j2− 1 >. Desse modo temos dois estados linearmente independentes comautovalor de Jz igual a j1 + j2 − 1, um desses estados tem momento angularigual a j1 +j2 que e dado pela acao do operador de abaixamento J− no estado|j1+j2, j1+j2 >. O estado ortogonal ao estado com j = j1+j2 em = j1+j2−1tem o menor possıvel valor de j para esse valor de m, j1 + j2− 1. Do mesmomodo vemos facilmente que existe tres estados linearmente independentescom m = j1 +j2−2, que sao: |j1−2, j2 >, |j1−1, j1−1 > e |j1, j2−2 >. Doisvetores de estado linearmente independentes tem j = j1 +j2, j = j1 +j2−1 esao dados pela acao do operador de abaixamento nos dois estados linearmenteindependentes com j = j1 + j2 e j = j1 + j2 − 1 e m = j1 + j2 − 1.O terceiro estado ortogonal a esses dois estados tem o menor valor de jcompatıvel com esse valor de m, j = j1 + j2−2.Nos podemos continuar nesseprocesso mas e claro que a degenerescencia de Jz nao crece indefinidamente.Por exemplo para m = −(j1 +j2), que e o menor valor possıvel para m, existeapenas um vetor de estado, | − j1,−j2 >. Para j1 ≥ j2 a degenerescenciamaxima e 2j2 + 1 como ilustrado nos exemplos discutidos abaixo.Para os valores de j1 = 2, j2 = 1 temos:
m 3 3 1 0 -1 -2 -3(m1,m2) (2,1) (1,1) (0,1) (-1, 1) (-2,1) (-2,0) (-2,-1)
(2,0) (1,0) (0,0) (-1,0) (-1,-1)(2,-1) (1,-1) (0,-1)
D 1 2 3 3 3 2 1d 3 3,2 3,2,1 3,2,1 3,2,1 3,2 3
43
Para os valores de j1 = 2, j2 = 1/2 temos:m 5/2 3/2 1/2 -1/2 -3/2 -5/2
(m1,m2) (2,1/2) (1,1/2) (0,1/2) (-1, 1/2) (-2,1/2) (-2,-1/2)(2,-1/2) (1,-1/2) (0,-1/2) (-1,-1/2)
D 1 2 2 2 2 1j 5/2 5/2,3/2 5/2,3/2 5/2,3/2 5/2,3/2 5/2
Essa degenerescencia de ordem 2j − 2 + 1 no autovalor m esta associada aos2j2 + 1 estados com o mesmo autovalor de m e com j igual a j1 + j2, j1 + j2−1, · · · , j2 − j1.Resumindo os possıveis valores de j sao,
j = j1 + j2, j1 + j2 − 1, · · · , |j1 − j2|
e eles ocorrem apenas uma vez.
Para um dado autovalor de ~J2, j, existe 2j + 1 auto-estados de Jz comautovalores iguais a j, j − 1, · · · ,−j.A dimensionalidade do espaco de vetores de estado produto direto e, por umacontagem na base {|j1, j2;m1,m2 >} igual a N = (2j1 + 1)(2j2 + 1).Fazendo esta contagem na base |j,m >, para cada autovalor de j existem2j + 1 estados . Considerando j1 > j2, o numero total dos estados e igual a
N =
j1+j2∑j1−j2
(2j+1) =1
2(2j1−2j2 +1+2j1 +2j2 +1)(2j2 +1) = (2j1 +1)(2j2 +1)
Os elementos da matriz de transformacao que relaciona a base {|j1, j2;m1,m2 >} com a base {|j1, j2; j,m >}sao os coeficientes de Clebsch-Gordan
|j1, j2; j,m >=∑m1,m2
|j1, j2;m1,m2 >< j1, j2;m1,m2|j1, j2; j,m >
Cj1m1
j2m2
jm =< j1, j2;m1,m2|j1, j2; j,m >
Os coeficientes de Clebsch-Gordan sao elementos de uma matriz unitaria∑m1,m2
< j1, j2;m1,m2|j1, j2; j,m >∗< j1, j2;m1,m2|j1, j2; j′,m′ >= δj,j′δm,m′
∑j,m
< j1, j2;m1,m2|j1, j2; j,m >< j1, j2;m′1,m′2|j1, j2; j,m >= δm1,m′1
δm2,m′2
Os coeficientes de Clebsch-Gordan se anulam a menos que
m = m1 +m2
e|j1 − j2| ≤ j ≤ j1 + j2
44
Coeficientes de Clebsch-Gordan e matrizes de rotacao
Considere o operador de rotacao do sistema, que e o produto direto dosoperadores de rotacao para cada um dos subsistemas
D(R) = D1(R)⊗ D2(R)
onde
D1(R) = e−iφh~J1·~n, D2(R) = e−
iφh~J2·~n
D(R) = e−iφh~J ·~n
A representacao do operador de rotacao do sistema na base produto direto|j1, j2;m1,m2 > e o produto direto da representacao do operador de rotacaopara cada um dos sistemas
< j1, j2;m1,m2|D(R)|j1, j2;m′1,m′2 >= Dj1
m1m′1(R)Dj2
m2m′2(R)
Essa representacao e redutıvel pois por uma transformacao unitaria dos esta-dos da base, que e a transformacao para a base de auto-estados simultaneos
de ~J2, Jz, ~J21 , ~J2
2 , a matriz fica diagonal em blocos
< j1, j2; j,m|D(R)|j1, j2; j′,m′ >= δjj′Djmm′(R)
Na notacao de teoria de grupos essa decomposicao e escrita como
Dj1(R)⊗ Dj2(R) = D(j1+j2)(R)⊕ D(j1+j2−1)(R)⊕ · · · D|j1−j2|(R)
Em termos dos elementos da matriz de rotacao nos temos a seguinte expansao
Dj1m1m′1
(R)Dj2m2m′2
(R) =
j1+j2∑j=|j1−j2|
∑mm′
< j1, j2;m1,m2|j1, j2; j,m > ×
× Djmm′(R) < j1, j2; j,m′|j1, j2;m′1,m
′2 >
D(R) =
Dj1+j2(R)
Dj1+j2−1(R). . .
D|j1−j2|(R)
45
Desigualdade de Bell
Considere um sistema consistindo de dois subsistemas. Seja {|φn >1} umabase no espaco de vetores de estado do subsistema 1 e {|χn >2} uma baseno espaco de vetores de estado do sistema 2.Uma base no espaco de vetores de estado do sistema constituıdo dos doissubsistemas e dada pelo produto direto dos vetores de cada base
{|φn >1 ⊗|χk >2}
Um vetor generico do sistema pode ser expresso em termos dos vetores dabase
|Ψ >=∑n,k
cnk|Φnk >=∑n,k
cnk|φn >1 ⊗|χk >2
A probabilidade de achar o subsistema 1 no estado |φn >1 e o subsistema 2no estado |χk >2 e
Pnk = |cnk|2 = | < φn, χk|Ψ > |2
A probabilidade de que o subsistema 1 esteja no estado |φn >1 independen-temente do estado do subsistema 2 e
Pn =∑k
Pnk =∑k
|cnk|2 =∑k
| < φn, χk|Ψ > |2
Do mesmo modo, a probabilidade do subsistema 2 estar no estado |χk >2
independentemente do estado do subsistema 1 e
Pk =∑n
Pnk =∑n
|cnk|2 =∑n
| < φn, χk|Ψ > |2
Essas probabilidades podem ser escritas como:
Pnk =< Ψ|φn, χk >< φn, χk|Ψ >=< Ψ|Pnk|Ψ >
Pn =∑k
< Ψ|φn, χk >< φn, χk|Ψ >=< Ψ|PΦn1⊗ 12|Ψ >
Pk =∑n
< Ψ|φn, χk >< φn, χk|Ψ >=< Ψ|11 ⊗ Pχk2|Ψ >
Exemplo: Duas partıculas de spin 1/2 no estado de spin total igual a zero:
|0 >=1√2|z+ >1 ⊗|z− >2 +
1√2|z− >1 ⊗|z+ >2
46
|0 >=1√2|z+, z− > +
1√2|z−, z+ >
Prove que
| <~b+ |~a+ > |2 = cos2 θab2
=1 + cosθab
2
onde θab e o angulo entre as direcoes ~a e ~b
~a = (cosφasenθa, senφasenθa, cosθa)
~b = (cosφbsenθb, senφbsenθb, cosθb)
cosθab = ~a ·~b = cosφacosφbsenθasenθb + senφasenφbsenθasenθb + cosθacosθb
cosθab = (cosφacosφb + senφasenφb)senθasenθb + cosθacosθb
cosθab = cos(φa − φb)senθasenθb + cosθacosθb
|~n+ >= cosθ
2|z+ > +sen
θ
2eiφ|z− >
<~b+ |~a+ >= cosθa2cos
θb2
+ senθa2sen
θb2ei(φa−φb)
| <~b+|~a+ > |2 = cos2 θa2cos2 θb
2+sen2 θa
2sen2 θb
2+2sen
θa2cos
θa2sen
θb2cos
θb2cos(φa−φb)
De cos2α = 1+cos(2α)2
e sen2α = 1−cos2α2
e sen2α = 2senαcosα, temos que
| <~b+|~a+ > |2 =1
4[(1 + cosθa)(1 + cosθb) + (1− cosθa)(1− cosθb)]+
1
2senθasenθbcos(φa−φb)
| <~b+ |~a+ > |2 =1
2(1 + cosθacosθb + senθasenθbcos(φa − φb))
| <~b+ |~a+ > |2 =1
2(1 + cosθab) = cos2 θab
2
Exercıcio: a) Calcule diretamente a matriz de rotacao de um angulo β emtorno do eixo Oy′ onde ~ny′ = (−senα, cosα, 0).b)Mostre que R~ny′ (β) = Rz(α)Ry(β)R−1
z (α).c)A expressao da matriz de rotacao parametrizada em termos da direcao doeixo de rotacao ~n e do angulo de rotacao φ e:
R =
cosφ+ n21(1− cosφ) n1n2(1− cosφ)− n3senφ n1n3(1− cosφ) + n2senφ
n2n1(1− cosφ) + n3senφ cosφ+ n22(1− cosφ) n2n3(1− cosφ)− n1senφ
n3n1(1− cosφ)− n2senφ n3n2(1− cosφ) + n1senφ cosφ+ n3(1− cosφ)
47
Entao R~ny′ (β) e igual a
R =
cosβ + sen2α(1− cosβ) −cosαsenα(1− cosβ) cosαsenβ−cosαsenα(1− cosβ) cosβ + cos2α(1− cosβ) senαsenβ
−cosαsenβ −senαsenβ cosβ
b) Temos queRz(α) =
cosα −senα 0senα cosα 0
0 0 1
, Ry(β) =
cosβ 0 senβ0 1 0
−senβ 0 cosβ
.
Entao
Rz(α)Ry(β)R−1z (α) =
cosα −senα 0senα cosα 0
0 0 1
cosβ 0 senβ0 1 0
−senβ 0 cosβ
cosα senα 0−senα cosα 0
0 0 1
=
cosα −senα 0senα cosα 0
0 0 1
cosβcosα cosβsenα senβ−senα cosα 0−senβcosα −senβsenα cosβ
=
cos2αcosβ + sen2α cosβcosαsenα− senαcosα cosαsenβcosβcosαsenα− cosαsenα sen2αcosβ + cos2α senαsenβ
−senβcosα −senβsenα cosβ
= R~ny′ (β)
Exercıcio 2:Dada a matriz de rotacao
R =1
4
3 1√
6
1 3 −√
6
−√
6√
6 2
a)Calcule o angulo de rotacao.b)Determine o eixo de rotacao.a)
Tr(R) = 1 + 2cosφ
Tr(R) = 2
Entao
cosφ =1
2−→
φ = π
3
ouφ = 2π − π
3
b) Na rotacao, o eixo de rotacao fica invariante
R
nxnynz
=
nxnynz
48
1
4
3 1√
6
1 3 −√
6
−√
6√
6 2
nxnynz
=
nxnynz
−1 1
√6
1 −1 −√
6
−√
6√
6 −2
nxnynz
= 0
−nx + ny +√
6nz = 0
−√
6nx +√
6ny − 2nz = 0
−nx + ny +√
6nz = 0
−nx + ny −√
6
3nz = 0
nz = 0
nx = ny
~n e um vetor unitarion2x + n2
y + n2z = 1
nx = ny =1√2
Entao
~n =
(1√2,
1√2, 0
)
49
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