MÓDULO DE UM NÚMERO REAL
Módulo (ou valor absoluto) de um número
0 se ,
0 se ,
xx
xxx
O módulo (ou valor absoluto) de um número real x, que se indica por | x | é definido da seguinte maneira:
Então:
x é positivo ou zero, | x | é igual ao próprio x.
Exemplos: | 2 | = 2 ; | 1/2 | = | 1/2 | ; | 15 | = 15. x é negativo, | x | é igual a –x.
Exemplos: |–2 | = –(–2) = 2 ; |–20 | = –(–20) = 20.
Exemplos:
1) Calcular o valor dos módulos:
a) | | 4 – 3 | – | 6 – 8 | |
b) 4 – | 8 + 3 – 16 |
c) | | 2 | – | 10 | |
2) Simplificar as expressões:
a) E = | x – 3| + | x – 1|, para x = – 4.
b) E = | x³ + x| - | x² - 3x + 1|, para x = – 2.
FUNÇÃO MODULAR
Denomina-se função modular à função f(x) = |x| definida por:
.,,
,)( realxtodopara
xsex
xsexxf
GRÁFICOS
Exemplos:01) Construir o gráfico da função f(x) = |x|.
1º passo: Construir o gráfico da função f sem o módulo.
para x = 0, y = 0 (0,0) para x = 1, y = 1 (1, 1)
0 x
y
1
1
2º passo: Conservamos os pontos de ordenadas positivas e transformamos os de ordenadas negativas em seu simétricos em relação ao eixo das abscissas, obtendo assim o gráfico de f(x).
0 x
y
1
1
2) Construir o gráfico da função f(x) = |2x – 6|.
1º passo: Construir o gráfico da função sem o módulo: g(x) = 2x – 6
2º passo: Rebater os valores negativos da ordenada.
3) Construir o gráfico da função f(x) = |x² – 4x + 3|.
04) Observe o gráfico da função g: Agora, observe o gráfico da função f = |g|:
O módulo de um número real é sempre positivo ou nulo. O módulo de um número real nunca é negativo.
Representando geometricamente, o módulo de um número real x é igual a distância do ponto que representa, na reta real, o número x ao ponto 0 de origem. Assim:
Se | x | < a (com a > 0) significa que a distância entre x e a origem é menor que a, isto é, x deve estar entre – a e a, ou seja,
| x | < a -a < x < a.
Se | x | > a (com a > 0) significa que a distância entre x e a origem é maior que a, isto é, deve estar à direita de a ou à esquerda de – a na reta real, ou seja: | x | > a x > a ou x < – a.
Equações modulares
Toda a equação que contiver a incógnita em um módulo num dos membros será chamada equação modular. Exemplos:
Resolver as equações a seguir:
a)|x – 4| = 6
b)|2x – 6| = 2
c) | – x + 2| = – 3
d)|x – 4| = |2x + 1|
e)|2x – 6| = |x – 2|
f)|2x – 3| = x – 2
g)|4x + 5| = x + 1
h)|x|² – 5|x| + 4 = 0
i)|x|² – |x| – 2 = 0
j) |3x² – x – 1| = 1
Inequações modulares
Uma inequação é modular quando a incógnita se apresenta em módulo.
Sendo a > 0, temos:
1) |x| > a
ax
ou
ax
2) |x| a
ax
ou
ax
3) |x| < a –a < x < a
4) |x| a –a x a
Exemplos:
1) Resolver as inequações em R:
a) |2x – 1| > 3.
b) |x – 4| 1.
c) |2x – 4| 1.
d) |x – 7| < 0.
e) |x|² – 4|x| + 3 0
Aprofundamento
Resolva a equação |x – 1| + |x – 2| = 4
Resolução:Construir o quadro de sinais:
Analisando o quadro de sinais, temos:
para x ≥ 2 2x – 3 = 4 x = 7/2
para 1 ≤ x < 2 1 = 4 absurdo
para x < 1 – 2x + 3 = 4 x = – 1/2
Analisando as respostas, a 1ª e a 3ª satisfazem as suas respectivas condições de contorno, a 2ª é um absurdo.
S = { –1/2; 7/2}