Teste de avaliao 3 (90 min)

1. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, os pontos de coordenadas A(1, 3); B(4, 2); C(1, 3); D(3, 4) e . 1.1. Determine a de modo que os pontos A e E sejam coincidentes. 1.2. Indique as coordenadas da imagem do ponto: 1.2.1. A pela reflexo de eixo Ox; 1.2.2. B pela reflexo de eixo Oy; 1.2.3. C pela reflexo de centro O, a origem do referencial. 1.3. Represente os pontos A, B e C e desenhe o tringulo [ABC]. Determine a sua rea.

2. Determine o declive da reta que passa pelos pontos:

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

3. Indique o declive e a ordenada na origem de cada uma das retas.

3.1. 3.2.

3.3. 3.4.

3.5.

4. Represente no mesmo referencial, ortogonal e monomtrico, as retas cujas equaes so:

; ; e

Ficha de reviso 3

5. Considere as retas r, s, t e p representadas no referencial ortogonal e monomtrico da figura.

Escreva a equao reduzida de cada uma das retas.

6. Resolva cada um dos sistemas de equaes.

6.1.

6.2.

6.3.

7. Resolva, em , cada uma das equaes do 2. grau.

Comece por escrever uma expresso equivalente expresso do 1. membro da equao na forma , onde a, d e e so nmeros reais e a diferente de zero, ou seja, use o mtodo de completar o quadrado.

7.1.

7.2.

7.3. Ficha de reviso 3

Teste 90 minutosP

Ficha de reviso 1

1. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, os pontos A(2 , 2), B(5 , 1) e C(4 , 6). 1.1. Classifique o tringulo [ABC] quanto medida do comprimento dos lados. 1.2. Determine o valor exato do comprimento do segmento de reta [DE], sendo: D o ponto mdio do segmento [AB]; E o ponto mdio do segmento [AC].Apresente o valor pedido com denominador racional.

2. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, o hexgono regular [ABCDEF], do qual a origem do referencial o seu centro. Sabe-se ainda que dois dos seus vrtices esto sobre o eixo das abcissas.Determine as coordenadas de todos os vrtices do hexgono, admitindo que a medida de comprimento do seu lado igual a duas unidades.

Questo-aula 1

Item de seleo1. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, os pontos A(5 , 3) e B(4 , 2). A distncia do ponto mdio do segmento de reta [AB] origem do referencial igual a:

(A) (B) (C) (D) Item de construo2. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, o quadriltero [ABCD] cujos vrtices so os pontos de coordenadas A(4 , 2), B(4 , 2), C(5 , 2) e D(5 , 2).2.1. Represente o quadriltero [ABCD] no referencial e classifique-o.2.2. Determine a rea e o permetro do quadriltero [ABCD].Miniteste 1 (20 min)

Teste 90 minutosP

Teste de avaliao 1

1. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, os pontos A(3 , 4), B(1 , 2) e . 1.1. Determine a equao reduzida da mediatriz do segmento de reta [AB]. 1.2. Determine a equao reduzida da circunferncia de centro no ponto C e que passa pelo ponto B. 1.3. Determine o valor exato da rea do quadrado de que o segmento de reta [AC] uma diagonal.

2. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, a elipse centrada na origem, de focos e de que P um dos seus pontos. Sabe-se, ainda, que:

um ponto da elipse.Determine a equao reduzida da elipse.Questo-aula 2

Item de seleo

1. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, a circunferncia de equao . Admita que so as coordenadas do centro dessa circunferncia, onde a e b so dois nmeros reais. A expresso igual a:

(A) (B) (C) (D) Item de construo

2. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, dois nmeros reais a e b e os pontos . 2.1. Prove que a distncia entre os pontos A e B igual a 5. 2.2. Considere a = 1 e b = 2. 2.2.1. Escreva a equao reduzida da mediatriz do segmento de reta [AB]. 2.2.2. Admita que [AB] a altura de um tringulo equiltero. Determine o valor exato da rea desse tringulo. Apresente o valor pedido com denominador natural.Miniteste 2 (20 min)

1. Identifique as figuras geomtricas planas definidas pelas condies.

1.1. 1.2.

1.3. 1.4.

1.5.

2. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, a circunferncia de centro C(5 , 0), o ponto A(2 , 0) pertencente circunferncia e as retas horizontas r e t. 2.1. Defina, por meio de uma condio, a regio sombreada, incluindo a fronteira. 2.2. Sejam P e Q os pontos tais que: P o ponto de menor abcissa que pertence simultaneamente reta r e circunferncia; Q o ponto de maior abcissa que pertence simultaneamente reta t e circunferncia.Determine o valor exato da medida do comprimento do segmento de reta [PQ].

Questo-aula 3

Item de seleo

1. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, os pontos A(0 , 2), B(3 , 1) e , onde a um nmero real.Os valores de a para os quais o ponto P pertence ao semiplano fechado inferior em relao mediatriz do segmento de reta [AB] so:

(A) (B) (C) (D)

Item de construo2. Represente geometricamente cada um dos conjuntos de pontos do plano determinados pelas condies.

2.1. 2.2.

2.3. Miniteste 3 (20 min)

1. Na figura est representado um octgono [ABCDEFGH], o qual foi dividido em quatro quadrados iguais.Utilizando as letras da figura, indique dois vetores com: 1.1. a mesma direo e sentidos opostos; 1.2. simtricos;

1.3. a mesma norma que o vetor ; 1.4. colineares com comprimentos diferentes.

2. Na figura est representado um losango [EFGH] inscrito num retngulo [ABCD], sendo O o ponto de interseo das diagonais do losango [EFGH].Determine o vetor resultante de cada uma das somas com origem no ponto A.

2.1. 2.2. 2.3.

2.4. 2.5.

Questo-aula 4

Item de seleo

1. Relativamente a dois pontos, P e T, e um vetor , sabe-se que . Qual das seguintes afirmaes necessariamente verdadeira?

(A) (B) (C) (D) Item de construo

2. Considere os vetores tais que , e .

2.1. Determine tal que .

2.2. Prove que os vetores so colineares.Miniteste 4 (20 min)

1. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, os vetores e . Determine as coordenadas do vetor:

1.1. tal que ; 1.2. tal que .

2. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, os pontos e .

2.1. Determine as coordenadas do vetor tal que .

2.2. Determine . Compare os resultados obtidos.

Questo-aula 5

Item de seleo

1. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, os pontos , e . Qual das seguintes afirmaes verdadeira?

(A) Os vetores so colineares.

(B)

(C)

(D) No verdade que os vetores no sejam colineares.

Itens de construo

2. Num plano munido de um referencial cartesiano os pontos , e so vrtices de um paralelogramo.Verifique se o paralelogramo [PQRS] , ou no, um retngulo.

3. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, os pontos e .

3.1. Determine as coordenadas do vetor colinear a , de sentido contrrio e de norma .

3.2. Determine as coordenadas de um ponto P tal que .Miniteste 5 (20 min)

1. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, as retas r e s definidas, respetivamente, por

1.1. Mostre que a equao reduzida da reta r .1.2. Determine a abcissa do ponto da reta s cuja ordenada 2.1.3. Mostre que r e s definem a mesma reta.

Questo-aula 6

Item de seleo1. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, os pontos A(3 , 4) e B(5 , 2). Qual das seguintes equaes no define uma equao da reta AB?

(A)(B)

(C) (D)

Item de construo

2. Considere, num referencial cartesiano do plano, a reta s definida por . Determine uma equao da circunferncia tangente ao eixo Ox cujo centro o ponto da reta s de ordenada igual a metade da abcissa.

Miniteste 6 (20 min)

1. Identifique e defina analiticamente, utilizando equaes cartesianas, cada um dos conjuntos de pontos do plano. 1.1. Pontos que distam igualmente dos pontos A(2 , 1) e B(3 , 5)

1.2. Pontos cuja distncia ao ponto igual a

1.3. Pontos cuja soma das medidas das distncias aos pontos iguala 15

2. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, os pontos e . 2.1. Mostre que o tringulo [ABC] retngulo. 2.2. Determine o valor exato do permetro e da rea do tringulo [ABC].

3. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, as circunferncias , cujas equaes so:

3.1. Identifique o valor lgico da seguinte proposio:

p: Se a circunferncia tem centro no ponto de coordenadas , ento o seu raio igual a 1.

3.2. Considere que os pontos A e B so respetivamente o centro da circunferncia e o centro da circunferncia .Determine o valor exato da medida do segmento de reta [AB].

4. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, o polgono definido analiticamente pela condio .Represente geometricamente esse polgono e determine o valor exato da medida da sua rea.

5. Identifique e defina analiticamente, por meio de uma condio, cada um dos conjuntos de pontos no plano. 5.1. Pontos cuja distncia ao ponto A(2 , 3) menor que a distncia ao ponto B(1 , 4) 5.2. Pontos cuja distncia ao ponto A(1 , 2) dupla da distncia ao ponto B(4, 2)

Ficha de preparao para o teste de avaliao 3

Teste 90 minutosP

Ficha de preparao para o teste de avaliao 3

6. Represente geometricamente cada um dos conjuntos de pontos do plano determinados pelas seguintes condies.

6.1.

6.2.

7. Considere um plano munido de um referencial ortonormado e um tringulo [ABC] cujos vrtices so os pontos A(0 , 1) , B(4 , 2) e C(2 , 3).Defina, por meio de uma condio, o tringulo [ABC].

8. Na figura encontram-se dois segmentos orientados que representam os vetores .Construa o vetor:

8.1. resultante da soma de com o simtrico de ;

8.2. tal que .

9. Na figura est representado um paralelogramo [ABCD], o qual foi dividido em quatro paralelogramos iguais e os vetores .

Utilizando letras da figura indique todos os representantes de:

9.1. 9.2. 9.3.

9.4. 9.5.

10. Simplifique.

10.1.

10.2.

11. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, os pontos , onde a um nmero real.

11.1. Exprima as coordenadas do vetor em funo de a. 11.2. Determine o valor de a para que o quadriltero [ABCD] seja um paralelogramo.

12. O ponto P de coordenadas pertence reta de equao . Determine as coordenadas do ponto P.

13. Considere, num referencial cartesiano do plano, os pontos . 13.1. Escreva uma equao vetorial do segmento de reta [AB].

13.2. Mostre que o ponto pertence reta AB mas no pertence semirreta de equao , com .

14. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, o quadrado [ABCD] e os pontos E e F, respetivamente, ponto mdio do lado [BC] e ponto mdio do lado [CD]. 14.1. Seja P o ponto de interseo dos segmentos [AF] e [ED]. Determine as coordenadas do ponto P. 14.2. Defina por meio de uma condio a regio sombreada.

15. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, um ponto A, a circunferncia de centro A definida pela equao , os pontos B e C de interseo da circunferncia com o eixo Oy e o ponto D de interseo da circunferncia com o eixo Ox e de abcissa negativa.

15.1. Determine as coordenadas dos pontos B, C e D. 15.2. Determine um sistema de equaes paramtricas que defina a reta CD. 15.3. Calcule a rea do tringulo [BCD].Ficha de preparao para o teste de avaliao 3

1. Considere um plano munido de um referencial ortonormado e uma circunferncia de equao .A rea do quadrado inscrito nesta circunferncia igual a:(A) 8(B) 16(C) 24(D) 32

2. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, os pontos O ponto M o ponto mdio do segmento de reta [AB]. Quais so as coordenadas do ponto B?(A) (15 , 4)(B) (14 , 6)(C) (13 , 8)(D) (7 , 3)

3. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado os pontos e . O tringulo [ABC] :(A) retngulo e no issceles(B) retngulo e issceles(C) equiltero(D) issceles e no retngulo

4. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, os pontos e .Em qual dos seguintes referenciais ortonormados est representado o simtrico do segmento de reta [AB] relativamente reflexo do eixo Ox?(A) (B) (C)(D) Teste de avaliao 3 (90 min)

Teste 90 minutosP

Teste de avaliao 3 (90 min)

5. Na figura esto representados os vetores . Qual das seguintes afirmaes pode ser verdadeira?

(A) (B)

(C) (D)

6. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, o tringulo [ABO] e a circunferncia inscrita neste, como mostra a figura seguinte.

Sabe-se, ainda, que: o tringulo [ABC] retngulo em O;

o raio r de uma circunferncia inscrita num tringulo cujos lados tenham a, b e c unidades de medida, pode ser calculado utilizando a frmula , onde p o semipermetro do tringulo. 6.1. Determine o raio da circunferncia inscrita no tringulo [ABC]. 6.2. Escreva a equao reduzida da circunferncia inscrita no tringulo [ABC].

7. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, a elipse de equao e a circunferncia de centro no ponto , onde b maior que zero e raio igual a a unidades. 7.1. Prove que a circunferncia passa pelos focos da elipse. 7.2. Defina, por meio de uma condio, a regio sombreada, incluindo a fronteira.

8. Na figura est representado um hexgono no regular [ABCDEF], o qual foi dividido em 11 quadrados iguais.

8.1. Determine:

8.1.1.

8.1.2.

8.1.3.

8.2. Determine o valor real de de modo que cada uma das afirmaes seja verdadeira.

8.2.1.

8.2.2.

8.3. Admita que . Determine:

8.3.1.

8.3.2.

9. Considere dois vetores tais que:

Seja o vetor tal que .

Mostre que .

10. Na figura esto representados um retngulo [ABCD] e um tringulo [EFG]. Sabe-se, ainda que: G o ponto mdio do lado [BC] do retngulo; os pontos E e F pertencem ao lado [AD] do retngulo;

Fixado um certo referencial ortonormado, tem-se que:

10.1. Determine as coordenadas do ponto B, do ponto E, do ponto F e do ponto G. 10.2. Determine uma equao da circunferncia de dimetro [AD]. 10.3. Determine o valor exato da rea da regio sombreada.

11. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, a circunferncia definida por:

Sabe-se, ainda, que: o ponto C o centro da circunferncia;

o ponto A tem coordenadas e pertence circunferncia; a reta t tangente circunferncia no ponto A. 11.1. Determine a equao reduzida da reta AC. 11.2. Considere a afirmao: O produto dos declives de duas retas perpendiculares igual a 1. Determine a equao reduzida da reta t. 11.3. Escreva a equao reduzida da reta paralela reta t que passa pelo ponto de interseo da circunferncia com o eixo Oy, que tem ordenada positiva. 11.4. P e Q so dois pontos da circunferncia.

A rea da regio sombreada . Indique, justificando, a amplitude do ngulo QCP e, em seguida, determine o valor exato da rea do tringulo [QCP].