Métodos Matemáticos utilizados em Fenômenos
Eletromagnéticos
4 de Fevereiro de 2010
Professor Adriano Reinaldo Viçoto Benvenho.
Centro de Ciências Naturais e Humanas (CCNH), Universidade Federal do ABC
O desenvolvimento do curso de fenômenos eletromagnéticos necessita da utiliza-
ção de diversos métodos matemáticos, aqui serão desenvolvidos conceitos que serão
utilizados em nosso curso.
1 Vetores no Plano
Aqui será feito um desenvolvimento sobre alguns álgebra vetorial.
1.1 Vetores e Adição de Vetores
Vetor é um segmento orientado. Cada vetor tem uma origem e uma extremidade,
sendo orientado da origem para a sua extremidade.
Propriedades:
A+ B = B + A (1)
A+ (B + C) = (A+ B) + C (2)
A+ 0 = A (3)
A+ (−A) = 0 (4)
A− B = A+ (−B) (5)
1
Figura 1: Propriedade de soma e subtração de dois vetores
1.2 Multiplicação de Vetores por Escalares
Propriedades:
Figura 2: Figura mostrando
a multiplicação de um vetor
por um escalar
(st)A = s(tA) (6)
s(A+ B) = sA+ sB (7)
(s+ t)A = sA+ tA (8)
1A = A (9)
s(−A) = (−s)A = −(sA) (10)
−A = (−1)A (11)
0A = 0 (12)
s0 = 0 (13)
sA = 0 s = 0 ou A = 0 (14)
s(A− B) = sA− sB (15)
(s− t)A = sA− tA (16)
1.3 Vetores em uma Base Canônica
Em uma base ortogonal é possivel escrever os vetores em função de seus vetores
unitários ou versores.
Fazendo:
A = x1ı+ y1ȷ e B = x2ı+ y2ȷ (17)
A− B = (x1ı+ y1ȷ)− (x2ı+ y2ȷ) = (x1 − x2)ı+ (y1 − y2)ȷ (18)
2
Figura 3: Projeção em um sistema ortogonal bidimensional
Quando tratamos da teoria eletromagnética, principalmente na determinação de
fenômenos devido a interação da carga elétrica com o campo elétrico o produto escalar
ou interno apresenta grande importância para o desenvolvimento das equações que
descrevem fenomenologicamente o sistema.
1.4 Produto escalar
A · B = ab cos θ (19)
Figura 4: Produto escalar ou interno entre dois vetores
1.4.1 Propriedades do Produto Escalar
A · B = B · A (20)
(A+ B) · D = A · D + B · D (21)
(sA) · B = s(A · B) (22)
A · B =| A | · | B | cos θ (23)
cos θ =A · B
| A | · | B |(24)
3
Figura 5: Projeção do produto escalar
1.4.2 Lei dos Cossenos
A lei dos cossenos é bastante importante quando queremos projetar vetores em
qualquer sistema em que a soma de dois vetores forma um sistema triangular.
Figura 6: lei dos cossenos para dois vetores onde a soma forma um triângulo retângulo
| A+ B |2= (A+ B) · (A+ B) = A · (A+ B) + B · (A+ B)
= A · A+ A · B + B · A+ B · B
= | A |2+ 2| A | · | B |+ | B |
2; A · B = 0; cos 90o = 0
| A+ B |2= | A |
2+ | B |
2(25)
Figura 7: lei dos cossenos para dois vetores onde a soma forma um triângulo qualquer
4
| A− B |2= (A− B) · (A− B) = A · (A− B)− B · (A− B)
= A · A− A · B − B · A+ B · B
= | A |2− 2 | A | · | B | +| B |
2
| A+ B |2= | A |
2+ | B |
2− 2 | A || B | cos θ (26)
2 Vetores no Espaço Trimidimensional
Figura 8: Projeção de vetores no espaço tridimensional
A equação para a distância r entre o ponto P = (x, y, z) e a origem O do espaço
xyz. Seja r1 a distância, no plano xy, entre o ponto Q = (x, y, 0) e a origem O.
Pela equação da distância entre dois pontos no plano xy, r21 = x2 + y2. Aplicando o
teorema de Pitágoras no triângulo OQP
r2 = r21 + z2
r2 = x2 + y2 + z2
r =√x2 + y2 + z2 (27)
2.1 Relações em um triângulo retângulo
r2 = x2 + y2 (28)
x = r cos θ
y = r sin θ
5
2.2 Propriedades básicas do produto escalar no espaço
A · A =| A |2≥ 0
Se A · A = 0 pode-se concluir que A = 0
A · B = 0 se e somente se A e B = 0 forem perpendiculares
Quando é considerada à projeção dos vetores no espaço tridimensional, pode-se
escrever o vetor em termos de seus versores (vetores unitários), para o produto escalar
ou interno, eles satisfazem algumas propriedades.ı · ı = ȷ · ȷ = k · k = 1
ı · ȷ = ı · k = ȷ · k = 0
Produto Escalar entre dois vetores
A = aı+ bȷ+ ck B = xı+ yȷ+ zk
A · B = ax+ by + cz
2.3 Cossenos diretores de um vetor
Figura 9: Cosseno diretores em um sistema cartesiano
Considerando um vetor A, não nulo no espaço xyz, o qual é projetado com nos
eixos coordenados do sistema tridimensional ortogonal, da seguinte forma:
cosα =A · ı| A |
cos β =A · ȷ| A |
cos γ =A · k| A |
(29)
6
Supondo A = aı+ bȷ+ ck:
A · ı = a A · ȷ = b A · k = c (30)
Substituindo o produto nas equações para os cossenos diretores.
cosα =a√
a2 + b2 + c2cos β =
b√a2 + b2 + c2
cos γ =c√
a2 + b2 + c2(31)
Fazendo a soma dos cossenos dos ângulos diretores:
cosα · ı+ cos β · ȷ+ cos γ · k =1√
a2 + b2 + c2(aı+ bȷ+ ck) =
A
| A |(32)
Considerando o quadrado dos ângulos diretores:
cos2 α =a2
a2 + b2 + c2cos2 β =
b2
a2 + b2 + c2cos2 γ =
c2
a2 + b2 + c2(33)
Somando o quadrado dos ângulos diretores:
cos2 α+cos2 β+cos2 γ =a2
a2 + b2 + c2+
b2
a2 + b2 + c2+
c2
a2 + b2 + c2=a2 + b2 + c2
a2 + b2 + c2= 1
(34)
2.4 Produto vetorial e produto misto de vetores no espaço
Figura 10: (a) Regra da mão direita e (b) projeção do produto vetorial.
7
Sejam A e B dois vetores não paralelos no espaço tridimensional. Então, o
produto vetorial A e B é representado por A × B, é o vetor cujo comprimento é
numericamente igual a área gerada do paralelogramo A e B e cuja direção é perpen-
dicular simultaneamente a A e B. Se A e B são paralelos A× B = 0
ı× ı = 0 ȷ× ȷ = 0 k × k = 0
ı× ȷ = k ȷ× k = ı k × ı = ȷ
ȷ× ı = −k k × ȷ = −ı ı× k = −ȷ
Propriedades do produto vetorial:
(A× B) = −(B × A) (35)
| (sA)× B |= s | A× B | (36)
A× (tB) = t(A× B) (37)
(−A)× B = −(A× B) = A× (−B) (38)
Outra característica interessante é obter o volume de sólidos como no caso de um
paralelogramo
Figura 11: Cálculo do volume de um sólido por meio do produto misto
V =| A× B | h =| A× B || C | cos θ = (A× B) · C (39)
2.4.1 Produto Vetorial
Aqui será calculado o produto vetorial de dois vetores
A = a1ı+ a2ȷ+ a3k B = b1ı+ b2ȷ+ b3k
8
A× B = (a1ı+ a2ȷ+ a3k)× (b1ı+ b2ȷ+ b3k) (40)
A× B = (a2b3 − a3b2)ı+ (a1b3 − a3b1)ȷ+ (a1b2 − a2b1)k
A× B =
∣∣∣∣∣∣∣ı ȷ k
a1 a2 a3
b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣∣ (41)
2.4.2 Duplo produto vetorial
A× (B × C) = (A · C)B − (A · B)C (42)
(A× B)× C = (A · C)B − (B · C)A (43)
3 Regras Básicas de diferenciação
Nesta seção serão mostradas as principais regras para derivação de funções.
3.1 Regra da Constante
A derivada de uma função constante é uma função nula
dc
dx= 0 (44)
3.2 Regra da Identidade
A derivada de uma função identidade é a função constante
dx
dx= 1 (45)
3.3 Regra da Potência
A derivada de uma potência inteira positiva de x é o expoente de x vezes n elevado
a potência anterior.
d
dxxn = nxn−1 (46)
9
3.4 Regra da Homogeneidade
A derivada de uma constante (a) vezes uma função (u) dependente de x é a cons-
tante vezes a derivada da função
d
dx(au) = u
da
dx+ a
du
dx= a
du
dx(47)
3.5 Regra da Soma
A derivada de uma soma é a soma das derivadas, sendo as funções u e v dependentes
de xd
dx(u+ v) =
du
dx+dv
dx(48)
3.6 Regra da multiplicação, regra do produto, ou regra de
Leibniz
A derivada do produto de duas funções u e v dependentes de x, é a primeira
função vezes a derivada da segunda função mais a derivada da primeira função vezes
a segunda
d
dx(uv) = u
dv
dx+ v
du
dx(49)
3.7 Regra da inversa aritmética
A derivada da inversa aritmética de uma função é a razão negativa da derivada da
função para o quadrado da função, sendo v diferenciável em x
d
dx
(1
v
)= −
dv
dxv2
(50)
3.8 Regra do quociente
A derivada do quociente de duas funções é o denominador vezes a derivada do nu-
merador menos o numerador vez as derivada do denominador dividido pelo quadrado
do denominador.
d
dx
(uv
)=vdu
dx− u
dv
dxv2
(51)
10
4 Integrais
Aqui serão desenvolvidas das metodologias básicas para a anti-diferenciação, ou,
integração de funções:
Derivadas Diferenciaisdc
dx= 0 dc = 0
d(cu)
dx= c
d(u)
dxd(cu) = cdu
d(u+ v)
dx=du
dx+dv
dxd(u+ v) = du+ dv
d(uv)
dx= u
dv
dx+ v
du
dxd(uv) = udv + vdu
d(uv
)dx
=vdu
dx− u
dv
dxv2
d(uv
)=vdu− udv
v2d(un)
dx= nun−1du
dxd(un) = nun−1du
d(cun)
dx= ncun−1du
dxd(cun) = ncun−1du
d(cxn)
dx= ncxn−1 d(cxn) = ncxn−1dx
4.1 Regras básicas para antidiferenciação
d
dx
∫f(x)dx = f(x) (52)
∫d[f(x)]
dxdx = f(x) + C (53)
∫dx = x+ C (54)
∫xndx =
xn+1
n+ 1+ C (55)
∫af(x)dx = a
∫f(x)dx a = const. (56)
∫[f(x) + g(x)]dx =
∫f(x)dx+
∫g(x)dx (57)
∫[a1f(x)+a2g(x)]dx = a1
∫f(x)dx+a2
∫g(x)dx; a1 = const.; a2 = const. (58)
11
∫[a1f1(x)+a2f2(x)+...+amfm(x)]dx = a1
∫f1(x)dx+a2
∫f2(x)dx+...+am
∫fm(x)dx
(59)
4.1.1 Mudança de Variável
Processo para calcular ∫f(x)dx
pela mudança de variável.
Etapa 1⇒ Determine a porção do integrando f(x) que é essencialmente 'proe-
minente' no sentido de que, se ela fosse trocada por uma nova variável, digamos u,
então o integrando seria consideravelmente simplicado. Faça u igual a essa porção.
A equação resultante deverá ter a forma u = g(x).
Etapa 2⇒ Usando a equação u = g(x) obtida na Etapa 1 determine a diferen-
cial du. A equação resultante deverá ser da forma du = g′(x)dx =dg(x)
dxdx.
Etapa 3⇒ Usando as duas equações u = g(x) e du = g′(x)dx obtidas nas Eta-
pas 1 e 2, reescreva todo o integrando, incluindo dx em termos de u e du somente.
Etapa 4⇒Calcule a integral indenida resultante em termos de u
Etapa 5⇒ Usando a equação u = g(x) da Etapa 1, reescreva a resposta da Etapa
4 em termos da variável original x
Exemplo:∫ √(7x+ 2)dx u = 7x+ 2
du
dx= 7 du = 7dx dx =
1
7du
É possível então reescrever a equação:∫ √(7x+ 2)dx =
∫ √u
7du =
1
7
∫u1/2du;Utilizando :
∫undx =
un+1
n+ 1+C;n = 1/2
∫ √(7x+ 2)dx =
1
7
u3/2
3/2+ C =
2
21u3/2 + C =
2
21(7x+ 2)3/2 + C
12
4.1.2 Propriedades dos intervalos do limite de integração
∫ c
a
f(x)dx =
∫ c
b
f(x)dx+
∫ b
a
f(x)dx (60)
4.1.3 Teorema fundamental do cálculo
Seja f uma função contínua num intervalo I, suponha que a e b são números em I,
então:
Primeira Parte:d
dx
∫ x
0
f(t)dt = f(x)
Segunda Parte: Se g é a antiderivada de f , de tal forma que g′(x) = f(x) é válido
para todo I, então: ∫ b
a
f(x)dx = g(b)− g(a)
5 Funções Trigonométricas
As relações trigonométicas são de suma importância, pois são baseadas em um
sistema que relaciona as propriedades de uma circunferência e que podem servir de
auxílio para a resolução de vários problemas:
Denição⇒ Se t é um número real e P (x, y) é o ponto do círculo unitário U
correspondente a t, então:
Figura 12: Circuferência utilizada para obter as relações trigonométricas
sin t = y (61)
cos t = x (62)
13
tan t =y
x(se x = 0) (63)
csc t =1
y(se y = 0) (64)
sec t =1
x(se x = 0) (65)
cot t =x
y(se y = 0) (66)
Onde sin ⇒ seno; cos ⇒ cosseno; tan ⇒ tangente; csc ⇒ cossecante ; sec ⇒ secante;
cot ⇒ cotangente
Outra forma de escrever as relações trigonométricas é:
csc t =1
sin t(67)
sec t =1
cos t(68)
cot t =1
tan t(69)
tan t =sin t
cos t(70)
cot t =cos t
sin t(71)
Como as funções trigonométicas estão inseridas em uma circunferência no espaço
U de raio unitário
x2 + y2 = 1 (72)
Utilizando as relações (61) e (62):
cos2 t+ sin2 t = 1 (73)
Utilizando a relação(63) e substituindo y por y = x tan t
x2 + x2 tan2 t = 1 (74)
fazendo algumas manipulações algébricas
1 + tan2 t =1
x2
14
utilizando que sec t = 1x, é possível obter a relação trigonométrica
1 + tan2 t = sec2 t (75)
Utilizando que x = y cot t, e a equação1
y= csc t e fazendo algumas manipulações
algébricas temos que:
cot2 t+ 1 = csc2 t (76)
Outra forma de escrever as relações trigonométricas é por meio das coordenadas
polares. Seja θ um ângulo em posição padrão num sistema de coordenadas retan-
gulares P (x, y) num ponto distinto de O no lado terminal de θ. Se d(0, P ) = r
Figura 13: Relações trigonométricas obtidas por meio de coordenadas polares
sin θ =y
r(77)
cos θ =x
r(78)
tan θ =y
x(se x = 0) (79)
csc θ =r
y(se y = 0) (80)
sec θ =r
x(se x = 0) (81)
cot θ =x
y(se y = 0) (82)
15
Podemos utilizar as relações diretamente pelos comprimentos dos lados de um
triângulo retângulo:
Figura 14: Cosseno diretores em um sistema cartesiano
sin θ =op
hip(83)
cos θ =adj
hip(84)
tan θ =op
adj(85)
csc θ =hip
op(86)
sec θ =hip
adj(87)
cot θ =adj
op(88)
5.1 Relações de ângulos negativos
sin(−u) = − sin(u); cos(−u) = cos(u); tan(−u) = − tan(u)
csc(−u) = − csc(u); sec(−u) = sec(u); cot(−u) = − cot(u) (89)
5.2 Relações de adição
sin(u± v) = sinu cos v ± cosu sin v (90)
cos(u± v) = cosu cos v ∓ sinu sin v (91)
16
tan(u± v) =tanu± tan v
1∓ tanu tan v(92)
5.3 Relações de ângulo duplo
sin 2u = 2 sinu cosu (93)
cos 2u = cos2 u− sin2 u = 1− 2 sin2 u = 2 cos2−1 (94)
tan 2u =2 tanu
1− tan2 u(95)
5.4 Relações de meio ângulo
sin2 u
2=
1− cosu
2(96)
cos2u
2=
1 + cosu
2(97)
tanu
2=
1− cosu
sin u=
sinu
1 + cosu(98)
5.5 Relações de produto
sinu cos v =1
2[sin(u+ v) + sin(u− v)] (99)
cosu sin v =1
2[sin(u+ v)− sin(u− v)] (100)
cosu cos v =1
2[cos(u+ v) + cos(u− v)] (101)
sin u sin v =1
2[cos(u− v)− cos(u+ v)] (102)
5.6 Relações de Fatoração
sinu± sin v = 2 cosu∓ v
2sin
u± v
2(103)
cosu+ cos v = 2 cosu+ v
2sin
u− v
2(104)
cosu− cos v = 2 sinv + u
2sin
v − u
2(105)
17
5.7 Propriedades matemáticas das funções trigononométricas
Aqui será visto como derivar, integrar as funções trigonométricas e suas inversas.
5.7.1 Derivadas de funções trigonométricas
d
dxsin u = cosu
du
dx(106)
d
dxcosu = − sin u
du
dx(107)
d
dxtanu = sec2 u
du
dx(108)
d
dxcotu = − cscu
du
dx(109)
d
dxsecu = sec u tanu
du
dx(110)
d
dxcsc u = − cscu cotu
du
dx(111)
Onde u é uma função diferenciável em x
5.7.2 Integração de funções trigonométricas
∫sin u du = − cosu+ C (112)
∫cosu du = sin u+ C (113)
∫sec2 u du = tanu+ C (114)
∫csc2 u du = − cotu+ C (115)
∫sec u tanu du = sec u+ C (116)
∫cscu cotu du = − cscu+ C (117)
18
5.7.3 Derivadas de funções trigonométricas inversas
Funções trigonométricas inversas são designadas pelo arco que gera o ângulo.
d
dxsin−1 u =
du
dx√1− u2
(118)
d
dxcos−1 u =
−dudx√
1− u2(119)
d
dxtan−1 u =
du
dx1 + u2
(120)
d
dxcot−1 u =
−dudx
1 + u2(121)
d
dxsec−1 u =
du
dx| u |
√u2 − 1
(122)
d
dxcsc−1 u =
−dudx
| u |√u2 − 1
(123)
5.7.4 Integrais de funções trigonométricas inversas
∫du√1− u2
= sin−1 u+ C | u |< 1 (124)
∫du
1 + u2= tan−1 u+ C (125)
∫du
u√u2 − 1
= sec−1 | u | +C | u |> 1 (126)
∫dx√a2 − x2
= sin−1 x
a+ C a > 0 e | x |< a (127)
∫dx
a2 + x2=
1
atan−1 x
a+ C (128)
∫dx
x√x2 − a2
=1
| a |sec−1
∣∣∣xa
∣∣∣+ C a = 0 | x |>| a | (129)
19
6 Função logaritmica natural
Aqui será mostrada a denição da função logaritmica natural e suas principais
propriedades.
6.1 Denição matemática
ln x =
∫ x
1
1
tdt x > 0 (130)
ln 1 =
∫ 1
1
1
tdt = 0 (131)
d
dxlnu =
1
u
du
dx(132)
6.2 Propriedades da função logaritmica
ln ab = ln a+ ln b (133)
lna
b= ln a− ln b (134)
ln1
b= − ln b (135)
6.3 Função exponencial
exp(lnx) = x (136)
ln(expx) = x (137)
exp(x+ y) = (expx)(exp y) (138)
exp(kx) = (expx)k (139)
exp(x− y) =expx
exp y(140)
d
dxexpu = expu
du
dx(141)
20
6.4 Funções Exponenciais e logaritmicas com bases diferentes
de e
bxby = bx+y (142)
bx
by= bx−y (143)
(bx)y = bxy (144)
(ab)x = axbx (145)(ab
)x=ax
bx(146)
b−x =1
bx(147)
ln bx = x ln b (148)
d
dxbx = bx ln b (149)
d
dxbu = bu ln b
du
dx(150)
7 Funções Hiperbólicas
As funções hiperbólicas são denidas com relação à parábolas, e também apresen-
tam grande utilidade no desenvolvimento de fenômenos eletromagnéticos.
sinhx =ex − e−x
2(151)
coshx =ex + e−x
2(152)
tanhx =sinhx
coshx=ex − e−x
ex + e−x(153)
cothx =coshx
sinhx=ex + e−x
ex − e−x(154)
sech x =1
coshx=
2
ex + e−x(155)
csch x =1
sinh x=
2
ex − e−x(156)
21
7.1 Identidades de funções hiperbólicas
cosh2 x− sinh2 x = 1 (157)
1− tan2 x = sech2x (158)
coth2 x− 1 = csch2x (159)
sinh(s± t) = sinh s cos t± cosh s sinh t (160)
cosh(s± t) = cosh s cosh t± sinh s sinh t (161)
sinh 2x = 2 sinhx coshx (162)
cosh 2x = cosh2 x+ sinh2 x = 2 cosh2 x− 1 = 2 sinh2 x+ 1 (163)
7.2 Derivação de Funções Hiperbólicas
d
dxsinhu = cosh u
du
dx(164)
d
dxcoshu = sinhu
du
dx(165)
d
dxtanhu = sech2 u
du
dx(166)
d
dxcothu = −csch2 udu
dx(167)
d
dxsech u = −sech u tanhudu
dx(168)
d
dxcsch u = −csch u cothudu
dx(169)
7.3 Integrais de Funções Hiperbólicas
∫sinhu du = coshu+ C (170)
∫coshu du = sinhu+ C (171)
∫sech2 u du = tanhu+ C (172)
∫csch2 u du = cothu+ C (173)
22
∫sech u tanhu du = sech u+ C (174)
∫csch u cothu du = −csch u+ C (175)
7.4 Funções hiperbólicas inversas
sinh−1 x = ln(x+√x2 + 1) (176)
cosh−1 x = ln(x+√x2 − 1) (177)
tanh−1 x =1
2ln
1 + x
1− x(178)
coth−1 x =1
2lnx+ 1
x− 1(179)
sech−1x = ln
(1 +
√1− x2
x
)(180)
csch−1x = ln
(1
x+
1 +√1 + x2
| x |
)(181)
7.5 Derivadas de funções parabólicas inversas
d
dxsinh−1 u =
1√u2 + 1
du
dx(182)
d
dxcosh−1 u =
1√u2 − 1
du
dx(183)
d
dxtanh−1 u =
1
1− u2du
dx(184)
d
dxcoth−1 u =
1
1− u2du
dx(185)
d
dxsech−1u =
−1
u√1− u2
du
dx(186)
d
dxcsch−1u =
−1
| u |√1 + u2
du
dx(187)
23
7.6 Integrais envolvendo funções parabólicas inversas
∫dx√a2 + x2
= sinh−1 x
a+ C (188)
∫dx√x2 − a2
= cosh−1 x
a+ C (189)
∫dx
a2 − x2=
1
atanh−1 x
a+ C se | x |< a
1
acoth−1 x
a+ C se | x |> a > 0
(190)
∫dx
x√a2 − x2
= −1
asech−1 | x |
a+ C (191)
∫dx
x√a2 + x2
= −1
acsch−1 | x |
a+ C (192)
8 Técnicas de Integração
Há na realidade somente três procedimentos gerais para calcular integrais:
1⇒ Substituição ou troca de variáveis
2⇒ Manipulção do Integrando usando tanto identidades algébricas quanto outras,
am de transformar a integral em algo de mais fácil tratamento
3⇒ Integração por partes.
Há alguns truques para resolução de integrais como, por exemplo, substituição
trignométrica e método das frações parciais.
8.1 Integrais que envolvem produtos de potências de senos e
cossenos
8.1.1 Integrais da forma∫sinm x cosn x dx
Am de calcularmos∫sinm x cosn x dx onde m e n são expoentes constantes, consi-
deramos separadamente o caso em que no mínimo um dos expoentes é inteiro ímpar
positivo e o caso no qual ambos os expoentes são inteiros pares não negativos.
24
Caso 1 - No mínimo um dos expoentes m, n é um inteiro ímpar posi-
tivo
Neste caso usa-se a identidade sin2 x+ cos2 x = 1
Exemplos
1-)
∫sin3 x dx
Resolução:∫sin3 x dx =
∫sin2 x sin x dx, Fazendo, sin2 x = 1− cos2 x
∫sinx(1− cos2 x)dx =
∫sin x dx︸ ︷︷ ︸
I
−∫
sin x cos2 x dx︸ ︷︷ ︸II
Resolvendo I ∫sinxdx = − cosx+ C
Resolvendo II∫sinx cos2 x dx, Fazendo a mudança de variável u = cos x du = − sinu du
II = −∫u2 du = −u
3
3+ C = −cos3 x
3+ C
A solução para a integral é:
∫sin3 x dx = I− II = − cosx+
cos3 x
3+ C
2-)
∫sin3 x√cos x
dx
Resolução:
∫sin3 x√cosx
dx =
∫sin2 x√cos x
sinx dx =
∫(1− cos2 x)√
cosxsin x dx
Fazendo a mudança de variáveis: u = cos x então, du = − sinx dx ,Obtém-se
25
∫sin3 x√cosx
dx = −∫
1− u2
u1/2du =
∫u2 − 1
u1/2du =
∫(u2u−1/2 − u−1/2) du
∫sin3 x√cosx
dx =
∫(u3/2 − u−1/2)du =
∫u3/2 du−
∫u−1/2 du Utilizando:
Utilizando:∫xndx =
xn+1
n+ 1+ C
∫sin3 x√cos x
dx =2
5u5/2 − 2u1/2 + C =
2
5(cosx)5/2 − 2
√cos x+ C
Caso 2 - Ambos os expoentes m, n são inteiros, pares e positivos
Neste caso usam-se a identidades trigonométricas:
sin2 x =1
2(1− cos 2x) e cos2 x =
1
2(1 + cos 2x)
Exemplo
1-)
∫cos2 kx dx
∫cos2 kx dx =
∫1
2(1 + cos 2kx)dx =
1
2
∫dx︸ ︷︷ ︸I
+1
2
∫cos 2kx dx︸ ︷︷ ︸
II
Resolvendo I ∫dx = x+ C
Resolvendo II∫cos 2kxdx Fazendo a substituição de variáveis u = 2kx du = 2k dx
∫cos 2kxdx =
1
2k
∫cosu du =
1
2ksin u+ C =
1
2ksin 2kx+ C
Então: ∫cos2 kx =
x
2+
sin 2kx
4k+ C
Caso 3 - Integrais envolvendo produtos sinmx cosnx, sinmx sinnx, ou cosmx cosnx
26
Neste caso usam-se a identidades trigonométricas:
1-) sin s cos t =1
2sin(s+ t) +
1
2sin(s− t)
2-) sin s sin t =1
2cos(s− t)− 1
2cos(s+ t)
3-) cos s cos t =1
2cos(s− t) +
1
2cos(s+ t)
Exemplo ∫sin 3x cos 4x dx; sin 3x cos 4x =
1
2sin 7x+
1
2sin (−x)
Utilizando a propriedade do seno ser uma função ímpar, ou seja, sin (−x) = − sin x
∫ [12sin 7x+
1
2sin (−x)
]dx =
1
2
∫ [sin 7x− sinx
]dx
Por meio do método de mudança de variáveis visto anteriormente, obtém-se que:∫sin 3x cos 4x dx = −cos 7x
14+
cosx
2+ C
27
8.2 Integrais por substituição trigonométrica
A substituição por relações trigonométricas também é bastante útil na resolução de
integrais:
1-)
u = a sin θ
a2 = x2 + u2
x =√a2 − u2
√a2 − u2 = a cos θ
2-)
u = a tan θ
x2 = a2 + u2
x =√a2 + u2
√a2 + u2 = a sec θ
3-)
u = a sec θ
u2 = a2 + x2
x =√u2 − a2
√u2 − a2 = a tan θ
As substituições sugeridas geometricamente, podem ser obtidas analiticamente:
1-)Se o integrando envolve:√a2 − u2
√a2 − u2 =
√a2 − a2 sin2 θ =
√a2(1− sin2 θ) = a
√cos2 θ = a cos θ
2-)Se o integrando envolve:√a2 + u2
√a2 + u2 =
√a2 + a2 tan2 θ =
√a2(1− tan2 θ) = a
√sec2 θ = a sec θ
28
3-)Se o integrando envolve:√u2 − a2
√u2 − a2 =
√a2 sec2 θ − a2 =
√a2(sec2 θ − 1) = a
√tan2 θ = a tan θ
Exemplos:
1-) ∫x2dx
(4− x2)3/2
Essa integral pode ser resolvida por relações trigonométricas do triângulo mos-
trado na gura:
22 = x2 + u2
u2 = 4− x2
u =√4− x2
sin θ =x
2x = 2 sin θ
dx = 2 cos θ dθ
Manipulando algebricamente a expressão em u
u =√
4− (2 sin θ)2 =√4− 4 sin2 θ = 2
√1− sin2 θ = 2
√cos2 θ = 2 cos θ
(4− x2) = 4 cos2 θ
Substituindo as relações na integral, obtém-se a seguinte integral:∫x2dx
(4− x2)3/2=
∫4 sin2 θ × 2 cos θ dθ
43/2(cos2 θ)3/2=
∫8 sin2 θ cos θ dθ√
64 cos3 θ
29
∫8 sin2 θ cos θ dθ√
64 cos3 θ=
∫sin2 θ
cos2 θdθ =
∫tan2 θ dθ
Utilizando a relação trigonométrica tan2 θ = sec2 θ − 1∫tan2 θ dθ =
∫sec2 θ dθ −
∫dθ = tan θ − θ + C
tan θ =x√
4− x2sin θ =
x
2θ = sin−1 x
2∫x2dx
(4− x2)3/2=
x√4− x2
− sin−1 x
2+ C
2-) ∫dx
x2√x2 + 9
Essa integral pode ser resolvida por relações trigonométricas do triângulo mos-
trado na gura:
tan θ =x
3x = 3 tan θ
dx = 3 sec2 θdθ
x2 + 9 = (3 tan θ)2 + 9 = 9(1 + tan2 θ) = 9 sec2 θ
∫dx
x2√x2 + 9
=
∫3 sec2 θdθ
9 tan2 θ√9 sec2 θ
=
∫3 sec2 θdθ
9 tan2 θ × 3 sec θ=
1
9
∫sec θ
tan2 θdθ
Utilizando as seguintes relações trigonométricas:
sec θ =1
cos θtan θ =
sin θ
cos θ
1
tan2 θ=
cos2 θ
sin2 θ
30
1
9
∫sec θ
tan2 θdθ =
1
9
∫1
cos θ× cos2 θ
sin2 θdθ =
1
9
∫cos θ
sin2 θdθ
Fazendo a mudança de variáveis v = sin θ e dv = cos θ dθ
1
9
∫cos θ
sin2 θdθ =
1
9
∫dv
v2= − 1
9v+ C = − 1
9 sin θ+ C = −1
9csc θ + C
csc θ =1
sin θsin θ =
x√x2 + 9
csc θ =
√x2 + 9
x∫dx
x2√x2 + 9
= −√x2 + 9
9x+ C
3-) ∫dt
t3√t2 − 25
t2 = 52 + u2
u =√t2 − 25
t = 5 sec θ dt = 5 sec θ tan θ dθ
t2 − 25 = 25 sec2 θ − 25 = 25(sec2 θ − 1) = 25 tan2 θ∫dt
t3√t2 − 25
=
∫5 sec θ tan θ dθ
125 sec3 θ · 5 tan θ=
1
125
∫dθ
sec2 θ=
1
125
∫cos2 θ dθ
Utilizando a identidade cos2 θ =1
2(1 + cos 2θ)
1
125
∫cos2 θdθ =
1
125
∫1
2(1+cos 2θ)dθ =
1
250
∫(1+cos 2θ)dθ =
1
250
(∫dθ︸ ︷︷ ︸
I
+
∫cos 2θ dθ︸ ︷︷ ︸
II
)
31
I =∫dθ = θ + C
II =∫
cos 2θdθ Fazendo a mudança de variáveis v = 2θ, dv = 2 dθ, dθ =dv
2∫cos 2θdθ =
1
2sin v =
1
2sin 2θ + C (193)
Utilizando a identidade sin(2θ) = sin(θ+θ) = sin θ cos θ+sin θ cos θ = 2 sin θ cos θ
I+II =1
250
(θ +
1
2sin 2θ
)+ C =
1
250
(θ + sin θ cos θ
)+ C
θ = sec−1 t
5sin θ =
√t2 − 25
tcos θ =
5
t∫dt
t3√t2 − 25
=1
250
(sec−1 t
5+
5√t2 − 25
t2
)+ C
8.3 Integração por partes
De acordo com a regra do produto:
d
dx(f · g) = f
dg
dx+ g
df
dx
dg
dx= g′
df
dx= f ′
d
dx(f · g) = f ′g + fg′ fg é uma antiderivada da função f ′g + fg′
∫[f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)]dx = f(x)g(x) + C
ou ∫f ′(x)g(x)dx+
∫f(x)g′(x)dx = f(x)g(x) + C
A última expressão pode ser escrita como:∫f(x)g′(x)dx = f(x)g(x)−
∫g(x)f ′(x)dx
Fazendo
u = f(x) v = g(x)
du = f ′(x)dx dv = g′(x)dx
32
∫u dv = uv −
∫v du (equação para a integração por partes) (194)
Exemplo:∫x︸︷︷︸u
sin x dx︸ ︷︷ ︸dv
, u = x, dv = sin x dx, du = dx v = − cosx+ C
∫x sin x dx = −x cos x+ C −
∫(− cos x) dx = −x cos x+ sin x+ C
8.4 Integração de funções racionais por frações parciais - caso
linear ∫3x− 5
x2 − x− 2dx (x2 − x− 2) = (x− 2)(x+ 1)
3x− 5
(x− 2)(x+ 1)=
A
x− 2+
B
x+ 1
Fazendo x = 2
3x− 5
(x+ 1)= A+ (x− 2)
B
x+ 1, x = 2 B = 0
3 · 2− 5
(2 + 1)= A A =
1
3
Fazendo x = −1
3x− 5
(x− 2)=
A
(x− 2)(x+ 1) +B x = −1 A = 0
3 · (−1)− 5
(−1− 2)= B B =
8
3∫3x− 5
x2 − x− 2dx =
∫ 13
x− 2dx︸ ︷︷ ︸
I
+
∫ 83
x+ 1dx︸ ︷︷ ︸
II
I =1
3
∫dx
x− 2u = x− 2 du = dx
1
3
∫dx
x− 2=
1
3
∫du
u=
1
3lnu+ C =
1
3ln | x− 2 | + C
II =8
3
∫dx
x+ 1v = x+ 1 dv = dx
33
8
3
∫dx
x+ 1=
8
3
∫dv
v=
1
3ln v + C =
8
3ln | x+ 1 | + C
∫3x− 5
x2 − x− 2dx =
1
3ln | x− 2 | +8
3ln | x+ 1 | + C
9 Sistemas de Coordenadas
A mudança de coordenadas é importante para muitos propósitos em fenômenos
eletromagnéticos, principalmente para algumas simetrias encontradas em sistemas
físicos.
9.1 Coordenadas Polares
Ao fazer uma conversão, é importante perceber que geometricamente os pontos do
plano não se alteram.
pelas relações do triângulo retângulo:
Figura 15: Transformação de coordenadas cartesianas para coordenadas polares
x = r cos θ
y = r sin θ (195)
r2 = x2 + y2 ⇒ equação da circunferência (196)
9.2 Coordenadas Cilíndricas
No plano xy temos as coordenadas polares, para gerar o cilindro θ é girado 360o = 2π
radianos e a uma altura z
34
Figura 16: Transformação de coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas
x = r cos θ
y = r sin θ
z = z (197)
9.3 Coordenadas Esféricas
Figura 17: Transformação de coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas e
como a esfera é formada por meio dessas coordenadas
sinϕ =r
ρ=
| OQ || OP |
r = ρ sinϕ cosϕ =| OR || OP |
=z
ρ(198)
35
x = r cos θ = ρ sinϕ cos θ
y = r sin θ = ρ sinϕ sin θ
z = ρ cosϕ (199)
ρ2 = x2 + y2 + z2 (200)
y
x=ρ sinϕ sin θ
ρ sinϕ cos θ= tan θ (201)
z
ρ= cosϕ
ρ =√x2 + y2 + z2
ϕ = cos−1 z
ρ
ϕ = cos−1 z√x2 + y2 + z2
(202)
10 Funções de Várias Variáveis
As funções de várias variáveis têm muita importância para o cálculo da variação
dos campos elétrico e magnético no espaço tridimensional.
Supondo f = f(x)
df =df
dxdx (unidimensional) (203)
Supondo f = f(x, y, z)
df =∂f
∂xdx+
∂f
∂ydy+
∂f
∂zdz = f1(x, y, z)dx+f2(x, y, z)dy+f3(x, y, z)dz (tridimensional)
(204)
Onde, ∂ simboliza a derivada em uma das direções ou a derivada parcial.
10.1 As regras da cadeia
i-) Supondo que z seja uma função a duas variáveis x e y, de modo que z = f(x, y),
enquanto x e y sejam funções a uma outra variável t, ou seja, x = g(t) e y = h(t).
Desde que:
dz =∂z
∂xdx+
∂z
∂ydy (205)
36
dz
dt=∂z
∂x
dx
dt+∂z
∂y
dy
dt(206)
Exemplo:
z =√x2 + y2 x = 2t+ 1 y = t3
dz
dt=∂z
∂x
dx
dt+∂z
∂y
dy
dt
∂z
∂x=
x√x2 + y2
∂z
∂y=
y√x2 + y2
dx
dt= 2
dy
dt= 3t2
dz
dt=
x√x2 + y2
(2) +y√
x2 + y2(3t2) =
2x√x2 + y2
+3yt2√x2 + y2
dz
dt=
2(2t+ 1) + 3t2(t3)√(2t+ 1)2 + (t3)2
=3t5 + 4t+ 2√t6 + 4t2 + 4t+ 1
ii-) Supondo um sistema em que w é uma função a m variáveis y1, y2, ... ym e se
cada uma dessas variáveis é por sua vez uma função a n variáveis x1, x2, ... xm
∂w
∂xj=∂w
∂y1
∂y1∂xj
+∂w
∂y2
∂y2∂xj
+ ...+∂w
∂ym
∂ym∂xj
j = 1, 2, ...n (207)
A expressão pode ser escrita de forma compacta:
∂w
∂xj=∑k=1
∂w
∂yk
∂yk∂xj
j = 1, 2, ...n (208)
A idéia mostrada aqui pode ser utilizada da seguinte maneira, se w = f(x, y, z),
x = g(s, t, u), y = h(s, t, u), z = p(s, t, u) e f é diferenciável, então:
∂w
∂s=∂w
∂x
∂x
∂s+∂w
∂y
∂y
∂s+∂w
∂z
∂z
∂s(209)
∂w
∂t=∂w
∂x
∂x
∂t+∂w
∂y
∂y
∂t+∂w
∂z
∂z
∂t(210)
∂w
∂u=∂w
∂x
∂x
∂u+∂w
∂y
∂y
∂u+∂w
∂z
∂z
∂u(211)
37
Exemplo:
Sejam w = xy2 + yz2 + zx2 x = r cos θ sinϕ y = r sin θ sinϕ = r cosϕ
∂w
∂r=∂w
∂x
∂x
∂r+∂w
∂y
∂y
∂r+∂w
∂z
∂z
∂r
∂w
∂r= (y2 + 2xz) cos θ sinϕ+ (2xy + z2) sin θ sinϕ+ (2yz + x2) cosϕ
∂w
∂θ=∂w
∂x
∂x
∂θ+∂w
∂y
∂y
∂θ+∂w
∂z
∂z
∂θ
∂w
∂θ= (y2 + 2xz)(−r cos θ sinϕ) + (2xy + z2)(r cos θ sinϕ) + (2yz + x2)(0)
∂w
∂ϕ=∂w
∂x
∂x
∂ϕ+∂w
∂y
∂y
∂ϕ+∂w
∂z
∂z
∂ϕ
∂w
∂ϕ= (y2 + 2xz)r cos θ cosϕ+ (2xy + z2)r sin θ cosϕ+ (2yz + x2)(−r sinϕ)
10.2 Derivadas de ordem superior
Considere uma função f de duas variáveis tendo derivadas parciais f1 e f2
f1(x, y) = fx(x, y) =∂
∂xf(x, y) e f2(x, y) = fy(x, y) =
∂
∂yf(x, y) (212)
As funções f1 e f2 são funções de duas variáveis e podem então ter derivadas
parciais. Por exemplo, se f(x, y) = 3x2y3 + 6xy2
f1(x, y) = fx(x, y) =∂
∂x(3x2y3 + 6xy2) = 6xy3 + 6y2
f2(x, y) = fy(x, y) =∂
∂y(3x2y3 + 6xy2) = 9x2y2 + 12xy
Portanto,
∂
∂xf1(x, y) =
∂
∂x
[ ∂∂xf(x, y)
]=
∂
∂x(6xy3 + 6y2) = 6y3
38
∂
∂yf1(x, y) =
∂
∂y
[ ∂∂xf(x, y)
]=
∂
∂y(6xy3 + 6y2) = 18xy2 + 12xy
∂
∂xf2(x, y) =
∂
∂x
[ ∂∂yf(x, y)
]=
∂
∂x(9x2y2 + 12xy) = 18xy2 + 12y
∂
∂yf2(x, y) =
∂
∂y
[ ∂∂yf(x, y)
]=
∂
∂x(9x2y2 + 12xy) = 18x2y + 12x
f11 = fxx =∂2f
∂2x=
∂
∂x
(∂f∂x
)(213)
f12 = fxy =∂2f
∂y∂x=
∂
∂y
(∂f∂x
)(214)
f21 = fyx =∂2f
∂x∂y=
∂
∂x
(∂f∂y
)(215)
f22 = fyy =∂2f
∂2y=
∂
∂y
(∂f∂y
)(216)
10.3 Derivadas direcionais (gradiente)
Agora será denido por meio das derivadas parciais a taxa de variação de uma
função em relação a qualquer direção e sentido, levando em conta o conceito de de-
rivada direcional.
Denição:
Seja f uma função de duas variáveis x e y. Se U for um vetor unitário cos θı+sin θȷ,
então a derivada direcional de f na direção de U denominada Duf
Teorema:
Se f for uma função diferenciável de x e y e U = cos θı+ sin θȷ
Duf(x, y) = fx(x, y) cos θ + fy(x, y) sin θ (217)
Ilustração:
f(x, y) = 3x2 − y2 + 4x U = cosπ
6ı+ sin
π
6ȷ
Duf(x, y) =∂f(x, y)
∂xcos
π
6+∂f(x, y)
∂ysin
π
6= (6x+ 4) cos
π
6+ (2y) sin
π
6
Denição:
39
Se f for uma função de três variáveis x, y, z edf
dx,df
dy,df
dzexistirem, então o
gradiente é denotado por:−→∇f (218)
Onde ∇ é o operador diferencial nabla denido como:
∇ = ı∂
∂x+ ȷ
∂
∂y+ k
∂
∂z(219)
então o gradiente de uma função f = f(x, y, z) é dada por:
∇f = ı∂f
∂x+ ȷ
∂f
∂y+ k
∂f
∂z(220)
10.4 Divergente
Supondo que temos uma função vetorial
V = Vxı+ Vy ȷ+ Vzk (221)
Aplicando o operador ∇ sobre a função V temos que:
∇ · V =(ı∂
∂x+ ȷ
∂
∂y+ k
∂
∂z
)· (Vxı+ Vy ȷ+ Vzk) (222)
∇ · V =∂Vx∂x
+∂Vy∂y
+∂Vz∂z
(223)
Esse produto é muito útil para descrever em eletromagnetismo as equações de
Maxwell.
10.5 Rotacional
O rotacional realaciona a projeção de um vetor em direções perpendiculares análogo
ao produto vetorial, terá grande utilidade quando estudarmso o campo magnético.
utilizando a mesma função V .
V = Vxı+ Vy ȷ+ Vzk
40
Temos que o rotacional é denido como:
∇× V =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ı ȷ k∂
∂x
∂
∂y
∂
∂zVx Vy Vz
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = ı(∂Vz∂y
− ∂Vy∂z
)+ ȷ(∂Vx∂z
− ∂Vz∂x
)+ k(∂Vy∂x
− ∂Vx∂y
)(224)
Propriedade
∇ × (fV ) = f∇ × V + (∇f)× V (225)
10.6 Vetores de Integração
Depois de diferenciar os vetores será visto como integrar os vetores.
10.6.1 Integrais de linha
Tendo como elemento de integração:
dr = dx ı+ dy ȷ+ dz k (226)
Deve-se encontrar as integrais de linha∫C
φdr︸ ︷︷ ︸I
∫C
V · dr︸ ︷︷ ︸II
∫C
V × dr︸ ︷︷ ︸III
(227)
I-) Como φ é um escalar a integral reduz-se a:∫C
φdr = ı
∫C
φ(x, y, z) dx+ ȷ
∫C
φ(x, y, z) dy + k
∫C
φ(x, y, z) dz (228)
II-) Neste caso temos um produto escalar entre dois vetores, como em fenômenos
mecânicos no caso do produto entre a força e o deslocamento resultando em trabalho.
V = Vxı+ Vy ȷ+ Vzk∫C
V · dr =∫C
Vx(x, y, z)dx+
∫C
Vy(x, y, z)dy +
∫C
Vz(x, y, z)dz (229)
III-) Neste caso teremos a projeção do vetor em direções perpendiculares ao seu
vetor de origem.
∫C
V×dr =∫C
∣∣∣∣∣∣∣ı ȷ k
Vx Vy Vz
dx dy dz
∣∣∣∣∣∣∣ = ı
∫C
(Vydz−Vzdy)+ȷ∫C
(Vzdx−Vxdz)+k∫C
(Vxdy−Vydx)
(230)
41
10.6.2 Integrais de superfície
Integrais de superfície aparecem na mesma forma que as integrais de linha, sendo o
elemento de área o vetor dσ∫C
φdσ
∫C
V · dσ∫C
V × dσ (231)
10.6.3 Integrais de volume
∫V
B dV = ı
∫V
Bx dV + ȷ
∫V
By dV + k
∫V
Bz dV (232)
Figura 18: Integração do vetor B pelo volume
10.6.4 Teorema de Stokes
A integral de linha de um vetor sgundo uma curva fechada é igual à integral da
componente normal de seu rotacional sobre qualquer área limitada pela curva, isto
é: ∮C
F · dl =∫
∇ × F · n da (233)
10.6.5 Teorema do divergente
A integral de um vetor sobre um volume V é igual à integral de superfície da
componente normal ao vetor sobre a superfície que limita V , isto é:∫V
∇ · F dV =
∮S
F · n da (234)
42
10.6.6 Identidades vetoriais
∇ · ∇φ = ∇2φ (235)
∇ · ∇ × F = 0 (236)
∇ × ∇φ = 0 (237)
∇ × (∇ × F ) = ∇(∇ · F )−∇2F (238)
∇(φψ) = (∇φ)ψ + φ∇ψ (239)
∇(F · G) = (F · ∇)G+ F × (∇ × G) + (G · ∇)F + G× (∇ × F ) (240)
∇ · (φF ) = (∇φ) · F + φ∇ · F (241)
∇ · (F × G) = (∇ × F ) · G− (∇ × G) · F (242)
∇ × (φF ) = (∇φ)× F + φ∇ × F (243)
10.7 Transformações jacobianas para sistemas de coordena-
das polares, cilíndricas e esféricas
Como foi descrito anteriormente temos agora uma ideia de como funcionam as
derivadas parciais. Agora será mostrado como modica-se o integrando de uma
integral, quando é feita uma mudança de coordenadas.
A forma geral pode ser escrita como:
Duas dimensões
dxdy =
∣∣∣∣∣∣∣∂x
∂q1
∂x
∂q2∂y
∂q1
∂y
∂q2
∣∣∣∣∣∣∣ dq1dq2 =( ∂x∂q1
∂y
∂q2− ∂x
∂q2
∂y
∂q1
)dq1dq2 (244)
Onde q1 e q2 são as novas coordenadas.
Três dimensões
dxdydz =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x
∂q1
∂x
∂q2
∂x
∂q3∂y
∂q1
∂y
∂q2
∂y
∂q3∂z
∂q1
∂z
∂q2
∂z
∂q3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣dq1dq2dq3 (245)
43
10.7.1 Coordenadas polares
x = r cos θ
y = r sin θ
Mudança de coordenadas xy → rθ
∂x
∂r= cos θ
∂y
∂r= sin θ
∂x
∂θ= −r sin θ ∂y
∂θ= r cos θ
dxdy =
∣∣∣∣∣∣∣∂x
∂r
∂x
∂θ∂y
∂r
∂y
∂θ
∣∣∣∣∣∣∣ drdθ =∣∣∣∣∣ cos θ −r sin θsin θ r cos θ
∣∣∣∣∣ drdθdxdy = (r cos2 θ + r sin2 θ)drdθ = r(cos2 θ + sin2 θ︸ ︷︷ ︸
1
)drdθ
dxdy = rdrdθ (246)
10.7.2 Coordenadas cilíndricas
x = r cos θ
y = r sin θ
z = z
Mudança de coordenadas xyz → rθz
∂x
∂r= cos θ
∂y
∂r= sin θ
∂z
∂r= 0
∂x
∂θ= −r sin θ ∂y
∂θ= r cos θ
∂z
∂θ= 0
∂x
∂z= 0
∂y
∂z= 0
∂z
∂z= 1
dxdydz =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x
∂r
∂x
∂θ
∂x
∂z∂y
∂r
∂y
∂θ
∂y
∂z∂z
∂r
∂z
∂θ
∂z
∂z
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣drdθdz =
∣∣∣∣∣∣∣cos θ −r sin θ 0
sin θ r cos θ 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣ drdθdz
44
dxdydz = (r cos2 θ + r sin2 θ)drdθ = r(cos2 θ + sin2 θ︸ ︷︷ ︸1
)drdθdz
dxdydz = rdrdθdz (247)
10.7.3 Coordenadas esféricas
x = ρ sinϕ cos θ
y = ρ sinϕ sin θ
z = ρ cosϕ
Mudança de coordenadas xyz → ρϕθ
∂x
∂ρ= sinϕ cos θ
∂x
∂ϕ= ρ cosϕ cos θ
∂x
∂θ= −ρ sinϕ sin θ
∂y
∂ρ= sinϕ sin θ
∂y
∂ϕ= ρ cosϕ sin θ
∂y
∂θ= ρ sinϕ cos θ
∂z
∂ρ= cosϕ
∂z
∂ϕ= −ρ sinϕ ∂z
∂θ= 0
dxdydz =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x
∂ρ
∂x
∂ϕ
∂x
∂θ∂y
∂ρ
∂y
∂ϕ
∂y
∂θ∂z
∂ρ
∂z
∂ϕ
∂z
∂θ
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣dρdϕdθ =
∣∣∣∣∣∣∣sinϕ cos θ ρ cosϕ cos θ −ρ sinϕ sin θsinϕ sin θ ρ cosϕ sin θ ρ sinϕ cos θ
cosϕ −ρ sinϕ 0
∣∣∣∣∣∣∣ dρdϕdθ
dxdydz = [ρ2 sin3 ϕ cos2 θ+ρ2 sinϕ cos2 ϕ sin2 θ+ρ2 sinϕ cos2 ϕ cos2 θ+ρ2 sin3 ϕ sin2 θ]dρdϕdθ
dxdydz = [ρ2 sin3 ϕ(cos2 θ + sin2 θ︸ ︷︷ ︸1
) + ρ2 sinϕ cos2 ϕ(sin2 θ + cos2 θ︸ ︷︷ ︸1
)]dρdϕdθ
dxdydz = [ρ2 sin3 ϕ+ ρ2 sinϕ cos2 ϕ]dρdϕdθ
dxdydz = ρ2 sinϕ(sin2 ϕ+ cos2ϕ︸ ︷︷ ︸1
)dρdϕdθ
dxdydz = ρ2 sinϕ dρdϕdθ (248)
45
10.7.4 Operador diferencial nabla (∇) e laplaciano (∇2) em coordenadas
cilídricas
∇ = r∂
∂r+ θ
1
r
∂
∂θ+ z
∂
∂z(249)
∇2 =1
r
∂
∂r
(r∂
∂r
)+
1
r2∂2
∂θ2+
∂2
∂z2(250)
10.7.5 Operador diferencial nabla (∇) e laplaciano (∇2) em coordenadas
esféricas
∇ = ρ∂
∂ρ+ ϕ
1
ρ
∂
∂ϕ+ θ
1
ρ sinϕ
∂
∂θ(251)
∇2 =1
ρ2 sinϕ
[sinϕ
∂
∂ρ
(ρ2∂
∂ρ
)+
∂
∂ϕ
(sinϕ
∂
∂ϕ
)+
1
sinϕ
∂2
∂θ2
](252)
11 Ângulo Sólido
Considere uma superfície esférica de raio r contendo um elemento de área ∆A. O
ângulo sólido ∆Ω, subentende-se do centro da esfera por este elemento é dado por:
Figura 19: Ilustração da obtenção do ângulo sólido
∆Ω =∆A
r2(253)
∆Ω é admensional ∆A e r2 tem dimensão de comprimento ao quadrado. A unidade
admensional do ângulo sólido é o esferoradiano. Porque a área da superfície da
esfera é 4πr2, então:
∆Ω =4πr2
r2= 4π esferoradianos (254)
46
12 Equações Diferenciais
Em fenômenos eletromagnéticos serão, também, necessários conceitos básicos de
resolução de equações diferenciais, principalmente as separáveis e as de segunda
ordem.
12.1 Equações de variáveis separáveis
dy
dx= f(x, y) (255)
Pode-se analisar equações que não sejam lineares.
M(x, y) +N(x, y)dy
dx= 0 (256)
É possível adotar esta escritura fazendo M(x, y) = −f(x, y) e N(x, y) = 1, mas
podem existir outras maneiras. QuandoM for uma função exclusiva de x e N é uma
função exclusiva de y, então:
M(x) +N(y)dy
dx= 0 (257)
A equação é então uma equação separável, pois se for escrita em forma integral
M(x)dx = −N(y)dy (258)
Exemplo:
dy
dx=
x2
1− y2
−x2 + (1− y2)dy
dx= 0 M(x) = −x2 N(y) = 1− y2
∫(1− y2)dy =
∫x2 dx
y − y3
3+ C =
x3
3+ C
3y − y3 − x3 = C
47
12.2 Equações diferenciais de segunda ordem
Supondo a equação diferencial
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = g(x) Sendo: y′′ =d2y
dx2y′ =
dy
dx(259)
Em lugar da equação acima pode-se reescrever a equação como:
P (x)y′′+Q(x)y′+R(x)y = G(x) ÷P (x) p(x) =Q(x)
P (x); q(x) =
R(x)
P (x); g(x) =
Q(x)
P (x)
(260)
Se a equação não tiver as duas formas é chamada não-linear. As equações gerais
acima são não-homogêneas, só são homogêneas se, nas equações acima os termos
g(x) e G(x) são nulos para todo x.
P (x)y′′ +Q(x)y′ +R(x)y = 0
ay′′ + by′ + cy = 0 (261)
Análise de um exemplo simples
y′′ − y = 0 a = 1; b = 0; c = −1
Solução: propriedade da derivada segunda de uma função ser a própria função. A
função que atende essas condições é a função exponencial.
y1(x) = ex e y2(x) = e−x
A combinação linear das solução, também é uma solução da equação diferencial.
y1 = C1y1(x) + C2y2(x) = C1ex + C2e
−x
y′1 = C1ex − C2e
−x
y′′1 = C1ex + C2e
−x
Supondo que: y(0) = 2 e y′(0) = −1
C1 + C2 = 2
C1 − C2 = −1
C1 =1
2e C2 =
3
2
48
A solução geral é:
y =1
2ex +
3
2e−x
Voltando à equação mais geral
ay′′ + by′ + cy = 0
Supondo y = erx, y′ = rerx, y′′ = r2erx
(ar2 + br + c)erx = 0
ar2 + br + c = 0 Equação característica da equação diferencial
Com a hipótese de que as raízes da equação sejam reais e diferentes:
y1(x) = er1x e y2(x) = er2x (262)
y = C1y1(x) + C2y2(x) = C1er1x + C2e
r2x (263)
y′ = C1r1er1x + C2r2e
r2x (264)
y′′ = C1r21e
r1x + C2r22e
r2x (265)
ar2 + br + c = C1(ar21 + br1 + c)er1x + C2(ar
22 + br2 + c)er2x (266)
Cada expressão no segundo termo é nula, pois r1 e r2 são raízes da equação.
Supondo as condições de contorno
y(x0) = y0 e y′(x0) = y′0 (267)
C1er1x0 + C2e
r2x0 = y0
C1r1er1x0 + C2r2e
r2x0 = y′0 (268)
Resolvendo o sistema de equações obtém-se
C1 =y′0 − y0r2r1 − r2
e−r1x0 , C2 =y0r1 − y′0r1 − r2
e−r2x0 (269)
A solução geral da equação diferencial é, então:
y =(y′0 − y0r2r1 − r2
)e−r1x0 er1x +
(y0r1 − y′0r1 − r2
)e−r2x0 er2x (270)
49
12.3 Equações não homogêneas
L[y] = y′′ + p(x)y′ + q(x)y = g(x) (271)
Onde p(x), q(x) e g(x) são funções dadas (contínuas) no intervalo aberto I. A
equação.
L[y] = y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 (272)
Na qual g(x) = 0, p(x) e q(x), são as mesmas funções anteriores, a equação (272)
é a equação homogênea correspondente a equação não homogênea (271).
Os dois resultados seguintes descrevem a estrutura das soluções das equações não
homogêneas, e propiciam a base para a solução geral.
Teorema 1
Se Y1 e Y2 forem duas soluções da equação não homogênea (271), então a diferença
Y1 − Y2 é uma solução da equação diferencial homogênea (272). Se além disso y1 e
y2 constituem um conjunto fundamental de seoluções de (272), então:
Y1 − Y2 = C1y1(x) + C2y2(x) (273)
Teorema 2
A solução geral da equação não homogênea (271) pode ser escrita na forma:
y = ϕ(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + Y (x) (274)
Onde y1 e y2 constituem um conjunto fundamental de soluções da equação homo-
gênea, correspondente a (272), C1 e C2 são constantes arbitrárias e Y é uma solução
particular da equação não homogênea.
Para resolver a equação não homogênea deve-se proceder ao longo de 3 etapas:
1-)Achar a solução geral C1y1(x) + C2y2(x) da equação homogênea correspondente.
Esta é a solução denominada frequentemente de solução complementar, pode ser
simbolizada por yc2-)Achar a solução da equação não homogênea. Muitas vezes a solução é denominada
uma solução particular yp3-)Somar as funções encontradas.
Exemplo:
y′′ − 2y′ − 3y = 3e2x
50
Solução da equação diferencial ordinária homogênea
yc = C1e3x + C2e
−x
Solução da equação diferencial ordinária não homogênea
yp = Ae2x = Y (x)
Y ′(x) = 2Ae2x
Y ′′(x) = 4Ae2x
4Ae2x − 4Ae2x − 3Ae2x = 3Ae2x
A = −1
A solução geral é dada por:
y = yc + yp = C1e3x + C2e
−x − e2x + C
Só é útil o conhecimento que nos faz melhores - Sócrates -Filósofo Grego
Referências
[1] George B. Arfken - Mathematical Methods for Physicists (Sixth Edition - Else-
vier Academic Press, 2005).
[2] Earl W. Swokowski - Cálculo com Geometria Analítica - volume 1 (2aEdição -
McGraw-Hill, 1983).
[3] Earl W. Swokowski - Cálculo com Geometria Analítica - volume 2 (2aEdição -
McGraw-Hill, 1983).
[4] Mustafá A. Munem, David J. Foulis - Cálculo - volume 1 (1aEdição - Editora
Guanabara Koogan, 1982).
[5] Mustafá A. Munem, David J. Foulis - Cálculo - volume 2 (1aEdição - Editora
Guanabara Koogan, 1982).
[6] Louis Leithold - O Cálculo com Geometria Analítica - volume 1 (3aEdição -
Editora Harbra, 1994).
[7] Louis Leithold - O Cálculo com Geometria Analítica - volume 2 (3aEdição -
Editora Harbra, 1994).
[8] William E. Boyce, Richard C. Di Prima - Equações Diferenciais e Problemas de
Valores de Contorno(5aEdição - Editora Guanabara Koogan, 1994).
51
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