Microondas I
Prof. Fernando Massa Fernandeshttps://www.fermassa.com/microondas-i.php
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Aula 22
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Exercícios selecionados do capítulo 2
Prova P.2 – Capt. 2 (exercícios propostos e exemplos)
Dia 18/07 (Quarta)
i) Cálculo dos parâmetros de circuito da linha (R,G,C,L)
ii) Linha fendida – Carta de Smith
iii) Cálculo da atenuação (alfa-dB) – Difer. Métodos
iv) Casamento de impedância
v) Transferência de potência
Microondas I
2.1 / 2.3 / 2.8 / 2.9 / 2.11/ 2.16 / 2.20 / 2.23 / 2.29
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5.2 – Casamento de impedância – Stub único
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* Técnica popular→ Assim como o transformador λ/4.
* Stub – comprimento de linha em circuito aberto ou em curto-curcuito.
→ Conveniente, pois pode ser fabricado como parte do meio de transmissão.→ Circuito aberto – Linhas de microfita→ Curto-circuito – Coaxial e guia de onda
* Os parâmetros de ajuste são→ A distância d, da carga até a posição do
stub.→ O valor de reatância (susceptância)
proporcionado pelo stub.
Revisão
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5.2 – Casamento de impedância – Stub único
Microondas I
* Técnica popular→ Assim como o transformador λ/4.
* Stub – comprimento de linha em circuito aberto ou em curto-curcuito.
→ Conveniente, pois pode ser fabricado como parte do meio de transmissão.→ Circuito aberto – Linhas de microfita→ Curto-circuito – Coaxial e guia de onda
* Os parâmetros de ajuste são→ A distância d, da carga até a posição do
stub.→ O valor de reatância (susceptância)
proporcionado pelo stub.
y0=1
y L→1± jxd
Admitância normalizada (carta de Smith)
Transformação da impedância da carga
y s→∓ jxd
Susceptância (xd = -xd) no stub
Revisão
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Microondas I
Exemplo 5.2 (Livro): Acoplamento de impedância utilizando um stub-único de derivação.
Para uma carga com impedância ZL = 60 – i80 Ω faça o projeto de acoplamento de impedância utilizando um stub de derivação (paralelo em curto-circuito) para uma rede de casamento entre a carga e uma linha de 50 Ω. Obtenha duas soluções equivalentes.
5.2 – Casamento de impedância – Stub único Revisão
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Exercício proposto: Um amplificador de circuito integrado de micro-ondas apresenta impedância de saída ZA = 150 – i 375 Ω, na frequência 1 GHz.
a) Determine a resistência Rth e a capacitância C0 para o circuito equivalente de Thévenin da saída do amplificador.
b) Na carta de Smith, desenhe a curva que representa a impedância da saída do amplificador na banda entre 1GHz e 2GHz, quando este é conectado a uma linha com impedância característica Z0 = 75Ω.
c) Utilizando a carta de Smith, faça o projeto do acoplamento de impedância entre a saída do amplificador e a linha de 75Ω, para máxima eficiência em 2 GHz. Utilize um stub-único de derivação em circuito aberto e escolha a solução que proporciona a menor distância entre o amplificador e a linha.
5.2 – Casamento de impedância – Stub único Revisão
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Capt. 3 – Linhas de transmissão e guias de onda
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→ Desenvolvimento do conceito de transmissão de potência em alta frequência e baixa perda.
→1893 – Heaviside considerou a propagação de ondas eletromagnéticas dentro de tubos metálicos ocos. → Descartou pois acreditava que eram necessários dois condutores para transmitir potência (preconceito leva ao erro!!)
→ 1897 – Rayleigh comprovou teoricamente que a propagação em condutores ocos, com seção retangular e circular, era possível.
→ Modos TE e TM → Caracterizados por uma frequência de corte.
z
E
H
* http://www.lecture-notes.co.uk/susskind/special-relativity/lecture-2-3/maxwells-equations/
Modo TEM → Ez = Hz = 0 (dois condutores)
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Capt. 3 – Linhas de transmissão e guias de onda
Microondas I
→ Desenvolvimento do conceito de transmissão de potência em alta frequência e baixa perda.
→1893 – Heaviside considerou a propagação de ondas eletromagnéticas dentro de tubos metálicos ocos. → Descartou pois acreditava que eram necessários dois condutores para transmitir potência (preconceito leva ao erro!!)
→ 1897 – Rayleigh comprovou teoricamente que a propagação em condutores ocos, com seção retangular e circular, era possível.
→ Modos TE e TM → Caracterizados por uma frequência de corte.
Modo TEn → Ez = 0; Hz ≠ 0 (ondas H) → Condutor oco
H
k
E
kH
E
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Capt. 3 – Linhas de transmissão e guias de onda
Microondas I
→ Desenvolvimento do conceito de transmissão de potência em alta frequência e baixa perda.
→1893 – Heaviside considerou a propagação de ondas eletromagnéticas dentro de tubos metálicos ocos. → Descartou pois acreditava que eram necessários dois condutores para transmitir potência (preconceito leva ao erro!!)
→ 1897 – Rayleigh comprovou teoricamente que a propagação em condutores ocos, com seção retangular e circular, era possível.
→ Modos TE e TM → Caracterizados por uma frequência de corte.
Modo TMn → Ez ≠ 0; Hz = 0 (ondas E) → Condutor oco
E
k
H
k
E
H
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Capt. 3 – Linhas de transmissão e guias de onda
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→ Desenvolvimento do conceito de transmissão de potência em alta frequência e baixa perda.
→1936 – Southworth & Barrow → Independentemente→ Artigo com a comprovação experimental!
Guias de Onda
Vantagens → Alta Potência→ Baixa Perda
Desvantagens → Volumoso→ Rígido→ Caro
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Capt. 3 – Linhas de transmissão e guias de onda
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Principais tipos de Guias:
→Retangular
→ Coaxial
→ Circular
→ Linha de micro-fita
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Capt. 3 – Linhas de transmissão e guias de onda
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Solução geral dos modos TEM, TE e TM
→Assumindo para os campos a propagação de onda em z e solução harmônica no tempo (ejωt):
Na presença de perdas jβ → γ = α + jβ
→ Equação de Maxwell → Região livre de cargas
∇ x E⃗ = −∂ B⃗∂ t
⇒ ∇ x E⃗ = − jωμ H⃗ ∇ x H⃗ = ∂ D⃗∂ t
⇒ ∇ x H⃗ = j ωϵ E⃗
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Capt. 3 – Linhas de transmissão e guias de onda
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Solução geral dos modos TEM, TE e TM
→Assumindo para os campos a propagação de onda em z e solução harmônica no tempo (ejωt):
∇ x E⃗ ⇒
( x⃗)→ ( y⃗ )→ ( z⃗)→
∇ x H⃗ ⇒
( x⃗)→ ( y⃗ )→
( z⃗)→
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
→Resolvendo nas 4 componentes transversais (x,y) em termos de Ez e Hz:
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Capt. 3 – Linhas de transmissão e guias de onda
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Solução geral dos modos TEM, TE e TM – Equações Gerais
→Resolvendo nas 4 componentes transversais (x,y) em termos de Ez e Hz:
Numero de onda de corte →
Constante de propagaçãoConstante de ondaNumero de onda de corte
→ Qdo um dielétrico preenche o guia (Єr; tanδ)
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Capt. 3 – Linhas de transmissão e guias de onda
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Solução geral dos modos TEM, TE e TM
→Qdo um dielétrico preenche o guia (Єr; tanδ)
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Capt. 3 – Linhas de transmissão e guias de onda
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Modo TEM - (Ez = Hz = 0) geral→Solução indeterminada pelas equações gerais!
Das eqs (1) e (5)
→ jβEy = -jωμHx → - jβHx= -jωЄEy
=>
(TEM)=> kc = 0
* Os campos são semelhantes ao caso estático
→ O potencial escalar satisfaz a equação de Laplace (campos transversais):
→ Aplico condições de contorno em V(x0,y0) nos condutores
→Da amplitude do campo elétrico transversal
∇ t2Φ(x , y ) = 0
=>
(Eq de Helmholtz na solução harmônica TE e TM)
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Capt. 3 – Linhas de transmissão e guias de onda
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Modo TEM - (Ez = Hz = 0) geral
Impedância característica no modo TEM:
η →Impedância característica do meio
Tensão entre os condutores:
→ Condutor fechado não suporta TEM (O potencial estático zera no interior do condutor oco)
Corrente em um dado condutor:
→ Aplico condição de contorno aos campos tangenciais na interface com o condutor
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Capt. 3 – Linhas de transmissão e guias de onda
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Modo TE - (Ez = 0; Hz ≠ 0) geral – Ondas M
→Suportado em condutores fechados ou entre dois ou mais condutores
Das equações gerais:
→ Dependente da frequência e da geometria
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Capt. 3 – Linhas de transmissão e guias de onda
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Modo TE - (Ez = 0; Hz ≠ 0) geral
Da solução para Hz ≠ 0 podemos obter Ex, Ey, Hx, e Hy usando as eq gerais:
→ Eq de Helmholtz
→ Pode ser reduzido a uma eq de onda em duas dimensões
→ Aplicamos condições de contorno na geometria específica para encontrar hz e Hz e com
as eq gerais obtemos (Ex,Ey) e (Hx,Hy).
→ A impedância de onda no modo TE pode ser dada por
K c2 = K2 − β2
→ Solução harmônica em z
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Capt. 3 – Linhas de transmissão e guias de onda
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Modo TM - (Ez ≠ 0; Hz = 0) geral – Ondas E
→Suportado em condutores fechados ou entre dois ou mais condutores (como o TE)
Das equações gerais:
→ Dependente da frequência e da geometria (como o TE)
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Capt. 3 – Linhas de transmissão e guias de onda
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Modo TM - (Ez ≠ 0; Hz = 0) geral
Da solução para Ez ≠ 0 podemos obter Ex, Ey, Hx, e Hy usando as eq gerais:
→ Eq de Helmholtz
→ Pode ser reduzido a uma eq de onda em duas dimensões
→ Aplicamos condições de contorno na geometria específica para encontrar ez e Ez e com
as eq gerais obtemos (Ex,Ey) e (Hx,Hy).
→ A impedância de onda no modo TM pode ser dada por
K c2 = K2 − β2
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Capt. 3 – Linhas de transmissão e guias de onda
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Atenuação: α = αc + αd
αc → Perda no condutor
αc = Pl
2 P0
(método da perturbação)
P0 → Potência na linha sem perdas
Pl → Perdade potência /metro
αd → Perdano dielétrico → Dielétrico preenchendo completamente o espaço interno do guia.
Const de propagação ⇒ γ = αd + jβ
→ Só existe propagação quando K > K c β = √K2 − K c2
(frequência de corte)
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Capt. 3 – Linhas de transmissão e guias de onda
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Atenuação:
Calculo do coef de atenuação no dielétrico (αd)
→ Em geral para materiais dielétricos
→ Número de onda real.
γ = √K c2 − K 2 = √K c
2 − ω2μϵ = √K c
2 − ω2μ0ϵ0 ϵr(1 − j tg δ)
K = ω√μ ϵ → Sempre!
γ = √K c2 − K 2 + j K 2 tg δ
⇒ tgδ ≪ 1
⇒ γ → Expanção em série de Taylor
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Capt. 3 – Linhas de transmissão e guias de onda
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Atenuação:
Calculo do coef de atenuação no dielétrico (αd)
→
→ Número de onda real.
γ = √K c2 − K 2 = √K c
2 − ω2μϵ = √K c
2 − ω2μ0ϵ0 ϵr(1 − j tg δ)
K = ω√μ ϵ → Sempre!
γ = √K c2 − K 2 + j K 2 tg δ
γ ≈ √K c2 − K 2 +
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jK2 tg δ
√K c2 − K 2
= αd + jβ
γ ≈ K 2tg δ
2β + jβ ⇒ αd =
K2 tg δ
2β(Np/m)→ TE ou TM
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Capt. 3 – Linhas de transmissão e guias de onda
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Atenuação:
Calculo do coef de atenuação no dielétrico (αd)
No modo TE e TM:
Neper (Np) →
Decibel (dB) →
αd = K 2 tgδ
2β (Np/m)
β = √K2 − K c2 β = K
No modo TEM:
αd = K tgδ
2 (Np/m)
ln (e−α z) = −α . ln (e1
) [ z = 1metro] ⇒ = α [Np]
10. logP0 e−2α z
P0
= 10. log(e−2α)[ z = 1metro]
= −20.α . log (e1) [dB ]
1 Np = 20. log(e1) dB = 8,686 dB
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