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Tópico 5 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos no Tempo 1
Modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos no Tempo 1 Introdução ........................................................................................................................ 2
2 Exemplo 1: Nível de estoque ............................................................................................ 5
3 Exemplo 2: Seqüência de Fibonacci .................................................................................. 6
4 Exemplo 3: Expansão populacional de Lactobacillus ........................................................ 11
5 Exemplo 4: Expansão populacional sob recursos limitados .............................................. 12
6 Exemplo 5: Composto radioativo ..................................................................................... 14
7 Exemplo 6: Empréstimo com juros e pagamento ao final ................................................. 14
8 Exemplo 7: Empréstimo com juros e pagamento mensal ................................................. 15
9 Exemplo 8: Integrador numérico ..................................................................................... 15
10 Exemplo 9: Dinâmica econômica .................................................................................... 18
11 Exemplo 10: Produto interno bruto ................................................................................ 23
12 Exemplo 11: Ocupação de estações de metrô ................................................................. 24
13 Exemplo 12: Fundo de pensão ........................................................................................ 25
14 Exemplo 13: Reservatório de usina hidroelétrica ............................................................ 26
15 Exemplo 14: Modelo de enterramento larval .................................................................. 27
16 Estimação de modelos lineares nos parâmetros ............................................................. 31
16.1 Estimação de modelos lineares ..................................................................................... 37
16.2 Estimação de modelos polinomiais ............................................................................... 38
17 Referências ..................................................................................................................... 39
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Tópico 5 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos no Tempo 2
1 Introdução
• Uma motivação: quando se quer controlar um processo, a obtenção de um modelo
dinâmico representa o primeiro passo.
• Sistemas contínuos no tempo × Sistemas discretos no tempo
• Sistemas contínuos no tempo com amostragem
t0 T 2T 3T kT (k+1)T
f(t)
• Sistemas discretos no tempo em tempo contínuo:
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Tópico 5 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos no Tempo 3
t0 T 2T 3T kT (k+1)T
f(t)
• Sistemas discretos no tempo em tempo discreto:
k0 1 2 3 k (k+1)
f(k)
• T: período de amostragem
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Tópico 5 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos no Tempo 4
• Se kTttk += 0 , então para uma função de tempo contínuo f(t) vale a seguinte
notação para sua análise em tempo discreto:
kk fkfkTtftf ==+= )()()( 0
• Em tempo discreto, sistemas contínuos no tempo que coincidem com sistemas
discretos no tempo nos pontos de amostragem são completamente equivalentes.
• Sistemas discretos no tempo ≡ Sistemas de tempo discreto
• Sistemas discretos a eventos ≡ Sistemas a eventos discretos
sistema) do saídas das tempono (evolução
sistema) do dinâmico (modelo
discreto tempode sistemas de dinâmico
ntocomportame do matemática descrição
diferençasa equações desistema
ou
diferençasa equação
→
• Modelar a planta de uma indústria, um sistema econômico, um comportamento
social ou um fenômeno biológico representa uma tarefa de grande complexidade.
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Tópico 5 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos no Tempo 5
• Como estamos em um curso introdutório, então estaremos restritos à abordagem
de princípios básicos de modelagem.
• Nota: em estado estacionário, sistemas de tempo contínuo e de tempo discreto
apresentam os mesmos tipos de comportamento dinâmico (embora não para a
mesma ordem do sistema), seja para o caso de dinâmica linear como para o caso
de dinâmica não-linear.
2 Exemplo 1: Nível de estoque
• Sendo x(k) o nível de estoque no início do mês k, obtenha o modelo matemático
para o nível mensal de estoque de uma empresa, sabendo que são contabilizados
mensalmente:
� c(k): nível de estoque consumido no mês k;
� r(k): nível de estoque reposto no mês k.
)()()()1( krkckxkx +−=+ , com x(0) dado.
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Tópico 5 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos no Tempo 6
3 Exemplo 2: Seqüência de Fibonacci
• Leonardo de Pisa (1180-1250), mais conhecido como Fibonacci, foi o principal
introdutor da matemática dos árabes no ocidente.
• A seqüência de Fibonacci teve origem a partir do seguinte problema:
Começando com um casal com 1 mês de idade, quantos casais de
coelhos teremos em um ano se a cada mês cada casal produtivo gera
um novo casal, o qual se torna produtivo com 2 meses de idade?
• Solução: Sendo c(k) o número de casais de coelhos no instante k, então a solução é dada na forma:
)2()1()( −+−= kckckc , com c(−1) = 1 e c(−2) = 0.
• Uma das propriedades interessantes da seqüência de Fibonacci é que a razão entre
os termos sucessivos converge para a razão áurea 2
51+.
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Tópico 5 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos no Tempo 7
• A razão áurea está presente em muitas manifestações da natureza, como na
disposição de folhas em um galho e em genética de populações.
• Também foi utilizada na arquitetura grega e nas artes em geral.
• Um retângulo é áureo quando, ao retirarmos dele um quadrado, obtemos um
retângulo com as mesmas proporções do original.
m
m
n
022 =−−⇒=+nnmm
n
m
m
mn
012
=−−
n
m
n
m
251+=
n
m
• A seqüência de Fibonacci assume os seguintes valores:
[0] [1] 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ...
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Tópico 5 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos no Tempo 8
Partenon (templo da deusa Atena)
Formato de caracol
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Tópico 5 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos no Tempo 9
Igreja de Notre Dame (Paris)
Pirâmide do Egito
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Tópico 5 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos no Tempo 10
Proporções corpóreas e esculturas
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Tópico 5 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos no Tempo 11
4 Exemplo 3: Expansão populacional de Lactobacillus
• Lactobacillus é um gênero de bacilo, o qual é uma bactéria em forma de bastonete,
cujas extremidades se apresentam cortadas em ângulo reto.
• Bactérias do gênero Lactobacillus apresentam forte produção de ácidos, sobretudo
de ácido láctico, razão por que coagulam o leite.
• Obtenha o modelo matemático para a expansão populacional de Lactobacillus sob
a hipótese de que a população dobra a cada 12 horas.
• Período de amostragem: T = 12 horas.
• Solução: Sendo n(k) o número de indivíduos da população no instante (de
amostragem) k, então a solução é dada na forma:
)1(2)( −= knkn , com n(0) dado.
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Tópico 5 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos no Tempo 12
5 Exemplo 4: Expansão populacional sob recursos
limitados
• O modelo matemático do exemplo anterior não é realista para descrever o
crescimento populacional sob recursos limitados.
• É necessário acrescentar o que se convencionou chamar de suporte da população,
o qual representa um valor de saturação. Ele é obtido a partir do modelo logístico
a seguir:
( ) ( ) ( )( ) ( )knknSknkn −+=+ α1 , com n(0) dado.
onde S é o suporte.
• Este modelo é válido também para descrever o espalhamento de doenças
infecciosas.
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Tópico 5 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos no Tempo 13
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Tópico 5 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos no Tempo 14
6 Exemplo 5: Composto radioativo
• Obtenha o modelo matemático para a massa de um composto radioativo, sabendo
que esta cai pela metade a cada 5 anos.
• Período de amostragem: T = 5 anos.
• Solução: Sendo m(k) a massa do composto radioativo no instante (de amostragem) k, então a solução é dada na forma:
)1(21
)( −= kmkm , com m(0) dado.
7 Exemplo 6: Empréstimo com juros e pagamento ao fi nal
• Qual é o único pagamento P ao final de um empréstimo no valor de D0, sabendo
que a duração do empréstimo é de n meses e que a taxa de juros mensais é r%?
• Período de amostragem: T = 1 mês.
• Evolução da dívida com o tempo: )1()1()( −+= kDrkD , com 0)0( DD = .
• Solução: )(nDP =
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Tópico 5 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos no Tempo 15
8 Exemplo 7: Empréstimo com juros e pagamento mensa l
• Qual é o pagamento mensal P para um empréstimo no valor de D0, sabendo que a
duração do empréstimo é de n meses, a taxa de juros mensais é r% e a dívida deve
estar liquidada ao final do empréstimo?
• Período de amostragem: T = 1 mês.
• Evolução da dívida com o tempo: PkDrkD −−+= )1()1()( , com 0)0( DD = e
0)( =nD .
• Solução: obter D(k) para um k qualquer e aplicar as condições inicial e final.
9 Exemplo 8: Integrador numérico
• A integral de uma função f(t) em um intervalo [t0, tf] corresponde à área sob a
curva. Uma aproximação numérica para esta área pode ser dada pela soma dos
trapézios formados pela divisão do intervalo em sub-intervalos menores (partes),
dentro dos quais f(t) é tomada como sendo linear (por partes).
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Tópico 5 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos no Tempo 16
t0 tf
f(t)
t0 tf
f(t)
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Tópico 5 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos no Tempo 17
• A divisão em sub-intervalos não precisa ser uniforme, mas a uniformidade será
uma hipótese desta formulação.
t0 tftk−1 tk
∆Ik
f(t)
• ( )11
2)()(
trapéziodoárea )(1
−− −+=∆=≅∫
−kk
kkk
t
ttt
tftfIdttfk
k
• Solução: ( )11
11 2)()(
−−
−− −++=∆+= kkkk
kkkk tttftf
IIII
• Sub-intervalos uniformes e iguais a T: 2
)()( 11
kkkk
tftfTII
++= −−
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Tópico 5 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos no Tempo 18
10 Exemplo 9: Dinâmica econômica
• No século XVIII, Adam Smith foi o primeiro a observar que um sistema de preços
livres, estabelecidos pela lei da oferta e da procura, em um ambiente de liberdade
regido pelo estado de direito, é estável.
• A ideia central está em perceber que os produtos disponíveis têm dois preços:
� Preço de mercado: estabelecido pela lei da oferta e da procura, de tal
forma que um excesso de oferta leva à diminuição do preço e um
excesso de procura leva a um aumento de preço;
� Preço natural: estabelecido pelos custos de produção + lucro.
• O equilíbrio se estabelece quando ambos os preços se igualam, mas isso não
permite concluir que os preços ficarão fixos no decorrer do tempo.
• Como condição de partida para a modelagem, considere uma economia
completamente isolada, ou seja, sem a possibilidade de importar ou exportar
produtos.
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Tópico 5 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos no Tempo 19
• Preço do produto no instante k: p(k);
• A dinâmica de mercado é caracterizada por duas funções:
� D(p): estabelece a demanda pelo produto, em função do preço;
� P(p): estabelece a produção do produto, em função do preço.
• D(p) deve ser uma função decrescente com p, enquanto que P(p) é uma função
crescente com p. Ambas as funções apresentam também comportamento de
saturação para preços mais elevados.
• É ainda razoável sugerir que a demanda seja mais sensível que a produção em
relação ao preço, ou seja:
dp
dD
dp
dP −< .
• A figura a seguir ilustra ambas as funções em escala normalizada, sendo possível
constatar que sempre vai existir um preço de equilíbrio peq tal que:
D(peq) = P(peq).
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Tópico 5 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos no Tempo 20
• Considere também que os consumidores reagem imediatamente ao preço do
produto, mas que a produção só reage ao preço praticado no instante anterior.
• Logo, o modelo matemático assume a forma:
( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ]kpDkpPkpkp −−−=+ 11 ρ
onde ρ > 0 é uma constante.
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Tópico 5 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos no Tempo 21
• Até agora foi considerada uma economia isolada. Para generalizar o estudo
considerando N economias interconectadas via importação e exportação de
produtos, é preciso considerar:
� ui: taxa de câmbio praticada pela economia i (i=1, ..., N). Todas as taxas
de câmbio são tomadas em relação a um valor de referência.
� ii pu : preço de exportação do produto na economia i, quando visto por
uma economia j, com i ≠ j.
� jjii pupu − : diferença de preços do produto entre as economias i e j.
� ( )⋅ijH : função crescente e ímpar, tal que ( ) ( )⋅=⋅ jiij HH , ji,∀ .
• Se a diferença de preços do produto entre as economias i e j for o argumento da
função ( )⋅ijH , então ( )jjiiij pupuH − indica o montante importado pela economia
i da economia j. Como a função ( )⋅ijH , então este também é o montante exportado
pela economia j para a economia i, como era de se esperar.
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Tópico 5 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos no Tempo 22
• Visto que importar ou exportar o produto equivale a alterar a sua produção interna,
é imediata a modificação que deve ser feita no modelo matemático já obtido para
economias fechadas.
• Mas antes é válido considerar que a importação ou exportação do produto, para
influenciar a produção no instante k, devem ter sido realizadas no instante anterior,
levando assim em conta o preço do produto em k−1.
• Logo, para i=1, ..., N vale:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )
−−−−+−−=+ ∑≠=
kpDkpukpuHkpPkpkp ii
N
jii
jjiiijiiiii1
1111 ρ
• O preço de equilíbrio ip para a economia i satisfaz:
( ) ( ) ( )∑≠=
−+=N
jii
jjiiijiiii pupuHpPpD1
, i=1, ..., N.
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Tópico 5 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos no Tempo 23
11 Exemplo 10: Produto interno bruto
• O produto interno bruto (PIB) de um país no instante k é dado por p(k).
• Suponha que o PIB seja função do consumo interno c(k), do investimento i(k), dos
gastos realizados pelo governo g(k) e do balanço entre exportações e importações
b(k), produzindo:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )kbkgkikckp +++=
• Considere que o consumo interno c(k+1) é uma fração α de p(k).
• Considere que o investimento i(k+1) é uma fração β do que deixou de ser
consumido entre dois períodos consecutivos, ou seja, ( ) ( )kckc −+1 .
• Com isso, obtém-se o seguinte modelo matemático:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )11111 +++++++=+ kbkgkikckp
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )1111 ++++−++=+ kbkgkckckpkp βα
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11111 ++++−−+=+ kbkgkpkpkp αββα
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Tópico 5 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos no Tempo 24
12 Exemplo 11: Ocupação de estações de metrô
• A figura abaixo apresenta um conjunto de n+1 estações de metrô.
• Suponha que no instante k = 0 todas as estações estão vazias.
• Sejam Ni(k) o número de passageiros presentes na estação 0 ≤ i ≤ n no instante k e
Ti(k) o número de passageiros transportados da estação i para a estação i+1 no
instante k.
• O modelo matemático para este sistema assume a forma:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
=−+−=+ −
kNkT
kTkTkNkN
iii
iiii
α11 1
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Tópico 5 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos no Tempo 25
onde 0 < αi < 1, i ≠ n e αn = 0, indica o percentual de passageiros efetivamente
transportados.
• Conforme indicado na figura, suponha que ( ) 01 dkT =− , ou seja, a estação inicial
recebe um fluxo constante de passageiros.
13 Exemplo 12: Fundo de pensão
• Um fundo de pensão recolhe um percentual r do salário mensal s(k) de cada um de
seus mutuários, durante n meses.
• Após este período, o fundo paga a cada mutuário uma pensão constante e igual a
( )nsp ⋅ durante m meses, com 0 < p ≤ 1.
• Considere que o salário do mutuário varia de forma linear, na forma:
( ) kn
abaks
−+= .
• Considere também que o fundo aplica todo o montante recebido, com uma taxa de
retorno de q pontos percentuais ao mês.
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Tópico 5 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos no Tempo 26
• Ao final de n+m meses, os recursos do fundo devem ser nulos.
• O modelo matemático que fornece a evolução temporal dos recursos existentes no
fundo por mutuário, R(k), é dado na forma:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( )
=+=
−+=
++=−+=+=++=+
0
00
,...,1 ,11
,...,0 ,11
mnR
R
kn
abaks
mnnknpskRqkR
nkkrskRqkR
14 Exemplo 13: Reservatório de usina hidroelétrica
• v(k): volume de água armazenada;
• u(k): volume de água utilizado para a geração de energia elétrica;
• d(k): volume de água devido às chuvas;
• α: taxa de evaporação.
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Tópico 5 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos no Tempo 27
• A partir das variáveis acima, o modelo matemático assume a forma:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00 ,11 vvkdkukvkv =+−−=+ α .
15 Exemplo 14: Modelo de enterramento larval
• Para desenvolver um modelo de tempo discreto para dispersão larval até a
pupariação, considere a seguinte notação:
� N é o número de larvas no experimento.
� i ∈ {0,1,2,...,q} representam os índices de pontos dispostos uniformemente e
em linha reta a partir do substrato alimentar. As posições i = 0 e i = q
correspondem aos limites da área de pupariação.
� k ∈ {0,1,2,...} representa o instante discreto de tempo.
� kiC , fornece o número de larvas na superfície, na posição i e no instante k.
� kiA , fornece o número de larvas enterradas, na posição i e no instante k.
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Tópico 5 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos no Tempo 28
� α representa a proporção de larvas que se enterram em cada posição, em um
dado instante discreto de tempo, em relação ao número de larvas na
superfície em cada posição e naquele instante.
� β representa a proporção de larvas em cada posição que se move uma posição
adiante em um dado instante discreto de tempo, em relação ao número de
larvas na superfície em cada posição e naquele instante.
� conseqüentemente, 1−α−β fornece a proporção de larvas que permanecem na
superfície e na mesma posição entre dois instantes consecutivos de tempo,
em relação ao número de larvas na superfície em cada posição e naquele
instante.
• Um conjunto adicional de proposições será adotado aqui para definir
apropriadamente o cenário do experimento:
� Para normalizar os resultados, N será considerado como sendo igual a 1.
Logo, kiC , e kiA , são valores reais no intervalo [0,1], ∀ i,k.
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Tópico 5 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos no Tempo 29
� α e β são considerados constantes ao longo do experimento.
� Como a região de pupariação tem um número finito de posições, para i < 0 e
i > q, 0, =kiC ∀ k, o que implica 0, =kiA ∀ k.
� A condição inicial em k=0 é definida como sendo 10,0 =C e 00, =iC para
i > 0, ou seja, as larvas estão todas na superfície na posição i=0.
• Por unidade de tempo, dadas as hipóteses acima, uma larva pode:
� Permanecer imóvel;
� Enterrar-se;
� Mover-se uma posição adiante.
Com isso, para i > k, 0, =kiC , o que implica 0, =kiA .
• Repare que as hipóteses acima indicam implicitamente que nenhuma larva pode se
mover para trás. Embora seja possível incorporar este tipo de movimento no
modelo (como também outros refinamentos), o termo adicional resultante
impediria a obtenção de uma solução algébrica geral em forma fechada.
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Tópico 5 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos no Tempo 30
• De acordo com a notação, hipóteses e conjunto de proposições acima, o modelo
discreto para enterramento larval assume a forma:
kikiki CAA ,,1, α+=+ (1)
( ) kikiki CCC ,1,1, 1 −+ β+β−α−= (2)
• A equação (1) pode ser interpretada como segue: a quantidade de larvas enterradas
na posição i no instante de tempo k+1 ( 1, +kiA ) é igual à quantidade de larvas já
enterradas naquela posição (kiA , ) adicionada à proporção fixa de larvas atualmente
na superfície na posição i e instante k ( kiC , α ).
• A equação (2) fornece a quantidade de larvas na superfície na posição i e instante
k+1 ( 1, +kiC ) como o número de larvas que estavam na superfície na posição i e
instante k ( kiC , ), adicionada à proporção de larvas que estavam na posição
anterior e se moveram adiante ( kiC ,1 −β ), subtraída de uma proporção de larvas que
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Tópico 5 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos no Tempo 31
estavam na superfície na posição i e instante k e se enterraram ( kiC ,α ), subtraída
de uma proporção de larvas que estavam na superfície na posição i e instante k e
se moveram adiante ( kiC ,β ).
16 Estimação de modelos lineares nos parâmetros
• Em muitas aplicações de modelagem matemática de sistemas dinâmicos e também
em filtragem de sinais, é comum a proposição de modelos na forma:
( )xb,fy = ,
onde Pℜ∈b é o vetor de parâmetros a determinar, Lℜ∈x é o vetor de entradas e
ℜ→ℜ×ℜ LPf : é a função que associa o vetor de entradas com a saída ℜ∈y .
• Repare que a forma da função f é especificada pelo vetor de parâmetros Pℜ∈b .
• Se o papel de cada parâmetro no vetor Pℜ∈b é bem definido e admite uma
interpretação física vinculada à natureza do processo em estudo, então o modelo
matemático é denominado paramétrico.
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Tópico 5 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos no Tempo 32
• Caso contrário, se o papel de cada parâmetro no vetor Pℜ∈b não é bem definido
e ele é pouco interpretável, então diz-se que o modelo é semi-paramétrico ou não-
paramétrico.
• A determinação do vetor de parâmetros Pℜ∈b geralmente depende da existência
de amostras que exprimem o comportamento de entrada-saída da função a ser
aproximada. Considere um conjunto de N amostras na forma:
Entradas
1 2 L L Saída
x11 x12 L x1L y1
x21 x22 L x2L y2
M M M M M
xN1 xN2 L xNL yN
• Para cada amostra l, também é possível definir os pares ( )ll y,x , l=1, ..., N, de
entrada-saída, com Ll ℜ∈x e ℜ∈ly .
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Tópico 5 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos no Tempo 33
• O vetor de parâmetros Pℜ∈b que melhor representa os dados de entrada-saída
disponíveis é aquele que resolve o seguinte problema de otimização:
( )( )∑=ℜ∈
−=N
lll yf
P1
2,min arg xbbb
• Se a função f for não-linear, então resulta um problema de otimização não-linear.
Neste caso, o ajuste de parâmetros não pode ser realizado de forma fechada, a
partir de uma equação algébrica. A solução numérica para o vetor Pℜ∈b deve ser
obtida de forma iterativa (LUENBERGER, 1979).
• Uma forma muito utilizada de simplificação do modelo matemático, e
consequente simplificação do problema de otimização associado, é a suposição de
que a saída pode ser obtida por uma combinação linear de funções da entrada, na
forma:
( ) ( ) ( ) ( ) PPP bfbfbfbfy ++++== −− xxxxb 112211, ... ,
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Tópico 5 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos no Tempo 34
onde as funções ℜ→ℜLif : , i=1, ..., P−1, são chamadas de funções-base da
combinação linear.
• O modelo matemático acima é linear nos parâmetros Pℜ∈b , pois mesmo que as
funções ℜ→ℜLif : , i=1, ..., P−1, sejam não-lineares, elas são fixas.
• Definindo a matriz PN×ℜ∈F e o vetor Nℜ∈y na forma:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
=
−
−
−
1
1
1
121
212221
111211
NPNN
P
P
fff
fff
fff
xxx
xxx
xxx
F
L
MMOMM
L
L
=
Ny
y
y
M
2
1
y
então o melhor vetor de parâmetros é aquele que resolve o seguinte sistema de
equações lineares:
ybF =⋅
• Repare que o sistema de equações lineares resultante tem mais equações que
incógnitas, pois sempre vale a relação N > P.
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Tópico 5 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos no Tempo 35
• Em termos matemáticos, esta situação pode levar a três cenários alternativos:
� Existem mais que N−P equações redundantes e o sistema de equações
lineares tem infinitas soluções;
� Existem N−P equações redundantes e o sistema de equações lineares
tem solução única;
� O sistema de equações lineares é inconsistente e não tem solução.
• Normalmente a situação encontrada na prática é a inconsistência do sistema de
equações lineares, motivada por dois fatores principais:
� Ruído no processo de amostragem (atuando sobre o vetor y);
� O modelo matemático representa uma aproximação do comportamento
de entrada-saída expresso pelos dados amostrados.
• Mesmo na presença de inconsistência, é possível buscar uma solução para o
sistema de equações lineares, na forma:
2
2min arg yFbbb
−=ℜ∈ P
,
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Tópico 5 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos no Tempo 36
onde
zzz TN
llz ==∑
=1
22
2, com Nℜ∈z .
• Resulta então um problema de quadrados mínimos, cuja solução é obtida pela
aplicação da condição necessária de otimalidade, produzindo:
( ) ( )[ ] 02
2=−−=− yFbyFb
byFb
bT
d
d
d
d
• Serão empregadas a seguir algumas propriedades de cálculo matricial, visando
obter as derivadas indicadas:
( ) ( )[ ] ( ) 0=+−−=−− yyFbyyFbFbFbb
yFbyFbb
TTTTTTT
d
d
d
d
yFFbFyFyFFbF TTTTT =⇒=+−− 002
• Se as P colunas de F forem linearmente independentes, então a matriz FFT , que
tem dimensão P × P, tem posto completo. Logo, é uma matriz inversível.
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Tópico 5 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos no Tempo 37
• Neste caso, multiplicando à esquerda por ( ) 1−FFT , obtém-se:
( ) ( ) ( ) yFFFbyFFFFbFFF TTTTTT 111 −−−=⇒= .
• Esta é a solução do problema de quadrados mínimos, permitindo assim obter o
vetor de parâmetros Pℜ∈b que produz a melhor aproximação do modelo
matemático aos dados. A matriz ( ) TT FFF1−
é chamada de pseudo-inversa da
matriz F. A condição de independência das colunas da matriz F é sempre
conseguida caso as funções-base ℜ→ℜLif : , i=1, ..., P−1, sejam distintas.
16.1 Estimação de modelos lineares
• Um caso particular relevante ocorre quando as funções-base são as próprias
entradas, produzindo o seguinte modelo matemático:
12211 +++++= LLL bxbxbxby ... ,
onde agora P = L+1.
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Tópico 5 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos no Tempo 38
• Para modelos matemáticos dessa forma, vale a solução via quadrados mínimos já
descrita, e a nova matriz F assume a forma:
=
1
1
1
21
22221
11211
NLNN
L
L
xxx
xxx
xxx
L
MMOMM
L
L
F .
16.2 Estimação de modelos polinomiais
• Um outro caso particular relevante ocorre quando existe apenas uma entrada e as
funções-base são potências da variável de entrada, produzindo um modelo
polinomial como segue:
PPPPP bxbxbxbxby +++++= −−
−−1
22
22
11 ... .
• Para modelos matemáticos dessa forma, vale a solução via quadrados mínimos já
descrita, e a nova matriz F assume a forma:
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Tópico 5 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos no Tempo 39
=
−−
−−
−−
1
1
1
21
22
21
2
12
11
1
NPN
PN
PP
PP
xxx
xxx
xxx
L
MMOMM
L
L
F .
17 Referências
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CADZOW, J.A. “Discrete-Time Systems: An Introduction With Interdisciplinary Applications”, Prentice Hall, 1973.
CASE, T.J. “An illustrated guide to theoretical ecology”, Oxford University Press, 449 p., 2000.
EDELSTEIN-KESHET, L. “Mathematical models in biology”, Random House, 586 p., 1988.
ELAYDI , S.N. “An Introduction to Difference Equations”, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer Verlag, 2nd. edition, 1999.
GEROMEL, J.C. & PALHARES, A.G.B. “Análise Linear de Sistemas Dinâmicos: Teoria, Ensaios Práticos e Exercícios”, Editora Edgard Blücher Ltda., 1a. edição, 2004.
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Tópico 5 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Discretos no Tempo 40
GOLDBERG, S. “Introduction to Difference Equations with Illustrative Examples from Economics, Psychology, and Sociology”, 1958.
KULENOVIC, M.R.S. & MERINO, O. “Discrete "Dynamical" Systems and Difference Equations with Mathematica”, Chapman & Hall, 2002.
LUENBERGER, D.G. “Introduction to Dynamic Systems: Theory, Models, and Applications”, Wiley, 1979.
MARDIA , K.V., KENT, J.T. & BIBBY , J.M. “Multivariate Analysis”, Academic Press, 1979.
RENSHAW, E. “Modelling biological populations in space and time”, Cambridge University Press, 403 p., 1991.
STRANG, G. “Introduction to Linear Algebra”, 4th edition, Wellesley Cambridge Press, 2009.