Modelos Estocásticos Ambientais
• Por que estocástico ?
– Porque você não controla os fatores que provocam as variações nas taxas vitais
• Não é possível saber com certeza como esses fatores irão se comportar
• Por que Ambiental ?
– Porque esses fatores são extrínsecos à dinâmica populacional, isto é, originam-se no meio ambiente em que a população está inserida.
São duas as formas de modelar a variabilidade ambiental:
1. Via sorteio de valores aleatórios para as taxas vitais a partir de distribuições beta, respeitando a estrutura de correlação entre as taxas vitais (Morris & Doak, 2001).
– É necessário atrelar essa estrutura de correlação a pelo menos uma variável ambiental relevante para que o modelo consiga representar a variabilidade ambiental adequadamente.
– Aparentemente é possível também gerar variabilidade ambiental, via distribuições beta, sem considerar a estrutura de correlação entre as taxas: dispensa a estimativa da estrutura de correlações:
• permitiria a simulação de estocasticidade ambiental com dados de 1 único período. Entretanto,não se garante a correlação entre as taxas vitais e a variabilidade ambiental.
2. Via a manipulação dos estados ambientais x(t). Assume basicamente 3 modos:
a) Seqüências independente e identicamente distribuídas (IID)
– x(t), o estado do ambiente no tempo “t”, é sorteado aleatoriamente de uma distribuição uniforme.
b) Cadeia de Markov
• x(t+1) depende de x(t) → Assume-se que há correlação entre os estados ambientais
• Permite atribuir freqüências de ocorrência distintas aos diferentes estádios ambientais
• Também pode trabalhar como IID (sem correlação entre os estádios ambientais, com freqüências de ocorrências dos estádios ambientais distintas os idênticas)
• Também pode trabalhar como modelo determinístico periódico.
x(t+1) = Pt x(t)
Onde Pt é uma matriz de transição coluna-estocástica, ou seja pij ≥ 0, ∑ i pij = 1 para todo j).
Pt controla a estrutura de correlações e as freqüências de
ocorrência dos diferentes estádios ambientais.
ρ = 0
f(B) = 0,1
f(B) = 0,5
IID
f(B) = 0,9
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
B
U
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
B
U
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
U
B
f(B) = 0,5
ρ = 0,9
ρ = 0
IID
ρ = - 0,9
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
U
B
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
U
B
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
U
B
c) Seqüências auto-regressivas de médias móveis (ARMA em inglês)
• Usados em caso de estruturas mais complexas de correlação entre os estádios ambientais
• Trabalha bem com correlações de ordens superiores.
Incluindo a variabilidade ambiental no modelo matricial via a manipulação dos estádios ambientais:
– Assume-se que a variabilidade ambiental está expressa na variação que as taxas de transição aij mostram a cada período. Em outras palavras, cada matriz At representa um estádio ambiental, ou seja, At = x(t).
• Inclui estocasticidade demográfica
• Como fazer:
– Gerar a seqüência de estádios ambientais;
– Projetar a população, selecionando as matrizes At de acordo com a seqüência
ambiental obtida.
n(t+1) = At At-1 ... A0 n(0)
n(t+1) = At n(t)
onde At (t = 1,...,n) é o estádo ambiental no tempo t.
No modo IID:
At é sorteada do conjunto de estados ambientais A1 ... An através de uma distribuição uniforme.
No modo Markoviano:
At = Pt-1 At-1
Autovetores para ambientes markovianos:
Para t → ∞, tanto a estrutura populacional (ep) como o valor reprodutivo (vr) tendem a convergir para proporções fixas entre as classes, sem depender da estrutura inicial da população.
ep(t+1) = At ep(t) / ║At ep(t)║
ep = vetor estrutura populacional
║ At ep(t)║ = ∑i epi(t)
║ep(0)║ = 1
vr*(t) = vr*(t+1) At / ║vr*(t+1) At║
vr* = vetor valor reprodutivo transposto;
║ vr*(t+1) At║ = ∑i vr*i(t)
Crescimento populacional
Destacam-se dois tipos de taxa de crescimento populacional sob modelos estocásticos ambientais:
– Crescimento da média: é utilizada eventualmente, mas é mais comum em trabalhos antigos.
– Média temporal da taxa de crescimento: É tida como a medida mais adequada do crescimento populacional em modelos estocásticos ambientais.
Crescimento populacional
• Em modelos matriciais estocásticos ambientais a taxa média temporal é conhecida como logλs (stochastic growth rate), comumente abreviada simplesmente para λs
• Para convertê-la em unidades equivalentes ao λ determinístico use: e logλs
Modelos Estocásticos Demográficos
• A estocasticidade demográfica diz respeito a fatores intrínsecos à população (genética, fisiologia)
• É responsável pelas respostas diferenciadas que plantas de uma mesma classe possam dar em função da variabilidade ambiental
• São os fatores ditos demográficos estocásticos que geram a variabilidade nas taxas vitais quando os fatores ambientais mantêm-se constantes
• Para n → ∞, estocasticidade demográfica → 0
• Modelagem matricial
– Estudado via simulações
– Histórias de vida são sorteadas:
Transições → distribuição multinomial
Fecundidade → distribuição de Poisson (comum para plantas), entre outras
possibilidades
– Entradas aij de A + P(mortalidade)j são assumidas como as probabilidades da distribuição multinomial
– Oferece um risco de extinção (er) específico para a população projetada nas simulações, ou seja, er depende de n(0)
Tabela de vida Matriz de probabilidades *
50 0 0 0 0
30 80 3 0 0
0 5 11 1 0
0 0 6 6 2
0 0 0 2 8
20 6 3 1 2
100 91 23 10 11
0.50 0 0 0 4
0.30 0.88 0.13 0 0
0 0.05 0.48 0.10 0
0 0 0.26 0.60 0.18
0 0 0 0.20 0.73
0.20 0.07 0.13 0.10 0.09
* Matriz de probabilidades = matriz de transição A + linha i = k+1 com as taxas de mortalidade pata cada j
n1
n2
n3
n4
n5
0.50 0 0 0 4
0.30 0.88 0.13 0 0
0 0.05 0.48 0.10 0
0 0 0.26 0.60 0.18
0 0 0 0.20 0.73
0.20 0.07 0.13 0.10 0.09
Vetor estrutura populacional matriz de probabilidades
A coluna j da matriz de probabilidades corresponde às probabilidades de transição e morte dos indivíduos da classe i do vetor estrutura populacional, sendo i = j
Processo de ramificação (Branching process)
Reprodução:
N = 0,N = 1 ouN = 2
P(N = 0) = p0P(N = 1) = p1P(N = 2) = p2
N = 0 é definitivo
(Caswell 2001)
• Modelagem por ramificação (Branching Process)
– Apoiado nas propriedades assintóticas da matriz A, oferece estimativas assintóticas de risco de extinção associado à matriz (q∞) e independente de n(0)
• q converge para valores constantes q∞ quando t → ∞
– Risco de extinção associado à população:
Q = ∏i qi(ni)
Q = P(extinção) da população
qi = P(extinção) da classe i
ni = número de indivíduos na classe i
• Classificado em 3 tipos:
λ < 1 processo subcríticoP(extinção) = 1Dispensa análise
λ = 1 processo críticoP(extinção) = 1Dispensa análise
λ > 1 processo supercríticoP(extinção) < 1
Análise determina P(extinção)
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